Balzer, Mühlhölzer, 1982 - Klassische Stoßmechanik

8/17/2019 Balzer, Mühlhölzer, 1982 - Klassische Stoßmechanik

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Klass i sche S tof lmechanik*

W O L F G A N G B A L Z E R - F E L IX M U H L H O L Z E R

Zusammenfassung

Mit der vorliegenden Arbei t verfolgen wir dre i Ziele. Erstens exemplifizieren wir einige

wissenschaftstheoretische Fragen und die zugeh6rigen Antworten (Theoretizit~t, Problem der

theoretischen Terme, empirische Behauptung einer Theorie, Ramsey-Eliminierbarkeit theoreti-

scher Terme) am seh r einfachen Beispiel der klassischen Stogmechanik. Zweitens liigt sich an

diesem Beispiel besonders klar der Begriff des Meflmodells darstellen; insbesondere erhalten wir

eine vollst~indige Ubersicht fiber alle Megmodelle. Und drittens erhalten wir ein sch6nes Beispiel

fiir den Begriff der Reduktion einer Theorie auf eine andere, denn die Stogmechanik liif~tsich auf

einfache Weise auf eine Spezialisierung der Klassischen Partiketmechanik reduzieren.

I. A X I O M E U N D M O D E L L E

Wir axiomatisieren die klassische Stoflmechanik (im folgenden abgekiirz t

durc h , ,KSM ) durch Einfi ihrung des meng entheoret isc hen Pr~idikates , ,ist

eine KSM . Entit~iten, auf die dieses Pr~idikat zutrifft, heiflen Modelle von

KS M ; die Klasse aller solch er M ode lle - also die Ex tens ion des Pr~idikats ,, ist

e ine KSM - werde mi t , ,M(KSM ) oder kurz , ,M beze ichne t. Die in

folgender Def in i t ion vorkommenden Aussagen nennen wir Axiome der

The or i e .

D1 x is t e ine KSM (in Zeichen: , ,xaM (KS M) oder , ,x cM ) g dw es P, t l , t2, v

und m gibt, so dag gilt:

1) x = .

2) P ist eine endliche, mindestens zweielementige Menge.

3) q, t2EP- und t~ < t2.

4) v :P x{t 1, t2} --> IR3.

5) m: P - * IR +.

6) X m(p )v(p , t l) = X m(p )v(p, t2).

pEP ImP

Hier bei s ind IR + un d IR3 die Menge n der posi t iven reel len Zahlen b zw. der

Zahlentripel mit reel len K om pon ente n. Px{t 1, t2} is t das kartesische Pro duk t

von P mit der M enge {t l, t2). Die Schreibweise , ,f :X- *Y besagt , dag f e ine

Funktion yon X nach Y ist . Wir werden im folgenden annehmen, dag P aus n

Elemen ten Pl , . . . . . Pn (n~>2) besteht , die imm er in dieser Weise durc hnu me-

riert sind.

Un ter allen M ode llen

von KSM verdienen nur

diejenigen den N am en , ,Model le der k lass ischen Stogmech anik , in denen

* D i e s e A r b e i t w u r d e i m R a h m e n d e s D F G - P r o j e k t s B a 6 7 8 / I a n g ef e rt ig t .

Zeitschrift fiir allgemeineWissenschaftstheorieXIII/I 1982)

@ Franz SteinerVerlag GmbH, D--6200Wiesbaden

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Klassische Stogme chanik 23

P,h,t2,v un d m folgende Bedeutung haben: P ist eine Menge yon Teilchen, und

fiir alle Teilchen paP ist v(p, ti) die Geschwindigkeit yon p zum festen

Zeitpunkt ti (i=1,2). Die Geschwindigkeit wird durch einen Vektor aus IR3

angegeben, der sowohl Gr6ge als auch Richtung zum Ausdruck bfingt. Alle

Geschwindigkeiten und die beiden Zeitpunkte h und h werden gemessen

relativ zu einem inertialen Koordinatensystem mit r~iumlichen kartesischen

Ko ordi nate n x 1, x2, x 3 un d ,absoluter' Zeit koor dina te t. ,,m(pi) bezeich net die

Masse (im Sinne der klassischen Physik) des Teilchens Pi (l~ J te{1 ,2}} u {< ,

>l t a{1 ,2}} , {, }>.

Dieser Sachverhak legt es nahe, eine weitere Komponente in die Theorie

aufzu nehm en, n~imlich diejenige Men ge ko nkr ete r phys ikalischer Systeme, auf

die man iiblicherweise die klassische Stogm echan ik anw endet . Mit ,,m an ist

dabei die Gruppe der einschl~igig ausgebildeten Physiker gemeint, und

,,iiblicherweise soll heif~en: wie es in Biichern, Zeitschriftenartikeln, Vorle-

sungen und Vortriigen beschrieben ist. Es liegt nahe, darunter solche Systeme

zu verstehen, die in mengentheoretischer Formulierung als Tupel der Form

, wie sie in D1) vorko mm en, dargestellt werd en,

nur dab man vo n solch einem Tupel nun nicht verh ngt, daB es das inhakliche,

die eigentliche Gesetzm~ifligkeit ausdriickende Axiom D1.6) erfiillt. Wir

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24 WolfgangBalzer und Felix Miihlh61zer

werden im folgenden solche Tupel, die D1.1-5), jedoch nicht notwendiger-

weise D1.6) erfiillen,

,,potentielle Modelle yon KSM

nennen:

D2

x ist ein potentielles Modell von KSM (in Zeic hen: , ,x~Mv(KSM) ode r

,,x6Mp ) gd w es P, h, h , v un d m gibt, so dal~ gilt:

1) x = .

2) P ist eine endliche, mind esten s zweielementige Menge.

3) h, t2~l(, tl < t2-

4) v :Px {tl, h} - ) IR3.

5) m :P --) IR +.

Wir fassen diejenigen potentiellen Modelle von KSM, die man als Anwen-

dungsf~ille der pbysikaliscben Theorie KSM im Auge hat, in einer Menge I*

zusammen, die wir , ,Menge der

intendierten Anwendungen

von KSM

nennen. Die

Tbeorie

KSM selbst fassen wir dan n auf als ein Tupel T bestehen d

aus dem ,formalen' Teil M und dem ,pragmatischen' Teil I*:

T = .

Hierbei ist, wie gesagt, I* _c Mp

Die Festlegung von I* kann nicht durch ein mengentheoretisches Priidikat

erfolgen, denn wie sollte man pragmatische Verh~iltnisse, in deren Charakteri-

sierung W6 rter wie , , iiblicherweise vo rk om me n, durch eine pr~izise Defini-

tion erfassen k6nnen? Die Angabe von I* enth~ilt vielmehr die gleiche

Offenheit, die im allgemeinen besteht, wenn man sagen will, worauf sich ein

sprachlicher A usd ruc k bezieht. I* ist einfach dasjenige Stiick Realitiit, auf das

sich das physika lische Pr~idikat ,,ist eine KSM gemiifl den Inte nti on en der

Physiker bezieht.

Bei dieser Sachtage ist man geneigt, die Funktion des Pr~idikats ,,ist eine

KSM wie folgt zu beschreiben. Es dient dazu, eine Beh aupt ung fiber einen

Teil der Welt, der in Form von I* gegeben ist, aufzustellen, n~imlich die

Behau ptung, daf~ alle Elemen te von I* Modelle von KSM sind. Wir w ollen

diese Behauptung ,,empirische Behauptung* yon KSM nennen. Unter der

Ann ahme , dag KSM als Theorie die Fo rm T = mit I*c_Mp hat, l~iflt

sich die empirische Behauptung* folgendermaflen definieren:

1)3

Die empirische Behauptung* der Theorie T= < M , F: '> ist der Satz

,,I*_cM .

Wie k ann man herausfinden, ob die empirische Behauptung der Theorie T

wa hr ist ? Da es sich logisch um einen Allsatz ,,Fiir alle x: w en n x~I*, dan n

x~M handelt, kann man eine h6ch st einfache Me thod e der Verifikation

angeben. Man priife einfach alle Eleme nte von F: der Reihe nach d urch, o b sie

in M liegen, d. h. o b fiir sie der Imp ulserha ltungss atz gilt ode r nicht. Aber w ie

schon gesagt k6nnen wir uns die Elemente von I* nicht durch pr~izise

Definitionen gegeben vorstellen. Es wird uns auch nicht gelingen, Elemente

yon I* irgendwo in der Literatur explizit beschrieben zu finden. Mit ,explizit '

mein en wir dabei, daft alle Kom po ne nt en pr~izise angegeben sind, entw eder in

Form yon Listen wie in dem oben gegebenen rein mathematischen Beispiel


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Klassische Stogmechanik 5

oder in F orm yon Definitionen. De r typische Weg, zu einem wohlspezifizier-

ten Eleme nt von I* zu gelangen, ist vielmehr folgender. Man w ird an ein

konk retes physikalisches System herang efiihrt mit de m Hin we is, daft es sich

bier um eine intendierte Anwendung handle. Dag man dieses System dann

tatsiichlich als ein potentielles Modell im oben pr~izisierten Sinn auffassen

kann, ist ihm nicht unmittelbar anzusehen, sondern mug im einzelnen

festgestellt werden.

Bei quantitativen The orie n besteht dieses Feststellen in nichts an dere m als in

einem Prozefl des

Messens.

Die 13berpriifung tier empirischen Behauptung

fiihrt uns also dazu, an gewissen realen Systemen Messungen durchzufiihren

mit dem Ziel, die yon der Theorie behaupteten Gesetzmiifligkeiten zu

verifizieren oder zu falsifizieren.

Man kann versuchen, diese Messungen durch A ngabe von H andlu ngen oder

Handlungsanweisungen zu explizieren, gelangt dabei jedoch in einen aus

Details und Pragmatik gemischten Sumpf. Man kann andererseits versuchen,

die M essung in d er Sprache de r einschl~igigen The orie zu explizieren. Das ist

wesentlich einfacher, u nd wir w ende n uns dieser M6glichkeit zu.

In der Sprache der T heorie KSM sind Messungen fiir die beiden Gr6gen v

und m zu diskutieren.

IlL MESSMODELLE

Ma n w ird sagen, daf t im realen System eine Me ssung erfolgte, we nn der

gemessene Wert durch bekannte Werte der anderen im System vork om me nde n

Gr6 gen und durch die spezielle experimentelle An ord nun g eindeutig bestimm t

ist.

Bei der Masse ist bei Einschr~inkung auf KSM die Beschreibung einer

Messung - gena uer: die Beschre ibung eines w~ihrend der Mes sung realisierten

Systems - durc h z wei Ko mp one nte n gegeben. Einm al enth~ilt die Beschre i-

bung de r Messung die Angabe von G eschwindigke itwerten, die im Experim ent

,hergestellt' und kontr ollier t wer den k6 nne n. Z um and eren enth~ilt sie die

Angabe der experimentellen Anordnung. Da wir uns auf den sprachlichen

Rah me n yo n KSM beschr~inken miissen, ka nn diese Angabe nic ht aus einer

realistischen Versuchsbeschreibung bestehen, sondern nur aus einer Formel,

die diejenigen Bedingungen an die Geschwindigkeiten formuliert, die erfiillt

sein m iissen, dam it die M assenwerte im Ra hmen yo n KSM eindeutig bestimm t

sin& W ir b ezeichnen diese Forme l mit ~I(P, {q, t2}, v). D as W ort , ,eindeufig

soil im Fall der Ma ssenfunktion imm er bede uten: , ,eindeutig bis auf Pro por-

tionalit~itsfaktor ; eine Einde utigke it in strenge rem Sinn kan n ma n natiirlich

nicht fordern. B etrachtet man anstelle der M assenfunktionen m deren ,Pro por-

tionalit~itsklassen [m], die wie folgt definiert sind: [m ]: = {m' [ m ' : P - - ~ + ; es

gibt ein ae ~ . + m i t m ' (p)=ctm (p)}, so tassen sich jene Systeme, die zur

Massenmessung im R ahm en von KSM geeignet sind - wi r nenne n sie

, ,Massenmeflmodel le yon KSM - auf folgende Weise definieren:

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Wolfgang Balzer und Felix Mi~hlh61zer

D4

x ist ein Massenmefmodell von KSM gdw:

1) x = eM.

2) Es gibt eine FormelcA(a, b, c), die neb en mathe matisch en Kon stant en

nur drei freie Variable a, b, c enth~ilt, so daft gilt:

' m gilt: wen n ~M und < P' , {tl', t ;}, ~+ , lR3,v , m > ¢M und

CA~, b, ~(P', {t /, t;} , v ') , dan n ist [ m'] = [m'~];

2.2) 91(P, (tl, t2}, v).

3) xEI*.

' m haben hier den Status freier Variabler. Wi r

ie Symbole P', h', t2, V , m ,

ben utz en sie nu r aus Gr iin den der besseren Lesbark eit. 9.t ~, b, ~(P', {h', t~}, v')

bezeichne t die Formel, die aus 9/(a, b, c) entsteht, we nn m an darin a, b und c

jeweils durch P', {t~, t~} un d v ' ersetzt. Bed ingu ng 1) besagt, daf~ es sich um

eine Massenmessung im Rahmen von KSM handelt; 2.1) formuliert die

Eindeutigkeitsforderung und 2.2) besagt, daf in dem betreffenden System

diese Forderung erfiillt ist. 3) ist die pragmatische Komponente des Begriffs

,,M assen mef mo dell von K SM und garantiert, daft tatsiichlich nur solche

Systeme unter diesen Begriff fallen, die auch in den Augen der Physiker zur

Massenm essung in KSM geeignet sind. In den meisten Fiillen ist es unpr oble -

matisch, die Form el 9.I als die Beschreibung eine r Me fm et ho de aufzufassen,

obwohl in cA in keiner Weise von den bei der Messung ausgefiihrten

Handlungen, verwendeten Instrumente und so weiter die Rede ist.

Auf analoge Weise kann ma n M efm odel le zur Geschwindigkeitsmessung im

Rah me n von KSM definieren. Wir beschriinken uns dabei auf den Fall, dab die

Geschwindigkeiten nach dem Stof durch die Massen und die Geschwindigkei-

ten vor dem Stofl bestimmt werden:

D

x ist ein Meflmodell yon KSM zur Messung der Geschwindigkeiten nach

dem Stofl gdw:

1) x =

~M.

2) Es gibt eine FormetcA (a, b, c), die neben mathem atischen Kon stante n

nur drei freie Variable a, b, c enth~ilt, so dab gilt:

2.1) fiir alle P', h', t~, v', v , m' gilt: w en n EM und

~M und

CA~,b, ~(P', {t;, t~}, m') und V'ip,~;) = v lp,~t;}, dann ist

Vtlp,x{t~} ---~ V lp,x{tj}.

2.2)CA(P, {t I, t2}, m) .

3)

xel .

DS) ist das Analogon zu D4), nur daft hier Vlpx(t,)die Rolle von m in D4) spielt.

,,viA bezeich net die Einschriinkung von v auf eine Teilmenge A des

Definitionsbereichs. D5) ist allerdings im h6chsten Grade uninteressant: Es

gibt niimlich iiberhaupt keine Geschwindigkeitsmeflmodelle im Sinne dieser

Definition, da die Eindeutigkeitsbedingung 1) nicht erfiillbar ist. Darauf

werden wir am Schluf dieser Arbeit noch kurz zu sprechen komm en.


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Klassische Stoflmechanik 27

IV. KLASStFIKATIONDER MASSENMESSMODELLE

In der KSM ist es, im Gegensatz zu vielen anderen Theorien, relativ leicht,

einen vollstiindigen 13berblick fiber alle Massenmef~modelle zu erhalten.

Hierbe i ist natiirlich vorausgesetzt, daf~ ma n ein en'U berb lick iiber die Menge

I* der intendierten Anwendungen hat. Die Frage nach einer allgemeinen

Charak terisierun g de r Meflmod elle fiir eine bestimm te Gr6fle einer The orie T,

die wir hier erstmals formulieren, f i ihrt bei anderen physikalischen Theorien

zu schwlerigen mathematischen Problemen. Gerade wegen der einfachen

mathematischen Verhiiltnisse liefert die KSM ein gutes Beispiel, an dem sich

das allgemeine Problem gut aufzeigen liiflt.

Zu r Klassifikation der Massenmei~modelle gehen wir in zwei Schritten vor.

Zun~ichst fragen wir, wie bei geg ebener Teilchenzahl die Gesch windi gkeitsdi f-

ferenzen vi der Teilchen aussehen miissen, damit (1) eine L6sung m>0 (d. h.

m l > 0 . . . . , m n > 0 hat. Ist (1) mit m>0 16sbar, so sagen wir, (1) sei positiv

lSsbar. Die zweite Frage lautet dann, unter welchen Um stiinden die Massen m i

durc h die G eschw indigk eitsdiffe renzen v i (bis auf eine n Proportionalit~itsfak-

tor) eindeutig b estim mt sind. Bei dieser Frage setzen wir voraus, daf~ (1) bereits

positiv 16sbar ist. Es wird also nach den Zusatzbedingungen gefragt, die bei

positiver L6sbark eit zusiitzlich die Eind eutig keit der m i gewiihrleisten. Wir

sagen, dai~ (1)

eindeutigpositiv lSsbarsei

we nn (I) po sitiv 16sbar ist und die m i

durch die v eindeutig bestimmt sind.

Die Bedi ngung en, unte r de nen (1) ein deutig positiv 16sbar ist, liefern gerade

Formeln, die MeSmodelle fiir m charakterisieren. Ein Uberblick fiber alle

m6gl ichen B edingu ngen, un ter den en (1) eindeu tig positiv 16sbar ist, zieht also

die angestrebte Klassifikation der Mef~modelle nach sich.

T1 (1) ist positiv 16sbar gd w es kei n u • IR3 gibt mit der folgenden

Eigenschaft:

vi.u >I 0

fiir alle i • {1, . . . . n} un d vk" u> 0 fiir mindesten s ein k •

{1 . . . . . n} 1.

, , ." steht dabei fiir das Skal arprodu kt im IR3, d.h . vi" u = ~ vi uJ, wo be i v u n d

u i die K om po ne nt en vo n v i un d u sind. ~

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Wolfgang Balzer und Felix MiJhlh61zer

Dieses Eindeutigkeitskriterium ist zwar mathem atisch sch6n, jedoch schwer

anwendbar. U m ein praktikableres Kriterium zu erhalten, formulieren wir (1)

zu einer ~iquivalenten Gleichu ng u m :

2)

n)

(vl . . . . , vn) ist hierbei als eine 3 x n-Matrix mit de n Spaltenvektor en

vl . . . . . v . aufzufassen. W ir interpretieren (vl . . . . . v .) als eine l ineare

Ab bil dun g q~ gn--->lR3 u nd schre iben

[m ]

m: = . Die Glei chung (2) lautet dan n: ~ (m) = 0.

m

D

a) [[v , . . . . Vn]] : = ( l ~ n ~'itOi I ~'i E JR, 1 ~0 1 ~ i ~< n} (, ,Positivkegel ).

c) L~: = Kn n ker q~ (, ,L6sungsm annigfaltigkeit ).

ker q~ beze ichn et d en K ern v on q~, also die Me nge (x t qo (x) = 0). Da K nei ne

offene Teilmenge des I~n ist, ist L , eine offene Teilmenge yon ker q~ und

insbesonde re eine Unter man nigfalti gkeit yon IR (wobei wir auch die leere

Menge als , ,MannigfaItigkeit bezeichnen) 2. Bezeichn en wir mit rgcp den R ang

von q~, d .h . die Dime nsio n von [~vi . . . . v,]], so erhalten wir das neue

Kriterium in folg endem Satz:

T (1) sei positiv 16sbar. Dann gilt:

Die L6s ung ist eindeutig genau dann, w enn einer der folgen den drei F~ille

vorliegt:

a) n = 2 und rgcp = 1;

b) n=3 und rgq) = 2;

c) n = 4 und rgq~ = 3.

Mit Hilfe der Theoreme ergeben sich nun folgende M/Sglichkeiten der

eindeutigen positiven L6sbarkeit, wobei wir die Fiille zun~ichst nach der

Partikelzahl untersc heiden. Die Fiille, in denen eindeutig e positive L6sbarkeit

vorliegt, kenn zeich nen wir mit ~I i (i= 1, 2, 3), u m hervo rzuhe ben, dafg die

jeweilige Charakterisierung nach Ubergang in die Sprache der Mengenlehre

eine F orm el 9i i ergiibe, die ein Massenm eflmodell festlegt. W it schreiben diese

Formeln nicht explizit hin, well sie auf Grund der in ihnen steckenden

mathematischen Teile sehr komp liziert werden.

2 Eine pr~izise Definition der topologischen Begriffe ,,Mannigfaltigkeit und ,,Untermannigfal-

tigkeit findet sich z.B. in [1].


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Klassische Stoflmechanik 29

1. Fall n= 2:

Wegen T1) ist (1) positiv 16sbar gdw es ein ~.


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30 Wolfgang Balzer und Felix Miihlh61zer

D x ist eine KPM gdw3 es P, T, s, m, f gibt, so datg gilt:

(1) x =

.

(2) P ist eine endliche, nichtl eere Menge.

(3) T ist ein Intervall yon IR.

(4) s :PxT-->IR3, und es gibt ein offenes Intervall T' mit T _c T' und eine

im zweiten A rgu men t stetig differenzierbare Abbildun g s ' :PxT' -*IR3

mi t s ' lPxT = s.

(5) m:P--~IR +.

(6) f :P ×T x I N - * I R 3.

(7) Fiir alle pe P un d alle ta T ist ~f (p , t, i) = m(p)D2s(p, t).

ieN

Hierbei ist D2s(p, t) fiir alle t aus dem Innern des Intervalls T gleich der

zweiten Ableitung von s nach dem zweiten Argument und fi ir Randpunkte t

gleich der zweiten A bleitung von s ' nach d em zw eiten Argum ent.

D 8 x ist eine AKPM (,,Klassische Partikelmechanik, in der actio gleich

reactio gilt ) g dw es P, T, s, m, f gibt, so daf~ gilt:

1) x =

.

2) x ist eine KPM.

3) Es gibt eine bijektive, zu sich selbst inverse Abbild ung

q~ PxIN -~ P x IN mit folgen den E igenschaften :

a) fiir alle p, qe P, i, jeIN g ilt: cp (p, i) = (q, j) --> p ~ q ;

b) fiir alle p, q e P, i, jeIN un d t a t gilt: ~ (p, i) = (q , j) --> f(p, t, i) =

-f(q, t, j).

D8.3) ist wie folgt,zu ve rstehe n: Die auf ein beliebiges Teilchen p einw irkende

i-te K raft hat als Que lle ein Teilchen q, un d auf das Teilchen q wir kt eine j-te

Kraft, deren Quelle wiederum das Teilchen p ist. Diese Beziehung zwischen

den Teilchen und den Kr ~t en wird durch die Abbi ldung q~ beschrieben.

Bed ingun g a) besagt, daft kein Teilchen eine Kraft auf sich selbst ausiibt; und

Bedingung b) driickt gerade das aus, was man als , ,actio gleich reactio

bezeichnet. Ansta tt , ,x ist eine AKPM' sagen wir auch ,,x ist ein ModeU von

AKPM ; in Zeichen: , ,xeM(AKPM) .

Analog zum Fall der KSM kann man auch hier potentielle Modelle und

intendierte Anwendungen definieren:

D 9 x ist ein potentiel les Model l yon A K P M (in Zeichen: , ,xeM v (AKP M) )

gdw es P, T, s, m, f gibt, so daft gilt:

1) X---.

2) P ist eine endliche, nichtleere Mange.

3) T ist ein Intervall von IR.

4) s : P x T -- ~ 3, und es gibt ein offenes Intervall T' mit TG T' und eine im

zweiten Argument zweimal stetig differenzierbare Abbildung

s ' :P xT ' - -~ 3 mi t s ' l~T= s.

5) m :P--*~ +.

6) f:Px TxI N-- ~g 3.

Eine intuitive Erl/iuterung des Pr/idikats ,,ist eine K PM , auf die wir hier verzichten, findet

sich z.B. in [3].

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KlassischeStof~mechanik 31

Eine

intendierte Anwendung yon AKPM

ist ein potentielles Modell von

AKPM, das die Physiker tats~ichlich als einen AnwendungsfaU von AKPM im

Auge haben.

Die Beziehung zwischen der ,Basistheorie ' AKPM und der auf AKPM zu

reduzierenden Theorie KSM drfickt man am zweckm/ifigsten durch eine

Relation QcMp(KSM) x M~ (AKPM ) aus. Die folgende Definition ergibt sich

auf Grund der physlkahschen Interpretation der Theonen so gut w,e

zwangsl~iufig:

DIO (x, x')~Q gd w es P, q , t 2, v, m, P' , T, s, m' , f gibt, so daft gilt:

1) x = , x ' - -

und

x~Mp (KSM) und x'~M v (AKP M).

2 ) P = P ' .

3) [q, t2] = T.

4) v = DsIPx{q, t2}

5 ) m = m ' .

Diese Definition zeigt, da f der Nam e ,,Re dukt ion fiir die Beziehung

zwischen K SM und AK PM vielleicht etwas hochgegriffen ist (man vergleiche

etwa dam it das Paradigmaeiner Reduktion: die Beziehung zwischen Thermo -

dyn am ik u nd statistischer Mech anik), m an w~ire eher geneigt zu sagen, daf~ die

KSM in AK PM ,enthalten' ist (wob ei d[eses ,,enth alten noch zu pr~izisieren

w ~e ). Ab er Q besitzt jedenfalls all jene Eigenschaften, die man fiblicherweise

von einer Red uktion sretation erw artet (siehe [3], S. 144ff.). I n fol gend em

Theo rem sind die drei wichtigsten Eigenschaften angegeben.

T (a) AxVx ' (x6Mp (KS M ---> (x, x')6Q).

(b) A xlAx2Ax'((x 1, x')6Q & (x2, x')~Q ----->x I =x2).

(c) AxAx'((x, x')6Q & x'~M (A KPM ) ---'> x~M(K SM)).

(a) drtickt in modelltheoretischer Formulierung aus, daft s~imtliche Grundbe-

griffe von KSM in Grundbegriffe von AKPM ,tiberfiihrt ' werden. (b) driickt

aus, daft KSM nicht ,fundamentaler' ist als AKPM : Zu jedem x'~M~(AKPM),

zu dem es ein x mit (x, x')e~ gibt, gibt es nu t ein solches x; dagegen ~an n es zu

jedem x6Mp(KSM) me hrere x' mit (x, x')eQ geben. Fo rm el (c) schlief lich ist die

inhaltlich wichtigste und besagt, daft die Grundgesetze von KSM aus den

Grundgesetzefi yon AKPM und der Reduktionsrelation herleitbar sind.

Mit Hitfe der Relation Q kann m an n un zumin dest teilweise die Frage

beantworten, wann eine Massenmessung im Rahmen von KSM, die durch ein

Massenmef~modell xeI* repr~isentiert wi rd , tats~ichlich eine Me ssun g d er M asse

der klassischen Partikelmechanik darstellt; n~imlich jedenfalls dann, wenn es

eine intendierte Anwendung x ' von AKPM gibt , so daf gil t : x 'aM(AKPM)

und (x, x')~Q.

vI. THEORETIZIT~,T

Die Frage nach der L~berpriifung der empirischen Behauptung von KSM

fiihrte uns auf Messungen und diese zur Diskussion der Meflmodelle. Mit dem


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Wolfgang Balzer und Felix Miihlh61zer

Begriff des Meflmodells k6nnen wir pr~iziser auf eine Unterscheidung einge-

hen, die zuers t yon Sneed in [2] getro ffen wu rde. Sneed weist dara uf hin, daft es

anscheinend in einer Theo rie T eine G r6 fe - nenn en wir sie , , t - geben kann,

so daft gilt, daft jede M essung yo n t nu r unte r der Vorausse tzung m6glich ist,

daft T schon richtig ist . We nn es solche Gr 6f en gibt, dann daf t man sie mit

Re cht als theoretisch OCiir 7 bezeichnen, denn alle ihre M essungen setzen die

Theorie T voraus, und man kann sie somit nicht ,direkt ' durch Messung zur

Gewinnung von ,Beobachtungss~itzen' heranziehen, die T best~itigen oder

widerlegen k6nnten.

U m diese Idee zu priizisieren, mach en wir zwei Voraussetzungen. Erstens

die Voraussetzung, daft sich jede Messung einer Gr6fe t als Mefmodell

irgendeiner Th eori e beschr eiben l~ift; hierbei w ird jeweils der B egriff , ,Mefl-

modell zur Messung der Gr 6f e t in der Theorie T auf analoge Weise definiert ,

wie wit es f i ir den Fall der KSM vorgefiihrt haben. Zw eitens mac hen wir die

Voraussetzung, daf es eine bestimmte Theorienhierarchie gibt4 mit einer

hierarchischen Or dnu ng , die wie folgt zu verstehen ist: Eine Theorie T1 steht

in der Theorienhierarchie vor de r The orie T2, w en n die T heor ie T2 alle Begriffe

von T 1 benu tzt, w~ihrend T 1 mi t we nige r B egriffen aus kom m t als T 2 (siehe [3],

S.

60 .

Mit Hilfe dieser beiden V oraussetzungen ist das folgende Kriterium fiir T-

Theoretizit~it sinnvoll:

D l l

Eine Gr6fle t einer The orie T h eif t

T-theoretisch

genau dann, wenn

folgendes gilt:

1) Es gibt ein Mef m od ell f i ir t in T.

2) Es g ibt ke ine M efm odel le f i i r t in Theorien T' , d ie in der Theorien-

hierarchie vor T stehen.

D l l ) ist sicher keine ganz ad~iquate Pr~izisierung d er Sneedschen Idee, de nn es

kann ja durc haus Th eor ien T 1 un d T 2 geben, so daft t sow ohl Tl -theo retisc h als

auch T2-theoretisch im Sinne von D l l ) ist, wo bei die Richtigkeit von T 1

unabh~ingig ist von der Richtigk eit yo n T 2 und um gek ehrt . In diesem Fall w~ire

t im Sinne von Sneeds Kriterium

wed er T I- noch

T2-theoretisch. W ir wo llen

jedoch im folgenden diese Schwierigkeit auger aeht lassen un d uns allein auf

die Pr~zisierung D l l ) stf itzen. Die L6sung des Problem s, eine i iberzeugende,

hiebundstichfeste Definition des Begriffs , ,T-theoretisch zu geben, scheint

noch in weiter Ferne zu liegen, und man muff sich bis dahin mit vorl~iufigen

Explikationen zufrieden geben.

We ndet man das K riterium D l l ) auf die Theorie K SM an, so erh~ilt man

folgendes Erge bnis: m ist KS M-th eoretisch, v jedoch nich t. Dies ist viSllig klar,

da es sicher keine in der Theo rienhierarchie vor KSM stehende Theorien gibt,

die etw as i~ber Ma ssenm essung sagen, w~ihrend es natiirlich kinematische

4 Diese Voraussetzung st m6glicherweiseproblematisch.Erstens ist sie ~iufterst age formu-

liert, und zweitens kann man begriindeteZweifel anmelden,ob die Idee einer Hierarchieden

tatsiichlichenBeziehungen,die zwischenTheorienbestehen,gerechtwird. Es spricht sehr viel fiir

die Annahme,daft ein endgiiltiges Kriterium fiir ,,T-theoretisch erst dann angegebenwerden

kann, w enn diese Beziehungenklar gewordensind. Davon ist man jedoch noch weit entfernt.


12/18

Klassische Stof~mechanik 33

,Vortheor ien ' zu KSM gibt , in deren Rahrnen Methoden zur Geschwindig-

keitsmessung - also Geschw indigkeitsmeffmodelle - angebbar sind.

VII. DAS PROBLEM DER THEORETISCHEN TERME UND DIE RAMSEYSCHE

VERSION DER EMPIRISCHEN BEHAUPTUNG

Die Existenz th eoretischer Gr6ffen ~(oder Term e) fi ihrt uns au f das soge-

nannte ,Problem der theore t ischen Terme ' . Dieses Problem tr i t t zum indest

dann imm er auf, we nn e ine Theorie T e inen T-theore t ischen Term t bes i tz t,

und we nn m an auffer T nu r no ch solche Th eorien T' zur Verfiigung hat, die in

der Theorienhierarchie vor T' stehen, d. h. , intuit iv gesprochen, we nn T ,an

vorders ter Fron t ' der wissenschaftl ichen Entw icklung steht. Wir wo llen das

Problem nur am Beispiel yon KSM diskutieren und setzen also im folgenden

voraus, daff wir auffer auf KSM n ur noch auf solche Th eorie n zuriickgreifen

k6nnen, die in der Hierarchie davor stehen

Das Problem tri t t auf, wenn wir fragen, wie man die empirische Behaup-

tung':" I"~_cM best~itigen kan n. Eine Best~itigung be ste ht nati irlic h in de m

Nachw eis, daff einige Elem ente yo n I ~ - n~imlich diejenigen, di e 'm an

untersu cht hat - auch Modelle sind. M an muff dazu f~ir jedes solche xaI ' :

priifen, o b xeM , od er anders, o b gilt: xaI"~----~xeM. Wie kan n ma n dies

iiberpriifen? Die schon in II angedeutete Antwort lautet , daft man zun~ichst

herausfinden m uff, wie x genauer aussieht. D as heifft, ma n m uff die einzelnen

Ko mp one nten yo n x, also P, {q, t2}, v un d m genau ermitteln, was im Fall von

q,t: ,v und m auf deren M essung hinausl~iuft. N un ist aber m K SM-theoretisch

und jede Messung yon m setzt KSM schon voraus. Genauer: Jede Messung

yon m liefert ein Massenmeffmodellun d dieses ist gemiiff D4) scho n ein M odell

von KSM. Jede Messung der Masse m im System x setzt also voraus, daff x

scho n ein Mod ell ist. G era de dies aber, n~imlich o x ein Modell is t, wotlten w ir

ja erst i iberpriifen, indem wir zun~ichst die Komponenten yon x durch

Messung ermitteln wollten, um anschlieffend herauszufind en, ob die K om po-

nente n auch den Impluserhaltungssatz erfii llen. Wir sind som it in einen Zirkel

geraten.

Der Zirkel verl~iuft , nochmals kurz gesagt, wie folgt. Um I"~M zu

best~itigen, muff man fiir xeI* priifen, ob x~M. Um diese Aussage, d.h.

xeI ~--->x~M, zu priifen, muff ma n die K om pon ent en yon x du rch Messun g

bestimm en. Jede M essung der theoretisch en Gr6ffe m setzt aber voraus, daft x

schon ein Modell ist. Urn also xeI'~--->x~M zu priifen, muff man schon

voraussetzen, daft xeM , w odu rch die Priifung gegenstandslos wird.

Dieses P roblem tri t t n icht nu r bei der KSM auf, sondern bei jeder Theorie,

die theoretische Gr6ffen enth~ilt. Der Grund fiir das Problem liegt einfach in

der Definition y on theoretischen Gr6ffen. Wenn jede Messung einer Gr6ffe die

Theorie voraussetzt , dann kann man diese Gr6ffe nicht bei der ,direkten '

Best~itigung der The orie benu tzen. Ma n k ann eine solche Gr6ffe h6chs tens f~ir

theoretische Berechn ungen benutzen, in den en Zusammenh~inge zwischen

,direkt meflbaren ' Gr6ffen aufgestellt werden.

13/18

34 Wolfgang Balzer und Felix Miihlh61zer

Diese f3berlegungen zeigen auch schon, wie man tro tz th eore tischer Terme

zu einer iiberpriifbaren empirischen Behauptung ko mm en kann. M an mug die

Behauptung anders formulieren, niimlich so, daft die theoretischen Terme in

der Behauptung eine andere Rolle spielen. In der empirischen Behauptung* hat

die theoretische G r6g e m genau die gleiche Stellung wie die nicht-theo retische

Gr6ge v. Beide treten als Kom pone nten der Modelle und auch de r intendierten

Anwendungen auf. Beide miissen daher bei f3berprfifung der Behauptung

zuniichst durch Messung bestimmt werden. Da dies aber fiir m nicht m6glich

ist, ohne die ganze Uberprfifung in Frage zu stellen, muft man einfach m an

geeigneter Stelle ,hinauswe rfen'. Die geeigente Stelle ist dabei das Vo rkom me n

in I*, den n z ur Beschreibung der M odelle brauchen wir m auf jeden Fall. W it

wollen deshalb die Funk tion m der intend ierten An we ndu nge n einfach

weglassen und bezeichnen die durch diese Operation aus I* entstehende

Menge, deren Elemente nun Tupel de r Fo rm < P, {q, h} , 1R+, 1R3, v> sind,

mit dem Zeichen ,,I . (Wir werden auch die Elemente aus dieser Menge

,,intendierte An we ndu nge n nennen.) Allerdings wird dann eine empirische

Behauptung der Form , ,I_cM unm6glich, da die Mengen I u n d M aus rein

formalen Grtinde n disjunkt sind.

Die Idee, wie in dieser Situation trotzdem eine empirische Behauptung zu

formulieren sei, geht auf Ramsey zuriick. Er schlug vor, die theoretische

Gr6fte, d. h. in diesem Fall die Gr6ge m, dutch einen Existenzquantor zu

binde n Sit tritt dann einmal nich t m ehr ,ungeschfitzt' auf, d. h. so, daft man sie

durch Messung bestimmen k6 nnte ; zum anderen tritt sie aber doch noch auf,

niimlich in Form einer Variablen,. und kann somit zur Formulierung des

Impulserhaltungssatzes verw end et we rden. D er dutc h Existenzqu antifikation

tiber m entstehende sogenannte Ramsey-Satz hat fiir ein einzelnes System

x = ~I folgende For m:

VX( eM ).

Hi er haben wir nu n, wiede rum aus Grfinden d er Verst~indlichkeit, nicht mehr

m als Variable benutzt, sondern einen neutralen Buchstaben: X. Die obige

Form el drfickt aus, d aft es zu der intendierten A nwe ndun g < P, {q, t2,}

IR+, g3, v> eine Funktion X gibt, so daft, wenn man diese hinzufiigt, die

entstehende Struktur < P, {h, t2}, g + , g3 , v, X > ein Modell ist. U m die

gesamte empirische Behauptung der Theorie in Form eines Ramsey-Satzes

auszudrficken, brau cht ma n .die obige Form el nu r fiber alle Systeme < P,

{q, h}, JR+, IR3, v> eI zu quantifizieren. Die empirische Behauptung lautet

dann:

, ,Zu jedem e I gibt es e in X, so daft gilt: e M.

W ir wo llen diese M odifika tion noc h etwas pr~iziser fassen. Dazu mfissen wir

zun~ichst eine M enge m 6glich er

partieller

Systeme einffihren, in den en m nic ht

auftritt. Diese gew innen wir, inde m wir aus den potentiellen Modellen einfach

die letzte Komponente, die Massenfunktion, weglassen. Die so entstehende

Klasse von Systemen bezeichne wir mit

Mpp

und die Elemente

vo n Mpp

heigen

,,partielle potentielle Modelle .

Die Argum entation von Abschnitt II, nach der

14/18

Klasslsche Stogmechanik 35

I*_cM_ gelten soll, l~iflt sich nu n w ied erh ole n mit I anstelle v on I* u nd Mpp

anstelfe yon Mp. Da hierbei in den Systemen nur die theoretische Gr6fle m

weggelassen w urde , die m an sowieso nicht direkt messen kann, kSnne n wir die

Argumentation yon Abschnitt II i ibernehmen, ohne sie hier zu wiederholen.

Das Resultat lautet, dag I eine Teilmenge von Mpv ist, die wir nicht pr~izise,

sond ern nur ,paradigmatisch'*bestimmen k6n nen .

Wir fassen all dies in einer Definition zusammen , wob ei wir auch den

Begriff de r

Theorie

KSM etwas modifizieren:

D 2

a) Ist Mp gem/ig D2) definiert, so sei

Mpv: = {< P, {tl, t2} ~ + , ]R3, v> IV X

eMp).

b) U nter der Theorie KSM verstehen wir das Quadru pel < M , Mp, Mpp,

I> , wobe i M, Mp und Mvp durch D1), D 2) und D12.a) gegeben sind

und IgMpp ist; Iist der pragrnatische Teil von KSM, wie er oben

expliziert wurde .

c) Die empirische Behauptung yon KSM ist der Satz ,,Zu jedem

e I gibt es ein X, so dag gilt: < P, {q, t2}, ~ + , ~3 , v,

X > e M .

Bei U berpriifung der gem~ig c) definierten empirischen Behauptung tfitt

kein Zirkel me hr auf. Denn um die Aussage ,,xeI--->VX( eM ) zu

fiberpriifen, brau cht die theoretisc he GrSfle m , die uns urspriinglich stSrte,

nicht meh r gemessen zu werden. Sie tritt ja in x gar nicht meh r auf. Un ter den

Daten oder Komponenten, die an einem realen System gemessen werden,

kom mt die theoretische GrSfle nicht m ehr vor. An dieser Stelle hakt d er friiher

beschriebene Zirkel aus.

VIII. RAMSEY-ELIMINIERBARKEIT

Eine vieldiskutierte Frage im Zusam menha ng mit theoretischen Termen ist,

ob denn diese ,,wirklich nStig' sind. Die Analyse konkreter Berechnungen,

Prognosen, Messungen, sowie Ergebnisse aus der Logik (z. B. das Craigsche

Theorem) legen die Vermutung nahe, daft in der Tat theoretische Terme im

Prinzip iiberfliissig sind. Wir wollen im folgenden am Beispiel der KSM

zeigen, was Ramsey-Eliminierbarkeit genau heiflt und daft in der KSM die

Masse in de r Tat Ra mse y-eliminie rbar ist.

Theoretische Gr6gen sind im Prinzip nicht nStig, wenn sie Ramsey-

eliminierbar sind. U nd Ram sey-Eliminierbarkeit bedeutet, dag die Klasse der

zu Modellen erg~inzbaren partiellen potentiellen Modelle auch ohne Zuhilfe-

nahme theoretischer Terme formal beschrieben we rden kann. D enn we nn dies

gelingt, kann man eine Teilklasse M* yon M ohn e theoretische Terme

vp

charakterisieren, die gena u alle zu M odelle n erg~inzbaren partiellen pote ntiel -

len Mo dell enth~ilt. Die emp irische Beha uptung v on D12.c) ist dan n ~iquivalent

mit der Behauptung It_M*, und in dieser komm en keine theoretischen Gr6gen

vor.

Fiir ein genaueres und allgemeineres Verst~indnis fiihren wir de n Begriff des

Reduktes ein. Ein partielles potentielles Modell x' ist das

Redukt

eines

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36


potentiellen Modells x, wenn x' aus x dadurch entsteht, daft der theoretische

Term m in x weggelassen wird. Fiir eine Menge X potentieller Modelle

bezeichne r(X) die Menge aller Redukte yon Modellen, also die Menge aller

partiellen potentiellen Modelle, die aus Modellen durch Weglassung von m

entstehen. Wir sagen, eine Theorie T der Form T= habe

keinen empirischen G ehalt, w enn gilt: r(M )= M.. , d. h. wenn jeafes partielle

potentielle Mod ell R ed ukt eines Modells ist. In ~resem Fall ist die empirische

Behauptung von T logisch wahr, gleichgiiltig, wie die intendierten Anw end un-

gen beschaffen sind. Man braucht dazu nur zu bemerken, daft bei Benutzung

des Reduktbegriffs die empirische Behauptung einfach lautet: Igr(M).

Ram-

sey-Eliminierbarkeit der theoretischen Gr6ge m schliefllich bedeutet, daft es

• ~C °

eme Menge M _Mpp glbt, die ohne Zuhllfenahme theorettscher Terme formal

charakterisiert we rde n ka nn un d fiir die gilt: M :'~ = r(M). Wic htig ist hierbei,

daft M* ohne die theoretische Gr6ge m bestimmt wird. Das heiflt bei KSM,

daft man M* durch ein mengentheoretisches Pr~idikat definieren mug, in dem

m weder vorkommt noch benutzt wird. Wiirden wir uns nur auf die

Forderung des Nicht-Vorkommens von m in der Beschreibung yon M*

festlegen, so w~ire dies ungeniigend, denn m an k6n nte j a m in quantifizierter

Form durch die Hintertiir wieder hineinbringen und benutzen. Man k6nnte

M als r(M)

definieren,

wobei natiirlich m in quantifizierter Form benutzt

wird . D ie F ord erun g, dag m auch nich t ben utzt wi rd, l~igt sich pr~izisieren

durc h die syntaktische F orde rung , d ag nur P, {h, t2) un d v als freie Variable in

der Formel, die M bestimmt, vorkommen und daft nur iiber ,Objekte der

Grundm engen' in dieser Formel quantif iziert wird. Objekte der G rundm en-

gen sind bei der KSM alle Elemente der Mengen P, {h,

t2 ,

]m+ und IR~.

DI3

a) x' ist das Re du kt von x (x'= r(x )) gdw x' =

eM v. und x = ~M p.

1;' t r

b) Fiir cX.GM, sel r(X): = {x 6MppJVx(xEX & x = r(x))).

c) KSM hat fieinen empirischen ~eha tt gdw r(M )= Mpp.

d) m is t Ramsey-eliminierbar in KSM gdw : es gibt eine Form el ~I (a, b, c)

mit genau drei freien Variablen a, b, c, so daft

1) fiir alle P, {h, h ), v: wenn~ I~, b, ~(P, {h, t2}, v), dann 6Mpp;

2) 9.1enth~ilt nur Qu an tor en fiber Elem ente yon P, {h, t2}, F'+ , 1R3;

3) {< P, {h, h }, ~ -+, IR3, v>lgA(P, {tt, h} , v) } = r(M).

Die in d.3) durch ~ definierte Menge wird (und w urde oben) M* genannt.

7 5 a) Wenn KSM keinen empirischen Gehalt hat, so ist die empirische

Behauptung yon KSM logisch wahr.

b) Ist m Ramsey-eliminierbar in KSM, so sind die beiden Aussagen

,,I ~r (M ) un d ,,I_cM* ~iquivalent.

Natiirlich sind die Definitionen yon D13) und die Aussagen von TS) so

gehalten, dag sie sich auf an dere Th eor ien leicht iibertragen lassen. Damit, daft

wir definiert haben, wann KSM keinen empirischen Gehalt hat, ist natiirlich


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Klassische Sto£mechanik 37

noch nicht gesagt, daft KSM keinen empirischen Gehalt hat. In der Tat trifft

dies fiir KSM nicht zu; mit anderen Worten: KSM hat empirischen Gehalt.

Andererseits ist in KSM die Masse Ra msey-elim inierbar:

T6 a) KSM hat empirischen Gehalt.

b) D ie Masse ist Ram sey-elim inierbar in KSM.

IX QUERVERBINDUNGEN

Die KSM in de r bisher vorgestellten Fo rm ist eine ziemlich diirftige Theorie .

Selbst als The orie der Massenmessung ist sie nu r beschr~inkt brauchba r. I m

allgemeinen m6chte man ja auch Massen von Teilchen messen, die sich nicht

zuf~illig in solche n Systemen, wie KSM sie beschreibt, befinden. U m die Masse

solcher Teilchen im Rah me n von K SM zu messen, muff man mit de n Teilchen

experimentieren, d. h. m it ihnen und anderen Teilchen MassenmeffmodeUe yon

KSM konstruieren. Die Behau ptung, man habe dam it die Masse des Teilchens

gemessen, so w ie sie dem Teilchen au ch aufferhalb des Experim entes in a nder en

Situationen z uko mm t, l~ifft sich aber nu r aufrech t erhalten, we nn m an explizit

die Systemunabh~ingigkeit der Masse postuliert. Erst dann hat man auch eine

The orie, in d er die Massenmessung beliebiger Teilchen besch rieben wir d.

,,Systemunabh~ingigkeit besagt, dag ein Tei lchen stets die gleiche Masse

besitzt, gleichgiiltig, in we lchem G esam tsystem es jeweils betrachtet w ird. W ir

wollen KSM um entsprechende Postulate erweitern, wo dur ch eine wesentliche

Versch~irfung des Gehaltes eintritt. Di e form ale K om pon ent e, die aus techni-

schen Griinden hinzugefiigt werden muff, nennen wir , ,Querverbindung ,

well sie eben Querverbindungen zwischen verschiedenen Modellen oder

potentielle n M odelle n beschreibt.

W ir sagen, eine Menge potentM ler M odelle X erfiille die Que rverb indun g

fiir die Masse, wenn in je zwei potentiellen Modellen von X gemeinsam

vorko mm ende Teilchen auch die gleiche Masse haben. Das heigt, daff die

Massenfunktionen, die in beiden Systemen auftreten, fiir solche Teilchen den

gleichen Wert annehmen. D ie Querverbindungen von KSM sind dann gegeben

durch die Menge aller solcher Mengen X, die die soeben beschriebene

Bedingung fiir die Masse erfiillen.

D 4 a) X erfiillt die Querverbindung fiir m gd w X_CMp un d fiir alle x, yeX

und alle p: we nn peP~nPy, dan n m~(p) = m, (p).

b) . . . . ;

ie Querverbmdung Q fiir KSM wlrd defimert durc h Q: = {X I x

erfiillt die Querverbindung fiir m}.

Die emp irische B ehaup tung 15Aft sich d ann so erw eitern , daff die Qu erv erb in-

dung mit e inbezogen wird. Sie lautet:

VX(I = r(X) & X e Q & X_GM).

X PROGNOSEN

Eine wichtige Funk tion empirischer Theo rien ist die Erstellung eindeutiger

Prognos en. Die KSM ist in dieser Hin sich t eine v611ig unbr auc hbar e The orie.


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38


Die einzig denkbaren Prog nosen bet r~e n hier nur die Geschw indigkeiten nach

dem Stoft; diese sind jedo ch, w ie sc hon in I II erw~ihnt, in KSM nicht eindeutig

bestimmbar, und das heiftt eben auch, nicht eindeutig vorhersagbar:

77 Es gibt kein Meftmodell von KSM zur Messung der Geschwindigk eiten

nach dem Stoft.

Wir haben schon weiter vorne darauf hingewiesen, daft die KSM im

Vergleich zu r KPM eine ~iufterst ma gere Theo rie ist. D ieses intu itive Urt eil l~iftt

sich nun in der Weise pr~izisieren, daft man zumindest die folgenden Punkte

anfiihrt, die zeigen, w ori n die gr6ftere St~irke un d Reichhaltigk eit der KP M

besteht: Erstens ist die KSM auf die KPM - genauer: die Spezialisierung

A K P M - reduzierbar, w~ihrend das Umgekehi'te nicht der Fall ist. Zweitens

erlaubt die KSM allein iiberhaupt keine eindeutigen Prognosen; die KPM

dagegen, mit ihren vieten Spezialisierungen, fiihrt zu vielen und ~iufterst

fruchtbaren Prognosen. Letzteres liegt u.a. daran, daft in die KPM viele

Spezialgesetze eingebaut werden k6nnen, die dann ein ganzes Netz von

Beziehungen schaffen. Dies ist jedoch ein Aspekt, auf den in vorliegender

Arbeit nicht m ehr eingegangen werd en soil.

APPENDIX

Be we is ¢. on TI :

, ,=> : Angenommen, es gibt ein u~ IR3 mit der betreffende n Eigenschaft.

Da nn gilt fiir beliebiges v = ~ kiv mit ki>0 (1 0 (l~


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glassische Stoflmechanik 3 9

Es ist klar, daf ~ti~0 ist (l~0. Folglich gibt es ein

J ~ { 1 , . . . , n} mi t J 4= {1 . . . . . n}, so daft ~tj > 0 fCir alle j~J und

i~t jvj= O.

Beweis yon T3 :

(1) ist genau dann eindeutig positiv t6sbar, wenn die Dimension der

Mannigfaltigkeit L, gleich 1 ist: dim L~ = 1. Da I~ eine offene Teilmeng e von

ker~p ist, gi lt: dim L~ = di m k er q~. D. h. :

(1) ist genau dann eindeutig positiv 16sbar, wenn dim ker q~ -- 1 ist. Dies ist

wegen der For me l dim ker q~ + rgq~ = n (Lineare Algebra) genau dan n der

Fall, we nn rg q~ = n - 1 ist. Wegen 0~ r g q ~ 3 und n _>2 folgt die Beha uptun g.

Beweis yon T4 :

(a) und (b) sind trivial.

(c): Au fgr und der Bed ingun g D8.3) heb en sich alle Kr~ifte paarweise auf,

so daft gilt: ~ f(p, t, i) = 0 ffir alle tET.

Wegen D7.7) ist dann a uc h~ m(p)D2s(p, t) = 0, un d es folgt:

p~P

t 2 t 2

0 = J E m(p ) D 2 s(p, t) dt = E m(p) J'D(v(p, t dt =

tj peP peP tl

= E m(p)(v(p, t2 )- v( p , h))-

p~P

Beu, eis yon 7 5 un d T6:

T5 und T6.a) sind trivial. T6.b) ist klar aufgrund yon Satz TI.

Beweis yon T7:

Die Frage ist, ob in der G leic hun g ~ m (p)v(p , tl) = ~ m(p)v (p, t2) die Wer te

peP ~P

• • ~ . °.

v(p, t2) f/.ir alle pe P d urc h die resthc hen Werte em deut lg bestlm mt sere konn en.

Wie ma n sich leicht ~iberlegt, fiihrt dies zur Frage, o b in einer Gleich ung der

F o r m m i v t + m 2 v2 = mlx l+m 2x 2

mi,

vi, x i

E]R,

i=1,2) die Werte von Xl,X

dur ch die restlichen Werte e indeutig bes tim mt sein ki3nnen. Es ist jedoch klar,

daft dies fiir keine Wahl von m l> 0, m2 >0 un d v~, v 2 der Fall ist.

[1] Br6cker, T./J~nich, K. : ,,Einfiihrung in die Differentialtopologie , Berlin-Heidelbe rg-New

York, 1973.

[2] Sneed , J. D. : ,,The Logical Structure o f Mathematical Physics , D ordrecht, 1971.

[3] Stegmiiller, W .: ,,Theorie und Erfahrung , Zweiter Halbband, ,,Theorienstrukturen und

Theoriendynamik , Berlin-Heidelberg-New York, 1973.

[4] Tucker, A. W .: ,,Dual Systems of Homogeneous Linear Relations , Annals of Mathematics

Studies 38 (1956).

Adresse der Autoren :

Dr. Wolfgang Balzer, Dipl. Math. Felix Miihlh61zer, Seminar fiir Philosophie, Lo gik und

Wissensehaftstheorie der Universit~t, Ludwigstrafle 31, D-8000 M~inchen 22.

Documents

Balzer, Mühlhölzer, 1982 - Klassische Stoßmechanik