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Bauhaus-Universität Weimar • Professur Geodäsie und Photogrammetrie Home
Geodätische Berechnungenmit Beispielen
HorizontalrichtungsmessungZenitwinkelmessungGeometrisches NivellementErste geodätische GrundaufgabeZweite geodätische GrundaufgabePolares AnhängenKleinpunktberechnungVorwärtsschnittPolygonzugFlächenberechnung aus KoordinatenStandardabweichung
Durch Anklicken gelangt man direkt zu der jeweiligen Aufgabe,Rückkehr mit HOME-Taste unten rechts.
Fortfahren in Präsentation mit linken Mausklick
Bauhaus-Universität Weimar • Professur Geodäsie und Photogrammetrie Home
Richtungsmessung Seite: ...............
Datum: Instr: Nr.: Beobachter: Protokolleur:
Horizontalrichtungsmessung
red. Ablesung I red. Ablesung II Satzmittel
Zenitwinkelmessung
Standpunkt Zielpunkt
AblesungLage I
AblesungLage II
I + II vz =400 - (I + II)
2z = I + vz
Mittel ausallen
MessungenBemerkungen
1 2 3 4 5 6 7 8
Horizontalrichtungsmessung mit Theodolit
2 610
102 140258 312345 486
302 14258 306
145 482
202 604358 779
45 953
0 000156 168243 343
0 000156 172243 346
0 000156 164243 340
0 000 0 000156 175243 349
0 000156 170243 349
0 000156 169243 346
Stp. 1Ziel 11Ziel 12Ziel 13
Ziel 11Ziel 12Ziel 13
=1113 282
=1113 266
2226 548
2 x 2 x 399 515= 1598 060
+ 3 x 609 496= 3426 548
Summenproben für Horizontalrichtungsmessung mit n = Anzahl der Ziele, s = Anzahl der Sätze: Lage I + Lage II = 2 ∙ Satzmittel + n ∙ (Nullrichtungen Lage I + II) oder Lage I + Lage II = 2 ∙ s ∙ Gesamtmittel + n ∙ (Nullrichtungen Lage I + II)
Horizontal-
0,00
0 go
n
245 959158 775 156 165
243 3491
11
1213
Bauhaus-Universität Weimar • Professur Geodäsie und Photogrammetrie Home
Richtungsmessung Seite: ...............
Datum: Instr: Nr.: Beobachter: Protokolleur:
Horizontalrichtungsmessung
red. Ablesung I red. Ablesung II Satzmittel
Zenitwinkelmessung
Standpunkt Zielpunkt
AblesungLage I
AblesungLage II
I + II vz =400 - (I + II)
2z = I + vz
Mittel ausallen
MessungenBemerkungen
1 2 3 4 5 6 7 8
Zenitwinkelmessungen mit Theodolit
92 360 307 648
92 358400 010 -0 005
400 008 -0 004 92 356 92 357105 778
Stp. 1Ziel 1Ziel 2
Ziel 1Ziel 2
Zenitwinkel-
105 786 294 228
Summenproben für Zenitwinkelmessungen mit n = Anzahl der Ziele, s = Anzahl der Sätze: s ∙ Zenitwinkel Spalte 7 = {n ∙ s ∙ 400 + Lage I - Lage II} / 2
=198 135
x 2 =396 270
=396 270
400 012 -0 006 105 777
400 014 -0 007 105 779
Probe für z:z = ((400 + I) - II)/2
105 783 294 229
92 363 307 647
2 x 2 x 400 = 1600 000+ 396 292
- 1203 752= 792 540
=396 292
=1203 752
: 2 = 396,270
Bauhaus-Universität Weimar • Professur Geodäsie und Photogrammetrie Home
Geometrisches Nivellement
Nivellement Seite: ...............
Datum: Beobachter: Datum: Rechner: Datum: Prüfer:
Instr.: Nr.: Punkt
Ablesung
r z v
Höhen-unter-schied
h
Höheüber
Nr. Lagebeschreibung
Bemerkungen
1 2 3 4 5 6 7
NHN
199 217 HP 59 Marienstraße 9 MB1 6280 416 WP 11 9570 816 WP21 534
1 2431 5860 7971 832
38 Kanaldeckel39 Bürgersteig40 OK Fußboden41 Kanaldeckel
0 996 M 2 Mauerbolzen2 2151 441 WP 31 5391 876 WP 41 113
HSoll = HE - HA = 2 680
r =9 986
v =7 303
HIst = r - v = 2 683 w = HSoll - HIst = -0 003
1 758 HP 76 Ackerwand 23 MB201 897
+1 212+1 140+0 291-0 343+0 789-1 035+0 836+0 773-0 337-0 646
h =+2 680
200 429201 569201 860201 517202 306201 271202 107202 880202 543
fzul = ± 15 mm · s[s in km]
-1
-1
-1
HP 59
WP 1
WP 2
M 2
WP 3
WP 4
38
3940
41
HP 76
Kontrolle!
Bauhaus-Universität Weimar • Professur Geodäsie und Photogrammetrie Home
Erste geodätische Grundaufgabe
t1,2
x
yy1
x2
x1
y2
yx s
Berechnung der Koordinaten eines Neupunktesaus Richtungswinkel und Strecke
Gegeben: x1, y1, t1,2, s
Gesucht: x2, y2
x = s · cos t1,2 y = s · sin t1,2
x2 = x1 + x y2 = y1 + y
P1
P2
Bauhaus-Universität Weimar • Professur Geodäsie und Photogrammetrie Home
Beispiel zur ersten geodätischen Grundaufgabe
t1,2
x
yy1
x2
x1
y2
y
xs
Berechnung der Koordinaten eines Neupunktesaus Richtungswinkel und Strecke
Gegeben: x1 = 28.234,72 m
y1 = 15.536,42 m
t1,2 = 140,300 gon
s = 47,45 m
Gesucht: x2, y2
1. Berechnung der Koordinatenunterschiede
x = s · cos t1,2 = 47,45 m · (-0,59159) = -28,07 m
y = s · sin t1,2 = 47,45 m · (-0,80624) = +38,26 m
2. Berechnung der Neupunktkoordinaten
x2 = x1 + x = 28.234,72 m - 28,07 m = 28.206,65 m
y2 = y1 + y = 15.536,42 m + 38,26 m = 15.574,68 m
P2
P1
Bauhaus-Universität Weimar • Professur Geodäsie und Photogrammetrie Home
x = x2 - x1 y = y2 - y1
Zweite geodätische Grundaufgabe
xyt
arctan2,1
t1,2
t2,1
x
yy1
x2
x1
y2
yx s
Berechnung von Richtungswinkel und Streckeaus Koordinaten zweier Punkte
Gegeben: x1, y1, x2, y2
Gesucht: t1,2, s
t2,1 = t1,2 + 200 gon
Quadrant y x Richtungswinkel t
I + + = arctan (y/x)II + - = arctan (y/x) + 200 gonIII - - = arctan (y/x) + 200 gonIV - + = arctan (y/x) + 400 gon
IV I
III II
22 yxs P1
P2
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Beispiel zur zweiten geodätischen Grundaufgabe
t1,2
x
yy1
x2
x1
y2
yx s
Berechnung von Richtungswinkel und Streckeaus Koordinaten zweier Punkte
Gegeben: x1 = 18.783,61 m
y1 = 27.617,34 m
x2 = 18.748,93 m
y2 = 27.581,23 m
Gesucht: t1,2 , sP2
P1
1. Berechnung der Koordinatenunterschiedex = x2 - x1 = 18.748,93 m - 18.783,61 m = -34,68 m
y = y2 - y1 = 27.581,23 m - 27.617,34 m = -36,11 m
2. Berechnung des Richtungswinkelsx < 0, y < 0 Richtungswinkel liegt in Quadrant III
= arctan (1,04123) + 200 gon = 251,286 gon
3. Berechnung der Strecke
= 50,07 m
xyt
arctan2,1
myxs 2222 11,3668,34
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1. Berechnung des Richtungswinkels tS,A ( 2. Grundaufgabe)
xS,A = xA - xS yS,A = yA - yS
AS,
AS,AS, arctan
x
yt
tS,Nx
SN
ySN
xS
A
ySA
tS,A
Polares Anhängen
Berechnung der Koordinaten eines Neupunktesaus gemessenem Horizontalwinkel und Strecke
Gegeben: xS, yS, xA, yA , ß, sS,N
Gesucht: xN, yN
x
y
ß
sS,N
AN
S
2. Berechnung des Richtungswinkels tS,N
tS,N = tS,A + ß
3. Berechnung der Neupunktkordinaten ( 1. Grundaufgabe)xS,N = sS,N · cos tS,N yS,N = sS,N · sin tS,N
xN = xS + xS,N yN = yS + yS,N
Bauhaus-Universität Weimar • Professur Geodäsie und Photogrammetrie Home
t A,N
yAN
x
ANs AN
ßt A,E
+x
yAE
xA
E
+y
Kleinpunktberechnung
Berechnung der Koordinaten eines Neupunktes xN, yN aus einer OrthogonalaufnahmeGegeben: Koordinaten xA, yA, xE, yE. Gemessen: eA, eE, eN, hN
5. Berechnung des Richtungswinkels tS,N
tA,N = tA,N + ß
6. Berechnung der Neupunktkordinaten ( 1. Grundaufgabe)xA,N = sA,N · cos tA,N yA,N = sA,N · sin tA,N
xN = xA + xA,N yN = yA + yA,N
1. Berechnung von Richtungswinkel tA,E und Strecke sA,E Soll
xA,E = xE - xA yA,E = yE - yE
tA,E = arctan sA,E Soll = xA,E² + yA,E² yA,E
xA,E
2. Gemessene Länge der Messungslinie und Abweichung dsA,E Ist = eE - eA d = sA,E Soll - sA,E Ist
4. Örtliche Polarkoordinaten ß, sA,N
ß = arctan sA,N = q · (eN - eA) ² + hN² hN
eN - eA
3. Maßstabsverhältnis qq = sA,E Soll / sA,E Ist
A
E
N
+h
+e
eE
eN
eA
hE
Bauhaus-Universität Weimar • Professur Geodäsie und Photogrammetrie Home
Beispiel zur Kleinpunktberechnung (1)
Gegeben: P1: x1 = 12.573,82 m; y1 = 23.416,90 m
P2: x2 = 12.598,92 m; y2 = 23.401,77 m
2. Gemessene Länge der Messungslinie S 1,2 Ist
und Abweichung d
s1,2 Ist = e2 - e1 = 34,69 m - 5,32 m = 29,37 m
d = s1,2 Soll - s1,2 Ist = 29,31 m - 29,37 m = -0,06 m
3. Maßstabsverhältnis q
q = s1,2 Soll / s1,2 Ist = 29,31 m / 29,37 m = 0,99796
1. Berechnung von Richtungswinkel und Strecke 1/2
x1,2 = x2 - x1 = 25,10 m
y1,2 = y2 - y1 = -15,13 m
gon365,4651,2
1,21,2 arctan
Δx
Δyt
m29,31 21,2
21,2Soll1,2 ΔΔ yxs
1
2
5,32
16,80
6,38
102
34,69
24,46101
t1,2
|| +x
Bauhaus-Universität Weimar • Professur Geodäsie und Photogrammetrie Home
ßs1,102
Beispiel zur Kleinpunktberechnung (2)
5. Berechnung des Richtungswinkels t1,102
t1,102 = t1,2 + ß102 = 365,465 gon - 32,292 gon = 333,173 gon
6. Berechnung der Neupunktkordinaten (1. Grundaufg.)
x1,102 = s1,102 · cos t1,102 = 6,52 m
y1,102 = s1,102 · sin t1,102 = -11,37 m
x102 = x1 + x1,102 = 12.580,34 m
y102 = y1 + y1,102 = 23.405,53 m
4. Örtliche Polarkoordinaten ß102, s1,102
h
ße - e
102102
102 1
-6,38 marctan16,80 m - 5,32 m
32,292 gon
s q e e h2 21,102 102 1 102
( ) 0,99796 13,13 m 13,11m
1
2
5,32
16,80
6,38
102
34,69
24,46101
Koordinaten von Punkt 102
t1,2
|| +x
t 1,102
Bauhaus-Universität Weimar • Professur Geodäsie und Photogrammetrie Home
Vorwärtsschnitt
A B
NBestimmung der Koordinaten unzugänglicher Punktedurch Horizontalrichtungsmessungen von zwei Standpunkten
b
gegeben: Koordinaten der Standpunkte A, B
gemessen: Horizontalwinkel Basislänge b (oder aus Koordinaten)
s A,N
sB,N
3. Strecken von den Standpunkten zum Neupunkt nach Sinussatz:
sin)(sinNA,
bs
sin
)(sinNB,
b
s
4. Neupunktkoordinaten durch polares Anhängen
2. Richtungswinkel von den Standpunkten zum NeupunkttA,N = tA,B – tB,N = tB,A +
1. Richtungswinkel tA,B und Strecke b zwischen Standpunkten (2.te Grundaufgabe)
Bauhaus-Universität Weimar • Professur Geodäsie und Photogrammetrie Home
Prinzip Polygonzugberechnung
1. Richtungswinkel tA‘,A und tE,E‘ aus Koordinaten (2.te Grundaufgabe)
2. Richtungswinkel tA,A‘ = tA‘,A + 200 gon (-400 gon, falls > 400 gon)
3. Richtungswinkel tA,1 = tA,A‘ + ßA
tA,1 = tA‘,A + 200 gon + ßA (-400 gon, falls > 400 gon)
4. Koordinaten von Punkt 1 durch polares Anhängen (1.te Grundaufgabe)xA,1 = sA,1 · cos tA,1 yA,1 = sA,1 · sin tA,1
x1 = xA + xA,1 y1 = yA + yA,1
5. Folgende Punkte 2, 3, ..., n (und E) entsprechend Schritt 3 und 4
6. Winkelabschluss tE,E‘ (berechnet) = tE,E‘ (aus Koordinaten)?
Koordinatenabschluss xE (berechnet) = xE?, yE (berechnet) = yE?
+ vß
+ vxi + vyi
Winkelfehler verteilen
Koordinatenfehler verteilen
s2,Es1,2sA,1
ßA
ß1 ß2
ßE
A‘
1 2E
E‘A
tA‘,A
|| +x
tA,A‘
tE,E‘
tA,1
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Beispiel Polygonzugberechnung
A
E
E‘
A‘
1
2s2,E
s1,2
s A,1
ßA
ß1
ß2
ßE
|| +x
tA‘,A
Gegeben:xA‘ = 57224,12 m yA‘ = 14214,72 m
xA = 56428,31 m yA = 14296,48 m
xE = 55967,21 m yE = 14420,70 m
xE‘ = 55824,72 m yE‘ = 14581,21 mGemessen:ßA = 220,713 gon sA,1 = 177,06 m
ß1 = 180,308 gon s1,2 = 164,65 m
ß2 = 149,730 gon s2,E = 194,49 m
ßE = 201,961 gon
Gesucht:Koordinaten der Neupunkte 1 und 2
|| +x
tE,E
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Polygonpunkte Seite: ...............
Datum: Rechner: Datum: Prüfer: System:
Punkt
x; yt; sß
entn.
Richtungswinkelt
Brechungswinkelß
Streckes
2ssin(t+50gon)
x + y
x = s cos t
Hochwertx
y = s sin t
Rechtswerty
Punkt
1 2 3 4 5 6 7 8
Beispiel Polygonzugberechnung
A‘
A
1
2
E
E‘
57 224,12 14 214,72
56 428,31 14 296,48
55 967,21 14 420,70
55 824,72 14 581,21
A‘
A
1
2
E
E‘
220,713
180,308
149,730
201,961
177,06
164,65
194,49
- 795,81 + 81,76t A‘,A 193,482
- 142,49 + 160,51tE,E‘ 146,218
t E,E‘ Ist = t A‘,A + ßi + n · 200 gon
= 146,194fß = tE,E‘ Ist - tE,E‘ Soll
= -0,024
+6
+6
+6
+6
214,201
194,515
144,251
- 172,67 - 39,17
- 164,04 + 14,17
- 124,56 + 149,37
fx = x - (xE - xA) fy = y - (yE - yA)
= -0,17 = +0,15
s =536,20
+6 -5
+5 -5
+6 -5
56 255,70 14 257,26
56 091,71 14 271,38
1. Punktbezeichnungen eintragen2. Koordinaten x, y der An- und Abschlusspunkte eintragen3. Gemessene Winkel ß und Strecken s eintragen6. Winkelabschlußfehler fß = tE,E‘ Ist - tE,E‘ Soll berechnen7. Winkelabschlussfehler gleichmäßig verteilen8. Richtungswinkel t berechnen9. Koordinatenunterschiede x = s · cos t, y = s ·sin t berechnen10. Koordinatenabschlussfehler fx = xIst - xSoll , fy = yIst - ySoll berechnen11. Koordinatenabschlussfehler streckenproportional verteilen12. Koordinaten x, y berechnen4. Anschlussrichtung tA‘A = arctan y/x berechnen5 . Abschlussrichtung tE,E‘ = arctan y/x berechnen (2. Grundaufgabe)
Winkel- u. Koordinatenabschlussfehler auf Zuverlässigkeit prüfen!
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Flächenberechnung
y1
y4
y2
y5
y3
1
2
3
4
5
x1
x4
x2
x3
x5
x
y
Flächenberechnung aus Trapezen:
2 · F1 = (x1 – x2) · (y1 + y2)
+ 2 · F2 = (x2 – x3) · (y2 + y3)
+ 2 · F3 = (x3 – x4) · (y3 + y4)
+ 2 · F4 = (x4 – x5) · (y4 + y5) negativ
+ 2 · F5 = (x5 – x1) · (y5 + y1) negativ
)()(2 11
1
ii
n
iii yyxxF
Gaußsche Trapezformel:
mit Punkt n + 1 = Punkt 1
)(2 111
ii
n
ii yyxF
Gaußsche Dreiecksformeln:
)(2 111
ii
n
ii xxyF
Bauhaus-Universität Weimar • Professur Geodäsie und Photogrammetrie Home
yi+1 - yi-1 xi (yi+1 - yi-1)
[m] [m²]
28,79 1.091,72-33,17 -400,69-33,38 -172,57
0,08 1,4037,68 1.224,60
2 F = 1.744,45
F = 872,2 m²
Pkt.-Nr. xi yi
[m] [m]
5 32,50 -14,751 37,92 18,342 12,08 14,043 5,17 -14,834 17,54 -19,345 32,50 -14,751 37,92 18,34
Beispiel Flächenberechnung aus Koordinaten
14,75
18,3437,92
32,50
17,54
14,04
5,1714,83
19,34
12,08
+x
+y
1
2
3
5
4
Bauhaus-Universität Weimar • Professur Geodäsie und Photogrammetrie Home
Standardabweichung
MesswertNr. xi [m]
1 15,1232 15,1283 15,1254 15,1205 15,1296 15,1247 15,1268 15,121
xi = 120,996
Eine Strecke wurde 8 mal unabhängig elektro-optisch gemessen:
Quadratsummevx² [mm²]
2,2512,25
0,2520,2520,25
0,252,25
12,25
vx² = 70,00
Anzahl der Messwerte: n = 8
Arithmetisches Mittel:
m15,1245 nx
x i
Empirische Standardabweichung der Einzelmessung:
xx
vs
n
2
3,2 mm1
Empirische Standardabweichung des Gesamtmittels:
xx
ss
n1,1mm
Verbesserungenvx = xi - x [mm]
-1,53,50,5
-4,54,5
-0,51,5
-3,5
vx = 0,0