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Baustatik 2 (Modul 3121)
Veranstaltungen Sommersemester 2018
Vorlesung: Di 08:15 – 09:45 Uhr, R. 1.115 Beginn: 11.04.2018 Hörsaalübung: Do 14:15 – 15:45 Uhr, R. 1.017 Beginn: 12.04.2018
Ansprechpartner: Prof. Dr.-Ing. Andreas Falk
Sprechstunde Do. 10:00 – 11:30 Uhr, R. 1.110 Tel.: 05231 / 769 6049 email: [email protected] Internet: www.hs.owl.de/fb3/labore/tm0.html
Baustatik 2 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 2
Literaturangaben
[1] Bletzinger, K.-U. et. al.: Aufgabensammlung zur Baustatik. Übungsaufgaben zur Berechnung ebener Stabtragwerke. 1. Auflage, 2015, Hanser Fachbuchverlag.
XBK 292
[2] Dallmann, R.: Baustatik 1 - Berechnung statisch bestimmter Tragwerke. 5. Auflage, 2015, Hanser Fachbuchverlag.
XBK 266
[3] Dallmann, R.: Baustatik 2 - Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke. 4. Auflage, 2015, Hanser Fachbuchverlag.
XBK 266
[4] Dinkler, D.: Grundlagen der Baustatik - Modelle und Berechnungsmethoden für ebene Stabtragwerke. 4. Auflage, 2016, Springer Vieweg.
XBK 278
[5] Friedrich, M.: Das Kraft- und Weggrößenverfahren in Beispielen. 1. Auflage, 2013, Springer Vieweg.
Campus-zugriff
[6] Hirschfeld, K.: Baustatik - Theorie und Beispiele; 4. Aufl. 1998, Springer-Verlag.
XBK 186
[7] Holschemacher, K. (Hrsg.): Entwurfs- und Berechnungstafeln für Bauingenieure. 7. Auflage 2015, Bauwerk Verlag.
WSN 142
[8] Horschig, R.; Spitzer, P.: Statik im Bauwesen, Bd. 5, Aufgaben und Lösungen. 2. Auflage 2011, Beuth-Verlag.
XBK 128
[9] Kirsch, W.: Statik im Bauwesen, Bd. 1, Statisch bestimmte Systeme; 22. Auflage 2011, Beuth-Verlag.
XBK 128
[10] Kirsch, W.: Statik im Bauwesen, Bd. 2, Festigkeitslehre; 19. Auflage 2012, Beuth-Verlag.
XBK 128
[11] Kirsch, W.: Statik im Bauwesen, Bd. 3, Statisch unbestimmte Systeme; 14. Auflage 2012, Beuth-Verlag.
XBK 128
[12] Krätzig, W.; Harte, R.; Meskouris, K.; Wittek, U.: Tragwerke 1 – Theorie und Berechnungsmethoden statisch bestimmter Tragwerke. 5. Auflage 2014, Springer-Verlag.
XBN 174
[13] Krätzig, W.: Tragwerke 2 - Theorie und Berechnungsmethoden statisch unbestimmter Tragwerke; 4. Auflage 2004, Springer-Verlag.
XBN 174
[14] Krätzig, W.; Basar, Y.: Tragwerke 3 - Theorie und Anwendung der Methode der Finiten Elemente; 1. Auflage, 1997, Springer-Verlag.
XBN 174
[15] Meskouris, K.; Hake, E.: Statik der Stabtragwerke - Einführung in die Tragwerkslehre; 2. Auflage 2009, Springer-Verlag.
XBK 204
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02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 3
[16] Lohmeyer, G.C.O.; Baar, S. : Baustatik 1, Grundlagen; 12. Auflage 2015, Vieweg + Teubner.
XBK 110
[17] Lohmeyer, G.C.O, Baar, S. : Baustatik 2, Bemessung und Festigkeitslehre; 12. Auflage 2014, Vieweg + Teubner.
XBK 110
[18] Petersen, C., Gebbeken, N.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen; 3. Auflage 2002, Vieweg + Teubner.
XBK 129
[19] Schatz, D.: Klausurtraining Statik, 2. Aufl. 2003, Vieweg +Teubner XBK 208
[20] Schneider, K.-J. (Hrsg.): Bautabellen für Ingenieure; 22. Auflage 2016, Werner-Verlag.
WSN 106
[21] Schneider, K.-J.; Schmidt-Gönner, F.: Baustatik Zahlenbeispiele – Statische bestimmte Systeme. 3. Auflage 2009. Bauwerk Verlag.
XBK 256
[22] Schneider, K.-J.; Schweda, E.: Baustatik – Beispielsammlung. 1999, Werner-Verlag.
XBK 122
[23] Schneider, K.-J.; Schweda, E.: Baustatik – Statisch bestimmte Systeme. 5. überarbeitete Auflage 1999, Werner-Verlag.
XBK 122
[25] Schneider, K.-J.; Schweda, E Seeßelberg, C.; Hausser, C.: Baustatik kompakt. 6. überarbeitete Auflage 2007, Bauwerk-Verlag.
XBK 122
[24] Schweda, E.; Krings, W.: Baustatik – Festigkeitslehre. 3. überarbeitete Auflage 2000, Werner-Verlag.
XBK 117
[26] Werkle, H.: Finite Elemente in der Baustatik - Statik und Dynamik der Stab- und Flächentragwerke. 3. Aufl. 2008, Vieweg + Teubner.
XBK 198
[27] Wetzell, O.W. (Hrsg).: Wendehorst –Beispiele aus der Baupraxis. 5. Aufl. 2015, Teubner Verlag.
WSN 145
[28] Wetzell, O.W. ; Krings, W.: Technische Mechanik für Bauingenieure 3 – Verformungen und statisch unbestimmte Systeme. 2. Auflage, 2011. Vieweg + Teubner.
WSN 145
[29] Widjaja E.: Baustatik – einfach und anschaulich. 4. Aufl. 2013, Bauwerk Verlag.
XBK 262
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Internet-Hinweise
www.structurae.de (Fast alle großen Bauwerke der Welt)
www.brueckenweb.de (Für Brückenfans)
www.brueckenbau-links.de (Links für Brückenfans)
Hochschulen (Auswahl)
www.ibnm.uni-hannover.de (Institut für Baumechanik u. Numerische Mechanik)
www.isd.uni-hannover.de (Institut für Statik und Dynamik, Uni Hannover)
www.infam.tu-bs.de (Institut für Angewandte Mechanik, TU Braunschweig)
www.statik.tu-bs.de (Institut für Statik, TU Braunschweig)
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Inhalt 1 ALLGEMEINES ZUR BERECHNUNG STATISCH UNBESTIMMTER STABWERKSYSTEME 11
1.1 Grundlegende Annahmen für Theorie 1. Ordnung 11 1.2 Grundgleichungen der Elastostatik 12
1.3 Methoden der Stabstatik 13
1.4 Statisch bestimmte Systeme - Statisch unbestimmte Systeme 14
2 ELASTISCHE FORMÄNDERUNGEN IN DER LINEAREN STABSTATIK 19
2.1 Kleine Übersicht: Kraftgrößen – Weggrößen 19
2.2 Schnittgrößen und Spannungen 20
2.3 Grundlegende Zusammenhänge 21
2.4 Verformungen infolge Normalkraft 22
2.5 Verformungen infolge Biegemoment 24
2.5.1 Grundlegende Annahmen und Zusammenhänge 24
2.5.2 Zusammenhang zwischen Biegemoment, Spannungen und Krümmung 25
2.6 Verformungen infolge Querkraft 26
2.7 Zusammenfassung: Verformungen infolge M, N, V 27
2.8 Verformungen infolge gleichmäßiger Temperaturänderung T 28
2.9 Verformungen infolge veränderlicher Temperatur ∆T 28 2.10 Verformungen infolge Schwinden 28
2.11 Verformungen infolge Kriechen 28
2.12 Zusammenfassung: Formänderungsgrößen bei Stabtragwerken 29
3 MECHANISCHE ARBEIT UND FORMÄNDERUNGSENERGIE 30
3.1 Einführung 30
3.2 Annahmen und Voraussetzungen 31 3.3 Äußere Arbeit 32
3.3.1 Begriffe, Definitionen 32
3.3.2 Eigenarbeit - Fremdarbeit 33
3.4 Innere Arbeit – Formänderungsenergie 34
3.4.1 Spezifische Formänderungsenergie 34
3.4.2 Formänderungsenergie bei Normalspannungen 35
3.4.3 Formänderungsenergie bei Schubspannungen 36
3.4.4 Formänderungsenergie bei zentrischer Normalkraft 37
3.4.5 Formänderungsenergie bei Biegemoment My 38
3.4.6 Formänderungsenergie bei Querkraft Vz 39
3.4.7 Formänderungsenergie pro Längeneinheit in verschiedenen Schreibweisen 40
4 ARBEITSPRINZIPE, ARBEITSSÄTZE 41
4.1 Das Prinzip der virtuellen Arbeiten (PdvA) 41
4.1.1 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen (PdvV) 41
4.1.2 Das Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK) 42
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4.2 Verschiebungsberechnungen mit Hilfe der Integraltafeln 43
4.2.1 Beispiel 1: Kragträger unter Einzellast 45
4.2.2 Beispiel 2: Balken auf zwei Stützen unter Einzellast 45
4.2.3 Beispiel 3: Balken auf zwei Stützen unter Streckenlast 45
4.2.4 Beispiel 4: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm 45
4.2.5 Beispiel 5: Holzbalken 45
4.2.6 Beispiel 6: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm 46
4.2.7 Beispiel 7: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm und Stützensenkung 47
4.2.8 Beispiel 8: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm und Feder 47
4.2.9 Beispiel 9: Verformungsberechnung mit Normalkrafteinfluss 48
4.2.10 Beispiel 10: Klausuraufgabe 49
4.3 Zwängungslastfälle 50
4.3.1 Allgemeines 50
4.3.2 Beispiel 11: Verformungsberechnung für den Lastfall „Erwärmung“ 51
4.3.3 Beispiel 12: Verformungsberechnung für den Lastfall ∆T 52
4.3.4 Einfluss von Stützensenkungen bei der Verformungsberechnung 53
4.3.5 Beispiel 13: Dreigelenkrahmen 54
4.4 Einfluss von Federungen bei der Verformungsberechnung 58
4.4.1 Allgemeines 58
4.4.2 Dehnfedern 58
4.4.3 Beispiele für Dehnfedern 59
4.4.4 Reihenschaltung und Parallelschaltung von Dehnfedern 62
4.4.5 Drehfedern 63
4.4.6 Berücksichtigung von Federungen im Arbeitssatz 64
4.5 Gesamtverschiebung 66
4.6 Beispiele mit Federungen und Stützensenkungen 67
4.6.1 Beispiel 14 67
4.6.2 Beispiel 15 68
4.6.3 Beispiel 16 - Gelenkträger 69
4.6.4 Zusammenfassendes Beispiel 17 70
4.6.5 Beispiel 18 - Dreigelenkrahmen 2 73
4.7 Grundaufgaben der Verformungsberechnung 74
5 DAS KRAFTGRÖßENVERFAHREN 75
5.1 Idee des Kraftgrößenverfahrens 75
5.2 Vorgehen 76
5.3 Verformungsberechnung an statisch unbestimmten Systemen - Der Reduktionssatz 80
5.4 Beispiele für einfach statisch unbestimmte Systeme 81
5.4.1 Beispiel 1 81
5.4.2 Beispiel 2 82
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5.4.3 Beispiel 3 83
5.5 Berücksichtigung von Temperatureinflüssen, Schwinden, Auflagerverformungen und Federn 84
5.5.1 Temperatureinfluss 84
5.5.2 Gleichmäßige Temperatur Ts 85
5.5.3 Veränderliche Temperaturverteilung ∆T über den Querschnitt 85
5.5.4 Schwinden 86
5.5.5 Vorgegebene Auflagerverformungen 86
5.5.6 Endgültige Zustandsgrößen bei Zwängungslastfällen 86
5.5.7 Federungen 87
5.5.8 Beispiel 4 (Zwängungslastfälle am einfach unbestimmten System) 88
5.5.9 Beispiel 5 (Anwendung des Reduktionssatzes) 90
5.5.10 Beispiel 6 - Zweigelenkrahmen 93
5.6 Mehrfach statisch unbestimmte Systeme 94
5.6.1 Einführendes Beispiel 94
5.6.2 Gleichungssystem und -lösung 95
5.6.3 Zur Wahl des statisch bestimmten Hauptsystems 98
5.6.4 Beispiel 7 - Dreifeldträger 100
5.6.5 Beispiel 8 (mit Federungen) 101
5.6.6 Beispiel 9 105
5.7 Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften 106
5.7.1 Eigenschaften von Zustandslinien bei symmetrischer und antimetrischer Belastung 106
5.7.2 Belastungsumordnung 107
5.7.3 Beispiel 10 - Klausuraufgabe 108
5.7.4 Beispiel 11 - Klausuraufgabe 2 111
5.8 Computerunterstützte Berechnung von Stabtragwerken 114
5.8.1 Verbreitete Stabwerksprogramme (Auswahl) 114
5.8.2 Kurzer Vergleich 115
5.8.3 Eingabe von Temperaturlastfällen 115
5.9 Rahmentragwerke 116
5.9.1 Innerliche und äußerliche statische Unbestimmtheit 116
5.9.2 Beispiel 12 117
5.9.3 Beispiel 13 - Rahmen mit unterschiedlichen Steifigkeiten 119
5.9.4 Beispiel 14 mit Rahmenformel und Reduktionssatz 121
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Abbildungsverzeichnis Bild 1-1: Tragverhalten bei Gleichstreckenlast: Einfeldträger - Zweifeldträger 14 Bild 1-2: Tragverhalten bei Zwängungslastfällen: Einfeldträger - Zweifeldträger 15 Bild 1-3: Tragverhalten bei Gleichstreckenlast Dreigelenkrahmen – Zweigelenkrahmen 16 Bild 1-4: Tragverhalten bei Zwängungslastfällen Dreigelenkrahmen – Zweigelenkrahmen 17 Bild 2-1: Normalspannungen infolge Biegemoment 20 Bild 2-2: Schubspannungen infolge Querkraft 20 Bild 2-3: Zusammenhang zwischen Kraftgrößen und Weggrößen 21 Bild 2-4: Gleichgewicht in Stablängsrichtung 22 Bild 2-5: Längsverformungen 22 Bild 2-6: Längsdehnungen 22 Bild 2-7: Normalkraft - Normalspannungen 23 Bild 2-8: Kinematik bei Biegung 25 Bild 2-9: Zusammenfassende Darstellung zu Formänderungen infolge N, M, V 27 Bild 2-10: Verformungen infolge Temperaturgradient über den Querschnitt 28 Bild 3-1: Äußere Arbeit 32 Bild 3-2: Eigenarbeit 33 Bild 3-3: Fremdarbeit 33 Bild 3-4: Zur Veranschaulichung von spezifischer Formänderungsenergie 34 Bild 3-5: Formänderungsenergie für Normalspannungen 35 Bild 3-6: Formänderungsenergie für Schubspannungen 36 Bild 3-7: Formänderungsenergie bei Normalkraft 37 Bild 3-8: Formänderungsenergie bei Biegemoment 38 Bild 3-9: Formänderungsenergie bei Querkraft 39 Bild 4-1: Beispiele 1-5 zur Verformungsberechnung 45 Bild 4-2: Beispiel 6 zur Verformungsberechnung 46 Bild 4-3: Beispiel 7 zur Verformungsberechnung 47 Bild 4-4: Beispiel 8 zur Verformungsberechnung 47 Bild 4-5: Beispiel 9 zur Verformungsberechnung 48 Bild 4-6: Beispiel 9 zur Verformungsberechnung – Schnittkraftlinien 48 Bild 4-7: Beispiel 10 zur Verformungsberechnung 49 Bild 4-8: Beispiel 10 zur Verformungsberechnung - Schnittkraftlinien 49 Bild 4-9: Verformungen bei Zwängungslastfällen 50 Bild 4-10: Beispiel 11 – System und Belastung 51 Bild 4-11: Beispiel 11 – Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung 51 Bild 4-12: Beispiel 12 – System und Belastung 52 Bild 4-13: Beispiel 12 – Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung 52 Bild 4-14: Biegelinie bei einem Zweifeldträger 53 Bild 4-15: Einfluss von Stützensenkungen bei der Verformungsberechnung 53 Bild 4-16: Beispiel 13 - Verformungsberechnung bei einem Dreigelenkrahmen 54 Bild 4-17: Beispiel 13 – Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung 54 Bild 4-18: Beispiel 13 – Wirkliche Beanspruchung infolge Ts 55 Bild 4-19: Beispiel 13 – wirkliche Beanspruchung infolge ∆T 55 Bild 4-20: Beispiel 13 – Wirkliche Beanspruchung infolge ∆sv 56 Bild 4-21: Beispiel 13 – Wirkliche Beanspruchung infolge ∆sh 56
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Bild 4-22: Beispiel 13 – Schnittkraftlinien infolge wirklicher Belastung q 57 Bild 4-23: Lineares Federgesetz 58 Bild 4-24: Federnde Lagerungen 58 Bild 4-25: Ersatzfedern 59 Bild 4-26: Ersatzfedern bei einer Pfahlgründung 60 Bild 4-27: Ersatzfeder bei einem Elastomerlager 61 Bild 4-28: Ersatzfeder bei elastischem Baugrund 61 Bild 4-29: Reihen- und Parallelschaltung von Federn 62 Bild 4-30: Drehfedergesetz 63 Bild 4-31: Ersatz-Drehfeder 63 Bild 4-32: Einfluss einer Dehnfeder bei der Verformungsberechnung 64 Bild 4-33: Einfluss einer Drehfeder bei der Verformungsberechnung 65 Bild 4-34: Beispiel 14 mit Dehnfeder - System und Belastung 67 Bild 4-35: Beispiel 14 mit Dehnfeder – Auflagerkräfte und Momentenlinien 67 Bild 4-36: Beispiel 15 mit Drehfeder - System und Belastung 68 Bild 4-37: Beispiel 15 mit Drehfeder – Auflagerkräfte und Momentenlinien 68 Bild 4-38: Beispiel 16 - Gelenkträger - System und Belastung 69 Bild 4-39: Beispiel 15 Gelenkträger - Auflagerkräfte 69 Bild 4-40: Beispiel 16 - Gelenkträger - Momentenlinien 69 Bild 4-41: Zusammenfassendes Beispiel 17 - System und Belastung 70 Bild 4-42: Zusammenfassendes Beispiel 17 - Ergebnisse 71 Bild 4-43: Beispiel 18 - Dreigelenkrahmen 2 - System und Belastung 73 Bild 4-44: Beispiel 18 - Dreigelenkrahmen 2 - Schnittkraftlinien 73 Bild 4-45: Grundaufgaben der Verschiebungsberechnung 74 Bild 5-1: Idee des Kraftgrößenverfahrens 75 Bild 5-2: Zweifeldträger - System und Belastung 81 Bild 5-3: Beispiel 1 – Mögliche statisch bestimmte Hauptsysteme 81 Bild 5-4: Einhüftiger Rahmen - System und Belastung 82 Bild 5-5: Einhüftiger Rahmen – LSZ und ESZ 82 Bild 5-6: Einhüftiger Rahmen mit Kragarm - System und Belastung 83 Bild 5-7: Einhüftiger Rahmen mit Kragarm – LSZ und ESZ 83 Bild 5-8: Temperaturlastfälle 84 Bild 5-9: Zweigelenkrahmen - System und Belastung 88 Bild 5-10: Zweigelenkrahmen – SBHS / LSZ 88 Bild 5-11: Zweigelenkrahmen – Visualisierung der Ergebnisse 89 Bild 5-12: Tragwerk mit Dehnfeder - System und Belastung 90 Bild 5-13: Ergebnisplot aus STAB2D 90 Bild 5-14: M(q) am SBHS 91 Bild 5-15: M(1) am SBHS 91 Bild 5-16: ESZ 91 Bild 5-17: Endgültige Momentenlinie M(1) 92 Bild 5-18: Beispiel 6 - System und Belastung 93 Bild 5-19: Visualisierung von Delta-Zahlen beim Durchlaufträger 94 Bild 5-20: Zur Wahl des statisch bestimmten Hauptsystems 98 Bild 5-21: Verschiebliche Systeme 99 Bild 5-22: Beispiel 7 - System, Belastung, Schnittgrößen 100
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Bild 5-23: Beispiel 7 - LSZ und ESZe 100 Bild 5-24: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern - System und Belastung 101 Bild 5-25: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern – SBHS und LSZ 101 Bild 5-26: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern – ESZe 102 Bild 5-27: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern – Superposition 103 Bild 5-28: Tragwerk mit Drehfeder - System und Belastung 105 Bild 5-29: Beispiel 9 mit Drehfeder – ESZe 105 Bild 5-30: Schnittgrößenverläufe bei Symmetrie und Antimetrie 106 Bild 5-31: Symmetrie und Antimetrie: Symmetrieachse senkrecht zum Stab 106 Bild 5-32: Symmetrie und Antimetrie: Symmetrieachse im Stab 107 Bild 5-33: Belastungsumordnung bei symmetrischen Systemen 107 Bild 5-34: Beispiel 10 mit Dehnfedern - System und Belastung 108 Bild 5-35: Beispiel 10 mit Dehnfeder - System und Belastung 109 Bild 5-36: Beispiel 10 mit Dehnfeder – SBHS und LSZ 109 Bild 5-37: Beispiel 8 mit Dehnfeder – LSZ und ESZe 110 Bild 5-38: Beispiel 11 mit Drehfedern - System und Belastung 111 Bild 5-39: Beispiel 11 mit Drehfedern – EDV-Plot der M-Linie 112 Bild 5-40: Beispiel 11 - EDV-Plot der M-Linie 113 Bild 5-41: Skizze zu Temperatureinwirkungen 115 Bild 5-42: Skizze zu Temperatureinwirkungen 2 115 Bild 5-43: Äußere und innere statische Bestimmtheit 116 Bild 5-44: Beispiel 12 - System, Belastung 117 Bild 5-45: Beispiel 12 - ESZ und LSZ 117 Bild 5-46: Beispiel 12 – Ergebnisse der EDV-Berechnung 118 Bild 5-47: Beispiel 13 – System und Belastung 119 Bild 5-48: Beispiel 13 – LSZ und ESZe 119 Bild 5-49: Beispiel 13 – Ergebnisse der EDV-Berechnung 120 Bild 5-50: Beispiel 14 – System und Belastung 121 Bild 5-51: Beispiel 14 mit Reduktionssatz 121 Bild 5-52: Beispiel 14 – Ergebnisse der EDV-Berechnung 122
Tabellenverzeichnis Tabelle 2-1: Formänderungsanteile 29 Tabelle 3-1: Formänderungsenergie in unterschiedlichen Schreibweisen 40 Tabelle 5-1: Notwenigkeit der Ermittlung von N-Linien 111 Tabelle 5-2: Kurzer Vergleich ausgewählter Statikprogramme 115
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1 Allgemeines zur Berechnung statisch unbestimmter Stabwerksysteme
1.1 Grundlegende Annahmen für Theorie 1. Ordnung Technische Biegetheorie des geraden dünnen Stabes
Der Stab wird durch seine Stabachse dargestellt und ist im unverformten Zustand gerade.
b,h << ℓ, ℓ ≥ 5 h
kleine Verformungen
w << h << ℓ
Verdrehungen β << 1 ⇒ β ≈ tan β ≈ sin β
w (x,y,z) = w(x)
Die Querschnitte bleiben eben (Formtreue), Bernoulli-Hypothese, Teil 1
Jakob Bernoulli (1654 – 1705)
β (x,z) = β (x)
Schubverformungen werden vernachlässigt
Bernoulli-Hypothese Teil 2: Normale bleibt Normale
β (x) = - w´(x)
⇒ lineare Dehnungsverteilung über den Querschnitt
⇒ lineare Verzerrungs-Verschiebungsbeziehungen u(x,z) = u(x) - w´(x) * z
Spannungen senkrecht zur Stabachse werden vernachlässigt
σz = 0; σy = 0
linear-elastisches Werkstoffverhalten (Hooke´sche Gerade)
⇒ lineare Spannungsverteilung über den Querschnitt
Gleichgewicht am unverformten System
•
Bei statisch unbestimmten Systemen können die Schnittgrößen, der Spannungs- und Verformungszustand in der Regel
nicht allein aus Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden. Es müssen Formänderungsbedingungen,
geometrische Verträglichkeitsbedingungen berücksichtigt werden.
Baustatik 2 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 12
1.2 Grundgleichungen der Elastostatik Gleichgewichtsbedingungen Zusammenhang zwischen
äußerer Belastung und Schnittgrößen
Zug / Druck Biegung Torsion
)()( xnxN −=′ )()(
)()();()(xqxM
xqxVxVxM−=′′
−=′=′ )()( xmxM TT −=′
Kinematik: Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung
Zug / Druck Biegung Torsion
)()( xuxN ′=ε )(),(
)()()(xzzx
xwxx
B κεβκ
⋅−=
′′−=′=
)()( xxT ϑκ ′=
Elastizitätsgesetz (Konstitutive Beziehungen) Beziehung zwischen Kraft- und Deformationsgrößen
Zug / Druck Biegung Torsion
)()( xuEAxN ′⋅= )()()( xwEIxEIxM ′′⋅−=⋅= κ )()( xGIxM TT κ⋅=
Definition von Schnittgrößen mithilfe der Spannungen
Zug / Druck Biegung Torsion
dANA∫=
)(
σ dAzMA
⋅⋅= ∫)(
σ dArMA
T ⋅⋅= ∫)(
τ
Differentialgleichung
Zug / Druck Biegung Torsion
)()( xnxuEA −=′′⋅ )()( xqxwEI =′′′′⋅ )()( xmxGI TT −=′′⋅ϑ
n(x)
V+dV
M
N
q(x)
V
M+dM N+dN
dx
Baustatik 2 Prof. Dr.- Ing. Andreas Falk
02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 13
1.3 Methoden der Stabstatik Mathematische Methoden Differentialgleichung der Biegelinie Energiemethode
Baustatische Verfahren Kraftgrößenverfahren (KGV)
o Klassisches KGV o Historisches Verfahren (CLAPEYRON) o Orthogonalisierungsverfahren
Formänderungsgrößenverfahren o Drehwinkelverfahren (DWV) nach MANN o Weggrößenverfahren nach OSTENFELD o Historische Iterationsverfahren (CROSS, KANI)
Matrizenstatik Übertragungsverfahren
Variationsrechnung Ritz-Verfahren Galerkin-Verfahren Finite-Element-Methode (FEM)
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02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 14
1.4 Statisch bestimmte Systeme - Statisch unbestimmte Systeme Statisch bestimmt - Einfeldträger Statisch unbestimmt – 2-Feldträger
Momentenlinie, Biegelinie, Konstruktionshöhe
Bild 1-1: Tragverhalten bei Gleichstreckenlast: Einfeldträger - Zweifeldträger
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02.02.2018 Baustatik_2_2018.docx 15
Verhalten bei Zwängungslastfällen Statisch bestimmt Statisch unbestimmt Stützensenkung
Gleichmäßige Temperaturveränderung
Temperaturunterschied über die Querschnittshöhe
Bild 1-2: Tragverhalten bei Zwängungslastfällen: Einfeldträger - Zweifeldträger
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Statisch bestimmt - Dreigelenkrahmen Statisch unbestimmt – Zweigelenkrahmen
Momentenlinie, Biegelinie, Konstruktionshöhe
Bild 1-3: Tragverhalten bei Gleichstreckenlast Dreigelenkrahmen – Zweigelenkrahmen
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Verhalten bei Zwängungslastfällen Statisch bestimmt - Dreigelenkrahmen Statisch unbestimmt – Zweigelenkrahmen Stützensenkung
Gleichmäßige Temperaturveränderung
Bild 1-4: Tragverhalten bei Zwängungslastfällen Dreigelenkrahmen – Zweigelenkrahmen
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Temperaturunterschied über die Querschnittshöhe
Vorteile statisch unbestimmter System
Nachteile statisch unbestimmter Systeme
Die Verteilung von Biege- und Dehnsteifigkeiten sowie Auflagerfedern haben bei statisch unbestimmten Systemen einen erheblichen Einfluss auf die Verteilung der Lagerkräfte und Schnittkräfte.
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2 Elastische Formänderungen in der linearen Stabstatik 2.1 Kleine Übersicht: Kraftgrößen – Weggrößen
Schnittkraft Verformung Verzerrungsmaß (bezogene Verformung, abgeleitete Verformungsgröße)
Zusammenhang (mit Kinematik und Werkstoffgesetz)
N(x) u(x)
Dehnung / Stauchung
Dehnsteifigkeit
Vy(x); Vz(x) wV(x)
Schubverzerrung / Schubwinkel
Schubsteifigkeit
My(x); Mz(x) β(x)
Krümmung
Biegesteifigkeit
MT(x) ϑ(x)
Verdrillung
Torsionssteifigkeit
(x)udx
du(x)ε(x) ′==
)()()( xwdx
xdwx VV ′==γ
)()()()( xwxdx
xdx ′′−=′== ββκ
)()()( xdx
xdx ϑϑχ ′==
{ )()( xEAdx
du(x)EAxN ε⋅=⋅=
{ )()( xGAdx
(x)dwGAxV V
VV γ⋅=⋅=
{ )()()( xwExEdx(x)dExM ′′⋅Ι−=⋅Ι=⋅Ι= κ
β
{ )()( xGdx
(x)dGxM TTT χ
ϑ⋅Ι=⋅Ι=
-w´(x)
β(x)
wv(x)
ϑ(x)
u(x)
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2.2 Schnittgrößen und Spannungen
Bild 2-1: Normalspannungen infolge Biegemoment
Bild 2-2: Schubspannungen infolge Querkraft
= + M
N
N
V
e=M/N
bSV
y
yz
⋅Ι
⋅=τ
z
z
y
y yMzMAN
Ι⋅
−Ι
⋅+=σ
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2.3 Grundlegende Zusammenhänge
Bild 2-3: Zusammenhang zwischen Kraftgrößen und Weggrößen
Innere Weggrößen
Verzerrungen ε
Gleitungen γ
Krümmungen κ
Verdrillungen ϑ
Äußere Weggrößen Verschiebungen
Verdrehungen
Innere Kraftgrößen Normalkräfte N
Querkräfte Vy, Vz
Biegemomente My, Mz
Torsionsmoment MT
Äußere Kraftgrößen
Lasten F (kN), q )(m
kN, p )( 2m
kN
Lastmomente ML
Kraftgrößen Weggrößen
Gleichgewicht
Spannungen
Kinematik (Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung)
Werkstoffgesetz
Zusammenfassung
∫
∫
⋅=⇒⋅⋅=
=⇒⋅=
zI
MdAzM
ANdAN
σσ
σσ
wzzzx
udxdux
′′⋅−=′⋅=
′==
βε
ε
),(
)(
)()()()()()(
xVxMxqxVxnxN
z
x
=′−=′−=′
wEIqMundwEIMuEAnNunduEAN x
′′′′⋅−=−=′′′′⋅−=
′′⋅=−=′′⋅=
)()(),(),(
xGxzxEzx
γτεσ
⋅=⋅=
wvu ,,
zyx βββ ,,
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2.4 Verformungen infolge Normalkraft Gleichgewicht: Zusammenhang zwischen Belastung und Schnittkraft
Bild 2-4: Gleichgewicht in Stablängsrichtung
Verschiebungsgröße u(x)
Bild 2-5: Längsverformungen
Einführung einer Verzerrungsgröße (Ingenieurdehnmaß) (Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung)
bzw.
Bild 2-6: Längsdehnungen
λ
∆λ
x,u
x
u(x) u(x)
x
ε(x) ε(x)
(x)udx
du(x)ε(x) ′== ll
llll
ngeAusgangslängeAusgangsläLängeNeue
N∆
=−∆+
=−
=)(ε
N
x
xx
xx
x
CdxnxNxnxN
xndxdNdxxndN
dxnNdNNH
e
a
+⋅−=⇒−=′
−=⋅−=
=⋅+−+=
∫
∑
)()()(
)(;)(
0:0
0)(
=′−=′
(x)Nxn(x)N
N+dN N n(x)
dx x
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Spannungsdefinition
Bild 2-7: Normalkraft - Normalspannungen
Werkstoffgesetz : Hooke´sches Gesetz für lineare Elastizität Die Spannungen sind proportional zu den Verzerrungen Hooke´sches Gesetz für lineare Elastizität Zusammenfassung
dxAE
NdubzwdxxNAE
uAE
Nul
N ⋅⋅
=⋅
=⇒⋅
=′= ∫ .)(1
)(
ε
AElNl
⋅⋅
=∆
=∆=
⋅=
′⋅=
∫llu
dxxEAxNxu
uEANx
)()()()(
0
εσ ⋅= E
AN
=σ
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2.5 Verformungen infolge Biegemoment 2.5.1 Grundlegende Annahmen und Zusammenhänge Technische Biegetheorie des geraden dünnen Stabes
Der Stab wird durch seine Stabachse dargestellt und ist im unverformten Zustand gerade.
b,h << ℓ , ℓ ≥ 5 h
kleine Verformungen
w << h << ℓ
Verdrehungen β << 1 ⇒ β ≈ tan β ≈ sin β
w (x,y,z) = w(x)
Die Querschnitte bleiben eben (Formtreue), Bernoulli-Hypothese, Teil 1
Jakob Bernoulli (1654 – 1705)
β (x,z) = β (x)
Schubverformungen werden vernachlässigt
Bernoulli-Hypothese Teil 2: Normale bleibt Normale
β (x) = - w´(x)
⇒ lineare Dehnungsverteilung über den Querschnitt
⇒ lineare Verzerrungs-Verschiebungsbeziehungen u(x,z) = u(x) - w´(x) * z
Spannungen senkrecht zur Stabachse werden vernachlässigt
σz = 0; σy = 0
linear-elastisches Werkstoffverhalten (Hooke´sche Gerade)
⇒ lineare Spannungsverteilung über den Querschnitt
Gleichgewicht am unverformten System
Statische Lastaufbringung
•
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2.5.2 Zusammenhang zwischen Biegemoment, Spannungen und Krümmung
Bei Biegung verdrehen sich die Querschnitte.
Bild 2-8: Kinematik bei Biegung
Das Biegemoment stellt eine Spannungsresultierende dar:
(x)
Mit folgt
∫ ⋅⋅= dAzzxxM y ),()( σ
∫ ⋅⋅⋅′⋅= dAzzxExM y ])([)( β
∫ ′⋅Ι⋅=⋅⋅′⋅= ββ yy EdAzxExM 2)()(
zzxxE ),()( σβ =′⋅ z
xMzx
y
y ⋅Ι
=)(
),(σ
Bernoulli I und II
β(x) = - w´(x) Kinematik
u(x,z) = β(x) ⋅ z = - w´(x) ⋅ z
Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehung
ε(x,z) = u´(x,z) = - w´´(x) ⋅ z = β´(x) ⋅ z
Werkstoffgesetz
σ(x,z) = E ⋅ ε(x,z) = E ⋅ β´(x) ⋅ z
Normalspannungen infolge Biegemoment My
Krümmung infolge Biegemoment My
-w´(x)
u(x,z)
β(x)
dxE
xMdbzw
ExM
y
y
y
y ⋅Ι⋅
=Ι⋅
==′)(
.)(
βκβ
y
y
ExM
Ι⋅==′
)(κβ
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2.6 Verformungen infolge Querkraft 1. Verzerrungs-Verschiebungsbeziehung
2. Spannungsermittlung
Schubkorrekturfaktor
3. Werkstoffgesetz
G : Schubmodul
ν : Querdehnzahl
4. Zusammenfassung
)1(2,
νγτ
+⋅=⋅=
EGG
),(),(
zxbSVzx y
y
z ⋅Ι
−=τ
V γ=dx
dwV
ν = 0,3 für Stahl
ν ≅ 0,2 für Beton
Vκ = 1,2 bei Rechteck
im Stahlbau gilt: AV = ASteg
dxAG
VdwAG
VGdx
dw
V
zV
V
zV ⋅⋅
=⇒⋅
===τγ
VV
V
zm
AAAV
κτ == ;
V
γ
dx
dwv
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2.7 Zusammenfassung: Verformungen infolge M, N, V
Krümmung :
Bild 2-9: Zusammenfassende Darstellung zu Formänderungen infolge N, M, V
∫∫ ⋅=⋅⋅==)()( AA
EAdAEdAN εεσ
EAN
dxduu ==′=ε
dxEANdu ⋅=
∫∫ ⋅⋅=⋅⋅=)()( AA
dAzEdAzM εσ
βdzzdu ⋅=)(
ββε ′⋅=⋅= zdxdzz)(
w ′′−=′≈ βκ
βε ′⋅Ι=⋅⋅= ∫ EdAzEMA)(
dxEMd ⋅
Ι=β
γγτ =′⋅= Qm wG ;
N
u+du dx
u
N
M M
V V
ds ≈ dx
;dxAG
VdwV
V ⋅⋅
=
γ
dx
R dβ
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ou TTT −=∆
ddud T
T∆
∆ =βd
dxTT ⋅∆⋅=
α
TT dzdu ∆∆ ⋅= β
Krümmung infolge ∆T: dx
d TT
∆∆ =
βκ
dxd
Tdd
Tdx
d TT
TT ⋅∆⋅
=⇒∆⋅
= ∆∆ αβαβ
2.8 Verformungen infolge gleichmäßiger Temperaturänderung T
2.9 Verformungen infolge veränderlicher Temperatur ∆T
Bild 2-10: Verformungen infolge Temperaturgradient über den Querschnitt
2.10 Verformungen infolge Schwinden Beispiel: Beton nach EC 2:
Endschwindmaß :
dus = εs ⋅ dx, ∆ℓs = εs ⋅ ℓ 2.11 Verformungen infolge Kriechen
Beispiel: Beton nach EC 2:
Endkriechzahl :
; ;
duc = εc ⋅ dx
ll ⋅⋅=∆ TTT α
,Tdxdu
TT
T ⋅== αε
),()(),( 0 scdscascs ttttt εεε +=
55, 1070...1040 −−∞ ⋅−⋅−≈csε
0
000
)(),(),(c
ccc E
ttttt σϕε ⋅=
8...2),( 0 ≈∞ tϕ
AEN
cc ⋅= ϕε z
EM
cc ⋅Ι⋅
= ϕεQ
cc AGQ⋅
= ϕγ
∆λ
∆ℓs
dx
d
dβ∆T
du∆T = αT⋅∆T⋅dx
dxTdu TT ⋅⋅= α
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2.12 Zusammenfassung: Formänderungsgrößen bei Stabtragwerken
Tabelle 2-1: Formänderungsanteile
Verzerrung elastischer Anteil
Anteil inf. Temperatur
Anteil inf. Schwinden
Anteil inf. Kriechen
zugehörige Schnittkraft
ε = N
γz =
Vz
My
ϑ´= Mx = MT
γy =
Vy
Mz
AEN⋅
TT ⋅+ α sε+AE
N K
⋅+ϕ
==′ yy κβy
y
EM
Ι⋅ zT d
T∆⋅+α
y
Ky
EM
Ι⋅⋅+ ,ϕ
T
T
GM
Ι⋅ T
T
GM
Ι⋅⋅+ ϕ
==′ zz κβ
V
y
GAV
V
z
GAV
V
y
GAV
⋅+ϕ
V
z
GAV
⋅+ϕ
z
z
EM
Ι⋅ yT d
T∆⋅+α
z
Kz
EM
Ι⋅⋅+ ,ϕ
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3 Mechanische Arbeit und Formänderungsenergie 3.1 Einführung Arbeit = Kraft * Weg
Arbeit = Kraftgröße * Weggröße
Energie
Einheiten
[ ] [ ] JNmmNWA 1111 ==⋅==
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3.2 Annahmen und Voraussetzungen Ebenbleiben der Querschnitte (Jakob Bernoulli ,1654 – 1705)
Die Verschiebungen u(x,z) verlaufen über die Querschnittsdicke linear
(Bernoulli-Hypothese Teil I).
Schubverzerrungen werden vernachlässigt => Normale bleibt Normale (Bernoulli-Hypothese Teil II)
Die Verschiebungen w sind für alle Querschnittspunkte gleich. Die Balkendicke ändert sich bei der Deformation nicht (Formtreue: w(x,y,z) = w(x) ).
Die Verformungen sind sehr klein.
Lineare Elastizität Es gilt das Hookesche Gesetz (Robert Hooke ,1645 – 1703).
Quasi-statische Lastaufbringung Die Kraft wird langsam von Null auf ihren Endwert gesteigert.
Arbeit = Kraftgröße ⋅ Weggröße (René Descartes, 1596 – 1650)
Energiesatz der Elastostatik:
Die Arbeit der äußeren Kräfte A
wird als Formänderungsenergie W im System gespeichert.
A = W
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3.3 Äußere Arbeit 3.3.1 Begriffe, Definitionen
Bild 3-1: Äußere Arbeit
Bei linearer Elastizität gilt für die Äußere Arbeit:
eee
FF
uFc
FdFcFdFuA
ee
⋅⋅=⋅=⋅=⋅= ∫∫ 21
21ˆ
2
00
eee
uu
uFucduucduFAee
⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫ 21
21 2
00
dF
konjugierte äußere Arbeit A
Äußere Arbeit A
ue
Fe
du
dA
dA
ue u
F
F=c ⋅u Fe
ee uFA ⋅⋅=21
AAA
uFA ee
−=
⋅=~ˆ
~
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3.3.2 Eigenarbeit - Fremdarbeit Eigenarbeit Die Kraft F1 verrichtet an der Stelle 1 Arbeit auf dem von ihr selbst erzeugten Weg w11.
Bild 3-2: Eigenarbeit
Fremdarbeit Die Kraft F1 ist vor Belastung durch eine andere Kraft F2 vorhanden und verrichtet
Arbeit auf einem Weg, der durch die Wirkung der anderen Kraft F2 hervorgerufen wird:
Bild 3-3: Fremdarbeit
11111 21 wFA ⋅⋅=
121*12 wFA ⋅=
W11
1
F1
W12
1
F1 F2
2
W22
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3.4 Innere Arbeit – Formänderungsenergie 3.4.1 Spezifische Formänderungsenergie
Bild 3-4: Zur Veranschaulichung von spezifischer Formänderungsenergie
dzdydxzyx
dVzyxGVG
z y x
V
⋅
⋅
⋅=
⋅=
=
∫ ∫ ∫
∫
)( )( )(
)(
),,(
),,(
γ
γ
γ
∫
∫
∫
∫∫
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=⋅=
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)()(
),,(),,(21)('
),,(),,(21)('
),,(),,(21)('
),,(),,(21),,('
A
VV
A
Mx
Mx
A
Nx
Nx
Axx
As
dAzyxzyxVW
dAzyxzyxMW
dAzyxzyxNW
dAzyxzyxdAzyxWW
γτ
εσ
εσ
εσ
γ(x,y,z)
x
z
y
Ws(x,y,z)
y
z
x
𝑊𝑊𝑠𝑠 =12∙ 𝜎𝜎𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∙ 𝜀𝜀𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)
𝑊𝑊 = � 𝑊𝑊𝑆𝑆(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝑉𝑉)
∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � � � � � 𝑊𝑊𝑆𝑆(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝑦𝑦)
∙ 𝑑𝑑𝑦𝑦�(𝑧𝑧)
∙ 𝑑𝑑𝑧𝑧� ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑊𝑊 = � 𝑊𝑊𝑆𝑆(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝑉𝑉)
∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � � � 𝑊𝑊𝑆𝑆(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝐴𝐴)
∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑����������������
𝐵𝐵𝐵𝐵𝑧𝑧𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐹𝐹Ä𝐸𝐸 𝑊𝑊′
(𝑙𝑙)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥
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3.4.2 Formänderungsenergie bei Normalspannungen
Bild 3-5: Formänderungsenergie für Normalspannungen
(Formänderungsenergie W)
(bezogene Formänderungsenergie W´)
Bei linearer Elastizität gilt:
∫∫ ⋅=′⋅′=)()(
ˆˆ;ˆˆA
SS dAWWdxWWl
eeSW εσ ⋅=~
SSS WWW −= ~ˆ
WWundWW SS == ˆˆ
∫ ∫ ⋅ = ′ ⋅ ′ = ) ( ) (
; A
S dA W W dx W W λ
konjugierte spezifische Formänderungsenergie SW
Spezifische Formänderungsenergie Ws
εσεεεεσεε
⋅⋅=⋅=∫ ⋅⋅=∫ ⋅=21
2
2
00
eS EdEdW
ee
eee
S Ed
EdW
ee
εσσσσσεσσ
⋅⋅=⋅=⋅=⋅= ∫∫ 21
21ˆ
2
00
εe ε
σ
σ=E ⋅ε σe
dxdAWdVWWA
SV
S ∫ ∫∫
⋅=⋅=
)( )()( l
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3.4.3 Formänderungsenergie bei Schubspannungen
Bild 3-6: Formänderungsenergie für Schubspannungen
𝑊𝑊 = � 𝑊𝑊𝑆𝑆(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝑉𝑉)
∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � � � 𝑊𝑊𝑆𝑆(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝐴𝐴)
∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑�(𝑥𝑥)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥
Formänderungsenergie (unterhalb der Kurve)
γe γ
τ
τ = G ⋅ γ τe
konjugierte spezifische Formänderungsenergie WS
Spezifische Formänderungsenergie Ws
eee
S GdGdWee
γτγγγγτγγ
⋅⋅=⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫ 21
2
2
00
dA W W dx W W A S l
⋅ ∫ = ′ ⋅ ∫ ′ = ) ( ) (
;
eee
S Gd
GdW
ee
γτττττγττ
⋅⋅=⋅=⋅=⋅= ∫∫ 21
21ˆ
2
00
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3.4.4 Formänderungsenergie bei zentrischer Normalkraft
Bild 3-7: Formänderungsenergie bei Normalkraft
A=W
12 ∙ 𝐹𝐹 ∙ 𝑢𝑢
(𝑙𝑙) = �12 ∙ 𝜎𝜎𝑥𝑥
(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝑉𝑉)
∙ 𝜀𝜀𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑
12 ∙ 𝐹𝐹 ∙ 𝑢𝑢(𝑙𝑙) = �
⎝
⎜⎜⎛�
12 ∙ 𝜎𝜎𝑥𝑥
(𝐴𝐴)
∙ 𝜀𝜀𝑥𝑥 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑�����������
𝑊𝑊′=∫ 𝑊𝑊𝑆𝑆∙𝑑𝑑𝐴𝐴(𝐴𝐴) ⎠
⎟⎟⎞
(𝑙𝑙)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥
Bei zentrischer Normalkraft ergibt sich mit
Beispiel:
A = W u(ℓ) ℓ F
=⋅⋅⋅=′ ∫ dANW xxA
εσ)( 21)(
AüberconstAN
x .==σ
F
u(λ)
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3.4.5 Formänderungsenergie bei Biegemoment My
Bild 3-8: Formänderungsenergie bei Biegemoment
A = W
12 ∙ 𝐹𝐹 ∙ max𝑤𝑤 = �
12 ∙ 𝜎𝜎𝑥𝑥
(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝑉𝑉)
∙ 𝜀𝜀𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑
12 ∙ 𝐹𝐹 ∙ max𝑤𝑤 = �
⎝
⎜⎜⎛�
12 ∙ 𝜎𝜎𝑥𝑥
(𝐴𝐴)
∙ 𝜀𝜀𝑥𝑥 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑�����������
𝑊𝑊′=∫ 𝑊𝑊𝑆𝑆∙𝑑𝑑𝐴𝐴(𝐴𝐴) ⎠
⎟⎟⎞
(𝑙𝑙)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥
Bei Biegemoment ergibt sich mit
Beispiel:
ℓ/2
F
ℓ/2
=⋅⋅⋅=′ ∫ dAMW xxA
εσ)( 21)(
Eundz
IM x
xxσεσ =⋅=
F
max w
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3.4.6 Formänderungsenergie bei Querkraft Vz
Bild 3-9: Formänderungsenergie bei Querkraft
A = W
12 ∙ 𝐹𝐹 ∙ 𝑤𝑤𝑉𝑉
(𝑙𝑙) = �12 ∙ 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧
(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)(𝑉𝑉)
∙ 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑧𝑧(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑
12 ∙ 𝐹𝐹 ∙ 𝑤𝑤𝑉𝑉(𝑙𝑙) = �
⎝
⎜⎜⎛�
12 ∙ 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑧𝑧
(𝐴𝐴)
∙ 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑧𝑧 ∙ 𝑑𝑑𝑑𝑑�������������
𝑊𝑊′=∫ 𝑊𝑊𝑆𝑆∙𝑑𝑑𝐴𝐴(𝐴𝐴) ⎠
⎟⎟⎞
(𝑙𝑙)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥
Bei Querkraft ergibt sich mit
wv(ℓ)
F
=⋅⋅⋅=′ ∫ dAVW xzxzA
γτ)( 21)(
Gund
AV xz
xV
zxz
τγτ ==
dxdAWdVWWA
SV
S ∫ ∫∫
⋅=⋅=
)( )()( l
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3.4.7 Formänderungsenergie pro Längeneinheit in verschiedenen Schreibweisen
Tabelle 3-1: Formänderungsenergie in unterschiedlichen Schreibweisen
Normalkraft Biegung Querkraft Torsion
z.B. Balken mit Normalkraft, Biegemoment und Querkraft:
𝑊𝑊 =12∙ � 𝑁𝑁(𝑥𝑥) ∙ 𝜀𝜀(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 +
12∙ � 𝑀𝑀(𝑥𝑥) ∙ 𝜅𝜅(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 +
12∙ � 𝑑𝑑(𝑥𝑥) ∙ 𝛾𝛾(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥
(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)
𝑊𝑊 =12∙ � 𝑁𝑁(𝑥𝑥) ∙ 𝜀𝜀(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 +
12∙ � 𝑀𝑀(𝑥𝑥) ∙ 𝜅𝜅(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 +
12∙ � 𝑑𝑑(𝑥𝑥) ∙ 𝛾𝛾(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥
(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)
mxV γ⋅⋅ )(21
VAGxVxV
⋅⋅⋅
)()(21
)()(21 xxM κ⋅⋅
)(21 2 xIE κ⋅⋅⋅ )(
21 2 xIG T χ⋅⋅⋅
)()(21 xxMT χ⋅⋅
T
TT IG
xMxM⋅
⋅⋅)()(
21
AExNxN
⋅⋅⋅
)()(21
y
yy IE
xMxM
⋅⋅⋅
)()(
21
)(21 2 xAE ε⋅⋅⋅
)()(21 xxN ε⋅⋅
)(21 2 xAG mV γ⋅⋅⋅
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4 Arbeitsprinzipe, Arbeitssätze 4.1 Das Prinzip der virtuellen Arbeiten (PdvA) Grundlage ist die Fremdarbeit A*. A* = W*
Querstrich : virtuell = gedacht
Virtuelle Arbeit = wirkliche Kraftgröße ⋅ virtuelle Verformung
Virtuelle Arbeit = Virtuelle Kraftgröße ⋅ wirkliche Verformung
4.1.1 Das Prinzip der virtuellen Verrückungen (PdvV)
∫ ∫∫ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=)( )()(
*)()()(
l ll
dxxVdxxMdxxNW mγκε
virtueller Verschiebungszustand:
gedacht
hinreichend klein
kinematisch verträglich
ansonsten beliebig
Das PdvA ist eine Gleichgewichtsaussage.
** WA =
fFA ⋅=*
fFA ⋅=*
fFA ⋅=*
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4.1.2 Das Prinzip der virtuellen Kräfte (PdvK)
Frage: Welche Arbeit verrichtet eine virtuelle Kraft auf einem Weg f, der durch eine andere Last(gruppe) erzeugt wird, und welche Energie wird dabei im System gespeichert?
Antwort: Querstrich : virtuell = gedacht
Virtuelle Arbeit = Virtuelle Kraftgröße ⋅ wirkliche Verformung
** WA =
1� ∙ 𝑓𝑓 = � 𝑁𝑁�(𝑥𝑥) ∙ 𝜀𝜀(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥�������𝑑𝑑𝑑𝑑
+ � 𝑀𝑀�(𝑥𝑥) ∙ 𝜅𝜅(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥�������𝑑𝑑𝑑𝑑
+ � 𝑑𝑑�(𝑥𝑥) ∙ 𝛾𝛾(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥�������𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)
γ =
κ =
ε =
1� ∙ 𝑓𝑓 = � 𝑁𝑁�(𝑥𝑥) ∙𝑁𝑁(𝑥𝑥)𝐸𝐸 ∙ 𝑑𝑑���𝜀𝜀𝑥𝑥(𝑁𝑁)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑁𝑁�(𝑥𝑥) ∙ (𝛼𝛼𝑇𝑇 ∙ 𝑇𝑇)�����𝜀𝜀𝑥𝑥(𝑇𝑇)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑁𝑁�(𝑥𝑥) ∙ 𝜀𝜀𝑆𝑆 ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)
+ � 𝑀𝑀�(𝑥𝑥) ∙(𝑙𝑙)
𝑀𝑀(𝑥𝑥)𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼���𝜅𝜅(𝑀𝑀)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑀𝑀�(𝑥𝑥) ∙(𝑙𝑙)
𝛼𝛼𝑇𝑇 ∙ ∆𝑇𝑇𝑑𝑑�����
𝜅𝜅(∆𝑇𝑇)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑑𝑑�(𝑥𝑥) ∙𝑑𝑑(𝑥𝑥)𝐺𝐺 ∙ 𝑑𝑑𝑉𝑉���𝛾𝛾(𝑉𝑉)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑙𝑙)
1=F
** WA =
fFA ⋅=*
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4.2 Verschiebungsberechnungen mit Hilfe der Integraltafeln
Auswertung der Integrale zweier Funktionen mit Überlagerungstafeln
�𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝛼𝛼 ∙ 𝐹𝐹 ∙ 𝐺𝐺 ∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙
0
�𝑀𝑀�(𝑥𝑥) ∙ 𝑀𝑀(𝑥𝑥) ∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝛼𝛼 ∙ 𝑀𝑀𝑖𝑖 ∙ 𝑀𝑀𝑘𝑘 ∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙
0
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5. a b c d
Nr fk
fi k k k1 k2
α𝑙𝑙 β𝑙𝑙
k
0 fi= fk 𝑘𝑘2𝑙𝑙 13𝑘𝑘2𝑙𝑙
13
(𝑘𝑘12 + 𝑘𝑘1𝑘𝑘2 + 𝑘𝑘22)𝑙𝑙 13𝑘𝑘2𝑙𝑙
1 i 𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙 12𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
12𝑖𝑖(𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2)𝑙𝑙
12𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
2 i 12𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
13𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
16𝑖𝑖(𝑘𝑘1 + 2𝑘𝑘2)𝑙𝑙
16𝑖𝑖𝑘𝑘(1 + 𝛼𝛼)𝑙𝑙
3 i 12𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
16𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
16𝑖𝑖(2𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2)𝑙𝑙
16𝑖𝑖𝑘𝑘(1 + 𝛽𝛽)𝑙𝑙
4 i1
i2
12𝑘𝑘(𝑖𝑖1 + 𝑖𝑖2)𝑙𝑙
16𝑘𝑘(𝑖𝑖1 + 2𝑖𝑖2)𝑙𝑙
16
[𝑖𝑖1(2𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2) + 𝑖𝑖2(𝑘𝑘1 + 2𝑘𝑘2)]𝑙𝑙 16𝑘𝑘[𝑖𝑖1(1 + 𝛽𝛽) + 𝑖𝑖2(1 + 𝛼𝛼)]𝑙𝑙
5
γ𝑙𝑙 δ𝑙𝑙 i
12𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
16𝑖𝑖𝑘𝑘(1 + 𝛾𝛾)𝑙𝑙
16𝑖𝑖[𝑘𝑘1(1 + 𝛿𝛿) + 𝑘𝑘2(1 + 𝛾𝛾)]𝑙𝑙
𝛾𝛾 > 𝛼𝛼: 𝑖𝑖𝑘𝑘6�2 − (𝛾𝛾−𝛼𝛼)2
𝛾𝛾(1−𝛼𝛼)� 𝑙𝑙
𝛾𝛾 < 𝛼𝛼: 𝑖𝑖𝑘𝑘6�2 − (𝛼𝛼−𝛾𝛾)2
𝛼𝛼(1−𝛾𝛾)� 𝑙𝑙; 𝛾𝛾 =
𝛼𝛼: 13𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
6 i S
23𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
13𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
13𝑖𝑖(𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2)𝑙𝑙
13𝑖𝑖𝑘𝑘(1 + 𝛼𝛼𝛽𝛽)𝑙𝑙
7 i S
23𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
14𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
112
𝑖𝑖(5𝑘𝑘1 + 3𝑘𝑘2)𝑙𝑙 1
12𝑖𝑖𝑘𝑘(5 − 𝛼𝛼 − 𝛼𝛼2)𝑙𝑙
8 i S
23𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
512
𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙 1
12𝑖𝑖(3𝑘𝑘1 + 5𝑘𝑘2)𝑙𝑙
112
𝑖𝑖𝑘𝑘(5 − 𝛽𝛽 − 𝛽𝛽2 )𝑙𝑙
9 S i
13𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
14𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
112
𝑖𝑖(𝑘𝑘1 + 3𝑘𝑘2)𝑙𝑙 1
12𝑖𝑖𝑘𝑘(1 + 𝛼𝛼 + 𝛼𝛼2)𝑙𝑙
10 i S
13𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
112
𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙 1
12𝑖𝑖(3𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2)𝑙𝑙
112
𝑖𝑖𝑘𝑘(1 + 𝛽𝛽 + 𝛽𝛽2)𝑙𝑙
11 q S i
14𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
15𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
120
𝑖𝑖(𝑘𝑘1 + 4𝑘𝑘2)𝑙𝑙 1
20𝑖𝑖𝑘𝑘(1 + 𝛼𝛼)(1 + 𝛼𝛼2)𝑙𝑙
12 q i S
14𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
120
𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙 1
20𝑖𝑖(4𝑘𝑘1 + 𝑘𝑘2)𝑙𝑙
120
𝑖𝑖𝑘𝑘(1 + 𝛽𝛽)(1 + 𝛽𝛽2)𝑙𝑙
13 q S
38𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
1140
𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙 1
40𝑖𝑖(4𝑘𝑘1 + 11𝑘𝑘2)𝑙𝑙
140
𝑖𝑖𝑘𝑘(11 + 9𝛽𝛽 + 𝛽𝛽2 + 𝛽𝛽3)𝑙𝑙
14 q i S
38𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
110
𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙 1
40𝑖𝑖(11𝑘𝑘1 + 4𝑘𝑘2)𝑙𝑙
140
𝑖𝑖𝑘𝑘(11 + 9𝛼𝛼 + 𝛼𝛼2 + 𝛼𝛼3)𝑙𝑙
15 q qr
i
14𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
215
𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙 1
60𝑖𝑖(7𝑘𝑘1 + 8𝑘𝑘2)𝑙𝑙
120
𝑖𝑖𝑘𝑘(1 + 𝛼𝛼 ) �73− 𝛼𝛼2� 𝑙𝑙
16 qr q i
14𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙
760
𝑖𝑖𝑘𝑘𝑙𝑙 1
60𝑖𝑖(8𝑘𝑘1 + 7𝑘𝑘2)𝑙𝑙
120
𝑖𝑖𝑘𝑘(1 + 𝛽𝛽 ) �73− 𝛽𝛽2� 𝑙𝑙
𝑙𝑙 = Länge des Integrationsbereiches; S = Parabelscheitel Nr. 6 bis 10: Quadratische Parabeln Nr. 11 bis 16: Kubische Parabeln Tafelwert Nr. 15 und 16: 𝑖𝑖 = 𝑞𝑞𝑟𝑟∙𝑙𝑙
2
6 ; 1 ∙ 𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐𝛿𝛿𝑖𝑖𝑘𝑘 = 𝐸𝐸𝐼𝐼𝑐𝑐
𝐸𝐸𝐼𝐼 ∫ 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑀𝑀𝑘𝑘𝑑𝑑𝑥𝑥 +𝑙𝑙𝐵𝐵 …
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4.2.1 Beispiel 1: Kragträger unter Einzellast
4.2.2 Beispiel 2: Balken auf zwei Stützen unter Einzellast
4.2.3 Beispiel 3: Balken auf zwei Stützen unter Streckenlast
4.2.4 Beispiel 4: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm
4.2.5 Beispiel 5: Holzbalken
Bild 4-1: Beispiele 1-5 zur Verformungsberechnung
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4.2.6 Beispiel 6: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm
Bild 4-2: Beispiel 6 zur Verformungsberechnung
Qualitative Biegelinie
1,5 m 4 m
q = 10 kN/m
fE= ? HEB 200
fm= ? φA= ?
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4.2.7 Beispiel 7: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm und Stützensenkung
Bild 4-3: Beispiel 7 zur Verformungsberechnung
Qualitative Biegelinie
4.2.8 Beispiel 8: Balken auf zwei Stützen mit Kragarm und Feder
Bild 4-4: Beispiel 8 zur Verformungsberechnung
Qualitative Biegelinie
1,5 m 4 m
fE= ? HEB 200
∆sB= 10 mm
q = 10 kN/m
1,5 m 4 m
fE= ? HEB 200
cF=8000 kN/m
q = 10 kN/m
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4.2.9 Beispiel 9: Verformungsberechnung mit Normalkrafteinfluss Für das dargestellte Tragwerk ist die Vertikalverformung fv infolge der gegebenen Belastung unter Berücksichtigung des Normalkrafteinflusses gesucht.
Bild 4-5: Beispiel 9 zur Verformungsberechnung
1� ∙ 𝑓𝑓 = � 𝑀𝑀�(𝑥𝑥) ∙𝑀𝑀(𝑥𝑥)𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼𝑦𝑦���𝜅𝜅(𝑀𝑀)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑁𝑁�(𝑥𝑥) ∙𝑁𝑁(𝑥𝑥)𝐸𝐸 ∙ 𝑑𝑑���𝜀𝜀(𝑁𝑁)(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥
Bild 4-6: Beispiel 9 zur Verformungsberechnung – Schnittkraftlinien
q = 10 kN/m
3 m
Steifigkeiten
EΙHEB200 =
EAIPE200 =
1,5 m 4 m
fV= ?
IPE 200
HEB 200
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4.2.10 Beispiel 10: Klausuraufgabe Für das dargestellte Tragwerk ist die Horizontalverformung fH infolge der gegebenen Belastung gesucht.
Bild 4-7: Beispiel 10 zur Verformungsberechnung
Bild 4-8: Beispiel 10 zur Verformungsberechnung - Schnittkraftlinien
fH = ?
s = 20 kN/m
8 m
Material für alle Stäbe S 235; HEB 400
EA = ∞
5 m 5 m
6 m
w = 4 kN/m
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4.3 Zwängungslastfälle 4.3.1 Allgemeines Die Zwängungslastfälle
• T (Erwärmung / Abkühlung)
• ∆T (Temperaturgradient über die Querschnittshöhe)
• ∆s (Stützensenkung)
• εS (Schwinden) bewirken bei STATISCH BESTIMMTEN SYSTEMEN KEINE Schnittgrößen, jedoch Verformungen.
Beispiel: Brücke Lastfall geleichmäßige Temperaturänderung T (z.B. Erwärmung)
∆𝑙𝑙𝑇𝑇 = 𝛼𝛼𝑇𝑇 ∙ 𝑇𝑇 ∙ 𝑙𝑙
Lastfall Stützensenkung
Lastfall Temperaturunterschied über die Querschnittshöhe
ou TTT −=∆
dTTT ∆⋅
=∆ ακ
Bild 4-9: Verformungen bei Zwängungslastfällen
∆s
warm
kalt
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4.3.2 Beispiel 11: Verformungsberechnung für den Lastfall „Erwärmung“ Für das dargestellte Tragwerk ist die Horizontalverformung fh infolge der gegebenen Belastung T=50 K gesucht.
1� ∙ 𝑓𝑓 = � 𝑀𝑀�(𝑥𝑥) ∙𝑀𝑀(𝑥𝑥)𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼𝑦𝑦���𝜅𝜅(𝑀𝑀)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑁𝑁�(𝑥𝑥) ∙𝑁𝑁(𝑥𝑥)𝐸𝐸 ∙ 𝑑𝑑���𝜀𝜀(𝑁𝑁)(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑁𝑁�(𝑥𝑥) ∙ 𝛼𝛼𝑇𝑇 ∙ 𝑇𝑇���𝜀𝜀(𝑇𝑇)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑙𝑙)
Bild 4-10: Beispiel 11 – System und Belastung
Bild 4-11: Beispiel 11 – Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung
Ts = 50 K (Erwärmung)
4 m
6 m
fH = ?
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4.3.3 Beispiel 12: Verformungsberechnung für den Lastfall ∆T Für das dargestellte Tragwerk (HEB300) ist die Horizontalverformung fh infolge des Lastfalls ∆T gesucht.
1� ∙ 𝑓𝑓 = � 𝑀𝑀�(𝑥𝑥) ∙𝛼𝛼𝑇𝑇 ∙ ∆𝑇𝑇𝑑𝑑�����
𝜅𝜅(∆𝑇𝑇)
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑙𝑙)
Bild 4-12: Beispiel 12 – System und Belastung
Bild 4-13: Beispiel 12 – Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung
fH = ?
Ti = -10° C TA = 10° C TA = 10° C
TA = 10° C
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4.3.4 Einfluss von Stützensenkungen bei der Verformungsberechnung Biegelinie ohne Stützensenkung
Bild 4-14: Biegelinie bei einem Zweifeldträger
Biegelinie mit Stützensenkung
Bild 4-15: Einfluss von Stützensenkungen bei der Verformungsberechnung
Verallgemeinerung ** WA =
1� ∙ 𝑓𝑓 + 𝑆𝑆 ∙ ∆𝑠𝑠 + 𝑀𝑀�𝑠𝑠 ∙ ∆𝜑𝜑 = � 𝑁𝑁�(𝑥𝑥) ∙𝑁𝑁(𝑥𝑥)𝐸𝐸 ∙ 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑀𝑀�(𝑥𝑥) ∙𝑀𝑀(𝑥𝑥)𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑑𝑑�(𝑥𝑥) ∙𝑑𝑑(𝑥𝑥)𝐺𝐺 ∙ 𝑑𝑑𝑉𝑉
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)
ϕ∆⋅±∆⋅±
⋅⋅+⋅Ι
⋅+⋅⋅=⋅ ∫∫∫
s
V
MsS
dxGA
xVxVdxE
xMxMdxEA
xNxNf)()()(
)()()()()()(1lll
Das Produkt sS ∆⋅ ( ϕ∆⋅SM ) ist negativ, wenn die Auflagerkraft S (das Auflager-
moment SM ) die Richtung der Stützensenkung (-verdrehung) aufweist. Ansonsten ist es positiv (Regelfall).
S
1
∆s
f1=f10+f1∆s
f10
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4.3.5 Beispiel 13: Dreigelenkrahmen Für das dargestellte Tragwerk (HEB400) ist die Verdrehung ϕA für jeden der 5 angegebenen Lastfälle gesucht.
• LF1: Ts = 20 K
• LF2 : ∆T= -20 K
• LF 3: ∆sv = 2 cm
• LF 4: ∆sh = 2 cm
• LF 5: w = 4 kN/m
Bild 4-16: Beispiel 13 - Verformungsberechnung bei einem Dreigelenkrahmen
Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung
Bild 4-17: Beispiel 13 – Schnittkraftlinien infolge virtueller Belastung
HEB 400
5 m 5 m
4 m
∆sv = 2 cm
∆sh = 2 cm
w = 4 kN/m
ϕA = ?
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Lastfall 1: Ts = 20 K Qualitative Verformungsfigur
Berechnung der Verformung mit Arbeitssatz
Bild 4-18: Beispiel 13 – Wirkliche Beanspruchung infolge Ts
Lastfall 2: ∆T = -20 K Qualitative Verformungsfigur
Berechnung der Verformung mit Arbeitssatz
Bild 4-19: Beispiel 13 – wirkliche Beanspruchung infolge ∆T
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Lastfall 3: ∆sv = 2 cm Qualitative Verformungsfigur
Berechnung der Verformung mit Arbeitssatz
Bild 4-20: Beispiel 13 – Wirkliche Beanspruchung infolge ∆sv
Lastfall 3: ∆sH = 2 cm Qualitative Verformungsfigur
Berechnung der Verformung mit Arbeitssatz
Bild 4-21: Beispiel 13 – Wirkliche Beanspruchung infolge ∆sh
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Lastfall 5: w = 4 kN/m Qualitative Verformungsfigur
Berechnung der Verformung mit Arbeitssatz
Bild 4-22: Beispiel 13 – Schnittkraftlinien infolge wirklicher Belastung q
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4.4 Einfluss von Federungen bei der Verformungsberechnung 4.4.1 Allgemeines Einführung von Federungen bei
elastischem Untergrund
nachgiebigen Bauteilen
o z.B. Elastomerlager
o z.B. elastische, dehnweiche oder biegeweiche Stäbe
Es gibt
Dehnfedern (Normalkraftübertragung)
und Drehfedern (Biegemomentübertragung)
4.4.2 Dehnfedern
f: Federweg infolge F
cF : Dehnfedersteifigkeit [cF] = , z.B
Bild 4-23: Lineares Federgesetz
Bild 4-24: Federnde Lagerungen
LK
mKN
F
f
F
F=cF ⋅f f
cF
cF
cF
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4.4.3 Beispiele für Dehnfedern Stütze Kragarm Biegebalken
Bild 4-25: Ersatzfedern
Merksatz: Die Federsteifigkeit eines Tragwerksteils / Systems ist
cF=?
cF=?
cF=?
F
∆ℓ
F
wE
F
wm
F
F
F
wE
wM
∆ℓ
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Pfahlgründung
Bild 4-26: Ersatzfedern bei einer Pfahlgründung
cF,v=?
cF,h=?
Bohrpfahl C30/37, d= 80 cm
1 m
6 m
1 m
5 m
Bohrpfahl C30/37, d= 60 cm
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Beispiel: Elastomerlager bei Brücken
Bild 4-27: Ersatzfeder bei einem Elastomerlager
Beispiel: Fundament auf elastischem Baugrund
Bild 4-28: Ersatzfeder bei elastischem Baugrund
HBrems
cF
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4.4.4 Reihenschaltung und Parallelschaltung von Dehnfedern
Reihenschaltung von Federn Parallelschaltung von Federn
;
+ =
Bild 4-29: Reihen- und Parallelschaltung von Federn
11
FcFf =
22
FcFf =
21 fffges +=
1Fges c
Ff =2Fc
FerscF
∑=+=FiFFers cccc1111
11
fcfcFFF FF ⋅+⋅=+= 2121
fccF FF ⋅+= )( 21
fcF ers ⋅=
21 FFers ccc +=
∑= Fiers cc
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4.4.5 Drehfedern
ϕ: Federdrehwinkel infolge M
cM : Drehfedersteifigkeit; [cM] = , z.B.
Bild 4-30: Drehfedergesetz
Wirkliches System Ersatzsystem
Bild 4-31: Ersatz-Drehfeder
LK ⋅ kNm
ϕ
M = cM ⋅ϕ ϕ
cM
M
M
ϕ ϕ
cM=?
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4.4.6 Berücksichtigung von Federungen im Arbeitssatz Verformungen ohne Federn
Verformungen mit Feder
Bild 4-32: Einfluss einer Dehnfeder bei der Verformungsberechnung
CN
1
cF
fm= fm1+ fmc
fC = Nc/cF
BNc =
fm1
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Kragstütze mit elastischer Einspannung Bild 4-33: Einfluss einer Drehfeder bei der Verformungsberechnung
Verallgemeinerung
** WA =
1� ∙ 𝑓𝑓 = � 𝑁𝑁�(𝑥𝑥) ∙𝑁𝑁(𝑥𝑥)𝐸𝐸 ∙ 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑀𝑀�(𝑥𝑥) ∙𝑀𝑀(𝑥𝑥)𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥 + � 𝑑𝑑�(𝑥𝑥) ∙𝑑𝑑(𝑥𝑥)𝐺𝐺 ∙ 𝑑𝑑𝑉𝑉
∙ 𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)(𝑙𝑙)
± ∑F
cc c
NN Dehnfedern
± ∑M
cc c
MM Drehfedern
Das Produkt cc NN ⋅ bzw. cc MM ⋅ ist positiv, wenn beide Kraftgrößen die gleiche Richtung aufweisen. Ansonsten ist es negativ.
fo1
ϕc = M/cM
fo= fo1+foc
1
CM
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4.5 Gesamtverschiebung
( ) ( ) dxGAVV
dT
EIMMT
EANNf Q
TST∫
⋅⋅+
∆⋅
+⋅++
+⋅+⋅+=⋅ καϕεαϕ 111
+ ∑∑∑∑ ∆⋅−∆⋅−⋅+⋅ iiiim
cc
F
cc MsC
cMM
cNN ϕ
f⋅1 = ∫ ⋅⋅ dxEANN Normalkraft
+ ∫ ⋅⋅⋅ dxEANNϕ Kriechen infolge Normalkraft
+ ∫ ⋅⋅⋅ dxTN Tα Temperaturdehnung
+ ∫ ⋅⋅ dxN Sε Schwinden
+ ∫ ⋅⋅ dxEIMM Biegemoment
+ ∫ ⋅⋅ dxEIMMϕ Kriechen infolge Biegemoment
+ ∫ ⋅∆⋅
⋅ dxd
TM Tα veränderliche Temperaturverteilung
+ ∫ ⋅⋅⋅ dxGAVVVκ Querkraft
+ ∑ ⋅F
cc c
NN Dehnfedern
+ ∑ ⋅m
cc c
MM Drehfedern
± ii sS∑ ∆⋅ Stützensenkungen
± iiM∑ ∆⋅ ϕ Stützenverdrehungen
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4.6 Beispiele mit Federungen und Stützensenkungen 4.6.1 Beispiel 14
Bild 4-34: Beispiel 14 mit Dehnfeder - System und Belastung
Auflagerkräfte infolge gegebener Belastung infolge 1-Last
Biegemomente
Bild 4-35: Beispiel 14 mit Dehnfeder – Auflagerkräfte und Momentenlinien
Überlagerung
1 m
cF = 300 kN/m
F = 10 kN
3 m 2 m
fE = ?
HEB 400
Querschnittswerte
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4.6.2 Beispiel 15
Bild 4-36: Beispiel 15 mit Drehfeder - System und Belastung
Auflagerkräfte infolge gegebener Belastung infolge 1-Last
Biegemomente
Bild 4-37: Beispiel 15 mit Drehfeder – Auflagerkräfte und Momentenlinien
Überlagerung
cM = 0,1⋅ E Ι q = 5 kN/m
4 m
fB = ?
3 m
3 m
3 m
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4.6.3 Beispiel 16 - Gelenkträger
Bild 4-38: Beispiel 16 - Gelenkträger - System und Belastung
Auflagerkräfte infolge gegebener Belastung infolge 1-Last
Bild 4-39: Beispiel 15 Gelenkträger - Auflagerkräfte
Biegemomente
Bild 4-40: Beispiel 16 - Gelenkträger - Momentenlinien
Überlagerung
F = 10 KN
2 m
∆s=2cm
EΙ = 10000 kNm2
f1 = ?
q = 5 KN/m
2 m 2 m 2 m 2 m
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4.6.4 Zusammenfassendes Beispiel 17
Bild 4-41: Zusammenfassendes Beispiel 17 - System und Belastung
Beton B25 E = 30.000 MN/m2 G = 12.500 MN/m2
αT = 10-5 1/K
ϕK = 0,6
εs = - 40 ⋅ 10-5
b/d = 20 cm / 40 cm A = 800 cm2
Ι = 20 ⋅ 403 / 12 = 106.667 cm4
EA = 3⋅107 kN/m2⋅10-4 ⋅ 800 = 2,4 ⋅106 kN
EΙ = 3 ⋅103 kN/cm2 ⋅106.667 cm4 = 3,2 ⋅108 kNcm
GA = 1,25 ⋅103 kN/cm2 ⋅ 800 cm2 = 106 kN
TS = 15 K ∆T = 30 K
2 4 m 4 m
4 m
q = 5 kN/m
∆sA = 4 cm
cF = 100 kN/cm
cm = 8 ⋅105 kNcm
fE = ?
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Auflagerkräfte und Schnittgrößen
Bild 4-42: Zusammenfassendes Beispiel 17 - Ergebnisse
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f⋅1 = ∫ dxEANN
+ ∫ dxEANNϕ
+ ∫ TdxN Tα
+ ∫ dxN Sε
+ ∫ dxEIMM
+ ∫ dxEIMMϕ
+ ∫∆ dxdTM Tα
+ ∫ dxGAVVVκ
+∑F
cc c
NN
+∑m
cc c
MM
- ii sC∑ ∆
- iiM∑ ∆ϕ
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4.6.5 Beispiel 18 - Dreigelenkrahmen 2
Bild 4-43: Beispiel 18 - Dreigelenkrahmen 2 - System und Belastung
Gesucht ist der Wert für den Knick in der Biegelinie am Gelenk ∆φG.
Auflagerkräfte, Momente und Normalkraftlinien infolge q infolge M= 1
Bild 4-44: Beispiel 18 - Dreigelenkrahmen 2 - Schnittkraftlinien
HEB 400
4 4
5
q = 25 kN/m
11 =M
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4.7 Grundaufgaben der Verformungsberechnung
Bild 4-45: Grundaufgaben der Verschiebungsberechnung
1=M
f
∆ϕG
1=F
Berechnung einer absoluten Verschiebung f
ϕ
Berechnung einer absoluten Verdrehung ϕ
f2
1=F
Berechnung einer relativen Verschiebung f=f1 + f2
Berechnung einer relativen Verdrehung in einem Gelenk (Knick) ∆ϕG = ϕ1 + ϕ2
f1
1=F
ϕ2 ϕ1
1=M 1=M
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5 Das Kraftgrößenverfahren 5.1 Idee des Kraftgrößenverfahrens
Berechnung an einem beliebigen statisch bestimmten Hauptsystem
Einwirkung einer Einheitslast X1
Addition
Bild 5-1: Idee des Kraftgrößenverfahrens
w10
w11
X1
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5.2 Vorgehen 1. Bestimmung des Grades der statischen Unbestimmtheit Abzählkriterium
n = a + z – 3 p
2. Wahl eines zweckmäßigen statisch bestimmten Hauptsystems (SBHS) durch Lösen von Bindungen (durch Einführung von Gelenken oder Entfernen von Auflagerbindungen) (i = 1 ...n)
3. Ermittlung der Schnittgrößen infolge der gegebenen Belastung am SBHS (Lastspannungszustand, LSZ)
λ
q
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4. Ermittlung der Einheitsspannungs- oder Eigenspannungszustände(ESZ) Dort, wo Gelenke eingeführt wurden und/oder Bindungen entfernt wurden, werden entsprechende Kraftgrößen eingeführt (Xi = 1) und die zugehörige Momentenlinie Mi gezeichnet.
5. Berechnung der δ-Zahlen a) Verdrehung infolge der äußeren Belastung
δ10 = dxEI
xMxM
l
⋅⋅∫)(
01
)()( Fehler! Textmarke nicht definiert.
b) Rückgängig durch ein Moment X1
δ11 = dxEI
xMxMl
⋅⋅∫)(
11
)()( Fehler! Textmarke nicht definiert.
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6. Elastizitätsgleichungen (Kompatibilitätsbedingungen)
δ10 + X1 ⋅ δ11 = 0
X1 ⋅ δ11 = - δ10 ⇒ X1 = - 11
10
δδ
Allgemein :
X1 ⋅ δ11 + X2 ⋅ δ12 + ... Xn ⋅ δ1n = - δ10 X1 ⋅ δ21 + X2 ⋅ δ22 + ... Xn ⋅ δ2n = - δ20 .
X1 ⋅ δn1 + X2 ⋅ δn2+ ... Xn ⋅ δnn = - δn0
7. Endgültige Auflagerkräfte und Zustandslinien durch Superposition (Addition)
A = A0 + X1 ⋅ A1
M = M0 + X1 ⋅ M1
N = N0 + X1 ⋅ N1
V = V0 + X1 ⋅ V1
allgemein:
A = A0 + Σ Xi ⋅ Ai
M = M0 + Σ Xi ⋅ Mi
N = N0 + Σ Xi ⋅ Ni
V = V0 + Σ Xi ⋅ Vi
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8. Kontrollen a) Gleichgewichtskontrollen
insbesondere für das SBHS kontrollieren ! b) abhängige Formänderungskontrollen (s.a. 3.2 Reduktionssatz)
δ1 = dxEI
xMxMl∫
)(1
)()( = 0 , M(x) : endgültige
Momentenlinie Fehler! Textmarke nicht definiert.
δi = dxEI
xMxMl
i∫)(
)()( = 0
Die Verformungen (Verschiebungen oder Verdrehungen) δi am wirklichen ( statisch unbestimmten ) System
in Richtung der statisch Überzähligen Xi sind gleich Null.
Hiermit werden kontrolliert:
Die Superposition (Addition von LSZ und ESZn)
Berechnung der δik – Werte
Berechnung der δi0 – Werte Lösung des Gleichungssystems
Hiermit werden nicht kontrolliert: die Mi – und M0 - Linien
c) unabhängige Formänderungskontrollen Wahl eines anderen statisch bestimmten Hauptsystems
δk = dxEI
xMxMl
k∫)(
)()( = 0
Die Verformungen (Verschiebungen oder Verdrehungen) δk am wirklichen ( statisch unbestimmten ) System
in Richtung der statisch Überzähligen Xk sind gleich Null.
Hiermit werden kontrolliert (wie b) sowie :
die Mi - Linien
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5.3 Verformungsberechnung an statisch unbestimmten Systemen - Der Reduktionssatz
Die Verformung eines beliebigen Punktes m an einem statisch unbestimmten System ergibt nach dem PdvK zu:
δm = dxEI
xMxMl∫
)(
)()( = ( ) dxEI
xMMXMXMl∫ ++
)(22110
)(
)(xM :endgültige Momentenlinie am statisch unbestimmten System
)(xM : Momentenlinie infolge der virtuellen Kraftgröße 1 am statisch unbest. System
δm = dxEI
xMxMl∫
)(0
)()(
)(xM : endgültige Momentenlinie am statisch unbestimmten System
)(xM0 : Momentenlinie infolge der virtuellen Kraftgröße 1 am SBHS
Alternatives Vorgehen
δm = dxEI
xMxMl∫
)(
)()( = dxEI
MXMXMxMl∫
++
)(
22110)(
δm = dxEI
xMxMl∫
)(
0 )()(
)(xM Momentenlinie infolge der virtuellen Kraftgröße 1 am statisch unbest. System
)(xM0 Momentenlinie infolge äußerer Belastung am SBHS
Reduktionssatz
Für die Verformungsberechnung an statisch unbestimmten Systemen dürfen im Arbeitsintegral entweder die virtuellen Kraftgrößen oder die wirklichen
Kraftgrößen an einem beliebigen SBHS ermittelt werden.
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5.4 Beispiele für einfach statisch unbestimmte Systeme 5.4.1 Beispiel 1
Bild 5-2: Zweifeldträger - System und Belastung
Mögliche statisch bestimmte Hauptsysteme
Bild 5-3: Beispiel 1 – Mögliche statisch bestimmte Hauptsysteme
q = 5 kN/m
3 m 4 m
1 m
10 kN
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5.4.2 Beispiel 2
Bild 5-4: Einhüftiger Rahmen - System und Belastung
Bild 5-5: Einhüftiger Rahmen – LSZ und ESZ
q = 10 kN/m
3 m
5 m
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5.4.3 Beispiel 3
Bild 5-6: Einhüftiger Rahmen mit Kragarm - System und Belastung
Bild 5-7: Einhüftiger Rahmen mit Kragarm – LSZ und ESZ
3 m
q = 4 kN/m
5,5 m 1,5 m
3 kN
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5.5 Berücksichtigung von Temperatureinflüssen, Schwinden, Auflagerverformungen und Federn
5.5.1 Temperatureinfluss TAuf : Aufstelltemperatur
Tunt : aktuelle Temperatur an der Unterseite (gestrichelte Zone) des Querschnitts
Toben : aktuelle Temperatur an der Oberseite des Querschnitts
Ts : gleichmäßige Temperaturänderung bezogen auf die Schwereachse (Abkühlung oder Erwärmung, z.B. Sommer - Winter)
∆T : Temperaturunterschied über den Querschnitt
Bild 5-8: Temperaturlastfälle
Für die dargestellte Situation (symmetrischer Querschnitt und Erwärmung) ergibt sich:
Auf
obenunt
s TTTT −+
=2
Es gilt immer: oben
unt TTT −=∆ (Vorzeichen beachten !)
Beispiele
Mit Hilfe einer Skizze sind jeweils Ts und ∆T gesucht.
1) TAuf = 5° C; Toben = 10° C; Tunt= 40°C
2) TAuf = 10° C; Toben = - 40° C; Tunt= - 10°C
3) TAuf = 20° C; Toben = -10° C; Tunt= - 50°C
4) T- Querschnitt
Toben
Tunt TAuf ∆T= Tunt– Toben TS
TS = + d
0°
d/2
d/2
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5.5.2 Gleichmäßige Temperatur Ts
ε = ll∆
∆ℓT = αT ⋅ Ts ⋅ ℓ;
εT = llT∆
= αT ⋅ Ts
=⋅ iTδ1 ∫ ⋅⋅⋅ dxTN STi α Verformung infolge Temperaturdehnung
Ts : Temperaturänderung (z.B. gegenüber der Aufstelltemperatur) in der Schwerpunktachse
δ1T + X1 ⋅ δ11 = 0; ⇒ X1 ⋅ δ11 = - δ1T ⇒ X1 = - 11
1
δδ T
5.5.3 Veränderliche Temperaturverteilung ∆T über den Querschnitt
dTT
T∆⋅
=∆ακ Krümmung infolge veränderlicher Temperaturverteilung
=⋅∆Tiδ1 ∫
∆⋅ dx
dTM Tα Verformung infolge veränderlicher Temp. Vert.
δ1∆T + X1 ⋅ δ11 = 0; ⇒ X1 ⋅ δ11 = - δ1∆T ⇒ X1 = - 11
1
δδ T∆
TS
∆λ
λ
∆T= Tunt– Toben
d
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5.5.4 Schwinden
εs = lls∆
= - 20 . . . - 40 ⋅ 10-5 = const. (Endschwindmaß bei Beton)
=⋅ isδ1 ∫ ⋅ dxN si ε Verformung infolge Schwinden
5.5.5 Vorgegebene Auflagerverformungen
=⋅∆siδ1 ±
ii sC∑ ∆ Stützensenkungen
± iiM∑ ∆ϕ Stützenverdrehungen
(s. Abschn. )
5.5.6 Endgültige Zustandsgrößen bei Zwängungslastfällen
C
∆s
∆ϕ
A = 0 + Σ Xi ⋅ Ai, M = 0 + Σ Xi ⋅ Mi Zwängungslastfälle erzeugen am SBHS keine Schnittgrößen.
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5.5.7 Federungen Federarbeit muss berücksichtigt werden.
∑∑ +=⋅m
cc
F
ccic c
MMcNNδ1 Dehnfedern und Drehfedern
(s. Abschn. ……)
Möglichkeit 1: Federung für SBHS entfernen (Xi ansetzen)
cXXdx
EIMM i
ii
iii +=⋅ ∫δ1 ; Federarbeit der statisch Unbestimmten Xi, z.B. X1
∫ +=⋅ OdxEIMM k
iikδ1
Federarbeit wird nur einmal berücksichtigt, und zwar im betreffenden ESZ.
Möglichkeit 2: Federungen bleiben im SBHS
cXXdx
EIMM i
ii
iii +=⋅ ∫δ1 ∑∫ +=⋅cNNdx
EIMM k
ik
iikδ1
∑∫ +=⋅cNNdx
EIMM iii
0001 δ
Federarbeit muss sowohl bei der gegenseitigen Überlagerung der ESZ als auch bei der Überlagerung der ESZ mit den LSZ berücksichtigt werden.
Federarbeit muss bei allen Delta-Zahlen berücksichtigt werden -> sehr aufwändig.
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5.5.8 Beispiel 4 (Zwängungslastfälle am einfach unbestimmten System)
Bild 5-9: Zweigelenkrahmen - System und Belastung
LF 1: Streckenlast LF 2: Temperaturlastfälle: Aufstelltemperatur: T0 = 10° C,
Außentemperatur: Ta = 50 °C , Innentemperatur Ti = 20 ° C
o LF 2a: Ts
o LF 2b: ∆T
LF 3: Stützensenkung ∆sB = 2 cm
LF 1: Streckenlast SBHS, LSZ
Bild 5-10: Zweigelenkrahmen – SBHS / LSZ
∆sB = 2 cm
Ta = 50
Ti = 20
T0 = 10
HEB 400
E = 2,1 ⋅ 105 MN/m2
αT = 1,2 ⋅ 10-5 1/K 4 m
10 m
q = 7,5 kN/m
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Zusammenfassung
Bild 5-11: Zweigelenkrahmen – Visualisierung der Ergebnisse
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5.5.9 Beispiel 5 (Anwendung des Reduktionssatzes)
Bild 5-12: Tragwerk mit Dehnfeder - System und Belastung
Lösung mit STAB2D
Bild 5-13: Ergebnisplot aus STAB2D
Lösung mit Reduktionssatz (s.S. 82)
1⋅ fm = dxEI
xMxMl∫
)(
)()(
1⋅ fm = dxEI
xMxMl∫
)(
0 )()(
6 6
∆s = 1 cm
∆T = -20 K
cF = 50000 kN/ m
HEB 500
EΙ = const.
Ι = 107.200 cm4
E = 2,1 ⋅ 105 MN/m2
αT = 1,2 ⋅ 10-5 1/K fm = ?
3
q = 10 kN/m
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1) Zustand an einem beliebigen SBHS
Bild 5-14: M(q) am SBHS
2) Zustand infolge F= 1 (am statisch unbestimmten System! mit Feder!)
a) SBHS, LSZ
Bild 5-15: M(1) am SBHS
b) ESZ
Bild 5-16: ESZ
∆s = 1 cm
∆T = -20 K
cF = 50000 kN/ m
q = 10 kN/m
F = 1 kN
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c) Delta-Zahlen
d)
e) Superposition: M = M0 + X1⋅ M1
Bild 5-17: Endgültige Momentenlinie M(1)
3) Arbeitssatz
dxEI
xMxMl
⋅⋅= ∫)(
1111
)()(δ
dxEI
FMxMl
⋅⋅= ∫)(
0110
)()(δ
sCcBBdxxxMdx
EIxMxMf
fl
T
lm ∆⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅ ∫∫ ∆
=)()(
0 )()()()(1 κ
=−=11
101 δ
δX
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5.5.10 Beispiel 6 - Zweigelenkrahmen
Bild 5-18: Beispiel 6 - System und Belastung
10 kN
4 m
3 m
3 m
10 kN
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A
X1=B
E
X2=C X3=D
A2 E2
X2=1
C A B D E
A1 E1
X1=1
A3 E3
X3=1
5.6 Mehrfach statisch unbestimmte Systeme 5.6.1 Einführendes Beispiel Durchlaufträger
Bild 5-19: Visualisierung von Delta-Zahlen beim Durchlaufträger
q
1 2 3
δ32 δ22
δ12
δ31 δ21 δ11
δ33 δ23 δ13
δ30 δ20
δ10
q
A0 E0
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5.6.2 Gleichungssystem und -lösung
X1 ⋅ δ11 + X2 ⋅ δ12 + ... Xn ⋅ δ1n = - δ10 X1 ⋅ δ21 + X2 ⋅ δ22 + ... Xn ⋅ δ2n = - δ20 .
X1 ⋅ δn1 + X2 ⋅ δn2+ ... Xn ⋅ δnn = - δn0 Matrizenschreibweise
nnnknn
iiik
n
nki
δδδδδδ
δδδδδδδ
21
22221
11211
n
i
XXXX
2
1
= -
0
0
20
10
n
i
δδδδ
δ ⋅ X = - δ0 Delta-Matrix * Unbekanntenvektor = - Lastverschiebungsvektor (rechte Seite)
Lösung: X = [ δ-1] ⋅ [- δ0] δ muss invertierbar sein. Für mehr als 3 Unbekannte wird der Gauss-Algorithmus angewandt (Dreieckzerlegung der Matrix δ).
Ansonsten: Kramersche Regel
Definition der Determinanten: D = det δ, D1 = det δ1 , D2 = det δ2, ... , Di = det δi
Man erhält δi, indem man die i-te Spalte der Matrix δ durch den Vektor der rechten Seite ersetzt.
Bei 2 Unbekannten:
X1 = DD1
X2 = DD2
Die Hauptdiagonalelemente der Systemmatrix δ sind positiv
δii > 0 (quadratisch)
Die Matrix δ ist symmetrisch δik = δki (Satz von Maxwell)
D = det
2221
1211
δδδδ
= δ11 ⋅ δ22 - δ12 ⋅ δ21
D1 = det
−−
2220
1210
δδδδ
= - δ10 ⋅ δ22 + δ12 ⋅ δ20
D2 = det
−−
2021
1011
δδδδ
= - δ11 ⋅ δ20 + δ10 ⋅ δ21
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Bei 3 Unbekannten:
X1 = DD1 ; X2 =
DD2 ; X3 =
DD3
D = det
333231
232221
131211
δδδδδδδδδ
= δ11 ⋅ δ22 ⋅ δ33 + δ12 ⋅ δ23 ⋅ δ31 + δ13 ⋅ δ21 ⋅ δ32
D1 = det
−−−
333230
232220
131210
δδδδδδδδδ
= - δ10 ⋅ δ22 ⋅ δ33 - δ12 ⋅ δ23 ⋅ δ30 - δ13 ⋅ δ20 ⋅ δ32
D2 = det
−−−
333031
232021
131011
δδδδδδδδδ
= - δ11 ⋅ δ20 ⋅ δ33 - δ10 ⋅ δ23 ⋅ δ31 - δ13 ⋅ δ21 ⋅
δ30
D3 = det
−−−
303231
202221
101211
δδδδδδδδδ
= - δ11 ⋅ δ22 ⋅ δ30 - δ11 ⋅ δ20 ⋅ δ31 - δ10 ⋅ δ21 ⋅ δ32
Weitere Vereinfachungen wegen δik = δki
- δ13 ⋅ δ22 ⋅ δ31 - δ12 ⋅ δ21 ⋅ δ33 - δ11 ⋅ δ23 ⋅ δ32
+ δ13 ⋅ δ22 ⋅ δ30 + δ12 ⋅ δ20 ⋅ δ33 + δ10 ⋅ δ23 ⋅ δ32
+ δ13 ⋅ δ20 ⋅ δ31 + δ10 ⋅ δ21 ⋅ δ33 + δ11 ⋅ δ23 ⋅ δ30
+ δ10 ⋅ δ22 ⋅ δ31 + δ12 ⋅ δ21 ⋅ δ30 + δ11 ⋅ δ20 ⋅ δ32
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Allgemein: 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten:
2222121
1212111
rXaXarXaXa
=⋅+⋅=⋅+⋅
In Matrizenschreibweise:
=
⋅
2
1
2
1
2221
1211
rr
XX
aaaa
X1 = DD1
X2 = DD2
Bei 3 Unbekannten:
3333232131
2323222121
1313212111
rXaXaXarXaXaXarXaXaXa
=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅
;
=
⋅
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
rrr
XXX
aaaaaaaaa
X1 = DD1 ; X2 =
DD2 ; X3 =
DD3
D = det
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
= a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a21 ⋅ a32
D1 = det
33323
23222
13121
aaraaraar
= r1 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ r3 + a13 ⋅ r2 ⋅ a32
D2 = det
33331
23221
13111
araaraara
= a11 ⋅ r2 ⋅ a33 + r1 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a21 ⋅ r3
D3 = det
33231
22221
11211
raaraaraa
= a11 ⋅ a22 ⋅ r3 + a11 ⋅ r2 ⋅ a31 + r1 ⋅ a21 ⋅ a32
D = det
2221
1211
aaaa
= a11 ⋅ a22 - a12 ⋅ a21
D1 = det
222
121
arar
= r1 ⋅ a22 - a12 ⋅ r2
D2 = det
221
111
rara
= a11 ⋅ r2 – r1 ⋅ a21
- a13 ⋅ a22 ⋅ a31 - a12 ⋅ a21 ⋅ a33 - a11 ⋅ a23 ⋅ a32
- a13 ⋅ a22 ⋅ r3 - δ12 ⋅ r2 ⋅ a33 - r1 ⋅ a23 ⋅ a32
- a13 ⋅ r2 ⋅ a31 - r1 ⋅ a21 ⋅ a33 - a11 ⋅ a23 ⋅ r3
- r1 ⋅ a22 ⋅ a31 - a12 ⋅ a21 ⋅ r3 - a11 ⋅ r2 ⋅ a32
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5.6.3 Zur Wahl des statisch bestimmten Hauptsystems
Bei der Wahl des SBHS sind folgende Punkte zu beachten:
1. Formänderungsbenachbartes SBHS wählen ! 2. Xi so wählen, dass sich die ESZ möglichst wenig beeinflussen. 3. Keine verschieblichen Systeme verwenden !
Hierdurch werden numerische Schwierigkeiten bei der Lösung des Gleichungssystems
X1 ⋅ δ11 + X2 ⋅ δ12 + ... Xn ⋅ δ1n = - δ10 X1 ⋅ δ21 + X2 ⋅ δ22 + ... Xn ⋅ δ2n = - δ20 .
X1 ⋅ δn1 + X2 ⋅ δn2+ ... Xn ⋅ δnn = - δn0 vermieden.
Bsp.: Durchlaufträger
Bild 5-20: Zur Wahl des statisch bestimmten Hauptsystems
qualitative Biegelinie X1 = 1 X2 = 1
X1 = 1 X2 = 1
nicht formänderungsbenachbart,
δ-Zahlen aufwändig
unbrauchbar, da verschieblich
gut geeignet, da formänderungsbenachbart,
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Verschiebliche Systeme sind unbrauchbar Das Abzählkriterium liefert bei allen nachfolgend dargestellten Systemen n=0.
Jedoch sind alle Systeme verschieblich; es lässt sich widerspruchsfrei ein Polplan erstellen.
Bild 5-21: Verschiebliche Systeme
Pol
Pol Im Unendlichen
Polstrahlen
Pol
Pol Pol
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5.6.4 Beispiel 7 - Dreifeldträger
Bild 5-22: Beispiel 7 - System, Belastung, Schnittgrößen
Gesucht: Auflagerkräfte, Biegemomentenlinie und Querkraftlinie
LSZ
ESZ
Bild 5-23: Beispiel 7 - LSZ und ESZe
q = 20 kN/m q = 20 kN/m
F = 100 kN
F = 100 kN
F = 100 kN
2
8 m 10 m 6 m
3
X1 = 1
X2 = 1
EI = const.
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5.6.5 Beispiel 8 (mit Federungen)
Bild 5-24: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern - System und Belastung
Gesucht: Auflagerkräfte und Biegemomentenlinie SBHS und LSZ
Bild 5-25: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern – SBHS und LSZ
10 m 15 m
cm = EΙ/15 kNm cFh = EΙ / 50 kN/m
q = 8 kN/m
5 m
cFv = EΙ / 100 kN/m
EΙ = konst.
EA = ∞
q = 8 kN/m
5 m
cFv = EΙ / 100 kN/m
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ESZe
Bild 5-26: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern – ESZe
X1 = 1
X2 = 1
X3 = 1
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Superposition
Bild 5-27: Beispiel 8 mit Dehn- und Drehfedern – Superposition
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Tabellarische Berechnung ausgewählter Zustandsgrößen Z = Z0 + Σ Xi Zi
Z Z0 X1 Z1 X2 Z2 X3 Z3 Z
A -3,16 ⋅ -197,87 ⋅ -31,52 ⋅
B -3,16 ⋅ -197,87 ⋅ -31,52 ⋅
BH -3,16 ⋅ -197,87 ⋅ -31,52 ⋅
C -3,16 ⋅ -197,87 ⋅ -31,52 ⋅
Meck,li -3,16 ⋅ -197,87 ⋅ -31,52 ⋅
Meck,u -3,16 ⋅ -197,87 ⋅ -31,52 ⋅
Maximale Momente
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5.6.6 Beispiel 9
Bild 5-28: Tragwerk mit Drehfeder - System und Belastung
ESZ 1
ESZ 2
Bild 5-29: Beispiel 9 mit Drehfeder – ESZe
3 m 3 m
4 m
∆sv = 1 cm
TAuf = 10° C
EA = ∞
d/b = 0,4m / 2m
C 35/ 45
cm = 40.000 kNm TA = 20° C
2 m
Ti = -15° C
w=4 kN/m
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5.7 Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften 5.7.1 Eigenschaften von Zustandslinien bei symmetrischer und
antimetrischer Belastung Symmetrische Belastung Antimetrische Belastung symmetrisch antimetrisch antimetrisch symmetrisch symmetrisch antimetrisch antimetrisch symmetrisch symmetrisch antimetrisch
Bild 5-30: Schnittgrößenverläufe bei Symmetrie und Antimetrie
Bild 5-31: Symmetrie und Antimetrie: Symmetrieachse senkrecht zum Stab
Zustandsgrößen
in der Symmetrieachse
Äquivalentes Ersatzsystem
Gegebenes System mit Belastung
0 0 u 0 V
===
ϕ 0 0 N 0 M
===
w
Symmetrie Antimetrie
F
F
FF HH HH
FFHH
V
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
q
M
β
w -
-
-
- -
-
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Stab in der Symmetrieachse
Bild 5-32: Symmetrie und Antimetrie: Symmetrieachse im Stab
5.7.2 Belastungsumordnung
= +
Bild 5-33: Belastungsumordnung bei symmetrischen Systemen
w/2
Äquivalentes Ersatzsystem
Gegebenes System mit Belastung
0 V0 M
== 0 N =
2F
F FF
A F
F
I
F
2A
F
2I
Symmetrie Antimetrie
Schnittgrößen im mittleren Stiel
symmetrisch antimetrisch
w w/2 w/2 3-fach unbestimmt
2-fach unbestimmt 1-fach unbestimmt
w/2 w/2
w/2
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5.7.3 Beispiel 10 - Klausuraufgabe Für die nachfolgend dargestellte Rahmenbrücke sind die Biegemomentenlinie und die Auflagerkräfte infolge der gegebenen Belastung mithilfe des Kraftgrößenverfahrens zu berechnen und zeichnerisch darzustellen.
Die Belastungen F = 100 kN und p= 5 kN/m wirken gleichzeitig. Für sämtliche Stäbe ist EI = konst. und EA = ∞ anzunehmen.
Bild 5-34: Beispiel 10 mit Dehnfedern - System und Belastung
2 m
cF = 0,001 EI
2 m
2
p = 5 kN/m F = 100 kN
5 m
20 m 6 m
F = 100 kN
F = 100 kN
6 m
10 m
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Berechnung unter Ausnutzung von Symmetriebedingungen
Bild 5-35: Beispiel 10 mit Dehnfeder - System und Belastung
SBHS und LSZ
Bild 5-36: Beispiel 10 mit Dehnfeder – SBHS und LSZ
2 m 6 m 10 m
5 m
2 m
q = 5 kN/m V2 = 50 kN
V1 = 100 kN
cF = 0,001 EΙ
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LSZ und ESZ
Bild 5-37: Beispiel 8 mit Dehnfeder – LSZ und ESZe
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5.7.4 Beispiel 11 - Klausuraufgabe 2 Für das nachfolgend dargestellte statische System sind die Auflagerkräfte sowie die Zustandslinien für Biegemoment, Querkraft und Normalkraft unter Verwendung des Kraftgrößenverfahrens zu ermitteln und mit Angabe der Extremwerte zeichnerisch darzustellen. Für sämtliche Stäbe ist EI = const. und EA =const. anzunehmen.
Für sämtliche Stäbe:
b/d = 100 cm / 40 cm
E = 33300 MN/m2
Für die 3 unteren Stäbe:
Aufstelltemperatur: T0 = 10 K
Ti = 0 K, Ta = 50 K
αT = 1,0 ⋅ 10-5 1/K
Bild 5-38: Beispiel 11 mit Drehfedern - System und Belastung
Tabelle 5-1: Notwenigkeit der Ermittlung von N-Linien
In welchen Fällen müssen N-Linien gezeichnet werden
Fall Aufgabe LSZ ESZ wofür
1 EA = const. ja Ja ∫ ⋅⋅= dx
EANNii
00δ ; ∫ ⋅⋅= dx
EAN
N kiikδ
2 εt = αT ⋅ Ts;
εs = - …….
nein ja ∫ ⋅⋅= dxNii εδ 0
3 Nend ja ja ....22110 +⋅+⋅+= NXNXNN
oder über Auflagerkräfte und Gleichgewicht
qE = 30 kN/m
q = 30 kN/m
cm = 0,4 EI
3 m
Ta = 50 K
3 m
Ta = 50 K
Ta = 50 K
Ti = 0 K
2m 2m 2m 2m 2m 2m
qE = 30 kN/m
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Zusammenfassung der δ-Zahlen und Lösung des Gleichungssystems
δ11 = 2,0844 ⋅ 10-5 ; δ12 = 0,3386 ⋅ 10-5; δ22 = 2,929 ⋅ 10-5
δ1,0 = - 296 ⋅ 10-5 ; δ2,0 = - 1012,3 ⋅ 10-5
X1 X2 Rechte Seite
2,0844 ⋅ 10-5 0,3386 ⋅ 10-5 296 ⋅ 10-5
0,3386 ⋅ 10-5 2,929 ⋅ 10-5 1012,3 ⋅ 10-5
Lösung: X1 = MA = 87,5 ; X2 = MB = 335,5
Tabellarische Berechnung ausgewählter Zustandsgrößen
Z = Z0 + Σ Xi Zi
Zustandsgröße Z0 X1 Z1 X2 Z2 Z
A= 87,5 ⋅ 335,5 ⋅
AH= 87,5 ⋅ 335,5 ⋅
B = -NRiegel 87,5 ⋅ 335,5 ⋅
NStiel 87,5 ⋅ 335,5 ⋅
MEckoben 87,5 ⋅ 335,5 ⋅
MEckunten 87,5 ⋅ 335,5 ⋅
MEckrechts 87,5 ⋅ 335,5 ⋅
Bild 5-39: Beispiel 11 mit Drehfedern – EDV-Plot der M-Linie
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δ-Zahlen, Lösung des Gleichungssystem und Ergebnisse ohne Feder
X1 X2 Rechte Seite
0,6810 ⋅ 10-5 0,3386 ⋅ 10-5 296 ⋅ 10-5
0,3386 ⋅ 10-5 2,929 ⋅ 10-5 1012,3 ⋅ 10-5
Lösung: X1 = MA = 280 ; X2 = MB = 313,4
Tabellarische Berechnung ausgewählter Zustandsgrößen
Z = Z0 + Σ Xi Zi
Zustandsgröße Z0 X1 Z1 X2 Z2 Z
A= 280 ⋅ 313,4 ⋅
AH= 280 ⋅ 313,4 ⋅
B = -NRiegel 280 ⋅ 313,4 ⋅
NStiel 280 ⋅ 313,4 ⋅
MEckoben 280 ⋅ 313,4 ⋅
MEckunten 280 ⋅ 313,4 ⋅
MEckrechts 280 ⋅ 313,4 ⋅
Bild 5-40: Beispiel 11 - EDV-Plot der M-Linie
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5.8 Computerunterstützte Berechnung von Stabtragwerken 5.8.1 Verbreitete Stabwerksprogramme (Auswahl)
Stab2D
Gutes und einfaches Stabwerkprogramm zur Ermittlung von Schnittgrößen und Verformungen bei ebenen Stabtragwerken (auf den Rechnern im FB 3 installiert)
Demoversion zum download unter
http://www.isd.uni-hannover.de/62.html
RuckZuck
Gutes und einfaches Stabwerkprogramm zur Ermittlung von Schnittgrößen und Verformungen bei ebenen Stabtragwerken (Fachwerke, Durchlaufträger, Rahmentragwerke)
Demoversion zum download unter
http://www.ruckzuck.co.at/Download.aspx
PCAE
4H-NISI von PCAE
Gutes Stabwerksprogramm zur statischen Berechnung und Bemessung beliebiger ebener Stabtragwerke aus Stahl, Holz oder Stahlbeton (Lehrversion auf den Rechnern im FB 3 installiert)
Weiter Infos unter
http://www.pcae.de
Friedrich & Lochner
Weit verbreitetes Programmsystem mit DLT10 (Durchlaufträger) und ESK (Ebenes Stabwerk) zur statischen Berechnung und Bemessung beliebiger ebener Stabtragwerke aus Stahl, Holz oder Stahlbeton
Weitere Infos unter
http://www.frilo.de
RSTAB
RSTAB von Dlubal: Gutes Stabwerkprogramm insbesondere für die statische Berechnung und Bemessung von Stahltragwerken.
(Lehrversion auf den Rechnern im FB 3 installiert)
http://www.dlubal.de
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5.8.2 Kurzer Vergleich Tabelle 5-2: Kurzer Vergleich ausgewählter Statikprogramme
Stab2d 4H-NISI (PCAE) RSTAB
Bemessung nein ja ja
Federn nein ja ja
Th. 2. Ordnung Ja (1 LF) ja ja
Lastfallüberlagerung nein ja ja
Einheitsverdrehungen
(für Einflusslinien)
ja nein nein
5.8.3 Eingabe von Temperaturlastfällen Eine Eingabemöglichkeit für den Wert der Aufstelltemperatur existiert in Programmen nicht.
Geg. : TAuf = 10° C ; Tu = 0° C ; To = 50° C
Bild 5-41: Skizze zu Temperatureinwirkungen
Möglichkeit A : Eingabe von 2 Lastfällen :
LF 1: Ts = 15 K To = Tu = 15 K
LF 2: ∆T = -50 K To = 25 K ; Tu = -25 K
Möglichkeit B : Eingabe von einem Lastfall (zwei in einem):
Tu = -10° K ; To = 40° K ;
Bild 5-42: Skizze zu Temperatureinwirkungen 2
Tu TAuf ∆T= Tunt– Toben TS=
TS
= + d
0°
d/2
d/2
∆T= Tunt– Toben
TS
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5.9 Rahmentragwerke 5.9.1 Innerliche und äußerliche statische Unbestimmtheit
Abzählkriterium
Bild 5-43: Äußere und innere statische Bestimmtheit
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5.9.2 Beispiel 12
Bild 5-44: Beispiel 12 - System, Belastung
Gesucht: Biegemomentenverlauf und Normalkraftverlauf für die Temperaturlastfälle
unter Berücksichtigung der Normalkraftverformung
Temperaturlastfälle: ESZ e
Bild 5-45: Beispiel 12 - ESZ und LSZ
HEB 200 (S 235)
EΙ = const.; EA = const.
E = 2,1 ⋅ 105 MN/m2
αT = 1,2 ⋅ 10-5 1/K
Ι = cm4 , A = cm2
EΙ = EA =
5
T0 = 15° C
4
Ti = 25° C
TA = 45° C
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Zusammenfassung der δ-Zahlen und Lösung des Gleichungssystems
δ11 = 6,412 ⋅ 10-4; δ12 = 0,556 ⋅ 10-4; δ22 = 2,578 ⋅ 10-4
δ1,∆T+T = - 105 ⋅ 10-4 δ2,∆T+T = - 25,5 ⋅ 10-4
X1 X2 Rechte Seite
6,412 ⋅ 10-4 0,556 ⋅ 10-4
0,556 ⋅ 10-4 2,578 ⋅ 10-4
Lösung: X1 = ; X2 =
Tabellarische Berechnung ausgewählter Zustandsgrößen
Z = Z0 + Σ Xi Zi ; hier Zwängungslastfälle: Z0 = 0
Zustandsgröße Z0 X1 Z1 X2 Z2 Z
A= Nlinks 0 15,81 ⋅ 6,48 ⋅ 1,3
AH 0 15,81 ⋅ 6,48 ⋅ -3,14
B = Nrechts 0 15,81 ⋅ 6,48 ⋅ -1,3
BH 0 15,81 ⋅ 6,48 ⋅ 3,14
NRiegel 0 15,81 ⋅ 6,48 ⋅ 3,14
Munten 0 15,81 ⋅ 6,48 ⋅ 6,48
MEcklinks 0 15,81 ⋅ 6,48 ⋅ 19,05
MEckrechts 0 15,81 ⋅ 6,48 ⋅ 12,57
Bild 5-46: Beispiel 12 – Ergebnisse der EDV-Berechnung
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5.9.3 Beispiel 13 - Rahmen mit unterschiedlichen Steifigkeiten
Bild 5-47: Beispiel 13 – System und Belastung
Bild 5-48: Beispiel 13 – LSZ und ESZe
Beton C 25/30 Ecm = 30.500 MN/m2
EA = ∞
b/d = 40 / 60 cm
b/d = 40 / 40 cm
εs = -40 ⋅ 10-5
F= 10 kN
w = 4 kN/m
8
5 3
F= 10 kN
2 4
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Zusammenfassung der δ-Zahlen und Lösung des Gleichungssystems
δ11 = ; δ12 = ; δ22 =
δ10 = δ20 =
X1 X2 Rechte Seite
Lösung: X1 = ; X2 =
Tabellarische Berechnung ausgewählter Zustandsgrößen Z = Z0 + Σ Xi Zi
Zustandsgröße Z0 X1 Z1 X2 Z2
A= Nlinks 4,607 ⋅ 11,285 ⋅
AH 4,607 ⋅ 11,285 ⋅ 0
B = Nrechts 4,607 ⋅ 11,285 ⋅
BH = NRiegel 4,607 ⋅ 11,285 ⋅ 0
MEcklinks 0 4,607 ⋅ 11,285 ⋅ 0
M1 4,607 ⋅ 11,285 ⋅
M2 4,607 ⋅ 11,285 ⋅
MEckrechts 4,607 ⋅ 11,285 ⋅
Bild 5-49: Beispiel 13 – Ergebnisse der EDV-Berechnung
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5.9.4 Beispiel 14 mit Rahmenformel und Reduktionssatz Gesucht: a) Schnittgrößen und Auflagerkräfte mit Rahmenformel
b) Horizontale Verformung mithilfe des Reduktionssatzes
Bild 5-50: Beispiel 14 – System und Belastung
1⋅ fm = dxEI
xMxMl∫
)(
)()(
1⋅ fm = dxEI
xMxMl∫
)(0
)()(
… Auflagerkräfte und Eckmomente mit H 2.22 / S. 4.24, Z. 3
Bild 5-51: Beispiel 14 mit Reduktionssatz
w=8 kN/m
ΙS
fEck = ? HEB 500 (S 235)
ΙR = ΙS = Ι = cm4
EΙ = const.; EA = ∞
E = 2,1 ⋅ 105 MN/m2
EΙ =
10
6
ΙR
Ιs
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Verformungsberechnung durch Überlagerung Ergebnisse
Bild 5-52: Beispiel 14 – Ergebnisse der EDV-Berechnung