Beitrage zur Gruppentheorie VII l )

Ober die maximale p-Faktorgruppe und die maximale nilpotente Faktorgruppe einer endlichen Gruppe

Von OTTO GRUN in Wiirzburg

(Eingegangen am 15. 3. 1960)

In dieser Arbeit werden die maximalen p,-Faktorgruppen und die maxi- malen nilpotenten Faktorgruppen einer endlichen Gruppe 8 als homo- morphe Bilder des Normalisators 92 (b) einer beliebigen p-Sylow-Gruppe von 8 nachgewiesen. Einige Aussagen iiber den Kern eines solchen Homo- morphismus werden gewonnen.

I. Fur jede Primzahl p ist die maximale p-Faktorgruppe von 8 eindeutig bestimmt.

Denn wenn Q und 6 zwei Normalteiler von 8 sind, deren Faktor- gruppen p-Gruppen sind, so ist auch @I@ n 5 eine p-Gruppe.

Daraus folgt : Die maximale nilpotente Faktorgruppe von 8 i a t eindeutig bestimmt

und das direkte Produkt der maximalen p,- , p,- , . . . Faktorgruppen von 8. Beweis. Es seien Q1, Q2 die beiden Normalteiler von 8 , welche die

maximalen pl- bzw. p,-Faktorgruppen von 8 ergeben ; 8 / Q l hat eine Ord- nung p?l, eine Ordnung pis; also ist Q2 = 8.

@/Ql = Q 2 I Q 1 f7 Q2 1 8/82 EZ WQl Qz also ist a/@, n ,@, das direkte Produkt Q1/Ql n Q, x Q2/Q1 n Q 2 , d. 11. die Gruppe 8 / Q l n QZ ist das direkte Produkt ihrer Sylow-Gruppen, die iso- morph mit den betreffenden maximalen p-Faktorgruppen von 8 sind. Ebeiiso kann man zeigen : Sind p , , p, , . . . , p, die samtlichen verschiedenen in der Ordnung g von @ aufgehenden Primzahlen und Q1, Q2, . . . , Q, die Normalteiler von @ , welche die maximalen pl-, p 2 - , . . . , p,-Faktorgruppen von ergeben, so ist @/al n Q, n. . . A Sjn- isomorph mit dem direkten

l ) Fur die vorangegangenen Beitrage siehe 0. G R r I x , Beitriige zur Gruppentheoiie. I. J. reine angew. Math. 174, 1-14 (1935); 11. uber einen Satz von Frobenius. Ebenda 186, 165-169 (1948); 111. Diese Nachr. 1, 1-24 (1948); I\’. uber eine charakteristische Unter- gruppe. Ebenda 3,77-94 (1950); V. uber endliche p-Gruppen. Osaka math. J . 3, 117-146 (1963); VI. Diese Nachr. 16, 271-280 (1957).

280 Grun, Beitrage zur Gruppentheorie VII

Produkt 818, x 8 / Q 2 x - . x also existiert in @ diese nilpotente Faktorgruppe, und sie ist eindeutig bestimmt.

Nun sei @ ein Normalteiler von 8 und 8/@ nilpotent. Es sei etwa $3: + 1 die p,-Sylow-Gruppe von a/@, dann ist a/@ E !@:xQ,, wobei 0 das direkte Produkt der p-Sylow-Gruppen von zu p,-primer Ordnung von 8/$ ist. Dann existiert einNormalteiler @* 2 8 von 8 mit a/@* E '$3; wobei @* = @ nur mit D = 1 stattfinden kann. Da @/@* eine p,-Gruppe ist, so ist @* 2 @,, wobei @1 der Normalteiler von 8 ist, welcher die maxi- male pl-Faktorgruppe von 8 ergibt. Fuhrt man diese uberlegung fur alle Sylow-Gruppen von @/@ durch, so ergibt sich @ 2 8, n Qz n. - . n @k,

das heiBt jede nilpotente Faktorgruppe von 8 ist Paktorgruppe von @/Q1 A Q2 n - - - n Q k , diese Faktorgruppe ist also maximal, sowohl der Ordnung nach als auch in dem Sinn, da13 jede andere nilpotente Faktor- gruppe von 8 auch Faktorgruppe von @/Q1 n Q2 n. . . n Qk ist. Also ist die maximale nilpotente Faktorgruppe von @ eindeutig bestimmt und iso- morph rnit dem direkten Produkt der maximalen pl-, p z - , . . . , pk-FaktOI'- gruppen von 8.

11. Aus I. folgt: Um die maximale nilpotente Faktorgruppe von 8 zu charakterisieren,

genugt es, die maximalen p-Faktorgruppen von 8 zu den verschiedenen g teilenden Primza.hlen zu charakterisieren.

eine p,-Sylow- Gruppe von 8, % ( bl) ihr Normalisator. % ( Ql) enthiilt einen Normalteiler %* (von %($3,)) so, da13 %(Q1)/%* isomorph mit der maximalen nilpotenten Faktorgruppe von 8 ist.

Beweis. Es seien wieder Q1, Q 2 , . . . , @, die samtlichen Normalteiler von 8, welche die maximalen p,- , p2-, . . . , p,-Faktorgruppen von 8 liefern, Es ist %($3,) 8, = Vl Q1 = 8, also @/a1 r %($3J%(Q1) n Q1, also ist % ( bl) n 8, ein Normalteiler von CJZ ( Q1), dessen Faktorgruppe in % (PI) isomorph mit der maximalen p,-Faktorgruppe von 8 ist.

Es ist auch (in(!&) Q2 = 8 . Denn Q2 hat in 8 einen Index pi, daher mu0 Q2 eine und dann als Normalteiler von 8 samtliche pl-Sylow-Gruppen von 8 enthalten. Sie sind auch pl-Sylow-Gruppe von Q2 und daher in Q2 konjugiert. Da sie auch in @ konjugiert sind, folgt: 1st vl eine beliebige p,-Sylow-Gruppe von 8 , so liegt in jeder Restklasse t Q2 wenigstens ein E l e m e n t ~ % ( ! @ , ) : ~ - 1 ~ l ~ = s ~ 1 $ 3 ~ s m i t s ~ @ , , alsots-' € % ( $ 3 ) t s Q = t $ .

Mithin ist % ( Ql) $jZ = 8 , @/Q2 E % (!&)/% ( Selbstverstandlich kann die maximale nilpotente Faktorgruppe von

%($3) vie1 groI3er sein als die maximale nilpotente Faktorgruppe von 8. Folgerung. 1st in 8 die p-Sylow-Gruppe $3 ihr eigener Normalisator,

so ist die maximale nilpotente Faktorgruppe von 8 eine p-Gruppe, die naturlicli = 1 sein kann.

111. p1 sei eine beliebige g = [8/1] teilende Primzahl,

Q2, q. e. d.

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IV. Es sei wieder @/@, die maximale p,-Faktorgruppe von a. a/,@, ist charakterisiert, wenn eine pl-Sylow-Gruppe Q0 von Q, charakterisiert ist.

Denn wenn Po in der p,-Sylow-Gruppe 3, von (8 liegt, so ist 9, n @, = Po urid vl Ql = (8, also S/Q1 = Nach 111. enthalt 92 ( g1) den Normal- teiler '92 (!&) n Q, = %* ( gl), und es ist % ('&)/%* (p,) = Po ist Normalteiler von % ( pl), denn p1 ist Normalteiler von % (PI), also auch 3, A @ = go. In %(bl)/bo sind %*(&)/Po und '$l,?$o Normalteiler mit dem Durchschnitt 1, also ist %(pl)/po das direkte Produkt %* ('$l)/'$o x !&/Qo. 1st !& ( '$3,) der Normalteiler von % (&), dessen Faktorgruppe die maximale p,-Faktorgruppe von '32 ( '$,) ist, und % (g1) n vl = p, so ist %('$l)S%*($l) und $ S !&, ~ ' 9 2 ( ~ l ) / ~ = ~ ( ~ l ) / ~ X ~ l / ~ . % ( ~ l ) e n t h a l t also alle Elemeiite voii zu p , primer Ordnung aus %(&). Daraus folgt:

1st f E @ , 9: =t= '$,, $: A '$3, = 9, so liegt %(PJ n %(pl) in

- -

- -

6 @(%) = a. Beweis. Zunachst liegt 9: n 9, = 9 in %('$,)' n % ('$,). Ferner

liegen alle Elemente von zu p1 primer Ordnung E %('@l)t n %(p,) in % (bl). 1st nun s ein Element E % ('$,)' n '92 (Q,), das eine Ordnung g - & (q pl) = 1 hat, so laBt es sich bekanntlich darstellen als ein Pro- dukt s = s, - s2 = s2 - s,, wobei s, die Ordnung q, s2 die Ordnung p: hat. Dann liegt auch sq = si, also auch s, in %(!@,)' n %('$,), also, wegen sii = 1, in 9 , und ebenso sf, also auch s1 als Element von zu p1 primer

Ordnung in 'i@(!&). Mithin liegt %('$l)t %('$,) in 9 '%('$,). Wenn wir unter

B

n (ww A mvl)) 1 mod 'Jt ( f l )

= U die Vereinigungsgruppe aller n % ( bl) verstehen, so liegt U in der Vereinigungsgruppe aller TI )32('$,) = (n('$,) B, wobei 9 alle Durch- schnitte '$' n 9 + 9 durchlauft. Da %!(!@,) Normalteiler von %('$,) ist, wird diese Gruppe aber

1 und g1 (TI)

Nach [111]') gibt es aber zu jedem in bl enthaltenen Durchschnitt 9 einen in 9, enthaltenen grol3ten $,-Durchschnitt 9, 2 3. Daher genugt es, in IZ ('$3; n !@,) nur die groBten in bl enthaltenen !$,-Durchschnitte TI, zu nehmen: I7 (pi n Ql) = n 3,. n 3, ist Normalteiler von '92('$,).

T1 $1

I ) Der in Beitrage I11 bewiesene Satz lautet: 1st $3npt = % C$3, so gibt es einen groDten $3-Durchschnitt 5Dl 2 %, S1 E $3.

28'2 Griin, Beitrlge zur Gruppentheorre VII

So erhalten wir schlieBlich :

Die pl-Sylow-Gruppe dieser Gruppe ist offenbar = $ n S1.

V. Wir wollen jetzt die vorstehenden Uberlegungen benutzen, um einige Aussagen uber die maximale nilpotente Faktorgruppe einer endlichen Gruppe @ zu gewinnen. Nach 11. genugt es zu diesem Zweck, Aussagen uber die maximalen p-Faktorgruppen von @ fur alle die Ordnung g von (3 ceilenden Primzahlen p zu erlangen. 1st p eine solche g teilende Primzahl, '$3 eine p-Sylow-Gruppe von @ , 6 der Normalteiler von 8, dessen Faktor- gruppe die maximale p-Faktorgruppe von 8 ist, und '$ n 8 = Po die in 8 liegende p-Sylow-Gruppe von 8 , so ist nach IV. jede Aussage uber Po auch eine Aussage uber die maximale p-Faktorgruppe a/@.

%('$3) sei der Normalisator von '$, %('$3) der Normalteiler von %('$3), dessen Faktorgruppe die maximale p-Faktorgruppe von % ('$3) ist,

a1

- %('$3) c> '$3 = s, ferner '$ = TI die Vereinigungsgruppe aller in '$ enthaltenen groBten p-Durchschnitte = '$3 n vt C '$3 und '$3* die Vereinigungsgruppe aller 8' n '$3, t E 8 . Dann gilt fur die in '$3 liegende p-Sylow-Gruppe '$3" von 8: -

- 1. '$0 3 P*, -. B'$.

- _ 3

Beweis. Nach IV. ist $ E Po. Da Q0 in dem Normalteiler 8 von @ liegt, mu0 in Po aber auch S ' n 9 fur alle t E 8 liegen. Daraus folgt Behauptung 1.

In Beitrage 11. wurde bewiesen: Sei U eine echte Untergruppe der end- lichen Gruppe @ und ihr eigener Normalisator in @ : %(U) = U ; ferner '$3 die Vereinigungsgruppe aller U n Ut + U , t E @ ; '23 ist offenbar Normal- teiler von U ; es gebe einen '$3 enthaltenden Normalteiler !& 2 '$3 von U und U/'$l sei auflosbar. Dann gibt es in @ einen Normalteiler @, fur den gilt: @ U = a, $j n 11 = !&, also a/@ E U/'$31. (Die voil mir dort gleich- zeitig ausgesprochene Vermutung, daB die Einschrankung auf auflosbare Faktorgruppen aufgehoben werden konne, also sogar @ U = a, ,Q n U = % gesetzt werden diirfe, wurde inzwischen von WIELANDT bewiesen.) Wir brauchen hier nur den in Beitrage 11. bewiesenen eingeschrankten Satz :

%('$) ist sein eigener Normalisator in @ , '%('$)/$(P) ist eine p-Gruppe, Also auflosbar. Nach IV. ist

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und die p-Sylow-Gruppe von %('$3) n6, ist gleich $17 = $ $. Da Bl

92('$3)/'%('$3) auflosbar ist, ist auch '32('$3)/$('$3) $ auflosbar. Nach dem zitierten Satz gibt es also einen Normalteiler 5 von 8 mit 5 '32 ('$3) = @ ,

Ql n 'ill('$) = %('$) $. woraus @ n '$ = $ @ folgt. Da '32 ('$)/'%(p) '@ eine p-Gruppe ist, ist @/@ eine p-Gruppe, also 6 2 Q und demnach

@ n '$3 2 '$3,,. also '$ '$3 2 Q,,. Damit ist Behauptung 2. bewiesen. 1. Folgerung. 1st '$ @ C '$3, so ist die maximale p-Faktorgruppe von

8 jedenfalls 3 1. ?. 1st die p-Splow-Gruppe '$ vnn 8 ihr eigener Normalisator in @ und die

Vereinigungsgruppe $ aller in '$3 c nthaltenen groSten !@-Durchschnitte eine

echte Untergruppe von '$3, so gibt es eine mit '$I$ isomorphe Faktor- gruppe von @ .

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