306 Herrmann und Luddecke Problem des dynamlschen Auftnebs Ingemeur ~r~htv

Beitrag zum Problem .des dynamischen Auftriebs yon ebenen Tragfliigeln.

Von A Herrmann in Kothen und W. Luddecke in Dessau

I. Einleitung. H. Wagner gab m semer Arbelt uber den dynamlschen Auftrleb yon Tragflugeln 1) die Kraftwwkung auf eme unendhch brelte ebene Platte an, die slch m emer ldealen Flusslgkelt mlt zelthch nach Gro~e und Rlchtung veranderhcher Translatlonsgesehwmdlgkelt bewegt und glelchzemg eme Drehung mlt emer zelt- abhanglgen Wmkelgeschwmdlgkelt ausfuhrt G Ellenberger bestlmmte die Luftkrafte, die an emem beheblg bewegten ebenen Flugel mlt spaltlos angelenktem Querruder wwksam werden 2)

Da H Wagner dle Ausdrucke fur die Luftkraft und lhr Moment m dem Fall, daf3 slch eme Platte in emer im Unendhchen ruhenden, stetlgen, zlrkulat~ons- und drehungs- freien Flussigkelt mlt zelthch veranderhcher Wmkelgeschwmdlgkeit um den hmteren Neutralpunkt (1/4 der Plattentlefe yon der Hmterkante entfernt) dreht, nur unter Beruiung auf eme nach Lamb moghche Herleltung 3) mitteilt, sollen diese mlt emer der Natur des Problems entspreehenden emfacheren Methode gewonnen werden In glelcher Welse wlrd uberdtes das yon W a g n e r ohne Ableltung angegebene Moment berechnet, das mfolge Drehung be1 glezehzemger Translatlonsbewegung wirksam wwd

Obglelch der dabel emgeschlagene Weg weltgehend mlt dem yon G E l l e n b e r g e r uberemstlmmt, halten es die Verfasser doch fur nutzhch, emmal zu zelgen, wie sleh die Wagnersehen Formeln, die in der Theone der angefachten Tragflugelsehwmgungen 4) von Wlchtlgkelt stud, mlt emfachen funktlonentheoretisehen Hllfsmltteln unmlttelbar ablelten lassen

Der oben genannten Arbelt yon W a g n e r entnehmen ww die gleich fur das ebene Problem formuherte Beziehung * d

C+C'

Dabel stellt ~ die Kraft dar, die an emem Tragflugelelement der Brelte eros wlrkt, dessen Profll yon der Kurve 6" begrenzt wlrd Mlt C' haben wlr die Kurve bezelehnet, die den yore Unendhchfernen und vom Profll begrenzten FlussJgkeltsbereteh emfaeh zusammenhangend macht Ferner sei ~p das Potential der Stromung, die der be- trachteten ]3ewegung des Proflls entsprieht, der Vektor d~ des Bogenelements babe die Rlehtung der yon dem betreffenden Flusslgkeltsbereleh naeh aut3en welsenden Normalen, ~ sel die Dlehte der Flussigkeit.

Bet Wagner wlrd gezelgtS), dat3 das Integral langs C' verschwmdet Das dutch C in (~) gekennzelchnete Profll stellt in unserem Falle em Streekenprofd yon der Tlefe 2b dar

2. Die komplexe St tomungsfunkhon. Anstatt ,n (t) das Gesehwmdlgkeltspotential zu bestlmmen und d~e Integration rein reell auszufuhren, gehen wit zur komplexen

Stromungsfunktlon w ~ q~ + z~ uber Die gesuehte Luftkraft ~ ergibt sleh dann als Realteil emes komplexen Integrales

Zur Berechnung yon w = T + z ~v legen ww das Streckenprofll so in die komplexe z-Ebene, dab die Vorderkante dutch z = ~ b und die Hlnterkante dureh z = + b

x) H Wagner, Z angew Math Mech 5 (t925) S 17 *) G Ellenberger, Z angew Math Mech t6 (1936) S t99 *) H Lamb, Lehrbuch der Hydrodynamlk. S 107 Leipzig t907 *) Zum Belsplel Kal]ner u Fmgado, Luftfahrtforschung t3 (1936) S 376 s) a a O S 29

XIV~ Band t944 H e r r m a n n u n d L u d d e c k e P r o b l e m des d y n a m m c h e n A u f t r m b s 307

defmmrt 1st Die Drebung erfolgt dann um den dureh z = b /2 gegebenen hlnteren Neutralpunkt N h (Abb t) Das Gesehwmdlgkeltspotentlal q0 und die Stromfunktion mussen auf dem Proffl dic kmematlschen Orenz- z - E b e m bedmgungen erfullen ~n

-b', - ~ , o t61 ~w 0~0/, b /

Dureh den Zelger P ist ausgedruekt, daft die Werte der Ablmtungen langs des Platten- profiles zu nehmen stud Die Integratmn yon

OVp O~p b Os = 8z = - - ( . o Z - - -ff

hefert t z - - b/2, a

Wenn %wr d,e unwesenthche Integratlonskonstante glemh Null setzen Mittels der konformen Abblldung z ---- �89 (~ + bS[~) fuhren wir nun den Ubergang zu emer ~-Ebene aus, m d e r das Streekenprofll als Kreisprofil vom Halbmesser b erschemt (Abb 2) Das Streckenprofil denken wlr uns als Schhtz in demjemgen Blat t der Rlemannschen Flaehe gelegen, das bel der Abblldung m das Auflere des Krelsprofiles ubergeht Aus ~op wlrd dabel V~r (der Zeiger K deutet das Krelsprofll an)

Es erglbt inch ~-2 b4 b3 b a

Auf K konnen wir s etzen ~= b e' ~ und erhalten damit

VK = - - 8 b ~ ] 2e~ 2 ~r cos 0r 31

oder wegen

2 cos 2 ~ - - 4cos ~ + 3 ---- 4(cos ~ - - ; - - ; ~ 0

emfacher

o~ b2 (2 cos 2 ~r - - 4 cos ~ + 3) (3)

-b

t~bb 2

Die Stromfunktion Iv* (r, 0) der ~-Ebenc, die auf der Krelskontur K die Randwerte (3) anmmmt, 1st mtt ~ = r e '~ bekannthch durch

2 n r~ + b ~ -- 2 r b cos (~ -- 0) - " . (4)

b 2 - r ~ b~ f 2 cos 2 ~ - 4 cos ~ + 3 = 16n c o j rC+%z-_~Tgcos-h-K-2_O) d ~

- - ? l

gegeben Die Berechnung der m (4) auffretenden Integrale fuhren wit zweckmaf31g auf

funktlonstheoretisehem Wege dutch und betrachten allgemein das Integral + n

f oo . ( s a) ]n = r a + b~ 2- 2 r b cos (~ -- ~) d

Dleses kann als Realtefl emes komplexen Integrals aufgefaBt werden +n

In= ~R { / , ,+ b,- =';7cos<=- u=} (5b) r e,O, b eO , laflt Dureh die Substi tution r = e '~ und Emfuhrung der GroBen r = -~ r -- u

Sleh hmraus nach kurzer Reehnung

308 Herrmann und Luddecke Problem des dynamlschen Auftrlebs Ingenteurarehlv

J_ ~'~2L f r de } I n = (Ko)

gewmnen 1) Dabm stellt K o den m pos~tlver Rlehtung zu durchlaufenden Emhe~tskrms der ~-Ebene dar Dm Auswertung yon (5c) nach dem Remduensatz hefert

{ 2~ r" } ," I . = iR b2--r ~ b n e~na __ 2z -- b ~ - r ~ b ' c ~ (5d)

Damlt laBt slch das Ergebms der Integration yon (4) angeben zu

~*( r ,e ) ~ b ~ , r~ 2 0 - - 4 - ~ 0 + 3 ) (6) = + ~ (2 -~ cos cos

Unter Vernachlass,gung der tur eme Potentml iunktmn unwesenthehen Konstanten konnen wlr nun ohne welteres 10" zur komplexen Stromungsfunktlon der $-Ebene w* ($) = ~* + z lo* erwe,tern

Wit finden ~ob* 1r __ (7)

Dureh dm Abbddung ~ = z + 1 / ~ gehen wlr wleder m dm z-Ebene zuruck und erhalten dle gesuchte komplexe Stromungsfunktlon w (z) = r + z 10 der Stromung um unser Streekenprofll

w (z) = + - 7 -

D a dw/dz fur z - b emen endhehcn Weft hefert, t n t t be1 jedem behebigen w eme end- hche Geschw,ndigkelt an der Hmterkan te der Plat te auf a)

3. Besilmmung der Luflkraft Nun gehen wlr zur Bereehnung der Luf tkraf t

d if} = - - e -dY f 9 ds (9)

c

uber Als Plat tentmfe nehmen wit wle Wagne r 2b = t an Dann wlrd

w ( z ) = 2 z ~ - - z - - - T + 2z z*----T-- (8a)

Das Integral m (9) laBt smh als Realted emes komplexen Integrales schreiben:

Abb 3 C C

Der Integratmnsweg C Ist in Abb 3 dutch Pfede gekennzemhnet Wlr setzen

-7- C

Bekannthch ~st

6

+~

i

Ebenso ~st

t) Vgl H Schmtdt, Ing-Arch I (1930) S 154 a) H W agner , a a O , S 35

Xlv Band t~* H e r r m a n n u n d L u d d e c k e P r o b l e m des d y n a m m c h e n A u f t r m b s ~}09

Emen Integrationsbeltrag hefert jedoch das Integral Iz Es ast

+~

c -�89 und damat w~rd

o~co f gds= w(z)dz= a6

c (7.

Dm gesuehte Luftkraft fur co-~ eo (t) Ist sehhef3heh dureh

4 '

gegeben 1) Um den Angnffspunkt der Luftkraft zu bestlmmen, berechnen wlr noch lhr Moment

in bezug auf den M~ttelpunkt der Platte Fur dm Kraft konnten war sehrelben

, C

entsprcchend gilt fur das Moment

9X------- e ~-~ G

Bel der Ausfuhrung der Integration hefert nur das Integral

emen Beatrag

und damlt

~ z~ r dz

Es erglbt slch +�89

z ~ ~ z ~ dz = 8 i6

0 2 ) ~JJ~= ~ - ~ O a t

Dae Luftkratt ~ grelft also lm Punkt - - { , d h m der Matte zwischen dem vorderen Neutralpunkt und dem Mlttelpunkt der Platte an

4. Moment mfolge Drehung bei gleichzeitlger Translaltonsbewegung. Fuhrt dte Platte auf3er der Drehbewegung mlt der Wmkelgeschwmdlgkelt eo noch eme Translatlons- bewegung mlt der Geschwmdlgkelt vp aus, so trltt auf3er dem oben berechneten Moment noch em Moment mfolge yon v 0 und eo auf An Stelle der Stromungsfunktlon w(z) rout]ten wlr dm komplexe Funktlon W(z) der Stromung emtuhren, &e der Dreh- bewegung bex glemhzeltlger Translatlonsbewegung entspncht

w (z) = w Ca) + wl (z)

:Da das Moment der dureh w 1 (z) darges'tellten Stromung yon Wagner ~) bereehnet ist, fuhren wlr unsere Betraehtungen mlt w (z) welter Als Bezugspunkt des Momentes Wahlen war den festcn Punkt, mxt dem mfolge der Translatlonsbewegung der Mlttcl- punkt der Platte am Zeltpunkt t zusammenfallt Es 1st m dlesem Falle zu beachten, dab der ,,Hebelarm" z m (t l) elne Funktion yon t wlrd, dercn zelthche Ableltung die Translatmnsgeschwmdagkelt vp darstellt. War bezemhncn ahn vorubergehend mit z'

x) H. Wagner , a a O , S 35 ~) H. Wagner , a a O , S 20

22

3 t 0 N6met i Ble lbende Ver fo rmungen an Stederohren Ingenieur-Amhiv

Ddferentleren wir m (tl) unter dem Integralzelehen naeh t, so erglbt sleh mlt w (z) ----

c c c

Der zwexte Bestandted der rechten Selte verschwmdet, da ja d z / d t = 0 ~st W~r erhalten also

Wegen der speztellen Wahl des Momentenbezugspunktes konnen wlr lm Zeltpunkt t setzen z ' ~ z Dann stellt ~0~ 1 das berelts oben berechnete Moment yon ~ dar Fur ~0~, konnen wlr wegen dz ']dt= v# schrelben

(c)

und erhalten, da das Integral bekannt ~st, t

Mxttellung aus der Kons~rukttonsburo-Versuchsabtedung der Junkers Flugzeug- und Motorenwerke Dessau

(Emgegange~ a m 24 Augus t 1943)

Bleibende Verformungen an Siederohren.

Von L N6meti m Budapest

!. Problemstellung. D2e Beanspruchung der Slederohre m Wasserrohrkesseln ent- steht m erster Lmxe dutch den Innendruck, m zwelter Lmte durch die Warme- spannungen, welche m den Wandungen der.Rohre auftreten. Die yore Innendruck herruhrenden Spannungen wachsen mlt abnehmender, die Warmespannungen mlt zu nehmender WandsCarke Bet gegebenen zulasslgen Spannungen g, bt es also zwel Grenzpunkte, zwlschen &esen mui] die Wandstarke hegen

Die Warmespannungen be1 zelt- und achskonstantem, jedoch auf dem Umfang allgemem vertedtem Warmefluf] stud bekannt 1)

Das Rohr stehe unter dem mneren f.Jberdruck p, sel mlt stedendem Wasser gefullt, die Warmeubergangszahl zwmchen Wasser und Rohrwandung betrage 0t, das Rohr- material habe die Warmeleltzahl $, den hnearen Temperaturausdehnungskoeffl- zlenten fl, den Elastlmtatsmodul E, die Polssonsehe Zahl m (tim -----/z), das Rohr habe den Aui3enhalbmesser r., den Innenhalbmesser r~ (r Jr, = ~), und yon aut]en erhalte es eme Warmemenge q je Oberflachenemheit und Zeltemhelt Die Verteflung dieses Warmeflusses auf dem Umfang sel

q = q o + q l e o s g + q 2 c o s 2 9 + " (qo ~ 0, q l ~ 0 )

Man betrachtet dle gr6flte auftretende Normalspannung als mat3gebend Sle trlt t - - als Tangentmlspannung -- an der Innenwand auf und betragt

a=V-~*-----Y't- ~--~ x q ~ 2 + 1 - # ~ q~r~ ( ~ + t ) ( g ~ + l ) (t,t)

x) Z 13. F. Schau, Z d Kesse luberw u V e r s - G e s A G Wren t935. S 8