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B e m e r k u n g z u e i n e m S a t z f i be r k o m m u t a t i v e B a n a d l - A l g e b r e n

Von WOLFOA~O KU~DT in Hamburg

In dem Buch yon LooMIs (Lvx~ H. LooMIs, An Introduction to Abstract Harmo- nic Analysis, New York 1953) werden hinreichende Bedingungen angegeben daftir, dab ein Element x einer gewissen kommuta t iven Banach-Algebra A, z. B. der L 1- Funktionenalgebra einer lokal kompakten abelsehen Gruppe, cinem abgesehlossenen Ideal I dieser Algebra angeh6rt. In der vorliegenden Arbeit sell gezeigt werden, dab die Menge aller derjenigen x, welche bei gegebenem Ideal I den angegebenen Be- dingungen geniigen, ein Ideal bildet.

Der bei LooMIs bewiesene Satz lautet :

Satz 1. Ist A eine reguli~re, halbein]ache Banach-Algebra, die der Bedingung D ge- niigt, und I ein abgeschlossenes Ideal in A, so enthiilt I alle Elemente x aus A , / i i r die a) h(1) c h(x) und b) der Durchschn~tt yon h(I) mit dem Rand yon h(x) keinen nich$ leeren per/ekten Tell enthi~lt.

a) ist trivialerweise notwendig. Hierbei werden folgende Bezeiehnungen verwendet : 1. Fiir eine komplexe Algebra

A sei A der (mit dcr sehwachen Topologie ausgestattete) Raum aller yon Null ver- schiedenen Homomorphismen a in die komplexen Zahlen. Jede Teilmenge B aus A bes t immt in A das Ideal k(B) der von allen ~r e B auf Null abgebildeten Elemente, den Kern yon B. Umgekehrt ist fiir E c A die Hiille h ( E ) c zJ erklArt als Mcnge aller Homomorphismen, die E annullieren. Jede Hiille ist als Durehschnitt you Nullr~umen stetiger Funktionen abgeschlossen. I m Fall einer kommuta t iven Banaeh- Algebr~ ist A lokal kompakt . 2. Eine B~nach-Algebra ist halbein[ach, wenn die Gelfand-Darstellung treu ist. 3. Eine kommuta t ive Banach-Algebra heiBt regul~ir, wenn jeder abgeschlossene Teil aus/1 gleich der Hiille seines Kerns ist; d. h. wenn die gegebene Topologie mit der Htille-Kern-Topologie iibereinstimmt. 4. Eine Banach- Algebra A genfigt der Bedingung D, wenn es zu jedem x e A und jedem Homomor- phismus ~ e h (x) eine Folge von Elementen xn ~ A gibt, derart, dab die Fouriertrans- formierten der xn auf Umgebungen Vn von ~ verschwinden und xxn gegen x konver- giert. Bei nicht kompaktem s sell dies auch ftir den Nullhomomorphismus gelten, wobei dann die Vn Komplemente kompakter Mengen aus/1 sind. 5. Eine Teilmenge eines topologischen Raumes heiBt per]ekt, wenn sie abgeschlossen und in sieh dieht ist.

Es sell jetzt gezeigt werden, dab die Menge aller x ~ A, die den Bedingungen a) und b) aus Satz 1 genfigen, ein Ideal bildet. Oder etwas allgemeiner :

Satz 2. Sei A eine komplexe Algebra und F ein abgeschtossener Teil aus /~. Die

Vol. IX, 1958 Bemerkung zu einem Satz iiber kommutative Banach-Algebren 437

Menge Ja l l e r x e A mit F :c h(x), /iir die F n R a n d ( h ( x ) ) keinen per/ekten, nicht leere~ Tell enthdlt, ist eiu Ideal.

B e m e r k u n g . Unter den Voraussetzungen yon Satz 1 ist bekanntlich das Ideal j (F) aller x e A, deren Fouriertransformierte kompakten, yon F disjunkten Tr~ger haben, das kleinste Ideal aus A mit F als Hiille (siehe LooMIs, loc. cir. 25D p.84). Das grSfite (und zugleich abgeschlossene) Ideal mit Hfille F i s t k(F). Daher gilt: j (2'):c J c k (F). F heifit vom eindeutigen Typus, wenn k(F) das einzige abge- schlossene Ideal ist mit Hiille F, andernfalls vom mehrdeutigen Typus. Bei H.REITER 1) werden Beispiele ffir beide F~lle angegeben. Ist F v o m mehrdeutigen Typus, so gibt J die beste bislang bekannte Absch~tzung naeh unten ffir alle abgeschlossenen Ideale mit Hiille F.

Wir kommen zum Beweis yon Satz 2. Er wird zuriickgefiihrt auf folgendes

Lemma. Ist der nicht leere, in sich diehte t~aum P Vereinigung zweier abgeschlossener Mengen Bi, so enth~It B1 oder B2 einen nicht leeren per/ekten Teil.

Beweis . Fiir B1 ~ ~ ist B2 - P perfekt. Zu untersuehen bleibt die M6gliehkeit, dal3 B1 einen isolierten Punkt b enth~lt. In diesem Fall sei V eine in P offene Um- gebung yon b mit ( V - {b))(~ B1 = ~ ; dann liegt V - (b_~ in B2, desgleichen die abgeschlossene Hiille i ~---~ {5}-: da B2 abgeschlossen ist. V - (b} ist aber per- fekt und nicht leer, denn als oftener Tell des in sich dichten P enthhlt V keinen isolierten Punkt ; mithin: b e V -- {b} = V, und -V ist ebenfalls in sieh dieht als Hiille yon V.

B e w e i s yon Satz 2. Die Menge aller x e A mit F :C_ h(x) bildet ein Ideal; denn aus der Definition der I-Iiille folgt unmittelbar:

(1) h(x) nh (y ) c h(x -5 y ) , h(x) c__ h(xy) .

Wir bezeiehnen den Rand einer Menge B mit R (B). Ffir drei beliebige Teile L, M, N eines topologisehen Raumes mit L _c M c N erhiilt man direkt aus der Definition yon R~ndpunkten : (2) L r% R (/V) ~ L n /~ (M).

Setzt man speziell: L -= F, M ~ h(x) c~ h(y), .N ~- h(x Jr y), so sind naeh (1) die Voraussetzungen ffir (2) erffillt, und man ]lest ab:

(3) F n R ( h ( x -5 y)) ~C Fr~R(h(x) r~h(y));

in gleicher Weise folgt: (4) F n R (h (xy)) c F n R (h (x)) ,

und ebenso ffir vertausehte x, y. Wegen (4) gehSren fiir beliebiges y ~ A mit x aueh xy und yx der Menge J an; der Beweis ist also zuriickgeffihrt auf den Nachweis, dal] mit zwei Elementen aus J aueh ihre Summe die Eigenschaft hat, dal~ F den Rand ihrer Hfille nicht schneidet. Nun gilt ffir zwei beliebige Teile L, M eines topologisehen Raumes, wiederum allgemein:

R ( L n M ) c R(L)k) .R(M);

1) H. RErrER, Beitr~ge zur harmonisehen Analyse. II. Math. Ann. 183, 298--302 (1957).

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somit erh~lt man aus (3):

(5) F n R ( h ( x § y)) c F ~ [ R ( h ( x ) ) u R ( h ( y ) ) ] c[F~.R(h(x))]u[Fc~R(h(y))] .

Hiermit ist der Beweis ~uf das Lemma zurfickgef/ihrt : Die Mengen/v n R (h (x)) und F (~ R (h (y)) sind beide abgeschlossen und enthalten nach Voraussetzung keinen nicht leeren perfckten Toil; wegen des Lemmas enth~lt dann ~uch ihre Vereinigung keinen nicht leeren perfekten Teil. Aus (5) folgt, da2 dann auch F ~ R ( h ( x ~ y)) diese Eigenschaft hat, d. h. x ~- y gehSrt auch zu J . Damit ist die Behauptung bewiesen.

Eingegangen am 3.3. 1958