570 Kleine Mitteilungen

EAMM, 51 5 i 0 (1971)

L. ELSNER

Bemerkung zur Eigenwertabschatzong bei gest6rten Diagonalmatrizen

Es sei A = diag (4, . . . d,) eine Diagonalmatrix. ni = = Idi - dJ > 0 fur i 2 2, IZ = niin a,. Stort nian J durrh

eine Matrix F = (fag) mit .fit = 0. I f f * \ SF. i $: k , so giht es unter der Voraussetznng

( 1 ) E j

i 2 2

-d

n - 2 + 2 Y , _ 1 einen Eigenwert ,I& von A + F mit.

IP - d1l 5 1 1 ( F . (7) ,

J.&, k ) =

= - { ( k - ( n - 2) e ) - ]’(k - (n - 2) E ) Z - 4(n - 1) E L } (3)

ist. Das wiirde in [2] gezeigt. Dort wiirde aiich die folgentle Entwickliing angegeben:

n - 1 d

I n [l] wurde von H. DREVES niit anderen Mitteln gezpigt, dal3 es eine Schranke der Form

(2) wobei

1 2

(4) ( n - 1) ( n - 2)

d’ €3 + O ( E 4 ) . #I1(&, d ) = ~ E2 +

n 1 1/1 - dlI 5 C --&’ 0 ( F 3 )

, = 2 (1, gibt. Ein Vergleich mit (4) legt den Verdacht nahe, daB man

in (2) (n - l) /d dlirch z - , d. 11. d durch das harnionische 1

Mittel D der at, 1 2 2

( 5 )

ersetzen kann. Satz 2 bestiitigt diese Vermiitung. Vorweg notieren wir: S a t z l : ([2]). Is31 E [0, d],iutJfikl z m i ( k = 1 , . . . 7 1 , k f i )

U n d

so gibt es einen Eigenwert von A + F mit l/i - d,l j 1. L e m m a 1 : 1 s t 11 2 0 und xt > 0 (i = 1, . . . . ni ) , so gil t

Der Beweis folgt aus der Konkavitat vonf(z) = A. 1 + y x (7) ist nichts anderes als die Ungleichiing

S a t z 2: 1st

so existiert ein Eigeiiwert p van A + 3’ mit

IP - 41 5 u e , D) . (9) Beweis: Sei 8 : = h l ( ~ , D). Ails (8) folgt s 5 E, also konnen

wir (7) mit xi = ] / a , i = 2, . . . , n, y = E - s anwenden iind erhalten

n (n - 1) E

Die letzte GroDe ist aber, wie man leicht verifiziert, gleich 1 h’ach Satz 1 folgt die Behauptnng, q.e.d.

B e m e r k i i n g 1: Da A,(&, k) in k monoton fiillt und d 5 D ist, ist (9) eine Verbesseriing gegenuber (2). (4) zeigt, daB etwa ein Faktor d / D gewonnen wird.

B e m e r k u n g 2: 1st d / D 5 1/2, so gilt (9) sogar in einem griiBeren E-Bereich als (2). 1st d = D, so fallen die Sehran- ken (2) und (9) zusammen, (2) gilt aber in einem grol3eren &-Bereich. Insofern ist Satz 2 nicht als Verallgemeinerung des Ergebnisses von [2] nnzusehen.

Beisp ie l : Sei n = 5, A = diag (0, 1, 2,4,4). D a m ist d = 1, D = 2. Die Abschatzung (9) ist anwendbar fiir E 5 0.25, (2) fur E 5 117. Fur e = 0.1 gergibt sich Al(&, d ) = 0.063,

hiit iihnlichen Mitteln gelingt auch im Fnlle d = D eine Terbesseriing von (2), wenn man die einzelnen Zeilenmaxima von F berucksichtigt. Es sei also

D) = 0.024.

z m i . eZ = - 1

nit = mnx /fir] , wi1 = F ~ ,

Mit dieern Bezeichnungen gilt k # i 11 - 1 j l . 2

, so eiintiert d n - 4 -1- 2 Y?z - I

Sat z 3 : Ist Max (q, E ~ ) 5

ein Eigenwert .u Ban A + P niit

11‘ - d,l 5 1

{ ( d - (n - 2) E,) -- d

- ] i ( t ~ - ( n - 2) e2)* - 4 ( n - 1) el e,} . (10) Beweis: Sei s die rechte Seite von (10). s ist reell und

0 5 .Y < (1. Man rechnet nnch, daR

ist. Wir wenden (7) ffir 1) ) = n - 1, r l = m,, y = 1/(d - s) an iind crhalten

(12 - 1 ) E, - - E1 . I . .- - - 1. 1 C ‘mi 1 1 E 1 + S F 2 + d - S

1 + - - - - C mi + (a - s) d - s n - 1

Satz 1 zeigt niin die Behauptung, q. e. d. Beisp ie l : Sei n = 5, d = 1, ml = m2 = m3 = 0.1,

m4 = m5 = 0.05. Dann ergibt (2): 11‘ - dll 5 0.063. Mit Satz 3 dagegen erhalt man die Schranke 0.041.

B e m e r k u n g 3: Es ist leicht moglich, Satz 3 auch auf den Fall zii ubertragen, daR mehrere Diagonalelemente gleich d, sind. Bei Satz 2 ist dieses nicht moglich, da dann die Rcdin- gang, die s =( E entspricht., nicht, mehr erfiillbar ist.

L i t e r a t u r 1 11. I). I)XEYBS. I.’elilerubs~~hiitiu~i~ Iieim (2 I<-Algnrithnitis.

2 L. ELSNER, Hiniuiale Oersrhgorin-Kreise, XAJIJ14A. S . 5 1 -56 (196X). 3 1.. ELSXEH, l’ber ~ : i g e o ~ e r t e i ~ i s c h l i e U i ~ n ~ e n i i i i t llilfr ron Grrsrliyi~rin-

1 ) i s s c ~ t n t i t m Ilaniburg 1971.

Kreism, X A Z l M 50, S. 3x1 -3S4 (1970).

Maniiskripteingang: 2. 2. 1971

Bn~Chri f t : Dr. 1,. ELSNER, Institiit fur Angewandtc Mat,hematik 1. 8520 Erlangen, Er\\,in-Itommel-Strit0e 60 (RRD)

ZAMM J l , SiO -572 (1971)

H. ADE Zur Konstruktion der Greenschen Punktion bei gewviihnliehen Dinerentialgleiehnngen

1. A i i f ga b e n s t e l l u n g Sei I = [a, b] c R ein lcompaktes Tntervall, u(x) E Cn(Z), n c N , m E N n n d z k E I , k E M = { l , 2 ,..., m ) , so daD a = y1 < z2 <. . . < zm = b. Weiter seien fiir 2 = 1(1) n ,