Math. Nachr. Bd. 90, 159- 172 (1979)

Bemerkungen uber Klassenzahlen und Summen von Jacobi-Symbolen

Von REINHARD BOLLING in Berlin

(Eingegangen am 18.5.1977)

Seit den Arbeiten von E. KUMMER ist die Bedeutung von arithmetischen Eigen- schaften der BERNonLLzschen Zahlen fur Klassenzahlaussagen bekannt. Eine Erweite- rung dieses Zusammenhanges ist insbesondere von H. W. LEOPOLDT [4] durch die Ein- fuhrung seiner verallgemeinerten BERNomschen Zahlen vorgenommen worden. C. QUEEN [5] vergleicht die Restklasse modulo 3 der Klassenzahl gewisser imaginiir- quadratischer Zahlkorper mit derjenigen von gewissen verallgemeinerten (zweiten) BERNoaLIschen Zahlen (s. auch Abschnitt 3). Als Anwendung wird erhalten, da13 die Klassenzahl h( -331) eines imaginar-quadratischen Zahlkorpers Q (q@) fur eine Prim-

zahlp = l(mod 4) genau dann durch 3 teilbar ist, wenn C = 0 (mod 3) gilt (mit

dem LEGENDEE-Symbol - ). I n den nachfolgenden Ausfiihrungen werden diese Re-

sultate verallgemeinert bzw. verbessert. So ergibt sich beispielsweise fur die Klassen- zahl h( -3m) eines imaginiir-quadratischen Zahlkorpers Q (F) mit einer quadrat- freien naturlichen Zahl m = l(mod 4), m + 1, 3 % nz

O<a<pi3 (3 P (3

h( -3m)=2 O<a<m/3

( - = JAcoBI-Symbol). Dieses Resultat und alle ubrigen werden in elementarer Weise

aus den Grundeigenschaften des JAcoBI-Symbols erhalten (ohne Ruckgriff auf BER- NouLtIsche Zahlen wie in [5], der in diesem Zusammenhang als Umweg erscheint). Allgerneiner wird gezeigt, wie sich Summen der Form

(3

(a, m, t, x - ganze rationale Zahlen) fur t = 2; 3; 4 durch Klassenzahlen von imaginiir- quadratischen Zahlkorpern berechnen lassen (s. die Tabellen 1-4).

Bezeichnungen. Mit m wird durchweg eine naturliche quadratfreie ungerade Zahl (+ 1) bezeichnet.

160 Bolling, Bemerkungen uber Klassenzahlen

Fur a<a<#

a<o<#

geschrieben, wobei a alle ganzen rationalen Zahlen mit u < a < B durchliiuft und fur

das JAcoBI-Symbol = 0 ist, falls a und rn nicht teilerfremd sind. (3 h(d) bezeichnet die Klassenzahl des quadratischen Zahlkorpers Q (112).

1. Klassenzahlen

Fiir die Klassenzahl h(D) ekes imaginiir-quadratischen Zahlkorpen mit der Dis- kriminante D < -4 und dem Charakter x gilt

oder auch

(zum Beispiel [l], V, 5 4, Theorem 1 und 3). Wir werden von beiden Formeln Gebrauch machen (zuniichst nur von (I); fur ~ ( 2 ) =# 0 ist (11) ubrigens als Spezialfall in Satz 1 ent halten).

Ohne ausdruckliche Erwiihnung verwenden wir im weiteren die folgenden offen- sichtlichen Umformungen :

(fur ganzzahlige p, a mit 0 5 p < A).

1.1. h(-m) fiir X(2) * 0 Wir benotigen folgenden

H.ilf88atz 1. Sei (m, t ) = 1. Dann gi2t

( 0 fiir m = l(mod 4)

([ ] = grcjptes Canze).

benutzen Beweis. Alle folgenden Summationen beziehen sich auf das Intervall (0, m). Wir

Bolling, Bemerkungen uber Klassenzahlen

Betrachten wir beispielsweise den Fall m = l(mod 4) und 2 $ t. Dann wird

161

woraus sofort fur diesen Fall die Behauptung folgt. In allen ubrigen Fallen verfahrt man analog.

Hilfssatz 2. Sei (m, t) = 1. Dann gilt f i ir jedes v 2 1 :

f i ir n = l(mod 4) :

f i i r nt= -1(mod 4):

Beweis. Zunachst berechnen wir eine ahnliche Summe wie im Hilfssatz 1. Sei

(0.m) Dann ist

(fur Y = 1 ersetze man die letzte Summe durch Null). Daraus erhalten wir weiter insgesamt

11 Math. Nachr. Bd. 90

162 Bolling, Bemerkungen uber Klassenzahlen

Nach diesen Vorbereitungen kommen wir zum Beweis des Hilfssatzes. Wir haben

t -1

=,(;).+mz.i (0,m) 1=1 a=(v=i)m(f) c (:) - ( O m )

Nun wende man (1.1) an, wobei noch Hilfssatz 1 zu beriicksichtigen ist. Damit ist der Beweis beendet.

Wir halten noch eine Anwendung fur Klassenzahlen fest.

Satz 1. Sei m eine natiirliche quadratfreie Zahl, m =# 3 und m = -1 (mod 4). Piir jede natiirliche Zahl t init (nt, t ) = 1 gilt

Beweis. Wir wenden Hilfssatz 2 fur v = t an und erhalten

2 (3 u = -mh(--nt) + r n 2 (t + 1 - 21) c (o.tm) ( o m

It/Zl

a=O(t) 1=1 o=slm(l)

Anderemeits ist offenbar

Damit ist der Satz bewiesen.

Bemerkung. Satz 1 enthalt als Spezialfall fur t = 2 die bekannte Klassenzahlformel (11) (fur x (2) =# 0). Man beachte, daB bisher tatsachlich nur die Formel (I) verwendet wurde.

1.1.1. Der Fall 3 ] In

Behauptung 1. Sei m = 1 (mod 4) und 3 t m, m =+= 1. Dann gilt

(:)A

h(-3m) = 2 2 (O.m/3)

Beweis. Zuniichst haben wir

Bolling, Bemerkungen fiber Klassenzahlen 163

Fur m E l(inod 4) gilt stets

(A, t E 2). Das folgt leicht direkt oder auch beispielsweise aus dem HiLfssatz 2 (falls (m, t ) = 1). Damit wird

Jetzt wenden wir Hilfssatz 2 an und erhalten

Damit ist der Beweis beendet.

1.1.2. Der Fall 3 .+ m

Behauptung 2. Sei m = -l(mod 4) und 3 .+ m. Dann gilt

-2h(-m) fiir m f l(mod 3) a=0(3) c ($={ h( -m) fiir rn = 2(mod 3). (O,m)

Der Beweis ergibt sich unmittelber aus Satz 1 fur t = 3:

Damit konnen alle in der Einleitung erwiihnten Summen fur t = 3 bezuglich des Intervalls (0, m) durch Klassenzahlen bestimmt werden. Wir fassen das in der folgenden Tabelle zusammen.

Tabelle 1. Fur jede naturliche quadratfreie ungerade Zahl m, m + 1, 3 % m gilt:

1 m 1 m m = l(mod 4) T (3) h(-3m) T (7) h(-3m) - (:) h(-3m)

m = -l(mod 4)

m = l(mod 3) - 2 4 -m) ' 2h( -m) 0

m = 2(mod 3) hf-mf 0 -h(-m)

11*

164 Bolling, Bemerkungen iiber Klassenzahlen

1.2. h(-m) fiir x ( 2 ) = 0

Behsuptung 3. Sei m = 1 (mod 4). Dann gilt

Beweis. Es gilt

Wir beriicksichtigen jetzt (9. oben)

(9. hierzu auch Tabelle 3) und erhalten

woraus sich die Behauptung ergibt,.

1.3. h(-2m) Behauptnng 4. Es giEt

fiir m = l(mod 4):

fiir m e - l(mod 4) :

ergibt sich

Zur weiteren Fbduktion beachten wir (fur 5 E 2)

Bolling, Bemerkungen uber Blassenzahlen 165

Wir unterscheiden nun zwei Falle. (i) Se i m = l(mod 4). Hier wird

und daher

Wenn wir fur x f m(mod 4) noch

beachten, folgt

und daher

Damit ist Behauptung 4 bewiesen.

2. Reduktion auf das Intervall ( O , m / 2 )

M e Summationen der von uns betrachteten Art (6. Abschnitt 1) iiber das Intervall (0, m) lessen sich auf solche iiber das Intervall (0,742) reduzieren. Hierfiir benotigen wir den

166 Bijlliiig. Benierkungen uher I;laxseiiz:i!~I~:;ii

Hilfssatz 3. Sea’ t , .r E Z i o i d ( 2 , t ) = 1. D(1~1z gilt

f3cweis. Einerseits k t

Andererseits ist aher aiich

Hieraus folgt die Bchnuptung. Setzen wir insbemidrre .i- = 0, so ergiht sich die

Folgerung.

(:) a-o(t) 2 (;I+($) n E c m/z(f) (;)= n r O ( t ) z (+($) a--nr(t) /.x (:). (0,ml.L) ( O . r n l ? ) ( O . * I l i ? ) (O,m/2)

Fur den Fall ( 2 , t ) = 2 erwahnen wir noch die folgende

Bemerkung. Fiir t = 2t‘, x = 2x’ (t’, .z’ E 2) ergibt sich analog

Wir koiiinien nun ztir Berechnnng der hier bet tachteten Stinmen hcziiglich des Intervalls (0, m/2).

2.1. k( - tn ) fur ~ ( 2 ) + 0

2.1.1. Der Fall 3 1 )ti. Aus der Folgerung Zuni Hilfssatz 3 erhzllten wir fiirw = 1 (mod 4)

unt,er Beacht.ang von C (z) = 0 die Beziehung (O,m/2)

Bolling, Benierkungea iiber Hlassenzahlen

Fur m = l(mod 8) folgt daraus

167

Fiir m == 5(mod 8) folgt ebenso

Darnit komrnen wir zum Beweis der

Behauptung 5. Sei 3 % m. Dana gilt

und

co.n~i2i ' '

Beweis. Behauptung 1 gibt uns zuniichst

Nun wende man (2.1) bzw. (2.3) an und erhalt das Gewiinschte.

2.1.2. Der Fall 3 % m.

Behauptung 6. Sei 3 % m. Dann gilt

fur m- 3(mod 8)

und

fiir m = 7(inod 8). h(-m) = (t) a=0(3) = (i)

(o.m/z)

Beweis. Sei m _= 3(mod 8). Aus der Folgerung zum Hilfssatz 3 ersehen wir

Wegen

168 Bolling, Bemerkungen uber Klassenzahlen

folgt damit schon die Behauptung. Sei m = 7(niod 8). Aus der Folgerung zum Hilfssatz 3 ersehen wir

Damit folgt zunachst

Wir werden die Behauptung 2 anwenden und daher die Falle m= l(mod3) und m = 2(mod 3) unterscheiden.

Sei m f l(niod 3). Behauptung 2 gibt uns

Ein Vergleich mit (2.3) liefert nun

Setzen wir das in (2.3) ein, so ergibt sich die Behauptung. Sei m = 2(mod 3). Behauptung 2 gibt uns

Ein Vergleich mit (2.3) liefert nun

Hieraus folgt wiederum die Behauptung. Damit ist der Nachweis in beiden Fallen geliefert .

2.2. Summen fiir den Modul t = 3

Die bisherigen Entwicklungen ermoglichen die Beschreibung der Summen 2

fur alle zugelassenen m durch Klassenzahlen (z E 2). Wir beschriinken uns hier auf den Fall 3 + rn, da die entsprechenden Resultate fur 3 I m sofort auf den ersten Fall zuriick- gefuhrt werden konnen. Wir erhalten die folgende

Bolling, Bemerkungen iiber Klassenzahlen 169

Tabelle 2. Fiir jede natiirliche quadratfreie ungerade Zahl m, m + 1, 3 .+ m giIt:

m = l(mod 8 ) 1 m 1 m - (T) h(-3m) - z (T) h(-3m)

m = 5(mod 8 ) 0 - h( - 3m) _ - h(-3m) 1 2 2

m = 3(mod 8 )

m E l(mod 3) h(-m) 3h( -m) -h( -m) m = 2(mod 3) h(--nz) 2h(-m) 0

m = 7(mod 8)

m = l(mod 3) -h(-m) w - 4 m EE 2(mod 3) h(-m) 0

Beweis. Fur den Fall m = l(mod 4) entnimmt man die entsprechenden Aussagen der Behauptung 5 sowie den Gleichungen (2.1) und (2.2). Ebenso erhalt man alle Aus- sagen im Fall m r 7(mod 8) aus dem Beweis zur Behauptung 6. Wenden wir uns daher dem verbleibenden Fall m = 3(mod 8) zu. Aus den Behauptungen 2 und 6 ergibt sich

(:) -2i3) (:) c, c (;) =c,h(--nz)- c 0-0(3) a=0(3) (o,m/2) (o.m/z) (O.mlz)

mit -2 fur m - l(mod3)

c m = { 1 fur m r 2(mod3)

Berucksichtigen wir noch 3h(--m) = 2 (z) , so ergibt sich (O.ml2)

Damit sind alle Behauptungen der Tabelle bewiesen.

2.3. Summen fiir den Modul t = 4

Die bisherigen Ergebnisse ermoglichen die muhelose Berechnung unserer Summen

Beweis. Fur m = l(mod 4) entnimmt man alles dem Abschnitt 1.2. Fur m E -l(mod 4) folgt aus Satz 1 leicht

fur den Modul t = 4.

170 Bolling, Bemerkungen uber Klassenzahlen

Tabelle 3. Fur jede naturliche quadrntfreie ungerade Zahl m, m =+ 1; 3 gilt:

~ ~

1 1 2 2 2 2

- - h( -m) 1

- - h( -m) 1 -h( -m) m = l(mod 4) -h ( -m)

m = 3(mod 8 ) 0 3h( -m) - 3 4 -m) 0 m E 'I(mod 8) h( -m) 0 0 -h( -m)

Andererseits ist nach der Klassenzahlformel (11) auch

Elimination von h( -m) liefert schlieBlich

Hieraus folgen die ,,Sullen" in der Tabelle. Aus (2.4) folgt dann der Rest.

h(-m) aus. Bei Beschriinkung auf das Interval1 (0, m/2) kommen wir nicht mehr allein mit

Tabelle 4. Fur jede natiirliche quadratfreie ungerade Zahl m, m + 1 ; 3 gilt,:

m i l(mod 8) h( -m) + h(-2m) h( -m) - h(-2m) m = 5(mod 8) -h( -m) + h(-Zm) 3h(-m) - h(-2m)

m = 3(mod 8 ) 6h(-m) - h(-2m) 6h( -m) + h( -2m) m = 'I(mod 8) 4h( -m) - h( -2m) h( -2m)

m = l(mod 8 ) h(-m) - h(-2m) -3h(-m) + h(-2m) m = 5(mod 8) -h( -m) - h( -2m) -h(--m) + h(-2m)

m = 3(mod 8) m = 'I(mod 8) h(-2m) - h( -2m)

-6h(-m) + h(-2m) 6h( -m) - h( -2m)

Zum Beweis benutze man die Bemerkung zum Hilfssatz 3, die Behauptungen 3 und 4 sowie die Klassenzahlforinel (11). Die Ausfuhrung der Einzelheiten sei dem Leser uberlassen.

Bolling, Bemerkungen iiber Klassenzahlen 171

3. Bernoullische Zahlen

I n den Betrachtungen von C . QUEEN [5] spielen die zweiten verallgemeinerten BERNoaLlschen Zahlen B2(x) bezuglich der Charaktere x quadratischer Zahlkorper eine Rolle. Hinsichtlich der Bedeutung der von H. W. LEOPOLDT [a] stammenden Verallgemeinerung der gewohnlichen BERNouLLIschen Zahlen sei hier nur erwiihnt, da13 sich mit ihrer Hilfe die Werte der Zetafunktion eines absolut abelschen Zahlkorpers an den negativ-ganzzahligen Stellen berechnen lassen, ganz so wie bei der RIEMANNschen Zetafunktion mittels der gewohnlichen B m N o u s c h e n Zahlen.

Wir schliel3en mit einigen Anmerkungen uber die B2(x). Fur einen reell-quadratischen Zahlkorper mit dem (primitiven) Charakter x und

der Diskriminante D hat man unmittelbar aus der Definition [a]

(in offensichtlicher Bezeichnungsweise).

fur R2(x) ein entsprechender Ubergang volIzogen werden. So wie die Klassenzahlformel (I) sich zur Formel (11) vereinfachen IiiSt, kann auch

B emerkung. Mit den obigen Bezeichnungen ist 4

B2(x) = - - c x ( 4 a. - x(2) (O.D/ZI

Zum Beweis orientiere man sich an dem Vorgehen in [l], V, § 4. Die Ausfuhrung der Einzelheiten sei dem interessierten Leser uberlassen.

Ubrigens sieht man bei der Gelegenheit, daB bis auf die Ausnahme D = 5 alle B&) ganze Zahlen sind. Nach der Bemerkung ist n&dich nur noch ~ ( 2 ) =+ 0 zu be- trachten. Hierfur benutze man

D ist Primzahl und D - 1 D C C (;)an @ n = - no fur ein no E 2, 2 .+ no

2 ( O D )

(n = naturliche Zahl), was leicht zu sehen ist. Uber arithmetische Eigenschaften der verallgemeinerten BEItNouLmschen Zahlen kann man sich beispielsweise in [2], [3] informieren.

Der in [5] durchgefuhrte Vergleich der Restklassen modulo 3 von B,(xD+) und h(D-), worin D+ resp. D- die Diskriminante eines reell- resp. imaginlir-quadratischen Zahlkorpers bezeichnet, fur die entweder Df = -3D- oder D- = -3D+ gilt, laBt sich nunmehr unmittelbar durch Kongruenzbetrachtungen init Hilfe der beiden Formeln fur B2(xD+) erbringen, wenn von dem Fall 3 1 D f , xD+(2) = 1 abgesehen wird. Fiir D+ = 3m und ~ ~ 4 2 ) =+ 0 findet man aber

Naturlich lassen sich iihnliche Formeln auch in allen ubrigen Fiillen aufstellen.

172 Bolling, Bemerkungen iiber Klassenzahlen

Literatur

[l] 3. PI. EOPEBW H kf. P. ~ A C D A P E B I I Y , Teopm YHceJI. MocKsa 1972. [2] L. CARLITZ, Arithmetic properties of generalized Bernoulli numbers. J. reine angew. Math.

[3] J. FRESNEL, Valeurs des fonctions z6ta aux entiers nbgatifs. Sem. de Theorie des Nombres,

[4] H. W. LEOPOLDT, Eine Verallgemeinerung der Bernoullischen Zahlen. Abh. Math. Sem. Univ.

[5] C. QUEEN, A Note on Class Numbers of Imaginary Quadratic Number Fields. Arch. Math.

202, 174-182 (1959).

exp. 27 (1970/71).

Hamburg 22, 131-140 (1958).

XXW, 295-298 (1976).

Akudemie der Wissenachaften der DDR Zentralinatitut fiir Nathematik und Mechnik DDR - 108 Berlin Hohrenatrape 39