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Überblick über VerteilungenInhalt

Maxwell-Boltzmann-Verteilung _______________________________________________ 1

Boltzmann-Verteilung (thermodynamische Wkt.; kanonische Verteilung) _____________ 2

Maxwell-Verteilung _________________________________________________________ 3

Bose-Einstein-Verteilung (auch: Planck-Verteilung) ______________________________ 3

Fermi-Verteilung ___________________________________________________________ 5

Gauß-Verteilung / Normalverteilung ___________________________________________ 7

Binomialverteilung (auch: Bernoulli-Verteilung) _________________________________ 8

Poisson-Verteilung (Verteilung der seltenen Ereignisse)____________________________ 8

Lorentz-Profil / -Verteilung ___________________________________________________ 8

Statistiken _________________________________________________________________ 9

Bemerkung:Teilchen deren Spin ein ganzzahliges Vielfaches von h ist, nennt man Bosonen, solche mit halbzahligemVielfachen heißen Fermionen. Sowohl Bose- als auch Fermis-Statistik berücksichtigen, daß die Teilchenununterscheidbar sind.Die Boltzmann-Statistik, die der Maxwellschen-Geschwindigkeitsverteilung zugrunde liegt, ergibt sich alskassischer Grenzfall sowohl für Fermionen als auch für Bosonen. Dieser klassische Grenzfall liegt dann vor,wenn der mittlere Abstand a=n–1/3 zwischen zwei Teilchen sehr groß ist im Vergleich zur deBroglie-Wellenlänge

thth vm

h=λ

ist. Diese Bedingung ist um so besser erfüllt, je kleiner die Dichte n, je höher die Temperaratur T und je größerdie Masse eines Teilchens ist.Für praktisch alle Gase sind die Effekte der Quantenstatistik zu vernachlässigen, da diese erst bei Temperaturenund Dichten bedeutsam werden, wo diese Substanzen flüssig oder gar fest sind. Eine Ausnahme ist der atomareWasserstoff.Ales theoretische Konzept finden die Quantengase vielfältige Anwendung zur Beschreibung von(schwachwechselwirkenden) Vielteilchensystemen, z.B. Leitungselektronen in Metallen(Fermi),Cooperpaare(Bose), Exzitonen(Bose).

Maxwell-Boltzmann-Verteilung

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung ist eine Geschwindigkeitsverteilung des idealen Gases:

( ) Tk

vm

B

N B

N

eTk

mv

dvdN

Nvf

221

23

2

24

1 −

==

ππ

r

(ist identisch mit der Gleichung der Maxwell-Verteilung; nur umgeformt)

Der Term 4πv2 kommt von der Annahme einer Richungsunabhängigkeit der Verteilung.

Der Term 23

2

kT

mN

π kommt von der Normierung auf 1.

2

Die relative Häufigkeit von Geschwindigkeiten im Bereich von v1 bis v2 ist gegeben durch das entsprechendeIntegral über die Geschwindigkeitsverteilung(-sfunktion):

( ) ( ) ( )∫=<<

=<<2

1

32121

v

vTotal

vdvfN

vvvNvvvh

r

Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit vw ist die Geschwindigkeit am Maximum der Verteilungsfunktion:

n

Bw m

Tkv

2=

Die durchschnittliche Geschwindigkeit für eine Maxwell-Botzmann-Verteilung ist:

2

388

vm

Tkv

N

B ⋅==ππ

Ihr Wert liegt zwischen vw und 2v

Bei Hohlraumstrahlung folgt im thermischen Gleichgewicht die Verteilung der Gesamtenergie auf die einzelnenEigenschwingungen einer Maxwell-Boltzmann-Verteilung.

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung ergibt sich als Grenzfall aus der Fermi-Dirac-Verteilung(-Quantenstatistik)für Ei-µ >> kBT. Mehr dazu siehe unter Fermi-Dirac-Verteilung.

Boltzmann-Verteilung (thermodynamische Wkt.; kanonischeVerteilung)

Die Boltzmann-Verteilung gibt an, wie die einzelnen Energieniveaus im Termschema von Atomen und Ionen beigegebener Temperatur besetzt sind (elektronischen Zustände).Verteilung der elektronischen Anregungen eines Plasmas:

Tk

Ejj B

j

egg

nn −

=0

nj : Teilchenzahl im j-ten angeregten Zustandn : Gesamtteilchenzahlgj : statistischen Gewicht des angeregten Zustandes (Entartungsgrad)g0 : statistisches Gewicht des GrundzustandesEj : Anregungsenergie des j-ten angeregten ZustandesT : Plasmatemperatur

Tk

E

B

j

e−

wird auch Boltzmann-Faktor genannt.

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Beispiel 1: Die Wahrscheinlichkeit, daß in einem Kristall ein gegebener Gitterplatz nicht besetzt ist, ist imthermischen Gleichgewicht proportional zum Boltzmann-Faktor, wobei EV die Energie ist, die man benötigt, umein Atom von einem Gitterplatz im Inneren auf einen Gitterplatz auf der Oberfläche zu bringen.Bei N Atomen ist die Zahl n der Leerstellen im Gleichgewicht gegeben durch:

−=

− TkE

nNn

B

Vexp

Beispiel 2: Die Emissionsrate thermischer Elektronen aus einem Festkörper mit Austrittsarbeit W

(Materialkonstante) bei der Temperatur T ist proportional zu

−TkW

B

exp

Maxwell-Verteilung

Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen (Ionen und Elektronen mit der selben Temperatur T)eines Plasmas im VTG:

( ) Tk

mv

B

BeTk

mvvf

2

21

23

2

24 −

=

πf : Teilchenzahl im Geschwindigkeitsbereich [v,v+dv]v : Teilchengeschwindigkeitm : TeilchenmasseT : Plasmatemperatur

Obwohl die Temperatur dieselbe ist, besitzen die unterschiedlichen Teilchensorten wegen ihrerunterschiedlichen Massen auch verschiedene Geschwindigkeitsverteilungen.

Die Quantenmechanische Entartung der Elektronen ist oft nicht vernachlässigbar, also muß im Elektronenplasmain Metallen oder in kalten Sternen (weißen Zwergen) die Fermi-Dirac Verteilung benutzt werden.

Bose-Einstein-Verteilung (auch: Planck-Verteilung)

auch für Spinlose-Quasiteilchen: z.B. Phononen (BergmannSchäfer S. 31f)

Die Bose-Einstein-Statistik beschreibt die statistische Verteilung nach der Quantenmechaniknichtunterscheidbarer Teilchen mit ganzzahligem Spin (0, 1, 2, ...), d.h. Bosonen (sie unterliegen nicht demPauli-Prinzip). Ein Zustand i darf von beliebig vielen Teilchen besetzt sein.

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Die Eigenschaft der Photonen zu den Bosonen zu gehören, ist für das Laserprinzip von Bedeutung. Es könnensich beliebig viele Photonen in ein und dem selben Zustand an ein und demselben Ort mit identischer Phasebefinden.

Die Bose-Einstein-Verteilung beschreibt die mittlere Teilchenzahl ni nicht miteinander in Wechselwirkungstehender Teilchen mit ganzzahligem Spin im Zustand i mit der Energie Ei:

1−

= −Tk

Ei

i

B

i

e

gn µ

gi : Gewichtsfaktor gi=(2s i+1)s : Spinni : Teilchenzahlµ : chemisches Potential µ(T,V,N) = F(T,V,N) – F(T,V,N-1) mit F = U – TS : freie EnergieEi : Energie des i-ten Zustands

Phononen:Bose-Einstein-Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung n(ω) einen Zustand der Energie hω imthermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T zu finden:Planck-Verteilung:

( )1

1,

−

=TkBe

Tn ωω h

Die Planck-Verteilung ergibt sich überall dort, wo die Energieniveaus gleich denen eines oder mehrererharmonischer Oszillatoren sind: En=(n+1/2) hω___

Die Boltzmann-Verteilung gilt für die Frage mit welcher Wahrscheinlickeit ein Teilchen Zustände einnimmt, dieBose-Statistik für die mittlere Teilchenzahl nicht wechselwirkender Teilchen auf Zuständen, die mit beliebigvielen Teilchen besetzt werden können.

Beispiel: Thermische Energie eines Oszillators der Frequenz ω:

( ) ωωω ω hh h

+

−

=

+=

21

1

121

,TkBe

nTE

___

Boltzmann-Verteilung:

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Plancksche Strahlungsformel / -Verteilung

spektrale Energiedichte ρ(ν) der Hohlraumstrahlung (thermische Strahlung)

( )1

83

2

−

=Tk

h

Be

hc ν

νπννρ bei thermischem Gleichgewicht

ein zusätzliches ν im Zähler unterscheidet dies von einer Proportionalität zur Bose-Einstein-Verteilung

Fermi-Verteilung

Fermi-Dirac Statistik : Quantenstatistik für ein aus Fermionen (Elementarteilichen mit halbzahligem Spin, sieunterliegen dem Pauli-Prinzip) bestehendes im Gleichgewicht befindliches System.

Die Fermi-Verteilung gibt die mittlere Zahl ni der miteinander nichtwechselwirkenden Fermionen im Zustand imit der mittleren Energie Ei an:

1+

= −Tk

Ei

i

B

i

e

gn µ

µ : chemisches Potential µ(T,V,N) = F(T,V,N) – F(T,V,N-1) mit F = U – TS : freie Energie (genaueres hierzu s.u.)

µ=5

6

gi : Gewichtsfaktor gi=(2s i+1), Entartungsgrad(?)s : Spinweitere Variablenbenenneungen wie bei Bose-Einstein-Verteilung

Die Größe der "Aufweichzone" um µ ist von der Größernordnung 2kBT nach jeder Seite. Bei der Erhöhung derTemperatur kann also nur ein ganz geringer Bruchteil der Elektronen Energie aufnehmen. Das hat erhbelicheFolgen, z.B. für die spezifische Wärme des Elektronengases.

Diese Besetzungsverteilung beschreibt allgemein die Gleichgewichtsverteilung in einem thermodynamischenSystem, in dem pro Zustand maximal ein Teilchen untergebracht werden kann, d.h. wo auf feste vorgegebenePlätze immer nur ein Teilchen untergebracht werden kann. Diese Statistik ist daher nicht nur auf Fermionenanwendbar, sondern auch z.B. bei• Fehlstellen in Kristallen• Lösung von Gasen in Kristallgittern• Absorbtionsvorgängen

Fermi-(Dirac-)Verteilungsfunktion f(E,T), Wahrscheinlichkeitsverteilung, in einem fermionischen System der

Temperatur T einen Quantenzustand im Energieintervall E..E+dE zu besetzen: ( )1

1,

+

= −Tk

E

Be

TEf µ

Für T>0 muß die Fermiverteilung f(E,T) an die Grundzustandsdichte D0 multipliziert werden

D(E,T)=f(E,T) D0(E,T), um die Zustandsdichte einer beliebigen Temperatur zu erhalten.Denn die Besetzung der Zustände mit den im Kristall zur Verfügung stehenden Elektronen muß sosein, daß sie der mittleren thermischen Energie des Systems entspricht, d.h. die Besetzung muß durcheine temperaturabhängige sog. Besetzungewahrscheinlichkeit f(T,E) geregelt sein.Beim idealen Gas währe f(E,T) die Maxwell-Boltzmannverteilung, bei Elektronengas jedoch muß die Fermi-Verteilung verwendet werden.___

Für TkETk

EBi

B

i >>−⇔>>−

µµ

1 geht die Fermi-Dirac-Statistik über in den Bereich der Maxwell-

Boltzmann-Statistik (Bereich klassischer idealer Gase)

MBiTkE

TkTkEFDi neen B

i

BBi,, = →

−>>−

µµ

Im Bereich der klassischen idealen Gase ist das chemische Potential µ negativ!

( )( )43421StatistikfürMB

B TnTk−<<

⋅⋅=1

3ln λµ

mit ( ) BroglieBTkm

hT λ

πλ ≈=

2 der sog. thermische Wellenlänge, die sich nur um den Faktor √π von der

Broglie-Wellenlänge unterscheidet. Die thermische Wellenlänge kommt häufig in der statistischenThermodynamik vor.

( ) FET :0 ==µ Energie des höchsten besetzten Zustandes bei Systemtemperatur T=0

ist der maximale Wert, den µ annehmen kann.

In stark entarteten Elektonengasen kann oft als ausreichend gut Näherung µ(n,T)≈ µ(n,0)=:EF verwendet werden.Bei nicht entarteten Systemen (z.B. Halbleiterphysik) wird das zwar häufig auch gemacht , ist aber eigentlichunkorrekt.

Näherungslösung:

( )

−⋅≈

22

121,

F

BFFD E

TkETn

πµ für n hoch, T gering, µ(n,T)>1, n ⋅λ3>>1

7

( ) MBnundTfür

BFD nnTkTn µλλµ →

+

+⋅≈ ↓↑...

21

21

21

ln,2

323

3 für n gering, T hoch, µ(n,T)<0,

und n ⋅λ3 noch < 1Faktor 2 wegen der zwei Spineinstellungen in Phasenvolumen-Zelle h3.

Hier wurde das chemische Potential, wie allgemein in der statistischen Thermodynamik üblich, inEnergie je Teilchen betrachtet. µ(T,V,N) = F(T,V,N) – F(T,V,N-1) mit F = U – TS : freie Energie N : Anzahl der Teilchen

In der phänomenologischen Thermodynamik dagegen wird üblicherweise Energie je mol verwendet, wie auch inden folgenen Angeben für das chemische Potential:

TpTV NG

NF

,,

::∂∂

==∂∂

µ mit

F=U–TS : freie EnergieG=H–TS : freie EnthalpieN : hier Stoffmenge, also z.B. Molzahl___

Die innere Energie hat auch am absoluten Nullpunkt einen endlichen Wert

( ) FENTU ⋅==53

0 : Nullpunktsenergie

aber die Entropie S verschwindet für T=0.Damit erfüllt das Fermigas den 3. Hauptsatz der Thermodynamik.Das Maxwell-Boltzmann-Gas verhält sich in dieser Hinsicht nicht richtig (U→0, S endlich)

Herleitung der Fermi-Verteilung:thermodynamisches Problem, Frage nach Verteilung bei Gleichgewicht verschiedener quantenmechanischerZustände.Ritschel:Als ein Kriterium, wann welche Verteilung anzuwenden ist, die klassische Maxwell-Boltzmann- oder diequantenmechanische Fermi-Dirac-Statistik kann man den Überlappungsgrad der Teilchenwellenfunktionenansehen. Ist die Ausdehnung der Wellenfunktionen in der Größenordung der mittleren Teilchenabstände sollteman die Fermi-Dirac-Statistik anwenden. Überlappen die Wellenfunktionen bei dem Teilchenabstand praktischnicht kann man klassisch rechnen.

Gauß-Verteilung / Normalverteilung

z.B. Dopplerverbreiterung

( )( )

2

2

2

21 σ

µ

πσ

−−

=x

exf

µ : Mittelwertσ² : Varianz

8

Binomialverteilung (auch: Bernoulli-Verteilung)

Wenn eine Zufallsgröße X die Werte k=0,1,2,3,...,n mit den Wahrscheinlichkeiten

( ) ( ) knk ppkn

kXP −−

== 1

annimmt, so heißt sie binomialverteilt.Die Binomialverteilung entsteht als Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der "Treffer" bei einer Bernoulli-Kette. Dies ist ein wiederholter Zufallsversuch mit zwei möglichen Ergebnissen "Treffer" oder "Fehlschlag". Einbestimmtes Ergebnis (Tupel) einer Wurfreihe hat die Wahrscheinlichkeit pk(1-p)n-k, wenn er genau k Trefferenhält. Das Ereignis "k Treffer" besteht aus allen n-Tupeln mit genau k Treffern, also der Binomialverteilung.Beispiel ein " Galtonsches Brett erzeugt eine Binomialverteilung.

( )!!!

11

knkn

kn

kn

kn

−=

−−

=

mit 0≤k≤n heißt Binomialkoeffizient (weil sie als Koeffizienten im

binomischen Lehrsatz ( ) ∑=

−

=+n

k

kknn bakn

ba0

auftreten)

Poisson-Verteilung (Verteilung der seltenen Ereignisse)

Eine Zufallsgröße X mit den Werten 0, 1, 2, 3, ... besitzt eine Poisson-Verteilung, wenn

( ) µ−µ== e

kxXP

k

!mit µ>0

Der Erwartungswert istE(X)=µ, die Varianz ist V(X)=µ.Die Bedeutung der Poisson-Verteilung liegt vor allem darin, daß sie unter gewissen Voraussetzungen zurApproximation der Binomialverteilung dienen kann. Es gilt nämlich:

( ) µ−− µ≈−

e

kpp

kn k

knk

!1

mit µ=np, falls p klein und k nicht zu groß, also: p<<1 und k<<n ("seltene Ereignisse")

Lorentz-Profil / -Verteilung

z.B. natürliche Linienbreite ∆ωn=γ bzw. ∆νn=γ/2π

( )( ) ( )22

00 2/

2/γ

πγ+−

=−ww

wwg normiert auf ( ) 10

0 =−∫∞

ωωω dg

( ) ( )000 ωωωω −⋅=− gII mit I0 : Gesamtintensität

Bei Normierung auf g(ω-ω0)=1 ist I0 die Intensität I(ω0)=I0 in der Linienmitte ω0.

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Maple:>w0 := 6>g := 5> plot((g/2*Pi)/((w-w0)^2+(g/2)^2),w=-20..20,y=0..1.5);

Statistiken

• Maxwell-Boltzmann-Statistikunterscheidbare Teilchen

alle Möglichkeiten n Teilchen auf m Boxen zu verteilen: nmn

p!

=

• Bose-Einstein-StatistikTeilchen ununterscheidbar ≡ alle Permutationen zählen als eine Möglichkeit

alle Möglichkeiten durch Vertauschen von m-1 Wänden und n Teilchen: ( )( ) !!1

!11

nmmn

p

−−+

=

• Fermi-Dirac-StatistikTeilchen ununterscheidbar, maximal ein Teilchen je Box ⇒ n≥m

( )

=

−

=

mn

nmnm

p1

!!!

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