B e s t i m m u n g e i n e r F l g t c h e d u r c h d i e d r i t t e G r u n d f o r m u n d d i e

S u m m e d e r H a u p t k r t i m m u n g s r a d i e n

Von "~VILttEL~ SI)SS in Freiburg i. Br.

Im folgenden wird der S a t z bewiesen: Nach Vorgabe eines .Fliichenstrei]ens ist

eine J~Idiche dutch ihre dritte Grund]ovm u~d die S u m m e der Hau~tkri immungsradien

als .Funkt ion der _FldichenTarameter eindeutig bes t immtl) .

Wit bezeichnen die Flache vektoriell durch ~(n ~, n2), den Einheitsvektor der Flachennormalen mit n und die Hauptkriimmungsradien mit B,., Naeh Voraus- setzung sollen dann die GrSl~en

7r = ni~tk = --n~,.k = Yzz (n e : 1) (1)

als Koeffizienten der 3. Gnmdform und

o = ~ + . R ~ (2)

als Funktion der :Parameter gegeben sein. Die Koeffizienten der 1. und 2. Grund- form bezeichnen wir mit

gik = ~i ~k, b,.~ = ~,.~ It = - - ~i nk = bk~. (3)

und schreiben die Ableitungsgleichungen der Flachentheorie in der Form

; i = ~ b / n z = - - bik ~,*t rtz. (4) Hierin ist insbesondere

a = bk k ~-- ~1 -+ R~. (5)

Die Ableitungsgleichungen (4) treten an die Stelle der W~i~Gm~T~schen Glei- chungen, wahrend start der fiblichen GAussschen Gleiehungen sich fiir das sph~ri- sche Bild ergibt:

n~k = ~ r~k n , (6)

wenn kovariante Ableitungen beztiglich der 3. GrundYorm gew~hlt werden. Die Gleichungen (6) folgen aus (1) unter Benutzung des sogenannten Lemmas yon RlCCi; sic sind die G~tusssehem Ableitangsg]eichungen im Falle der Einheits- kugelflache.

Als Integrierbarkeitsbedingungen der Gleichungen (4) erhalt man bei kovarianter Ableitung yon ~ naeh (6)

~,~ = ~k, = - - b/, knl + bi~ n = - - hi, in1 + bk,- n ,

x) Dieses Ergebnis is~ in einer Arbeit yon W. SCH~aREn (Stiitzfunktion und Radius I, Comment. Math. Helv. 20, 366--381, 1947) enthalten, in der analoge S/itze fiir die erste und zweite Grundform und entsprechende Kriimmungsfunktionen ausgesprochen werden.

104 W. SOss: Bestimmung einer Fl~iche durch die dri~te Grundform usw.

so d ~ sich ergibt: b<k --~ bkz e - ~ b a t , (7)

d. h. : d e r Tensor der 3. Stufe b~.kz ist symmetrisch in den Indizes. Die Integrier- barkeitsbcdingungen yon (6) lauten

Ri, ,zk = ~'~z ~' , ,-- Y;k ~'t,. (8) Sie bedeuten, dgi~ das sphiirische Bild die Gxcsssche Krfimmung i hat. Re,.z , ist der RlE~1A~sche Kriimmungstensor ftir (1).

Den Beweis des anfangs genannten Satzes erbringen wir pun in zwei Sehritten:

a) P a r a m e t e r v e r t e i l u n g au] der E i n a e i t s k u g e l . Ftir das sphiirische Bild n spielt die gegebene 3. Grundform sowohl die Rolle der 1. wie der 2. Grundform. Naeh dem Satz yon O. BOI~TET ist das sphiirische Bild also bis auf Bewegu~gen aus der 3. Grundform (1) bestimmt. Dem vorgegebenen Fli~ehenstreifen, dureh den die gesuchte Fli~che g bestimmt werden soll, entspricht ein Fliichenstreifen auf dem sphgrisehen Bild, durch den die Bestimmung des sph~trisehen Bfldes zu der vorgege- benen 3. Grundform damit eindeutig wird. Dutch Inte~ation der Ableitungs- gleichungen (6) wird also auf der Einhdtskugel die Parameterverteilung vollzogen.

b) Zur B e s t i m m u n g der F l i i cae ~ verwenden wir Ebenenkoordinaten n und p:

p ( n ) = - - n 5 .

Unter Benutzung yon (5) gewinnen wit dutch Ableitung die Gleichungen

Pik = blk ~ P 7i~ , (9) pk k ---- a - - 2 p . (10)

Bei vorgegebenem Flachenstreifen last sich nun die Funktion p aus der elliptischen Differentialgleichung (10) bestimmen. Darauf gewinnt man aus der Gleichung (9) die Koeffizienten der 2. Grundform

bik ~ b~i .

Fiir die so gewonnenen Gr53en bik bestehen mm die Integrierbarkeitsbedingungen (7), wie man aus (9) dutch folgende Reehnung erkennt:

Es ist

bik, l ~ ba,~ ~ Pihl - - Pilk - ~ 7ik P l - - 71l PZ. .

Nunmehr gilt aber fiir die kovarianten 3. Ableitungen

P,kz ~ P i n --~ Ri~,a P , .

Benutzt man hierin ftir den RiE~A~schen Kriimmungstensor seine Darstellung (8), so sind die Bedingungsgleiehungen (7) effiillt.

Man verifiziert leieht, dal~ ftir die nunmehr aus (4) bestimmte Fliiche ~ die 3. Grundform die gegebene, die Summe der Hauptkrtimmungsradien die Funktion a und der Sttitzabstand yore Ursprung die Funktion p ist.

(Lorenzenhof, 21.9. 1948.)