Monalshdte ffir

Mathemafik �9 by Springer-Verlag 1978

B e s t i m m u n g u n d A n w e n d u n g y o n V e k u a - R e s o l v e n t e n

V o n

Karl Wilhelm Bauer, Graz

(Eingegangen am 15. Mi~rz 1977)

Abstract

Determination and Application of Vekua Resolvents. The paper is con- cerned with the differential equation V~=C(z,~)V with m2(logC)z~-k + eCC ---- 0, m ~ 0, ~ = :t: 1. The Vekua resolvents are determined by means of an associated second-order differential equation. Applications are given to pseudo-analytic functions, to a differential equation in the theory of several complex variables and to the Ernst equation in general relativity.

l . Von I. N. V~KUA wurde in [8J, Kap. I, eine allgemeine Theorie fiir die L6sungen der Differentialgleichung

V~= C(z, ~) ~ (1)

entwickelt , wobei C ( x + i y , x - - i y ) eine im be t rach te ten Gebiet analyt ische F unk t i on der Variablen x und y bezeichnet. In diesem Zusammenhang wurde un te r anderem ein allgemeiner Entwieldungs- satz fiir die in einfach zusammenh/ ingenden Gebiet~n defmier ten L6sungen mi t Hilfe yon In tegra lopera to ren hergeleitet . Bei der Bes t immung der hierzu erforderl ichen Resolventen wird m an jedoeh schon in einfachen F~llen auf erhebliche Schwierigkeiten geftihrt.

In der vorl iegenden Arbei t wird angenommen, dab der Koef- fizient C in (1) der Differentialgleiehung

m 2 (log C)z~ + s C C = 0, m > 0, e = :k: 1,1 (2)

geniigt. I m 2. Absehni t t werden zun~ehs~ die in einfach zusammen- h/~ngencIen Gebieten definierten L6sungen yon (2) bes t immt und sodann s die beiden bier auf t re tenden Hauptf/ / l le

m C - - l + sz5 ' m >O, e-~ -4-1, (3)

x Im Fall m ~ und s = - - 1 ist es m6glieh, die L6sungen von (1) durch Differentialoperatoren darzustellen (vgl. [3J).

7 l~onatshefte ffir Mathematik, Bd. 85/2

0026--9255/78/0085/0089/$ 01.80

90 I~. W. BAtIEI~

die Vekua-l~esolventen unter Verwendung einer zugeordne~en Dif- ferentialgleiehnng 2. Ordnung explizit ermittelt. Im letzten Ab- schnitt wird auf einen Zusammenhang der bier erzielten Ergebnisse init gewissen pseudoanalytischen :Funktionen hingewiesen, fiir die ein , , s char fes" Maximumprinzip gilt. Aul3erdem werden Anwendun- gen bei einer Differentialgteichung in der Theorie der Fmaktionen mehrerer komplexer Veri~nderlichen uncl bei dcr in der allgemeinen Relativit/~tstheorie auftretenden Ernst-Gleichung herausgestell~.

2. Zur Best immung der L6sungen yon (2) setzen wir C =-e u+tv,

u , v reellwertig. Dann gentigen die Funkt ionen u und v den Diffe- rentialgleichungen

m 2 Uz~ + e e 2 u ~ O, Vze = O.

Bezeiclmet (~ ein einfach zusammenhs Gebiet der kom-

plexen Zahlenebene, so gil~ also v = h ( z ) + h ( z ) , wobei h(z) eine beliebige in 05 holomorphe Funkt ion bezeichnet. Setz~ man noch u = 4 + �89 (--em~), so erh~lt man fiir 4 die Liouville-Gleichung

= (4)

Die in 65 defmierten komplexwertigen LSsungen yon (4) lassen sich in der l~orm

~0' lp' a = � 8 9 - -

darsSellen (vgl. c*wa [9], Satz 1), wobei ~(z) und ?p(z) in ~ mero- morphe Funkt ionen bezeichnen, die gewissen Bedingungen geniigen. Fiir die reellwertigen Funkt ionen u folgt sodalm (vgl. [1], Satz 2)

u = �89 log V'f' (i + ef]) '

wobei f ( z ) eine in (~ meromorphe Funkt ion bezeichnet, die den folgenden Bedingungen geniigr

(i) f ( z ) besitzt in ~ mtr endlich viele Polstellen yon h6chstens e rs~r Ordnung,

(ii) (1 + e f f ) f ' r in ~5.

(5 )

Bestimmung und Anwendung yon Veku~-Resolvon~en 91

Damit gilt der folgende

Satz 1: a) Zu jeder in G definierten L6sung der Differential- gleichung (2) gibt es eine in ~3 nicht verschwindende holomorphe Funktion g(z) und eine dort meromorphe Funktion f(z), die den Be- dingungen (5) genf~gt, so daft

m Jf' g (~)

b) Umgekehrt erhi~lt man mit (6) eine in 63 definierte LSsung yon (2), wenn g(z) eine beliebige in ~3 nicht verschwindende holo- morphe Funktiou bezeichnet und f (z) eine in ~b meromorphe Funktion ist, die den Bedingungen (5) geni~gt.

c) Ist eine Lbsung C yon (2) vorgegeben, so ist die Schwarzsche Derivierte ~ yon f (z) eindeutig gem@

2 2 [f]~ -- 2 C~- - 0 , mit C ~Iog (C C/m 2)

bestimmt. Hat man i~ber f (z) verfi~gt, so gilt

1 Cf ' argg (z) = ~-~ log _ _ - .

Vf' Geht man yon (2) mit C gemii$ (6) aus, so erh~lt man mit

w(~, ~)--

die Differentialgleichung

V(~,~) _ _ , ~ = f ( z ) ,

m W~- + ~ f f z , re>o, ~ = i l . (7)

L i e ~ allgemein eine Differentialgleichung der Form

V~=C(z ,~ )F , z = x + i y , (8)

vor, wobei der Koeffizient C eine analytische Funktion der reellen Variablen x und y bezeichne~, so wird man durch Fortsetzung in ein Gebie~ der komplexen Zahlenebene mig z = x -4- iy, ~ = x - - i y , x, y ~ C, auf die Differentialgleichung

Vr = O(z, ~) V*(~,z) (9)

7*

92 K, W. B i e r

gefiihrt, wobei V*(~,z) die zu V(z,~) konjugierte Funkt ion ~ be- zeichnet. Is t @ ein Fundamentalgebiet der Differentialgleichung (8), so erh~lt man die in ~ definierten LSsungen yon (8) durch (vgl. is], s. 70)

z V(z~) =9(z) + f Fl(z,2,t,-~)9(t)dt+ f F2(z,5,Zo, Z)q~*(z)d~ (10)

mit z0, zi e @. Dabei ist 9 (z) eine beliebige in ~ holomorphe Funk- tion, wghrend F1 und I"2 die erste bzw. zweite Vekua-Resolvente bezeictmen. Kennt man zwei im Zylindergebiet @ • definierte LSsungsscharen Wk(z, ~,t,T), k = 1,2, der Differentialgleichung (9) mit

W1]~=T= �89 W21~=v= (i/2)C(z,~),

so erh~lt man die gen~nnten Vekua-Resolventen durch (vgl. [8], S. 71)

F~(z,~,t,~)-= w~(z ,~ , t ,~ )+ iw2(z ,~ , t ,~ ) , ( l l a )

/'9. (z, ~, t, T) = Wi(z,~,t,~)--iW2(z,~,t,'~). ( l i b )

Da die Ermi t t lung der zweiparametrigen L6sungsscharen Wi und W2 oft Schwierigkeiten bereitet, ist die Frage der direkten Bestim- mung der Resolventen yon besonderem Interesse. Anf Grund der Beziehungen (11) gilt zun/ichst, da$ Fi und F2 LSsungen der Differentialgleichung

W ~ : - - ( C , / O ) w : - - O e * w = o (12)

darstellen, wobei voiausgesctzt wird, dab C(z, ~) im betrachteten Gebiet nicht verschwindet. Geling~ es nun, eine zweipar~metrige LSsungsschar w (z, ~, t, ~) yon (12) zu ermitteln, die den Bedingungen

wlr wlz=~=C(t,~ ) (13)

genfigt, so erh~lt man dutch

f'~(z, ~,t, ~) -= w(z, ~,t, ~) ( i4) und

(z, ~) r~* (~, z, ~, t) = (~ /~) /~ (z, ~, t, ~) (15)

die gesuch~en Resolventen/~i und / ' ~ .

a Beziiglich der hier verwendeten Bezeichnungsweise sei auf [8] ver- vciesen.

B e s t i m m u n g u n d A n w e n d u n g yon V e k u a - R e s o l v e n t e n 93

Wendet gleichung (7)

7/b V~-- ?, r e > o , e = •

l ~ ez~

an, so erhb;lt die Gleichung (/2) die Form

Setz~ m~n nun mit t~iicksicht ~uf die Bedingungen (13)

man das genannte Verfahren im Fall der Differential-

(16)

q'/b w - H(2), 2 = 2(z, $,t,r), (17)

l § svz mit

HI~=~ = Hl~=t = 1, (is)

so sSell~ (17) eine L6sung yon (16) dar, wenn H(2) eine LSsung der gew6hnlichen Differentialgleichung

[ ~ o ( ~ - - ~ ) ] (922z2~H"§ (~247 l ~ - e V z H ' - - m 2 H : O

bezeichne~. Fordert man hier

o92 2z 2r = ao § al 2 § a2 22, as kons~.,

~o(~--~) co 2 2z ~ + 2~ = b0 + bl 2, b~ konst.,

l §

und verwende~ man mit Riicksich* c(z--t)(~--~)

= , c konst., so folgt l + e z ~

auf die Bedingungcn (18)

[c(1 § e t ~ ) 2 - - s 2 2 ] H ' ' + [c(1 + et~)--e2] H ' - - m 2 H = O.

Mit c=s ( l§ 1 § erh~It mun sod~nn die hyper- geometrische Differentialgleichung

~, ( 4 - - 1)H" § [(~ + fl + 1) ~ , - -r ]H' + ~ H = 0

H (~) = F (mV--Z ~,--~V%-~, I,2),

2 = s ( z - - t ) (~ - -~) 1 § (1 + ~z ~) (1 + eta) '

94 K . W . BAUEI~

liegt sodann eine Funktion vor, die in der yon -~ 1 bis ~ entlang der reellen Achse aufgeschlitzten 2-Ebene analytisch is~ (vgl. z. B. [10], S. 281), und durch

r~(z,~,t,~)=- ~n F(~nl/--~,--~nl/Z-~, 1;4) (29) l §

erh~lt man die gesuchte zweite Resolvente. Beriicksichtigt man

noch (F (m V ~ , - - m V--~s, 2 ; 4))* : F ( - - m V ~ s , m ~/~----~, 2 ; ~), so folgt mit Hilfe yon (15) die erste Resolvente gemiiB

( r F' (4) r l (z, ~, t, T) - (20)

Satz 2: Bezeichnet q~ im Fall s = - ~ 2 ein einfach zusammen- hi%ngendes Gebiet der komplexen Zahlenebene und im Fall e = - - 1 ein einfach zusammenh4ngendes Gebiet in I z l ~ 1, so erhi~It man die in q5 definierten LSsungen der Differentialgleichung (7) durch (10) mit 1"1 und F~ gemdfi (20) bzw. (19).

Im Fall s = - - I bricht die hypergeometrische l~eihe ab, wenn m e i n e natiirliche Zahl is~. Damit ist die M5glichkeit gegeben, die DarsC~llung (10) integralfrei zu machen und die LSsungen dutch Differentialoperatoren darzustellen (vgl. [3], Satz 4). Allgemein gilt fiir m ~ 0, dal~

1 - - 5 v = ( l - - z ) W z + - - [ ( m + 1 ) W - - ( 2 m + 2) W], W = ( i - - z ) V,

1 - - z 5

eine LSsung der Differentialgleichung v~= ( m + 1)(1--zS)-lF ist, wenn V der Differentialgleichung V2=m(1- - zS ) - l~ geniigt. Im F~ll e = - - 1 und me Mis t es damit m6glich, die genannte ])ar- steilung der L6sungen yon (7) mit Differentialopcratoren sukzessiv aus den LSsungen yon V~ = 0 zu gewinnen.

3. a) G. JANK und K.-J. WraThS haben in [6] ein ,,scharfes" Maximumprinzip fiir gewisse Klassen pseudoanalytischer Funk- tionen bewiesen. Diese Funktionen sind dad~rch charakterisiert, dab sie LSsungen dcr Differentialgleichung Ve = C I ~ mit

C ~---Y~ h 7 h (21)

darstellen, wobei h (z) eine im betrachteten Gebiet ~ nullstellenfreie holomorphe Funktion ist, w~hrend 7 (z,~) eine in ~ zweimal stetig differenzierbare Funktion bezeichnet, fiir die y- u subharmonisch ist.

Bestimmung und Anwendung yon Vekua-Resolventen 95

Diese ftir den Koeffizien~en C geforderten Bedingungen werden dutch die in Satz 1 gegebenen LSsungen der DifferentiMgleichnng (2) im Fall e------1 erfiill~. Setzt man in (6) g = i ( f - b l ) h ( f ' ) - l / z und ~ = - - 1 , so erh/ilt man (21) mit y = (1- - f f )m[( f@ 1)(f-}- 1)]-% and es gilt (),-2)ze >0 .

b) Im Zusammenhang mit der Darstellung pseudo-holomorpher Funktionen yon mehreren komplexen Ver/~nderliehen wurde A. Eioo~I~A in [7], S. 272, auf die Differentialgleichung

KTK~ Kz Ge-- 1 - - K K G 1 - - K ~ 0 (22)

geffihrt. Dabei ist die Frage yon Interesse, ob sich Funktionen K(z,5) derart angeben lassen, dab die LSsungen der betreffenden DiffercntiMgleichung (22) ermittelt werden k6nnen. In [2] wurde gezeigt, dab die DifferentiMgleichung (22) mit

K l = f f(z)holomorph, (1 - ' = , - - f f ) f f ~ 0 , el :J:l, m ~ N ,

bzw.

K e = e ~ l - - e 2 ( ~ + ~ ) 2 m ' ~(z) holomorph, /ze~, e2 •

m e N, [ 1 - - e2 (- + ~)2~] . , # 0 ,

nach geeigneter Transformation in eine Differen~ialgleichung der Form (1) tibergeh~, wobei der Koeffizient C der Differentialgleichung (2) mit m z N und e = - - I geniigt. In diesen F/~llen kSnnen die LSsungen G yon (22) mit I-Iilfe yon Differentialoloeratoren angegeben werden (vgl. [2], Satz 1 u. 2). L/if3t man m > 0 bei K1 und K2 zu, so kSnnen die oben erzielten Integraldarstellungen angewandt werden.

Transformiert man im ersten Fall gem/i$ G = V(1 _ _ f f ) - l - ~ m so erh/flt man Ve = C~ I ? mit

e l = 1 - - f f tT] "

Der hier auftretende Koeffizien~ C1 ist in (6) mit g = f l + ~,, (elf,)-li2 und e = - 1 enthalten. Transformier~ man im zweiten Fall dutch

1 i e~ (~ -4- 5)2~ G = e~tl ~" V,

96 K . W . BAIml~

so folgt Ire = C2 l? mit C2 = me' (e + 5)-1. Man erhs diesen Koef- fizienten, wenn man in ( 6 ) f = ( ~ - - l ) ( ~ + l ) -1, g=(~,)-1/2 und e = - - 1 setzt.

e) In tier Mlgemeinen I~elativiti~tstheorie wurde F. J. E~NST in [5] bei der Bestimmung des Gravitationsfeldes einer gleichm~gig rotierenden Quelle auf die Differentialgleichung

W~ + We 2 W~ We Wz~ + : 0 (23)

2 ( z + ~ ) W +

gefiihrt, fiir deren L6sungen ein allgemeiner Darstellungssatz nicht bekannt ist. A. V. BITSADZE nnd V. I. ~:)A~KOVSK~ haben in [4] unter anderem herausgestellL dab jede pseudoanalytische Funk- tion, die der Differentialgleichung

W + W we - (24)

2 (z + ~)

geniigt, zugleich L6sung yon (23) ist. Transformiert man gem/~B

W = V (z + ~)~/~, z + ~ > o , (25) so folg*

? Ve -- (26)

2 (z + 5)

Damit liegt eine DifferentiMgleichung des oben behandelten Typs vor. Man erhiilt den Koeffizienten yon V, wenn man in (6) m = �89 f = (z - - 1) (z + 1)- 1, e = - - 1 und g = 1 verwende~.

Betrachtet man allgemeiner die Differentialgleichung

/b Ve-- 17, n > 0 , (27)

so lassen sich nach dem im zweiten Abschnitt behandel~en Ver- fahren die Vekua-l~esolventen bestimmen, und es gilt der folgende

Satz 3: Bezeichnet (~ ein einfach zusammenhangendes Gebiet der rechten Halbebene, so erh~lt man die in ~ definierten LSsungen yon (27) durch (10) mit

(~-- r F' (~) n F (~) T'l(z,r ( z + ~ - ) ( t + r ) ' T'~(z,r z-t-~

und ( t - - z ) ( r

- - (z + r (t + ~) ' F(/z) = - F (n , - -n , 1;~), t + ~ve 0.

Bestimmung und A~lwendung yon Vekua-Resolventen 97

S e t z t m a n h i e r n = �89 so e rh / i l t m a n d ie in ~ def in ie rgen L 6 s u n g e n

y o n (26); d ie T r a n s f o r m a t i o n (25) l i e fe r t s o d a n n in (~ de f in i e r t e

L S s u n g e n d e r E r n s t - G l e i e h u n g (23),

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Prof. Dr. K. W. BAUEI% Institut fiir ?Sathematik I Teehnische Universit~t Graz Kopernikusgasse 24 A-8010 Graz, 0sterreich