Bestimmung der Brechungsindizes von Gasen, Flussigkeiten ... · in ein anderes Medium beschr¨anken die Anwendung der Methode im universit ¨aren Praktikum auf Mes-sungen in Luft

Bestimmung der Brechungsindizes von Gasen, Flussigkeiten und

Feststoffen

Projektpraktikum OptikWS 2003/2004

Annika Buchholz Alexander LorenzAnja Kohler Christian GuillElisabeth Rieper Eike Jamrath

INHALTSVERZEICHNIS 2

Inhaltsverzeichnis

I Einfuhrung 3

II Versuche 3

1 Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Foucault 31.1 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Messunsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Messung der Lichtgeschwindigkeit aus phasenverschobenen Signalen 92.1 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Bewertung und Verbessungsvorschlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Michelson-Interferometer 123.1 Grundlagen und Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Kalibrierung und Versuchsdurchfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Verwendung fur Feststoffe und Flussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5 Wertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Newtonsche Ringe 164.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Herleitung der physikalischen Zusammenhange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.5 Bewertung der Messmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.6 Verbesserungsvorschlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Dispersionskurve 195.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Durchfuhrung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.3 Messunsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6 Brewster-Winkel 216.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.4 Bestimmung des Brechungsindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.5 Wertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7 Refraktometrie 247.1 Abbe-Refraktometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.2 Pulfrich-Refraktometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

III Zusammenfassung 25

3

Teil I

EinfuhrungIm Rahmen eines einwochigen Projektpraktikums haben wir unter der Leitung von Dr. Hartmut Schmidtverschiedene Versuche zur Bestimmung der Brechungsindizes unterschiedlicher Medien durchgefuhrt. Ziel-stellung des Projektes war der Vergleich dieser Methoden bezuglich ihrer Eignung und Genauigkeit furbestimmte Stoffe und Aggregatzustande.In Teil II werden die einzelnen Versuche vorgestellt, ihre zugrunde liegenden Methoden erlautert und dieMessergebnisse bewertet. Im abschließenden dritten Teil werden die Einzelergebnisse zusammengefasstund verglichen.

Teil II

Versuche

1 Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Foucault

Nach Definition ist der Brechungsindex eines Mediums gleich dem Verhaltnis zwischen den Lichtgeschwin-digkeiten im Vakuum und im entsprechenden Medium. Inhalt dieses Experimentes ist die Bestimmungder Lichgeschwindigkeit in Luft. Sie dient als Vergleichsgroße und Ausgangspunkt fur die weiteren Expe-rimente.

1.1 Versuchsaufbau

Der von uns verwandte Experimentaufbau geht auf eine Versuchsanordnung des franzosischen PhysikersL. Foucault aus dem Jahre 1862 zuruck. Der Aufbau ist in Abb. 1 skizziert.

M(Rotierender Spiegel)

R Beobachtungs−Mikroskop

s’

s

StrahlteilerL1L2

Laser

FM(Sphärischer Spiegel)

Abbildung 1: Prinzipieller Aufbau des Foucault-Versuches

Der Laser dient zur Bereitstellung monochromatischen, annahernd parallelen Lichtes. Die Linse L1

bundelt den Laserstrahl im Punkt s. Die Linse L2 bildet s nach Reflexion am rotierenden Spiegel MR

in den Punkt S auf dem feststehenden Hohlspiegel MF ab. Dieser reflektiert den Strahl auf den gleichenLichtweg. Zur Betrachtung des Bildpunktes wird das zuruckkommende Licht mittels eines Strahlteilers soin ein Messmikroskop gelenkt, dass er dort ebenso, als Punkt s′, erscheint. Zur Verbesserung der Messsi-cherheit kann der Lichtweg mittels Planspiegeln wie in Abb. 2 verlangert werden.

1 MESSUNG DER LICHTGESCHWINDIGKEIT NACH FOUCAULT 4

FM(Sphärischer Spiegel)

M(Rotierender Spiegel)

R Beobachtungs− s’

s

Strahlteiler

Laser

Mikroskop

(Zusätzlicher kleiner Spiegel)

L 2L 1

Abbildung 2: Aufbau mit zusatzlichen Spiegeln

1.2 Grundlagen

Ausgehend von obigem Aufbau wird nun die Rotation des Spiegels MR mit konstanter Winkelgeschwin-digkeit ω betrachtet. Licht, das zum Zeitpunkt t0 von MR auf MF gelenkt wird, durchlauft zweimal dieStrecke D, bis es aufgrund der spharischen Gestalt von MF im Zeitpunkt t1 wieder auf den rotierndenSpiegel trifft. Dieser hat sich in der Zeit ∆t = t1−t0 entsprechend seiner Winkelgeschwindidgeit um einenkleinen Winkel Θ gedreht. Dadurch erscheint der Punkt s′ im Mikroskop um eine Strecke ∆s′ verschoben.Zur Herleitung der Formel zur Berechnung der Lichtgeschwindigkeit wird als erstes der Zusammenhangzwischen Rotationswinkel des Rotorspiegels und dem vom Hohlspiegel reflektierten Punkt untersucht.Wie aus Abb. 3a ersichtlich, ist der Neigungswinkel Θ des Rotorspiegels gleich dem Einfallswinkel des

+1=

+ )2(+

+

2

M F

S

Laser

MR

S1

Abbildung 3: a und b Reflexionspunkt auf MF

Laserstrahls. Damit betragt der Winkel zwischen einfallendem und reflektiertem Strahl 2Θ. Das Lichttrifft im Punkt S auf den Spiegel MF . In Abb. 3b ist MR um den neuen Winkel Θ1 = Θ + ∆Θ geneigtund der Laserstrahl trifft MF im Punkt S1. Der Abstand zwischen MF und MR sei D. Der Abstandzwischen S und S1 berechnet sich dann:

∆S = S1 − S = 2D∆Θ (1)

Bei schnell rotierendem Spiegel MR verlasst der Laserstrahl diesen unter dem Winkel Θ, kehrt abernach Reflexion am spharischen Spiegel unter dem neuen Winkel Θ1 zum Rotationsspiegel zuruck. Damitentsteht der im Mikroskop beobachtete Bildpunkt s′ an einer um ∆s′ verschobenen Position. Um dieseVerschiebung zu berechnen, betrachten wir vereinfachend die virtuellen Bilder des Lichtstrahles, derengeometrische Verhaltnisse zu denen der reflektierten Bilder aquivalent sind, siehe Abb. 4.


D AB

L 2 Strahlteiler

s’

s

s1

s

M R

S1 S

S

M F

M F

S

S1

S

vonVirtuelles Bild

Abbildung 4: Analyse der virtuellen Bilder

Mit dem Gesetz fur den Abbildungsmaßstab erhalten wir:

∆s = − b

g∆S (siehe Abb. 4) mit b - Bildweite und g - Gegenstandsweite

Das Minuszeichen berucksichtigt die Umkehrung des Bildes. Wie Abb. 4 zeigt, erzeugt der Strahlteiler einidentisches Bild gleicher Hohe. Deswegen konnen wir einen Ausdruck fur die Verschiebung des Bildpunktesangeben (es interessiert nicht die Spiegelung des Bildes an der optischen Achse, deswegen kein Minus):

∆s′ = ∆s =b

g∆S =

A

D + B∆S . (2)

Aus Gleichungen (1) und (2) folgt:

∆s′ =2DA∆ΘD + B

. (3)

Der Winkel ∆Θ hangt ab von der Winkelgeschwindigkeit des Rotorspiegels und von der Zeit, die derLichtstrahl benotigt, um die Strecke 2D zu durchlaufen. Die Gleichung fur diesen Zusammenhang lautet:

∆Θ =2Dω

c(4)

mit c - Lichtgeschwindigkeit und ω - Winkelgeschwindigkeit.

Setze Gleichung (4) in (3) ein:

∆s′ =4AD2ω

c(D + B)(5)

Umstellen nach c liefert:

c =4AD2ω

(D + B)∆s′(6)

mit c - Lichtgeschwindigkeitω - Winkelgeschwindigkeit des rotierenden SpiegelsA - Abstand zwischen Linse L2 und Linse L1 vermindert um die Brennweite von L1

B - Abstand zwischen Linse L2 und dem rotierenden SpiegelD - Abstand zwischen rotierendem Spiegel und dem Hohlspiegel∆s′ - Verschiebung des Bildpunktes im Mikroskop.

1.3 Messungen

Die erste Messreihe wurde nur mit dem Hohlspiegel durchgefuhrt. Die mit den Kenngroßen A = (0, 262±0, 001)m, B = (0, 485± 0, 001)m sowie D = (9, 08± 0, 01)m erzielten Messungen und mit Gleichung (6)


Drehrichtung f/s−1 ∆s′/mm cLuft/108m/scw 1515 0,31 2,77382cw 1515 0,28 3,07101cw 1512 0,29 2,95925cw 1500 0,27 3,15322ccw 1470 0,35 2,38384ccw 1475 0,34 2,46230ccw 1472 0,33 2,53175

Tabelle 1: Messung der Lichtgeschwindigkeit mit einfacher Weglange D

berechneten Ergebnisse fur die Lichtgeschwindigkeit sind in Tabelle 1 dargestellt.Im weiteren wurde eine Messreihe mit eingefugtem Planspiegel zur Verlangerung des Lichtweges auf-

genommen. Die zugehorigen Kenngroßen sind A = (0, 261 ± 0, 001)m, B = (0, 488 ± 0, 001)m undD = (16, 15± 0, 02)m. Die daraus erhaltenen Messungen und Ergebnisse sind in Tabelle 2 dargestellt.

Drehrichtung f/s−1 ∆s′/mm cLuft/108m/scw 1487 0,48 3,18562cw 1504 0,50 3,09316cw 1497 0,51 3,01839ccw 1440 0,50 2,96153ccw 1443 0,51 2,90951ccw 1461 0,55 2,73157

Tabelle 2: Messung der Lichtgeschwindigkeit mit zusatzlichen Spiegeln

Aus diesen Messreihen erhalten wir Durchschnittswerte fur die Lichtgeschwindigkeit in Luft. Aus Tabel-le 1: 2, 76217 · 108m/s, aus Tabelle 2: 2, 98330 · 108m/s. Das Ergebnis aus Tabelle 2 ist aufgrund deslangeren Lichtweges D erwartungsgemaß genauer und wird fur die nachfolgende Betrachtung der Mes-sunsicherheit zugrundegelegt.Zur besseren Visualisierung wurden drei Bilder mit einer Mikroskopokularkamera aufgenommen. DieLichtreflexe, die vom Hohlspiegel in das Beobachtungsmikroskop zuruckgeworfen wurden, sind mit einemroten Kreis markiert. Der helle Streifen in der Mitte jeden Bildes ist auf Licht zuruckzufuhren, das direktvom rotierenden Spiegel in das Mikroskop reflektiert wurde.


Abbildung 5: Bildpunkt bei minmaler Drehzahl des Rotorspiegels

Abbildung 6: Bildpunkt bei hoher Drehzahl des Rotorspiegels (cw)

Abbildung 7: Bildpunkt bei hoher Drehzahl des Rotorspiegels (ccw)


1.4 Messunsicherheit

Zur Abschatzung der Qualitat unserer Ergebnisse ist es unerlasslich, die Einflusse von Unsicherheitenzu bewerten. Wir fassen (D + B) zu einer Messgroße zusammen und verwenden fur ∆s′ und ω Durch-schnittswerte aus Tabelle 2. Mit dem linearen Fortpflanzungsgesetz fur Potenzprodukte erhalten wir dierelative Unsicherheit unseres Ergebnisses fur die Lichtgeschwindigkeit in Luft:

uc

c=

∣∣∣uA

A

∣∣∣ + 2∣∣∣uD

D

∣∣∣ +∣∣∣∣u(B+D)

B + D

∣∣∣∣ +∣∣∣uω

ω

∣∣∣ +∣∣∣u∆s′

∆s′

∣∣∣

=0, 001m

0, 261m+

0, 02m

16, 15m+

0, 011m

16, 638m+

1s

1472s+

5 · 10−6m

508, 3 · 10−6m

= 0, 022197 .

Unser Ergebnis betragt somit (2, 98 ± 0, 07) · 108m/s. Das bedeutet eine maximale Abweichung vomTabellenwert der Lichtgeschwindigkeit in Luft von 1, 75% .

1.5 Bewertung

Die historisch bedeutsame Methode zur Lichgeschwindigkeitsmessung nach Foucault ist prinzipiell dazugeeignet, die Lichtgeschwindigkeit in unterschiedlichen Medien oder im Vakuum zu bestimmen. Mes-sungen in optisch dichten Medien sind aufgrund des hohen Intensitatsverlustes nur mit sehr hohemexperimentellen Aufwand moglich. Die Schwierigkeiten beim Verbringen der gesamten Messanordnungin ein anderes Medium beschranken die Anwendung der Methode im universitaren Praktikum auf Mes-sungen in Luft. Die erzielte Sicherheit von ca. 2% ist nicht ausreichend, um die geringen Unterschiededer Lichtgeschwindigkeiten in verschiedenen Gasen aufzulosen, was die Methode zur Bestimmung vonBrechungsindizes ungeeignet erscheinen lasst.Zur Verbesserung des Aufbaues empfiehlt sich neben einer Erhohung der Ausgangsintensitat des Lasersdie Verlangerung des Lichtweges D unter Verwendung eines spharischen Spiegels mit großerer Brennweite.Mit einem großeren Hohlspiegel kann man die Intensitatsverluste verringern. Die Sicherheit der Messungder Ablenkung ∆s′ lasst sich durch hohere Drehzahlen des Rotorspiegels erhohen.

2 MESSUNG DER LICHTGESCHWINDIGKEIT AUS PHASENVERSCHOBENEN SIGNALEN 9

2 Messung der Lichtgeschwindigkeit aus phasenverschobenenSignalen

Mit diesem Experiment ist es moglich, die Lichtgeschwindigkeit in Luft zu messen. Daruber hinausermoglicht der Aufbau die Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit in optisch dichteren Medien und da-mit die Angabe der Brechungsindizes dieser Materialien.

2.1 Versuchsaufbau

50,1MHz

G

G

50,05MHz

50kHz

Mischer

50kHz

Mischer

X

Y

f

1000

f

X Y

x

SpiegelSende− und EmpfangseinheitOszilloskop

Abbildung 8: Versuchsaufbau zur Lichtgeschwindigkeitsmessung

Die Leuchtdiode der Sende- und Empfangseinheit strahlt ein rotes Lichtsignal ab, dessen Intensitat miteiner quarzstabilisierten Frequenz von f = 50, 1 MHz moduliert wird. Der Lichtstrahl lauft uber zwei ver-schiebbare Umlenkspiegel zu der Fotodiode in der Sende- und Empfangseinheit. Sender- und Empfanger-signal werden in ein Oszilloskop gespeist, wo ihre Phasenlage verglichen und als Lissajousfigur dargestelltwird.

2.2 Grundlagen

Zur Messung der Lichtgeschwindigkeit in Luft wird der Lichtweg durch Verschieben der Umlenkspiegelum ∆l = 2∆x vergroßert (Abb. 8), so dass eine Phasenanderung um π eintritt, d.h. das Licht benotigtfur diesen Weg die Zeit ∆t = 1

2f , mit f = 50, 1 MHz, Modulationsfrequenz. Damit ergibt sich dieLichtgeschwindigkeit in Luft:

cL =l

t= 4∆xf . (7)

Die Lichtgeschwindigkeit in dichteren Medien, cM , wird durch Vergleich mit der Lichtgeschwindigkeit inLuft, cL, gemessen (Abb. 9). Dazu wird eine Probe des zu untersuchenden Mediums in den Strahlengangverbracht und die beiden Signale werden in Phase gebracht. Bei dieser Messung mit Medium legt dasLicht in der Zeit t1 = 1

cL(l1 − lM ) + 1

cMlM eine Gesamtstrecke l1 = 2x1 zuruck. Dann wird das Medium

aus dem Strahlengang entfernt und die Umlenkspiegel werden verschoben, bis die Lissajousfigur wiederdie gleiche Phasendifferenz anzeigt. Bei dieser Messung legt das Licht die Strecke l2 = l1 + 2∆x in derZeit t2 = 1

cL(l1 + 2∆x) zuruck.

Die Phasenbeziehung zwischen Sender- und Empfangersignal ist in beiden Fallen gleich, also gilt

t1 = t2 +k

f; k = 0, 1, 2 . . . .


ml

x1 x

Abbildung 9: Aufbau zur Lichtgeschwindigkeitsmessung (Schema)

Damit erhalt man die Brechzahln =

cL

cM=

2∆x

lM+ 1 +

k · cL

f · lM . (8)

Aus der erwarteten Großenordnung fur die Brechzahl laßt sich fur kleine ∆x schließen, dass k = 0, alsot1 = t2 ist.

2.3 Messungen

Es wurden fur beide Teilexperimente jeweils drei Messungen durchgefuhrt. Die dabei erzielten Ergebnissesind in den Tabellen 3 und 4 aufgefuhrt. Der Vergleich der Messergebnisse fur das Medium mit denLiteraturwerten legt nahe, dass es sich bei dem untersuchten Stoff um Wasser handelt.

∆x / m cL / 108m/s Abweichung vom Lit.wert / %1,483 2,971 0,901,478 2,961 1,231,480 2,965 1,10

Tabelle 3: Lichtgeschwindigkeit in Luft

∆x / m Brechzahl n Abw. vom Lit.wert / % cM / 108m/s Abw. vom Lit.wert / %1,178 1,380 3,76 2,17 3,471,257 1,392 4,66 2,15 4,361,364 1,384 4,06 2,17 3,47

Tabelle 4: Lichtgeschwindigkeit im Medium


2.4 Bewertung und Verbessungsvorschlage

Mogliche Ursachen fur die Abweichung der Ergebnisse von den Literaturwerten sind die ungenaue Dar-stellung der Lissajousfigur auf dem Oszilloskop und die Unsicherheit der Abstandsmessungen auf deroptischen Bank.Die Sicherheit der Messung ließe sich durch Verwendung parallelen Lichtes erhohen, ebenso durch Ein-satz einer Lichtquelle hoherer Ausgangsintensitat oder durch Minimierung des Intensitatsverlustes aufdem Lichtweg. Durch die genannten Maßnahmen lasst sich die Scharfe der Darstellung der Lissajousfigurverbessern, wodurch Ableseunsicherheiten minimiert werden.Mit dieser Methode lassen sich die Brechungsindizes von Gasen, Flussigkeiten und Festkorpern bestim-men, allerdings ist sie bei Durchfuhrung mit dem im Grundpraktikum betriebenen Aufwand zu ungenau,um geringe Unterschiede zwischen Medien mit ahnlichen Brechungsindizes aufzulosen.

3 MICHELSON-INTERFEROMETER 12

3 Michelson-Interferometer

3.1 Grundlagen und Aufbau

Das Michelson-Interferometer arbeitet nach einem einfachen Prinzip: Es sendet ein koharentes Lichtbundeluber einen Strahlteiler auf zwei verschiedenen Wegen zu einem Bildschirm (Abb. 10). Ein Teil des Licht-bundels wird an einem festen Spiegel reflektiert, wahrend der andere Teil von einem beweglichen Spie-gel zuruckgeworfen wird. Aufgrund des Gangunterschiedes zwischen den beiden einzelnen Lichtstrahlenkommt es zur Interferenz, die auf dem Schirm ein ringformiges Muster erzeugt. Andert man nun die Posi-tion des beweglichen Spiegels, zieht sich das Ringmuster auf dem Bildschirm entweder zusammen (Spiegelentfernt sich) oder lauft auseinander (Spiegel nahert sich). Wenn ein Maximum auf dem Bildschirm ver-schwunden bzw. neu aufgetaucht ist, hat sich der Spiegel um die Strecke ∆s = λ

2 bewegt. Aufgrund dersehr kurzen Wellenlange sichtbaren Lichtes ist diese Methode zur Langenmessung sehr genau.Anstatt den zweiten Spiegel zu bewegen kann man allerdings auch ein Medium in den Strahlengang brin-gen, dessen Konzentration, Dichte und/ oder Ausdehnung die optische Weglange verandert. Aus diesenVeranderungen lassen sich Ruckschlusse auf den Brechungsindex dieses Mediums ziehen. Fur dieses Ex-periment ist eine befullbare Gaskuvette als Trager des Mediums vorgesehen, untersucht werden die vierGase Luft, Stickstoff, Argon und Kohlenstoffdioxid, als Lichtquellen werden zwei Laser (632,8nm und543,5nm) verwendet.

Gasküvette

zur Saugpumpe

beweglicher Spiegel

Bildschirm

Strahlteiler

fester Spiegel

Laser

Abbildung 10: Prinzip des Michelson-Interferometers

3.2 Kalibrierung und Versuchsdurchfuhrung

Bevor mit den eigentlichen Messungen begonnen werden konnte, musste erst noch der Versuchsaufbaukalibriert werden. Der Hersteller des zur Verfugung stehenden Interferometers hat die zur Bewegung desSpiegels verwendete Mikrometerschraube falsch skaliert, was zu erheblichen Meßfehlern gefuhrt hatte.Um das Gerat zu kalibrieren, wird ein Laser bekannter Wellenlange λ0 verwendet. Die Mikrometer-schraube wird, vom Nullpunkt ausgehend, solange gedreht, bis sich einhundert Wechsel von Maximumzu Maximum eingestellt haben. Die Strecke ∆s wird auf der Skala der Schraube abgelesen. Theoretischmusste der Spiegel nach k Wechseln eine Strecke von ∆s = k λ

2 zuruckgelegt haben, woraus sich dieWellenlange zu λ = 2 ∆s

k berechnet. Diese theoretische Wellenlange liefert nach Division durch die realeLaserwellenlange einen Korrekturfaktor κ fur die weiteren Messungen. Der Vorgang wurde fur beide Lasermehrfach durchgefuhrt. Es ergab sich ein Korrekturfaktor von κ = 1, 09.Zur Untersuchung der Gase wurden diese in die evakuierbare Kuvette gefullt (einfacher geometrischerLichtweg 3 cm) und in den Strahlengang gebracht. Mittels der Mikrometerschraube wurde der bewegliche


Spiegel so eingestellt, dass auf dem Bildschirm gerade ein zentrales Interferenzmaximum zu erkennen war.Dann wurde die Kuvette solange evakuiert, bis sich das nachste Maximum an der Stelle des alten gebildethatte und der entsprechende Druck in der Kuvette wurde abgelesen. Dieses Vorgehen wurde fur zwei biszehn Maxima mit beiden Lasertypen wiederholt und die Werte aufgenommen (Tabellen 5 bis 8).

roter Laser gruner LaserMaximum Druck / hPa Maximum Druck / hPa

0 1010 0 10101 957,5 1 965,02 908,5 2 916,83 867,0 3 872,84 820,0 4 837,05 773,8 5 803,36 726,0 6 768,57 677,8 7 725,58 631,0 8 690,89 587,3 9 654,010 538,3 10 616,3

Tabelle 5: Messergebnisse zu Michelson (Luft)


0 1006 0 10121 953,5 1 967,72 905,0 2 938,33 866,5 3 903,74 819,0 4 860,05 773,0 5 820,76 727,0 6 783,77 682,5 7 743,38 638,0 8 701,79 590,0 9 663,710 542,5 10 624,0

Tabelle 6: Messergebnisse zu Michelson (Stickstoff)


0 1014 0 10121 962,5 1 968,52 909,0 2 934,53 867,5 3 891,04 820,5 4 857,55 780,5 5 815,06 724,0 6 769,07 679,5 7 733,58 622,0 8 693,59 575,5 9 658,510 527,0 10 619,0

Tabelle 7: Messergebnisse zu Michelson (Argon)



0 1011 0 10121 973,0 1 983,32 934,5 2 955,03 899,0 3 929,34 868,0 4 900,35 832,5 5 874,66 799,5 6 849,07 760,0 7 822,78 726,0 8 797,39 685,5 9 771,710 652,0 10 745,0

Tabelle 8: Messergebnisse zu Michelson (Kohlenstoffdioxid)

3.3 Auswertung

Die bei der Messung erhaltenen Druckwerte wurden uber der Ordnung der Maxima aufgetragen. Manerhalt Geraden, deren Anstieg das Verhaltnis der Wechsel der Maxima zur Druckabnahme ∆N

∆p darstellt.Der Brechungsindex ist linear vom Gasdruck p abhangig, es gilt

n(p) = n(p = 0) +∆n

∆p(9)

mit n(p = 0) = 1.Die Anderung des Brechungsindex pro Druckeinheit ∆n

∆p entspricht der Anderung der optischen Weglangeim Medium:

∆n

∆p=

∆N

∆p

λ

2s

Setzt man diese Beziehung fur ∆n∆p in (9) ein, so erhalt man:

n(p) = n(p = 0) +∆N

∆p

λ

2s. (10)

Mit den nun bekannten Großen kann man aus den Geradenanstiegen in den Diagrammen die Brechungs-indizes berechnen:

nLuft = 1, 000350nN2 = 1, 000351nAr = 1, 000433nCO2 = 1, 000376 .

Um die Messunsicherheit der einzelnen Brechungsindizes zu ermitteln, wenden wir auf den Term ∆N∆p

λ2s

aus Gleichung (10) das lineare Fortpflanzungsgesetz fur Potenzprodukte an. Der Teil n(p = 0) der Glei-chung wird als konstant 1 vorausgesetzt (Brechzahl des Vakuums), hat also keine Unsicherheit. In unseremFall schreibt sich das lineare Fortpflanzugsgesetz folgendermaßen:

∣∣∣un

n

∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣u(∆N

∆p )(∆N∆p

)∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣2 us

2 s

∣∣∣∣ . (11)

Setzt man die Werte fur die Unsicherheiten ein, die die Tabellenkalkulation bzw. die Gerateangabenliefern, so erhalt man eine Unsicherheit von

∣∣un

n

∣∣ = 9%. Diese Unsicherheit spiegelt die auftretendeAbweichung nur unzureichend wieder. Betrachtet man nur die nicht konstanten Terme der Gleichung(10), so treten weit hohere Unsicherheiten auf. Diese betragt beispielsweise fur Luft 31% (Literaturwert1, 000269). Es muß noch eine weitere Ursache vorliegen, die in der Rechnung nicht berucksichtigt wurde.Da die Abweichung bei Luft nach oben, bei Kohlenstoffdioxid aber nach unten ausschlagt (Literaturwert1, 000416), ist eine systematische Messunsicherheit auszuschließen. Weitere zufallige Messunsicherheitenkonnten nicht gefunden werden.


3.4 Verwendung fur Feststoffe und Flussigkeiten

Im Rahmen des Praktikums wurde untersucht, inwiefern sich die Versuchsanordnung auch an feste oderflussige Medien anpassen laßt. Die Anpassung an Festkorper ist relativ leicht zu bewerkstelligen. An derHalterung der Gaskuvette auf dem Versuchsaufbau wurde - zunachst nur provisorisch - eine Glasplattebefestigt und in den Strahlengang gebracht. Dreht man die Halterung, andert sich der Winkel unterwelchem das Licht durch die Glasplatte fallt. Damit andert sich die optische Weglange und das Interfe-renzmuster auf dem Schirm, was zu einem messbaren Effekt fuhrt. Aus Mangel an geeigneter Geratschaftkonnte noch keine quantitative Betrachtung durchgefuhrt werden, es wurden aber Spezifikationen fur dieWerkstatt der MathNat-Fakultat erstellt, um solche Geratschaft verfugbar zu machen.Die Anpassung der Messapparatur an Flussigkeiten ist wesentlich schwerer zu bewerkstelligen. Das großteProblem hierbei stellt die Anderung der optischen Weglange im Flussigkeitsvolumen dar. Man musstedie ganze Messapparatur um 90◦ kippen und einen kleinen Flussigkeitstank in den Strahlengang bringen.Durch Abpumpen senkte sich der Flussigkeitsspiegel, dies fuhrte zur Anderung der optischen Weglangeim Medium. Diese Idee sollte von einer neuen Arbeitsgruppe realisiert werden.

3.5 Wertung

Die interferometrische Messung zur Bestimmung des Brechungsindex ist umstandlich, da die zu messendeGroße nur indirekt bestimmt wird. Positiv zu bewerten ist die hohe Sicherheit der Methode. Weitere Vor-teile sind die Eignung fur Materialien aller Aggregatzustande und die Unabhangigkeit der Messmethodevon den Brechzahlen der Komponenten des Versuchsaufbaus.

4 NEWTONSCHE RINGE 16

4 Newtonsche Ringe

Aufgrund von Interferenzerscheinungen an dunnen Schichten konnten mit diesem Experiment die Bre-chungsindizes von Luft, Wasser, Ethanol und Zuckerlosungen unterschiedlicher Konzentration bestimmtwerden. Die genaue Konzentration der Zuckerlosungen wurde mit einem Abbe-Refraktometer ermittelt.Es werden zwei Messmethoden in ihrer Durchfuhrung und Genauigkeit miteinander verglichen.

4.1 Aufbau

Da bei diesem Experiment mit Interferenzen gearbeitet wird, ist paralleles Licht erforderlich. Dazu wirdeine Halogen- bzw. Xenonlampe auf einer optischen Bank justiert. Durch ein Linsensystem aus zwei Plan-Konvex-Linsen und einem Astro-Objektiv wird der Strahl weitestgehend parallelisiert. Um Licht einerbestimmten Wellenlange zu erhalten, kann ein Filter in den Strahlgang gebracht werden. Hinter einerIrisblende trifft das Lichtbundel auf einen Strahlteiler, von wo es zu einer Plan-Konvex-Linse reflektiertwird, welche auf einem Glaskorper liegt. An der dunnen Schicht zwischen Linse und Glaskorper entstehendurch die Weglangenunterschiede Interferenzringe. Diese konnen im Mikroskop beobachtet werden.

4.2 Herleitung der physikalischen Zusammenhange

��

��

paralleleinfallendesLicht

1

MikroskopCCD−Kamera

d0+

d2

d0

Abbildung 11: Interferenz an dunnen Schichten

Der Effekt der ringformigen Interferenz wurde erstmals von R. Hooke und I. Newton beobachtet. DasLicht der Lampe wird uber einen Strahlteiler auf die plan-konvexe Linse reflektiert (Abb. 11). Da derEinfallswinkel nahezu 0◦ betragt, wird der Strahl mit vernachlassigbarer Brechung und Reflektion durch-gelassen. Trifft der Strahl auf die gekrummte Grenzschicht zwischen Linse und Luft, wird ein Teil reflek-tiert, wahrend der andere Teil des Strahls durchgelassen wird. Teilstrahl 2 durchlauft den Zwischenraumund legt dabei einen zusatzlichen Weg von ∆x = 2n(d + d0) zuruck. Außerdem tritt beim UbergangLuft-Glas eine Wellenlangenverschiebung von λ/2 auf, da Glas den hohreren Brechungsindex hat. Wirdein anderes Medium zwischen Linse und Glaskorper gebracht, verlangsamt sich der Lichtstrahl aufgrunddes hoheren Brechungsindex. Dadurch vergroßert sich der Phasenunterschied δ um den Faktor n = c/cm

und hat damit folgende Gestalt:

δ = 2π∆x

λ= 4πn

d + d0

λ+ π (12)

Dieses fuhrt zu einer kreisformigen Interferenz.Unter Verwendung des Hohensatzes gilt: r2

k = d(2R − d) = 2dR − d2, wobei R dem Krummungsradiusder Linse und rk dem Radius der Newtonschen Ringe entsprechen. Da der Abstand d gegenuber demRadius der Linse sehr klein ist, kann der Term d2 in der Rechnung vernachlassigt werden. Entsprichtdie Phasenverschiebung einem geraden Vielfachen einer naturlichen Zahl, addieren sich die Lichtwellenzu einem Maximum. Fur ein ungerades Vielfaches loschen sich die Wellenzuge gegenseitig aus und esentsteht ein Intensitatsminimum. Die Zusammenhange dafur lauten:

δ = 2π · (2k), k ∈ N (13)


undδ = 2π · (2k − 1), k ∈ N . (14)

Einsetzen von (13) und (14) in (12) liefert nach Umformen fur die Radien der hellen Ringe

r2k =

k − 12

nRλ− 2d0R (15)

und fur die dunklen Ringe

r2k =

k − 1n

Rλ− 2d0R. (16)

4.3 Ergebnisse

Es wurden jeweils die Radien der dunklen Ringe gemessen. Zum Einen geschah dies mit Hilfe einesOkularmikrometers, zum Anderen mit einer Okularkamera. Anschliessend wurde mittels eines Tabellen-kalkulationsprogrammes der Graph von r2

k uber k gezeichnet und aus dem Geradenanstieg die Brechzahlberechnet. Der Krummungsradius der Linse wurde mit Hilfe eines Spharometers auf r = 0, 159m be-stimmt. Allerdings ergeben sich fur diesen Wert systematische Abweichungen. Deshalb wird im Folgendenmit der Angabe des Herstellers r = 0, 163m weitergearbeitet. Die verwendeten Filter lassen jeweils Lichtder Wellenlange λ = 546nm (grun) und λ = 578nm (rot) durch. Da sich sowohl die Literaturangabenals auch die Messungen mit dem Abbe-Refraktormeter auf die Natrium-Dampflinie beziehen, wurden allegemessenen Brechungsindizes mittels des linearen Zusammenhanges

n =λFilter

λNatrium· nFilter

korrigiert. Aufgrund der besseren Messergebnisse mit dem roten Filter wurden alle Flussigkeitsmessungennur fur rotes Licht durchgefuhrt. Die Messergebnisse sind in Tabelle 9 aufgefuhrt.

Medium nMikrometer Abweich./% nKamera Abweich./% Lit.wertLuft (Rot) 1,017 +1,7 0,992 -0,8 1Luft (Grun) 1,098 +9,8 1,094 +9,4 1Ethanol 1,358 -0,2 1,306 +3,9 1,361Wasser 1,349 +1,4 x x 1,33Zucker 6% 1,349 +0,5 1,271 +5,1 1,342Zucker 12,5% 1,376 +1,7 1,265 +6,2 1,352Zucker 15% 1,393 +2,7 1,281 +5,3 1,356Zucker 18,5% 1,311 +4,5 x x 1,361Zucker 25% 1,386 +1 x x 1,372

Tabelle 9: Messergebnisse zu den Newtonschen Ringen

4.4 Auswertung

Der Brechungsindex n hangt von drei Messgroßen ab. Die Gesamtunsicherheit der Messung ergibt sichaus ∣∣∣∣

∆u

u

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∆λ

λ

∣∣∣∣ +∣∣∣∣∆R

R

∣∣∣∣ +∣∣∣∣∆r

r

∣∣∣∣ . (17)

Die durchgelassene Wellenlange des Filters und der Krummungsradius der Linse wurden den Angaben derHersteller entnommen. Die Filter lassen einen bestimmten Wellenlangenbereich durch. Dadurch ergibtsich eine Unsicherheit von

uλ

λ=

3nm

546nm= 0, 6%

uλ

λ=

4, 5nm

578nm= 0, 8%.

(18)

Die Unsicherheit des Krummungsradius betragt 0,1%. Die großte Messunsicherheit haben die Radien derNewtonschen Ringe. Diese entspricht der Streuung der Punkte auf der Ausgleichsgeraden aller Radien.Die Messunsicherheiten sind in Tabelle 10 zusammengefasst.


Medium un (Mikrometer)/% Abweichung/% un (Kamera)/% Abweichung/%Luft (Rot) 1,1 +1,7 2,2 -0,8Luft (Grun) 1,1 +9,8 2,7 +9,4Ethanol 2,1 -0,2 1,7 +3,9Wasser 1,6 +1,4 x xZucker 6% 2,3 +0,5 1,3 +5,1Zucker 12,5% 1,7 +1,7 1,2 +6,2Zucker 15% 2,5 +2,7 1,2 +5,3Zucker 18,5% 3,2 +4,5 x xZucker 25% 3,9 +1 x xDurchschnitt 2,3 1,7 1,6 4,3

Tabelle 10: Messunsicherheiten zu den Newtonschen Ringen

Der Durchschnitt wurde fur die Messung mit Rotfilter gebildet. Im Mittel liegen die Abweichungenvom Literaturwert innerhalb des Unsicherheitsintervalles fur die Messungen mit dem Okularmikrometer.Da bei der Messung mit Kamera die Abweichungen ca. drei mal so groß wie die Unsicherheit sind,muss eine noch nicht berucksichtigte Messunsicherheit existieren. So ist zum Beispiel die Auflosung derAbstandsmessung nicht mit eingerechnet. Um den Umrechnungsfaktor zwischen Objekt- und Bildgroße zuermitteln, wurde eine Mikrometerskala mit beiden Methoden ausgemessen. Die kleinste messbare Einheitentspricht bei Messung mit Kamera 5, 05 · 10−6m und bei Messung mit Okularmikrometer 2, 5 · 10−6m.

4.5 Bewertung der Messmethoden

Die Messung mittels Okularmikrometer ist doppelt so sicher wie die Kameramessung, dafur aber in derDurchfuhrung schwieriger. Der Kontrast zwischen hellen und dunklen Ringen wird mit zunehmenderOrdnungszahl schwacher. Insbesondere fur die Ausmessung bei Flussigkeiten fuhrt dies zu Problemen, dadurch Streuung im flussigen Medium weniger Licht ins Mikroskop gelangt. Erst eine Abschirmung vomAußenlicht machte die Messungen moglich. Des Weiteren ist der Aufbau erschutterungsempfindlich, dadie Linse nicht fest auf dem Glaskorper aufliegt. Wird an der Mikrometerschraube gedreht, so werdenStoße auf die Linse ubertragen, wodurch sich die Lage der Newtonschen Ringe verandert. Es ist nichtauszuschließen, dass die Linse sich nicht in ihre ursprungliche Lage zuruck bewegt und dadurch die Mes-sung verfalscht wird.Ein Vorteil der Messung mit der Okularkamera ist das einmalige Justieren der Kamera. Danach konnenMessungen durchgefuhrt werden, ohne dass der Aufbau nochmals verandert wird. Dadurch kann sichdie Lage der Linse nicht verandern. Das Ausmessen der Abstande erfolgt am Computer. Ein Nachteildieser Messmethode ist die geringere Auflosung. Da die Kamera im Gegensatz zum Linsensystems desMikroskopokulars nur mit einer Linse arbeitet, tritt in jedem Fall eine kleine Verzerrung auf, die zu denRandern des Bildes hin starker ausgepragt ist. Die Quantifizierung dieses Effektes ist aufgrund der gerin-gen Auflosung ungenau. In diesem Praktikum konnte lediglich festgestellt werden, dass die Verzerrungrichtungsabhangig ist. Fur die Horizontale in der Bildmitte sind noch hinreichend genaue Messungendurchfuhrbar. Die gemessene Verzerrung betragt fur die Distanz von Bildmitte bis zum linken Rand 2Pixel, was 1, 01 · 10−5m entspricht, und fur den rechten Rand 4 Pixel, was 2, 02 · 10−5m entspricht, bei768 Pixel Bildbreite. Allerdings ist die Qualitat des Bildes selten ausreichend, um den Radius bis an denBildrand auszumessen.

4.6 Verbesserungsvorschlage

Die Verwendung von Lasern anstelle von Lampen verringert die Wellenlangenunsicherheit der verwende-ten Farbfilter. Da die Genauigkeit der Messung unter anderem von der Auflosung der Darstellung abhangt,konnte ein starker vergroßerndes Mikroskop bessere Ergebnisse liefern. Dadurch lassen sich zwar wenigerRinge beobachten, diese dafur aber mit hoherer Sicherheit ausmessen. Die Messreihen haben gezeigt, dasssich schon mit 10 Messwerten relativ genaue Brechzahlen berechnen lassen.

5 DISPERSIONSKURVE 19

5 Dispersionskurve

5.1 Grundlagen

Wenn weißes Licht auf ein Prisma trifft, wird es in das Prisma hineingebrochen und in Spektralfarbenzerlegt, wobei jede Farbe eine andere Ablenkung erfahrt. Dieser Effekt zeigt, dass der Brechungsindex wel-lenlangenabhangig ist. Ursache dafur sind Wechselwirkungen zwischen der elektromagnetischen Lichtwelleund den Atomen des Mediums. Diese werden in Schwingungen versetzt, dabei entsteht durch Resonanzeine zweite Welle veranderter Wellenlange. Dies erklart die unterschiedlichen Brechungsindizes.Zur Ermittlung der Brechungsindizes galt es fur die Brechung am Prisma den Winkel der Minimalablen-kung zu bestimmen, d.h. den Austrittswinkel unter dem der Winkel zwischen einfallendem und austre-tendem Licht minimal wird. Unter diesem Winkel wird das spektrale Auflosungsvermogen maximal.

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AAA

-

©©©©©©©©©* HHHHHHHHHj

HHHHHH

HHHHHH

©©©©©©

©©©©©©

©©©©

©©©©

©©

HHHH

HHHH

HH

α1 α2

β1 β2

ε

δmin

Abbildung 12: Symmetrischer Strahlengang durch ein Prisma und Winkel der Minimalablenkung δmin

Fur den Winkel der Minimalablenkung verlauft der Strahlengang durch das Prisma symmetrisch (Abb. 12).Daraus ist zu folgern, dass α1 = α2 und β1 = β2 ist. Uber Dreiecksbeziehungen gilt fur den brechendenWinkel ε und fur den Winkel der Minimalablenkung δmin :

ε = 2β und δmin = 2α− ε ,

woraus folgt:

β =ε

2und α =

ε + δmin

2Nach dem Gesetz von Snellius lasst sich der Brechungsindex des Prismas folgendermaßen berechnen:

n =sinα

sinβ=

sin ε+δmin

2

sin ε2

(19)

5.2 Durchfuhrung und Auswertung

Fur diesen Versuch wurden zwei verschiedene Prismen, ein Siliziumdioxid-Prisma (Quarz) und ein Flint-glasprisma, sowie zwei verschiedene Lampen verwendet, eine Cadmium-Lampe und eine Quecksilber-Lampe. Zur Winkelbestimmung wurde ein Einkreis-Goniometer verwendet. Zur Eichung dieses Gerateswar eine Vorabmessung ohne Prisma notwendig. Danach war es moglich, die Messreihe der Ablenkwinkeldurch die Prismen aufzunehmen.Der Winkel der minimalen Ablenkung wurde bestimmt, indem der Ablenkwinkel δ mit dem Fernrohrfixiert und dessen Betrag beim Drehen des Prismentischs beobachtet wurde. Unter einem bestimmtenEinstellung der Apparatur bewirkte eine Verschiebung des Prismas in beide Richtungen nur noch eine

5 DISPERSIONSKURVE 20

Vergroßerung des beobachteten Winkels. Im Fernrohr war zu erkennen, dass der Lichtspalt an dieserStelle seine Richtung wechselte. Dieser Winkel der Minimalablenkung wurde fur jede Spektralfarbe ein-zeln eingestellt. Fur die Brechungsindizes beider Prismen, welche jeweils mit beiden Lampen bestrahltwurden, haben wir mit Gleichung (19) folgende Ergebnisse erzielt:

Flintglasprisma QuarzglasprismaHg-Lampe 1,61 bis 1,647 1,462 bis 1,474Cd-Lampe 1,614 bis 1,638 1,471 bis 1,462

Tabelle 11: Messung zur Dispersionskurve

Die in Tabelle 11 angegebenen Bereiche der Brechungsindizes gelten fur die verschiedenen Spektralfar-ben (rot bis violett), also fur die unterschiedlichen Wellenlangen des weißen Lichtes. Um die Anderungdes Brechungsindexes in Abhangigkeit der Wellenlange deutlich zu machen, wird eine Dispersionskurvenbetrachtet, bei welcher der Brechungsindex uber der Wellenlange aufgetragen wird.

400 425 450 475 500 525 550 575 600 625 650 675 700

1,475

1,470

1,465

1,460

Wellenlänge / nm

Bre

chun

gsin

dex

Abbildung 13: Dispersionskurve (Quarzglas, Hg-Lampe)

In Abb. 13 ist ein Zusammenhang zwischen Brechungsindex und Wellenlange erkennbar. Bei zunehmenderWellenlange nimmt der Brechungsindex ab. Kurzwelliges Licht, wie z.B. das violette Licht, wird starker ab-gelenkt als langwelliges, rotes Licht. Es wurde eine Vergleichsmessung mit einem Pulfrich-Refraktometerdurchgefuhrt.

5.3 Messunsicherheit

Diese Methode ermoglichte es, die Brechzahlen eines Stoffes fur verschiedene Wellenlangen zu ermitteln.Der verwendete Aufbau ist nur fur Festkorperprismen geeignet, Flussigkeiten ließen sich aber durch denEinsatz von Hohlprismen auf ihre Brechzahl untersuchen. Fur Gase ist die Methode ungeeignet, es isteine ausreichend hohe Brechzahl des Mediums notwendig, um die Spektrallinien voneinander zu unter-scheiden. Es wurden keine systematischen Unsicherheiten festgestellt. Eine Ursache fur Unsicherheitenwar die unscharfe Abbildung des Lichtspaltes. Die berechneten Werte fur Flintglas stimmen mit denLiteraturwerten uberein, bei Quarzglas bestand 0,2% Abweichung.

Literaturwerte: Flintglas n=1,61685Quarzglas n=1,4601

6 BREWSTER-WINKEL 21

6 Brewster-Winkel

Der Brechungsindex von Glasern und Kunststoffen lasst sich aus den Reflexionseigenschaften dieser Stoffeermitteln. Dazu gehort die Bestimmung des Brewster-Winkels und eine Aufzeichnung der reflektiertenIntensitaten.

6.1 Grundlagen

Trifft Licht auf ein optisch durchlassiges Medium, wird ein Teil davon gebrochen und ein anderer Teilreflektiert (Abb. 14).

Glas (n)

Luft

I0 IR = 0RI

I=(1−R)I0

Hintere Seite geschwärzt

1,2

Abbildung 14: Reflexion und Brechung an Grenzschichten

Im Hinblick auf die Polarisationsrichtung gelten die Fresnelschen Formeln:

R‖ =(

ncosα−cosβncosα+cosβ

)2

R⊥ =(

cosα−ncosβcosα+ncosβ

)2

R ist der Reflexionskoeffizient und errechnet sich aus den Intensitatsverhaltnissen des einfallenden unddes reflektierten Lichtes, R = I

I0.

Einen Spezialfall dieser Formeln liefert der durch das Brewstersche Gesetz beschriebene Effekt: TrifftLicht unter einem bestimmten Winkel auf ein Medium, so ist das reflektierte Licht senkrecht zur Einfall-sebene polarisiert. Die Bedingung an diesen Winkel ist αp+βp = 90◦, der Winkel αp ist materialspezifischund heißt Brewster-Winkel.Mit der vorhandenen Messapparatur lasst sich der Brechungsindex eines Materials auf zwei Arten ermit-teln. Zusammen mit dem Brechungsgesetz von Snellius ergibt sich erstens fur den Brewster-Winkel eindirekter Zusammenhang zum Brechungsindex:

tanαp = n. (20)

Zweitens lasst sich der Brechungsindex durch Extrapolation der Messung der Intensitat des reflektiertenLichtes fur α = 0◦ berechnen, und zwar direkt nach den Fresnelschen Formeln:

R‖ =(

n−1n+1

)2. (21)


6.2 Versuchsaufbau

Die Versuchsanordnung (Abb. 15) arbeitet mit parallel zur Einfallsebene polarisiertem Licht, das voneiner Halogenlampe geliefert wird. Ein Linsensystem parallelisiert das auf die als Probekorper dienendeGlasplatte treffende Licht. Der unter einem Winkel von 0◦ bis 90◦ drehbar gelagerte Probekorper befindetsich zusammen mit einer Fotozelle in einem wahrend der Messungen abgeschlossenen Gehause. Die aufeinem Schwenkarm montierte Fotozelle deckt einen Bereich von 0◦ bis 180◦ ab.

,

drehbar gelagerterProbekörper

Fotozelle

Lichtquelle

Linsensystem

Blende

Polarisations−filter

drehbar gelagerte

Abbildung 15: Versuchsaufbau zur Bestimmung des Brewster-Winkels

Das Experiment selbst lauft in volliger Dunkelheit ab, um Streulichteinfall zu vermeiden. Der Winkelzwischen Probekorper und Lichtstrahl wird in 2,5◦-Schritten verandert und die Reflexionsintensitat mitder Fotozelle gemessen. Alternativ kann anstelle der Halogenlampe und des Linsensystems auch ein Laserverwendet werden. Diese Anordnung wurde dieses Jahr zum ersten Mal in Betrieb genommen.

6.3 Auswertung

Mit der Halogenlampe wurde die Messung fur zwei verschiedene Proben (Glas und Polyethylen) durch-gefuhrt, allerdings in beiden Fallen mit unbefriedigendem Ergebnis. Das von der Fotozelle gemesseneMinimum der Reflexionsintensitat stimmt nicht mit dem optisch zu erfassenden Intensitatsminimumuberein. Die gemessenen Werte fur den Brewster-Winkel (45◦ in beiden Fallen) weichen um mehr als 15◦

vom Literaturwert (56,6◦ fur Glas) ab, der sich daraus ergebende Brechungsindex ware 1. Die Ursachedieses Fehlers konnte trotz naherer Uberprufung der Messapparatur nicht gefunden werden.Die Messungen mit der Laserapparatur waren ergiebiger. Zum Einen drang aufgrund der hoheren Strahl-qualitat des Lasers weniger Streulicht in die Messkammer ein, so dass die Intensitatsminima deutlicherhervortraten, zum Anderen tritt der oben erwahnte Fehler bei dieser Versuchsanordnung nicht auf. DieErgebnisse der Messreihen sind in Tabelle 12 zusammengefasst.

6.4 Bestimmung des Brechungsindex

Die Methode zur Bestimmung des Brechungsindex uber den Brewster-Winkel ist ungenauer als die Berech-nung uber die fresnelschen Formeln. Fur beide Materialien wurde ein Brewster-Winkel von 55◦ gemessen,was nach Gleichung (20) einem Brechungsindex von n = 1, 428 entspricht.Mit den Fresnelschen Formeln ergibt sich aus der umgestellten Gleichung (21)

n =(

1+√

R‖1−√

R‖

). (22)


Extrapoliert man die in Tabelle 12 aufgefuhrten Werte von R‖ fur α → 0 und setzt sie in Gleichung (22)ein, erhalt man fur die entsprechenden Materialien:

nGlas = 1, 842 (5, 0%Abweichung vom Literaturwert)

nPolyethylen = 1, 516 (0, 7%Abweichung vom Literaturwert)

6.5 Wertung

Die Experimentieranordnung eignet sich zur Messung der Brechungsindizes von Festkorpern. Die Methodeist unabhangig von der Brechzahl irgendeines im Aufbau verwendeten Materials. Fur Messungen anGasen ist sie prinzipiell ungeeignet. Die Untersuchung von Flussigkeiten ist moglich, konnte aber mitdem verwendeten Versuchsaufbau nicht durchgefuhrt werden.

Glas PolyethylenWinkel α/◦ Intensitat IR/µA Winkel α/◦ Intensitat IR/µA

2,5 0,31 2,5 -5 0,33 5 -

7,5 0,33 7,5 -10 0,33 10 0,15

12,5 0,32 12,5 0,1415 0,31 15 0,17

17,5 0,30 17,5 0,1720 0,29 20 0,17

22,5 0,27 22,5 0,1725 0,25 25 0,18

27,5 0,24 27,5 0,1730 0,22 30 0,16

32,5 0,20 32,5 0,1535 0,18 35 0,13

37,5 0,13 37,5 0,1140 0,12 40 0,10

42,5 0,09 42,5 0,07345 0,07 45 0,056

47,5 0,04 47,5 0,03650 0,022 50 0,019

52,5 0,0095 52,5 0,006355 0,0016 55 0,00135

57,5 0,0057 57,5 0,00660 0,021 60 0,032

62,5 0,062 62,5 0,06865 0,145 65 0,13

67,5 0,260 67,5 0,26570 0,390 70 0,40

72,5 0,685 72,5 0,6975 1,00 75 1,00

77,5 1,55 77,5 1,5080 2,65 80 2,30

Tabelle 12: Messergebnisse zum Brewster-Winkel

7 REFRAKTOMETRIE 24

7 Refraktometrie

7.1 Abbe-Refraktometer

Die von dem deutschen Physiker Ernst Abbe entwickelte Methode zur Bestimmung von Brechungsindizesmacht sich den Effekt der Totalreflektion zu Nutze. Im Refraktometer befinden sich zwei rechtwinklige,langsseitig plangeschliffene Prismen. Diese werden an ihren Hypothenusen aufeinandergelegt. Ein Trop-fen der zu untersuchenden Flussigkeit, deren Brechzahl kleiner sein muss als die der Prismen, wird indie dunne Schicht zwischen den Prismen gebracht. Wird Licht durch das untere Prisma gelenkt, so wirddies zum Teil in die Flussigkeit hineingebrochen, gelangt weiterhin durch das zweite Prisma und tritt andessen oberer Kathete aus. Der Teil des Lichtstrahles, welcher unter dem Grenzwinkel der Totalreflektionauf die Flussigkeit trifft, verlauft nach Brechung parallel zur Grenzschicht. Dieser Strahlenteil gelangtnicht mehr in das Objektiv, was zu einem Hell-Dunkel-Ubergang im Beobachtungsfernrohr fuhrt. DurchDrehen des Doppelprismas wird die Hell-Dunkel-Grenze mit dem Fadenkreuz im Fernrohr in Uberein-stimmung gebracht und die Brechzahl der Flussigkeit an einer Skala direkt abgelesen.Mit dem Abbe-Refraktometer ist es ebenfalls moglich, die Brechzahlen transparenter Feststoffe zu be-stimmen. Dazu wird eine ebene Flache des Probekorpers mit Immersionsol auf das Messprisma gebracht.Das Immersionsol muss eine hohere Brechzahl haben als der zu untersuchende Feststoff. Durch eine Tem-perierungsvorrichtung ist es moglich, Brechungsindizes in Abhangigkeit der Temperatur zu bestimmen.

7.2 Pulfrich-Refraktometer

Anstelle des Doppelprismas werden im Pulfrich-Refraktometer Glaswurfel verschiedener Bauart verwen-det, die die Aufnahme der Messflussigkeit oder des Probekorpers gestatten. Im Refraktometer befindensich mehrere monochromatische Lichtquellen verschiedener Wellenlange. Diese ermoglichen eine Unter-suchung der Brechungsindizes in Abhangigkeit der Wellenlange.

25

Teil III

ZusammenfassungDie untersuchten Methoden eignen sich zur Bestimmung der Brechungsindizes einer Vielzahl von Stoffen.In Aufwand und Genauigkeit unterscheiden sich die Methoden zum Teil erheblich.Das von Foucault entwickelte Verfahren zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit hat vor allem histo-rische Bedeutung. Dem Anspruch, Vergleichswert und Berechnungsgrundlage fur andere Versuche zubieten, genugt das Ergebnis mit der erzielten Unsicherheit von 2, 4% nicht. Zudem ist der experimentelleAufwand dieser Methode sehr groß. Aus diesem Grund ist die Untersuchung anderer Medien als Luft imuniversitaren Praktikum nicht moglich.Die Methode zur Messung der Lichtgeschwindigkeit aus der Phasenverschiebung zweier Signale ermoglichtsowohl die Untersuchung verschiedener Gase als auch unterschiedlicher Flussigkeiten und Feststoffe mitgeringem Aufwand. Sie ist allerdings zu ungenau, um Stoffe gleichen Aggregatzustandes und ahnlicherBrechungsindizes zu unterscheiden.Erwartungsgemaß sind die interferometrischen Methoden am genauesten. Mit einer relativen Unsicherheitvon 0, 004% ermoglicht das Michelson-Interferometer die Unterscheidung der sehr geringen Brechungsin-dizes unterschiedlicher Gase. Durch Modifikation des Aufbaues ist auch die Untersuchung von Feststoffenund Flussigkeiten moglich, wobei ahnlich hohe Sicherheiten zu erwarten sind. Der Aufbau zur Untersu-chung Newtonscher Ringe ermoglicht bei Einsatz von Farbfiltern eine Bestimmung der Brechungsindizesvon Luft und Flussigkeiten unter verschiedenen Wellenlangen. Der Brechungsindex des zu untersuchen-den Materials muss geringer sein als der der verwendeten Linse. Die erzielte Messsicherheit von 2, 3%reicht aus, um Flussigkeiten ahnlicher Brechungsindizes zu unterscheiden. Der Aufbau ist empfindlichgegenuber außeren Einflussen wie Erschutterungen und Streulicht. Die Messung mit Kamera und Com-puter ist aufwendig.Eine Untersuchung der Brechungsindizes von Festkorpern und Flussigkeiten in Abhangigkeit der Wel-lenlange wird durch Messung des Minimalablenkwinkels an Prismen ermoglicht. Die Methode ist ausrei-chend genau um geringe Unterschiede von Brechungsindizes aufzulosen.Mit Messung des Brewster-Winkels lassen sich Festoffe und Flussigkeiten mit geringem Aufwandt aufihre Brechungsindizes untersuchen. Der Aufbau ist extrem empfindlich gegenuber Streulichteinfall. DieUntersuchung von Flussigkeiten bedarf einer Modifikation des Aufbaues und wurde in diesem Praktikumnicht vorgenommen.Eine einfache und zuverlassige Methode zur Bestimmung der Brechungsindizes von Flussigkeiten undFestkorpern ist die Refraktometrie. Die Methode bedarf geringen experimentellen Aufwandes da der Auf-bau komplett als Gerat vorliegt. Die Gerate gewahrleisten eine hohe Messsicherheit. In der Anwendungsind sie jedoch auf Materialien beschrankt, deren Brechungsindizes geringer als die der verwendeten Pris-men sind.Eine Ubersicht uber die angewandten Messmethoden gibt Tabelle 13.

Methode prinzipielle Anwendbarkeit untersuchte Anwendung Abw. vom Lit.wertc nach Foucault Gase und Flussigkeiten Luft 1,75%c durch Phasenversch. Gase, Flussigkeiten, Feststoffe Luft und Wasser 4,2% (nWasser)Michelson Gase, Flussigkeiten, Feststoffe Gase und Glaser 0,004%Newtonsche Ringe Gase und Flussigkeiten Luft und Flussigkeiten 1,7%bzw. 4,3%Dispersionskurve Flussigkeiten und Feststoffe Glaser 0,2%Brewsterwinkel Flussigkeiten und Feststoffe Glas, Polyethylen 0,7% - 5%

Tabelle 13: Vergleich der Messmethoden

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 26

Abbildungsverzeichnis

1 Prinzipieller Aufbau des Foucault-Versuches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Aufbau mit zusatzlichen Spiegeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 a und b Reflexionspunkt auf MF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Analyse der virtuellen Bilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Bildpunkt bei minmaler Drehzahl des Rotorspiegels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Bildpunkt bei hoher Drehzahl des Rotorspiegels (cw) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Bildpunkt bei hoher Drehzahl des Rotorspiegels (ccw) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Versuchsaufbau zur Lichtgeschwindigkeitsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Aufbau zur Lichtgeschwindigkeitsmessung (Schema) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010 Prinzip des Michelson-Interferometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1211 Interferenz an dunnen Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612 Symmetrischer Strahlengang durch ein Prisma und Winkel der Minimalablenkung δmin . 1913 Dispersionskurve (Quarzglas, Hg-Lampe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014 Reflexion und Brechung an Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2115 Versuchsaufbau zur Bestimmung des Brewster-Winkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Tabellenverzeichnis

1 Messung der Lichtgeschwindigkeit mit einfacher Weglange D . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Messung der Lichtgeschwindigkeit mit zusatzlichen Spiegeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Lichtgeschwindigkeit in Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Lichtgeschwindigkeit im Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Messergebnisse zu Michelson (Luft) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Messergebnisse zu Michelson (Stickstoff) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Messergebnisse zu Michelson (Argon) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Messergebnisse zu Michelson (Kohlenstoffdioxid) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Messergebnisse zu den Newtonschen Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710 Messunsicherheiten zu den Newtonschen Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1811 Messung zur Dispersionskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012 Messergebnisse zum Brewster-Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313 Vergleich der Messmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Documents

Bestimmung der Brechungsindizes von Gasen, Flussigkeiten ... · in ein anderes Medium beschr¨anken die Anwendung der Methode im universit ¨aren Praktikum auf Mes-sungen in Luft