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Bestimmung von effektiven hydraulischen Eigenschaften
stochastisch heterogener Böden
Studienarbeit von Jan Wienhöfer
September 2003
Betreuer: Wolfgang Durner
Abteilung Bodenkunde und Bodenphysik
Institut für Geoökologie
Technische Universität Braunschweig
i
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis........................................................................................................................ i
Zusammenfassung...................................................................................................................... ii
1. Einleitung ........................................................................................................................... 1
2. Grundlagen ......................................................................................................................... 4
2.1. Modellierung des Wassertransports ........................................................................... 4
2.2. Inverse Simulation...................................................................................................... 5
2.3. Stochastische Beschreibung der Heterogenität von Böden........................................ 6
3. Material und Methoden ...................................................................................................... 7
3.1. Direkte Simulation – der Grundaufbau ...................................................................... 7
3.1.1. Simulationseinstellungen ................................................................................... 7
3.1.2. Anfangs- und Randbedingungen........................................................................ 8
3.1.3. Die poröse Platte ................................................................................................ 8
3.2. Direkte Simulation - die verschiedenen Läufe........................................................... 9
3.2.1. Homogene Medien ............................................................................................. 9
3.2.2. Stochastisch heterogene Medien ........................................................................ 9
3.3. Aufbereitung der durch direkte Simulation gewonnenen Daten.............................. 10
3.4. Inverse Simulation.................................................................................................... 11
4. Ergebnisse und Diskussion............................................................................................... 14
4.1. Homogene Medien ................................................................................................... 15
4.2. Heterogene Medien .................................................................................................. 18
4.2.1. Die unterschiedlichen Bodenarten ................................................................... 18
4.2.2. Die unterschiedlichen Korrelationslängen ....................................................... 22
4.2.3. Die unterschiedlichen Standardabweichungen................................................. 25
4.3. Schlussfolgerungen .................................................................................................. 27
5. Quellen ............................................................................................................................. 28
6. Anhang A: Ergebnisse der direkten und inversen Simulation ......................................... 29
7. Anhang B: Resultierende hydraulische Funktionen......................................................... 56
8. Anhang C: Tabellen der invers bestimmten Parameterwerte........................................... 65
ii
Zusammenfassung
Die Modellierung des Bodenwasserhaushaltes setzt die richtige Identifizierung der für das
angewendete Modell benötigten Parameter voraus. Gegenüber aufwendigeren klassischen
Labormethoden hat sich das Multistep-Outflow-Experiment unter Anwendung von inverser
Simulationstechnik zur Bestimmung der bodenhydraulischen Parameter als leistungsfähige
Alternative herausgestellt. Im Hinblick auf die Übertragbarkeit der Ergebnisse vom Labor auf
die natürlichen Verhältnisse spielt die räumliche Variabilität der Bodeneigenschaften eine
große Rolle.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Einfluss dieser Heterogenität auf die
Anwendbarkeit der inversen Modellierung. Dazu wurden Multistep-Outflow-Experimente am
Computer simuliert, und mit den synthetischen Daten eine inverse Parameterschätzung
durchgeführt. Es wurden verschiedene Szenarien von homogenen und heterogenen
Bodensystemen modelliert, wobei die Heterogenität durch eine stochastische Verteilung von
Skalierfaktoren repräsentiert wurde.
Es ergaben sich in den meisten Fällen sinnvolle effektive hydraulische Funktionen, d.h., sie
lagen wie erwartet innerhalb der von den synthetischen Daten vorgegebenen Bereiche.
Allerdings zeigte sich auch ein Zusammenhang zwischen der Güte bzw. Unsicherheit der
Schätzung und dem Ausmaß der Heterogenität. Die Residuen der inversen Modellierung
sowie die Konfidenzintervalle der geschätzten Parameter, ein Maß für die Güte der
Bestimmung, wurden mit stärkerer Heterogenität meist größer. Dennoch konnte im
überwiegenden Teil der Fälle eine gelungene Parameterschätzung beobachtet werden, und das
hydraulische Verhalten der heterogenen Systeme wurde durch die invers ermittelten quasi-
homogenen Eigenschaften hinreichend genau wiedergegeben.
1
1. Einleitung
Der Boden ist ein lebenswichtiger Bestandteil der terrestrischen Ökosysteme der Erde. Neben
ihrer Funktion als Lebensraum sind Böden entscheidend an den Kreisläufen von Wasser und
Stoffen in den Ökosystemen beteiligt. Sie dienen als Transportstrecke und Filter bei der
Auffüllung des Grundwassers, und stellen als Ort von Speicherung und Stoffumwandlungen
die Grundlage für die Pflanzenernährung dar (Wild 1995). Für die Charakterisierung von
Nährstofftransport und Bodenentwicklung ist die Kenntnis der Dynamik des
Bodenwasserhaushalts entscheidend, denn in Bewegung befindliches Wasser ist das weitaus
wirksamste Transportmittel für Materie innerhalb des Bodenkörpers (Hartge und Horn 1999).
Die hydraulischen Eigenschaften von Böden werden maßgeblich durch den Porenraum
bestimmt, einem komplexen dreidimensionalen Gebilde, dessen Geometrie vor allem von der
Korngrößenverteilung, dem Gefüge und der Lagerungsdichte des jeweiligen Bodens abhängt.
Diese Kenngrößen ändern verhältnismäßig langsam mit der Zeit (Scheffer/Schachtschabel
2002), sind aber durch eine verhältnismäßig hohe räumliche Variabilität gekennzeichnet.
Daraus resultiert nicht nur eine Heterogenität auf der Makroskala, aufgrund welcher man z.B.
bei der Beschreibung des Wasserhaushaltes eines Einzuggebiets die verschiedenen
vorliegenden Bodentypen mit ihren unterschiedlichen hydraulischen Eigenschaften zu
berücksichtigen hat. Auch innerhalb einer Bodeneinheit variiert die Porengrößenverteilung
auf einer kleineren Skala, und damit variieren auch die den Wassertransport bestimmenden
(tatsächlichen) Eigenschaften des porösen Mediums.
Um die Wasserbewegung in den interessierenden Bodenkörpern (z.B. Bodentypen im
Einzugsgebiet oder Horizonte im Profil) trotz dieser mikroskaligen Heterogenität beschreiben
zu können, muss eine integrative Darstellung des porösen Mediums gefunden werden, die
durch repräsentative Größen das Verhalten des Systems hinreichend genau wiedergibt, ohne
dass genaue Kenntnisse über das tatsächliche Aussehen des Systems unterhalb der
interessierenden Skala vonnöten sind. Man spricht in diesem Zusammenhang vom
repräsentativen Elementarvolumen (REV), für das eine effektive makroskopische Größe
definiert wird (Roth 1996).
Für die Betrachtungen von Wasserbewegungen in der ungesättigten Zone stellen die
Bodenwassercharakteristik (Wasserspannungskurve, Retentionskurve, pF-WG-Kurve, Θ(h))
und die Wasserleitfähigkeit (Leitfähigkeitsfunktion, K(Θ) bzw. K(h)) die zu ermittelnden
Grundgrößen dar (Scheffer/Schachtschabel 2002); sie fassen die charakteristischen
hydraulischen Eigenschaften, die durch das Porenvolumen, die Porengrößenverteilung und
2
die Kontinuität der Fließwege bestimmt sind, repräsentativ und funktional zusammen. Zur
Bestimmung der effektiven hydraulischen Bodenfunktionen existieren verschiedene Labor-
und Feldmethoden. Bei der Bestimmung der Retentionskurve im Labor geht man prinzipiell
von einer gesättigten Bodenprobe (Stechzylinder) aus, die mittels einer porösen
Keramikplatte oder einer Membran mit bestimmten Unterdrücken ins Gleichgewicht gebracht
wird. Die sich ergebenden Wassergehalte werden ermittelt und gegen die angelegten Drücke
aufgetragen, so dass man Punkte der Wasserspannungskurve erhält (Scheffer/Schachtschabel
2002). Auch zur Bestimmung der Leitfähigkeitsfunktion im Labor wird eine Entwässerung
der Bodenprobe über eine poröse Platte herbeigeführt und die Abhängigkeit der Leitfähigkeit
vom Wassergehalt bzw. Matrixpotential für verschiedene Punkte bestimmt (vgl. Hartge und
Horn 1989). Bei diesen Labormethoden sind vor allem die langwierige
Gleichgewichtseinstellung und die Verwendung von relativ kleinen Stechzylinderproben
problematisch, da erstere zu einem enormen Zeitaufwand für die Messungen führt und letztere
keine repräsentativen Aussagen zulässt, die sich auf Feldbedingungen übertragen werden
können. Außerdem ermöglichen sie meist nur die Bestimmung einer der beiden Funktionen
(vgl. Klute und Dirksen 1986; Dirksen 1991). Zur Bestimmung im Gelände eignet sich etwa
das Instantaneous-Profile-(IP)-Experiment (Vachaud und Dane 2002), das zwar mit einem
hohen methodischen Aufwand verbunden ist, aber dafür Informationen sowohl über die
Leitfähigkeits- als auch die Retentionsfunktion unter Feldbedingungen liefert.
Zur Bestimmung der hydraulischen Eigenschaften sind diese Versuche hinsichtlich der
Anfangs- und Randbedingungen oft Beschränkungen unterlegen, da eine analytische oder
semi-analytische Lösung für die direkte Invertierung der den Wassertransport beschreibenden
Gleichungen gefunden werden muss (Kool et al. 1987).
Neben diesen Messungen sind auch Vorhersagen für die hydraulischen Parameter aus
bekannten Materialeigenschaften mittels so genannter Pedotransferfunktionen gebräuchlich.
Da dieses Vorgehen meist auf generalisierten empirischen Befunden beruht, ist ihre
Aussagekraft für einen spezifischen Boden meist begrenzt.
In den letzten Jahren hat sich die numerische Methode der inversen Simulation zur Schätzung
der bodenhydraulischen Parameter als sinnvoll erwiesen (Durner et al. 1999). Sie erlaubt die
gleichzeitige Bestimmung von Retentions- und Leitfähigkeitsparametern aus einem
instationären Fließexperiment (z.B. Bodensäule im Labor, IP-Experiment im Feld), und ist
hinsichtlich der Auswahl der experimentellen Bedingungen flexibler als die klassischen
Methoden. So können Versuche z.B. ohne zeitaufwändige Gleichgewichtseinstellung
durchgeführt werden. Im Gegensatz zur direkten Invertierung kann die inverse Simulation
3
ohne Linearisierung der übergeordneten Gleichungen verwendet werden. Sie erlaubt ebenfalls
die Berücksichtigung von Inhomogenitäten durch deterministische oder stochastische
Repräsentationen. Aus diesen Gründen ist die inverse Simulation geeigneter als andere
Methoden, um für die Modellierung und Parameterschätzung auf der Feldskala eingesetzt zu
werden (Kool et al. 1987).
In dieser Studienarbeit soll der Frage nachgegangen werden, inwieweit sich die Methode der
inversen Simulation auf stochastisch heterogene Systeme anwenden lässt. Dazu werden
Multi-Step-Outflow-Experimente in verschiedenen Szenarien an einer Bodensäule direkt
simuliert, und die so erhaltenen synthetischen Daten mittels inverser Simulation ausgewertet.
Die Szenarien umfassen dabei homogene und stochastisch heterogene Medien. Die
Verwendung von synthetischen Daten aus der direkten Simulation in der inversen Simulation
stellt hierbei ein numerisches Experiment dar, das aufgrund der bekannten Ausgangsszenarien
systematische Untersuchungen erlaubt. Damit soll ermittelt werden, ob und wie gut sich das
hydraulische Verhalten der heterogenen Systeme durch die invers bestimmten, quasi-
homogenen Eigenschaften wiedergeben lässt, und in welchem Verhältnis die effektiven
hydraulischen Eigenschaften zu den Ausgangssystemen stehen.
4
2. Grundlagen
2.1. Modellierung des Wassertransports
Der Wasserfluss in einem Boden kann durch die Richards-Gleichung (hier für den
eindimensionalen Fall) beschrieben werden:
Θ: volumetrischer Wassergehalt [L³/L³],
t: Zeit [T],
z: Höhe [L],
K: Leitfähigkeit [L T–1],
hm: Matrixpotential [L]
Zur Beschreibung der Retentionskurve werden die Gleichungen nach van Genuchten (1980)
benutzt:
Se: effektive Sättigung [-],
Θr: Restwassergehalt [L³ L–³],
Θs: Sättigungswassergehalt [L³ L–³],
empirische Parameter α [cm–1], n [-], m [-]
Daraus ergeben sich zusammen mit dem Leitfähigkeitsmodell von Mualem (1976) die
Leitfähigkeitsfunktionen:
Mit:
Ks: gesättigte Leitfähigkeit [cm h–1],
τ: Tortuositätsfaktor [-]
+
∂∂
∂∂
=∂Θ∂ )()( m
mm hK
zh
hKzt
( ) rrsmem hSh Θ+Θ−Θ=Θ )()(
( )[ ] mnmme hhS
−+= α1)(
( ) 21
11)(
−−=
mm
eese SSKSK τ
( )[ ] ( ) ( )( )[ ]21 111)(mn
mn
m
mnmsm hhhKhK
−−−+−+= ααα
τ
nm 11−=
5
2.2. Inverse Simulation
Die Technik der inversen Simulation stellt allgemein eine mathematische Methode zur
Charakterisierung eines Systems auf der Grundlage des beobachteten Systemverhaltens dar
(Hopmans et al. 2002). Bei der Auswertung von Fließexperimenten mithilfe der inversen
Simulation sollen die bodenhydraulischen Parameter für den beprobten Boden geschätzt
werden, die zur Parametrisierung der Retentionskurve und der Leitfähigkeitsfunktion benötigt
werden.
Die Parameterschätzung erfolgt durch eine Minimierung der Abweichungen von beobachteten
und simulierten Zustandsgrößen. Diese zu minimierende Zielfunktion Φ kann ausgedrückt
werden als gewichteter Kleinste-Quadrate-Schätzer (Hopmans et al. 2002):
Die rechte Seite stellt die Abweichungen (Residuen) von gemessenen (yj*) und vom Modell
mit dem Parametervektor β errechneten Zustandsgrößen (yj) dar. Die Summierung erfolgt für
alle Arten von Messungen (my), sowie für alle Messungen nj eines Messtyps. Der
Gewichtsfaktor vj für jeden Typ ergibt sich z.B. aus dem Kehrwert der Messfehlervarianz
(Simunek und Hopmans 2002). Zur numerischen Lösung dieses nichtlinearen
Optimierungsproblems wird z.B. der Levenberg-Marquardt-Algorithmus verwendet.
Das Ergebnis einer inversen Simulation muss hinsichtlich Identifizierbarkeit, Stabilität und
Eindeutigkeit beurteilt werden (vgl. Carrera und Neumann 1986). Parameter sind nicht
identifizierbar, wenn verschiedene Kombinationen zu einer gleichwertigen Lösung führen.
Stabilität bedeutet, dass die optimierten Parameter unbeeinflusst von Fehlern in den
Eingangsdaten bestimmt werden können, ohne chaotisches Verhalten zu zeigen. Eindeutigkeit
besteht, wenn die Zielfunktion konvex ist, d.h., ein globales Minimum existiert nur für eine
Parameterkombination, und lokale Minima sind nicht vorhanden. Sind diese drei Kriterien
nicht gegeben, spricht man von einem mathematisch schlecht gestellten Problem. Dieses kann
durch eine Erhöhung der Zahl der Messungen, eine Ergänzung durch andere Messgrößen oder
zusätzlicher Verwendung von unabhängig bestimmter Information vermieden werden
(Simunek und Hopmans 2002).
Die inverse Simulation erfordert neben Vorgabe von räumlicher und zeitlicher Diskretisierung
sowie der Anfangs- und Randbedingungen auch eine Anfangsschätzung des Parametervektors
β. Um sicher zugehen, dass die Zielfunktion mit den invers bestimmten Parametern ein
globales Minimum gefunden hat, sollten unterschiedliche Startvektoren untersucht werden.
( )∑∑==
−=Φjy n
iijij
m
jj tzytzyvy
1
2*
1),,(),(),( ββ
6
2.3. Stochastische Beschreibung der Heterogenität von Böden
Ein Ansatz, um die Heterogenität des Porensystems bei der Simulation von Wassertransport
in Böden zu berücksichtigen, besteht in der Anwendung von Skalierfaktoren auf den
darzustellenden Bodenkörper. Diese werden auf die hydraulischen Funktionen angewandt,
und spiegeln so fein- und grobkörnigere Bereiche im Boden wider, die durch eine erniedrigte
bzw. erhöhte Wasserdurchlässigkeit und ein erhöhtes bzw. erniedrigtes Wasserhaltevermögen
gekennzeichnet sind.
Die Skalierfaktoren können unter Annahme einer Dichtefunktion (z.B. logarithmische
Normalverteilung) stochastisch erzeugt werden, um sie dann mittels geeigneter Prozeduren
unter Berücksichtigung von räumlichen Korrelationen auf das Bodenmodell zu übertragen
(siehe: El-Kadi 1986; Mejia und Rodriguez-Iturbe 1974).
Dieser Ansatz geht auf das Konzept der Miller-Ähnlichkeit zurück. Es beruht auf der
Annahme, dass Bereiche, die eine ähnliche Geometrie des Porenraumes aufweisen, im
gleichen Zustand auch eine ähnliche Geometrie der Wasserphase besitzen. Der Begriff
„Ähnlichkeit“ bezieht sich dabei auf die Annahme, dass sich die betrachteten Bereiche
lediglich um einen Vergrößerungsfaktor unterscheiden, sonst aber identisch sind (Miller und
Miller 1956). Die Bereiche unterscheiden sich demnach nur in ihren charakteristischen
Längen, z.B. der Korngröße oder dem Porendurchmesser. Die Skalierfaktoren λi für die
hydraulischen Funktionen ähnlicher Bereiche ergeben sich aus dem Verhältnis ihrer
charakteristischen Längen zu der charakteristischen Länge des Referenzpunktes:
Im Referenzpunkt sind die hydraulischen Funktionen durch die Vorgabe von α*, Ks* und der
übrigen hydraulischen Parameter definiert. Für die alle übrigen Punkte eines Miller-ähnlichen
Mediums ergeben sich die hydraulischen Parameter aus den jeweiligen Skalierfaktoren.
und
(Durner und Schulz 2002) ii λαα ⋅= *
2
*
i
sis
KK
λ=
7
3. Material und Methoden
Der erste Schritt in dieser Arbeit bestand in der Simulation von Multistep-Outflow-(MSO)-
Experimenten mithilfe des Computerprogramms HYDRUS-2D (Simunek et al. 1999). Diese
Versuchsanordnung hat sich für eine Identifizierbarkeit der hydraulischen Parameter bewährt
(Durner et al. 1999). Werden MSO-Versuche im Labor durchgeführt, so wird an eine
Bodenprobe mittels einer porösen keramischen Platte ein sich stufenweise erhöhender
Unterdruck angelegt.
Es wurden insgesamt 27 verschiedene Versuche simuliert, wobei jeweils das Bodenmaterial
und/oder die stochastische Verteilung der hydraulischen Parameter variiert wurden. Wie bei
äquivalenten Laborversuchen, wurden die Größen kumulativer Ausfluss und
Tensiometerwerte zur Auswertung herangezogen. Die durch die direkte Simulation
gewonnenen Daten gingen im zweiten Schritt in die inverse Parameterschätzung mit dem
Computerprogramm ESHPIM (Zurmühl 1999) ein. Es erfolgten verschiedene Rechenläufe,
bei denen jeweils die Anfangsschätzer für die bodenhydraulischen Parameter variiert wurden.
Zur Simulation sowohl in HYDRUS-2D als auch in ESHPIM wurde das klassische Van
Genuchten/Mualem-Modell (ohne Hysterese) zur Parametrisierung der hydraulischen
Funktionen benutzt.
3.1. Direkte Simulation – der Grundaufbau
Die direkten Simulationen wiesen einen einheitlichen Grundaufbau auf: Simuliert wurde der
vertikale Wasserfluss innerhalb einer zweidimensionalen Bodensäule, die auf einer
keramischen Platte aufsitzt. Das System hatte die Maße 50 × 51 cm, wobei die simulierte
poröse Platte 1 cm mächtig war. Die Diskretisierung erfolgte in 101 × 103 Knoten, mit einem
Knotenabstand von 0.5 cm. In die Bodensäule wurden zwei Beobachtungspunkte eingebaut,
fungierend als simulierte Tensiometer. Sie lagen im Abstand von 35 cm und 18 cm vom
oberen Rand.
3.1.1. Simulationseinstellungen
Für die Iteration wurden die voreingestellten Iterationskriterien verwendet. Die gewählten
Einstellungen für die Zeitdiskretisierung sind in Tab. 1 aufgeführt:
8
Tab. 1: Zeitliche Diskretisierung der direkten Simulation [h].
Anfangszeit 0
Endzeit 4000
Anfangszeitschritt 0.01
Kleinste Zeitschrittweite 0.0024
Größte Zeitschrittweite 4.99
3.1.2. Anfangs- und Randbedingungen
Als Anfangsbedingung wurde ein hydraulisches Gleichgewicht in der Bodensäule gewählt,
mit einer Druckhöhe von 0 cm Wassersäule am unteren Rand des Systems.
Die Randbedingungen für den oberen Rand sowie für den linken und rechten Rand wurden als
„no flux“-Neumann-Randbedingung festgelegt. Am unteren Rand wurde dem Multistep-
Outflow-Experiment entsprechend ein stufenweise ansteigender Unterdruck angelegt, also
eine zeitvariate Dirichlet-Randbedingung definiert (Tab. 2):
Tab. 2: Untere Randbedingung für die direkte Simulation.
Zeit [h] >0 >10 >500 >1000 >1500 >2000 >2500 >3000 >3500
Unterdruck
[cm WS] –9 –99 –199 –299 –399 –499 –599 –699 –799
3.1.3. Die poröse Platte
Für die poröse Platte wurde in der Simulation ein Material mit solchen Werten gewählt, dass
sie bei den angelegten Unterdrücken nicht entwässert (Tab. 3):
Tab. 3 Hydraulische Parameter der porösen Platte.
α [cm–1]
n Θs Θr Ks [cm h–1]
0.0004 6 0.5 0.02 0.05
9
3.2. Direkte Simulation - die verschiedenen Läufe
Insgesamt wurden 27 Versuche mit unterschiedlichen Materialeigenschaften der simulierten
Bodenkörper durchgeführt.
3.2.1. Homogene Medien
Als Referenz wurden zunächst drei Läufe mit homogenen Bodensäulen simuliert. Bei den
Materialien handelte es sich um lehmigen Sand, Lehm sowie tonigen Lehm (Tab. 4).
Tab. 4: Beschreibung der homogenen Medien: Textur und Lagerungsdichte.
Bodenart Kürzel Sandanteil
[%]
Schluffanteil
[%]
Tonanteil
[%]
Lagerungsdichte
[g cm–³]
Lehmiger Sand lhm_sand 80 15 5 1.6
Lehm Lehm 50 30 20 1.55
Toniger Lehm ton_lehm 30 40 30 1.45
Die bodenhydraulischen Parameter für diese Materialien wurden mithilfe der in HYDRUS-2D
enthaltenen Pedotransferfunktion ROSETTA-LITE (Schaap 1999) ermittelt, und auf
handhabbare Werte gerundet (Tab. 5).
Tab. 5: Bodenhydraulische Parameter der homogenen Medien.
Bodenart α [cm–1]
Θs Θr n Ks [cm h–1]
lhm_sand 0.05 0.36 0.05 1.8 4.0
Lehm 0.02 0.38 0.06 1.4 0.5
ton_lehm 0.01 0.42 0.08 1.5 0.3
3.2.2. Stochastisch heterogene Medien
Die heterogenen Medien wurden in HYDRUS mit der implementierten Option zur
Generierung von stochastisch verteilten und räumlich korrelierten Skalierfaktoren erstellt.
Dabei wurde eine logarithmische Normalverteilung sowie Miller-Miller-Ähnlichkeit für die
Skalierfaktoren gewählt. Der Mittelwert der Verteilung der Skalierfaktoren ist jeweils 1. Die
weiteren Eingabeparameter für die verschiedenen Läufe sind in Tab. 6 aufgeführt.
10
Tab. 6: Parameter der stochastisch verteilten Skalierfaktoren (SF) für die verschiedenen Läufe.
Korrelationlängen Laufkürzel Bodenart
Standardabweichung
des log. SF Horizontal vertikal
lS001 lhm_sand 0.01 2.5 2.5
lS025 lhm_sand 0.25 2.5 2.5
lS05 lhm_sand 0.5 2.5 2.5
L025 Lehm 0.25 2.5 2.5
tL025 ton_lehm 0.25 2.5 2.5
L025_25 Lehm 0.25 25.0 25.0
L025_V Lehm 0.25 2.5 250.0
L025_H Lehm 0.25 250.0 2.5
Jeder Lauf wurde in drei verschiedenen Realisationen (A, B, C) durchgeführt, da durch den
stochastischen Prozess trotz gleicher Parameter bei erneuter Ausführung eine andere
Verteilung der Skalierfaktoren erzeugt wird. Somit ergaben sich insgesamt 24 Läufe mit
stochastisch heterogenen Bodeneigenschaften, Beispiele zeigt Abb. 0.
3.3. Aufbereitung der durch direkte Simulation gewonnenen Daten
Um die in Schritt 3.2 gewonnenen Ergebnisse für die inverse Simulation verwenden zu
können, wurden sie mit Hilfe von MS-EXCEL (Microsoft Corporation) aufbereitet. Die für
die Parameterschätzung benötigten zeitlichen Verläufe von kumulativem Ausfluss und
Matrixpotentialen an den beiden Beobachtungspunkten wurden aus den von HYDRUS
Abb. 0: Stochastische Verteilung der Skalierfaktoren (SF) - Links: SF für α (Szenario L025, Realisation B). Rechts: SF für K (Szenario L025_V, Realisation A).
0.0 3.50.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.0 5.00.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5
11
erstellten Dateien „Cum_Q.out“ bzw. „ObsNod.out“ extrahiert und zusammengestellt. Die
Ausflussdaten wurden dabei durch Division durch die Breite des simulierten Bodenkörpers
normiert, um die zweidimensional gewonnenen Daten in die eindimensionale Simulation mit
ESHPIM einbringen zu können.
Die so gewonnenen Datenreihen (Zeit, kumulativer Ausfluss, Matrixpotential Tensiometer 1,
Tensiometer 2) wurden dann mit dem Tool FILTERING (Iden 2003) ausgedünnt. Als
Kriterium dafür wurde ein Unterschied in den Werten für den kumulativen Ausfluss von
einem Prozent gewählt, wobei jedoch gleichzeitig mindestens alle 24 Stunden ein
Datenquartett beibehalten werden sollte.
Die ausgedünnten Daten der homogenen Szenarien wurden im letzten Schritt der
Aufbereitung mit einem normalverteilten Fehler belegt, um die Messungenauigkeit eines
Laborexperimentes nachzustellen, und um die Gewichtung der Daten in der inversen
Simulation zu ermöglichen. Es wurde eine Standardabweichung von 1 cm für die Tensiometer
und 0.01 cm für den kumulativen Ausfluss angenommen, wobei die Ungenauigkeit für den
kumulativen Ausfluss bei einem Bodenkörper mit einer quadratischen Grundfläche von 50 cm
Kantenlänge einem Volumen von 2.5 ml entspricht.
Die Simulationsergebnisse der heterogenen Szenarien wurden nicht noch zusätzlich mit einem
Fehler behaftet, da sich schon durch die Positionierung der Beobachtungspunkte im
stochastischen erzeugten Medium zwangsläufig eine zufällige Abweichung ergab.
3.4. Inverse Simulation
Die in den direkten Simulationen gewonnenen und aufbereiteten Daten fanden in diesem
Schritt Eingang in die inverse Simulation mit dem Programm ESHPIM.
Hier wurde kongruent zu den direkten Simulationen eine räumliche Diskretisierung von 102
Elementen mit einer Höhe von 0.5 cm vorgegeben; davon 100 Elemente für das
Bodenmaterial und zwei für die poröse Platte. Die Einstellungen für Anfangs- und
Randbedingungen entsprachen denen der direkten Simulation, für die zeitliche
Diskretisierung sind sie in Tab. 7 aufgelistet:
Tab. 7: Zeitliche Diskretisierung der inversen Simulation [h].
Anfangszeit 0
Endzeit 4000
Anfangszeitschritt 0.0001
Kleinste Zeitschrittweite 10–12
Größte Zeitschrittweite 5
12
Die in die Simulation eingehenden Daten wurden mittels ihrer angenommenen Messfehler
gewichtet, wobei sich das Gewicht aus dem Kehrwert der Varianz des Messfehlers ergibt. Für
den kumulativen Ausfluss ergibt sich die Gewichtung vq = 1/(0.01)² = 10000, für die
Tensiometer vt = 1/ (1)² = 1 (s. Abschnitt 2.3). Da zwei Tensiometer-Datenreihen verwendet
wurden, wurde jeder von ihnen eine Gewichtung von 0.5 zugewiesen.
Jeder der 27 Läufe der direkten Simulation wurde ausgehend von fünf unterschiedlichen
Anfangsschätzervektoren invers simuliert. Die verwendeten Anfangsschätzer wurden
wiederum in Anlehnung an Parameter gewählt, wie sie von ROSETTA für verschiedene
Bodenarten ausgegeben werden (Tab. 8):
Tab. 8: Die fünf für die inverse Simulation verwendeten Anfangsschätzer.
Nr. Bodenart α [cm–1]
n Θr Θs Ks [cm h–1]
1 lhm_sand 0.05 1.8 0.05 0.36 4.0
2 Lehm 0.02 1.4 0.06 0.38 0.5
3 ton_lehm 0.01 1.5 0.08 0.42 0.3
4 Silt 0.005 2.0 0.1 0.48 10.0
5 Sand 0.03 3.0 0.03 0.38 25.0
Um das Ergebnis der inversen Parameterschätzung abzusichern, hat es sich als günstig
erwiesen einen zweiten Lauf zu fahren, wobei die zuvor bestimmten Parameter aus der ersten
inversen Simulation als Anfangsschätzer verwendet wurden.
Für den ersten Lauf der inversen Simulation wurde die Implementierung des Levenberg-
Marquardt-Algorithmus nach Moré (1977) gewählt, die keine Grenzen berücksichtigt. Die
zweiten Läufe wurden mit der Implementierung des Algorithmus nach Dennis und Schnabel
(1983) gerechnet. Dieser berücksichtigt vorzugebende Grenzen für die zu optimierenden
Parameter.
Um stabile Läufe zu erhalten, musste für die Anfangsschätzer Nr. 4 und Nr. 5 umgekehrt
verfahren werden, d.h., im ersten Lauf mit der Routine nach Dennis und Schnabel. Für diese
Fälle wurde dann im zweiten Lauf der Ansatz nach Moré verwendet, um auch hier die
Bestimmung mit beiden Routinen durchzuführen.
Bei der Durchführung der zweiten Läufe wurde in ESHPIM die Option genutzt, die
Abbruchkriterien auf Maschinengenauigkeit zu setzen, während die ersten Läufe mit weniger
strikten Abbruchkriterien gefahren wurden.
13
Durch diese Vorgehensweise ergaben sich nach dem ersten Lauf aus den fünf
Anfangsschätzvektoren zwei oder drei Vektoren, die ein lokales oder das globale Minimum
darstellten. Die Lage des globalen Minimums konnte Eshpim im zweiten Lauf aus den zuvor
ermittelten Parametern als Anfangsschätzern insofern bestimmen, dass die Lösungen der
Optimierung in allen Fällen der zuvor bestimmten Minima auf einen Vektor hin
konvergierten.
Dieses Verfahren erlaubte somit, die erste inverse Bestimmung für jeden Fall mit den
gleichen fünf Anfangsschätzungen vorzunehmen, um diese Ergebnisse für eine Erfolg
versprechende globale Optimierung in einer zweiten inversen Simulation als geeignete
Anfangsschätzer zu verwenden.
14
4. Ergebnisse und Diskussion
Numerische Experimente, das hat sich auch während dieser Arbeit gezeigt, erfordern eine
Reihe von vorhergehenden Tests. Verwendet man Software, deren numerisches „Verhalten“
nicht genau bekannt ist, sollte man diese als „Black Box“ behandeln und Zusammenhänge
zwischen Systemparametern und Systemantwort untersuchen. In dieser Arbeit haben solche
Vortests hinsichtlich der räumlichen Diskretisierung, der stochastischen Erzeugung der
Skalierfaktoren und der Vergleichbarkeit der numerischen Modelle von HYDRUS und
ESHPIM stattgefunden. Die beschriebene Vorgehensweise und die gewählten
Simulationseinstellungen waren Resultate dieser vorgeschalteten Untersuchungen.
Die durchgeführten inversen Simulationen konvergierten für verschiedene Anfangswerte in
allen Fällen auf einen Parametervektor bzw. auf sehr eng beieinander liegende
Parametervektoren, so dass das globale Minimum der Zielfunktion mit großer
Wahrscheinlichkeit in allen Fällen gefunden werden konnte.
Um die Güte der inversen Parameterschätzung beurteilen zu können, sollen hier zunächst die
Ergebnisse von direkter und inverser Simulation über eine Darstellung der Modellläufe und
der Residuen verglichen werden. Die aus den invers bestimmten Parametern resultierenden
hydraulischen Funktionen werden dann den in die direkte Simulation eingegangenen
Leitfähigkeits- und Retentionsfunktionen gegenübergestellt, und schließlich werden die
Standardabweichungen der geschätzten Parameter zur Bewertung herangezogen.
15
4.1. Homogene Medien
Abb. 0: Links: Lehm homogen. Rechts: lehmiger Sand homogen - Kumulativer Ausfluss [cm] und Tensiometerdaten [cm] der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer.
Lehm lehmiger Sand
16
α [cm–1]
n Θr Ks [cm h–1]
Lehm 0.0197 1.3985 0.0604 0.4933
3.60 0.09 3.43 8.57
ton_Lehm 0.0095 1.5242 0.0872 0.2719
4.84 0.24 5.61 11.52
lehm_Sand 0.0457 1.8180 0.0601 3.2438
3.45 0.11 2.98 11.35
Tab. 9: Invers bestimmte Parameter der homogenen Szenarien und ihre prozentuale Standardabweichung (kursiv).
Abb. 1: Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion der homogenen Medien, mit originalen und invers bestimmten Parametern.
toniger Lehm
Abb. 1: Toniger Lehm homogen - Kumulativer Ausfluss [cm] und Tensiometerdaten [cm] der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer.
17
Für die zeitlichen Verläufe der Größen kumulativer Ausfluss und Matrixpotential ergab sich
eine gute Übereinstimmung von direkter und inverser Simulation (Abb. 0 und Abb. 1). Die
Residuen scheinen normalverteilt zu sein, mit einer Streuung, die in etwa den vorgegebenen
Messfehlern entspricht. Lediglich zu den Zeitpunkten, wo ein Wechsel der unteren
Randbedingung erfolgte, ergaben sich größere Abweichungen der inversen Werte von den
synthetischen Daten. Diese Abweichungen wirkten sich aber nicht sichtbar auf die invers
simulierten Ausfluss- und Tensiometerkurven aus. Das Verhalten der homogenen Systeme
konnte in dieser Hinsicht durch die inverse Simulation hinreichend genau reproduziert
werden.
Generell müssen bei der Betrachtung der resultierenden hydraulischen Funktionen (Abb. 1)
die Bereiche, die vom Bestimmungsexperiment nicht abgedeckt werden, vorsichtig
interpretiert werden (Hopmans et al. 2002). Die angelegten Matrixpotentiale deckten den
Bereich von –10 bis –800 cm Wassersäule ab, das entspricht pF-Werten zwischen 1 und 2.9.
Beim lehmigen Sand ist die Diskrepanz zwischen den Retentionskurven aber auch bereits
innerhalb des tatsächlich im Bodenkörper auftretenden Tensionsbereiches deutlich; er
trocknete im Experiment bis zu einem Matrixpotential von ungefähr –500 bis –600 cm WS
aus. Diese deutliche Abweichung in der Retentionskurve ergab sich nur in Fällen mit
lehmigem Sand als Ausgangsmaterial. In diesen Szenarien war sie hingegen systematisch
festzustellen, so dass von einem bodenartspezifischen Effekt ausgegangen werden muss.
Obwohl die Parameterschätzung für den lehmigen Sand offensichtlich nicht erfolgreich
durchgeführt werden konnte, machte sich dieses Ergebnis nicht in einer vergrößerten
Unsicherheit der Schätzung bemerkbar. Die in Tab. 9 aufgeführten prozentualen
Standardabweichungen wurden aus den 95%-Konfidenzintervallen der invers bestimmten
Parameter berechnet. Hier liegen die Werte des lehmigen Sandes bei oder zwischen denen der
anderen Bodenarten.
Die einzelnen Parameter konnten unterschiedlich gut bestimmt werden (Tab. 9), dabei lässt
sich für alle untersuchten Fälle eine Reihenfolge in der Unsicherheit aufstellen: Ks > Θr , α >>
n. Auch in anderen Untersuchungen hat sich Ks als am unsichersten bestimmbarer Parameter
erwiesen (Durner et al. 1999; Kool et al. 1987). Die sich in dieser Untersuchung ergebenen
Standardabweichungen können aber für die homogenen Fälle auch bezüglich Ks als
annehmbar bezeichnet werden. Eine Verkleinerung der Unsicherheiten ist bei Einbeziehung
unabhängig bestimmter Werte der hydraulischen Funktionen zu erwarten, des Weiteren
erlauben sie gegebenenfalls eine Interpretation über den Bereich des MSO-Experimentes
hinaus (Hopmans et al. 2002).
18
4.2. Heterogene Medien
Die Darstellung und Diskussion der Ergebnisse für die heterogenen Szenarien soll hier an
ausgewählten Beispielen erfolgen. Eine Darstellung aller Ergebnisse findet sich in den
Anhängen A-C.
Auch hier sollen zunächst die Ergebnisse von direkter und inverser Simulation über eine
Darstellung der Modellläufe und der Residuen verglichen werden. Die aus den invers
bestimmten Parametern resultierenden hydraulischen Funktionen werden dann den
Leitfähigkeits- und Retentionsfunktionen gegenübergestellt, die sich aus den Grenzen des
95%-Konfidenzintervalls der Verteilung der Skalierfaktoren ergeben. Ebenfalls bewertet
werden wiederum die Unsicherheiten in den Parameterschätzungen.
4.2.1. Die unterschiedlichen Bodenarten
Tab. 10: Invers bestimmte Parameter der heterogenen Szenarien L025 A, tL025 B und lS025 B mit ihrer prozentualen Standardabweichung (kursiv).
α n Θr Ks
L025 A 0.0188 1.3813 0.0540 0.4661
4.48 0.12 4.99 10.48
lS025 B 0.0477 1.8038 0.0616 3.3693
3.93 0.12 3.28 12.85
tL025 B 0.0091 1.5091 0.0876 0.2480
4.35 0.23 5.08 10.23
Abb. 1: lS025 B - Retentionskurven und Leitfähigkeitsfunktion mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren.
19
L025 A lS025 B
Abb. 1: Links: L025 A, Rechts: lS025 B - Kumulativer Ausfluss [cm] und Tensiometerdaten [cm] aus der direkten und inversen Simulation; Residuen des inversen Modells für die jeweiligen Größen.
20
L025 A und tL025 B tL025 B
Abb. 1: tL025 B - Kumulativer Ausfluss [cm] und Tensiometerdaten [cm] aus der direkten und inversen Simulation; Residuen des inversen Modells für die jeweiligen Größen.
Abb. 1: Oben: L025 A, Unten: tL025 B - Retentionskurven und Leitfähigkeitsfunktionen, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren.
21
Die Szenarien mit einer Standardabweichung von 0.25 in den logarithmierten Skalierfaktoren
und der Korrelationslänge 2.5 cm in beide Richtungen sollen hier als Referenz für die
heterogenen Szenarien insgesamt zur Diskussion herangezogen werden.
Zwischen Eingangsdaten und inverser Simulation wurde für den kumulativen Ausfluss in
allen heterogenen Fällen eine gute Übereinstimmung erzielt, für die Tensiometerverläufe gilt
dies mit Ausnahmen (siehe 4.2.2 und 4.2.3). Allerdings ist durchweg eine ungleichförmige
Verteilung der Residuen zu verzeichnen, die Ausfluss- bzw. Matrixpotentialverläufe werden
über einen Teil oder die Gesamtdauer des Experimentes systematisch über- oder unterschätzt.
Das kann ein Hinweis darauf sein, dass die angenommenen Modellvorstellungen das System
nicht perfekt beschreiben (Durner et al. 1999).
Auch bei den heterogenen Szenarien fällt nur die Retentionskurve vom lehmigen Sand aus
dem von den Originalparametern gesteckten Rahmen, hier am Beispiel lS025 B dargestellt
(Abb. 1). Die anderen Szenarien erfüllen jedoch durchgehend die Erwartung, dass sich die
ermittelten effektiven hydraulischen Funktionen innerhalb der durch die Skalierfaktoren
vorgegebenen Schwankungsbreite bewegen. Die prozentualen Unsicherheiten (Tab. 10)
liegen in jeweils ähnlichen Größenordnungen, auch im Vergleich zu den homogenen
Szenarien.
Für die heterogenen Referenzszenarien mit Lehm und tonigem Lehm als Ausgangssubstrat
konnte also die inverse Parameterschätzung der effektiven hydraulischen Funktionen
erfolgreich durchgeführt werden, während für lehmigen Sand der schon im homogenen Fall
beobachtete bodenartspezifische Effekt auftrat.
22
4.2.2. Die unterschiedlichen Korrelationslängen
L025_25 B L025_V A
Abb. 1: Links: L025_25 B, Rechts: L025_V A - Kumulativer Ausfluss [cm] und Tensiometerdaten [cm] aus der direkten und inversen Simulation; Residuen des inversen Modells für die jeweiligen Größen
23
Tab. 11: Invers bestimmte Parameter der heterogenen Szenarien L025_25 B, L025_V A und L025_H C mit ihrer prozentualen Standardabweichung (kursiv)
α n Θr Ks
L025_25 B 0.0178 1.3846 0.0539 0.4208
3.01 0.09 3.59 7.03
L025_V A 0.0213 1.3933 0.0601 0.5801
1.79 0.05 1.43 4.26
L025_H C 0.0196 1.3426 0.0366 0.5211
24.42 0.61 42.65 56.07 L025_V A und L025_25 B
Abb. 1: Oben: L025_V A, Unten: L025_25 B - Retentionskurven und Leitfähigkeitsfunktionen, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
24
Für die Szenarien, die mit einer größeren vorgegebenen Korrelationslänge einer gröber
strukturierten (L025_25) bzw. gerichteten (L025_H, L025_V) Heterogenität entsprachen,
konnten ebenfalls effektive Eigenschaften bestimmt werden, die das hydraulische Verhalten
L025_H C L025_H C
Abb. 1: L025_H, Realisation C - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
Abb. 1: L025_H C - Kumulativer Ausfluss [cm] und Tensiometerdaten [cm] aus der direkten und inversen Simulation; Residuen des inversen Modells für die jeweiligen Größen
25
der Systeme gut wiedergeben. Die Realisationen L025_V A (Abb. 1 rechts) und L025_H A
(Abb. A22) stellen sogar einige der besten Ergebnisse hinsichtlich der Größenordnungen der
Residuen und der Unsicherheit der Schätzung dar (vgl. Tab. 11). Eine weitere Ausnahme
bildet der Fall L025_ H C. Hierbei handelt es sich um die mit Abstand schlechteste, d.h.
unsicherste und ungenaueste Schätzung. Deutlich sichtbar wird das an der großen
Standardabweichung der Parameter (Tab. 11) und den gegenüber anderen Szenarien deutlich
größeren Residuen (Abb. 1). Die Abweichungen in Ausfluss und Matrixpotential sind
hingegen zwar sichtbar, aber weniger deutlich. Die effektiven hydraulischen Funktionen an
sich (Abb. 1) lassen jedoch keinen Hinweis darauf erkennen, dass hier ein im Grunde
unbrauchbares Ergebnis vorliegt.
4.2.3. Die unterschiedlichen Standardabweichungen
Die Vorgabe von unterschiedlichen Standardabweichungen für die Erzeugung der lognormal-
verteilten Skalierfaktoren erfolgte für die Bodenart lehmiger Sand. Obwohl es sich hierbei um
die „Problem-Bodenart“ dieser Arbeit handelt, können an diesem Beispiel trotzdem die
Auswirkung unterschiedlich stark ausgeprägter Heterogenität dargestellt werden, repräsentiert
durch die verschiedenen Standardabweichungen der Skalierfaktoren.
Realisation A Realisation B Realisation C
lS001 α 0.0459 1.84 0.0459 1.84 0.0456 1.85 n 1.8168 0.06 1.8157 0.06 1.8176 0.06 Θr 0.0596 1.61 0.0595 1.60 0.0603 1.57 Ks 3.2664 6.03 3.2756 6.03 3.2358 6.08 lS025 α 0.0440 1.78 0.0477 3.93 0.0483 4.85 n 1.8027 0.06 1.8038 0.12 1.8020 0.15 Θr 0.0647 1.26 0.0616 3.28 0.0608 4.17 Ks 2.9931 5.77 3.3693 12.85 3.5134 15.92 lS05 α 0.0507 7.34 0.0446 5.63 0.0498 8.71 n 1.7314 0.21 1.7508 0.14 1.7180 0.24 Θr 0.0501 7.32 0.0779 2.87 0.0636 6.27 Ks 3.4497 23.29 3.1301 17.95 3.6063 27.32
Tab. 12: Invers bestimmte Parameter der heterogenen Szenarien lS001, lS025 und lS05 mit ihrer prozentualen Standardabweichung (kursiv)
26
Wie Tab. 12 zeigt, nehmen die Unsicherheiten in der Parameterschätzung mit zunehmender
Heterogenität ebenfalls zu. Genauso macht sie sich in der Streuung der effektiven
Retentionskurven bemerkbar: Für die größte untersuchte Standardabweichung, die einer
Streuung der Skalierfaktoren um mindestens zwei Zehnerpotenzen entspricht, ist die Streuung
der resultierenden Retentionskurven in Abb. 1 dargestellt. Auffällig ist hier, dass die
Realisation A mittig im 95%-Konfidenzintervall liegt, im Gegensatz zu den anderen beiden
(und zu den Realisationen des lehmigen Sandes generell). Dieser stochastische Effekt gleicht
gewissermaßen den bodenartspezifischen Effekt aus. Dieses kann ein Hinweis darauf sein,
dass solche stark heterogenen Medien eine besondere Sorgfalt im experimentellen Umgang
erfordern. Man könnte etwa beim Einbau der Tensiometer versuchen, durch eine möglichst
dichte Instrumentierung, auch in gleichen Tiefen, die Heterogenität des Mediums
vollständiger zu erfassen und so die stochastischen Effekte zu minimieren. Allerdings wäre
für ein solches Vorgehen auch eine zweidimensionale inverse Modellierung wünschenswert,
um die zusätzlich gewonnenen, räumlichen Informationen auch berücksichtigen zu können.
lS05
Abb. 1: lS05 - Effektive Retentionskurven der drei Realisationen und das 95%-Konfidenzintervall der Skalierfaktoren
27
4.3. Schlussfolgerungen
Die Resultate der durchgeführten Untersuchungen lassen darauf schließen, dass sich durch die
Methode der inversen Simulation auch für heterogene Böden effektive Eigenschaften
bestimmen lassen, die das hydraulische Verhalten des Mediums sinnvoll wiedergeben
können. Dies sollte auch möglich sein, ohne dass a priori quantifizierte Informationen über
Art und Ausmaß der Heterogenität des zu untersuchenden Bodens vorliegen, da der Boden als
Black-Box in die inverse Simulation eingeht und vom Systemverhalten auf die
Systemparameter geschlossen wird.
Es hat sich in dieser Arbeit gezeigt, dass die Unsicherheiten in den Parameterschätzungen
zunehmen, je stärker heterogen das betrachtete System ist. Deshalb müssen zur Beurteilung
der inversen Parameterschätzung die sich ergebenden Residuenverläufe oder die
Konfidenzintervalle bzw. Standardabweichungen der bestimmten Schätzer herangezogen
werden. Von einer unkritischen Verwendung der ermittelten hydraulischen Funktionen allein
ist abzuraten, da sich auch bei relativ kleinen Unsicherheiten schlechte
Optimierungsergebnisse einstellen können, so wie in dieser Arbeit für die Bodenart lehmiger
Sand. Sollten sich dagegen große systematische Fehler in der inversen Simulation dadurch
bemerkbar machen, dass die Residuen eine hohe Schwankungsbreite oder eine
ungleichförmige Verteilung aufweisen, liegt der Betrachtung eventuell ein unpassendes
hydraulisches Modell zugrunde.
Weiterführende Untersuchungen zu diesem Themengebiet könnten hinsichtlich vielfältiger
Aspekte erfolgen, zum Beispiel sollten noch andere Modelle als das van Genuchten/Mualem-
Modell auf heterogene Systeme angewendet werden, um unter Umständen zu einer besseren
Beschreibung des heterogenen Mediums zu gelangen. Ebenso wäre es wichtig, die
angestellten Betrachtungen mit Untersuchungen im Labor oder im Feld zu ergänzen. Eine
Erweiterung der inversen Modellierung auf eine zweidimensionale Simulation könnte zur
Berücksichtigung von Heterogenitäten beitragen, bei Annahme eines Miller-ähnlichen
Mediums etwa durch eine zusätzliche Schätzung von Standardabweichung und
Korrelationslänge der Skalierfaktoren.
28
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29
6. Anhang A: Ergebnisse der direkten und inversen Simulation
6.1. Homogene Medien
Abb. A1: Lehm homogen - Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer.
30
Abb. A2: lehmiger Sand homogen - Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer.
31
Abb. A3: toniger Lehm homogen - Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer.
32
6.2. Heterogene Medien
Abb. A4: L025, Realisation A - Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
33
Abb. A5: L025, Realisation B - Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
34
Abb. A6: L025, Realisation C - Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
35
Abb. A7: lS025, Realisation A - Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
36
Abb. A8: lS025, Realisation B - Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
37
Abb. A9: lS025, Realisation C - Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
38
Abb. A10: lS001, Realisation A - Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
39
Abb. A11: lS001, Realisation B - Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
40
Abb. A12: lS001, Realisation C- Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
41
Abb. A13: lS05, Realisation A- Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
42
Abb. A14: lS05, Realisation B- Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
43
Abb. A15: lS05, Realisation C- Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
44
Abb. A16: tL025, Realisation A- Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
45
Abb. A17: tL025, Realisation B- Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
46
Abb. A18: tL025, Realisation C- Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
47
Abb. A19: L025_25, Realisation A - Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
48
Abb. A20: L025_25, Realisation B - Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
49
Abb. A21: L025_25, Realisation C - Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
50
Abb. A22: L025_H, Realisation A - Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
51
Abb. A23: L025_H, Realisation B - Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
52
Abb. A24: L025_H, Realisation C - Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
53
Abb. A25: L025_V, Realisation A - Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
54
Abb. A26: L025_V, Realisation B - Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
55
Abb. A27: L025_V, Realisation C - Kumulativer Ausfluss und Tensiometerdaten aus der direkten (=measured) und inversen (=simulated) Simulation (jeweils oben), Residuen des inversen Modells (jeweils unten): a) Kumulativer Ausfluss, b) oberes Tensiometer, c) unteres Tensiometer
56
7. Anhang B: Resultierende hydraulische Funktionen
7.1. Homogene Medien
Abb. B1: Lehm homogen – Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion mit originalen und invers bestimmten Parametern
Abb. B2: lehmiger Sand homogen – Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion mit originalen und invers bestimmten Parametern
Abb. B3: toniger Lehm homogen – Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion mit originalen und invers bestimmten Parametern
57
7.2. Heterogene Medien
Abb. B5: L025, Realisation A - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
Abb. B6: L025, Realisation B - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
Abb. B7: L025, Realisation C - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
58
Abb. B8: L025_25, Realisation A - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
Abb. B9: L025_25, Realisation B - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
Abb. B10: L025_25, Realisation C - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
59
Abb. B11: L025_V, Realisation A - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
Abb. B12: L025_V, Realisation B - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
Abb. B13: L025_V, Realisation C - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
60
Abb. B14: L025_H, Realisation A - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
Abb. B15: L025_H, Realisation B - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
Abb. B16: L025_H, Realisation C - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
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Abb. B17: tL025, Realisation A - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
Abb. B18: tL025, Realisation B - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
Abb. B19: tL025, Realisation C - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
62
Abb. B20: lS025, Realisation A - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
Abb. B21: lS025, Realisation B - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
Abb. B22: lS025, Realisation C - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
63
Abb. B23: lS001, Realisation A - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
Abb. B24: lS001, Realisation B - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
Abb. B25: lS001, Realisation C - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
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Abb. B26: lS05, Realisation A - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
Abb. B27: lS05, Realisation B - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
Abb. B28: lS05, Realisation C - Retentionskurve und Leitfähigkeitsfunktion, mit invers bestimmten Parametern und 95%-Konfidenzintervall der lognormal-verteilten Skalierfaktoren
65
8. Anhang C: Tabellen der invers bestimmten Parameterwerte
Die invers bestimmten Parameter der homogenen Szenarien und ihre prozentuale Standardabweichung (kursiv):
Lehm α 0.0197 3.60
n 1.3985 0.09
Θr 0.0604 3.43
Ks 0.4933 8.57
ton_Lehm α 0.0095 4.84
n 1.5242 0.24
Θr 0.0872 5.61
Ks 0.2719 11.52
lehm_Sand α 0.0457 3.45
n 1.8180 0.11
Θr 0.0601 2.98
Ks 3.2438 11.35
66
Die invers bestimmten Parameter der heterogenen Szenarien und ihre prozentuale Standardabweichung (kursiv):
Realisation A Realisation B Realisation C
lS001 α 0.0459 1.84 0.0459 1.84 0.0456 1.85
n 1.8168 0.06 1.8157 0.06 1.8176 0.06
Θr 0.0596 1.61 0.0595 1.60 0.0603 1.57
Ks 3.2664 6.03 3.2756 6.03 3.2358 6.08
lS025 α 0.0440 1.78 0.0477 3.93 0.0483 4.85
n 1.8027 0.06 1.8038 0.12 1.8020 0.15
Θr 0.0647 1.26 0.0616 3.28 0.0608 4.17
Ks 2.9931 5.77 3.3693 12.85 3.5134 15.92
lS05 α 0.0507 7.34 0.0446 5.63 0.0498 8.71
n 1.7314 0.21 1.7508 0.14 1.7180 0.24
Θr 0.0501 7.32 0.0779 2.87 0.0636 6.27
Ks 3.4497 23.29 3.1301 17.95 3.6063 27.32
tL025 α 0.0095 4.08 0.0091 4.35 0.0094 4.20
n 1.4860 0.20 1.5091 0.23 1.5121 0.21
Θr 0.0767 5.46 0.0876 5.08 0.0877 4.87
Ks 0.2845 9.54 0.2480 10.23 0.2652 9.94
L025 α 0.0188 4.48 0.0193 3.32 0.0200 3.75
n 1.3813 0.12 1.4061 0.10 1.3909 0.09
Θr 0.0540 4.99 0.0661 2.78 0.0599 3.58
Ks 0.4661 10.48 0.4538 7.90 0.5040 8.89
L025_25 α 0.0168 8.36 0.0178 3.01 0.0224 8.83
n 1.4363 0.28 1.3846 0.09 1.3839 0.21
Θr 0.0780 6.58 0.0539 3.59 0.0555 7.85
Ks 0.3174 19.99 0.4208 7.03 0.6531 21.06
L025_V α 0.0213 1.79 0.0192 2.29 0.0174 2.61
n 1.3933 0.05 1.3979 0.07 1.3949 0.08
Θr 0.0601 1.43 0.0607 2.09 0.0602 2.69
Ks 0.5801 4.26 0.4665 5.43 0.3779 6.11
L025_H α 0.0182 1.13 0.0192 4.14 0.0196 24.42
n 1.4044 0.03 1.4226 0.13 1.3426 0.61
Θr 0.0638 1.04 0.0765 2.77 0.0366 42.65
Ks 0.4045 2.67 0.4192 9.94 0.5211 56.07
