Bifurkation und differenzierbare Zweige von Eigenfunktionen in der Theorie der KARMANschen Platten

Bifurkation und differenzierbare Zweige von Eigenfunktionen in der Theorie der K . k h s c h e n Platten

Dern 25. Juhrestag der DDR gewidrnet

Von A. LANGENBACH in Berlin

(Eingegangen am 23. 3. 1973)

Die im unbelasteten Zustand ebene Mittelflache einer Platte nimmt beim Ausbeulen unter Last eine gewolbte Form an. Die Ausbeulung wird dann durch eine Funktion u (xI, xz), (xi, x2) E R, auf dem beschriinkten Gebiet R ' 8 2

beschrieben. In der Darstellung TH. 17. KLRMLNS genugt diese Funktion einem System von partiellen Differentialgleichungen 1)

42F = BL(u,u) in R. Hierin stellt q die senkrecht zur Mittelflache wirkende Last dar,

a?v a j u ,yv a?v aru L(u,v)= 2 - __- - -

ax,ax2 ax, ax, ax: ax: ax; @' (2)

h E D 2

CI = -, /3 = - und D sind positiveKonstanten, h bezeichnet die Plattendicke,

D die Steifigkeit und E den Youngmodul des elastischen Materials. SchlieBlich ist F ( 2 1 , xz), (xl, x2) E 52, das Potential der Plattenkrafte, die teilweise von Lasten parallel zur Mittelflache herruhren.

Bei der Untersuchung des Beulproblenis fur eingespannte Platten setzen wir

(3) q(x1,x'J = 0 .

Die auf3ere Last wirkt also parallel zur Mittelflache und sei durch das Spannungs- po ten ti a1

(4) v " = p z

mit der hinreichend glatten Funktion z (xI , xL) vorgegeben. Zur Eiiifuhrung von Operatoren gehen wir zuniichst von dein Rauin C,(Q) der in 0 = R u aR viermal stetig differenzierbiren Funktionen aus. Wir verlangen z E C, (0) und setzen F = v + v,,. Alsdann nehmen wir die Existenz einer Losung der Gleichungen ( 1 ) an, in der die Wolbungsfunktion u und der Anteil v des Potentials F Elemente

1) Siehe z. B. [l].

182

des Raumes C4(Q) sind,

Langenbach, Bifurkation und differenzierbnre Zweige von Eigenfunktionen

0

0 1 au 2U { GX, 2x2 C4(Q) = u E C4(Q); u(x) , 7 (x), ~ (x) = 0 x E a 9 . Zur Vereinfachung der Sehreibweise nehmen wir noch an, daB x Losung der Gleichung (1) unter der Annahme u (xi, x2) = 0, also

(5 ) A % = O in 9 .

x ist damit Losung des Problems des ebenen Spannungszustandes der linearen Elastizitatstheorie. 2) Die Losungen dieses Problems sind gut bekannt. Wir erhalten somit fur das Beulproblem der KBRnihschen Plattentheorie das folgende Gleichungssystem :

(6) d*u=ilL(u,z) -C(L(U,V),

d2.u = L(u, u) , U , v E C4(Q).

Wir erwarten: fur I 1 1 = tl I ,u I hinreichend klein besitzt das System (6) die einzige Losung u, v = 0, also

( 7 ) U ( X f , X 2 ) = 0, F ( x , , 2 , ) = p z ( x 1 , x 2 ) .

Die BuBeren Krafte, die parallel zur Mittelflache wirken, erzeugen lediglich einen ebenen Spannungszustand. Fur hinreichend groBe I il j mag es neben dieser trivialen Losung auch nichttriviale Losungen von (6) geben. Sie beschreibeii einen Beulzustand. Anliegen der Beultheorie ist die Berechnung kritischer Beul- lasten (hier dargestellt durch den reellen Parameter A ) , bei denen ein Ausbeuleii moglich wird, und die Beschreibung des Beulverhaltens nach dem Uberschreiten der kritischen Last.

Das Beulproblem als nichtlineares Eigenwertproblem

Beginnen wir mit der Bemerkung, daB man den Differentialausdruck L (u, v ) fur U , w E C4 in Divergenzform schreiben kann:

--- ___ __

Wir setzen nun voraus, da13 der Rand X ) die Anwendung des GAussschen Satzes zu15i13t und verjungen dss System (6) mit einem Element h E C4.9

2) Siehe z. B. [2]. 3) Man beachte

iir u, 21 E c,.

Langenbach, Bifurkation und differenzierba,re Zweige vbn Eigenfunktionen 183

82.z au 8h a 2 x au ah -+--- $2 8u ah

n

} dx 2% au am - ~ ~ _ _ _

ax, ax2 ax, ax2 a2v au ah 8% d u ah 2% au 6h _-- - -+-- ax; ax, ax, ?x, E X ~ ax,, ax, ax; ax2 ax,

D

a2v au ah zXl ax2 PX, ax,

c ----a X i , j = i axi axi axi axj

a2v a2h

a2u au ah ?%c iu ah 2% 6 u Ph

n s ---- + ax; ax, %x, EX, ?x2 ax,, a ~ , a ~ ; ax, ax2

R

Pu %u ah - _ _ _ ~ - - - ax, ax,, axi ax,

Fur die weitere Behandlung des Systems (9) benotigen wir die SoBoLEw-Raume

W i (9) und W: (9). Es gilt C4 & W i n TYZ; die AbschlieBung von C, in W i nennen wir Ho. H , ist Unterraum von W ; und mit dem Skalarprodukt

0 0

HILBERT-Raum. Auf H , ist die durch das Skalarprodukt (10) definierte Norm der Norin des Raumes W i aquivalent. Auf W t wahlen wir die Norm

Es gilt der folgende Einbettungssatz :

Satz 1 . 4 ) 9 & !R2 sei Vereinigung endlich vieler beschrankter miteinander xusarnmenhangender bezuglich innerer Kugeln sternformiger Gebiete. Dann ist der Einbettungsoperator E E (Wb(sZ) 4 W : ( 9 ) ) f u r 0 5 k < 1, p > 1 und

(beliebig, falls 2 - ( 1 - k ) p 5 0

, falls 2 - ( I - k ) p > 0 2 - ( 1 - k ) p

erlilurt u n d vollstetig ( W l = Lg).

4, Die hier angefuhrten Eigenschaften der SoBoLEw-R,aume findet man z. B. in [3].

184 Langenbach, Bifurkation und differerlzierbare Zweige von Eigenfunktionen

Wir benotigen eine offensichtliche Folgerung aus Satz 1 :

Korollar 1.1. Bedingungen wie in Satz 1. Dann i s t der Ei?zbettungso~ercctor

Im folgenden nehmen wir immer an, daB Q sowolzl die Bedingungen des

Nach Korollar 1.1 existiert eine Konstante v > 0 derart, daB

E E ( H , + W i ) beschrankt und voblstetig.

GAussschen Satzes wie auch die Bedingungen des Einbettungssatzes 1 erfiillt .

(12) !I u l14,i 5 aJ /I 2.5 II E Ho. In den Gleichungen (9) kommt das Funktional

a2w a% ah 8w au ah @ ( u , w ) h = ~ -

ax; 2xl %x, ax, ax2 ax, ax,

a2w at& zh a ~ , ax2 ax, ax, I. dx

(13) R s( azw au ah ax; ax2 ax,

+

vor. Fur fixierte u, w ist @ (u, w) ein lineares Funktional. Nach der ScHwARzschen Ungleichung gilt fur beliebige i, j , k, 1 = 1, 2

R R

Mit der Norm

des Raumes W i erhalten wir fur w E W i u E W i h E H ,

(15)

Nach dem Rmszschen Satz uber die Darstellung beschrtinkter linearer Funktio- nale erkliiren wir nun den Operator

I @ (U, W ) h I 5 4 I I W Ih, 2 II U 114, I II h I I4 ,1 5 4 V II W II2,2 I! U 114, I I! h II *

BE (w: x w; -I?()),

(16) ( B (u, w ) , h ) = CD (u, w) h . Der Operator B ist bilinear; aus (15) ersehen wir die Abschtitzung

(17) II B(u, w) II 5 4 v I1 w 1/2,2 /I 114,1 w E w;Y E w:. Fur die Einschrtinkung B, € (Ho x Ho -, H,) des Operators B erhalten wir die Abschiitzung

(18)

(19)

II B,,(u, w) /I 5 4 v 2 / I w ll II 24 / I w, 24 E Ho.

u = 1 B(24, z ) - cx B,,(zc, w), v = p &(u, u), Das System (9) schreiben wir nun in der Form

Langenbach, Bifurkatioii und differenzierbare Zweige von Eigenfunktionen 185

woraus wir durch Einsetzeii unmittelbar zur Operatorgleichung

(20) u = 2 B(%, Z ) - U P Bn (u, &(u, u ) ) komrnen. Diese Gleichung bestimmt die Beulfunktionen u ; wir betrachten sie fur vorgegebene xE W i und suchen Eigenwerte A € 8 zu Eigenfunktionen u E Ho. Die Operatorgleichung (20) betrachten wir als die Beulgleichung der K~RM.hschen Plattentheorie fur eingespannte Platten. Die darin enthalteiie Verallgemeinerung des Losungsbegriffs entspricht der allgemein ublicheii Me- thode der schwachen Losungen von partiellen Differentialgleichungen.

Einige Eigenschaften der Operatoren in der Beulgleichung (20)

Lemma 1. Der Operator B ( . , x ) E ( H , ---f HI,) ist fur jedes z E W: vollstetig, linear und selbstadjungiert.

Beweis. i) Sei {u,} & H , eine beschrankte Folge. Nach Korollar 1.1 ist der Einbettungsoperator E E (Ho --f W:) vollstetig; es gibt daher eine Teilfolge {u:} (urn}, fur die Eu: -+ v E W:. Wir bezeichnen die Elemente Eui wieder mit u:. Dann gilt mit (17)

II B(%;+p, 2) - B(47 z ) ll = I / B(u,',,, - 2) II 5 4 y II 1/2,3 ll 4 , p - u,: 114, I .

Wir konnen also aus der Folge { B (u,, z ) } & No die Fundamentalfolge { B (u:, z ) } auswahlen. B(- , z ) ist damit vollstetig.

ii) Der Operator B ( - , z ) ist nicht nur linear, sondern wegen i auch beschrankt und stetig.

ii i) Betrachten wir fur beliebige u, h E H , und beliebig fixiertes z E FV; das Funktional ( B (u,z), h) = @(u, z ) h aus (13), welches wegender Einbettung Ho --f W: sicher erkliirt ist. Offensichtlich ist B ( - , z ) symmetrisch auf Ho und damit selbstadjungiert. Lemma 1 ist damit bewiesen.

Lemma 2. Der Operator C E (Hn -+ H,,), Cu = B,(u, u) , ist vollstetig.

Beweis. i) Zeigen wir zunachst

(21) Bo(u, V ) = B,(v, U ) ZL, v E H,.

Da C, dicht in H,, wahlen wir zu gegebenen u, v E Ho Folgen 0 {%I, (V,} 5 c47 urn ,= u7 V , 7 L - o a - v.

(Bo (u,, urn), h ) = j - L (%, V R ) (4 dx = j- L (vn7 u,) h (4 Dann ist

R R

= (B~(v , , u,), h ) , also Bo(un7 v,) = B o ( V n , un) V n.

Aus (18) ersehenwir die Stetigkeit von Bo E ( H I ) x Ho - HO), damit gilt auch (21).

186 Langenbach, Bifurkation und differenzierbare Zweige von Eigenfunktionen

ii) Sei nun {u,} Ho eine beschrankte Folge. Mit Hilfe von Korollar 1.1 wahlen wir wieder eine in Wi konvergente Teilfolge {ui) & {u,} aus. Dann gilt

/I CU:E+~ - CU; II = II Bn(u,:+,, - Bn(u,;, ~2 II 5 I1 Bn(4+. - 4 9 u.;+p) I1 + I1 Bo(G U i t D - 4) l l 5 4 aJ (I1 u.;+p l / 2 , 2 + I/ .; 112,a) I/ ui+p - 4 l l l , 4

wegen (17). Die Norinen I] * 1 1 und/j * 1 1 2 , sind auf Ho aquivalent ; (Cu;} ist daher Fun- damentalfolge, q. e. d.

Lemma 3. Der Operator D E (Ho 4 H(,), Du = Bo(u, Cu), ist volbtetig.

Beweis. Sei {uJ H , eine beschrankte Folge, { ? h i } { u ~ ~ ) eine in W: konvergente Teilfolge. Wir finden

(I Du~+, - DU:, I1 = I1 Bo(2Lltpt Cu9:+B) - BO(U?;, Cui) I 1 5 II Bn(ui+p - ~i, CU~,,) II + / I Bo(u;, c ~ k + ~ - QaJ Ii I 4 v ( / I C L , IhJ I / U i t , - 4: 111, 4 + II 4 I l l , 4 II c 4 l + p - cu; 112,2}

wegen (17). Auf Ho sind die Normen 1 1 - j l und 1 1 . iiqujvalent. uberdies ist C E (Ho + 23,) vollstetig nach Lemma 2 . Wir kohnen daher eine Teilfolge {un } & (ui} auswahlen, fur die {CU;’} Fundamentalfolge in Ho ist. Dann ist auch ( D z c ~ } Fundamentalfolge in Ho. Lemma 3 ist damit bewiesen.

Lemma 4. Der Operator D E (Hn 4 Hn), Du = &(u, CU) = B n (U, Bn(u , u ) ) ~ isf FRJkHET-dvferenzierbar auf Ho und

( 2 2 )

, I

D’ (u) 21 = 2 Bo (u, B,(u, v)) + B n ( ~ ’ 9 Bn( t&, u)). Beweis. Sei w (u, v) = D (u + v) - Du - D’(u) v. \T7ir finden mit der Sym-

B, (ZC + v, Bo(u + 21, u + v)) = B n ( ~ 2 Bn(u, u)) + 2 B n (u, B n ( u , v)) + Bo (v, B,(u, u ) ) + 2 Bo ( v , Bn(u, v)) + B n (u, &(v, v)) + B n (v, Bn(v, v))

Ii w ( u , v ) Ii 2 16 V’’ II 1 1 2 (3 II 21 II + I1 v I l l .

metrieeigenschaft (31) zunachst

und dann mit der Ungleichung (18)

(23) I n der Zerlegung

(34) r > ( ~ + V ) - DU = D’ (u) + w

ist der lineare Operator D’(u) E ( H , - H,) in jedem u E Ho beschrankt,

( 2 5 ) und das Restglied w erfiillt die Grenzwertbezjehung

I1 D’ ( u ) v II 5 48 V‘‘ II u 1 1 2 II v II 3

q. e. d.

Bezeichnen wir mit [Ho + H,,] den Raum der beschrankten linearen Ope- ratoren von Ho in Ho.

Langenbach, Bifurkation und differenzierbare Zweige von Eigenfunktionen 187

Lemma 6. A u f j e d e r beschrankten Teilmenge G C H,, ist die Abbildung

D’ E ( H n - CHn - NnI) LIPSCHITZ-Stetig .

Be w e i s. Sei v E Hn beliebjg und ul, u2 E G. Es gilt

II D’(uui) v - D’(u2) v /I 5 2 /I Bn ( ~ 1 , Bn(ui, v ) ) - Bo (uz, Bo(uz, v)) /I + It B n (8, Bn(ui, ui)) - Bn(v, Bn(u2, ~ 2 ) ) I /

5 2 II Bn (ui - 212, &(ui Q ) ) II + 2 II Bo (%a Bn(ui - u2, v)) II

I 48 v4 ( 1 1 u1 I1 + II u.2 1 1 ) ll U1 - a2 I I II v I I . + I1 B n ( v , Bn(ui - ~ 2 , ui)) II + II B n ( v , Bo(uz, 211 - ~ 2 ) ) I /

Falls nun sup I/ u 1 1 = O, 50 gilt fur die Operatorennorm auf [H, + HO] die Ab-

schatzung u € G

( 2 7 ) I \ D’ (u~ ) - D’(u.2) / / (= 96 Y“ o 11 211 - Z G ~ / I , y. e . d.

Lemma 6. In jedem u E Ho ist D’(u) E [H,, - HO] selbstudjungiert.

Beweis. DefinitionsgemiiB ist fur U , x , w E Ho

(Bo(ZG, x ) , w ) = @(u, 2 ) w = @(w, 2 ) u = (B,(w, z ) , u)

(Bn(u, Bn (u, v ) ) , W )

(Bn(v, Bn (u, u)), W ) = (Bn(v, w ) , Bn(u, u)) ,

(D’ (u) v, w) = (D’ (u) w, v) u, v, w E Ho.

nach (13). Da uberdies B,(w, z ) = B,(z, w ) gemaB (21), finden wir

(Bo(u, w ) , Bo(u, v ) )

also

(28)

Fassen wir die wichtigsten Ergebnisse noch einmal zusammen.

(20) ist vollstetiger u n d FR&CHET-di fferenxierbarer Potentialoperutor. 5, Satz 2. Der Operator D E ( H , + H,), Du = Bn (a, Bo(u, u)), in cler Gkichung

Das Beulproblem‘als Bifurkationsproblem

Die Beulgleichung (20) besitzt fur jedes il E ‘8 die Losung Ug = 0 E Hn, die den1 ebenen Spannungszustmd entspricht. Daneben mag es zu gewissen il nichttriviale Losungen geben. Diem Losungen sind Eigenfunktionen der Beulgleichung, die entsprechenden il Eigenwerte. Gibt es zu einem 10 E ‘8 eine Folge von Eigen- werten {An}, lim 1, = iln mit Eigenfunktionen zc,, lim u, = 0, so heiBt i l n Bifur-

kntionspurikt der Beulgleichung (20) . n-j - n-a7

5 ) Die Lemmata 3-6 gewghrleisten auch die Potentialeigenschaft, siehe z. B. [4].

3 88 Langenbach, Bifurkation und differenzierbare Zweige von Eigenfunktionen

Die stetige Abbildung eines Intervalls 3 & '9? in Ho heil3t Weg in Ho. Gibt es eine stetige Funktion A ( t ) t E 3 derart, dal3 der Weg u ( t ) t E 3 in Ho die Glei chung

(29) u = A ( t ) B ( ~ ( t ) , X ) - tc /3 Bo ( ~ ( t ) , B,(U ( t ) , 24 ( t ) ) ) t E 3 erfullt, so nennen wir diesen Weg auch Trajektorie der Gleichung (29). Die ITerte einer Trajektorie u ( t ) t E 3 der Gleichung (29), fur die It u ( t ) It > 0, sind offenbar Eigenfunktionen der Beulgleichung (20). Wir stellen uns nun die folgende Aufgabe (BP) :

Gesucht sind eine Trajektorie u( t ) t E [d, t o ) und eine stetige Funktion 1 ( t ) t E [d, to) derart, da13

1 1 u(t) 1 1 > 0 t E (d , t o ) und I1 u ( d ) 1 1 = 0.

Da wir bei der Losung dieser Aufgabe auf die Theorie der autonomen Differentisl- gleichungen zuruckgreifen wollen, lassen wir auch den Wert d = - 00 zu; zc ( d ) und 3, ( d ) sind dann die entsprechenden Grenzwerte.

1st die gestellte Aufgabe losbar, so ist 3, ( d ) Bifurkationspunkt der Gleichung (20).

Lemma 7. Die Aufgabe BP sei losbar. Dann ist A ( d ) charakteristische Zahl des Operators B (* , Z) E (Hn + H o ) . 6 )

Beweis. Nach Lemma 1 ist B(- , z ) fur jedes z E linear, vollstetig und selbstadjungiert, besitzt also charakteristische Zahlen.

lo sei nicht charakteristische Zahl von B(., z ) . Dann gibt es eine positive Zahl m derart, daB

(30) ti - l o B(u, 2 ) /I 2 rn II u II u E Ho.7) Nehmen wir nun an, lo sei Bifurkationspunkt der Gleichung (20). Dann gibt es Folgen (A,} % und (u,> E H o ,

(31) 2% = AtI B(u, 4 - p Bo (a,, Boju,, %)) 9

Iju,II>O n = l , 2 , . . . , lim []u,II=O, lim A,=&. n- rn n- 00

Mit der Zerlegung (24) gilt dann

oder u, = A, B(u,, z ) - 0: p w ( 0 , u,)

/I %l - 20 B (% z ) ll 5 I 1, - 1 0 I /I B @,, z ) /I + 0: B /I w (0, a n ) iL n = 1 , 2 , . . .

Mit den Ungleichungen (30) und ( 1 7 ) erhalten wir daraus

c, Vgl. [ 5 ] ; dort wird ein iihnliches Resultat bewiesen. 7, Diese Eigenschaft liegt der Definition der Resolvente zugrunde, siehe z. B. [6].


was in Anbetracht der Grenzwertbeziehung (26) fur grol3e n sicher falscli wird. Der erzielte Widerspruch beweist das Lemma.

Die Aufgabe B P ist sicher nur dann losbar, wenn L(d) charakteristische Zahl von B (., z ) . Da die charakteristischen Zahlen dieses Operators vom Element z E V'; abhangen, welches die Belastung der Platte reprasentiert, schranken wir die zulassigen zE Wi ein. Wir nennen ein xE W?j nunmehr zulassig, wenn die folgenden Bedingungen erfullt sind:8), 9) i,) B ( - , x ) ist positiv.

iil) B (*, z ) besitzt eine einfache charakteristische Zahl lo.

Das Bifurkationsproblem BP und implizite Funktionen

Das Element z E W i in der Gleichung (20) sei zulassig. v E H , sei die nor- mierte Eigenfunktion des Operat,ors B ( - , z ) zum Eigenwert &,, @ = 2 {p), E = H,, 0 @. Die orthogonalen Projektoren auf @ und (3 bezeichnen wir mit P, bzw. P,. Dann schreiben wir die Gleichung (20) mit A = A" + t und

~ = a v + e , e € E in der Form

(32)

(33)

p, {e - Lo B(e, 4 - z B(e, 2) + .B D ( a 9 + e ) } = 0,

P, { - z B (a v, z ) + CI D (a 9 + e )} = 0.

8 ) GemiiB (4) wird die iiuBere auf die Platte wirkende Last durch das Element vo = ,u z dar-

gestellt. Der Weg vo(t) = ~ z t E [d, to) in W: stellt somit einen BelastungsprozeB dar. Die

Bedingung i, besagt, dal3 jede charakteristische Zahl A, des Operators B ( - , z) , bei der nach Lemma 7 eine Bifurkation erfolgen kann, positiv ist. 1st das Problem BP losbar fur A ( t ) t E [d, to) und

I ( d ) = &, so setzen wir die Wege z 0 2 t 5 3.0 und ~ $ 2 ) ( t ) = - z t E [d, to) zu

einem ,,Belastungsvorgang" zusammen, der bei 0 E W i beginnt und im Punkt ~ & ~ ) ( t ~ ) = ~ z

endet. Dann stellt die Trajektorie ul(t) = 0 E Ho 0 d t 2 A. mit der Losung uz(t) t E [d, to) des Problems BP einen durch die Belastung hervorgerufenen Beulvorgang dar, der einer stetigen

Deformation der Mittelfliiche entspricht. Der Wert - z E Wz entspricht der kritischen Last,

bei der die Ausbeulung beginnt.

W) U

t ( t ) ( t ) =

U U

A ( to) U

3.0 U

$ I ) Betrachten wir ein Beispiel. Es gelte 6' 20 62 2.0 a= 20

ax; ax; T - T,, = - __ = const, Ti, = ~ = const, T2, = ~~ = const. 12 - ax, ax,

Unter den Bedingungen (*) ist zo sicher Losung der Gleichung (5). Wir finden

Der kleinste Eigennert po der symmetrischen Matrix {Tij} sei positiv. Dann gilt


Weiter verfahren wir nach dem folgenden Schema. Wir losen zuniichst die Glei- chung (32), wobei wir (a, z) als Parameter in einer Umgebung 8 des Nullelements von W2 auffassen und erhalten eine eindeutig bestimmte Losung e(a, z) in E. Nit dieser Losung gehen wir in die Gleichung (33) ein und losen das Problem BP fur die Gleichung

(34) Die Trajektorie u ( t ) = a ( t ) v + e (a ( t ) , z ( t ) ) mit 1 1 u ( t ) 1 1 2 I a ( t ) I lost dann das Problem BP fur die Gleichung (29).

(35) lo ist nicht charakteristische Zahl des linearen selbstadjungierten vollstetigen Operators B (-, x ) E (Q, E).

'

- t ( t ) a ( t ) B(q, z ) + K P, D (a ( t ) p + e (a ( t ) , z ( t ) ) ) = 0.

Die Gleichung (32) formulieren wir als Fixpunktproblem

e - Lo B ( e , z ) = z B (e , x ) - K ,!3 P, D (a 9 + e ) .

Daher existiert das Inverse

K = [I - Lo B(., z) ] - ' E (E, E), und es gilt

(36) 1 ) K / I 5 1c = const.

Wir gelangen so zur Gleichung

( 3 7 ) Die rechte Seite in (37) ist lokal LIPSCHITZ-stetig. Fur e l , e2 E (3 erhalten wir die Abschiitzung

(38)

e = t K B ( e , z ) - uBKPa B ( a cp + e ) .

ll t K B ( e l , z ) - a B K P , D (a v + e l ) - t K B ( e2 , z )

+ E,!3KP@ D ( a v + e2) / I 5 I 'G I % / I B ( e 1 - e 2 , 2) II + aB x II D(av + e l ) - D ( a c p + e2) I I 5 4 I t I x v211 112.2 I / el - e2 I / + a B x II B, (el - e2, c(a cp + el)) / I + a B x l l B o ( ~ v + e z , C ( a p , + e 1 ) - - C ~ P + e z ) ) I l

5 4 I 'G I v2 II z t12,z / I el - e2 II + B 1c 16 v4 / I a 9 + el 1 1 2 I/ el - e2 II + a B x 4 v2 /I a v + e2 I / I / c@ v + e l ) - c(a v + e2) I /

i II el - e2 /I (4 I I x v 2 / I 2 Il2,2 + 16 v" K B x (a2 + II e l 112) + ~ ~ ~ ' I Q B ~ ~ ~ / ~ I + l I ~ l l l + l l ~ z I / ~ ~ I ~ l +llezll)>Y

wenn wir die Ungleichungen (12), (17) und (18) benutzen. Durch Anwendung des BANACHschen Fixpunktsatzes erhalten wir den folgenden Existenzsatz :

Kuge l @(@, r ) = {e E @; 1 1 e / I S r> derart, dap die Gleichuny (37) fur jedes Satz 3. Es gibt e ine Umgebung 8 8 2 des Nullelementes 0 E 8 2 u n d eine

(a, z) E 8 eine eindeutig bestimmte Losung e (a, z) E a(@, r ) besitzt.

Langenbach, Bifurkation und differenzierbare Zweige voii Eigenfunktionen 191

Die Abbildung e E (@ + E) ist stetig. 10)

damit durchfuhrbar. Der erste Schritt des skizzierten Losungsschemas fur das Problem BP ist

Losungseigenschaften der impliziten Operatorfunktion (32)

Fur (a, t) E @ definieren wir die Operatorfunktion

P ( e , a , z ) = e - z K B ( e , z ) + ~ , 4 K P ~ D ( a ; p l + e ) .

Fur zulassiges z E

(39) gemaB Satz 3 genau eine Losung e (a , z) E 0..

uiid beliebige (a, z) E @ besitzt die Gleichung

P ( e , a, z) = 0

Lemma 8. Die Losung e (a, z) der Gleichung ( 3 9 ) ist irn Existenzgebiet @ %2,

welches in #atz 3 errnittelt wurde, LIPSCHITZ-stetig, zcnd es g i k

(40) e ( 0 , 0 ) = 0, e(a , z) = o(I a I + 1 T I ) . Beweis . Fur beliebiges e E a(@, r ) und fur (ai, tl), (a2, 7 2 ) E 8 finden wir

(41) /I P (e, a1 , ti) - P (e , a 2 9 4 I1 5 I T I - t 2 I x I1 (e, 2) I1 + a B x I IDh 91 + e ) - D(a2 Q1 + e ) I1 5 I TI - t 2 I4 v2 x /I 112,2 II e l l + fx B x I/ Bo ((a, - a21 pl, C(a, pl + 4) / I + a B It /I &I (a2 91 + e , C(a1 pl + e ) - C(a2 pl + 4) l l

~ 4 ~ V ' l l Z 1 1 2 , 2 / 1 ~ I l I T 1 - % + a , 4 ~ ~ ~ ~ 4 1 1 ~ l g , + e l 1 2 / ~ , - - 2 1

+ aBx4v211 ~ Z ( P + ell I / C(alpl + e ) - C(azpl + e ) / I 5 4 1~ v2 1 1 z 112, 11 e 11 I tI - z2 I + (16 v4 B ~t (4 + I I e 1 1 2 ) + 16 V" a /3 x ( 1 I + II II) (2 I / e II I I I a2 I)) I - I -

Wie schon bemerkt, ist die rechte Seite in (37) fur (a, z) E @ gleichmahig strikt kontraktiv. Dies bedeutet, da13 fur (a, t) E @ und ein y = const > 0

(42) ( P ( e l , a, t) - P ( e 2 , a , t), el - e2) 2 Y I1 el - e2 IP,

P ( e ( q , TI) , a1, TI) - p @(a, , %),a, , .2) = 0, also P(-, a, t) E (0. --* @) auf @ stark monoton. Nun ist

wenn e (ai, zi) i = 1, 2 die Losung der Gleichung (37) zum Parameterwert (ai, ti). Daher ist

o = ( P (e ( a l , ti), a I , zL) - P (e (a,, z d , a,, t,), e (a1 , TI) - e (a2 , ~ 2 ) )

+ ( P ( e (a,, z2), a l , z,) - P (e (a,, zz), a,, z,),e (at , 71) - e ( ~ 2 , zz))

10) Die Stetigkeit der Losung e (a , t) folgt daraus, da13 die Kontraktionskonstante in (37) bei geeigneter Wahl des Gebiets 65 yon (a, t) unabhlngig fixiert werden kann. Siehe auch Lemma 8


und wegen (42), (41)

(43) II e (a1 9 t l ) - e (a2 3 Z2) II

5

5 - x +I1 112,2 ll e(a2, .2) II I T I - t 2 I

+ - (16 174 4 P 1~ (a? + II e (a2, z2) 112

+ 16 v4

x l a 1 - - 2 I .

1

Y 4

Y

I I P ( e ( a 2 A , % . i ) - P ( e ( ~ , , Z z ) , a z , t 2 ) I1

1

Y B x ( I a2 I + II e:(a.2, .A I I ) ( 2 / I e(a.2, t 2 ) I1 + I a1 I + I a2 I ) >

Benutzen wir auf der rechten Seite in der Abschatzung (43) die Ungleichungen

j at I, I a2 1 5 g = const., falls (aI, ti), (a2, t2) E und

I I e ( a 2 , 9 ) I / 5 r (e E iw, r ) ) ,

so liefert (43) die LPSCHITz-Stetigkeit der Losung e (a , t ) , (a, z) E a.

mit der LIPscHITz-Stetigkeit ergibt sich daraus e (0, 0) ist offensichtlich die Losung der Gleichung P ( e , 0,O) = 0. Zusammen

(44)

fur eine geeignete Konstante L. Wenden wir uns noch einmal der Ungleichung (43) zu, in der wir ( a L , zi) = (0, 0 ) und (a2 , z2) = (a , z) setzen. Wir erhalten mit (44) dann

11 e (a, I1 = 11 e (a, 4 - e (0, 0) I/ 5 L (I a I + I = I )

16

Y x L 2 ( l a l + l z l ) ' +

x ( I a l + 2 L ( l a l + l ~ l ) )

y * a P X ( l a I + L ( I a / + 1 . 1 ) )

oder die Eigenschaft (40). W r sagen, die Funktion e (a, z) ist FREcHET-differenzierbar, wenn

iie ae %a at e (a + d a , z + dz) - e (a, t) = - d a + - dt + w, (a, d a , z, At) (45)

mit

-0. I1 Q, (a, d a , t, At) I1

1 d a I + I0,i Idalildrl-0 (46)

Lemma 9. Ineiner Umgebung a1 & Bvon O E 82 i s t die Losung e (a , t) der Gleichung (39) FR&CHET-differensierbar. Die partiellen FRfCHET-Ableitu?zgeiz i'e %e - und - sind LIPSCHITZ-Sktig. La i:t


Beweis. Wir schreiben

0 = P ( e ( a + Aa, t + dt), a + Aa, t + At) - P(e(a , t), a, t) = e(a + Aa, t + A T ) - e(a, z) - (t + At)

x K B ( e (a + da, t+ A t ) , z ) + t K B ( e (a, t), z )

- D ( a v + e(a, t))} fur (a, t) E 8 + EpKP, ( D ( ( a + Aa) v + e(a + da, t + A t ) )

oder

(47) e(a + Aa, t + A t ) - e(a , t) = t K B ( e (a + Aa, t + At) - e (a, t), z )

- ccpKPeD’(ap + e(a, t)) (e(a + Aa, t + A t ) -e (a , t) + d a q ) + A t K B ( e (a, z), z ) + G~ (a, Aa, t, A t )

G~ = A t K B ( e (a + d a , t + A t ) - e (a, t), z )

mit

+ w ( a p + e ( a , t ) , d a v + e ( C G + ~ C G , t + d t ) - - ( ~ , t ) ) .

Dabei ist w (u, v) U , v E Ho bestimmt durch die Zerlegung (24), und es gilt

In der Zerlegung (47) tritt der Operator Q € ( H , + H,)

Qu = t KB(u , z ) - cc B K P , D’(a p + e(u, 7)) u

auf. Wir schatzen ab: Mit den Ungleichungen (17) und (25) erhalten wir

/I QU - QV I/ 5 I t I x 4 v2 /I 2 Il2,z /I u - v /I + d x 4 8 v ’ . ( a 2 + I Ie(a,~)112)Ilu--vll.

Beriicksichtigen wir noch die Ungleichung (44), so iiberzeugen wir uns davon, dalS in einer Umgebung @, I - Q stark monoton, etwa von 0 in 82, GII

(48) (U - QU - ZI + Qv, u - V ) 2 6 I / u - v 112

mit 6 = const > 0, wenn u, v E Hn und (a, t) E das Inverse (I - Q ) - 1

existiert daher und ist gleichmaaig beschrlnkt: 1 1 (I - Q)-I 1 1 5 - . 1 6

Dann erhalten wir aus (47)

(49) e(a + dcc, t + A T ) - e(a , t) = A a ( I - Q ) - I ~ B K P ~ D ’ ( a p + e ( a , t ) ) c p + d t ( I - Q ) - l

x K B (e (a , t) , z ) + ( I - Q)-l G e ( a , Aa, t, A t ) . 13 Math. Naehr. Bd. 61


wegen Lemma 4 und Lemma 8. Aus der Zerlegung (49) ergibt sich damit die Existenz der partiellen Ableitun-

ae ae gen - und - in sowie die Darstellung

aa az

ae ( I - &) - = K B ( e (a, t), 2). at

Aus der Darstellung (50) erhalten wir


und mit (48)

Wir konnen zur weiteren Abschltzung die Ungleichung (27), nochmals die Dar- stellung (50) und schliel3lich die Ungleichung (25 ) verwenden. So erhalten wir

fur (a2, t2) E @I und schliefilich

ae Mit e (a, t) ist daher auch - (a, t) Lipschitz-stetig in

aa

Analog errechnen wir

Lemma 9. ist damit vollstandig bewiesen. 13’

196 Langenbach, Bifurkat>ion und differenzierbare Zureige von Eigenfunktionen

Die implizite Operatorfunktion (33) und autonome Differentialgleiehungen

Die Gleichung (33) erhalt da.s Aussehen

(51)

Ein Weg u( t ) t E (d, to) in Hn heifit differenzierbar in t,, wenn fur ein Element a‘ ( t*) E H n

- z(B(ap ,z) , p’) + qqD(aP , + e ( a , Z))? Y ) = 0 .

u. heiBt differenzierbar in (d, to), wenn in jedem t E ( d , to) differenzierbar.

Lemma 10. (af t ) , t ( t ) ) sei e i n differenzierbarer W e g in &. Dann ist

e ( t ) = e ( a ( t ) , ( t ) ) ein differenzierbarer W e g in &.

Beweis . Nach Lemma 9 ist

e (act + A t ) , z ( t + A t ) ) - e ( a ( t ) , z ( t ) ) - %e a( t + A t ) - a ( t ) - - .___~.

At 2a At

ae ~ ( t + A t ) - t ( t ) + - _ _ _ ~ ~ - az A t

w , ( a ( t ) , a . ( t + A t ) - a ( ( t ) , z ( t ) , z ( t + A t ) - t ( t ) ) -I- I a( t + At ) - a @ ) I + I z ( t + At ) - z ( t ) I

~ a ( t + A t ) - a ( t ) I + t ( t + At ) - t ( t ) _ _ _ ~ ~ _ _ ~. -~ ~-

At i i At

und, da der Weg ( a ( t ) , z ( t ) ) differonzierbar,

(53)

fur t E (d, t o ) ,

W e g e ( t ) = e ( a ( t ) , z ( t ) ) sei die Gleichung

(54)

y. e. d.

und d e n Lemma 11. Fur einendifferenxierbaren W e g (a ( t ) , z ( t ) ) t E ( d , to) in

R ( W , N) = - z ( t ) ( B ( a ( t ) p,x), p)

+ cc ( D (a ( t ) p + e W), v) = 0 t E (d, to)

erfiillt. D a n n gilt

(55 )


und

aufgrund der Differenzierbarkeit des Weges e ( t ) in @. Da uberdies die Operatoren B ( - , z ) , D’ (a( t ) tp + e ( t ) ) E [H, -+ H,], d. h. linear und beschrankt, also auch stetig, erhalten wir (55) nach Division durch At und anschlieBenden Grenziiber- gang, g. e. d.

Die Beziehung (55 ) schreiben wir nun in der Form

(56)

- ( B ( a ( t ) p, z ) , p) = 0 . 1 Betrachten wir neben (56) das System autonomer Differentialgleichungen

+ B (D’ (a ( t ) 9 + e ( t ) ) p, 9) t E (a7 t o ) .

Lemma 12. Der differenxierbare W e g (a ( t ) , z ( t ) ) t E ( d , to) in 81 moge Losung des autonomen Xystems (57) se in . Uberdies gelte

lim a ( t ) = lim z ( t ) = 0 . 1-d+ t-a+ (58)

Dann i s t dieser W e g auch Trajektorie der Gleichung (54).


Beweis . MitHilfevon (57)erhalt (56) dasAussehenn‘(1) t ’ ( t ) - z’(t)a’(t)=O. Aus ( 5 5 ) erhalten wir dann

(59)

lassig und liefert fur die Konstante den Wert 0, q. e. d.

R ( a ( t ) , z ( t ) ) = const.

Der Grenzubergang in der linken Seite dieser Beziehung fur t + d + ist zu-

Beschaftigen wir uns daher mit der Losung der Aufgabe (57), ( 5 8 ) .

Lemma 13. Der Koeffizient (B(p, z ) , p) in dem System ( 5 7 ) ist positiv. Die in a , z 1% ichtlinearen Glieder dieser Oleichung

die durch die Lemmata 8 und 9 garantiert wird, folgt demnach auch die LIP- ScHITz-Stetigkeit der nichtlinearen Glieder in den Gleichungen (57). Die Wachs- tumsschranke o(1 a I + I z 1 ) fur diese Glieder folgt aus der entsprechenden Wachstumsschranke fur e(a , z) in Lemma 8. Lemma 13 ist damit bewiesen.

Satz 4.11) Uiater d e n in Lemma 13 nachgewiesenen Bedingungen definiert dus autonome System (57) e ine Trajehtorie

(a (% z ( t ) ) t E (- 00, 4,) in GL,

11) Satz 4 gibt ein bekanntes Ergebnis aus der Theorie der autonomen Systeme wieder. Der singulPre Punkt (0,O) des Systems (57) ist ein Sattelpunkt, vgl. [ 7 ] , [S].


die d e n Grenzwert (58 ) annimmt u n d iiberdies d ie folgende Eigenschaft besitzt:

(61) a ( t ) > O t E ( - - , t o ) .

Satz 6. z E W ; sei zulassig. Dann ist jede einfache charakteristische Zahl des Operutors B ( a , z ) Bifurkutionspunkt der Beulgleichung. (20) der K h i x h s c h e n Pluttentheorie. In jedem dieser Bifurkationspunkte beginnt eine differenzierbare Trujektorie von Eigenfunktionen der Gleichung (20).

Beweis . Die in Satz 4 erwahnte Trajektorie (a( t ) , z ( t ) ) t E (- 00, to) des Systems (57) ist nach Lemma 12 Trajektorie der Gleichung (54). Die entsprechende Trajektorie e ( t ) = e (a( t ) , z ( t ) ) t E (- 00, t o ) ist nach Lemma 10 differenzierbar und erfullt definitionsgemiifi die Gleichung (32) fur jedes t E (- 00, to). Dann ist der Weg u ( t ) = a ( t ) 9 + e ( t ) t E (- 00, to) differenzierbar und fur jedes t Losung der Gleichung (20). Wegen j ( u ( t ) / I = I a ( t ) 1 + / / e ( t ) / / > a ( t ) und der Eigen- schaft (61) besteht dieser Weg aus Eigenfunktionen der Gleichung (20). Der Grenzwert (58) sichert, da13 I , Bifurkationspunkt dieser Gleichung. Satz 5 ist damit bewiesen.

Literatur

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[3] W. I. SMIRNOW, Lehrgang der hoheren Mathematik V, Berlin 1962. [4] 31. N. WAJNBERG, Variationsmethoden zur Untersuchung nichtlinearer Operatoren. Moskau

[5] A l . A. KRASNOSELSKIJ, Topologische Methoden in der Theorie der nichtlinearen Integral-

[6] L. W. KANTOROWITSCH, und G. P. AKILOW, Funktionalanalysis in normierten Riiumeu.

[7] L. S. PONTRJAGIN, Gewohnliche Differentialgleichungen. Moskau 1961 (russ.). 181 A. LANUENBACH, B. WEGNER und K. WIEDENIANN, Differenzierbare Zweige von Eigen-

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Xoskau 1954 (russ.).

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gleichungen. Moskau 1956 (russ.).

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Bifurkation und differenzierbare Zweige von Eigenfunktionen in der Theorie der KARMANschen Platten