GET2 5 Netzwerkanalyse - uni-due.de · Netzwerk: k Knoten (1) Beim vollständigen Gleichungssystem (Folie 150) z Zweige müssen z Gleichungen gelöst werden. (2) Beim Knotenpotenzialverfahren

1

8. Netzwerkanalyse

Grundlagen der Elektrotechnik GET 2

• Warum Knotenpotenzialanalyse?

• Die Knotenpotenzialanalyse

• Warum Maschenstromanalyse?

• Die Maschenstromanalyse

• Kriterien der klugen Methodenwahl[Buch GET 2: Seiten 276-323]

-333-

Die Knotenpotenzialanalyse I

Warum Knotenpotenzialanalyse?

(1) Vorteile / Nachteile:

• Verringerter Rechenaufwand (+):

Netzwerk: k Knoten (1) Beim vollständigen Gleichungssystem (Folie 150)z Zweige müssen z Gleichungen gelöst werden.

(2) Beim Knotenpotenzialverfahren müssen lediglichk – 1 Gleichungen für k – 1 Knotenpotenzialegelöst werden. Bei grossen Netzwerken gilt imRegelfall: k – 1 < z.

• Keine idealen Spannungsquellen zugelassen (–):

Als unabhängige Anregungen gelten vorerst nurideale/reale Stromquellen und reale Spannungs-quellen (letztere sind in reale Stromquellen umzuwandeln).

-334-

2

Die Knotenpotenzialanalyse II

Warum Knotenpotenzialanalyse?

(2) Vorgehensweise:

(1) Netzwerktopologie formalisieren:Stichwort «Digraph».

(2) Kirchhoffschen Gesetze formalisieren:Kompakte Darstellung für KCL.

(3) Knoteninzidenzmatrix(vollständige und reduzierte Variante)

(4) Zweigadmittanzmatrix

(5) Knotenadmittanzmatrix

(6) Gleichungssystem für Knotenpotentiale(herleiten und lösen)

(7) Algorithmus der Knotenpotenzialanalyse(am Netzwerk nachvollziehen)

(8) Zusammenfassung und Ausblick

-335-

1 2

4

3

i1

i2

i3

i4

i5

i6

k : Knotenpotenziale

iz : Zweigströme

1 2

4

3

Y6Y1

Y5

Y4

Y3

Y2

iq2iq1

i1

i2

i3

i4

i5

i6

Die Knotenpotenzialanalyse III

Die Netzwerktopologie

(1) Variablen:

Beziehung zwischen denabhängigen Variablen istnur durch die Topologiedes passiven Netzwerkesgegeben:

Stromquellen weglassen.

(2) Bezugssystem:

Abhängigen Variablen in einBezugssystem einbetten:

Knoten-Nummerierung k

Zweig-Nummerierung z

Zweigstromrichtung

Gerichteter Graph: «Digraph».

Scheitelwert-zeiger bzw. Effektivwert-zeiger.

-336-

3

1 2 3 4 5 6

i1

+ i2

i4

= 0

i2

+ i3

+ i4

+ i5

= 0

i5

i6

= 0

i1

i3

+ i6

= 0

1 2

4

3

i1

i2

i3

i4

i5

i6

Die Knotenpotenzialanalyse IV

Die Kirchhoffschen Gesetze

(1) Der Knotensatz (KCL):

Knoten / Zweige

Summe = 0 System ist linearabhängig!i

Knotenμ=1

n

= 0(KCL)

Kirchhoffcurrent law

(A) Aufstellen der Knotengleichungen:

k

z

-337-

1 2

4

3

i1

i2

i3

i4

i5

i6

Die Knotenpotenzialanalyse V


(1) Der Knotensatz (KCL):

Summe = 0 System ist linear abhängig!

1 1 0 1 0 0

0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 1

1 0 1 0 0 1

i1

i2

i3

i4

i5

i6

=

0

0

0

0

Ka[ ]

(B) Zugehörige Matrixgleichung:

AllgemeineKnoteninzidenzmatrix

Ka[ ] i = 0

(KCL)

Matrixschreibweise

(C) Allg. Knoteninzidenzmatrix (k z):

kij =

+1

1

0

: Zweig j in Knoten i

: Zweig j aus Knoten i

: berühren sich nicht

j

i z

k

Phasor: komplexer Vektor

-338-

4

K =

1 1 0 1 0 0

0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 1

1 0 1 0 0 1

1 2

4

3

i1

i2

i3

i4

i5

i6

Bezugsknoten

Die Knotenpotenzialanalyse VI


(2) Linear unabhängige Stromgleichungen:

K[ ] i = 0

(KCL)

linear unabhängig

Stromgleichungen werden linear unabhängig:

(i) Reduktion des Gleichungssystems um eine Knotengleichung.

(ii) Knoten wählen (Referenz, «datum»): frei wählbar, typischerweise wählt man Knoten mit vielen Zweigverbindungen (cf. Folie 343).

(iii) Knoteninzidenzmatrix um Zeile 4 reduzieren:

reduzierte Knoteninziedenzmatrix [K] der Dimension (k – 1) z

Zeile 4 streichen

-339-

+

–

uzi z

1 2

4 = 0

3

i1

i2

i3

i4

i5

i6

Bezugsknoten

Die Knotenpotenzialanalyse VII


(3) Zweigspannungen:

(A) Referenzen:

Bezugsknoten: 4 = 0

Assoziierte Zweiggrössen

(B) Berechnung der Zweigspannungen:

u1=

11

u2=

1+

22

u3=

23

u4=

1 24

u5=

2 35

u6=

36

Knoten / Zweigek

z

Zweige zum Bezugsknoten

-340-

5

u1

u2

u3

u4

u5

u6

=

1 0 0

1 1 0

0 1 0

1 1 0

0 1 1

0 0 1

1

2

3

1 2

4 = 0

3

i1

i2

i3

i4

i5

i6

Bezugsknoten

Die Knotenpotenzialanalyse VIII



u = B[ ]

(C) Zugehörige Matrixdarstellung:

(D) Bildungsgesetz der Matrix [B] z (k – 1) :

bji =

+1

1

0

: Zweig i aus Knoten j

: Zweig i in Knoten j

: berühren sich nicht

i

j

z

k

z (k – 1)Matrix

-341-

1 2

4 = 0

3

i1

i2

i3

i4

i5

i6

Bezugsknoten

Die Knotenpotenzialanalyse IX



u = K[ ]T

(E) Bezug zur Knoteninzidenzmatrix:

Vergleicht man das Bildungsgesetz derMatrix [B ] (cf. Folie 341) mit demjenigender Knoteninzidenzmatrix (Folie 338),

dann ergibt sich die folgende Matrixrelation:

Für die Zweigspannungen gilt demnach:

bji = kij

B[ ] = K[ ]T

negative, transponierteKnoteninzidenz-matrix

-342-

6

1

2

3

4

5

6

RK

1 2

4 = 0

3

Die Knotenpotenzialanalyse X


(3) Zweigspannungen: (F) Zur Festlegung der Knotenspannungen:

Die Knotenspannungen gehen aus denDifferenzen der Knotenpotentiale zum Refe-renzknoten (RK) hervor. Der letztere ist inder Praxis oft der Masseknoten ( 4 = 0).

Lineare Unabhängigkeit des Gleichungs-systems für die Knotenpotenziale wird beik Knoten mit der Wahl des RK erzielt: Essind dadurch nur noch (k – 1) unbekannteKnotenpotenziale zu ermitteln.

Eine sichere Festlegung der Knotenpoten-ziale und des RK erfolgt über den Baum mitseinen zB = (k – 1) Baumzweigen (Folie 139).Die Baumzweigspannungen sind gerade dieKnotenspannungen (-potenziale), falls dieBaumzweige (der Baum) so gewählt werden,dass sie vom RK ausgehen (cf. Folie 340).

RK: Referenz-, bzw. Bezugsknoten

-343-

Merke: Mit dem linear unabhängige System von (k – 1) Baumzweigspannungen sind alle Spannungen im Netzwerk bestimmt.

Die Knotenpotenzialanalyse XI


(3) Zweigspannungen: (G) Zum negativen Vorzeichen:

Der Zusammenhang zwischen den Zweigspan-nungen wird mittels der negativen, transponierten Knoteninzidenzmatrix wiedergegeben (positiv wäreirgendwie schöner).

Das negative Vorzeichen rührt von der Definitiondes Knotensatzes (KCL) her.

Bisher: Ströme, die in den Knoten fliessen wer-den positiv gezählt, die wegfliessenden entsprechendnegativ.

Die Multiplikation der Knotenregel (KCL) mit demFaktor –1 ergibt eine identische Knotenregel.

«Neue» Knotenregel: Ströme die wegfliessen zähltman positiv u.u. ist physikalischer, da es der Auf-fassung Strömungsfeldes mehr entspricht: Die Strom-dichtebilanz durch die Hüllfläche (rot) ergibt Null.

B[ ] = K[ ]T

i 1i 2

i 3 n

μ

iKnotenμ

=1

3

= 0

-344-

7

i qμ =

Quellenströme iq

die in

den Knoten μ eintreten

bzw. austreten zählen.

i1 i3

1 2 3i2

i4

i5

i6

iq2iq1

Die Knotenpotenzialanalyse XII

Netzwerkanalyse

(1) Einfügen der Stromquellen in die Knotengleichungen:

(A) Knotengleichungen mit Stromquellen:

q1

q2

+ iq1

iq2

= 0 K i

Knoten / Zweige:k

z

K[ ] i = i q(KCL)

mit Stromquellen

i

q

-345-

i1

i2

i3

i4

i5

i6

u3

u5

u2

u4

u1

u6

Die Knotenpotenzialanalyse XIII

Netzwerkanalyse

(2) Die Zweigadmittanzmatrix:

(A) Zweigrelation:+

–

uzi z i z = Yz uz

i 1i 2i 3

=

Y 1 0 0

0 Y 2 0

0 0 Y 3

u1u2u 3

i = Yz u

(C) Zweigrelationen mittels Zweigadmittanzmatrix:

(B) Zweigrelationen bezüglich des Netzwerkes:

Die Zweigadmittanzmatrix ist eine (z z)-Diagonalmatrixkomplexe Zahl

komplexer Vektor (Phasor)

-346-

8

Die Knotenpotenzialanalyse XIV

Netzwerkanalyse

(3) Die Knotenadmittanzmatrix:

Y z u = i

(A) Rekapitulation der bisherigen Netzwerkbeziehungen:

u = K[ ]T

K[ ] i = i q

Zweigrelationen: Zweigspannungen:

Knotengleichungen:

K[ ] Y z K[ ]T( ) = i q

K[ ] Y z K[ ]T

= i q

Y z K[ ]

T( ) = i

Y k = K[ ] Y z K[ ]T

Y k = i q

(B) Knotenadmittanzmatrix:

(k – 1) (k – 1)Matrix

-347-

Die Knotenpotenzialanalyse XV

Netzwerkanalyse

(4) Die Knotenpotenzialgleichung:

T= 1, 2 ,…, k 1( )

Gleichungsystem für die (k – 1)Knotenpotenziale 1,…, k – 1.

Y k = i q

Y z u = i

u = K[ ]T

Gleichungsystem lösen mittels Cramerscher RegelGauss-Algorithmus, etc.

Knotenpotenziale

Zweigspannungen

Zweigströme

-348-

9

(1) Unabhängige Quellen weglassen reduziertes, passives Netzwerk

(2) Knoten und Zweige nummerieren Digraph

(3) Knoteninzidenzmatrix und Referenz reduzierte Knoteninzidenzmatrix [K ]

(4) Stromquellenvektor erstellen iq

(5) Zweigadmittanzmatrix erstellen [Yz]

(6) Knotenadmittanzmatrix ermitteln [Yk]

(7) Knotenpotenzialgleichung aufstellen [Yk]· = iq

(8) Knotenpotenzialgleichung lösen Matrixgleichung nach auflösen

(9) Zweigspannungen aus berechnen u

(10) Zweigströme aus u berechnen i

Die Knotenpotenzialanalyse XVI

Netzwerkanalyse

(5) Ein Algorithmus als Zusammenfassung:

Lösung: , u, i

-349-

Die Knotenpotenzialanalyse XVII

Beispielnetzwerk berechnen

(1) Schaltungstopologie aus Folie 336:

(A) (Reduzierte) Knoteninzidenzmatrix:

1 2

4

3

Y6Y1

Y5

Y4

Y3

Y2

iq2iq1

i1

i2

i3

i4

i5

i6

K =

1 1 0 1 0 0

0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 1

Gesucht:

Die Stromstärke i3,Knoten 4 sei hierein Masseknoten.

(B) Stromquellenvektor:

iq=

iq1

0

iq2

-350-

10

=

1 1 0 1 0 0

0 1 1 1 1 0

0 0 0 0 1 1

Y1 0 0 0 0 0

0 Y2 0 0 0 0

0 0 Y 3 0 0 0

0 0 0 Y 4 0 0

0 0 0 0 Y5 0

0 0 0 0 0 Y6

1 0 0

1 1 0

0 1 0

1 1 0

0 1 1

0 0 1

Die Knotenpotenzialanalyse XVIII


(2) Knotenadmittanzmatrix:

Knotenadmittanzmatrix

Y k = K[ ] Y z K[ ]T=

=

Y1+Y

2+Y

4( ) Y2+Y

4( ) 0

Y2+Y

4( ) Y2+Y

3+Y

4+Y

5( ) Y5

0 Y5

Y5+Y

6( )

Zweigadmittanzmatrix

-351-

Die Knotenpotenzialanalyse XIX


(3) Knotenpotenzialgleichung:

Y1+Y

2+Y

4( ) Y2+Y

4( ) 0

Y2+Y

4( ) Y2+Y

3+Y

4+Y

5( ) Y5

0 Y5

Y5+Y

6( )

1

2

3

=

iq1

0

iq2

Das resultierende Gleichungssystem:

nach den unbekannten Potenzialen auflösen.

-352-

11

A[ ] x = b A[ ] = aij = a1,…,aj ,…,an

xT = x1,…, xi ,…, xn[ ]

bT = b1,…,bi ,…,bn[ ]

Die Knotenpotenzialanalyse XX


(4) Knotenpotenzialgleichung lösen:

(A) Die Cramersche Regel:

xk =det A k( )

det A

A k( )

= A[ ]ak :=b

det A = 1( )i+ j

aij det Aijj=1

n

Lösung des Gleichungssystems

(B) Allgemeine Berechnung der Determinante: (hier nach der i-ten Zeile entwickelt)

det Aij = det A{ }Zeile iSpalte jstreichen

Unterdeterminante

-353-

Die Knotenpotenzialanalyse XXI



(C) Die Regel von Sarrus:

Für den häufigen Fall von 3 3-Matrizen kann die Determinante über ineinfacher Weise mit Hilfe der Sarrusschen Regel berechnet werden.

det A = det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11 a12a21 a22a31 a32

=a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33

+–addierensubtrahieren

Die ersten zwei Spalten kopieren

-354-

12

Die Knotenpotenzialanalyse XXII



(B) Gleichungssystem lösen :

det Y k = Y 1 +Y 2 +Y 4( ) Y 2 +Y 3 +Y 4 +Y 5( ) Y 5 +Y 6( )

Y 1 +Y 2 +Y 3( )Y52 Y 2 +Y 4( )2Y 5 +Y 6( )

det Yk2( )= det

Y 1 +Y 2 +Y 4( ) i q1 0

Y 2 +Y 4( ) 0 Y 5

0 i q2 Y 5 +Y 6( )

det Yk2( )= Y 1 +Y 2 +Y 4( )Y 5 i q2 + Y 2 +Y 4( ) Y 5 +Y 6( ) i q1

-355-

Die Knotenpotenzialanalyse XXIII




u3 = K[ ]T( )

3= 2

2 =det Yk

2( )

det Y k

=

=Y 2 +Y 4( ) i q1

Y 1 +Y 2 +Y 4

Y 5 +Y 6( )Y 5 i q2

Y 1 +Y 2 +Y 4( ) Y 2 +Y 3 +Y 4 +Y 5( ) Y 1 +Y 2 +Y 3

Y 5 +Y 6( )Y52 Y 2 +Y 4( )2

: Zweigspannung im Zweig #3 (siehe auch Folie 340)

-356-

13

Die Knotenpotenzialanalyse XXIV




i 3 =Y 3 Y 2 +Y 4( ) i q1

Y 1 +Y 2 +Y 4

Y 5 +Y 6( )Y 5 i q2

Y 1 +Y 2 +Y 4( ) Y 2 +Y 3 +Y 4 +Y 5( ) Y 1 +Y 2 +Y 3

Y 5 +Y 6( )Y52 Y 2 +Y 4( )2

i 3 =Y 3u3 = Y 3 2

u3 = K[ ]T( )

3= 2 : Zweigspannung im Zweig #3

Aus diesem Ergebnis geht hervor, dass die Stromstärke i3 eine gewichteteÜberlagerung der beiden Quellenströme iq1 und iq2 ist. Der Nutzen dieserAussage wird in einem späteren Kapitel erschlossen (ab Folie 389).

-357-

Y1+Y

2+Y

4( ) Y2+Y

4( ) 0

Y2+Y

4( ) Y2+Y

3+Y

4+Y

5( ) Y5

0 Y5

Y5+Y

6( )

1

2

3

=

iq1

0

iq2

Die Knotenpotenzialanalyse XXV

Ausblick

(1) Direkte Ermittlung der Knotenadmittanzmatrix: (Knoten #4 Referenzknoten)

Einfacher Algorithmus:

Y =Summe aller am Knoten angreifenden Admittanzen.

Yμ =Negative Summe allerAdmittanzen die zwischenden Knoten und liegen.

1 2

4

3

Y6Y1

Y5

Y4

Y3

Y2

iq2iq1

i1

i2

i3

i4

i5

i6

-358-

14

1 2 3

i1

i2

i3

(i4)

i5

i6

u3

u5

u2

u4

u1

u6

i04

1 2 3

Y6Y1

Y5

Y3

Y2

iq2iq1

i1

i2

i3

i4i5

i6

i04

u6

Die Knotenpotenzialanalyse XXVI

Ausblick

(2) Der Einbezug einer

spannungsgesteuerten

Stromquellen (VCCS)(*):

• Die VCSS ist ein günstigerFall für den Einbezug in dieKnotenpotenzialanalyse: ImFall z.B. einer VCVS müsstedas Knotenpotenzialverfahrenmodifiziert werden.

• Die VCCS im Zweig #4 ist einabhängiges Element und wirddeshalb im Digraph des pas-siven Netzwerkes belassen.

• Die Bezugsrichtung im Zweig#4 wurde hier belassen.

(*) VCCS: voltage controlled current source

i 4 = i 04 = S u6

-359-

Die Knotenpotenzialanalyse XXVII

Ausblick

(2) Der Einbezug einer spannungsgesteuerten Stromquellen (VCCS):

(A) Die Steuergrösse ist eine Zweigspannung:

i 4 = S u6

Y z =

Y1 0 0 0 0 0

0 Y2 0 0 0 0

0 0 Y 3 0 0 0

0 0 0 0 0 S

0 0 0 0 Y5 0

0 0 0 0 0 Y6

steuernderZweig #6

gesteuerterZweig #4

Merke: Die modifizierteZweigadmittanzmatrix istnicht mehr symmetrisch.

1 2 3

i1

i2

i3

(i4)

i5

i6

u3

u5

u2

u4

u1

u6

i04

S: Steilheit in A/V (Steuerparameter)

-360-

15

Die Knotenpotenzialanalyse XXVIII

Ausblick


(B) Die Steuergrösse ist keine Zweigspannung:

i 4 = S u 31 = S u6 u1( )

Merke: Die modifizierteZweigadmittanzmatrix istnicht mehr symmetrisch.

1 2 3

i1

i2

i3

(i4)

i5

i6

u3

u5

u2

u4

u1

u6

i04

Steuergrösse

u31

Y z =

Y1 0 0 0 0 0

0 Y2 0 0 0 0

0 0 Y 3 0 0 0

+S 0 0 0 0 S

0 0 0 0 Y5 0

0 0 0 0 0 Y6

steuernderZweig #6

gesteuerterZweig #4

steuernderZweig #1

-361-

Die Knotenpotenzialanalyse XXIX

Ausblick


(C) Direkte Verknüpfung mit der Knotenadmittanz-matrix:

Knotenpotenzialgleichung ist eigentlich eineKnotengleichung bezüglich der Knotenpoten-ziale (als Funktion der Knotenströme).

Die gesteuerte Stromquelle (VCCS) vorerstals konstante Stromquelle in den Quellenvektor(entsprechend der Knoten) eintragen.

Die gesteuerten Stromstärken im Quellen-vektor wieder auf die linke Seite bringen undgemäss ihren Steuergrössen dem entspr.Potenzial zuordnen, d.h. in der Matrix eintragen.

Die Knotenadmittanzmatrix wird dabei auchunsymmetrisch.

i 4 = S u6 = S 3

1 2 3

i1

i2

i3

(i4)

i5

i6

u3

u5

u2

u4

u1

u6

i04

-362-

16

Die Knotenpotenzialanalyse XXX

Ausblick


(C) Direkte Verknüpfung mit der Knotenadmittanzmatrix:

Y1( )Y

2( )Y

2( )

Y1+Y

2( ) Y2

0

Y2

Y2+Y

3+Y

5( ) Y5

0 Y5

Y5+Y

6( )

1

2

3

=

iq1+ S

3

S3

iq2

Y1( )Y

2( )Y

2( )

Y1+Y

2( ) Y2

S

Y2

Y2+Y

3+Y

5( ) Y5+ S

0 Y5

Y5+Y

6( )

1

2

3

=

iq1

0

iq2

Im Quellen-vektor ein-tragen

Wieder aufdie andereSeite bringen.

-363-

Die Maschenstromanalyse I

Warum Maschenstromanalyse?

(1) Vorteile / Nachteile:

• Verringerter Rechenaufwand (+):

Netzwerk: k Knoten (1) Beim vollständigen Gleichungssystem (Folie 150)z Zweige müssen z Gleichungen gelöst werden.

(2) Beim Maschenstromverfahren müssen lediglichm = z – (k – 1) Gleichungen für m Maschenströmegelöst werden. Der verringerte Rechenaufwandergibt sich demnach aus der Tatsache: m < z.

(3) Vergleich zwischen Maschenstromanalyse undKnotenpotenzialanalyse: m = z – (k – 1) (k – 1).

• Keine idealen Stromquellen zugelassen (–):

Als unabhängige Anregungen gelten vorerst nurideale/reale Spannungsquellen und reale Strom-quellen (letztere sind in reale Spannungsquellenumzuwandeln).

-364-

17

Die Maschenstromanalyse II

Warum Maschenstromanalyse?

(2) Vorgehensweise:

(1) Netzwerktopologie formalisieren:Stichwort «Digraph».

(2) Ermittlung der unabhängigen Maschenmittels Baum.

(3) Kirchhoffschen Gesetze formalisieren:Kompakte Darstellung für KVL.

(4) Mascheninzidenzmatrix

(5) Zweigimpedanzmatrix

(6) Maschenimpedanzmatrix

(7) Gleichungssystem für Maschenströme(herleiten und lösen)

(8) Algorithmus der Maschenstromanalyse(als Zusammenfassung)

-365-

Die Maschenstromanalyse III

Die Netzwerktopologie

(1) Die Schaltung:

(2) Bezugssystem:

Knoten-Nummerie-rung 1…k.

Zweig-Nummerie-rung 1…z.

Zweigstromrichtung

«Digraph»Zweigimpedanzen: Zz1…Zz6

-366-

18

Die Maschenstromanalyse IV

Unabhängige Maschen(-gleichungen)

(1) Einführung eines Baumes:

• Der Baum ist der Teilgraph, welcher alle Knoten ver-bindet ohne eine Masche zu enthalten (Folie 137 ff.).

• Aus der Vielzahl möglicher Bäume wird derjenigegewählt, bei welchem die gesuchten Zweigströme möglichst in dessen Verbindungszweige liegen.

(2) Ermittlung von linear unabhängigen Maschen:

• Mit jedem neu eingeführten Verbindungszweig ent-steht eine der linear unabhängigen Maschen (siehe Folie 138).

• Der Masche wird einen Richtungssinn entsprechenddes eingeführten Verbindungszweigs zugeordnet.

• Es werden solange Verbindungszweige eingeführt, bis der vollständige Digraph erreicht ist.

-367-

Die Maschenstromanalyse V


(1) Der Maschensatz (KVL):

Maschen / Zweige

1 2 3 4 5 6

u z1 u z2 +u z3 = 0

u z3 +u z4 +u z6 = 0

u z2 +u z5 +u z6 = 0

m

z

uz Mascheμ=1

n

= 0(KVL)

Kirchhoffvoltage law

(A) Aufstellen der Maschengleichungen:

-368-

19

Die Maschenstromanalyse VI


(1) Der Maschensatz (KVL): (B) Aufstellen der zugehörigen Matrixgleichung:

mij =

+1:

1:

0 :

1 1 1 0 0 0

0 0 1 1 0 1

0 1 0 0 1 1

uz1uz2uz3uz4uz5uz6

=

0

0

0

M[ ] Mascheninzidenz-matrix

j

i z

m

M[ ] uz = 0(KVL)Matrix-Schreibweise

Bezugspfeil von Masche i undZweigstrom j ist gleichsinnig.

Bezugspfeil von Masche i undZweigstrom j ist gegensinnig.

Pfeile berühren sich nicht.

(C) Maschen-inzidenz-matrix:(m z)

-369-

Die Maschenstromanalyse VII


(2) Die Maschenströme: (A) Berechnung der Maschenströme:

= i z1= i z2= i z3= i z4= i z5= i z6

i z1 i m1 1

i z2 i m1 i m3 2

i z3 i m1 i m2 3

i z4 i m2 4

i z5 i m3 5

i z6 i m2 i m3 6

Maschen / Zweige

m

z

Verbindungszweige im Baum

-370-

20

Die Maschenstromanalyse VIII


(2) Die Maschenströme: (B) Zugehörige Matrixgleichung:

iz1

iz2

iz3

iz4

iz5

iz6

=

1 0 0

1 0 1

1 1 0

0 1 0

0 0 1

0 1 1

im1

im2

im3

cji =

+1:

1:

0 :

Bezugspfeil von Maschen- i undZweigstrom j ist gleichsinnig.

Bezugspfeil von Maschen- i undZweigstrom j ist gegensinnig.

Pfeile berühren sich nicht.

i

j

z

m

i z = C[ ] i m(z m)-Matrix

-371-

Die Maschenstromanalyse IX


(2) Die Maschenströme:

i z = M[ ]Ti m

(C) Bezug zur Mascheninzidenzmatrix:

Vergleicht man das Bildungsgesetz derMatrix [M ] (cf. Folie 371) mit demjenigender Mascheninzidenzmatrix (Folie 369),

dann ergibt sich die folgende Matrixrelation:

Für die Zweigströme gilt demnach:

cji = mij

C[ ] = M[ ]T

transponierteMascheninzidenz-matrix

-372-

21

Die Maschenstromanalyse X

Netzwerkanalyse

(1) Die Zweigimpedanzmatrix:

Zweigspannungsquelle unter Berücksichti-gung der Verbraucherbezugspfeilordnung.

(A) Allgemeine Zweigrelationen:

uzμ = Z zμ i zμ uqμ

uzμ +uqμ = Z zμ i zμ

Zzμi zμ

Zzμ i zμ uqμ

uzμKμ Kμ+n

-373-

Die Maschenstromanalyse XI

Netzwerkanalyse

(1) Die Zweigimpedanzmatrix:

Zweigspannungs-quellenvektor.

(B) Zweigrelationen mittels Zweigimpedanzmatrix:

uz1uz2uz3

+

uq1uq2uq3

=

Z z1 0 0

0 Z z2 0

0 0 Z z3

i z1i z2i z3

uz +uq = Z z i z

Die Zweigimpedanzmatrix ist eine (m m)-Diagonalmatrix

-374-

22

Die Maschenstromanalyse XII

Netzwerkanalyse

(2) Die Maschenimpedanzmatrix:

(A) Rekapitulation der bisherigen Netzwerkbeziehungen:

Zweigrelationen: Zweigströme:

Maschengleichungen:

M[ ] Z z M[ ]T

Zm[ ]

i m = M[ ] uz= 0

+ M[ ] uqu qm

Zm[ ]= M[ ] Zz M[ ]T

(B) Maschenimpedanzmatrix:

m m

Matrix

Z z i z = uz +uq

i z = M[ ]Ti m

Z z M[ ]

Ti m = uz +uq

M[ ] uz = 0

uqm = M[ ] uq

Zm[ ] i m = uqmMaschenquellen-spannungen:

-375-

Die Maschenstromanalyse XIII

Netzwerkanalyse

(3) Die Maschenstromgleichung:

Zm[ ] i m = uqm

i mT= i m1, i m2 ,…, i mm( )

Gleichungsystem für die mMaschenströme im1,…, imm.

Gleichungsystem lösenmittels CramerscherRegel, Gauss-Algorith-mus, etc.

Maschenströme

Zweigströme

Zweig-spannungen

i z = M[ ]Ti m

uz = Z z i z uq

-376-

23

-377-

Die Maschenstromanalyse XIV

Netzwerkanalyse

(4) Ein Algorithmus als Zusammenfassung:

(1) Knoten und Zweige nummerieren Digraph

(2) Unabhängige Maschengleichungen Baum

(3) Mascheninzidenzmatrix [M ]

(4) Zweigimpedanzmatrix erstellen [Zz]

(5) Zweigspannungsquellenvektor uq

(6) Maschenimpedanzmatrix ermitteln [Zm] und Maschenquellen uqm

(7) Maschenstromgleichung aufstellen [Zm]·im = uqm

(8) Maschenstromgleichung lösen Matrixgleichung nach im auflösen

(9) Zweigströme aus im berechnen iz

(10) Zweigspannungen aus iz berechnen uz

Lösung: im, iz, uz

Die Maschenstromanalyse XV



Gesucht:

Die Stromstärke iz5

als Funktion derbeiden Quellen-spannungen.

-378-

24

Die Maschenstromanalyse XVI



(A) Mascheninzidenzmatrix:

M[ ]=

1 1 1 0 0 0

0 0 1 1 0 1

0 1 0 0 1 1

(B) Maschenquellenspannungsvektor: uqm1uqm2uqm3

=

1 1 1 0 0 0

0 0 1 1 0 1

0 1 0 0 1 1

uq10

0

uq40

0

uqm1uqm2uqm3

=

uq1uq40

-379-

Die Maschenstromanalyse XVII


(2) Maschenimpedanzmatrix:

(A) Zweigimpedanzen:

Zz1 = R1Zz2 = R2Zz3 = j L3Zz4 = R4 +

1j C4

Zz5 = R5 + j L5Zz6 = j L6 +

1j C6

-380-

25

Die Maschenstromanalyse XVIII


(2) Maschenimpedanzmatrix:

=

1 1 1 0 0 0

0 0 1 1 0 1

0 1 0 0 1 1

Zz1 0 0 0 0 0

0 Zz2 0 0 0 0

0 0 Zz3 0 0 0

0 0 0 Zz4 0 0

0 0 0 0 Zz5 0

0 0 0 0 0 Zz6

1 0 0

1 0 1

1 1 0

0 1 0

0 0 1

0 1 1

Zm[ ]= M[ ] Zz M[ ]T=

=

Zz1+Z

z2+ Z

z3( ) Zz3

Zz2

Zz3

Zz3+Z

z4+ Z

z6( ) Zz6

Zz2

Zz6

Zz2+Z

z5+ Z

z6( )

Zweigimpedanzmatrix

Maschenimpedanz-matrix

-381-

Zz1+Z

z2+ Z

z3( ) Zz3

Zz2

Zz3

Zz3+Z

z4+ Z

z6( ) Zz6

Zz2

Zz6

Zz2+Z

z5+ Z

z6( )

im1

im2

im3

=

uq1

uq4

0

Die Maschenstromanalyse XIX


(3) Maschenstromgleichung:

Das resultierende Gleichungssystem:

nach den unbekannten Maschenströmen auflösen.

-382-

26

Die Maschenstromanalyse XX


(4) Maschenstromgleichung lösen:

i z5 = i m3

(A) Auflösen nach dem Strom i5:

Der Baum wurde gemäss Folie 367 so gewählt, dass der Strom iz5 in einem Verbin-dungszweig zu liegen kommt. Die Ströme in den Verbindungszweigen setzen sichgemäss des Bildungsgesetzes von linear unabhängigen Maschen (Folie 138) nuraus einem Maschenstrom zusammen.

i m3 =det Zm

3( )

det Zm

det Zm = Zz1 +Zz2 +Zz3( ) Zz3 +Zz4 +Zz6( ) Zz2 +Zz5 +Zz6( ) 2Zz2Zz3Zz6

Zz22 Zz3 +Zz4 +Zz6( ) Zz6

2 Zz1 +Zz2 +Zz3( ) Zz32 Zz2 +Zz5 +Zz6( )

Merke: Die Auflösung des Gleichungssystemsnach der gesuchten Grösse wird mit Hilfe derNetzwerkanalyse formal sehr einfach, dochergeben sich dabei meistens sehr komplizierteAusdrücke.

-383-

Die Maschenstromanalyse XXI


(4) Maschenstromgleichung lösen:

(A) Auflösen nach dem Strom iz5:

det Zm3( )= det

Zz1 +Zz2 +Zz3( ) Zz3 uq1Zz3 Zz3 +Zz4 +Zz6( ) uq4Zz2 Zz6 0

=

det Zm3( )= Zz2Zz3uq4 Zz3Zz6uq1 Zz2 Zz3 +Zz4 +Zz6( )uq1

Zz6 Zz1 +Zz2 +Zz3( )uq4

= Zz2 Zz3 +Zz4 +Zz6( ) + Zz3Zz6 uq1

Zz6 Zz1 +Zz2 +Zz3( ) + Zz2Zz3 uq4

-384-

27

Die Maschenstromanalyse XXII

Ausblick

Direkte Ermittlung der Maschenimpedanzmatrix:

Zz1+Z

z2+ Z

z3( ) Zz3

Zz2

Zz3

Zz3+Z

z4+ Z

z6( ) Zz6

Zz2

Zz6

Zz2+Z

z5+ Z

z6( )

im1

im2

im3

=

uq1

uq4

0

Einfacher Algorithmus:

Z = Summe aller in der Masche vorkommenden Zweig-impedanzen.

Zμ = Summe aller Zweigimpedanzen die sowohl der -tenals auch der -ten Masche angehören. Das Vorzei-chen der Zweigimpedanz ist positiv, falls die Bezugs-pfeile der Maschen(-ströme) im gemeinsamen Zweiggleichsinnig sind; andernfalls ist es negativ.

M1

M2

M3

-385-

Netzwerkanalyse

Abschliessende Betrachtungen

k 1( ) < m = z k 1( )

k 1( ) > m = z k 1( )

Gegeben:

Ein Netzwerk mitk Knoten undz Zweigen

• Die Entscheidung welche der beiden Methoden derNetzwerkanalyse zur Anwendung kommen soll,hängt von zwei Kriterien ab:

(1) Welche Quellen dienen zur Anregung?

(2) Welche Topologie hat das Netzwerk?

Ideale StromquellenReale StromquellenReale Spannungsquellen

Ideale SpannungsquellenReale SpannungsquellenReale Stromquellen

Knotenpotenzialanalyse Maschenstromanalyse

Knotenpotenzial-analyse

Maschenstrom-analyse

-386-

Documents

GET2 5 Netzwerkanalyse - uni-due.de · Netzwerk: k Knoten (1) Beim vollständigen Gleichungssystem (Folie 150) z Zweige müssen z Gleichungen gelöst werden. (2) Beim Knotenpotenzialverfahren