Fakultat fur Physik

R: Rechenmethoden fur Physiker, WiSe 2015/16

Dozent: Jan von Delft

Ubungen: Benedikt Bruognolo, Dennis Schimmel,

Frauke Schwarz, Lukas Weidinger

http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/Lehre/15r/

Blatt 06.6: Krummlinige Integration, Matrizen I

Ausgabe: Freitag, 20.11.15 Abgabe: Freitag, 27.11.15, 13:00 Zentralubung: 02.12.15[2](E/M/A) bedeutet: Aufgabe zahlt 2 Punkte und ist einfach/mittelschwer/anspruchsvoll

Beispielaufgabe 1: Exponentielle Integrale der Form´∞0

dx xne−ax [2]Punkte: (a)[1](M); (b)[1](M)

Berechnen Sie das Integral In(a) =´∞0

dx xne−ax (mit a ∈ R, a > 0, n ∈ N) auf zwei verschie-dene Weisen: (a) durch mehrfache partielle Integration, und (b) durch mehrfaches Ableiten:

(a) Berechnen Sie I0, I1 und I2, wo notig mittels partieller Integration. Zeigen Sie dann mittelspartieller Integration, dass In(a) = n

aIn−1(a) fur alle n ≥ 1 gilt. Nutzen Sie diese Beziehung

iterativ, um In(a) als Funktion von a und n zu bestimmen.

(b) Zeigen Sie durch n-faches Ableiten des Integrals I0(a) nach a, dass In(a) = (−1)n dnI0(a)dan

.Berechnen Sie dann diese Ableitungen fur einige kleine n-Werte. Folgern Sie aus dem sichergebenen Muster eine allgemeine Formel fur In(a).

Beispielaufgabe 2: Elliptische Polarkoordinaten: Flache einer Ellipse [2]Punkte: (a)[1](M); (b)[1](E)

(a) f : R2 → R sei eine Funktion, die von den Koordinaten x und y nur in der Kombination(x/a)2 + (y/b)2 abhangt. Zeigen Sie, dass sich ein zwei-dimensionales Flachenintegral von fuber R2 wie folgt schreiben lasst,

I =

ˆR2

dxdy f((x/a)2 + (y/b)2

)= 2πab

ˆ ∞0

dµµ f(µ) ,

mittels einer Transformation von kartesischen zu elliptische Polarkoordinaten, definiert durch:

x = µa cosφ, y = µb sinφ ,

µ2 = (x/a)2 + (y/b)2, φ = arctan(ay/bx) .

Hinweis: Fur a = b = 1 entsprechen sie Polarkoordinaten. Fur a 6= b ist die lokale Basis nichtorthogonal!

(b) Berechnen Sie, durch geeignete Wahl der Funktion f , die Flache einer Ellipse mit Halbachsena und b, definiert durch (x/a)2 + (y/b)2 ≤ 1.

1

Beispielaufgabe 3: Jacobi-Determinante fur Zylinderkoordinaten [1]Punkte: [1](E)

Berechnen Sie die Jacobi-Determinante∣∣∣∂(x1,x2,x3)∂(ρ,φ,z)

∣∣∣ fur die Transformation von kartesischen zu

Zylinderkoordinaten.

Beispielaufgabe 4: Volumen und Tragheitsmoment eines Kegelstumpfs [2]Punkte: (a)[1](E); (b)[1](E)

Das Tragheitsmoment eines starren Korpers bezuglich einer Drehachse ist definiert als I =´V

dV ρ0(r)d2⊥(r),

wobei ρ0(r) die Dichte am Punkt r ist, und d⊥(r) der senkrechte Abstand von r zur Drehachse.

K = {r ∈ R3 |H ≤ z ≤ 2H,√x2 + y2 ≤ az} sei ein homogener, auf der

z-Achse zentrierten Kegelstumpf. Berechnen Sie in Zylinderkoordinaten

(a) sein Volumen VK(a), und

(b) sein Tragheitsmoment IK(a) bezuglich der z-Achse,

ze

H

H2

als Funktionen des dimensionslosen, positiven Skalenfaktors a, des Langenparameters H, und derMasse M des Kegelstumpfs. [Kontrollergebnisse: VK(3) = 21πH3, IK(1) = 93π

70MH2.]

Beispielaufgabe 5: Volumen einer Boje [2]Punkte: (a)[1](E); (b)[1](M)

Betrachten Sie eine Boje, mit Spitze am Ursprung, die von oben begrenzt wird durcheine am Ursprung zentrierte Kugel, mit x2 + y2 + z2 ≤ R2, und von unten durcheinen Kegel, mit Spitze am Ursprung, mit z ≥ a

√(x2 + y2). θ

z

R

(a) Zeigen Sie, dass der halbe Offnungswinkel des Kegels durch θ = arctan(1/a) gegeben ist.

(b) Berechnen Sie mittels Kugelkoordinaten das Volumen V (R, a) der Boje als Funktion von Rand a. [Kontrollergebnis: V (2,

√3) = (16π/3)(1−

√3/2).]

Beispielaufgabe 6: Wellenfunktionen des 2-dimensionalen harmonischen Oszillators [4]Punkte: (a)[0,5](E); (b)[0,5](E); (c)[3](M)

Die quantenmechanische Behandlung eines zwei-dimensionalen harmonischen Oszillators fuhrt zusogenannten ‘Wellenfunktionen’,

Ψnm : R2 → C, r 7→ Ψnm(r) , mit n ∈ N0, m ∈ Z, m = −n,−n+ 2, . . . , n− 2, n,

die in Polarkoordinaten die faktorisierte Form Ψnm(r) = Rn|m|(ρ)Zm(φ) haben, mit Zm(φ) =1√2π

eimφ. Diese Wellenfunktionen erfullen folgende ‘Orthonormalitatsrelation’:

Omm′

nn′ ≡ˆR2

dAΨnm(r)Ψn′m′(r) = δnn′δmm′ .

Verifizieren Sie diese fur n = 0, 1 und 2, wobei die radialen Wellenfunktionen wie folgt lauten:

R00(ρ) =√

2e−ρ2/2, R11(ρ) =

√2ρe−ρ

2/2, R22(ρ) = ρ2 e−ρ2/2, R20(ρ) =

√2[ρ2 − 1]e−ρ

2/2.

Gehen Sie dazu wie folgt vor. Aufgrund der Produktform der Wellenfunktionen Ψ zerfallt jedes

Flachenintegral in zwei Faktoren die getrennt berechnet werden konnen, Omm′

nn′ = P|m||m′|nn′ Pmm′

,

wobei P ein radiales Integral und P ein Winkelintegral darstellt.

2

(a) Wie lauten die allgemeinen Formen von P und P , als Integrale uber R- bzw. Z-Funktionen?

(b) Berechnen Sie das Winkelintegral Pmm′fur beliebige Werte von m und m′.

(c) Berechnen Sie nun diejenigen radialen Integrale, die in Kombination mit P 6= 0 auftreten,namlich P 00

00 , P 1111 , P 22

22 , P 0022 und P 00

20 .

Hinweis: Die Euler-Identitat, ei2πk = 1 falls k ∈ Z, ist hilfreich bei der Auswertung des Winkelin-tegrals, und

´∞0

dx xne−x = n! fur die radialen Integrale.

Hintergrundinformation: Die Funktionen Ψnm(r) sind die ‘Eigenfunktionen’ eines quantenmecha-nischen Teilchens in einem zwei-dimensionalen quadratischen Potential, V (r) ∝ r2, wobei n undm ‘Quantenzahlen’ sind, die einen bestimmten ‘Eigenzustand’ spezifizieren. Ein Teilchen, dass sichin diesem Eigenzustand befindet, wird mit Wahrscheinlichkeit |Ψnm(r)|2dA im Flachenelement dAam Ort r angetroffen. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo in R2 anzutreffen, istgleich 1, deswegen liefert das Normierungsintegral Omm

nn = 1 fur jede Eigenfunktion Ψnm(r). Dassdas Flachenintegral zweier Eigenfunktionen verschwindet falls ihre Quantenzahlen nicht gleich sind,ist eine Konsequenz der Tatsache, dass die Eigenfunktionen eine orthonormale Basis im Raum derquadratintegrablen komplexen Funktionen auf R2 bilden.

Beispielaufgabe 7: Matrixmultiplikation [2]Punkte: [2](E)

Berechnen Sie alle moglichen Produkte von zwei der folgenden Matrizen:

P =(

4 −3 1

2 2 −4

), Q =

(3 0 1

1 2 5

1 −6 −1

), R =

(3 0

1 2

1 −6

).

Beispielaufgabe 8: Spin-12

Matrizen [3]Punkte: (a)[0,5](E); (b)[1,5](E); (c)[1](E)

Zur Beschreibung quantenmechanischer Teilchen mit Spin 12

werden folgende Matrizen benutzt:

Sx = 12

(0 11 0

), Sy = 1

2

(0 −ii 0

), Sz = 1

2

(1 00 −1

).

(a) Berechnen Sie S2 = S2x + S2

y + S2z .

(b) Berechnen Sie die Kommutatoren [Sx, Sy], [Sy, Sz] und [Sz, Sx], und drucken Sie jedes Ergebniswieder durch eine der oben angegebenen Matrizen aus. Hinweis: [A,B] = AB −BA.

(c) Die Ergebnisse aus (b) lassen sich kompakt zusammenfassen durch eine Gleichung der Form[Si, Sj] = aijkSk fur {i, j, k} ∈ {x, y, z} (mit Summation uber k). Wie lautet der Tensor aijk?

Beispielaufgabe 9: Matrixmultiplikation [2]Punkte: (a)[1](M); (b)[1](M)

A und B seien N × N -Matrizen mit Matrixelementen aij = Ajδim und bij = Biδ

ij. Anmerkung:

da die Indizes i und j links vorgegeben sind, wird rechts nicht uber sie summiert, obwohl bei bijder Index i rechts doppelt vorkommt.

(a) Geben Sie fur N = 3 und m = 2 diese Matrizen explizit in der ublichen Matrixdarstellung an,und berechnen Sie das Matrixprodukt AB explizit.

3

(b) Berechnen Sie jetzt das Produkt AB fur allgemeine N ∈ N und 1 ≤ m ≤ N .

[Gesamtpunktzahl Beispielaufgaben: 20]

Hausaufgabe 1: Gauß-Integrale [5]Punkte: (a)[1](M); (b)[1](M); (c)[1](M); (d)[1](M); (e)[1](M)

(a) Zeigen Sie, dass das zweidimensionale Gauß-Integral I =´∞−∞

´∞−∞ dxdy e−(x

2+y2) den WertI = π hat. Hinweis: nutzen Sie Polarkoordinaten; das radiale Integral lasst sich mittels Sub-stitution losen.

(b) Berechnen Sie nun das eindimensionalen Gauß-Integral I0(a) =´∞−∞ dx e−ax

2(hier und im

Folgenden sei a ∈ R, a > 0). Hinweis: I = [I0(1)]2. Erklaren Sie, warum!

Bestimmen Sie den Wert des x2n-Gauß-Integrals, In(a) =´∞−∞ dx x2n e−ax

2(mit a ∈ R, a > 0,

n ∈ N), auf zwei verschiedene Weisen: (c) durch mehrfache partielle Integration, und (d) durchmehrfaches Ableiten:

(c) Berechnen Sie I0, I1 und I2, wo notig mittels partieller Integration. Zeigen Sie dann mittelspartieller Integration, dass In(a) = 2n−1

2aIn−1(a) fur alle n ≥ 1 gilt. Nutzen Sie diese Beziehung

iterativ, um In(a) als Funktion von a und n zu bestimmen.

(d) Zeigen Sie durch n-faches Ableiten des Integrals I0(a) nach a, dass In(a) = (−1)n dnI0(a)dan

;berechnen Sie dann diese Ableitungen fur einige kleine n-Werte. Folgern Sie aus dem sichergebenen Muster eine allgemeine Formel fur In(a).

(e) Berechnen Sie das eindimensionale Gauß-Integral mit linearem Term im Exponenten: I0(a, b) =´∞−∞ dx e−ax

2+bx (mit a, b ∈ R, a > 0). Hinweis: Nutzen Sie quadratische Erganzung: Expo-

nenten in die Form −ax2 + bx = −a(x−C)2 +D schreiben, dann x = x−C substitutieren.

Hausaufgabe 2: Volumenberechnungen mit elliptischen Polarkoordinaten [2]Punkte: (a)[1](M); (b)[1](M); (c)[1](A,Bonus)

Nutzen Sie im Folgenden elliptische Koordinaten in zwei Dimensionen, definiert durch x = µa cosφ,y = µb sinφ, mit a, b ∈ R, a > b > 0. Berechnen Sie das Volumen V (a, b, c) folgender Korper Z,E und K, als Funktion der Langenparameter a, b und c.(a) Z ist ein Zelt mit ellipsformigem Boden, mit Halbachsen a und b. Sein

Dach wird durch die Hohenfunktion hZ(x, y) = c[1−(x/a)2−(y/b)2

]

beschrieben.x

y

z

a b

c

(b) E ist eine Ellipsoide mit Halbachsen a, b und c, definiert durch(x/a)2 + (y/b)2 + (z/c)2 ≤ 1.

x

y

z

ab

c

(c) K ist ein Kegel mit Hohe c und ellipsformiger Basis, mit Halbachsen a und b. Alle Querschnitteparallel zur Basis sind ebenfalls ellipsformig. Hinweis: Erganzen Sie die elliptischen Koordinatenum eine weitere Koordinate, z (analog zum Ubergang von Polar- zu Zylinderkoordinaten).

4

[Kontrollergebnisse fur a = 1/π, b = 2, c = 3: (a) VZ = 3, (b) VE = 8, (c) VK = 2.]

Hausaufgabe 3: Jacobi-Determinante fur Kugelkoordinaten [1]Punkte: [1](E)

Berechnen Sie die Jacobi-Determinante∣∣∣∂(x1,x2,x3)∂(r,θ,φ)

∣∣∣ fur die Transformation von kartesischen zu

Kugelkoordinaten.

Hausaufgabe 4: Volumen und Tragheitsmoment: Zylinderkoordinaten [3]Punkte: (a)[1](M); (b)[2](M); (c)[2](A,Bonus)

Betrachten Sie die unten beschriebenen homogenen, starren Korper Z, P und S, alle mit Dichte ρ0.Berechnen Sie mittels Zylinderkoordinaten fur jeden das Volumen V (a) und das TragheitsmomentI(a) = ρ0

´V

dV d2⊥ bezuglich der Symmetrieachse, als Funktionen des dimensionslosen, positivenSkalenfaktors a, des Langenparameters R, und der Masse des Korpers, M .

(a) Z ist ein Hohlzylinder mit innerem Radius R, außerem Radius aR, und Hohe 2R. [Kontroller-gebnisse: VZ(2) = 6πR3, IZ(2) = 15

6MR2.]

(b) P ist ein Paraboloid mit Hohe h = aR und Krummung 1/R, definiertdurch P = {r ∈ R3 | 0 ≤ z ≤ h, (x2 + y2)/R ≤ z} [Kontrollergebnisse:VP (2) = 2πR3, IP (2) = 2

3MR2.] x

h

z

(c) S ist die Schussel, die entsteht, wenn aus der Kugel K1 = {r ∈ R3| x2 +y2 + (z − aR)2 ≤ a2R2}, mit Radius aR und zentriert am Punkt P :(0, 0, aR)T , ein Kegel K2 = {r ∈ R3| (x2 + y2) ≤ (a− 1)z2, a ≥ 1}, mitSpitze am Ursprung und symmetrisch um die z-Achse, ausgestanzt wird.[Kontrollergebnisse: VS

(43

)= 16

9πR3, IS

(43

)= 14

15MR2. Was erhalten

Sie fur a = 1? Warum?]x

z

P

Hinweis: Finden Sie zunachst fur gegebenes z die radialen Integrationsgrenzen, ρ1(z) ≤ ρ ≤ρ2(z), dann die z-Integrationsgrenzen, 0 ≤ z ≤ zm. Wie lautet der maximale z-Wert, zm?

Hausaufgabe 5: Volumenintegral uber Viertelkugel [2]Punkte: [2](M)

Berechnen Sie mittels Kugelkoordinaten das Volumenintegral F (R) =´K

dV f(r) der Funktionf(r) = xy uber die Viertelkugel K, definiert durch x2 + y2 + z2 ≤ R2 und x, y ≥ 0. SkizzierenSie K. [Kontrollergebnis: F (2) = 64

15.]

Hausaufgabe 6: Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms [4]Punkte: [2](M); (b)[2](M); (c)[2](M,Bonus)

Zeigen Sie, dass das Volumenintegral Pnlm =´R3 dV |Ψnlm(r)|2 fur folgende Funktionen Ψnlm(r) =

Rnl(r)Yml (θ, φ), mit Kugelkoordinaten r = r(r, θ, φ), den Wert Pnlm = 1 liefert:

(a) Ψ210(r) = R21(r)Y01 (θ, φ), R21(r) =

re−r/2√24

, Y 01 (θ, φ) =

(34π

)1/2cos θ

(b) Ψ320(r) = R32(r)Y02 (θ, φ), R32(r) =

4 r2e−r/3

81√

30, Y 0

2 (θ, φ) =(

516π

)1/2(3 cos2 θ − 1)

(c) Zeigen Sie, dass das sogenannte ‘Uberlapintegral’ O =´R3 dV Ψ320(r)Ψ210(r) gleich 0 ist.

5

Hinweis: In =´∞0

dx xn e−x = n! .

Hintergrundinformation: Die Ψnlm(r) sind quantenmechanische ‘Eigenfunktio-nen’ des Wasserstoffatoms; n, l und m sind ‘Quantenzahlen’, die den Quan-tenzustand spezifizieren. Ein Teilchen, dass sich in diesem Zustand befindet,wird mit Wahrscheinlichkeit |Ψnlm(r)|2dV im Volumenelement dV am Ort rangetroffen. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo in R3 anzu-treffen, ist gleich 1, deswegen gilt Pnlm = 1 fur jede Eigenfunktion Ψnlm(r).

Die Figuren zeigen jeweils eine Flache, auf der |Ψnlm|2 einen konstanten Wert hat. Die Eigenfunk-tionen bilden eine orthonormale Basis im Raum der quadratintegrablen komplexen Funktionen aufR

3, folglich verschwindet das Volumenintegral zweier Eigenfunktionen falls ihre Quantenzahlennicht gleich sind.

Hausaufgabe 7: Matrixmultiplikation [2]Punkte: [2](M)

Berechnen Sie alle moglichen Produkte von zwei der folgenden Matrizen:

P =

2 0 3

−5 2 7

3 −3 7

2 4 0

, Q =

(−3 1

−1 0

2 1

), R =

(6 −1 4

4 4 −4−4 −4 6

).

Hausaufgabe 8: Spin-1 Matrizen [2]Punkte: (a)[0,5](E); (b)[1,5](E)

Zur Beschreibung quantenmechanischer Teilchen mit Spin 1 werden folgende Matrizen benutzt:

Sx = 1√2

(0 1 01 0 10 1 0

), Sy = 1

√2

(0 −i 0i 0 −i0 i 0

), Sz =

(1 0 00 0 00 0 −1

).

(a) Berechnen Sie S2 = S2x + S2

y + S2z .

(b) Berechnen Sie die Kommutatoren [Sx, Sy], [Sy, Sz] und [Sz, Sx], und drucken Sie jedes Ergebniswieder durch eine der oben angegebenen Matrizen aus. Hinweis: [A,B] = AB −BA.

Hausaufgabe 9: Matrixmultiplikation [1]Punkte: (a)[0.5](E); (b)[0.5](E)

A und B seien N × N -Matrizen mit Matrixelementen aij = AiδiN+1−j und bij = Biδ

ij. Hinweis:

da die Indizes i und j links vorgegeben sind, wird rechts nicht uber sie summiert, obwohl bei bijder Index i rechts doppelt vorkommt.

(a) Geben Sie fur N = 3 diese Matrizen explizit in der ublichen Matrixdarstellung an, und berech-nen Sie das Matrixprodukt AB explizit.

(b) Berechnen Sie das Produkt AB fur allgemeine N ∈ N.

[Gesamtpunktzahl Hausaufgaben: 22]

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