Bruchrechnung

Bruchrechnung in der Schule

Nach Thüringer Lehrplan für Mathematik

In Klasse 6 drei Themenabschnitte: Teilbarkeit, natürliche Zahlen: 5 Wochen Rechnen mit gebrochenen Zahlen: 14

Wochen Symmetrien und Abbildungen: 9 Wochen

Vier Konzepte zur Behandlung

Größenkonzept Äquivalenzklassenkonzept Gleichungskonzept Operatorenkonzept

Größenkonzept

ausgehend von konkreten Brüchen

(e… Einheit) gelangt durch

Abstraktion zu fester Bezugsgröße „Das Ganze“

en

m

n

me

n

m

Größenkonzept

Vorteile Nachteile

- Nähe zur Anwendung Motivation- Rückgriff auf Vorkenntnisse- geeignet für Erweitern, Kürzen, Anordnung, Addition, Subtraktion

- Grenzen bei der Multiplikation und Division Methodenreinheit

Operatorkonzept

Bruchzahl als Operator bzw. Funktion ausgehend vom alltäglichen Sprechen

„3/4 von 4 kg“ Anschaulichkeit: Operatoren als

„Maschinen“ Einstieg mit Multiplikation und Division

Operatorkonzept

Vorteile Nachteile

- Einführung der Multiplikation und Division

- typische Fehler bei Addition- keine anschauliche Vorstellung für Kürzen und Erweitern- Herleitung der Anordnung der Bruchzahlen aufwändig

Äquivalenzklassenkonzept

Bruchzahl als Äquivalenzklasse von quotientengleichen Paaren von natürlichen Zahlen

Rechenoperationen (Addition, Multiplikation, etc.) werden definiert

Äquivalenzklassenkonzept

Vorteile Nachteile

- mathematisch einwandfreie Definition

- keine Anwendungs-orientierung, zu formal

- knüpft nicht an Vor-wissen der Schüler an

Gleichungskonzept

Bruchzahl als Lösung einer linearen Gleichung

Gleichungskonzept

Vorteile Nachteile

- einfache, mathematisch einwandfreie Einführung der Rechenoperationen

- Lösbarkeit der Gleichung wird vorausgesetzt

- erforderliche Vorkenntnisse über Gleichungssysteme nicht vorhanden

- sehr formal

- Probleme bei Einführung der Division

Anwendungsaspekte von Bruchzahlen

Maßzahlaspekt Relationsaspekt Operatoraspekt Skalenwertaspekt Quotientenaspekt

Zwei Grundvorstellungen

Bruch als Teil eines Ganzen

Bruch als Teil mehrerer Ganzen

Bruch als Teil eines Ganzen

Bruch als Teil eines Ganzen

Gleichheit beider Vorstellungen

Unterschied zu natürlichen Zahlen

Möglichkeit der Zuordnung mehrerer Bruchzahlen zu einem Repräsentanten

Bruchdomino

Addition von Bruchzahlen

²dm5

2²dm

5

1+

²dm5

3=

Addition zweier gleichnamiger Brüche:• Veranschaulichung über (z. B.) Flächen

• weitere Variationen / Beispiele

(intuitives) Erkennen der Regel für Addition gleich- namiger Brüche:

bzw. (ohne Größeneinheit e)

ec

bae

c

be

c

a

c

ba

c

b

c

a

Addition zweier ungleichnamiger Brüche:

²dm3

2

²dm4

1

+

Addition zweier ungleichnamiger Brüche:

²dm3

2

²dm4

1

passende Unterteilung des Rechtecks in gleich große Teilflächen

Addition zweier ungleichnamiger Brüche:

• gröbste gemeinsame Unterteilung wird rechnerisch durch das Finden des Hauptnenners (kgV der beiden Nenner) realisiert

• beide Brüche werden entsprechend erweitert und gemäß der Additionsregel für gleichnamige Brüche addiert

• allgemeine Regel:

bd

bcad

d

c

b

a e

bd

bcade

d

ce

b

a bzw.

Addition von Bruch und natürlicher Zahl:

• Einbettung der natürlichen Zahlen in die Bruchzahlen:

• entsprechende Anwendung der Rechenregeln

1

nn

Einführung gemischter Zahlen

• Kurzschreibweise, z. B.:

• erleichtert Addition, z. B.:

statt:

3

17

3

17

15

1323

15

3

15

10)1211(

5

112

3

211

5

61

3

35

15

358

15

183

15

175

5

61

3

35

Typische Schülerfehler bei der Addition

db

ca

d

c

b

a

Addition zweier ungleichnamiger Brüche:

Ursachen:

• Übertragung der Multiplikationsregel

• fehlendes Verständnis

• Übertragung von Alltagssituationen

Typische Schülerfehler bei der Addition

bd

ca

d

c

b

a

Addition zweier ungleichnamiger Brüche:

• Fehler beim Erweitern der Brüche auf einen Hauptnenner

• z. B.:

Typische Schülerfehler bei der AdditionAddition von Bruch und natürlicher Zahl:

b

an

b

an

b

nan

b

a bzw.•

• falsche Einbettung der natürlichen Zahlen in die Bruchzahlen:

n

nn

Gruppenarbeit

Aufgabe:

Erarbeiten Sie einen schülergerechten Weg zur Erarbeitung bzw. Einführung der Rechenregel für die Division zweier Bruchzahlen!

cb

da

c

d

b

a

d

c:

b

a

„Wenn man die gemeinen Brüche eingeführt hat, muss man dann überhaupt noch die Dezimalbrüche einführen? Oder reicht es nur eines von beiden zu behandeln?“

Quellen

Padberg, F. (1995): Didaktik der Bruchrechnung. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin, Oxford

Pietzsch, G. (1985): Zur Behandlung der gebrochenen Zahlen im Unterricht. Volk und Wissen, Berlin

http://www.fachmoderator-mathematik.de/54.1.html (Stand: 23.06.2007)

http://www.hattendoerfer.de/friedrich/bruchrechnung/bruc-0.html (Stand: 23.06.2007)

http://www.math.uni-augsburg.de/prof/dida/Lehre/AlgebraAlt/Algebra.html (Stand: 23.06.2007)