BSM elastische Bettung Zusammenfassung · PDF fileUNIVERSITÄT Baustatik (Master) SIEGEN Department Bauingenieurwesen Univ.- Prof. Dr.- Ing. habil. Ch. Zhang ELASTISCHE BETTUNG (ZUSAMMENFASSUNG)

UNIVERSITÄT SIEGEN Department Bauingenieurwesen

Univ.- Prof. Dr.- Ing. habil. Ch. Zhang

ELASTISCHE BETTUNG (ZUSAMMENFASSUNG)

Baustatik (Master) Arbeitsblatt

1

1. ALLGEMEINES 1.1 System und Belastung Längsansicht:

, x u Biegesteifigkeit EI

l

( )q x

Bettung c

h

, z w

Querschnittsdarstellung:

Bettung c

h

b

z

y

( ) ( ) q x verschmiert

( )q x

Bemerkung: Die Belastung sollte nicht als Linienlast sondern als Flächenlast (evtl. verschmiert) angesetzt werden, da sonst bei größerer Breite b eine Plattentragwirkung vorhanden ist. Es würde sich dann um eine gebettete Platte und nicht um einen gebetteten Balken handeln.





2

1.2 Infinitesimales Element

zQ

NyM

dx

( )q x

( ) ( )up x cb w x= ⋅

zz

dQQ dx

dx+ ⋅

N yy

dMM dx

dx+ ⋅

1.3 Gleichgewichtsbeziehungen

( ) ( )

0 : 0

0 : 0

0 : 0

z

yz

H N

dQV cb w x q x

dxdM

M Qdx

= =

= − ⋅ + =

= − =

1.4 Werkstoffbeziehungen

( ) ( )

( )( )

3

'' ''12

'''

y

yz

bhM E w x EI w x

siehe TMdM

Q EI w xdx

= − ⋅ ⋅ = − ⋅

= = − ⋅

1.5 Differentialgleichung Aus der Gleichgewichtsbedingung 0V = und der Werkstoffbeziehung für zQ ergibt sich

folgende DGL:

( ) ( )'''' ( ) 0EI w x cb w x q x− ⋅ − ⋅ + = (lineare DGL mit konstanten Koeffizienten)

4 ( )'''' 4

q xw w

EIλ+ = mit 4

4

bc

EIλ =

(Abklingkoeffizient)

Es handelt sich hierbei um eine inhomogene lineare DGL mit konstanten Koeffizienten.





3

2. ELASTISCH GEBETTETER BALKEN UNTER EINZELKRAFT Im Folgenden wird nur der Balken unter Einzellasten betrachtet. Die Wirkung beliebig verteilter Lasten kann durch die Auswertung von entsprechenden Einflusslinien einfach ermittelt werden. Die DGL geht somit mit ( ) 0q x = in eine homogene Differentialgleichung über:

4'''' 4 0w wλ+ = mit 4

4

bc

EIλ =

(Abklingkoeffizient)

Die Durchbiegung ( )w x des elastisch gebetteten Balkens hängt somit lediglich von dem

Abklingkoeffizienten λ ab. Einflussgrößen sind also der Bettungsmodul c des Bodens und die Biegesteifigkeit EI des Balkens.

2.1 Allgemeine Lösung der Differentialgleichung

( ) ( ) ( )3 4 1 2cos sin cos sinx xw x e A x A x e A x A xλ λλ λ λ λ−= + + +

mit xξ λ= :

( ) ( ) ( )3 4 1 2cos sin cos sinw x e A A e A Aξ ξξ ξ ξ ξ−= + + +

1

S charakteristische Längeλ

= = 1

x xx

S

λξ λ = = =

2.2 Anwendungen zum unendlich langen Balken unter Einzelkraft Lösung der homogenen (rechte Seite = 0) DGL:


mit xλ ξ= und 1

Sλ = mit S: „charakteristische Länge“

Reduktion auf

das halbe System

F

2

F

, x u, z w





4

Randbedingungen: (1) ( )' 0 0w x = =

(2) ( ) ( )0 ''' 02

FQ x EIw x

−= = = − =

(3) ( ) 0w x = ∞ =

(4) ( )' 0w x = ∞ =

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

3 4 1 2

3 4 3 4

1 2 1 2

3 4 3 4 1 2 1 2

cos sin cos sin

'cos sin sin cos

1 cos sin sin cos

cos sin cos sin

w e A A e A A

ew

e e

e e

A A A A

A A A A

A A A A A A A A

ξ ξ

ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

λ

λ

ξ ξ ξ ξξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

−

− −

−

= + + +

=+ +

= −

+ − +

− + − +

+ − − − + +

Für ξ → ∞ in (3) und (4) wird 0e ξ− → und eξ → ∞ , so dass (3’) ( )3 4 4 3cos sin 0 cos / sinA A A Aξ ξ ξ ξ+ = = −

(4’) ( ) ( )( )3 4 3 4cos sin 0A A A Aξ ξ+ − − =

23 3

3 3

3 3

3 3

cos cos0

sin sin cos

cos sin0

sin cos

cot tan

A A

A A

A A

A A

ξ ξξ ξ ξ

ξ ξξ ξξ ξ

− = − −

− − =

= −

Nur erfüllbar für 3 0A = , da tanξ und cotξ immer das gleiche Vorzeichen haben.

Damit gilt auch 4 0A = und 'w vereinfacht sich zu

( ) ( )( )1 2 1 2' cos sinw e A A A Aξλ ξ ξ−= − − + +

Mit (1) wird

( ) ( )( ) ( )01 2 1 2' 0 0 0 0 1'w e A A A A C Dλ= − − + = − = =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

21 2 1 2 1 2 1 2

21 2 1 2 1 2 1 2

22 1

21 2

'' 1 cos sin sin cos

cos cos sin sin sin sin cos cos

2 cos 2 sin

2 sin cos

w e A A A A e A A A A

e A A A A A A A A

e A A

e A A

ξ ξ

ξ

ξ

ξ

λ ξ ξ ξ ξ

λ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

λ ξ ξ

λ ξ ξ

− −

−

−

−

= − − ⋅ − + + + − − + + = − + + + − − −

= − +

= −

( ) ( ) ( )( ) ( )

31 2 1 2

31 2 1 2

''' 2 1 sin cos cos sin

2 cos sin

w e A A e A A

e A A A A

ξ ξ

ξ

λ ξ ξ ξ ξ

λ ξ ξ

− −

−

= − − + + = + − −





5

Mit (2) und (1’) wird

( ) ( )3 01 2 1 2 3

''' 0 2 02 4

F Fw e A A A A

EI EIλ

λ= + − = + =

3

1 2 38 8

F FSA A

EI EIλ = = =

Daraus ergibt sich folgender Verlauf der Biegelinie, der Verdrehung und der Schnittgrößen:

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

3 3

3 2

32

33

3

cos sin8 8

' 2 sin8 4

'' 2 sin cos cos sin8 4 4

''' 2 2 cos cos8 2 2

8

F

F

F

F

u

FS FSEIw e

FS FSEI EI w EI e

EI

FS FS FSM EIw EI e e

EI

FS F FQ EIw EI e e

EI

FSp cbw cb

ξ

ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ η ξ

ϕ λ ξ η ξ

λ ξ ξ ξ ξ η ξ

λ ξ ξ η ξ

−

−

− −

− −

= ⋅ + = ⋅

′= − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

′′= − = − ⋅ − = − = ⋅

′′′= − = − ⋅ ⋅ ⋅ = − = − ⋅

= = ⋅ ( ) ( ) ( ) ( )4 4

8 8 2F F F

S F EI Fcb cb F

EI S EI cb EI

λη ξ η ξ λ η ξ η ξ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Die Fη - Funktionen können als Einflusslinien aufgefasst werden. Die Tafeln und Verläufe der

Einflusslinien sind in den Arbeitsblättern dargestellt. Diese EL gelten nur für den unendlich langen elastisch gebetteten Balken unter Einzelkraft. Die Funktionen der Einflusslinien gelten nur für den Bereich rechts von der Einzelkraft. Das bedeutet, dass sich die Einzelkraft links von dem Punkt, an dem die Schnittgröße gesucht wird, befindet. Aufgrund der Symmetrie- und Antimetrieeigenschaften kann die Einflusslinie ergänzt werden. Mit dieser Überlegung wurden die Tabellen und die Grafiken hergeleitet! Symmetrieeigenschaften für den Lastfall Einzelkraft:

Einflusslinie: Symmetrieeigenschaft

EL-w symmetrisch

EL-ϕ antimetrisch

EL-M symmetrisch

EL-Q antimetrisch





6

3. DER ELASTISCH GEBETTETE BALKEN ENDLICHER LÄNGE

A B

l

1F

a

2F

a

A B

1F 2F

aa

1F ′2F ′3F ′

4F ′

x

Ersatzsystem

Anstelle des tatsächlichen Balkens mit den Randbedingungen 0A A B BM Q M Q= = = = wird ein

unendlich langer Balken (Ersatzsystem) mit 4 Zusatzlasten/Ersatzlasten iF′ behandelt, wobei die

Größe der iF′ so ermittelt wird, dass die gegebenen Randbedingungen erfüllt werden. Zur

Ermittlung der Zusatzlasten iF′ werden die Einflusslinien des unendlich langen Balkens genutzt.





7

Wenn 4

Sa

π= gewählt wird (nach BLEICH), dann ergibt sich wegen 04 2F F

π πη η ′′ ′′′= =

eine

Vereinfachung. Eine weitere Vereinfachung ergibt sich für 4 :l S≈>

( ) ,

1 2 3 4 ,

0 04

04 2 4 2

0 0,2079 0 für 4 (langer Balken)

A i F ii

F F F F i F i

SM M F

l lF F F F F

S S

l S

η

π π π πη η η η η

′′= = ⋅ ⋅ =

′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′′ = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ + + ⋅ + + ⋅

= = − ≈ ≈>

( ) ,

1 2 3 4 ,

10 0

2

04 2 4 2

0,3224 0 0 für 4 (langer Balken)

A i F i

F F F F i F i

Q Q F

l lF F F F F

S S

l S

η

π π π πη η η η η

′′′= = ± ⋅ ⋅ =

′ ′′′ ′ ′′′ ′ ′′′ ′ ′′′ ′′′ = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ + + ⋅ + + ⋅

= − = ≈ ≈>

d.h. für 4l S≈> gilt:

1 ,

1

0,3224 i F iF F η′ ′′′= ⋅

2 ,

1

0,2079 i F iF F η′ ′′= ⋅

3 ,

1

0,3224 i F iF F η′ ′′′= ⋅−

4 ,

1

0,2079 i F iF F η′ ′′= ⋅

4. EINTEILUNG:

a

F

b

endlich lang unendlich lang

a

oder

b

λ π

λ π

⋅ <

⋅ <

Keine Entkopplung der RB

und ÜB

a

und

b

λ π

λ π

⋅ >

⋅ >

Entkopplung der RB und

ÜB





8

5. ELASTISCH GEBETTETER BALKEN UNTER EINZELMOMENT Im Folgenden wird nur der Balken unter Einzelmomenten betrachtet. Die Wirkung beliebig verteilter Lasten kann durch die Auswertung von entsprechenden Einflusslinien einfach ermittelt werden.

5.1 Allgemeine Lösung der Differentialgleichung (s.o.)

5.2 Anwendungen zum unendl. langen Balken unter Einzelmoment Lösung der homogenen (rechte Seite = 0) DGL:


mit xλ ξ= und 1

Sλ = mit S: „charakteristische Länge“

Reduktion auf

das halbe System

M

2

M

, x u, z w





9

Randbedingungen: (1) ( )0 0w =

(2) ( ) ( )0 '' 02

MM EIw= = −

(3) ( ) 0w ∞ =

(4) ( )' 0w ∞ =

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

3 4 1 2

3 4 3 4

1 2 1 2

3 4 3 4 1 2 1 2

cos sin cos sin

'cos sin sin cos

1 cos sin sin cos

cos sin cos sin

w e A A e A A

ew

e e

e e

A A A A

A A A A

A A A A A A A A

ξ ξ

ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

λ

λ

ξ ξ ξ ξξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

−

− −

−

= + + +

=+ +

= −

+ − +

− + − +

+ − − − + +

In (3) und (4) für ξ → ∞ wird 0e ξ− → und eξ → ∞ , so dass (3’) ( )3 4 4 3cos sin 0 cos / sinA A A Aξ ξ ξ ξ+ = = −

(4’) ( ) ( )( )3 4 3 4cos sin 0A A A Aξ ξ+ − − =

23 3

3 3

3 3

3 3

cos cos0

sin sin cos

cos sin0

sin cos

cot tan

A A

A A

A A

A A

ξ ξξ ξ ξ

ξ ξξ ξξ ξ

− = − −

− − =

= −

Nur erfüllbar für 3 0A = , da tanξ und cotξ immer das gleiche Vorzeichen haben.

Damit gilt auch 4 0A = . w , 'w , ''w und '''w vereinfachen sich zu

( )1 2cos sinw e A Aξ ξ ξ−= ⋅ + ⋅

( ) ( )( )1 2 1 2' cos sinw e A A A Aξλ ξ ξ−= − − + +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

21 2 1 2 1 2 1 2

21 2 1 2 1 2 1 2

22 1

21 2

'' 1 cos sin sin cos

cos cos sin sin sin sin cos cos

2 cos 2 sin

2 sin cos

w e A A A A e A A A A

e A A A A A A A A

e A A

e A A

ξ ξ

ξ

ξ

ξ

λ ξ ξ ξ ξ

λ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

λ ξ ξ

λ ξ ξ

− −

−

−

−

= − − ⋅ − + + + − − + + = − + + + − − −

= − +

= −

( ) ( ) ( )( ) ( )

31 2 1 2

31 2 1 2

''' 2 1 sin cos cos sin

2 cos sin

w e A A e A A

e A A A A

ξ ξ

ξ

λ ξ ξ ξ ξ

λ ξ ξ

− −

−

= − − + + = + − −





10

Aus (1) ( )0 0w = folgt

( )01 2 10 cos 0 sin 0 0e A A A= ⋅ + ⋅ =

Aus (2) ( ) ( )0 '' 02

MM EIw= = − ergibt sich

( )21 2'' 2 sin cosw e A Aξλ ξ ξ−= −

( )2 02

22

2 2 2

2 0 sin 0 cos 02

22 4 4

Me A

EI

M M MSA A

EI EI EI

λ

λλ

− = ⋅ −

− = − = =

Verlauf der Biegelinie und der Schnittgrößen Einsetzen von ( )1 0A = und 2A in die bereits ermittelten Gleichungen.

( )

( ) ( )

2

2 2

2 2

2

2

0 cos sin4

sin 4 4

1' 0 cos 0 sin

4 4

sin cos4 4

1'' 2 0 sin

4

M

M

MSEIw e EI

EI

MS MSEIw e

MS MSEI EI w e EI

S EI EI

MS MSEI e

MSM EIw EI e

S

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ ξ

ξ η ξ

ϕ ξ ξ

ϕ ξ ξ η ξ

ξ

−

−

−

−

−

= ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅

= − ⋅ = − + + ⋅

′= ⋅ ⋅ − = ⋅

= − = − ⋅ ⋅ − ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2

3

2 4

2

2 2

4

cos cos2 2

1''' 2 0 cos 0 sin

4 4

cos sin2 2

4 4

4

M

M

u M M

u M bc

M Me

EI

MS MSQ EIw EI e

S EI EI

M MQ e

S S

MS S Mp cbw cb cb

EI S EI

Mp cb cb

EI

ξ

ξ

ξ

ξ ξ η ξ

ξ ξ

ξ ξ η ξ

η ξ η ξ

λ λη ξλ

−

−

−

′′= ⋅ = ⋅

= − = − ⋅ + − −

′′′= − ⋅ + = − ⋅

= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ =

( ) ( ) ( )22

4 4 M M MEI

M MM

EI Sη ξ λ η ξ η ξ

⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

Die Mη - Funktionen können als Einflusslinien aufgefasst werden. Die Tafeln und Verläufe der

Einflusslinien sind in den Arbeitsblättern dargestellt. Diese EL gelten nur für den unendl. langen elastisch gebetteten Balken unter Einzelmoment.

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