Ignaz-Taschner-Gymnasium Dachau Grundwissen Analysis zu Beginn Q11

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Grundwissen Beispiele

Bruchrechnen

Zum Kürzen von Brüchen benötigt man oft die

3. Binomische Formel!

Rechnen mit Brüchen:

Addition & Subtraktion:

Brüche können nur addiert bzw. subtrahiert werden,

wenn der Nenner gleich ist. Ist dies nicht der Fall, so

muss durch Erweitern (oder Kürzen) ein gemeinsamer

Nenner gebildet werden

Multiplikation:

Brüche werden multipliziert, in dem man Zähler mit

Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert

Division:

Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit

seinem Kehrbruch multipliziert.

Bsp: Erweitert mit 7:

𝑥 − 1

5=

(𝑥 − 1) ∙ 7

5 ∙ 7=

7𝑥 − 7

35

Bsp: Kürzen: 14𝑎

49𝑎2=

2 ∙ 7 ∙ 𝑎

7 ∙ 7 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎=

2

7𝑎

Achtung: (2 + 𝑎)

7𝑎≠

2

7 "𝐵𝑒𝑖 𝐷𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑑 𝑆𝑢𝑚𝑚𝑒𝑛

𝑘ü𝑟𝑧𝑒𝑛 𝑛𝑢𝑟 𝑑𝑖𝑒 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑒𝑛“ Bsp: 3. Binomische Formel im Nenner:

2𝑥 − 4

𝑥2 − 4=

2 ∙ (𝑥 − 2)

(𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 2)=

2

𝑥 + 2

Bsp:

5

𝑎+

1

2=

5∙2

𝑎∙2+

1∙𝑎

2∙𝑎=

10

2𝑎+

𝑎

2𝑎=

10+𝑎

2𝑎

Bsp:

7𝑥

2∙

5

𝑥=

7𝑥∙5

2∙𝑥=

35𝑥

2𝑥=

35

2

Bsp:

7

5∶

3

8=

7

5∙

8

3

Termumformungen

Bsp:

−(12𝑥 + 13 − 7𝑎) = −12𝑥 − 13 + 7𝑎

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Lösung von Gleichungen

Wichtig: Gehe beim Lösen von Gleichungen immer

schrittweise vor. Die meisten Fehler passieren, wenn

man versucht mehrere Schritte auf einmal

auszuführen!

Beachte: Beim Wurzelziehen erhält man zwei

Lösungen!

Gleichungen mit x² und x lassen sich entweder

mit Hilfe der binomischen Formeln lösen:

oder mit der quadratischen Lösungsformel:

(Mitternachtsformel)

Bruchgleichungen

Bsp 1:

2𝑥 + 3 = 27 │ −3

2𝑥 = 24 │ : 2

𝑥 = 12

Bsp 2:

1 + 2𝑥2 = 9 │ −1

2𝑥2 = 8 │ : 2

𝑥2 = 4 │ √

𝑥1 = 2 kurz: 𝑥 = ±2

𝑥2 = −2

Bsp 3:

𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 9 1. binom. Formel

(𝑥 + 2)2 = 9 │ √

𝑥 + 2 = ±3 │ −2

𝑥1 = 1

𝑥2 = −5

Bsp 4:

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Lineare Gleichungssysteme

Rechnen mit Potenzen mit rationalem Exponenten

Logarithmus

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Funktionen

Definition:

Arten von Funktionen:

• Lineare Funktionen

• Allgemeine quadratische Funktionen

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• Ganzrationale Funktionen

d.h. lineare und quadratische Funktionen sind spezielle ganzrationale Funktionen

• Gebrochenrationale Funktionen

• Sinus- und Kosinusfunktion

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• Exponentialfunktion

Untersuchung von Funktionen

• Definitionsmenge Alle x-Werte, für die die Funktion definiert ist, d.h. die man ohne Widerspruch in die Funktion „einsetzten kann.“

• Nullstellen 𝒇(𝒙) = 𝟎

• Symmetrie Achsensymmetrie bzgl. der y-Achse:

𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) Punktsymmetrie zum Ursprung

−𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥)

Bsp: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 𝐷𝑓 = ℝ

𝑔(𝑥) =2

𝑥−3 𝐷𝑔 = ℝ\{3}

ℎ(𝑥) = √𝑥 + 1 𝐷ℎ = [1; +∞[ Bsp: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2 0 = 3𝑥 − 2 │+2 2 = 3𝑥 │:3

𝑥 =2

3

Achsensymmetrie Punktsymmetrie bzgl. der y-Achse zum Ursprung

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Verhalten im Unendlichen (Grenzwerte)

Konvergenz: Nähern sich die Funktionswerte f(x) für 𝑥 → ±∞ einer Zahl a beliebig genau, so heißt a Grenzwert (Limes) der Funktion f. Divergenz: Wachsen dir Funktionswerte f(x) für 𝑥 →±∞ unbegrenzt nach −∞ oder +∞ so sagt man, die Funktion divergiert bestimmt.

Bsp:

Bsp:

Polynomdivision

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