- 130 -

C Modellierung mit MATLAB /SIMULINKIn diesem Abschnitt wird auf die Umsetzung der Modellierung aus Kapitel 4eingegangen. Das Simulationsmodell wurde unter MATLAB Version 4.2 undSIMULINK Version 1.2 erstellt. Da das Modell relativ umfangreich ist, wird eshirarchisch gegliedert. Jede Ebene des Modells besteht aus einem Blockschaltbild mitEin- und Ausgngen fr den Austausch der Zustnde mit dem bergeordnetenBlockschaltbild.Zunchst werden jedoch andere Formulierungen der Gleichungen betrachtet, die denVorteil bieten, die numerische Steifigkeit etwas herabzusetzen. Hierbei werden dieLeitungsinduktivitten bei der Volumenstromberechnung und bei derDifferentialgleichung fr das Ventil mit einbezogen, anstatt diese separat in einerLeitungsgleichung zu berechnen.

C.1 Bercksichtigung der Leitungsinduktivitten bei derVolumenstromberechnung

Betrachtet wird ein Ventil, an das am Ein- und Ausla eine Leitung angeschlossen ist.Das Durchfluverhalten des Ventils wird durch

22

1402 + +

= d u ud

u p ph sp sph

sp u o& ( C-1 )

beschrieben. pu steht fr den Druck am Einla und po entsprechend fr den Druck amVentilausla. Diese Drcke werden aus dem bertragungsverhalten der angeschlossenenLeitungen ermittelt, fr die

p pL

DQ

L

DQ1 2 2 4

4 128 = +

&

( C-2 )

berechnet werden kann. Fat man in Gleichung ( C-2 ) die Konstanten Ausdrckezusammen erhlt folgende Gleichung:

p p IQ RQ1 2 = +& ( C-3 )

Der Druck p1 entspricht dem am Eingang der Leitung und p2 entspricht bei Druck amAusgang der Leitung. Kennzeichnet man alle Gren der Leitung zum Ventil hin miteinem E und alle Gren der nachgeschalteten Leitung mit einem A kann Gleichung ( C-3 ) wie folgt umgeformt werden:

p p I Q R QE E E E1 2 = +& ( C-4 )

p p I Q R QA A A A1 2 = +& ( C-5 )

mit

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p pu E= 2 ( C-6 )

p po A= 1 ( C-7 )

kann man die Differentialgleichung zur Berechnung der instationrenSpaltgeschwindigkeit aus Gleichung ( C-1 ) in die nachfolgende Form berfhren.

( ) ( )22

14021 2d u u d

u p R Q I Q p R Q I Qh sp sph

sp E E E A A A&& &

+ + = + +

( C-8 )

Durch Umformen der Gleichung ( C-8 ) erhlt man

( ) ( ) ( )22

14021 2d u I I Q u d

u p R Q p R Qh sp E A sph

sp E E A A&&

+ + + + = +

( C-9 )

Die Gleichung ( C-9 ) zusammen mit der Zeitableitung des Volumenstroms

& && & &Q h S u A u AV V sp sp sp sp= + + ( C-10 )

fhrt schlielich auf den in Gleichung ( C-11 )) wiedergegeben mathematischenZusammenhang.

( ) ( ) ( )( )( )

( )

p R Q p R Q d I I A u u

dI I A u

I I S h

E E A A h E A sp sp sp

hE A sp sp

E A V V

1 222

2

140

+ = + + + +

+

+ +

+

+ +

&

&

&&

( C-11 )

Der erste und zweite Term auf der linken Seite von ( C-11 ) entsprechen denLeitungsdrcken unter Vernachlssigung der Leitungsinduktivitten, die jetzt auf derrechten Seite von ( C-11 ) bercksichtigt werden. Damit knnen dieLeitungsinduktivitten direkt in der Volumenstromberechnung bercksichtigt werden.Das bertragungsverhalten der Leitungen wird zur Berechnung derSpaltgeschwindigkeit nach ( C-11 ) allein durch die Strmungswiderstnde bestimmt.Damit wird durch den zustzlichen Massenanteil die Differentialgleichung zurBerechnung der Spaltgeschwindigkeit langsamer, wodurch die Schrittweite grer unddie bentigte Simulationszeit kleiner wird. Eine weitere Verkrzung der Rechenzeitenwird durch die Auflsung der algebraischen Schleife erzielt, die mitMATLAB/SIMULINK nur unter groer Aufwendung an Rechenzeit gelst werdenkann.

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C.2 Bercksichtigung der Leitungsinduktivitten in der Ventil - DGL

Nachfolgend wird gezeigt, da der Anteil der Leitungsinduktivitten, der proportional zu&&hv ist, direkt als zustzliche Masse zur Masse des Ventilkrpers addiert werden kann.Gem Gleichung ( 4-4 ) gilt fr die Ventil-Differentialgleichung folgenderZusammenhang

F m h dh kh F m g gV v,bew v v v F K= + + + +&& & cos0 ( C-12 )

Kraft auf den Schliekrper FV kann, wie hier fr das Einlaventil, nach Gleichung (4-36 ) zu

( )( ) ( )

( ) ( )

F p A p A A

Asign Q S h Q S h

S

Asign h h sign Q

Q

A

V EIN EIN AUS AUS W

AUSv v v v

v

AUSv v

EIN

= + +

+

+

2 2 3

1

2

2

2

22

1

*& &

& &

( C-13 )

berechnet werden. Fat man die Strmungskrfte zusammen ergibt sich eine einfacheBeziehung fr die Kraft auf den Schliekrper.

( )F p A p A A CV EIN EIN AUS AUS W= + +2 2 3 ~ ( C-14 )

Einsetzen von ( C-14 ) in ( C-12 ) ergibt

( )p A p A A C m h dh kh F m g gEIN EIN AUS AUS W v,bew v v v F K + + = + + + +2 2 3 0~ && & cos ( C-15 )

Die Drcke pEIN und pAUS2 werden aus dem bertragungsverhalten der angrenzendenLeitungen berechnet. Das bertragungsverhalten der Leitungen kann in der folgendenForm

p p IQ RQ1 2 = +& ( C-16 )

dargestellt werden. Der Druck p1 entspricht dem am Eingang der Leitung und p2entspricht bei Druck am Ausgang der Leitung. Kennzeichnet man alle Gren derLeitung zum Ventil hin mit einem E und alle Gren der nachgeschalteten Leitung miteinem A kann Gleichung ( C-16 ) wie folgt umgeformt werden:

p p I Q R QE E E E1 2 = +& ( C-17 )

und

p p I Q R QA A A A1 2 = +& ( C-18 )

Mit pEIN = pE2 und pAUS2 = pA1 und unter Verwendung der Gleichung fr die Zeitableitungdes Volumenstroms

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& && & &Q h S u A u AV V sp sp sp sp= + + ( C-19 )

knnen die Leitungsdrcke in die folgende Form berfhrt werden:

( )p p I h S u A u A R QEIN E E V V sp sp sp sp E= + + 1 && & & ( C-20 )

und

( )p p I h S u A u A R QAUS A A V V sp sp sp sp A2 2= + + + +&& & & ( C-21 )

Einsetzen der Gleichungen ( C-20 ) und ( C-21 ) in ( C-15 ) fhrt auf die folgenden Formder Ventil - Differentialgleichung

( )( )( )( ) ( )

m h dh kh F m g g

p I S u A u A R Q A

p I S u A u A R Q A A C

v,bew v v v F K

E E V sp sp sp sp E EIN

A A V sp sp sp sp A AUS W

&& & cos

&&h & &

&&h & &~

v

v

+ + + + =

+ + +

+ + + + + +

0

1

2 2 3

( C-22 )

die umgeformt folgende Gestalt annimmt:

( )( )( )( )( )( ) ( )

m &&h d&h kh F m g cos

&

&

&

&

~

, v v v F0 Kv bew E V EIN A V AUS W

E E sp sp sp sp E EIN

A A sp sp sp sp A AUS W

I S A I S A A

p I u A u A R Q A

p I u A u A R Q A A C

+ + + + + + + =

+ +

+ + + + +

2 3

1

2 2 3

( C-23 )

Anhand Gleichung ( C-23 ) wird deutlich, da Anteile der Leitungsinduktivitten in derBewegungsgleichung fr den Ventilschliekrper eingesetzt werden knnen, die man alszustzliche Massen betrachten kann.

Die Ableitung des Volumenstroms mu in diesem Fall um den Anteil derVentilbeschleunigung verringert in der folgenden Form

& & &*Q u A u Asp sp sp sp= + ( C-24 )

zur Berechnung des bertragungsverhaltens der Leitungen herangezogen werden. Mitder hier wiedergegebenen Umstellung des Gleichungssystems ist es mglich einalgebraische Schleife aufzubrechen, die mit MATLAB/SIMULINK nur untererheblichem Aufwand an Rechenzeit zu lsen ist.

C.3 Struktur des Modells

Durch die eingangs erwhnte Struktur des Modells mit verschiedene Ebenen, ergebensich relativ viele Blockschaltbilder in SIMULINK, die in einer Baumstruktur mitentsprechenden Verzweigungen an der obersten Ebene (Wurzel der Baumstruktur) in

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Bild C-1 angeordnet sind. Der Aufbau der Verzweigungen ist entweder nachBaugruppen oder Funktionsgruppen gegliedert. An der obersten Ebene sind dieuntergeordneten Funktionsgruppen Regler und Bewegungsgleichung und dieBaugruppen Kolbenpumpe mit selbsthelfenden Ventilen und HydropneumatischerSpeicher angeordnet. Durch diese Struktur fllt es leicht, sich durch das Modell zubewegen um ggf. nderungen vorzunehmen. Weiterhin ist der modulare Aufbau zuerwhnen. Wie an dem Beispiel des Einlaventils in Bild C-4 und des Auslaventils inBild C-6 zu erkennen ist, haben beide Blockschaltbilder die gleiche Struktur. Durchdiesen modularen Aufbau ist es auch mglich, relativ bequem eine andere Kolbenpumpe(z.B. eine Mehrkolbenpumpe) zu konfigurieren.In Bild C-1 ist ein Block mit der Bezeichnung DOT-4SL zu erkennen. Hier werdenanhand der Eingabeparameter Wassergehalt in Prozent und der Temperatur in GradCelsius die Eigenschaften der Bremsflssigkeit aus abgelegten Tabellen ermittelt. DieMedaten, die diesen Tabellen zugrunde liegen stammen von der Bremsflssigkeit mitdem Handelsnamen ATE DOT 4 SL.Die Hierarchie der einzelnen Module ist in Bild C-2 dargestellt. Um ein Einblick in dasModell zu geben soll hier exemplarisch in den Bildern C-3 bis C-10 der Weg durch dieumgekehrte Baumstruktur von der Wurzel bis in die Astspitzen aufgezeigt werden. In

1.013*BAR

pBehaelter

190*BAR

Arbeitsdruck[bar]

HydropneumatischerSpeicher

pspeicher

xbalg

30*CELSIUS

Temperatur[C] DOT4_SL

[nhy][E]

[rho][Pd]

Sollhub

20/S

Hubfrequenz

Bewegungs-gleichung

Kolben+Motor

Regler

Regler

Fmotor

pk

pk

Clock

tt

Motor-Pumpen-Speicher-Aggregat -Modell (MPSA)

Kolbenpumpe mitselbsttaetigen

Ventilen

Qaus

Bild C-1: oberste Ebene Modell MPSA01.M

- 135 -

Bild C-2 sind verweise an der ensprechenden Stelle auf die Blockschaltbilder (Bsp.: BildC-5 ist das Blockschaltbild fr den Druckaufbau).Gesondert zu erwhnen sind noch die in Bild C-5 schwarz hinterlegten Blcke derLogikschaltung fr die Umsetzung der Modellierung der Saugdrosselung. Dieserealisieren die in Bild 4-12 gezeigte Saugdrosselung.

MPSA Oberste Modellebene

Sollhub

Eigenschaftender Bremsflssigkeit

Bewegungs-gleichung

HydrospeicherKolbenpumpe mit selbstttigen Ventilen

Einlaventil Druckaufbau Auslaventil

Ventil- DGLStrmungskraft+ Massenstrom

Berechnung der Strmungskrfte und des Massenstromes

Volumenstrom Strmungskraft

Bild C-3

Bild C-4 Bild C-5 Bild C-6

Bild C-8

Bild C-7

Bild C-9 Bild C-10

ImpulssatzDrei analytische Gleichungen1. Leitungssystem Pumpe / Speicher2. Spaltgeschwindigkeit u3. Leitungssystem Kolben / Speicher

sp

Bild C-2: Hierarchie des Simulink-Modells MPSA01.M

- 136 -

Kolbenpumpe mit selbstttigen Ventilen

Auslassventil+Leitungssystem

Einlassventil+Leitungssystem

5

pd

1

pk

2

6

pspeicher

Druckaufbau

2

xk 3

pbehaelter4

NhyE

Rho

1

xk

Bild C-3: Abbildung der Kolbenpumpe mit selbstttigen Ventilen

dMe

dM

Fste

Fst

1/N

1/Newton

Strmungskraft+Massenstrom

1

p3 (pEingang -Ventil/Kolben)

2

p1 (pAusgang -Behaelter/Ventil)

4

xkolben

1

Volumenstrom

VentilDGL

3

NhyE

RHO

hvxe

1/MM

1/MM

Demux

hvdhv

ddhv

hvxe

hv

Einlassventil + Leitungssystem

Bild C-4: Modellierung des Einlaventils

- 137 -

Logikschaltung fr die Saugdrosselung

VX

-

+

+

-K-

Akolben

2

xk

pi*rkolben*rkolben*khu

Vhub=Akolben*khu

0.43*CM*CM*CM

V0=0,43*CM_3

6

pDampf

1/s

=

1

pk[bar]

Division

1/s

Schalter 4/2*

E*Q

- Leckage wird vernachlaessigt

5

NhyE

RHO

Demux

>

-1

1

xk

4

Q_aus

3

Q_ein

-K-

Akolben

OR AND

Qein

Mux

hvdhv

ddhv

Qein

aus

Qkomp

+

-

+

dpk/dt[bar /s]

Druckaufbau (Arbeitsraum)

Bild C-5: Modellierung des Druckaufbaus

Auslassventil + Leitungssystem

1

Volumenstrom

Strmungskraft+Massenstrom

2

pKolben

4

xKolben

3

NhyE

RHO

1

pSpeicher

VentilDGL

Demux

hvdhv

ddhv

hvx

dM

dM

1

1/N

Fst

Fst

hvx

hv_

Bild C-6: Modellierung des Auslaventils (analog zu dem Einlaventil)

- 138 -

Bewegungsgleichung Ventil

2

NhyE

Rho

Demux

NhyE

Rho

3

xkolben

Daempfungskraft

1/u[1]

1/Masse

+

+

4/3*pi*rke*rke*rke*Rhoke+1/3*Mfedere

Masse Ventilkoerper+1/3*Mfeder

Massenanteilder bewegten

Fluessigkeitssule

*

+

-

-

1

Fstroem

1

hvdhv

ddhv_

Mux

hvdhv

ddhv

Stoss-simulation

e=.4NEU

Federkraft

Bild C-7: Blockschaltbild der Differentialgleichung fr die Ventildynamik

1

Fstrm

StrmungskraftVolumenstrom

2

Volumenstrom

1

hv

2

NhyE

Rho3

p3(Pkolben)

4

p1(Behaelter)

5

xkolben

Berechnung der Strmungskraft und des Massenstroms

Bild C-8: Aufteilung der Berechnung von Volumenstrom und Strmungskraft

- 139 -

Volumenstromberechnung

1

hvdhv

ddhv

3

p3(pKolben)2

NhyE

Rho

4

p1(Behaelter)

3

Qusp

Leitungssystem-Pumpe/Speicher(Widerstaende)

LeitungssystemKolben/Speicher(Induktivitaeten)

6

Rho

2

p3

1

p1_

f(u)

sin(Alpha)=f(DeltaR)

f(u)

DeltaR=f(hv)

Demux

hvdhv

ddhv

5

xkolben

5

Qaus

4

Qverdr

Bild C-9: Volumenstromberechnung mit 3 analytischen Gleichungen(siehe auch Bild C-2)

1

Kraft aufSchliesskoerper

f(u)

Fk (Impulssatz)

Sign(Qverd)

Sign(Qusp)

Mux

6

Rho

4

Qverd

3

Qusp

2

P4

1

P1

5

Qaus

Strmungskraft

Strmungskraft nachdem Impulssatz berechnen

Bild C-10: Berechnung der Strmungskraft ber den Impulssatz