Helmut Bode

MATLAB-SIMULINK

Analyse und Simulation dynamischer Systeme

Helmut Bode

MATLAB-SIMULINK

Analyse und Simulation dynamischer Systeme

2., vollstandig uberarbeitete Auflage

Mit 119 Abbildungen, 10 Tabellen und 108 Beispielen

Teubner

Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutscine Bibliotinek verzeicinnet diese Publikation in der Deutscinen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografiscine Daten sind im Internet uber <http://dnb.ddb.de> abrufbar.

Prof. Dr.-lng. Helmut Bode, geb. 1939, 1957 Berufsabschluss Stahlschiffbauer, 1960 Ingenieur Ingenieurschule Magdeburg, 1967 Dipl.-lng. fur Regelungstechnik TH Magdeburg, 1975 Dr.-lng., 1979/1980 Dozent fur Automatisierungstechnik Universidade „Eduardo Mondlane" Maputo in Mozambique, anschlieBend Lehrverpflichtungen -Facultas docendi- im Fach Regelungstechnik und Prozesssteuerung an derTH Magdeburg, 1989-1992 Projektingenieur in Nurnberg, 1992/1993 Lehr-auftrage an der FH Nurnberg, 1993-2003 Professor fur Theoretische Grundlagen automatisierter Systeme an der HTW Dresden.

1. Auflage 1998 2., vollst. uberarbeitete Auflage September 2006

Alle Rechte vorbehalten © B.G.Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006

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ISBN-10 3-8351-0050-5 ISBN-13 978-3-8351-0050-3

Vorwort Die Notwendigkeit der computerunterstutzten Analyse und Synthese dynamischer Systeme und das Vorhandensein leistxingsfahiger Rechner haben zahlreiche Softwareprodukte auf den Markt gebracht. Die in diesem Buch auf die Belange der Analyse und Simulation dynamischer Systeme und der linearen Regelungstechnik angewendete Software M A T L A B ® u n d S i m u 1 i n k ® gehort mit zu den am weitesten verbreiteten Produkten dieser Art. Auf der Grundlage des Prinzips Lehren und Lernen mit dem Computer soil den Studierenden eine Anweisung in die Hand gegeben werden, die es ihnen erlaubt, den in der Vorlesung vorgetragenen Stoff in Form von betreuten und selbstandigen Ubungen am Rechner zu erlemen, zu hinterfragen und zu festigen. Neben den Studierenden richtet sich dieses Buch aber auch an Fachleute aus der Praxis, Forschung und Entwicklung, die entsprechende Aufgabenstellungen zu losen haben. Grundlagen fur die in diesem Buch durchgefuhrten Berechnungen sind:

MATLAB Version 7.1 (R14SP3) Simulink Version 6.3 (R14SP3) Control System Toolbox Version 6.2.1 (R14SP3) Symbolic Math Toolbox Version 3.1.3 (R14SP3)

Filr das Uberlassen dieser Software bedanke ich mich bei The Math Works, 3 Apple Hill Drive, Natick, MA 01760-2098 USA und speziell bei Courtney Esposito and Naomi Femandes von The Math Works Book Program. Eine der wesentlichen Voraussetzungen fur die Automatisierung technologischer Prozesse ist die Analyse und Simulation dynamischer Systeme. Die damit im Zusammenhang auftretenden Grundbegriffe werden im ersten Kapitel - Einleitung - behandelt. In die notwendigen Grundoperationen von MATLAB und in die Grundbausteine der Simulink-Signalflussplane wird in dem zweiten und dritten Kapitel eingefuhrt, sie konnen aber nicht die entsprechenden Handbiicher bzw. die M-fiinction help name I doc name ersetzten. Ohne Systemanalyse keine Computersimulation, d.h. die Analyse und Simulation dynamischer Systeme mit einem Softwareprogramm setzt das Vorhandensein mathematischer Modelle voraus. Die Beschreibung des Aufbaus der Modelle konkreter und abstrakter sowie linearer und nichtlinearer Systeme ist Gegenstand des vierten Kapitels. Vertieft werden diese Zusammenhange durch das Aufstellen der mathematischen Beziehimgen zum dynamischen Verhalten an drei physikalisch unterschiedlich konkreten Systemen. Zwei davon liefern das gleiche abstrakte Modell in Form einer linearen Differenzialgleichung 1. Ordnung. Das Zeitverhalten des dritten Systems wird durch eine nichtlineare Differenzialgleichung 1. Ordnung beschrieben. Die dazugehorenden Simulink-Signalflussplane werden angegeben. Fiir eine computergestutzte Simulation ist es notwendig, die mathematischen Modelle der zu simulierenden Systeme in einer geeigneten Form darzustellen. Unter MATLAB/Simulink ist besonders die Darstellung in Form der nichtlinearen bzw. linearen Zustandsraumbeschreibung, d.h. als Vektor-Matrix-Differenzial-Gleichungssystem bzw. als Signalflussplan, geeignet. Die dazu erforderlichen Grundlagen, einschlieBlich der Bildung der nichtlinearen Funktionen und der Linearisierung sind ebenfalls Inhalt des vierten Kapitels.

VI Vorwort

Gegenstand des fiinften Kapitels ist die Vorgehensweise bei dem Erstellen mathematischer Prozessmodelle an Hand eines mechanischen Systems Stab-Wagen, eines Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motors, der Vereinigung dieser Systeme zum Inversen Pendel, eines Modellregelkreises, eines spmngfahigen Systems in Form eines elektrischen Netzwerkes sowie eines RLC-Netzwerkes als Bruckenschaltung. Die mathematischen Modelle der im funften Kapitel behandelten Beispiele reprasentieren eine groBe Klasse von nichtlinearen bzw. linearen Systemen, die durch nichtlineare bzw. lineare Differenzialgleichungen im Zustandsraum beschrieben werden. Fiir die linearen Systeme wird auch die Beschreibung durch Ubertragungsflinktionen eingesetzt. Das Bilden der Modelle wird Schritt flir Schritt aufgezeigt, wobei Wert auf das NachvoUziehen moglichst vieler Schritte mit Hilfe der Symbolic Math Toolbox gelegt wurde. Die im funften Kapitel abgeleiteten Modelle werden in der Mehrzahl der spateren Beispiele immer wieder verwendet. Fiir jedes Modell existiert eine in MATLAB geschriehene function, mit der die Daten der Zustandsmodelle bzw. der Ubertragungsflinktionen ausgegeben werden konnen. Die Gliederung der weiteren Kapitel richtet sich im Wesentlichen nach der Vorgehensweise bei der Vermittlung regelungstechnischer Grundlagen. Das sechste Kapitel beinhaltet die Moglichkeiten der Beschreibung linearer, zeitinvarianter Systeme im Zeit- und Frequenzbereich. Das siebente Kapitel hat Testsignale und ihre Zeitantworten zum Inhalt. Die Eigenschaften linearer, zeitinvarianter Systeme und die verschiedenen Arten der Modelltransformation sind Gegenstand des achten Kapitels. Im neunten Kapitel werden die einzelnen Moglichkeiten des Zusammenschaltens zweier Systeme zu einem Gesamtsystem aufgezeigt, wobei die Beschreibung durch tJbertragungsfiinktionen und Zustandsmodelle getrennt behandelt wird. Die MATLAB Codes der vom Verfasser geschriebenen fimctions, Beispiele, Gleichungen sowie einiger Signalflussplane sind unter Funktionm, Beispielm, Gleichungm sowie Signalflussplanmdl auf der Homepage des Verlags unter:

http://www.teubner.de/

abgelegt.

Mein besonderer Dank gilt unserem Sohn, Dipl.-Ing. Stephan Bode, fur die wertvollen fachlichen Hinweise und fiir die gewahrte Untersttitzung. Herm Dr. Feuchte und Frau McLemore vom B.G. Teubner Verlag danke ich fur die gute Zusammenarbeit und vor allem fiir die aufgebrachte Geduld.

Fiir die Untersttitzung zu Fragen von MATLAB und Simulink bedanke ich mich bei Herm Dr.-Ing. N. Nessar von The Math Works GmbH in Ismaning bei Miinchen.

Fiir die Hilfe bei dem Auffinden von historischem Material zur Automatisierung mochte ich mich bei Frau Steffi Lange und Frau Corina Schnelle von der Universitatsbibliothek der Otto-von-Guericke-Universitat Magdeburg sowie bei Herm Klaus Wiebelitz von der Bibliothek im DB Museum der Deutschen Bahn AG, Niimberg, bedanken.

Vorwort VII

Mein Dank richtet sich an Frau Prof. Dr. Elisabeth Flitner vom Institut fur Erziehungswissenschaft der Universitat Potsdam fiir die Hinweise zu dem Begriff der Automatisierimg im Bereich der Soziologie imd Sozialpolitik. Bei meiner Suche nach den Lebensdaten einiger der im Buch aufgefflhrten historischen Personlichkeiten wurde ich durch die Damen der Bibliothek der Hochschule fur Technik und Wirtschaft Dresden, durch Herm Malz von der Abteilung Hochschularchiv an der Universitatsbibhothek der Technischen Universitat Berlin; durch Frau Dagmar Wolff von der Dombauverwaltung Koln; durch Frau Dr. Leonie Becks von der Dombauhutte Koln; durch Frau Carolin Wrede von der Stadt Hagen; durch Frau Iris Putzer von der Landwirtschaftlichen Fakultiit der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universitat Bonn und durch Frau Jutta Schoffel von der Abteilung Historische Drucke der Staatsbibliothek zu Berlin, PreuBischer Kulturbesitz, untersttitzt, dafur sage ich Dank. In diesem Zusammenhang gilt weiterhin mein Dank den Herren Prof. Glaser de Lugo imd Steve Jillson von der California State Polytechnic University Pomona, CA; Herm Dr. Bob Size aus Huntsville, Alabama, ehemals NASA's Marshall Space Flight Center; Talar Kizirian aus dem Archiv der Bibliothek der Harvard University Cambridge, MA und Carol Whittaker vom Benson Ford Research Center Dearborn, MI.

Mein Dank ware letztlich unvoUstandig, wenn ich in ihm nicht meine Frau Rosemarie fur das Korrekturlesen sowie fur das sicherlich schwer aufzubringende Verstandnis fur meine zeitraubende Beschaftigung mit den Problemen die dieses Buch entstehen lieBen, einschlieBen wilrde. Fiir Letzteres danke ich auch unseren Kindern Constance mit Daniel und Stephan mit Manja.

Postbauer-Heng, im August 2006

Helmut Bode

www.bode-heros.de herob(S)bode-heros.de

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung 1

2. Einfuhrung in MATLAB 7 2.1 Eingaben 7

2.1.1 Direkte Eingabe 7 2.1.2 Der MATLAB Editor 8 2.1.3 Indirekte Eingabe uber Skxip-Dateien 8 2.1.4 IndireJite Eingabe iiber Funktionsdateien 8

2.2 Kommandos, Operationen, Werte und Funktionen 9 2.2.1 Niitzliche Kommandos 9 2.2.2 Gmndoperationen mit den Variablen a und b 10 2.2.3 Spezielle Werte 11 2.2.4 Auswahl haufig benotigter Funktionen 11 2.2.5 Operationen mit komplexen Zahlen 12

2.3 Matrizen 12 2.3.1 Matrizen und die Eingabe ihrer Elemente 13 2.3.2 Information iiber eine Matrix 14

2.3.2.1 DerTyp einer Matrix 14 2.3.2.2 Quadratische Matrizen 14 2.3.2.3 Die mogliche Anzahl quadratischer Untermatrizen einer Matrix 15 2.3.2.4 Die Determinante einer quadratischen Matrix 15 2.3.2.5 Singulare und nichtsingulare quadratische Matrizen 15 2.3.2.6 Der Rang einer Matrix 16 2.3.2.7 Die Transponierte einer Matrix 17 2.3.2.8 Die Inverse einer quadratischen Matrix 17 2.3.2.9 Die Werte der Diagonalelemente einer Matrix 18 2.3.2.10Die Spur einer Matrix 18

2.3.3 Spezielle Matrizen 18 2.3.4 Operationen mit einer Matrix 19 2.3.5 Operationen mit Matrizen 20

2.3.5.1 Matrixoperationen 21 2.3.5.2 Matrixoperationen - Element mit Element 21

2.3.6 Bilden erweiterter Matrizen 22 2.3.6.1 Stapeln von Matrizen 22 2.3.6.2 Aneinanderreihen von Matrizen 23

2.4 Vektoren 23 2.4.1 Skalar und Vektor 23 2.4.2 Vektoren und die Eingabe ihrer Elemente 24 2.4.3 Operationen mit Vektoren 24

2.4.3.1 Betrag eines Vektors 25

X Inhaltsverzeichnis

2.4.3.2 Abstand zwischen zwei Punkten im dreidimensionalen Raum 25 2.4.3.3 Skalarprodukt 28 2.4.3.4 Winkel zwischen zwei Vektoren 29 2.4.3.5 Vektorprodukt 29

2.4.4 Operationen mit Vektoren - Element mit Element 31 2.5 Polynome 32

2.5.1 Eingabe von Polynomen 32 2.5.2 Der Grad eines Polynoms 33 2.5.3 Operationen mit Polynomen 33

2.5.3.1 Multiplikation von Polynomen 33 2.5.3.2 Division von Polynomen 33 2.5.3.3 Addition und Subtraktion von Polynomen 34 2.5.3.4 Nullstellen bzw. Wurzeln eines Polynoms 35 2.5.3.5 Berechnung des zu seinen Nullstellen gehorenden Polynoms 35 2.5.3.6 Wert eines Polynoms an einer vorgegebenen Stelle 36 2.5.3.7 Ableitung eines Polynoms 36

2.6 Graphische Darstellungen 37

3. Einfiihrung in Simulink 41 3.1 Der Funktionsblock 41 3.2 Eingabe- und Ausgabeblocke 42

3.2.1 Ubergabe von Daten der Eingangssignale an das Modell 42 3.2.2 Darstellung der Ergebnisse oder Ausgabe der Daten der Simulation 43

3.3 Signalverbindungen - Informationsaustausch 44 3.4 Algebraische Schleifen - Algebraic Loops 47

3.4.1 Systeme mit proportionalem spnmgfahigem Verhalten 47 3.4.2 Algebraische Schleifen 47 3.4.3 Auflosen einer algebraischen Schleife 47 3.4.4 Einfugen eines ̂ /geZira/c Constraint-Blockes 51

3.5 S-Functions 53 3.6 Maskieren von Systemen 53 3.7 Embedded MATLAB Functions 56

4. Modellbildung 59 4.1 Das mathematische Modell 59

4.1.1 Variable 59 4.1.1.1 Unabhangige Variable 59 4.1.1.2 Abhangige Variable 59 4.1.1.3 Konstruktive und technologische GroBen 59

4.1.2 Gleichungen 59 4.1.3 Nebenbedingungen 60 4.1.4 Artender Simulation mit mathematischen Modellen 60 4.1.5 Mathematische Modelle und Systeme 60

4.1.5.1 Auslegungsmodelle 60 4.1.5.2 Betriebsmodelle 60 4.1.5.3 Automatisierungsanlage 60

Inhaltsverzeichnis XI

4.1.5.4 Automatisierungssystem 60 4.1.5.5 Konkrete und abstrakte Systeme 61

4.1.6 Mathematisches Modell zweier konkreter linearer Systeme 61 4.1.6.1 Mathematische Modelle der beiden konkreten linearen Systeme 61 4.1.6.2 Abstraktes System - mathematisches Modell der linearen Systeme 62 4.1.6.3 Abstraktes System - Losung der linearen Differenzialgleichung 1. Ord 62 4.1.6.4 Gesamtbewegung in allgemeiner Form 64 4.1.6.5 Symbolische Losung mit der M-function t/ra/ve 64

4.1.7 Signalflussplan eines abstrakten linearen Systems 1. Ord 65 4.1.8 Mathematisches Modell eines konkreten nichtlinearen Systems 65

4.1.8.1 Aufgabenstellung 65 4.1.8.2 Modellbildung 66 4.1.8.3 Differenzialgleichung des Fiillstandes 66 4.1.8.4 Signalflussplan des nichtlinearen Systems 66

4.1.9 Die numerische Losung der Modellgleichungen 67 4.2 Prozessanalyse 68

4.2.1 Methoden der Prozessanalyse 68 4.2.2 Ablauf der Prozessanalyse 69

4.3 Erhaltungssatz der Masse 69 4.3.1 Massenbilanz 69 4.3.2 Energie-Masse-Beziehung 70

4.4 Erhaltungssatz der Energie - Energiebilanz 70 4.4.1 Potentielle Energie 71

4.4.1.1 Masse, in der Hohe h ruhend 71 4.4.1.2 Kondensator 71 4.4.1.3 Feder - Schraubenfeder 72 4.4.1.4 Torsionsstab - Torsionsbeanspruchte Feder 72

4.4.2 Kinetische Energie 73 4.4.2.1 Masse, reibungsfrei geradlinig bewegt - Translation 73 4.4.2.2 Masse, reibungsfrei drehend - Rotation 73 4.4.2.3 Spule 74

4.4.3 Dissipation der Energie 75 4.4.3.1 Kolben, geschwindigkeitsproportional gedampft - Translation 75 4.4.3.2 Rotierende Scheibe, geschwindigkeitsproportional gedampft 75 4.4.3.3 Ohmscher Widerstand 76

4.4.4 Lagrange'sche Bewegungsgleichung 2. Art 76 4.4.4.1 Die Bewegungsgleichungen 77 4.4.4.2 Verallgemeinerte Koordinaten 77 4.4.4.3 Verallgemeinerte Geschwindigkeiten 77

4.4.5 Warmeenergie 78 4.4.5.1 Innere Energie - thermodynamisches System 78 4.4.5.2 Energieanderung durch Warmeubergang 78 4.4.5.3 Volumenanderungsarbeit 79 4.4.5.4 Enthalpie 79 4.4.5.5 Enthalpieanteile 79 4.4.5.6 Warmeanteile 80

XII Inhaltsverzeichnis

4.4.5.7 Technische Arbeit 80 4.5 Erhaltungssatz des Impulses - Impulsbilanz 81 4.6 Beschreibung im Zustandsraum 81

4.6.1 Gmndlagen zur Beschreibung konkxeter Systeme 81 4.6.2 Allgemeine Aussagen zur Beschreibung im Zustandsraum 82 4.6.3 Geometrische Deutung der Beschreibung im Zustandsraum 83 4.6.4 Das Zustandsmodell 83 4.6.5 ZustandsgroBen 84 4.6.6 Systemgleichungen nichtlinearer dynamischer Systeme 85

4.6.6.1 Nichtlinear zeitvariables System 85 4.6.6.2 Nichtlinear zeitinvariantes Systems 85

4.7 Linearisierung nichtlinearer zeitinvarianter Systeme 87 4.7.1 Ableitung der Matrizen des linearisierten Systems 87 4.7.2 Die nichtlineare Vektorfunktion f der Differenzialgleichung 88 4.7.3 Die nichtlineare Vektorfiinktion g der Ausgangsgleichung 89 4.7.4 Systemmatrix A 89 4.7.5 Steuermatrix B 90 4.7.6 StormatrixB^ 90 4.7.7 Ausgangsmatrix C 90 4.7.8 Durchgangsmatrix D der SteuergroBe 91 4.7.9 Durchgangsmatrix D^ der StorgroBe 91

4.8 Linear zeitinvariante Systeme in der Standardform 92 4.8.1 MehrgroBensysteme 92 4.8.2 Die linearen Systemgleichungen 92 4.8.3 EingroBensysteme 93 4.8.4 Lineare Zustandsmodelle mit der M-function s.? 94

5. Systeme und ihre mathematischen Modelle 95 5.1 Das System Stab-Wagen 95

5.1.1 Verallgemeinerte Koordinaten des Systems Stab-Wagen 96 5.1.1.1 Schwerpunkt des Stabes 96 5.1.1.2 Symbohsche Berechnung der Schwerpunktkoordinaten 97 5.1.1.3 Schwerpunkt des Wagens 97

5.1.2 System Stab-Wagen - Nichtlineares Modell 97 5.1.2.1 Verallgemeinerte Koordinaten 97 5.1.2.2 Kinetische Energien 97 5.1.2.3 Potentielle Energie 98 5.1.2.4 Dissipation der Energie 98 5.1.2.5 Potentiale 98 5.1.2.6 Nichtlineare Differenzialgleichung des Winkels 98 5.1.2.7 Nichtlineare Differenzialgleichung des Weges 99

5.1.3 Die nichtlinearen Differenzialgleichungen des Systems Stab-Wagen 100 5.1.4 System Stab-Wagen - linearisiertes Modell 102

5.1.4.1 Linearitatsbereich 102 5.1.4.2 Vektor-Matrix-Differenzialgleichung fur den Linearitatsbereich 103 5.1.4.3 Arbeitspunkt 103

Inhaltsverzeichnis XIII

5.1.4.4 Vektor-Matrix-Differenzialgleichung des linearisierten Modells 103 5.1.4.5 Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung des linearisierten Modells 104 5.1.4.6 Eigenwerte des Systems Stab-Wagen mit den M-functions eig imd esort.... 104

5.1.5 Signalflussplan des linearisierten Stab-Wagen-Modells 105 5.2 Antrieb - Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motor 105

5.2.1 Grundgleichungen - elektrische Seite 105 5.2.1.1 Spannungsbilanz 105 5.2.1.2 Geschwindigkeit eines Seilpunktes 106 5.2.1.3 Im Motor induzierte Spannung 107 5.2.1.4 Differenzialgleichung flir den Ankerstrom 107

5.2.2 Grundgleichungen - mechanische Seite 107 5.2.2.1 Mechanisch-elektrische Kopplimg des Motors 107 5.2.2.2 Beschleunigungsmoment 107 5.2.2.3 Lastmoment 108 5.2.2.4 Gesamtmoment des Motors 108 5.2.2.5 Differenzialgleichung fur die Geschwindigkeit eines Seilpunktes 108

5.2.3 Zustandsbeschreibung des Antriebs 108 5.2.3.1 Vektor-Matrix-Differenzialgleichung 108 5.2.3.2 Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung 108 5.2.3.3 Signalflussplan des Antriebs 109 5.2.3.4 Eigenwerte des Antriebs 109

5.2.4 Vereinfachtes Modell des Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motors 110 5.2.4.1 Mechanische und elektrische Zeitkonstante 110 5.2.4.2 Grundgleichungen - elektrische Seite 110 5.2.4.3 Differenzialgleichung des reduzierten Antriebsmodells I l l 5.2.4.4 Eigenwert des reduzierten Gleichstrom-Scheibenlaufer-Motors I l l 5.2.4.5 Reduzieren der Modellordnung mit den M-functions modred und ssdelete ..111 5.2.4.6 Signalflussplan des reduzierten Modells 112 5.2.4.7 Funktion zur Berechnung der Modellgleichungen 112

5.3 Inverses Pendel 113 5.3.1 Die Seilkraft als KoppelgroBe zwischen den Teilsystemen 113 5.3.2 Vektor-Matrix-Differenzialgleichung 114 5.3.3 Vektor-Matrix-Ausgangsgleichung 115 5.3.4 Eigenwerte des Inversen Pendels, die M-functions eigunA esort 115 5.3.5 Funktion zur Berechnung der Modellgleichungen 115 5.3.6 Signalflussplan des Inversen Pendels 116

5.4 Modellregelkreis 116 5.4.1 Die Regelstrecke 117

5.4.1.1 Die SystemgroBen 117 5.4.1.2 Die Zustandsgleichungen 118 5.4.1.3 Die Ausgangsgleichungen 119 5.4.1.4 Das mathematische Modell im Zustandsraum 119 5.4.1.5 Ausgangsgleichung und Matrixubertragungsflinktion 119 5.4.1.6 AusgangsgroBe Kondensatorspannung iiber C2 120 5.4.1.7 AusgangsgroBe Gesamtstrom der Regelstrecke 121

5.4.2 Soll-Istwert-Vergleicher 121

XIV Inhaltsverzeichnis

5.4.3 PI-Regler 122 5.4.4 Stellglied 123 5.4.5 Signalflussplan des Modellregelkreises in der Standardform 124

5.4.5.1 Ubertragungsflinktionen der offenen Kette 124 5.4.5.2 Gleichungen des Regelkreises 125 5.4.5.3 Fiihrungsubertragungsflinktion 125 5.4.5.4 Storiibertragungsfunktion 125

5.4.6 Fehlerflinktionen des geschlossenen Systems 126 5.4.6.1 Allgemeine Beziehung 126 5.4.6.2 Fehlerfiinktion bei Anderung der FiihrungsgroBe 126 5.4.6.3 Fehlerfiinktion bei Anderung der StorgroBe 127 5.4.6.4 Funktion znr Berechnung des Modellregelkreises 127

5.5 Elektrisches Netzwerk - sprungfahiges System 127 5.5.1 Das mathematische Modell 128 5.5.2 Lineare, zeitinvariante Differenzialgleichung 2. Ordnung 129 5.5.3 Ubertragungsfiinktion des sprungfahigen Netzwerkes 129 5.5.4 Zustandsraummodell 129 5.5.5 Funktion zur Berechnung der Matrizen des Netzwerkes 131

5.6 RLC-Netzwerk als Bruckenschaltung 131 5.6.1 Mathematisches Modell 132

5.6.1.1 Maschengleichungen 132 5.6.1.2 ZustandsgroBen 133 5.6.1.3 Differenzialgleichungen der ZustandsgroBen 133 5.6.1.4 Ausgangsgleichung 133

5.6.2 Vektor-Matrix-GIeichungen des Zustandsmodells 134 5.6.3 Signalflussplan der Bruckenschaltung 134 5.6.4 Funktion zur Berechnung der Modellgleichungen 135 5.6.5 Ubertragungsfiinktion der Bruckenschaltung 135 5.6.6 Parameterproportionen der Bruckenschaltung 135

6. Mathematische Beschreibung linearer, zeitinvarianter Systeme 137 6.1 Lineare Ubertragungsglieder 137

6.1.1 Eindeutigkeit und Linearitat 137 6.1.1.1 Eindeutigkeit 138 6.1.1.2 Linearitat 138

6.1.2 Aktive und passive Ubertragungsglieder 138 6.1.2.1 Aktive Ubertragungsglieder 138 6.1.2.2 Passive UbertragungsgHeder 139

6.1.3 Speichervermogen von Ubertragungsgliedem 139 6.1.4 Prinzipien linearer Ubertragungsglieder 139

6.1.4.1 Prinzip der Zeitinvarianz 139 6.1.4.2 Prinzip der Homogenitat 139 6.1.4.3 Prinzip der Superposition 139 6.1.4.4 Prinzip der Rilckwirkungsfreiheit 140 6.1.4.5 Prinzip der Linearitat 140 6.1.4.6 Prinzip der Ortsunabhangigkeit der Systemparameter 140

Inhaltsverzeichnis XV

6.1.4.7 Grundeigenschaften eines Systems 140 6.2 Lineare Differenzialgleichungen und ihre Losung 141

6.2.1 Grundlagen 141 6.2.2 Numerische Losung von Differenzialgleichungen 141

6.2.2.1 Zustandsgleichungen ilir sprungfahige EingroBensysteme 143 6.2.2.2 Losung der Dgl. eines EingroBensystems mit der M-fiinction ode45 143

6.3 Die Laplacetransformation 144 6.3.1 Definition der Laplacetransformation 145 6.3.2 Die M-fLmctions laplace und ilaplace 146 6.3.3 Regeln fur das Rechnen mit der Laplacetransformation 147

6.3.3.1 Additionssatz 147 6.3.3.2 Ahnlichkeitssatz 148 6.3.3.3 Dampfiingssatz 149 6.3.3.4 Verschiebungssatz 149 6.3.3.5 Differenziationssatz 150 6.3.3.6 Integralsatz 151 6.3.3.7 Anfangswertsatz 152 6.3.3.8 Endwertsatz 152

6.3.4 Losen von linearen, zeitinvarianten Differenzialgleichungen 153 6.3.4.1 Die Laplacetransformierte einer Differenzialgleichung 153 6.3.4.2 Partialbruchzerlegung 156

6.4 Die Ubertragungsfimktion 160 6.4.1 tjbertragungsfunktion in der Polynomform 160

6.4.1.1 Polynomform mit der M-fimction tf 161 6.4.1.2 Systemparameter mit den M-fiinctions tfdata und celldisp 162 6.4.1.3 Pole und NuUstellen mit der M-functionpzOTop 163

6.4.2 Ubertragungsflinktion in der Pol-Nullstellen-Form 164 6.4.2.1 Pol-Nullstellen-Form mit der M-fLmction Z/JA: 165 6.4.2.2 Systemparameter mit der M-flinction z/iWato 166

6.4.3 Ubertragungsflinktion in der Zeitkonstantenform 167 6.5 Der Frequenzgang 168

6.5.1 Die Antwort auf ein komplexes harmonisches Eingangssignal 168 6.5.2 Die Ortskurve als graphische Darstellung des Frequenzganges 169 6.5.3 Berechnung der Ortskurve mit der M-function nyquist 170 6.5.4 Spezielle Punkte der Ortskurve 171

6.5.4.1 CO = 0 bei Ubertragungsgliedem mit Ausgleich 171 6.5.4.2 ft) = 0 bei Ubertragungsgliedem ohne Ausgleich 171 6.5.4.3 ft) ^ CO bei Ubertragungsgliedem mit oder ohne Ausgleich 172

6.6 Das Frequenzkennlinien-Diagramm 174 6.6.1 Systeme minimaler Phase und Allpassglieder 174 6.6.2 Logarithmischer Amplituden- und Phasengang 175

6.6.2.1 Zerlegung des Frequenzganges in seinen Real- und Imaginarteil 175 6.6.2.2 Zerlegung des Frequenzganges in seine Amplitude und Phase 175

6.6.3 Amplituden- und Phasengange mit der M-function bode 176 6.6.4 Bode-Diagramme typischer Grundglieder 177

6.6.4.1 Das Proportionalglied, P-Glied 177

XVI Inhaltsverzeichnis

6.6.4.2 Verzogenmgsglied 1. Ordnung, Ti-Glied 177 6.6.4.3 Das Integrierglied, /-Glied 180 6.6.4.4 Vorhaltglied 1. Ordnung, Toi-Glied 181 6.6.4.5 Differenzierglied, ideales £>-Glied 182 6.6.4.6 Schwingungsglied, r2d-Glied 182

6.6.5 Bode-Diagramme von Systemen nichtminimaler Phase 185 6.6.5.1 Das Allpassglied 185 6.6.5.2 Das Totzeitglied - 7;-Glied 186

6.7 Das Wurzelortverfahren 188 6.7.1 Einflihrung 188 6.7.2 Die Methode der Wurzelortskurve nach Evans 191

6.7.2.1 Die Wurzelortskurve mit den M-fiinctions rlocus imd rlocfind 191 6.7.2.2 Grundlegende Regeln des Wurzelortsverfahrens 192

6.7.3 Die Wurzelortskurve mit der M-flinction r/too/ 198 6.7.4 Das Wurzelortverfahren fur beliebige Parameter 199

7. Testsignale und Zeitantworten 205 7.1 Anfangswertantwort mit der M-fiinction initial 205 7.2 Sprungantwort - Ubergangsfunktion 207

7.2.1 Einheitssprung 207 7.2.2 Sprungantwort 207 7.2.3 Ubergangsfunktion 207 7.2.4 Die Ubergangsfunktion mit der M-ftmction step 208

7.3 Impulsantwort - Gewichtsfunktion 209 7.3.1 Die Impulsfunktion 209 7.3.2 Die StoBflmktion 210 7.3.3 Die Gewichtsfunktion 211 7.3.4 Die Gewichtsfunktion mit der M-fiinction impulse 212

7.4 Antwort mit der M-function Isim auf beliebige Signale 213 7.5 Der LTI Viewer mit der M-flinction Itiview 216

8. Systemeigenschaften 217 8.1 Das Schwingungsglied 217

8.1.1 Differenzialgleichung eines Schwingungsgliedes 217 8.1.2 Ubertragungsfunktion eines Schwingungsgliedes 217 8.1.3 KenngroBen eines Schwingungsgliedes 218 8.1.4 Die Gewichtsfunktion eines Schwingungsgliedes 219 8.1.5 Die Ubergangsfunktion eines Schwingungsgliedes 219 8.1.6 Die Einhiillenden der Ubergangsfunktion 219 8.1.7 Eigenschaften eines Ubertragungsghedes mit der M-fiinction damp 220

8.2 Stationare Verstarkung mit der M-flinction dcgain 221 8.3 Eigenschaften der Systemmatrix A 223

8.3.1 Losungsansatz fur die Eigenbewegung des Systems 224 8.3.2 M-functions/)o(v, roots und eig zur Berechnung von SystemgroBen 226

8.4 Stabilitat linearer Systeme 227 8.4.1 Losungen der charakteristischen Gleichung 228

Inhaltsverzeichnis XVII

8.4.2 Das Hurwitz-Kriterium 230 8.4.3 Von der offenen Kette zum geschlossenen Kreis 231 8.4.4 Das Nyquist-Kriterium 232 8.4.5 Das allgemeine Nyquist-Kriterium 233 8.4.6 Berechnung von Stabilitatswerten mit der M-function margin 234 8.4.7 Stabile offene Systeme mit Totzeit 236

.5 Normalformen der Systemmatrix 239 8.5.1 Transformation der Zustandsgleichungen in die Diagonalform 239

8.5.1.1 Die Systemmatrix A 239 8.5.1.2 Transformation der Standardform in die Diagonalform 240 8.5.1.3 Von der Standard- in die Diagonalform mit der M-function canon 241

8.5.2 Regelungsnormalform fiir EingroBensysteme 243 8.5.2.1 Regelungsnormalform aus der Standardform 243 8.5.2.2 Regelungsnormalform aus der Ubertragungsfunktion 244 8.5.2.3 Regelungsnormalform mit der fimction rnj'orm.m 246

8.5.3 Beobachtungsnormalform fur EingroBensysteme 248 8.5.3.1 Analogien zwischen der Beobachtungs- und Regelungsnormalform 248 8.5.3.2 Beobachtungsnormalform mit der function bnj'orm 249

8.5.4 Regelungs- und Beobachtungsnormalform mit der M-function ss2ss 250 .6 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit 251 8.6.1 Steuerbarkeit 251 8.6.2 Kriterium der Steuerbarkeit nach Kalman 253

8.6.2.1 Die Steuerbarkeitsmatrix und ihr Rang 253 8.6.2.2 Steuerbarkeitstest mit der M-fiinction ctrb und anderen M-flinctions 253

8.6.3 Beobachtbarkeit 254 8.6.4 Kriterium der Beobachtbarkeit nach Kalman 256

8.6.4.1 Die Beobachtbarkeitsmatrix und ihr Rang 256 8.6.4.2 Beobachtbarkeitstest mit der M-function obsv und anderen M-functions 256

8.6.5 Kanonische Zerlegung eines Systems 257 8.6.5.1 Zerlegung nach seiner Steuerbarkeit mit der M-function ctrbf. 257 8.6.5.2 Zerlegung nach seiner Beobachtbarkeit mit der M-function obsvf. 259

8.6.6 Minimalkonfiguration eines Systems 261 8.6.6.1 Die Matrixilbertragungsfiinktion und die Ausgangsgleichungen 261 8.6.6.2 Die M-flmction minreal zur Bestimmimg der Minimalkonfiguration 262

.7 Transformationen 265 8.7.1 Zustandsmodelle 265

8.7.1.1 Transformation in die Polynomform mit der M-function ss2tf. 266 8.7.1.2 Transformation in die Polynomform mit der M-flinction tf. 267 8.7.1.3 Transformation in die Pol-Nullstellen-Form mit der M-fiinction ss2zp 268

8.7.2 Ubertragungsflinktion in Polynomform 269 8.7.2.1 Transformation in ein Zustandsraummodell mit der M-fiinction tfiss 269 8.7.2.2 Transformation in die Pol-Nullstellen-Form mit der M-flinction tflzp 270 8.7.2.3 Transformation in Partialbriiche mit der M-function residue 270

8.7.3 Ubertragungsflinktion in Pol-Nullstellen-Form 271 8.7.3.1 Transformation in ein Zustandsmodell mit M-fm\c\ion zp2ss 271 8.7.3.2 Transformation in die Polynomform mit M-function zp2tf 271

XVIII Inhaltsverzeichnis

8.7.4 Signalflussplan 272 8.7.4.1 Linearisierung mit der M-function linmod 272 SJA.2 Mit der M-function linmod in den Zeit- oder Frequenzbereich 273 8.7.4.3 Mit den M-flinctions blkbuild, connect in ein Zustandsmodell 274

9. Zusammenschalten von Systemen 275 9.1 Beschreibung durch Ubertragungsflinktionen 275

9.1.1 Reihenschaltung mit der M-function series 275 9.1.2 Parallelschaltung mit der M-flinction/laraZ/e/ 276 9.1.3 Riickflihrschaltung mit der M-function feedback 277

9.2 Beschreibung durch Zustandsgleichungen 279 9.2.1 Vereinigung nicht gekoppelter Systeme mit der M-function append 280 9.2.2 Reihenschaltung mit der M-function series 280 9.2.3 Parallelschaltung mit der M-fiinction/>ara//e/ 283 9.2.4 Ruckfuhrschaltung mit der M-fanciionfeedback 286

Literaturverzeichnis 291

Verzeichnisse 295 Stichworter 295 Namen 300 M-flmctions 301 Beispiele und Gleichungen 303 Eigene functions und Signalflussplane 304