Cauchy und der Cours d´Analyse nach J.

LützenReferentin: Julia KlapperQuelle: Geschichte der Analysis: Texte zur Didaktik der Mathematik. Hrsg. von Jahnke, Hans Niels, Heidelberg 1999 (Spektrum Akademischer Verlag)

Biographie

Augustin Louis Cauchy (1789-1857) Studium zum Ingenieur

• École Polytechnique• École des Ponts et Chaussés (Paris)

lehrt 1815 an der École Polytechnique Analysis Mitglied der Akademie der Wissenschaft 1830 nach Turin und Prag ins Exil unterrichtete den Sohn von Karl X. 1838: Rückkehr nach Paris 1848 Lehrstuhl an der Faculté des Sciences

Biographie

ist nach Euler der produktivste Mathematiker Beiträge zu den Grundlagen der Analysis

ergeben sich aus seiner 15jährigen Lehrtätigkeit an der École Polytechnique

1821 Veröffentlichung von• Cours d´Analyse de l´École Royale

Polytechnique. Première partie. Analyse algébrique

1822 durch Lehrplanänderungen gestrichen

Zu Cauchy

es wird kritsiert, dass er zu lange die grundlegenden Details behandele

Cauchys Analysis unterscheidet sich in ihrem gesamten Aufbau als in den Einzelelementen von ihren Vorläufern

Jesper Lützen´s Vorgehen

Erörtert zuerst die zentralen Begriffe Will feststellen wie

• neu sie waren • wo ihr Ursprung liegt• Wie sie in die Gesamtstruktur seiner Analysis

passen

Variablen

„Man nennt eine Zahlengröße, von der man voraussetzt, dass ihr nacheinander mehrere von einander verschiedene Werte beigelegt werden dürfen, eine veränderliche Zahlgröße…“

„Im Gegensatz hierzu versteht man unter einer constanten Zahlgröße … jede Zahlgröße, welcher nur ein gegebener bestimmter Wert beigelegt wird.“

Quelle: Geschichte der Analysis: Texte zur Didaktik der Mathematik. Hrsg. von Jahnke, Hans Niels, Heidelberg 1999 (Spektrum Akademischer Verlag), S.195

Variablen

Bei Euler:• Ist eine Variable „eine unbestimmte oder eine allgemeine

Zahlgröße, welche alle bestimmten Werte ohne Ausnahme begreift“

• Element einer Menge Bei Cauchy:

• Können Variablen verschiedene Werte annehmen, aber nicht unbedingt alle

• dynamisch oder Heute für ( )f x a

( )f x a x b

x b

Grenzwert

„Wenn die einer Veränderlichen nach und nach beigelegten Werte sich einem gegebenen Werte immer mehr und mehr nähern, so dass in jener Reihe schließlich Werte existieren, die von jenem gegebenen Werte so wenig, wie man will, verschieden sind, so nennt man den gegebenen Wert die Grenze jener übrigen Werte… “

Quelle: Geschichte der Analysis: Texte zur Didaktik der Mathematik. Hrsg. von Jahnke, Hans Niels, Heidelberg 1999 (Spektrum Akademischer Verlag), S.196

Grenzwert

• Cauchy präzisierte die früheren Ideen von d´Alembert und Newton und veränderte sie

• Unterschied zu heute:Er gestattet bisweilen einer Variablen (oder Folge) mehr als einen Grenzwert zu haben

Unendlich kleine Zahlgrößen

„Wenn die ein und derselben Veränderlichen nach und nach beigelegten numerischen Werte beliebig so abnehmen, dass sie kleiner als jede gegebene Zahl werden, so sagt man, diese Veränderliche wird unendlich klein oder: sie wird eine unendlich kleine Zahlgröße. Eine derartige Veränderliche hat die Grenze Null.“

Quelle: Geschichte der Analysis: Texte zur Didaktik der Mathematik. Hrsg. von Jahnke, Hans Niels, Heidelberg 1999 (Spektrum Akademischer Verlag), S.196

Unendlich kleine Zahlgrößen

Eine gegen 0 gehende Variable ist eine unendlich kleine Größe

Grenzwertbegriff ist zentral Unendlich kleine Größen sind eine Abkürzung

für Variablen mit dem Grenzwert 0

Unendlich kleine Zahlgrößen

Übliche Standardleseart bei Cauchy Non-Standardleseart bei

• Laugwitz und Robinson 1967 Non-Standard-Analysis neuere Theorie der

Infinitesimalen. Hier sind unendlich kleine Größen die grundlegenden Begriffe

Mathematikhistoriker haben die modernen Ideen nach Weierstraß unbewusst in Cauchys Arbeit hineingelesen

Ableitung

Cauchy entschied sich für Lagranges Begriff und seiner Schreibweise f´, verwirft aber seine auf Potenzreihen beruhende Definition

Orientiert sich an Lacroix und definiert die Ableitung als den Grenzwert des Differenzenquotienten

die Bedeutung des Differentials entlehnte er mit einer leichten Abweichung von Lacroix:

Er bewies dann, dass ist Annahme f ist stetig

)(xdf

)()()(lim0

xdfa

xfahxfa

)()( ' xfhxdf

Integral

Stetige Funktion zwischen den Grenzen x= und x=X und mit werden neue Werte von x bezeichnet, die zwischen diesen Grenzen liegen

Anschließend wird die Differenz in die Elemente unterteilt

Nun kann jedes Element mit dem Wert von multipliziert werden

ist die Summe der so erhaltenen Produkte

)(xfy 0x121 ,...,, nxxx

0xX 1231201 ,...,,, nxXxxxxxx

)(xf

)()(...)()()()( 11112001 nn xfxXxfxxxfxxS

Integral

„[…] wenn man die Zahlenwerte dieser Elemente unbeschränkt klein macht, indem man deren Anzahl erhöht, wird der Wert von S schließlich merklich konstant, oder, in anderen Worten, gleich einem gewissen Grenzwert, der allein von der Form der Funktion und von den der Variablen x zugeschriebenen Endwerte und X abhängt. Diese Grenze ist das, was man als bestimmtes Integral bezeichnet.“

Quelle: Geschichte der Analysis: Texte zur Didaktik der Mathematik. Hrsg. von Jahnke, Hans Niels, Heidelberg 1999 (Spektrum Akademischer Verlag), S.198

)(xf

0x

Integral

Bei Leibnitz: Summe von Infinitesimalen Seit Bernoulli: Umkehrung des Differenzierens Fourier konzentriert sich auf das bestimmte

Integral und beschreibt es als die Fläche zwischen

der Kurve und der Achse Cauchy greift Fouriers Idee auf, aber definiert ein

bestimmtes Integral als den Grenzwert einer Links-Summe

Dies gestatte ihm zu beweisen, dass das Integral für jede stetige Funktion existiert

b

adxxf )(