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Augustin Louis Cauchy
(1789 bis 1857)
Gliederung
• 1. Biographie
• 2. Seine Werke
Biographie
• Am 21. August 1789 in Paris geboren• Vater: Louis - Francois Cauchy, Jurist und
hoher Beamter in der vorrevolutionären Bürokratie
• Cauchy verbringt seine Jugendjahre während der Revolutionszeit in Arcueil
• Wird vom Vater erzogen, der klassische Sprachen und Literatur studiert hatte
Biographie
• Nach Ende der Terrorherrschaft kehrt die Familie nach Paris zurück
• Sein Vater macht wieder Karriere, was auch zu engen Freundschaften mit Pierre Simon Laplace (damaliger Innenminister) und Joseph-Louis Lagrange (Senator) führt
• Früh erkennt Laplace Cauchys mathematische Begabung („Eines Tages wird dieser Junge uns simple Geometer alle übertreffen.“)
• Cauchy soll sich zunächst eine gute Allgemeinbildung verschaffen, um fähig zu sein, seine eigene Sprache zu schreiben
Biographie
• 1805: Eintritt in die Ecole Polytechnique - Absolviert als einer der
besten Schüler die grundlegenden Disziplinen Mathematik und Mechanik
• 1807: Eintritt in die Ecole des Ponts et Chaussées (staatliche Ingenieurschule)
Biographie
• 1809: – Ende der Ingenieurausbildung– Aufnahme praktischer Tätigkeiten in
Nordfrankreich, unter anderem 1810 im Hafen von Cherbourg
– Studiert systematische Mathematik und gelangt auch zu den ersten Entdeckungen
Biographie
• 1811: Erste mathematische Publikationen– Befasst sich auf Anregung von Lagrange mit
der Polyeder
– Schafft sich durch seine Arbeiten einen Namen in der akademischen Pariser Gesellschaft
Biographie
• 1813: Rückkehr nach Paris
• 1813/ 1814: Strebt nach einer offiziellen wissenschaftlichen Funktion entweder an der Akademie oder an einer Hochschule
- Bestrebungen zunächst erfolglos
Biographie
• 1815: Professor an der Ecole Polytechnique– Schreibt seine Vorstellung von der Lehre in
einigen Büchern nieder– Geht als Lehrer mit großem Eifer zur Sache– Legt sehr viel Wert auf die Genauigkeit der
Definitionen– Führt neuen Stoff ein
Biographie
• 1816: Heirat mit Aloise de Bure, Tochter eines angesehenen Buchhändlers und Verlegers– Aus der Ehe gehen zwei Töchter hervor
Biographie
• In den folgenden Jahren beschäftigt sich Cauchy systematisch mit mathematischen Problemen
• Zeitraum der erfolgreichsten wissenschaftlichen Ergebnisse
• Zeitraum dauerte bis Julirevolution 1830
Biographie
• 1830: Nach der Julirevolution und dem Sturz des letzten Bourbonenkönigs Karl X. verweigert Cauchy den Untertaneneid auf den „Bürgerkönig“ Louis-Philippe
• Cauchy emigriert, zunächst in die Schweiz, später tritt er eine Professur in Turin an
Biographie
• 1833 bis 1838: Aufenthalt in Prag am Exilhof– Verbringt fünf Jahre in der Funktion des
Erziehers• 1838: Rückkehr nach Paris
– Weil er es ablehnt einen Treueid zu leisten, erhält er kein Lehramt an Hochschulen
– Lebt als Privatmann
Biographie
• 1848: Die Revolution schafft den Amtseid ab, Cauchy tritt eine Professur an der Sorbonne an
• Mai 1857 erkrankt Cauchy• 23. Mai 1857 stirbt er in Sceaux bei Paris
Seine Werke
• Cauchy war einer der produktivsten Mathematiker:– Cauchy erstrebte ein weites Gebiet der ganzen
Mathematik, wie nur sehr wenige Mathematiker des 19. Jahrhunderts
– Er publizierte sieben Bücher und mehr als 800 wissenschaftliche Abhandlungen
Seine Werke
• Inspirationen für seine Forschung holte sich Cauchy aus 2 Quellen:– Mathematik
– Physik
Seine Werke
• Aus seinen Vorlesungen an der Ecole Polytechnique entstanden bedeutsame Werke:
• „Cours d´analyse de l´Ecole Polytechnique“ (Lehrgang der Analysis an der polytechnischen Schule) (1821)
• „Lecons sur le calcul infinitésimal“ (Vorlesungen über den Infinitesimalkalkül) (1823)
Die wichtigsten Richtungen der mathematischen Arbeiten
Cauchys
• Folgen und Reihen• Differential- und Integralrechnung• Funktionentheorie und
Differentialgleichungen• Algebra
Folgen und Reihen
• Cauchy definiert den Begriff der Folge und der Konvergenz
• Bringt Ordnung in die Reihentheorie– liefert für die Konvergenz auch die
erforderlichen Kriterien
Kriterien für die Konvergenz von Reihen
• Verdichtungskriterium
• Quotienten-Kriterium
• Wurzelkriterium
Verdichtungskriterium
• Ist (xk) eine monoton fallende Nullfolge, so sind die beiden Reihen
∞ ∞
Σ xk und Σ 2^k*xk
k=1 k=1
entweder beide konvergent oder beide divergent
Quotienten-Kriterium
(an)n sei eine komplexe Folge. Es gebe ein 0<α<1 und ein N€ , so dass giltℕ
|(a(n+1): (an)| ≤ α für alle n≥N. Dann ist die Reihe absolut konvergent
Wurzelkriterium
(an)n sei eine komplexe Folge. Es existiere ein 0<α<1 und ein N€ mit ℕ
ⁿ√|an|≤αfür alle n≥N. Dann ist die Reihe absolut konvergent
Differential- und Integralrechnung
• Cauchy formuliert den Begriff des Limes, mit denselben Worten, die auch noch heute verwendet werden
• Der Grenzwertsatz besagt, dass das arithmetische Mittel der Elemente einer konvergenten Folge gegen den Grenzwert dieser Folge strebt
Differential- und Integralrechnung
• Als erster beweist Cauchy streng die Kovergenz der schon von Euler untersuchten Folge
(1+1/n )ⁿ
(Der Grenzwert ist die Eulersche Zahl e)
Differential- und Integralrechnung
• Cauchy definiert den Begriff des Integrals:Das Integral
∫ f(x)dx ist die Menge aller Stammfunktionen.
Integral von f(x) = ∫ f(x)dx = F(x)+c
Funktionentheorie und Differentialgleichungen
• Detaillierte Ausarbeitung der Theorie der Differentialgleichungen– schafft Ordnung und Genauigkeit in dieses
System, dies vor allem durch seine Beweise für die Existenz der Lösung
• Beschäftigt sich mit der Theorie der Funktionen der komplexen Veränderlichen
Sonstige Leistungen
• Viele weitere Sätze und Begriffe der Mathematik sind nach Cauchy benannt:– Cauchysche Grenzwertsätze– Cauchyscher Integralsatz– Cauchy-Produkt von Reihen– Cauchy-Determinante– und andere
Sonstige Leistungen
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:
|a*b| ≤ |a| * |b|
(Sie gibt an, dass der Absolutwert des Skalarproduktes zweier Vektoren nie größer als das Produkt der jeweiligen Vektornorm ist. Dient z.B. der Vektorrechnung
Sonstige Leistungen
• Viele Beiträge zur Physik
• Cauchy beschäftigt sich insbesondere mit– der Forschung der Elastizitätstheorie und
– der Forschung der Wellentheorie
Zusammenfassung
• Cauchys mathematisches Werk trug wesentlich zur Entstehung der modernen Mathematik bei und bleibt für immer bestehen als sein eigentliches Vermächtnis.
Literaturverzeichnis• Belhoste, Bruno: Augustin-Louis Cauchy, A
Biography, Springer-Verlag, 1991• Gottwald, Siegfried, Lexikon bedeutender
Mathematiker, 1. Auflage, 1990• Meschkowski, Herbert, Mathematik-Lexikon,
1980• Cauchy, A.L: Abhandlungen über bestimmte
Integrale zwischen imaginären Grenzen, Dtsch, ed. P. Stäckel, Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaft, Nr. 112, Leipzig, 1900