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Milot Mirdita 1
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07.07.2009
GliederungBegriffsdefinitionenNumDiffSchwingungenFehler und FehlerfortpflanzungEuler-Cauchy Verfahrenv2-Proportionalitaet
2Milot Mirdita07.07.2009
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5
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6Milot Mirdita
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07.07.2009
Explizite Differentialgleichung
Implizite Differentialgleichung
y‘‘(x) = y(x) ... f(x) = y‘‘(x) – y(x) … = 0
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Symbolisches Rechnen Numerisches Rechnenx/a = 4x = 4aSei a = 2x = 8
f(x)a = x/aSei a = 2Sei x0 = 0
Gesucht f(x)2 = 4f(x + h) … f(7,999) = 4
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9Milot Mirdita07.07.2009
10Milot Mirdita07.07.2009
NumerikTeilgebiet der MathematikApproximationAnwendung
WetterberechnungUnfallsimulationWirtschaftsinformatik…
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Approximation, Fehler und FehlerfortpflanzungProblem:
Datentyp hat einen begrenzten Speicher Unendliche Zahlenmenge muss auf eine endliche
Zahlenmenge abgebildet werden.
Datentyp: Fließkommazahlen (Float und Double)
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Fließkommazahlen
r = m be
13
Datentyp Mantissenbits Exponentenbits
Single 23 8
Double 52 11
Mantisse
Basis
Exponent
Grundlage• Wissenschaftliche Notation:
c = 299.792.458 m/s = 299.792,458 · 103 m/s = 0,299792458 · 109 m/s = 2,99792458 · 108 m/s
Milot Mirdita07.07.2009
Beispiel
d = 50000; k1 = 0; k2 = 0; s0 = 0; v0 = 10;
t=0; tmax=50000;
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Gedämpfte Harmonische Schwingungen
FR = -Ds
FD = -kv
Fges = FR + FD
ma = -Ds – kv
ms(t) = -Ds(t) – ks(t)∙∙ ∙
VFR
FDFD
Gedämpfte Harmonische
SchwingungenHerleitung Fallunterscheidung Aperiodischer Grenzfall
V
1515
Von PatrickVon Patrick
Numerisches Lösen der SchwingungsdifferentialgleichungGleichung:
ParameterAnfangswert s0 und v0
Koeffizienten: d, k1 und k2
Schrittweite: h
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07.07.2009
Euler Cauchy Verfahren
s(t + t) = s(t) + t s'(t)s'(t + t) = s'(t) + t s''(t)
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Als Codewhile(t < t1) {
y[0] = y[0] + h * y[1];y[1] = y[1] + h *
(-d * y[0] - k1 * y[1] + k2 * y[1] ^2);t = t + h;
}Parameter: d=1; k1=0,1; k2=0; s0=0; v0=1;
h=1; t=0; t1=5;
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Schritt 1:while(0 < 5) {
y[0] = 0 + 1 * 1; // 1y[1] = 1 + 1 *
(-1 * 0 – 0.1 * 1 + 0 * 1^2); // -0.99t = 0 + 1; // 1
}
Milot Mirdita 1907.07.2009
Schritt 2:while(1 < 5) {
y[0] = 1 + (-0.99); // -0,0900000000000001y[1] = (-0.99) + (-1 * 1 – 0.1 * (-0.99) + 0 * (-0.99)^2);
// -0,801t = 1 + 1; // 2
}
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Schritt 3:while(2 < 5) {
y[0] = -0,0900000000000001 + h * -0,801; // -0,891y[1] = -0,801 + h * (-1 * -0,0900000000000001 – 0.1
* -0,801 + 0 * -0,801^2); //0,1701t = 2 + 1; //3
}
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Schritt 4:while(3 < 5) {
y[0] = -0,891 + h * 0,1701; // -0,7209y[1] = 0,1701 + h * (-1 * -0,891 – 0.1
* 0,1701 + 0 *0,1701^2); // 0,87399t = 3 + 1; // 4
}
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Schritt 5:while(4 < 5) {
y[0] = -0,7209 + h * 0,87399; // 0,15309y[1] = 0,87399 + h * (-1 * -0,7209 – 0.1
* 0,87399 + 0 *0,87399^2); // 0,633501t = 4 + 1; //5
}
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Graph
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Verschiedene Schrittweiten
Milot Mirdita 2507.07.2009
26
pwind = cw ρ/2 v2
y‘(x) = s‘(x) = v(x)
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