C:/Korth/TEX/Lehre/Vorlesung/Vermessungskunde/vorl …public.beuth-hochschule.de/~korth/vorl_vk1_BA_Verm.pdf · für die elektrische Stromst ärke das Ampère = A für die thermodynamische

Vermessungskunde I

Vorlesung fur das 1. Semester

Bachelor Vermessungswesen

Wilfried Korth

HINWEIS:Das nachfolgende Skript soll die Lehrveranstaltung un-terstutzen. Es ist nicht auszuschließen, dass sich noch Fehlereingeschlichen haben. Ich bin fur Hinweise zu solchen Feh-lern, aber auch fur andere Anmerkungen und Verbesserungs-vorschlage dankbar.Ausschlaggebend fur die Klausur am Semesterende ist nichtdieses Skript, sondern der in der Vorlesung vermittelte und inden Ubungen vertiefte Stoff!

INHALTSVERZEICHNIS 2

Inhaltsverzeichnis

1 Entwicklung des Vermessungswesens, Berufsbild 4

1.1 Historische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Aufgaben und Organisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Grundlagen der Geodasie 8

2.1 Geodatische Maßeinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Bezugssysteme & Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.3 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Einfache Lagemessungen 17

3.1 Fluchten von Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Streckenmessung mit dem Stahlmessband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Messverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Absetzen rechter Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Aufnahmeverfahren und -objekte (DIN 18702) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4.1 Das Rechtwinkelverfahren (Orthogonalaufnahme) . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4.2 Das Einbindeverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4.3 Weitere Koordinatenberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5 Vermessungspunkte, Vermarkungen, Einmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.6 Registrierung von Vermessungszahlen, Vermessungsrisse . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Fehlerlehre 28

4.1 Fehlerarten und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Haufigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3 Streuungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4 Fehlergrenzen und Vertrauensbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.5 Varianzfortpflanzungsgesetz fur lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.6 Gewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.7 Ausgleichung direkter Beobachtungen gleicher und ungleicher Genauigkeit . . . . . . . 35

4.8 Standardabweichung aus Beobachtungsdifferenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5 Herstellung von Lageplanen (Kartierungen) 41

5.1 Ubersicht uber großmaßstabige Karten und Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2 Zeichentrager und Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3 Herstellung von Karten und Planen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Vermessungskunde; 1. Semester (Stand: 6. Oktober 2009)


6 Einfache Absteckungen 45

6.1 Gebaudeabsteckungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.2 Absteckung von Kreisbogen (kleine Radien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.2.1 Grundlagen der Kreisbogenabsteckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.2.2 Grundgleichungen fur die Hauptpunkte eines Kreisbogens . . . . . . . . . . . . 46

6.2.3 Absteckung von Zwischenpunkten auf dem Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.2.4 Kreisbogenabsteckung ohne Theodolit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7 Flachenberechnungen/Flachenteilungen 51

7.1 Flachenberechnungen aus Maßzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.2 Grafische Flachenermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.2.1 Grafische Flachenermittlung mit Anlegemaßstab . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.2.2 Flachenermittlung aus Koordinaten, die durch Digitalisierung ermittelt werden . 52

7.3 Weitere Moglichkeiten grafischer Flachenermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.4 Flachenteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.4.1 Flachenteilungen im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.4.2 Flachenteilungen im Viereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8 HOHENMESSUNGEN 60

8.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8.1.1 Arten von Hohen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8.1.2 Definition von Hohensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.1.3 Hohenfestpunktfelder (Amtliche Festpunktfelder) . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8.2 Das geometrische Nivellement/Ingenieunivellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.2.1 Geometrisches Nivellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.2.2 Nivellierinstrumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.2.3 Ingenieunivellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.2.4 Prufung von Nivellierinstrumenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.2.5 Genauigkeit des Nivellements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.3 Feinnivellement (Prazisionsnivellement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.3.1 Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.3.2 Fehlereinflusse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.3.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.4 Strom- und Talubergangsnivellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.5 Barometrische Hohenbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.5.1 Messung des Luftdrucks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.5.2 Ermittlung von Hohenunterschieden aus Barometermessungen . . . . . . . . . 74

8.5.3 Ermittlung von Hohenunterschieden aus Altimetermessungen . . . . . . . . . . 75

8.5.4 Genauigkeit der barometrischen Hohenmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.6 Hydrostatisches Nivellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76



9 Gelandeaufnahmen 78

9.1 Langs- und Querprofile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9.1.1 Langsprofile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9.1.2 Querprofile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9.1.3 Darstellung von Langs und Querprofilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9.2 Rostaufnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.2.1 Aufbau des Rasters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.2.2 Hohenaufnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9.2.3 Hohenlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9.3 Erdmassenermittlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.3.1 Erdmassenberechnungen aus Querprofilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.3.2 Erdmassenberechnungen aus Flachennivellements . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.3.3 Erdmassenberechnungen aus Hohenlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.3.4 Digitales Gelandemodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88


1 ENTWICKLUNG DES VERMESSUNGSWESENS, BERUFSBILD 4

1 Entwicklung des Vermessungswesens, Berufsbild

1.1 Historische Entwicklung

Die nachfolgende Tabelle gibt einen kurzen Uberblick der Geschichte der Geodasie.

Zeitpunkt Ereignis3000 vor Christus Beginn systematischer astronomischer Beobachtungen in

Mesopotanien, Agypten, Indien und China

1800 vor Christus Agyptisches Mathematikbuch mit Darstellung vonFeldmesskunst und Flachenrechnung

1160 vor Christus Magnetstein als Kompass bei den Chinesen900-800 vor Christus Homer: Erde ist konvexe, vom Oceanus umspulte Scheibe488-428 vor Christus Anaxagoras schreibt Buch Dioptrik (optische

Vermessungskunde)550 vor Christus Pythagoras erkennt Kugelgestalt der Erde340 vor Christus Aristoteles beweist Kugelgestalt der Erde200 vor Christus Erathostenes bestimmt den Halbmesser der Erde aus der

Lange des Bogens Alexandria-Syene (Assuan) undSonnenhohen (R = b/α)

150 vor Christus Hipparchos benutzt Astrolabium130 vor Christus Einsatz der Wasserwaage820 nach Christus Arabische Gradmessung unter Kalif Al Mamun,

Langenmessung mit Holzlatten1525 erste europaische Gradmessung Paris-Amiens durch Jean

Fernel1552 Leonhard Digges verwendet erstmalig den Namen

Theodelitus fur ein Scheibeninstrument mit um denMittelpunkt drehbarem Diopterlineal

1578 Tycho Brahe wendet zum ersten Mal das Prinzip derTriangulation an

1608 Hans Nipperley erfindet das Fernrohr1614 Neper veroffentlicht Logarithmentafel1614 Snellius wendet Triangulation bei Gradmessung an1642 Pascal baut erste Rechenmaschine1656 Das Wort Kataster wird erstmalig in Hessen erwahnt1661 Erfindung der Rohrenlibelle1670-1690 franzosische Gradmessung Paris-Amiens durch Jean Picard,

Quadrant mit Zielfernrohr und Fadenkreuz, 4m-langeHolzlatten

1715 L. C. Sturm: erste Schrift uber Nivelliere1730 Sisson in England baut erste moderne

”Feldmesser-Theodolite“

1798 Alois Senefelder erfindet das Steindruckverfahren1799 Meter in Frankreich gesetzliche Langeneinheit



Zeitpunkt Ereignis1800 C. F. Gauß und A. M. Legendre entwickeln unabhangig voneinander die

Methode der kleinsten Quadrate1850 Einfuhrung der Photogrammetrie1941 Konrad Zuse entwickelt das erste programmgesteuerte Rechengerat4.10.1957 Start Sputnik 1 – Beginn des Satellitenzeialters1980 Marktreife der ersten Personalcomputer1994 Vollstandiger Aufbau des Global Positioning System (GPS)

1.2 Aufgaben und Organisation

Die Geodasie ist die Wissenschaft von der Ausmessung undAbbildung der Erdoberflache

F. R. Helmert

Teildisziplinen:

• Erdmessung (Satellitengeodasie)Figur und Form der Erde, Referenzsystem

• LandesvermessungVermessungsgrundlagen eines Staates/Landes; Schaffung und Laufendhaltung vonLage-, Hohen- und Schwerenetzen

• KatastervermessungGliederung und Aufteilung der Erdoberflache zu Eigentum; Katasterkartenwerke

• BodenordnungBodenbewertung; Planung kunftiger ZustandeNeueinteilung landwirtschaftlicher Flachen: FlurbereinigungErschließung von Baugelande: Umlegung

• PhotogrammetrieForm, Lage und Große von Gegenstanden aus photographischen/digitalen Bildda-ten−→ beruhrungslose Vermessung

• KartographieAbbildung der Erdoberflache in (maßstablichen) Karten oder Informationssystemen

• IngenieuvermessungVermessungen im Zusammenhang mit Baugeschehen/Industrie/. . .

• Markscheidewesenbergmannisches Vermessungswesen

• Seevermessung (hydrographische Vermessung)



VERMESSUNGSKUNDE ?

Die Vermessungskunde befasst sich mit der Vermessung und Berechnung großerer undkleinerer Teile der Erdoberflache und ihrer Darstellung in Karten und Planen. Dazugehoren:

- Erdmessung- Landesvermessung- Land- und Feldmessung

• Unterteilung vermessungstechnischer Arbeiten in Horizontal- oder Lagemessungenund Vertikal- oder Hohenmessungen.Mit dem Einsatz von Satellitenmethoden (Global Positioning System) auch in dereinfachen Feldmessung lasst sich diese klare Aufteilung jedoch nicht mehr langeraufrechterhalten.=⇒ dreidimensionale Geodasie

• Messung: einzelner MessungsvorgangVermessung: die Summe aller fur die Erfassung eines Objektes notwendigen Mes-sungenBei der Vermessung wird dabei jedoch die Realitat nicht im Verhaltnis 1:1 uber-nommen, sondern es erfolgt eine

”Modellbildung“, die die Realitat in vereinfachter,

bearbeitbarer Form abbildet.

• Die wichtigste Aufgabe der Vermessungstechnik besteht darin grundsatzliche (geo-metrische) Informationen zur Erdoberflache zur Verfugung zu stellen.Bisher: Weitergabe dieser Informationen mit der Bereitstellung von analogen Kar-tenwerken.Heute: Bereitstellung von digitalen Grunddaten fur Geoinformationssysteme (GIS)

• (Karten-)Maßstabe: großere bis 1:5000 und kleinere ab 1:5000

– Bereich bis 1:5000 umfasst vorwiegend die Katasterangaben mit denrechtmaßigen Grenzen und der Einzelbebauung wie bei der Liegenschafts-karte oder im digitalen Bereich bei der Automatisierten Liegenschaftskarte(ALK)

– Bereich ab 1:5000 gibt die Gelandedarstellung als topographische Kartewie bei der analogen DGK im Maßstab 1:5000 oder dem digitalen Verfah-ren ATKIS (Automatisiertes topographisch-kartographisches Informationssy-stem) wider

– Daneben gibt es Fachanwendungen als analoge Spezialkartenwerke fur Sied-lungsraume, Verkehrsanlagen, Wasserbauten . . . oder digitale Anwendungenmit Fachdaten auf der Grundlage der Vermessungsdaten.

• Neben diesen kataster- und landesvermessungstechnischen Aufgaben ist der Ver-messungsingenieur auch mit der vorbereitenden, der baubetreuenden und des ab-schließenden Vermessung von Ingenieurbauten befasst.Diese werden generell nicht anders angelegt als die o.g. Vermessungen. Im einzel-nen wird oftmals eine sehr hohe Genauigkeit verlangt.



Organisation des Vermessungswesens

• Internationale und nationale EinrichtungenInternationale Organisation der Geodasie: IAG (International Association for Geo-desy)Internationale Zusammenschluss der Vermessung: FIG (Federation Internationaledes Geometres)

• In der Bundesrepublik Deutschland liegt die Zustandigkeit fur das Vermessungs-wesen bei den Bundeslandern.Deutsche Geodatische Kommission (DGK): bundesweit im Hochschulbereich tatig.Einzige Bundesbehorde: Bundesamt fur Kartographie und Geodasie (BKG, fruher:Institut fur Angewandte Geodasie (IfAG))

• Zustandigkeiten und die Aufgaben der Vermessungsverwaltungen sind in Lander-gesetzen geregelt.In den meisten Bundeslandern gliedert sich die Vermessungsverwaltung in eineministerielle Behorde, das Landesvermessungsamt und die kommunalen Vermes-sungsamter.

– Aufgaben der ministeriellen Behorde: Vorschriftengebung und Fachaufsichtuber die nachgeordneten Verwaltungen

– Landesvermessungsamter: Grundlagenvermessung (Lage-, Hohen- undSchwerefestpunktfeld), Fortfuhrung und Erneuerung des Liegenschaftskata-sters und Herstellung des amtlichen Kartenwerks in analoger und digitalerForm

– Kommunalen Vermessungsamter: ubertragene hoheitliche Aufgaben,Grundstucksbewertung und kommunale Vermessungsaufgaben

• Offentlich bestellter Vermessungsingenieur (ObVI): Mitwirkung an den hoheitli-chen Aufgaben

• Ingenieurburos: privatrechtlicher Charakter; beschaftigen sich mit sonstigen Ver-messungsaufgaben außerhalb der hoheitlichen Aufgaben

• Sondervermessungsstellen: bei Wasser- und Schiffahrtsverwaltung, Bundeswehr(Militargeographischer Dienst), Deutschen Bahn AG, Forstverwaltung, Energie-versorgungsunternehmen, Nahverkehrsunternehmen, Straßenbauamtern und Flur-bereinigungsamter


2 GRUNDLAGEN DER GEODASIE 8

2 Grundlagen der Geodasie

2.1 Geodatische Maßeinheiten

Grundlage ist das”Systeme International d’Unites“ (SI).

In der Bundesrepublik Deutschland sind die Maßeinheiten durch das Gesetz uber dieEinheiten im Messwesen vom 2.7.1969 und die Ausfuhrungsverordnung zu diesem Gesetzvom 26.6.1970 festgelegt.

• Das SI basiert auf den 7 Basiseinheiten:

fur die Lange das Meter = m

fur die Masse das Kilogramm = kg

fur die Zeit die Sekunde = s

fur die elektrische Stromstarke das Ampere = A

fur die thermodynamische Temperatur das Kelvin = K

fur die Lichtstarke die Candela = cd

fur die Stoffmenge das Mol = mol

• Daraus ableiten lassen sich die koharenten Einheiten des SI wie z. B.:

fur die Flache m2

fur die Geschwindigkeit ms−1

fur die Beschleunigung ms−2

fur die Kraft mkg s−2 (genannt Newton (N))

fur den Druck m−1 kg s−2 = N m−2

• Nichtkoharente Einheiten konnen mit einer ganzzahligen Potenz von 10 oder eineranderen Zahl zusammengesetzt werden wie z. B.:

fur die Flache 100m2 = 1 a

fur den Druck 105m−1 kg s−2 = 1 bar

fur den Druck 101325m−1 kg s−2 = 1 atm

• Aus den vorgenannten Einheiten lassen sich durch Vorsatze dezimale Vielfache undTeile bilden. Kennzeichnung durch folgende Vorsatzzeichen:

Faktor Vorsatz Vorsatz- Faktor Vorsatz Vorsatz-zeichen zeichen

101 Deka da 10−1 Dezi d

102 Hekto h 10−2 Zenti c

103 Kilo k 10−3 Milli m

106 Mega M 10−6 Mikro µ

109 Giga G 10−9 Nano n

1012 Tera T 10−12 Piko p



SI-Einheit der Lange: das Meter (m)

• seit 1868 in Deutschland gebrauchlich und seit 1872 verbindlich

• Definition des Meters geht auf die Festlegung der franzosischen Nationalversamm-lung aus dem Jahre 1791 zuruck: Der zehnmillionste Teil eines Erdmeridianqua-dranten ist das Meter.Zu dieser Festlegung ist ein Prototyp mit X-formigen Querschnitt aus Platin-Iridium hergestellt worden, der in Breteuil (Frankreich) aufbewahrt wird. EineKopie liegt in Braunschweig (PTB) liegt.

• Angesichts der steigenden Genauigkeitsanspruche wurde diese Definition mehr-fach auf der Grundlage von physikalischen und chemischen Zusammenhangen ab-geandert.1

• 1967 Definition der”Atomsekunde“ mit Casiumatom 133 (Zeitmessungen auf

10−13–10−14)=⇒ Lichtgeschwindigkeit c = 299792458m/s=⇒ gultige Meterdefinition

Das Meter ist die Lange der Strecke, die Licht im leeren Raum wahrendder Dauer von 1/299792458 Sekunden durchlauft.

SI-Einheiten des ebenen Winkelmaßes

• Sexagesimalteilung: 1 Vollkreis = 360◦ (Grad) DEG/DMS1◦ = 60’ (Minuten)1’= 60” (Sekunden)

• Zentesimalteilung: 1 Vollkreis = 400gon (Neugrad, Gon) GRD1gon = 1000mgon (Milligon)

• Bogenmaß: 1 Vollkreis = 2π (Radiant) RAD

b =1 m

r = 1 m

1 rad

Das Bogenmaß ist das Verhaltnis von Bogenlange zuRadius (im Einheitskreis mit r = 1).

1Z.B. 1960 Definition bezuglich der 1 650 763,73fachen Wellenlange der von den Atomen desNuklids 86Kr, eines Isotops des Edelgases Krypton mit der Masse 86, beim Ubergang vom Zustand 5d

zum Zustand 2p10 ausgesandten Strahlung.



Umrechnungen von Winkeln W :

• Sexagesimal in Dezimalgrad: W ◦[dezimal]= W ◦ +W ′/60 +W ′′/3600

z. B.: 13,51466194◦ = 13◦ 30’ 52,783”

• Dezimalgrad in sexagesimal: W ◦ = int(W ◦[dezimal])

W ′ = int(W ◦[dezimal]−int(W ◦

[dezimal])·60)W ′′ = (W ◦

[dezimal]−int(W ◦[dezimal])−W ′ · 60) · 3600

z. B.:W ◦ = 13,51466194◦

W ′ = int(0, 51466194 · 60) = 30′

W ′′ = (0, 01466194) · 3600 = 52, 783′′

• Gon in Grad: W ◦[dezimal]= W [gon]·9/10

• Grad in Gon: W [gon]= W ◦[dezimal]·10/9 = (W ◦ +W ′/60 +W ′′/3600) · 10/9

• Bogenmaß in Gon: W [gon]= W [rad]·200/π = W [rad]·ρ[gon]

• Bogenmaß in Grad: W ◦ = W [rad]·180/π = W [rad]·ρ◦• Gon in Bogenmaß: W [rad]= W [gon]·π/200 = W [gon]/ρ[gon]

• Grad in Bogenmaß: W [rad]= W ◦ · π/180 = W ◦/ρ◦

Mit den Konstanten:• ρ[gon]= 63,66197723676• ρ◦ = 57,29577951308

Abgeleitete SI-Einheiten fur den Druck: das Pascal (Pa)

• wird in der Vermessungstechnik vor allem bei der barometrischen Hohenmessung(siehe 2. Semester) gebraucht

• Ein Pascal entspricht dem Druck einer auf eine Flache von 1m2 gleichmaßig senk-recht wirkenden Kraft von 1 Newton (Pascal ist koharente SI-Einheit).Einheit Bar (bar) ist nichtkoharente Einheit (1 bar = 105Pa).Die Einheiten technische Atmosphare (at), physikalische Atmosphare (atm), Torr(torr), Meter Wassersaule (mWs), Millimeter-Quecksilbersaule (mm Hg) stellenkeine SI-Einheiten dar und sind dementsprechend nicht mehr zulassig aber verein-zelt noch gebrauchlich.

SI-Einheiten fur die termodynamische Temperatur (T ): das Kelvin (K)

• In Deutschland ist die Celsius-Temperatur (t mit dem Einheitenzeichen ◦C) ge-brauchlich. Gegenuber der Kelvintemperatur gilt nach DIN 1301:t = T − 273, 15K

SI-Einheiten fur die Zeit: die Sekunde (s)

• mit den abgeleiteten Einheiten Minute (min), Stunde (h), Tag (d), Jahr (a)

• 1min = 60s; 1h = 60min = 3600s; 1d = 24h = 1 440min = 86 400s



2.2 Bezugssysteme & Koordinatensysteme

2.2.1 Vorbemerkungen

• Informationen in geodatischen, kartographischen oder GIS-Produkten liegen nor-malerweise georeferenziert vor.Georeferenzierung bedeutet, dass einzelnen Punkten Koordinaten zugewiesen sindbzw. werden konnen.=⇒ Notwendigkeit eines geeigneten Bezugssystems

• Das Referenz- bzw. Bezugssystem kann sich dabei fur einzelne Produk-te/Anwendungen erheblich unterscheiden:

– globale Bezugssysteme, die mit Satellitenverfahren (z.B. GPS) realisiert wer-den konnen

– regionale Referenzsysteme fur einzelne Lander (oder Erdteile)

– lokale (ebene) Systeme z.B. fur Ingenieurvermessungen

• Es konnen verschiedenste Koordinatansysteme (Abbildungsvorschriften) verwendetwerden

• Zu jeder Koordinatenangabe ist daher auch die Kenntnis von Referenzsystemund Koordinatensystem notwendig!

• Auf Karten der deutschen Landesvermessung sind z.B. derartige Angaben in derLegende enthalten.

• Bezugssystem / ReferenzsystemPhysikalisch definiertes grundlegendes Bestimmungssystem. Zur Erfassung,Speicherung, Darstellung und Nutzung von topographischen Sachverhalten inVerbindung mit thematischen Informationen auf, unter oder uber der Erd-oberflache wird es als Ordnungssystem benotigt. Es gestattet die gegenseitigeraumliche Zuordnung von Informationen zueinander.Die praktische Realisierung erfolgt durch die Festlegung der Koordinaten von(vermarkten) Punkten.

• KoordinatensystemMathematische Abbildungsvorschrift zur Beschreibung der Lage von Punkten imRaum.Jedes Bezugssystem kann in unendlich viele (krummlinige) Koordinatensystemeabgebildet werden.Innerhalb eines Bezugssystems kann zwischen verschiedenen Koordinatensystemenbeliebig umgerechnet werden(⇒ Koordinatenumformung)

Punkte eines Festpunktfeldes, die ein bestimmtes Referenzsystem realisieren, wer-den in ein Koordinatensystem abgebildet.



• KoordinatentransformationUmrechnung von Punktkoordinaten von einem Bezugssystem in ein anderes.

• KoordinatenumformungUmrechnung von Punktkoordinaten von einem Koordinatensystem in ein anderesinnerhalb eines Bezugssystems mittels a-priori per Definition bekannter Beziehun-gen und Formeln.

2.2.2 Bezugssysteme

• (fruher) Unterscheidung der Bezugssysteme fur Lage und Hohe

• Hohenbezugsflache: Niveauflache des Schwerefeldes der Erde (oder gute Nahe-rung)Eine solche Niveauflache (eine Flache, die in jedem Punkt rechtwinklig zur jewei-ligen Richtung der Schwerkraft verlauft) ist das Geoid (freie, mittlere, ruhendeOberflache der Weltmeere, von Gezeiten, Stromungen und weiteren Storungenbefreit und unter den Kontinenten fortgesetzt). Da die Massenverteilung im Er-dinnern Unregelmaßigkeiten aufweist, ist die Geoidoberflache keine regelmaßigemathematisch berechenbare Flache.Fur Lagemessungen nicht geeignet!

• Lagebezugssytem: Rotationsellipsoid (Bessel, Krassowski, GRS80,. . . )bestmogliche Anpassung an die wahre Figur der Erde

• fur kleinraumige oder lokale Anwendungen auch Kugel oder Ebene als Bezugssy-stem

• Heute: geozentrische dreidimensionale Systeme (3D-Messverfahren)

2.2.3 Koordinatensysteme

Jedes Bezugssystem kann theoretisch in unendlich viele Koordinatensysteme abgebildetwerden. Nur wenige sind gebrauchlich:

• fur lagemaßige Vermessungen mit geringen Ausdehnungen oder zur vereinfachtenebenen Berechnung: die Ebenez.B. als Abbildung des Ellipsoids in die Ebene2

2Die beiden gebrauchlisten Abbildungen sind die Soldner- (ordinatentreu) und die Gauß-Kruger-Abbildung (konform). Damit sind die Berechnungen in der Ebene durchfuhrbar, wenn die auf der ge-krummten Erdoberflache durchgefuhrten Messungen entsprechend der Abbildungsart korrigiert werden.



Kartesisches 2D-System

Kartesische Koordinaten eines Punktes P :

P (x, y)

Polares 2D-SystemPolarkoordinaten eines Punktes P :

P (t, s)

X

Y

P

st

Abb.: Ebene kartesischeund polare Koordinaten.

Kartesisches 3D-System

Kartesische Koordinaten eines Punktes P :

P (x, y, z)

Polares 3D-SystemKugelkoordinaten eines Punktes P :

P (ϕ, λ, r)

Z

X

Y

P

r

λϕ

Abb.: Raumliche kar-tesische und polareKoordinaten.

Ellipsoidisches KoordinatensystemEllipsoidische (oder geodatische) Koordinaten einesPunktes P :

P (B,L,H)

Die ellipsoidische Breite B ist der Winkel zwischenEllipsoidnormale in P und Aquatorebene.Die ellipsoidische Lange L ist der Winkel zwischenNullmeridian und Meridian von PDie ellipsoidische Hohe ist der metrische Abstand desPunktes P von der Ellipsoidoberflache (P ′) entlangder Ellipsoidnormalen.Die Ellipsoidnormale in P enthalt i.a. nicht den El-lipsoidmittelpunkt! (Ausnahmen: Pole und Aquator)Ellipsoidnormalen sind i.a. windschief zueinander.

P

P

L

P

P' B

H

Abb.: Ellipsoidische Koordi-naten.

Verebnete Koordinaten Fur die praktische Verwendung als (amtliches) Gebrauchssy-stem sind ellipsoidische Koordinaten nicht geeignet.Es erfolgt daher eine geeignete VEREBNUNG der ellipsoidischen Koordinaten.Problem: Es treten bei einer Verebnung zwangslaufig Verzerrungen auf!



Gauß-Kruger Koordinaten

3˚(6˚)

PN

PS Koordinatenursprung

Abb.: Prinzip der GK-Abbildung

• querachsiger elliptischer Zy-linder (Meridianellipse)

• Mittelmeridian (Beruhrungs-meridian) wird langentreuabgebildet−→ X-Achse

• GK-Abbildung ist winkeltreu(konform)

Als Koordinaten werden Hochwert und Rechtswert bezuglich des Ursprungs eingefuhrt.

Zum Rechtswert werden 500 km addiert, um negative Koordinaten zu vermeiden.

Die Gesamtflache des Ellipsoides wird in mehrere 3◦ oder 6◦ breite Streifen abgebildet,die mittels einer Streifenkennzahl unterschieden werden, die dem Rechtswert vorange-stellt wird.In der deutschen Landesvermessung sind/waren Gauß-Kruger-Koordinaten als amtlicheKoordinaten in Gebrauch.Sie sollen in der Zukunft durch UTM-Koordinaten abgelost werden.

Gauß-Kruger-Koordinaten sind aus ellipsoidischen Koordinaten streng berechenbar!

UTM-Koordinaten(engl.: Universal Transverse Mercator Coordinates)

• entspricht in den mathematischen Abbildungsgleichungen EXAKT einer 6◦-Gauß-Kruger-Abbildung

• Unterschied: Maßstabsfaktor m = 0.9996 (-40 cm pro Kilometer!)

• Der Maßstabsfaktor wird angebracht, um die zum Rand eines Meridianstreifenshin steigenden Verzerrungen im gesamten Streifen gleichmaßig zu verteilen.

Soldner-KoordinatenRechtwinklige ellipsoidische Oberflachenkoordinaten:Soldnersche Koordinaten (Johann Georg von Soldner, 1776–1833)

Koordinatenursprung:

O → TP 1. Ordnung

X-Achse:

Meridian durch O

=⇒ ordinatentreue Abbildung



Verwendung: altere KatastersystemeKoordinatensystem in Berlinamtliches Landessystem in Baden-Wurtemberg vor 1990

Wie findet man sich in der Vielfalt zurecht?

• die Unterscheidung der verschiedenen Koordinaten- und Bezugssysteme erfolgtdurch den

”Lagestatus“ bzw. den

”Hohenstatus“

• fur Lagekoordinaten sind folgende Systeme mit den zugehorigen Lagestatusanga-ben in Berlin und in den meisten anderen Bundeslandern in gleicher Art und Weisedefiniert (bis auf einige wenige Berliner Besonderheiten)

Tabelle: Beispiele fur Lagesysteme:

Lagestatus Koordinatensystem0 vorlaufige Gauß-Kruger-Koordinaten; erneuertes Lagefestpunktfeld (Bessel-Ellipsoid,

Zentralpunkt Rauenberg)

50 vorlaufige Soldner-Koordinaten; erneuertes Festpunktfeld (Bessel-Ellipsoid,Zentralpunkt Rauenberg)

100 Gauß-Kruger-Koordinaten; erneuertes Lagefestpunktfeld (Bessel-Ellipsoid,Zentralpunkt Rauenberg)

130 Gauß-Kruger-Koordinaten im System 40/83; 3◦-Streifen (Bessel-Ellipsoid,Zentralpunkt Rauenberg)

140 Gauß-Kruger-Koordinaten im System 42/83; 6◦-Streifen (Krassowski-Ellipsoid,Zentralpunkt Pulkowo)

150 Gauß-Kruger-Koordinaten im System 42/83; 3◦-Streifen (Krassowski-Ellipsoid,Zentralpunkt Pulkowo)

200 Gauß-Kruger-Koordinaten; altes Lagefestpunktfeld (Bessel-Ellipsoid, ZentralpunktRauenberg)

389 dreidimensionale Koordinaten (hier X,Y) im ETRS89

400 UTM-Koordinaten (Hayford-Ellipsoid)

489 UTM-Koordinaten (GRS80-Ellipsoid)

500 Soldner-Koordinaten; erneuertes Lagefestpunktfeld (bezogen auf einen fiktivenKoordinatennullpunkt 40000 m westlich und 10000 m sudlich vomKoordinatenanfangspunkt Muggelberg)

600 Soldner-Koordinaten; altes Lagefestpunktfeld (bezogen auf Muggelberg)

640 konforme Koordinatenim bezogen auf Muggelberg (Reinickendorf/Pankow)

650 Soldner-Koordinatenim bezogen auf Gotzer Berg

660 konforme Koordinatenim bezogen auf Rathausturm

700 ortliches System

850 geographische Koordinaten auf dem Bessel-Ellipsoid

834 geographische Koordinaten auf dem GRS80-Ellipsoid

Hohensysteme

• fur praktischen Gebrauch sind schwerefeldbezogene Hohen notwendig (ruhendeWasserflache hat einen Hohenwert)



=⇒ Hohenbezugsflache ist Niveauflache des Schwerefeldes (Geoid3)

• Hohenanschluss erfolgt an den”mittleren Meeresspiegel“ mittels langjahriger Pe-

gelmessungen

• verschiedene Systeme unterscheiden sich durch:a) Pegel, an den angeschlossen wurde (z.B. Pegel Amsterdam, Pegel Kronstadt)b) (physikalische) Hohensystemdefinition (z.B. orthometrische Hohen, Nor-malhohen)

• in Deutschland:a) (normal-)orthometrische Hohen; Pegel Amsterdam −→ Hohen uber NNb) Normalhohen; Pegel Kronstadt −→ Hohen uber HNc) Normalhohen; Pegel Amsterdam −→ Hohen uber NHN (amtliches System!)

• SATELLITENGEODASIE (z.B. GPS): ellipsoidische Hohen (rein geometrisch de-finiert!)

Tabelle: Beispiele fur Hohensysteme:

Hohen- Hohensystemstatus0 vorlaufige Hohe im erneuerten Hohenfestpunktfeld (normalorthometrische Hohe bezogen

auf NN)16 vorlaufige Normalhohe im System DHHN 92100 Hohe im System DHHN 92140 Normalorthometrische Hohe im System des DHHN 85150 Normalhohe im System des SNN76160 Normalhohe im System des DHHN 92384 dreidimensionale Koordinaten (hier Z) im WGS84389 dreidimensionale Koordinaten (hier Z) im ETRS89(500) ellipsoidische Hohe auf dem Bessel-Ellipsoid(589) ellipsoidische Hohe auf dem GRS80-Ellipsoid800 ortliches System

Tabelle: Beispiele fur Koordinaten und Hohenangaben:

Lage- Koordinaten Hohen- Hohestatus system bzw. Z500 Y=21676.354m; X=24325.580m 140 H=60.589m100 Rechts=4592046.244m; Hoch=5824485.591m600 Y=*81676.354m(-18323.646m); X=14325.580m640 Y=*81676.329m(-18323.671m); X=14325.580m630 Y=51676.274m; X=34325.684m150 Rechts=4592069.904m; Hoch=5825074.064m400 East=33388543.414m; North=5823201.627m384 Y=897854.474m; X=3781877.469m 384 Z=5040036.675m850 Lange=13◦21’25.414963”; Breite=52◦32’49.536370” 140 H=60.589m834 Lange=13◦21’19.158896”; Breite=52◦32’44.455108”

3Die tatsachliche Hohenbezugsflache weicht vom Geoid geringfugig ab. Das liegt daran, dass einer-seits an Vereinfachungen und Annahmen bei der Realisierung der Hohenbezugsflache, andererseits ander begrenzten Moglichkeit ihrer messtechnischen Bestimmung.


3 EINFACHE LAGEMESSUNGEN 17

3 Einfache Lagemessungen

3.1 Fluchten von Geraden

• Zum Fluchten von Geraden werden Fluchtstabe (Baken) benotigt.(Stangen aus Eschen- oder Kiefernholz oder Aluminium; 28mm stark und 2m lang;von 0,5m zu 0,5m abwechselnd weiß und rot gestrichen; mit eiserner Spitze zumEinstoßen in die Erde)Lotrechtstellung mit Hilfe eines Schnurlotes, mit einer anklemmbaren Libelle odermit einem Lattenrichter; auf hartem Untergrund benutzt man eiserne Fluchtstab-halter

• Absteckung einer Gerade: beide Endpunkte der Geraden mit Fluchtstaben ausge-stecken und Zwischenpunkte uber diese beiden Punkte eingefluchtenEinweisung von Zwischenpunkten von der dem Beobachter gegenuberliegendenSeite bis zum Beobachtungsstandpunkt hin (Geraden bis 200m konnen mit bloßemAuge ausfluchtet werden, fur großere Entfernungen mit optischen Hilfsmitteln wiez. B. ein Feldstecher)

• Genauigkeit: in ebenem Gelande bei sorgfaltiger Arbeit Zwischenpunkte auf 2 bis 3Stabdicken einfluchtbar; fur hohere Genauigkeitsforderungen oder in schwierigemGelande ⇒ Theodolit zur Herstellung der Geraden erforderlich

• gegenseitiges Einweisen wird erforderlich, wenn die beiden Endpunkte der Geradenunzuganglich z. B. als Hausecken sind oder wegen einer Bodenerhebung nichtgegenseitig sichtbar sind (zwei Beobachter fluchten sich gegenseitig ein)

AB

A B

12

34

• Fluchten bei verbauten Messungslinien: mit Hilfe einer im Abstand a parallel zururspruglichen Linie durchgefluchteten Geraden

CD = C1D1

bzw. Umgehung oder Uberquerung von Hindernissen mit Hilfslinie (Strahlensatz):



(CD)2 = (C1D1)2 + (d− c)2 AB = BC

BD

DE −BC

3.2 Streckenmessung mit dem Stahlmessband

Auch wenn die mechanische Streckenmessung4 stark an Bedeutung verloren hat, nach-folgend die wichtigsten Korrektionen und Reduktionen:

• Messung aufliegend

– Reduktion auf die Horizontale– Korrektion wegen thermischer Ausdehnung– Bandkorrektion

• Messung freihangend Messung bei gleichen Hohen der Endpunkte: Reduktion aufdie Horizontale kann entfallen

– Korrektion wegen thermischer Ausdehnung– Korrektion wegen Durchhang– Bandkorrektion

• BandkorrektionIm allgemeinen beschrankt sich die Bandkorrektion bei Messbandern (im Gegensatzzu eltrooptischen Entfernungsmessern) auf die Berucksichtigung eines Maßstabes

gegeben: gemessene Strecke lSollange des Messbandes LAbweichung der Messbandlange von der Sollange bei 20◦C dL

gesucht: korrigierte Streckenlange l0 bzw. Bandkorrektion kE

l0 = l

(

1 +dL

L

)

= l ·M = l + kE mit kE = l · dLL

• TemperaturkorrektionBerucksichtigung der Ausdehnung des benutzten Materials des Messbandes(fur Stahl ist der Ausdehnungskoeffizient α =0,0115 10−3m/K)gegeben: korrigierte Strecke l0

Ausdehnungskoeffizient αTemperatur des Messbandes t

gesucht: korrigierte Streckenlange l1 bzw. Temperaturkorrektion kT

l1 = l0 (1 + α · (t− 20◦C)) = l0 + kT mit kT = l0 · α · (t− 20◦C)

4Die mechenische Streckenmessung mit Invarbandern oder -drahten ist immer noch eine hochgenaueMoglichkeit der Streckenmessung im Nahbereich.



Beispiel: Fur ein 20m-Stahlmessband ergibt sich bei 10◦C Temperaturanderungeine Temperaturkorrektion von 2,3mm

• Korrektion wegen DurchhangUnterschied zwischen der Sehne und der Lange des durchhangenden Messbandes;man geht davon aus, dass sich das durchhangende Messband wie ein homogenes,biegsames und nicht dehnbares Seil verhalt =⇒ Die entstehende Kettenli-nie entspricht einer Hyperbelkosinusfunktion mit gleichhohen Auflagepunkten(Funktion der Schwerkraft und der Zugkraft bzw. Funktion des Durchhangs)gegeben: korrigierte Strecke l1

Durchhang des Messbandes d

gesucht: korrigierte Streckenlange l2 bzw. Korrektion wegen Durchhang kD

l2 = l1 + kD kD ≈ −8d2

3l1

Durchhang und Korrektion fur ein 400 g schweresStahlmessband bei Zugspannung 50 N:

l[m] 10 15 20d [cm] 5 11,2 20kD[mm] -0,7 -2,3 -5,3

Verminderrung der Auswirkung des Durchhangs:(a): wird Zugspannung verdoppelt, halbiert sich der Durchhang d(b): Unterstutzung des Messbandes in der Mitte =⇒ Korretionsbetrag vermindertsich auf kD/4

• Reduktion auf die HorizontaleBerucksichtigung des Hohenwinkels (Neigungsmesser) oder des Hohenunterschiedsder Streckenendpunktegegeben: korrigierte Strecke l2

Hohenwinkel β bzw. Hohenunterschied der Endpunkte ∆H

gesucht: korrigierte Streckenlange l3 bzw. Korrektion wegen Neigung kN

l3 = l2 cos β =√

l22 − ∆H2 = l2 + kN kN = l2(cos β − 1) =√

l22 − ∆H2 − l2

Beispiel: Ein Hohenunterschied von 1m ergibt fur eine 20 m lange Strecke eineKorrektion von 25 mm .

• Korrektion wegen elastischer DehnungDie Korrektur wegen elastischer Dehnung muss im allgemeinen nicht berucksich-tigt werden, wenn die Sollzugspannung eingehalten wird (z.B. Spannungsmesserim Griff).

Sollen Streckenmessungen aus der Ortlichkeit in ein Gebrauchskoordinatensystem (z.B.Gauß-Kruger-Koordinaten) ubertragen werden, ergeben sich weitere Korrektionen:

• Reduktion wegen Hohe (Reduktion auf das Meeresniveau)Auswirkung nur bei langen Strecken!



gegeben: korrigierte Strecke l3mittlere Hohe Hm

mittlerer Erdradius R

gesucht: korrigierte Streckenlange l4 bzw. Korrektion wegen Hohe kH

l4 = l3 ·(

1 − Hm

R

)

= l3 + kH kH = −l3Hm

R

Beispiel: Fur eine mittlere Hohe von 40 m und einen mittleren Erdradius von6370 km ergibt sich fur eine 20m-lange Strecke ein Korrekturwert von -0,1mm.

• ProjektionsverzerrungDa die Streckenmessungen auf der Erdoberflache durchgefuhrt werden, mussendie Verzerrungen der Strecken in der Abbildungsebene berucksichtigt werden. AlsAbbildugen treten z.B. die Gauß-Kruger-Abbildung oder die Soldner-Abbildungauf.gegeben: korrigierte Strecke l4

mittlerer Abstand vom Bezugsmeridian ym

mittlerer Erdradius R

gesucht: korrigierte Streckenlange l5 bzw. Abbildungskorrektion kA

l5 = l4 + kA

kA;Gauß−Kruger = l4y2

m

2R2kA;UTM = l4(0, 9996+

y2m

2R2) kA;Soldner = l4

y2m

2R2cos t

Beispiele:Fur einen mittleren Abstand von 100 km vom Mittelmeridian (Gauß-Kruger-Koordinatenwert von 4 600 000m) und einem Erdradius von 6370 km erhalt man fureine 20 m lange Strecke einen Korrekturwert von 2,5mm. Fur die UTM-Abbildungergibt sich ein Korrekturwert von -5,5mm.Fur einen mittleren Abstand von 20 km vom Koordinatenursprung (Soldner-Koordinatenwert von 20 000m) und einem Erdradius von 6370km erhalt man fureine 20m lange Strecke in Nord-Sud-Richtung (t=0gon) einen Korrekturwert von0,1mm.

Es verbleiben als zu berucksichtigende Korrektionen/Reduktionen im allgemeinen nur dieBandkorrektion kE, die Temperaturkorrektion kT , die Reduktion wegen Durchhangs kD,die Reduktion auf die Horizontale kN sowie bei ungunstiger Lage bzw. UTM-Abbildungdie Projektionsverzerrung kA.

3.2.1 Messverfahren

Messverfahren in geneigtem Gelande:

– Staffelmessung (freihangend)– Reduktionsverfahren (aufliegend)



Staffelmessung

Bei der Staffelmessung mit freihangen-dem Messband wird das Messband indie Horizontale gebracht und an beidenEndpunkten abgelotet. Die Genauigkeitdieses Messverfahrens ist stark von derGute der Ablotung abhangig.

Reduktionsverfahren

Bem Reduktionsverfahren mit aufliegendem Messband ist neben der Messbandlangeder Neigungswinkel zur Reduktion in die Horizontale zu bestimmen (Neigungs- oderGefallmesser).

3.3 Absetzen rechter Winkel

• Zum absetzen rechter Winkel oder zum Aufwinkeln seitwarts liegender Punkte aufeine Messungslinie dienen Diopterinstrumente, Winkelscheiben5 und Winkelpris-men.Winkelprismen (geschliffene Glaskorper): Funfseitprisma oder Pentagon, Wolla-stonprisma (es lassen sich rechte Winkel zu einer abgesteckten Linie herstellen).

• Fehlerquellen: Schliffehler, Anzielfehler und Zentrierfehler; fur den Winkelfehlerkann man von etwa ±40 mgon und fur den Zentrierfehler von etwa ±2 cm ausgehen

Abbildung: Strahlengangim Pentaprisma

• Prismenkreuze bestehen aus zwei der obigen Prismen (sie erlauben das Absetzenvon rechten und gestreckten Winkeln)Genauigkeit entsprechend den obigen Annahmen ausgehen.

5Diopterinstrumente und Winkelscheiben sind wegen ihres Konstruktionsprinzips heute kaum nochim Einsatz



3.4 Aufnahmeverfahren und -objekte (DIN 18702)

• in Abhangigkeit von der Zielstellung: Aufnahme des Objektes durch Messung vonStrecken und Winkeln, so dass das Objekt maßstablich aufgetragen werden kann=⇒ als Stuckvermessung bezeichnet

3.4.1 Das Rechtwinkelverfahren (Orthogonalaufnahme)

• Aufbau eines lokalen Koordinatensystemsdurch eine MessungslinieDie seitswarts liegenden Objekte werden aufdiese Messungslinie rechtwinkelig durch Recht-winkelmessgerate (meistens Winkelprismen)aufgenommen.(Messungslinie: Abzisse; seitwarts abgehendenStrecken: Ordinaten)

• Kontrolle: z.B. Messen von Streben (Verbin-dungen zwischen Messungslinienpunkten undObjektpunkten), Spannmaßen (Streben vonvermarkten Messungslinienpunkten)

• direkte Umsetzung in eine graphische Darstel-lung oder Ablegen von (absoluten) Koordinaten

• Umsetzung lokaler Koordinaten in das Landeskoordinatensystem:Zur Kontrolle und zur Anpassung des Maßstabes wird die Strecke zwischendem koordinatenmaßig bekannten Anfangs- und Endpunkt der Messungsliniegemessen. Die Berechnung der Punkte erfolgt wie die von Kleinpunkten6.

A) Berechnung der Koordinaten von Punkten F auf der Messungslinie AE:

X

Y

E

A

F

S AF

S FE

tAE XF-XA

YF-YA

gegeben: Koordinaten von A und Egemessen: Strecken sAF und sFE

gesucht: Koordinaten des Punktes F

XF = XA +sAF

sAF + sFE

· ∆XAE

XF = XA+∆XAE

SAE

sAFSAE

sAF + sFE

= XA+cos(tAE)SAE

sAF + sFE

sAF = XA+a·sAF

6siehe VO Geodatisches Rechnen



YF = YA +sAF

sAF + sFE

· ∆YAE

YF = YA +∆YAE

SAE

sAFSAE

sAF + sFE

= YA + sin(tAE)SAE

sAF + sFE

sAF = YA + o · sAF

B) Berechnung der Koordinaten von seitwarts der Messungslinie AE liegendenPunkten P :

X

Y

E

A

F

S AF

S FE

tAE

P

SFP

gegeben: Koordinaten von A und Eberechnet: Koordinaten von Fgemessen: Strecken sAF , sFE und sFP

gesucht: Koordinaten des Punktes P

XP = XF +cos(tAE+100[gon])SAE

sAF + sFE

sFP = XF−sin(tAE)SAE

sAF + sFE

sFP = XF−o·sAF

YP = YF +sin(tAE+100[gon])SAE

sAF + sFE

sFP = YF +cos(tAE)SAE

sAF + sFE

sFP = YF +a·sAF

Fur links der Messungslinie liegende Punkte verandert sich der Richtungswinkelum weitere 200gon.In diesem Fall drehen sich in den trigonometrischen Funktionen die Vorzeichenum. Damit lassen sich die Strecken zu den seitwarts liegenden Punkten als Ko-ordinaten in einem lokalen Koordinatensystem auffassen und fur rechts von derLinie liegende Punkte positiv und links von der Linie negativ in die vorstehendenFormeln einfuhren.

Allgemein ergeben sich folgende Formeln:

XP = XA + a · sAF − o · sFP

YP = YA + o · sAF + a · sFP



3.4.2 Das Einbindeverfahren

• Es werden Messungslinien entlang der einzubin-denden Objekte gelegt und der Anfangs- undder Endpunkt dieser Messungslinien in vorhan-dene Messungslinien eingebunden.

• Dann werden auf den neu entstandenen Liniendie Strecken gemessen und die Abstande desAnfangs- und Endpunktes auf den Linien, in dieeingebunden wird. Zur Kontrolle werden weite-re Objektseiten gemessen.

• Eine graphische Darstellung und Koordinatenlassen sich uber die Messungselemente erzeu-gen. Es konnen die Formeln der Kleinpunkt-berechnung fur Punkte auf der Messungslinieverwendet werden.

3.4.3 Weitere Koordinatenberechnungen

Es konnen weiterhin notwendig werden:

• Koordinatenberechnungen als Schnittpunkte (Geradenschnitte)

• Koordinatentransformationen von lokalen in das ubergeordnete Koordinatensystem(Landeskoordinatensystem)X

Y

B

A P

X'

Y'

dY

dX

"

gegeben:Koordinaten von A und B in beiden SystemenKoordinaten von P im System (X ′;Y ′)

gesucht:Koordinaten von P im System (X;Y )Transformationsparameter α, M , dX und dY

Grundgleichungen (vgl. Kleinpunktberechnung):

Xi = dX +M · cos(α)X ′i −M · sin(α)Y ′

i

Yi = dY +M · sin(α)X ′i +M · cos(α)Y ′

i

Losung fur die unbekannten Transformationsparameter (eindeutige Losung uber 2Punkte):

M =

√

∆X2AB + ∆Y 2

AB√

∆X ′2AB + ∆Y ′2

AB

=SAB

S ′AB



α = arctan∆YAB

∆XAB

− arctan∆Y ′

AB

∆X ′AB

dX = XA −M · cos(α)X ′A +M · sin(α)Y ′

A

dY = YA −M · sin(α)X ′A −M · cos(α)Y ′

A

Zahlenbeispiel:

Gegebene Koordinaten:

Punktnummer Y in Meter X in Meter Y ′ in Meter X ′ in MeterA 24243,12 22368,79 -10,09 0,00B 24362,49 22456,67 5,87 147,39P 0,07 50,32

Transformationsparameter: Maßstab M = 0,999853428Rotation α = 59,5995gon - 6,8668gon

= 52,7327gonTranslation dX = 22361,36m

dY = 24249,94m

Kontrolle uber die Grundgleichung: XA = 22368,79mYA = 24243,12m

Neupunkt P uber die Grundgleichung: XP = 22395,33mYP = 24287,06m

3.5 Vermessungspunkte, Vermarkungen, Einmessungen

Unterscheidung der Vermessungspunkte in:

• Lagefestpunkte

• Hohenfestpunkte

• Grenzpunkte

• Gebaudepunkte

• topographische Punkte

• sonstige Punkte

Bei Festpunktfeldern kann nach der Hierarchiestufe der Netze unteschieden werden7:

• Trigonometrische Punkte

• Aufnahmepunkten7Spezielle Bezeichnungen fur einzelne Hierarchiestufen wie z. B. das Ubergeordnete Lagefestpunkt-

feld oder das Ubergeordnete Hohenfestpunktfeld in Berlin sind denkbar.



Die Art des Punktes wird in dem Punktkennzeichen durch eine einstellige Schlusselzahlgekennzeichnet.

Punktkennzeichen = Punktnummer / Numerierungsbezirk / Punktart

(Die Punktnummer ist funfstellig, der Numerierungsbezirk achtstellig und die Punktarteinstellig.)

• Der Numerierungsbezirk ist bei den ubergeordneten Festpunktfeldern die Eintei-lung der TK 1:25 000 und bei den anderen Punktarten der Blattschnitt der Karte1:1000. (Da in Berlin der funfstellige Soldnerblattschnitt benutzt wird, sind imGegensatz zur Gauß-Kruger-Numerierung 5 Stellen ausreichend.)Nachfolgend ist die Punktart in der Festlegung fur das Verfahren ALK-Berlin dar-gestellt.

Inhalt Bedeutung0 Trigonometrischer Punkt1 Aufnahmepunkt2 Grenzpunkt3 Gebaudepunkt4 Topographischer Punkt5 Sonstiger Punkt / Zwischenpunkt6 ubergeordneter Lagefestpunkt7 Aufnahmehohenfestpunkt8 Schwerepunkt9 Nivellementspunkt

• Nicht in allen Landern ist die Punktart Bestandteil des Punktkennzeichens. (InBerlin ist fruher noch eine Unterscheidung nach Punktnummernbereichen fur un-terschiedliche Punktarten vorgenommen worden.)

• Punktnummernbereiche fur unterschiedliche Punktarten im Land Berlin:

Punktart Punktnummernbereich VorschriftGebaudepunkt 1 bis 59999 keineGrenzpunkt 1 bis 59999 keinetopographischer Punkt 1 bis 59999 keineSchwerepunkt 89001 bis 89999 RundschreibenAufnahmehohenfestpunkt 60001 bis 69999 AV Hohefestpunktfeld

Ubergeordneter Hohenfestpunkt 80001 bis 88999 AV HohefestpunktfeldAufnahmelagefestpunkt 70001 bis 79999 AV Lagefestpunktfeld

Ubergeordneter Lagefestpunkt 90001 bis 99999 AV Lagefestpunktfeld

• Bis auf die Gebaudepunkte und die topographischen Punkte weisen die Punktekeine naturlichen Vermarkungen auf.−→ Sie mussen durch Steine oder Rohre kunstlich vermarkt werden!

• in Abhangigkeit von der Bedeutung der Punkte unterschiedlich sichere und auf-wendige Vermarkungen

– bei trigonometrischen Punkten mit Granitpfeilern und untenlegten Platten



– auch ubergeordnete Hohenfestpunkte werden durch sehr tief gehende Rohrebzw. Pfeiler sehr aufwendig vermarkt

– Aufnahmelagefestpunkte sind genauso wie die Grenzpunkte durch Steine oderdurch Rohre vermarkt (eventuell auch noch Untervermarkungen)

– Aufnahmehohenfestpunkte sind in urbanen Gebieten meistens durch Mauer-bolzen vermarkt

• die Festpunkte sollten auch von großen Entfernungen einsehbar und gut zuganglichsein

• Die Punkte sind einzumessen! (fur die Kontrolle von Lageanderungen sind Maßezu topographischen Gegenstanden oder zu Hilfspunkten erforderlich)Einmessungen werden in Vermessungsvordrucken8 protokolliert! (kleine Skizze;Zahlenwerte der Such- und Kontrollmaße; Koordinatenwerte oder Hohe; bei Lage-festpunkten Strecken und Richtungen zu benachbarten Festpunkten; Punktkenn-zeichen)

Bei der Nutzung von Festpunkten fur den Anschluss an das Lage- oder Hohenfestpunkt-feld sind wenigstens so viele Kontrollmaße zu messen, dass sichergestellt wird, dass derFestpunkt keine Lage- oder Hohenanderung erfahren hat. Sollte eine Anderung nachge-wiesen werden, so ist die zustandige Vermessungsdienststelle zu benachrichtigen.

⇒ Mit dem Einsatz satellitengestutzter GPS-Verfahren zur absoluten Positionierungwerden die Festpunktfelder an Bedeutung verlieren und zukunftig nicht mehrflachendeckend durch vermarkte Punkte vorhanden sein.

3.6 Registrierung von Vermessungszahlen, Vermessungsrisse

• fruher fast ausschließlich manuell in Vermessungsvordrucken9

Nachtteil: es traten leicht Ubertragungsfehler auf, Ubertragung sehr arbeitsin-tensiv!

• Ablosung durch den DV-gestutzten Datenfluss−→ Erfassung der Zahlenwerte im Felde automatisch und Ubertragung zuAuswerteprogrammen DV-gestutzt (z.B. selbstregistrierenden Tachymeter mitDatenfluss bis zu geodatischen Berechnungen und von dort weiter uber Punktdateibis zur ALK)

• Neben der Erfassung der Zahlenwerte: graphische Darstellung der Vermessung imFeld −→ Vermessungsriss (DIN 18 702)Diese graphischen Darstellungen haben auch mit der Einfuhrung der selbstregi-strierenden Tachymeter ihre Bedeutung nicht verloren, da auch in diesem Fall

8In Berlin wird der Vermessungsvordruck 39 im Format A6 und der Vordruck 49 im Format A4benutzt. Die Anzahl und die Genauigkeit der Kontrollmaße ist in den entsprechenden Vorschriftengeregelt.

9Z.B. Vordrucke fur: Horizontal- und Vertikalwinkelmessung, Orthogonalaufnahme, Polygonierung,Streckenmessung, geometrisches Nivellement


4 FEHLERLEHRE 28

die Vermessung zusammenhangend dargestellt werden muss! Erst beim Einsatzgrafischer Feldrechner kann sich das andern.

4 Fehlerlehre

• bei Messungen jedweder Art sind Ungenauigkeiten unvermeidbar(Mangel der Messgerate, Unvollkommenheit der menschlichen Sinne)

• Bei der Auswertung von Messungen ergeben sich zwei Aufgaben:

– Ableitung einer moglichst guten Naherung fur den wahren Wert aus denBeobachtungen

– Ableitung von Genauigkeitsmaßen fur die Beobachtungen und der ermitteltenGroße

4.1 Fehlerarten und Begriffe

• grobe Fehler sind Irrtumer (grob fehlerhafte Ablesungen, Zielverwechslungen u.a.)Als grob unrichtig erkannte Messwerte durfen im Messprotokoll berichtigt werden. Aber keine

Abanderung auf den letzten Stellen der Messwerte!

Das Streichen von”nicht passenden“ Messwerten aus einer Reihe hat i.d.R. zu unterbleiben.

• Elementarfehler sind die elementaren Fehlereinflusse, die bei einem Messvorgangauftreten konnen:

instrumentelle: Exzentrizitaten; Spiel; Dejustierungen; lang-, mittel- undkurzperiodische Teilungsfehler; Rundungsfehler bei derAblesung; usw.

physiologische: Sehscharfe; Ermudung; Beleuchtungseinflusse; usw.personliche: Bevorzugung bestimmter Interpolationsfalle; asymmetrische

Koinzidenzeinstellung; usw.außere: Stativ-(Pfeiler-)drehung durch Sonneneinstrahlung;

Refraktion; usw.

• systematische Fehler wirken regelmaßig (oft nach erkennbaren Gesetzen)


4 FEHLERLEHRE 29

• zufallige Fehler tritt regellos auf (nicht vorhersagbar)Summe aller wirkenden Elementarfehler (nach Ausscheiden grober und systemati-scher Fehler)Es lassen sich aber Regeln uber die Haufigkeit seines Auftretens angeben.

• Im Sinne der mathematischen Statistik konnen Messungen als Zufallsereignisse(Zufallsprozesse) betrachtet werden. Die erhaltene Maßzahl ist entsprechend eineZufallsgroße (stochastische Große) mit einem zufalligen Fehler.

Annahme: beliebig viele Beobachtungen unter gleichen Messbedingungensind moglich

• das mathematische Modell beschreibt die Beziehungen der Zufallsgroßen zueinan-der mathematisch.10

Ziel sollte es sein, das mathematisches Modell so zu wahlen, dass die Modellfehlerim Rahmen der Aufgabenstellung ohne bzw. von geringer Bedeutung sind.

• der wahrer Fehler ε ist die Differenz zwischen Messwert und wahrem Wert (Ist-Soll); er ist normalerweise nicht zuganglich, da der wahre Wert meist nicht bekanntist

• die Verbesserung ist die Differenz zwischen wahrem Wert und Messwert (Soll-Ist)

• die scheinbare Verbesserung v ist die Differenz zwischen Mittelwert undMesswert vi = x− xi

4.2 Haufigkeitsverteilung

• geodatischen Beobachtungen verhalten sich nach dem von C. F. Gauß ermitteltenund nach ihm benannten Fehlergesetz11

(Auf den mathematischen Beweis wird hier verzichtet!)

• Jedem Ereignis A ist die Wahrscheinlichkeit P (A) zugeordnet. (Sie liegt zwischen0 fur das unmogliche Ereignis und 1 (100%) fur das sichere Ereignis.)

0 ≤ P (A) ≤ 1

• die Wahrscheinlichkeit zufalliger Fehler unterliegt der Normalverteilung

10Je nach der Wahl des mathematischen Modells kann die Ubereinstimmung mit der Wirklichkeitbesser oder schlechter sein. Man spricht von Modellfehlern oder von systematischen Fehlern. DieseFehler lassen sich durch eine Verbesserung des Modells minimieren/verringern.

11Z.B. Ergebnis empirischer Untersuchungen zu den Haufigkeitsverteilungen der wahren Fehler.


4 FEHLERLEHRE 30

Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung (Gauß’sche Glockenkurve):

ϕ(x) =1

sx

√2πe

−(E(x)−x)2

2s2x (1)

E(x) wahrer Wert oder Erwartungswert undsx Standardabweichung (bzw. Varianz s2

x)

0,2

0,4

E(x) E(x)+sxE(x)-sx

(normierte) Wahrscheinlichkeits-dichteDas Integral

∫∞∞ ϕ(x)dx (Flache

unter der Kurve) ist =1

• Die Wahrscheinlichkeit fur das Auftreten einer Zufallsveranderlichen im Bereichzwischen a und b entspricht der Flache unter der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionzwischen a und b (

∫ ba ϕ(x)dx).

• Durch Integration von ϕ(x) ergibt sich die Verteilungsfunktion12 der Normalver-teilung. Es kann die Wahrscheinlichkeit fur das Auftreten der Zufallsveranderlichenberechnet werden.

Φ(x) =∫ ∞

∞ϕ(x)dx =

1

sx

√2π

∫ ∞

∞e

−(E(x)−x)2

2s2x dx

Beispiele fur die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten P :

Wa,b = Φ(b) − Φ(a)

PE(x)−sx,E(x)+sx= Φ(E(x) + sx) − Φ(E(x) − sx) = 0, 6826 = 68, 26%

PE(x)−2sx,E(x)+2sx= Φ(E(x) + 2sx) − Φ(E(x) − 2sx) = 0, 9544 = 95, 44%

PE(x)−3sx,E(x)+3sx= Φ(E(x) + 3sx) − Φ(E(x) − 3sx) = 0, 9974 = 99, 74%

• Die Werte fur Φ(x) konnen Statistikprogrammen oder Tafeln entnommen wer-den13.

4.3 Streuungsmaße

• Standardabweichung: wichtigstes Streuungsmaß mit der Definition

aus wahren Fehlern

σx =

√

√

√

√

1

n

n∑

i=1

ε2 =

√

[εε]

n(2)

und aus scheinbaren Verbesserungen

sx =

√

√

√

√

1

n− 1

n∑

i=1

v2 =

√

[vv]

n− 1(3)

12Funktion, welche fur jedes x die Wahrscheinlichkeit P angibt, dass eine Zufallsgroße X nicht großerals x ist.

13Bei der Ermittlung der Werte ist jedoch darauf zu achten, dass mit E(x) und sx die wahren Wertegegeben sein mussen und nicht die zugehorigen Schatzungen.


4 FEHLERLEHRE 31

• die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung s2; Sie ist allgemein definiertals

s2x = E(x2) − E(x)2 = E

(

(x− E(x))2)

= E(ε2) (4)

• andere Streuungsmaße (in der Geodasie nicht gebrauchlich)

Durchschnittlicher Fehler τ

τ =|ε|n

wahrscheinlicher Fehler ρ (der Fehler,dem eine Wahrscheinlichkeit von 50%zugeordnet ist)

Φ(E(x) + ρ) − Φ(E(x) − ρ) = 0, 5

Fur unabhangige normalverteilte Zufallsveranderliche ergeben sich folgende Zu-sammenhange:

τ = 0, 80s = 1, 18ρ

s = 1, 25τ = 1, 47ρ

ρ = 0, 85τ = 0, 67s

• Da im Normalfall nur eine begrenzte Anzahl von Stichproben (Messungen) aus derGrundgesamtheit (aller moglichen Messungen) zur Verfugung stehen, mussen furden Erwartungswert und die Varianz Schatzungen ermittelt werden.Fur die Schatzungen sind drei Kriterien maßgebend:

1. konsistente Schatzung = passende SchatzungDie Schatzungen sollen so vorgenommen werden, dass fur eine unendlich große Anzahl die Schatzungenin den wahren Wert ubergehen.

2. erwartungstreue SchatzungDie Erwartungstreue der Stichprobe soll auf die Schatzung ubergehen.

3. effiziente Schatzung = wirksame SchatzungDie Abweichungen des Schatzwertes von der Stichprobe (Messung) sollen zum Minimum werden. DieseForderung ist gleichbedeutend mit der Forderung der Ausgleichungsrechnung als

”Methode der kleinsten

Quadrate“.(mit vi = X−li Verbesserung (Residuum) als Differenz zwischen Schatzwert und Beobachtung

∑

vivi →Minimum)

4.4 Fehlergrenzen und Vertrauensbereich

In vielen Vorschriften des Vermessungswesens sind Fehlergrenzen fur geodatische Mes-sungen angegeben. Diese Fehlergrenzen orientieren sich an den Genauigkeitanforderun-gen fur das Ergebnis der Vermessungen.

Fehlergrenzen werden fur direkte Angaben des Ergebnisses oder fur abgeleitete Großender einzelnen Messung angegeben. Z.B.:

- fur eine direkte Angabe:in der

”Ausfuhrungsvorschrift fur die Herstellung des Lagefestpunktfeldes“ des Lan-

des Berlin die Fehlergrenze fur die Standardabweichung von Aufnahmefestpunktenvon weniger als ±15mm


4 FEHLERLEHRE 32

- fur eine abgeleitete Große:in der

”Vorlaufigen Ausfuhrungsvorschriften fur die Grenzvermessung im erneuer-

ten Lagefestpunktfeld und uber das Koordinatenkataster“ die zulassige Differenzzwischen zwei Streckenmessungen zu d[m] = 1/3(0, 05 + 0, 0003 · s+ 0, 008s1/2);Streckenlange s in Metern.

Bei Kenntnis der Verteilungsfunktion einer Zufallsveranderlichen kann aus den bekann-ten Werten der Wahrscheinlichkeitsdichte das Vertrauensintervall (der Vertrauensbereichoder Konfidenzbereich) abgeleitet werden.

• Der Vertrauensbereich uberdeckt mit einer Wahrscheinlichkeit P (von z.B. 95%)den wahren Wert.Oder:

”Der wahre Wert liegt mit der Wahrscheinlichkeit P zwischen der unteren

Cu und oberen Grenze Co des Vertrauensbereiches“

• Berechnung der Grenzen des Vertrauensbereiches mit Hilfe der sog. Quantilen uS

(Tafeln!):Cu = E(x) − uS · σ Co = E(x) + uS · σ

Quantilen der Normalverteilung:

statistische Sicherheit S 50 68,3 90 95 95,45 99 99,73Quantil uS 0,68 1,00 1,64 1,96 2,00 2,58 3,00

• Beispiel:

Standardabweichung σx = ±2 cmErwartungswert E(x) = x = 10mVertrauensintervall fur S = 95% Cu = 10 − 1, 96 · 0, 02 und Co = 10 + 1, 96 · 0, 02

P (9, 96m ≤ E(x) ≤ 10, 04m) = 95%

• Obige Beziehungen gelten nur fur bekannte Standardabweichung σ!in der Praxis meist nur Schatzung s (empirische Standardabweichung aus nMesswerten)=⇒ es muss fur die Berechnung der Grenzen Cu und Co anstelle der Normalver-teilung die t-Verteilung (Student-Verteilung) genutzt werden

Auswahl von Quantilen der t-Verteilung:

statistische Sicherheit S 68,3 90 95 98 99 99,9n = 2; f = 1 1,84 6,31 12,71 31,80 63,66 636,62n = 3; f = 2 1,32 2,92 4,30 6,96 9,92 31,60n = 4; f = 3 1,20 2,35 3,18 4,54 5,84 12,94n = 6; f = 5 1,11 2,02 2,57 3,36 4,03 6,86n = 11; f = 10 1,05 1,81 2,23 2,76 3,17 4,58n = 21; f = 20 1,02 1,72 2,09 2,53 2,85 3,85n = 31; f = 30 1,02 1,70 2,04 2,46 2,75 3,65n = ∞; f = ∞ 1,00 1,64 1,96 2,33 2,58 3,29

(f ist Anzahl der uberschussigen Beobachtungen =⇒ Freiheitsgrad)


4 FEHLERLEHRE 33

• Beispiel:

Standardabweichung sx = ±2 cmFreiheitsgrad f = 5Erwartungswert E(x) = x = 10mVertrauensintervall fur S = 95% Cu = 10 − 2, 57 · 0, 02 und Co = 10 + 2, 57 · 0, 02

P (9, 95m ≤ E(x) ≤ 10, 05m) = 95%

4.5 Varianzfortpflanzungsgesetz fur lineare Funktionen

Problem: Wie berechnet man die Varianz (bzw. Standardabweichung) einer linearenFunktion von mehreren Zufallsgroßen (Messwerten), wenn die einzelnen zugehorigenStandardabweichungen gegeben sind?

• Aus der Definition der Varianz nach Gleichung (4) lasst sich die Varianz einerlinearen Funktion von mehreren Zufallsveranderlichen bestimmen.Eine lineare Funktion ist allgemein in folgender Form definiert:

F (xi) = f0 + f1x1 + f2x2 + · · · + fnxn (5)

• Nach der Definition der Varianz (s2x = E ((x− E(x))2)) ergibt sich die Varianz

der Funktion F (xi):

s2F = E

(

[F (xi) − E(F (xi))]2)

= (6)

f21 E{(x1 − E(x1))2} + f1f2E{(x1 − E(x1))(x2 − E(x2))} + · · ·+ f1fnE{(x1 − E(x1))(xn − E(xn))}+

f2f1E{(x2 − E(x2))(x1 − E(x1))} + f22 E{(x2 − E(x2))2} + · · ·+ f2fnE{(x2 − E(x2))(xn − E(xn))}+

.

.....

.

..fnf1E{(xn − E(xn))(x1 − E(x1))} + fnf2E{(xn − E(xn))(x2 − E(x2))} + · · ·+ f2

nE{(xn − E(xn))2}

• E{(xi − E(xi))2} ist gleich der Varianz der Zufallsvariablen xi

die gemischten Glieder E{(xi − E(xi))(xj − E(xj))} fur i 6= j sind die sog.Kovarianzen

• Damit lasst sich in allgemeiner Form wie folgt darstellen:

s2F = f 2

1 s2x1

+ f1f2cov(x1, x2) + · · ·+ f1fncov(x1, xn)+

f2f1cov(x2, x1) + f 22 s

2x2

+ · · ·+ f2fncov(x2, xn)+...

......

fnf1cov(xn, x1) + fnf2cov(xn, x2) + · · ·+ f 2ns

2xn

(7)

• Bei unabhangigen Beobachtungen werden die Kovarianzen Null und es ergibt sich:

Varianzfortpflanzungsgesetz fur lineare Funktionen unabhangiger Zufallsvariablen:

s2F = f 2

1 s2x1

+ f 22 s

2x2

+ · · · + f 2ns

2xn

(8)


4 FEHLERLEHRE 34

• Beispiele:

– Widerspruch bei der Winkelmessung im ebenen Dreieck:w = 200gon− α− β − γf0 = 200gon; f1 = −1; f2 = −1; f3 = −1s1 = ±1mgon; s2 = ±2mgon; s3 = ±3mgon

sw = {(1 + 4 + 9)mgon2}1/2 = ±3, 7mgon

– Arithmetisches Mittel von 3 Streckenmessungen:S = (s1 + s2 + s3)/3f0 = 0; f1 = 1/3; f2 = 1/3; f3 = 1/3s1 = s2 = s3 = ±2cm

sS = {(4 + 4 + 4)/9cm2}1/2 = ±1, 2cm

4.6 Gewichte

• Das Gewicht ist eine (fingierte) Wiederholungszahl. Es ist folgendermaßen defi-niert:

pi =s20

s2i

(9)

• si ist die Standardabweichung der Messgroße xi

• s0 ist die Standardabweichung einer (fiktiven) Messgroße mit dem Gewicht p0 = 1(sog. Gewichtseinheit)

• Beispiel:Die Zufallsveranderliche x ist arithmetisches Mittel aus n gleichgenauen Beobach-tungen xi

Varianz: s2x = n

s2i

n2 =s2i

n

Gewicht: p =s2i

s2x

• Das Gewicht ist umgekehrt proportional zur Varianz. Wegen der Definition alsVerhaltnis von Varianzen konnen auch nichtganzzahlige Gewichte auftreten.

Beispiel:Die Zufallsveranderlichen x1 und x2 weisen die Varianzen s1 und s2 auf.

Gewichte: p1 = 1 und p2 =s21

s22; mit z.B. s1 = 5mm und s2 = 7mm ergibt sich:

p2 = 2549

= 0, 51

• Das Gewicht wird im Sinne der Statistik als fehlerfreie Große behandelt undmussten dementsprechend aus der fehlerfreien Varianz s2

i und einer beliebigenKonstanten s2

0 berechnet werden.In der Praxis werden jedoch haufig die Schatzungen fur die Varianzen in die Be-rechnungen der Gewichte eingefuhrt.


4 FEHLERLEHRE 35

• Eine Beobachtung ist das Ergebnis einer Stichprobe fur eine Zufallsveranderliche,die durch den Erwartungswert und die Standardabweichung definiert ist.Im Sinne der Ausgleichungsrechnung lassen sich die Modellannahmen im funktiona-len und im stochastischen Modell beschreiben. Das stochastische Modell beschreibtdie Genauigkeiten der Zufallsveranderlichen (bekannte Werte oder Schatzungen furdie Standardabweichungen).

4.7 Ausgleichung direkter Beobachtungen gleicher und unglei-

cher Genauigkeit

• Direkte Beobachtungen liegen vor, wenn die gleiche Große mehrfach gemessen(beobachtet) wird.Z.B. mehrfache Messung einer Strecke (da es dieselbe Strecke ist, ist auch derErwartungswert gleich)Bei der Ausgleichung direkter Beobachtungen liegen Zufallsveranderliche vor, die alle den gleichen Erwartungswert

aufweisen.

• Gleiche Genauigkeit =⇒ Zufallsveranderliche (Messungen) weisen gleiche Varian-zen aufUngleiche Genauigkeiten =⇒ Zufallsveranderliche (Messungen) weisen unter-schiedliche Varianzen aufBei direkten Beobachtungen geht man von unabhangigen Zufallsveranderlichenaus (Kovarianzen =0), d.h. unabhangige Wiederholungen der Messungen

• Nach dem Prinzip der Ausgleichung14 erhalt man das einfache bzw. das gewogenearithmetische Mittel x als Schatzwert fur den Erwartungswert aus n unabhangigenBeobachtungen li.einfaches arithmetisches Mittel

x =

∑ni=1 lin

= x0

∑ni=1(li − x0)

n

gewogenes arithmetisches Mittel

x =

∑ni=1 pili∑n

i=1 pi

= x0

∑ni=1 pi(li − x0)∑n

i=1 pi

(10)

x0 frei wahlbarer Naherungswert pi Gewicht der Beobachtung ili Beobachtung i n Anzahl der Beobachtungen

• Die Schatzung der Standardabweichung einer Beobachtungbei gleicher Genauigkeit erfolgt wieder nach Gleichung 3:

sx =

√

√

√

√

1

n− 1

n∑

i=1

v2i =

√

[vv]

n− 1mit vi = x− li = (x− x0) − (li − x0)

mit den Kontrollen:

n∑

i=1

vi = n·x−n∑

i=1

li = 0 [v] = 0n∑

i=1

v2i =

n∑

i=1

l2i−(∑n

i=1 li)2

n[vv] = [ll]− [l]2

n

14Methode der kleinsten Quadrate (∑

vivi → Minimum)


4 FEHLERLEHRE 36

• Die Schatzung der Standardabweichung fur das arithmetische Mittel ergibt sichnach dem Varianzfortpflanzungsgesetz:

sx =

√

s21

n2+s22

n2+ . . .+

s2n

n2=

s0√n

• Die Schatzung der Standardabweichung einer Beobachtung mit dem Gewicht p = 1bei ungleicher Genauigkeit:

s0 =

√

√

√

√

1

n− 1

n∑

i=1

piv2i =

√

[pvv]

n− 1mit vi = x− li = (x− x0) − (li − x0)

und mit der Kontrolle:

n∑

i=1

pivi = [pv] =n∑

i=1

pi · x−n∑

i=1

pili = 0

• Die Schatzung der Standardabweichung fur das allgemeine arithmetische Mittelergibt sich wieder nach dem Varianzfortpflanzungsgesetz:

sx =

√

√

√

√

p21s

21

(∑n

i=1 pi)2 +

p22s

22

(∑n

i=1 pi)2 + . . .+

p2ns

2n

(∑n

i=1 pi)2 =

s0√

∑ni=1 pi

Beispiel 1:Streckenmessung mit Beobachtungen gleicher Genauigkeit:

Arithmetisches Mittel:x = 203, 156/10 = 20, 3156m

Anzahl der uberschussigen Messungen:f = n− 1 = 9

Probe fur [vv]

[vv] = [ll] − [l]2

n

= 4127, 236164 − 203,1562

n=

0, 00013040m2

Standardabweichung einer Einzelbeob-achtung:

si =√

130,409

= ±3, 8mm

Standardabweichung des Mittelwertes:sx = 3,8√

10= ±1, 2mm

Messwert Verbesserung v2i

li [m] vi [mm] [mm2]1 20,316 -0,4 0,162 20,309 6,6 43,563 20,316 -0,4 0,164 20,313 2,6 6,765 20,318 -2,4 5,766 20,318 -2,4 5,767 20,317 -1,4 1,968 20,318 -2,4 5,769 20,310 5,6 31,36

10 20,321 5,4 29,16Summe 203,156 0,0 130,40


4 FEHLERLEHRE 37

Beispiel 2:Allgemeines arithmetisches Mittel eines nivellitisch bestimmten Hohenpunktes:

Die Hohe eines Neupunktes ist durch geometrisches Nivellement von 6 Festpunkten ausbestimmt worden. Wegen unterschiedlicher Nivellementswege ergeben sich unterschied-liche Gewichte.Fur die Gewichtswahl kann man von unabhangigen Beobachtungen mit den nachfolgen-den Zusammenhangen ausgehen:

Varianz fur die Beobachtung i: s2i = m · s2 = Li

2Zs2

mit m Anzahl der Standpunkte beim Nivellements2 gleichbleibende Varianz pro StandpunktLi Nivellementsweg fur die Beobachtung iZ Zielweite (gleichbleibend)

Gewicht der Beobachtung i: pi =s20

s2i

= L0

Li

mit L0 = 1km

Festpunkt Hohe Hohen- Hohe des Niv.- Gewicht pili Verb. pvi pvivi

untersch. Neupkts. weg pi vi

[m] [m] [m] [km] [mm] [mm] [mm]1 49,048 1,266 50,314 2,5 0,4 20,1256 -0,43 -0,17 0,0742 51,171 -0,864 50,307 4,0 0,2 10,0614 6,67 1,31 8,6333 47,398 2,904 50,302 5,0 0,2 10,0604 11,57 2,31 26,7734 50,421 -0,104 50,317 0,9 1,1 55,3487 -3,43 -3,77 12,9415 50,876 -0,560 50,316 1,0 1,0 50,3160 -2,43 -2,43 5,9056 50,002 0,307 50,309 1,8 0,6 30,1854 4,57 2,74 12,531

Summe: 3,5 176,0975 -0,01 66,857

Allgemeines arithmethisches Mittel:

HN =176, 0975

3, 5= 50, 31357 = 50, 314m

Standardabweichung einer Beobachtung mit dem Gewicht p = 1:

s0 =

√

66, 857

5= ±3, 66mm fur p = 1 oder L = 1km

Standardabweichung des allgemeines arithmethischen Mittels:

sHN=

3, 66√3, 5

= ±1, 96mm


4 FEHLERLEHRE 38

4.8 Standardabweichung aus Beobachtungsdifferenzen

• Die Berechnung der Standardabweichung nach

s =

√

[εε]

n

erfordert die Kenntnis der wahren Fehler εi und damit der wahren Werte der Mess-großen.Diese sind i.a. nicht bekannt und es erfolgt daher die Berechnung mit den wahr-scheinlichsten Werten (z.B. arithmetisches Mittel):

s =

√

[vv]

n− 1bzw. s =

√

[pvv]

n− 1

• Eine Ausnahme stellen die sog. Doppelmessungen dar:Es liegen paarweise Beobachtungen vor, die paarweise die gleichen Erwartungswertehaben.

Der Sollwert der Differenz zweier zusammengehoriger Messungen ist Null!

i 1 2 nErgebnis der 1. Messung L′

i L′1 L′

2 . . . L′n

Ergebnis der 2. Messung L′′i L′′

1 L′′2 . . . L′′

n

Differenz di = L′i − L′′

i L′1 − L′′

1 L′2 − L′′

2 . . . L′n − L′′

n

Der wahre Fehler lautet dann: −εi = (L′i − L′′

i ) − 0 = di

• Die Standardabweichung (der Differenz) aus Doppelmessungen ergibt sich damitzu:

sd =

√

[dd]

n

• Die Anwendung des Varianzfortpflanzungsgesetzes liefert fur die Standardabwei-chung eines Messwertes:

s2d = (+1)2 · s′2 + (−1)2 · s′′2 = 2s2

s =

√

[dd]

2nbzw. fur ungleichgewichtige Messungen s =

√

[pdd]

2n

• Fur den Mittelwert aus den zusammengehorigen Einzelmessungen ergibt sich eben-falls nach dem Varianzfortpflanzungsgesetz:

s =s√2


4 FEHLERLEHRE 39

Beispiel 1: Brechungswinkel in einem Polygonzug

Brechungswinkel DifferenzNr. [gon] [mgon] [mgon2]

1. Satz 2. Satz di didi

1 206,2347 206,2342 0,5 0,252 213,6582 213,6596 -1,4 1,963 198,8846 198,8833 1,3 1,694 201,1005 201,0984 2,1 4,415 204,5869 204,5887 -1,8 3,24

0,7 11,55

n = 5 Doppelmessungengleicher Genauigkeit

Standardabweichung einesMesswertes:

s =

√

11, 55

2 · 5 = ±1, 07mgon

Standardabweichung des Mittelsaus zwei Messungen:

s =1, 07√

2= ±0, 76mgon

Beispiel 2: Doppelnivellement

n = 5 Doppelmessungen ungleicher Genauigkeit; als Gewicht wird angesetzt: pi = 1si

Strecke Hohenunterschied DifferenzNr. si [km] ∆h [m] [mm] [mm2]

Hinniv. Ruckniv dididi

si

1 2,3 6,471 -6,468 +3 3,92 3,0 7,035 -7,039 -4 5,33 1,9 -2,498 2,500 +2 2,14 3,4 5,604 -5,608 -4 4,75 2,5 -0,490 0,485 -5 10,0

26,0

Standardabweichung eines Messwertes mit dem Gewicht p = 1:(Standardabweichung eines einfachen Nivellements von s0 =1 km Lange)

s0 =

√

26, 0

2 · 5 = ±1, 6mm

Standardabweichung des Mittels aus Hin- und Rucknivellement: (Standardabweichungeines doppelten Nivellements von s0 =1 km Lange)

s1 km =1, 6√

2= ±1, 1mm

Standardabweichungen der einfach gemessenen Hohenunterschiede:

Nr. i 1 2 3 4 5si [mm] ±2,4 ±2,8 ±2,2 ±3,0 ±2,5

Standardabweichungen der doppelt gemessenen Hohenunterschiede:

Nr. i 1 2 3 4 5si [mm] ±1,7 ±2,0 ±1,6 ±2,1 ±1,7


4 FEHLERLEHRE 40

• Wenn die Messungen einen konstanten (systematischen) Fehleranteil beinhalten,konnen die Formeln fur Doppelmessungen nicht verwendet werden (Erwartungs-wert nicht Null!).An die Stelle des bekannten wahren Wertes fur die Differenz (d = 0) tritt derwahrscheinlichste Wert (Mittelwert aus zwei Messungen).

• Kriterium fur die Moglichkeit des Vorhandenseins eines konstanten Anteils:

a) gleichgewichtige Messungen:

d ≥ sd =⇒ [d]2 ≥ [dd]

b) ungleichgewichtige Messungen:

d ≥ sd =⇒ n · [pd]2[p]

≥ [pdd]

Beispiel 3: Streckenmessung mit Stahlmessbandern

Streckenmessung Differenz VerbesserungNr. [m] [mm] [mm2] [mm] [mm2]

1. Messg. 2. Messg. di didi vi = d− di vivi

t1 = 30◦C t2 = 15◦C1 141,367 141,399 32 1024 -8 642 168,439 168,449 10 100 14 1963 163,672 163,692 20 400 4 164 144,458 144,493 35 1225 -11 1215 168,123 168,160 37 1396 -13 1696 154,345 154,368 23 529 1 17 142,463 142,491 28 784 -4 168 164,768 164,776 8 64 16 2569 168,946 168,967 21 441 3 9

214 5936 2 848

Das Kriterium fur das Vorhandensein ei-nes konstanten systematischen Anteilsist erfullt:

2142 > 5936

Schatzung des konstanten systemati-schen Anteils:

d =214

9= 24mm

Standardabweichung einer Differenz:

sd =

√

848

9 − 1= ±10, 3mm

Standardabweichung des konstanten syste-matischen Anteils:

sd =10, 3√

9=

√

848

9 · (9 − 1)= ±3mm

Standardabweichung einer einmal gemesse-nen Strecke:

ss =10, 3√

2= ±7mm

Standardabweichung des Mittels aus zweiMessungen:

ss =10, 3√

4= ±5mm


5 HERSTELLUNG VON LAGEPLANEN (KARTIERUNGEN) 41

5 Herstellung von Lageplanen (Kartierungen)

• Gegenstand: Rahmenkartenwerke, kommunale Karten und Plane, andere Karten-werke

• Rahmenkartenwerke (z.B. die Karte 1:1000 von Berlin) weisen einheitliche Dar-stellungsform aufkommunale Kartenwerke und andere Kartenwerke nicht (Projektbezogene Vor-schriften)

• Mit dem zunehmenden Einsatz der elektronischen Datenverarbeitung auch im Be-reich der Karten- und Planherstellung werden auch die kommunalen Planwerkeeinheitlicher.

5.1 Ubersicht uber großmaßstabige Karten und Plane

• Im Vermessungswesen wird zwischen groß- und kleinmaßstabigen Karten unter-schiedenUrsache: Darstellungsmoglichkeiten in den einzelnen Maßstabsbereichen

– In kleinmaßstabigen Karten muss auf die Darstellung von Einzelobjekten ver-zichtet werden. Objekte sind durch Generalisierung vereinfacht darzustellen.

– Darstellung von Eigentumsverhaltnissen ist nur im großmaßstabigen Bereichmoglich.

• In Ballungsraumen (z.B. in der Stadt Berlin) liegt ein Kartenwerk im Maßstab1:1000 vor- eigenstandige Grundkarte- Als Flurkarte −→ Eigentumsverhaltnisse- Als Stadtkarte −→ Grundlage fur weitere Spezialkartenwerke

• Ausgestaltung dieses Kartenwerkes ist im Fall der Flurkarte als Teil des Katastersdurch Katastervorschriften geregeltund fur den Fall der Stadtkarte stark an diese Vorschriften angelehnt.

• Kartenschnitt der Karten im Maßstab 1:1000 ist meistens lokal orientiert(in Berlin ist ein Kartenblatt 1:1000 800 · 600m groß und am Berliner Koordina-tenursprung, dem Muggelberg, orientiert.Bezeichnungsweise der Kartenblatter15:- enthalt in der ersten Stelle den Koordinatenquadranten- in den nachsten beiden Stellen die mit Null beginnende Numerierung in Nord-Sud- bzw. Sud-Nord-Richtung- in den letzten beiden Stellen die mit Eins beginnende Numerierung in Ost-West-Richtung bzw. West-Ost-Richtung.

15was bei den Punktkennzeichen auch dem Numerierungsbezirk entspricht



• Beispiel:Y = 38534,213m; X = 8956,256m; Lagestatus = 500 (Soldner-Berlin)Numerierungsbezirk = 30102

• Berliner Blattschnitt ist Ausnahme! (wegen des Einsatzes von Soldner-Koordinaten)Sonst wird ein Blattschnitt von 1*1km benutztVerwendung der jeweils ersten vier Stellen der Koordinatenwerte der Gauß-Kruger-Koordinaten als Numerierungsbezirk (auch im Punktkennzeichen).

• Beispiel:Rechts = 5405129,301m; Hoch = 5809199,713m; Lagestatus = 100 (Gauß-Kruger-Koordinaten auf dem Bessel-Ellipsoid)Numerierungsbezirk = 54055809 oder = 54580509 (in den einzelnen Bun-deslandern unterschiedlich)

• In weiten Teilen der Bundesrepublik auch in Berlin: Aufbau der ALK(Automatisierte Liegenschafts Karte)−→ Kartenwerke nicht mehr nur analog (Papierform) sondern auch (und in Zu-kunft ausschließlich) in digitaler Form

• fur das digitale Kartenwerk sind besondere Vorschriften notwendig. (fur Datenwei-tergabe in digitaler Form; fur die Darstellung):- zusammengehorige Darstellungsteile (wie z. B. Flurstucke, Landesgrenzen oderGebaude) werden als Objekte betrachtet.- fur Objekte sind beschreibende Informationen notig, da sie nur in der graphischenDarstellung aber nicht im digitalen Datenbestand erkannt werden konnen.

Der Aufbau von Objekten und die notwendigen Informationen sind im Objektabbil-dungskatalog (OBAK) beschrieben. Bundesweit liegt ein Muster fur diesen Objek-tabbildungskatalog vor. Fur Berlin → spezieller, auf die Berliner Verhaltnisse ab-gestimmter Objektabbildungskatalog Berlin (OBAK Bln). Da sich in DV-Anlagennicht alle Angaben in Klarschrift (z.B. ausfuhrlicher Text) beschreiben lassen, dieBeschreibung aber eindeutig sein soll, werden viele Angaben verschlusselt.In einem Objektschlusselkatalog sind die Bedeutungen der Schlussel festgelegt.(Auch fur diesen Katalog steht ein bundeseinheitliches Muster und fur Berlin derOSKA Bln bereit.)Die ALK ist folienorientiert als Zusammenfassung gleicher Objekttypen aufgebaut.

• Beispiel:Nachfolgend ist fur eine Gebaude die Objektbildung und die Verschlusselungdargestellt:

Beschreibung des Objekts (Gebaude) durch ein bundeseinheitliches Gebaudekenn-zeichen:hier −→ 11000023—34567—0016—000A—001

11000023 34567 0016 000A 001Gemeinde Straßen- Haus- Zu- Laufende Nummer des Gebaudes(Land bis Bezirk) schlussel nr. satz bei mehreren Geb. auf dem Flurst.

• Beschreibung des Gebaudes erfolgt in digitaler, nichtredundanter Form



• Symbole und zeichnerischen Ausgestaltungen werden anhand der Schlusselzahlendurch das graphische Softwaresystem erzeugt (nicht durch Zeichenelemente imDatenbestand hinterlegt)Beispiel: die Schraffur des obigen Gebaudes, das aus der Information fur ein Wohn-gebaude in der Ausrichtung und dem Abstand sowie der Strichstarke von der Gra-phiksoftware automatisch erzeugt wird.Die Ausgestaltung fur diese Systeme ist in Zeichenvorschriften Automation(ZVAut) wieder bundeseinheitlich und speziell fur Berlin in der ZVAut Bln ge-regelt.

• Digitale Weitergabe von Informationen −→ bundeseinheitlich definierteEinheitliche Datenbankschnittstelle (EDBS)Diese Schnittstelle ist unabhangig von der eingesetzten Software und ermoglichtden Austausch von Grafikinformation und logischer Information zu den Objektenund Grafikelementen.

• Auch im Vermessungsamt werden Karten und Plane hergestellt (Fachanwendun-gen).

Im kommunalen Bereich Lageplane, Fluchtlinienplane, Straßenbestandsplaneund bezirkliche Sonderkarten (Radkarten undBezirkskarten)

Karten orientieren sich meist an den Kartengrunddaten im Maßstab1:1000

Lageplane orientieren sich im Maßstab und der Ausgestaltung amVerwendungszweck.Im Lageplan (meist in den Maßstaben 1:250, 1:500 oder 1:1000hergestellt) ist ein Zusammenhang mit dem Koordinatensystem inForm eines Rahmens mit Koordinatenangaben herzustellenzeichnerische Ausgestaltung −→ DIN 18 702.

5.2 Zeichentrager und Materialien

• fur Bauplane und sonstige einfache Zeichnungen von begrenzter Lebensdauer −→transparentes Papier

• fur Zeichnungen mit großere Anforderungen an Maßhaltigkeit und Lebensdauer−→ maßbestandige transparente Folie, Zeichenkarton

• bei hochsten Anforderungen −→ Zeichenkarton mit Aluminiumeinlage.

Maßhaltig und transparent sind Folien auf PVC-Basis (z.B. Astralon), auf Polykarbonat-Basis (z.B. Pokalon) und auf Polyester-Basis (z. B. Hostaplan oder Saphir PE).Damit die Zeichnungen auf den Folien haften, muss eine Spezialtusche verwendet wer-den.Eine andere Methode ist die Gravur in eine auf einem maßhaltigen Trager (Glas, Kunst-stoffolie) aufgetragene Schicht.



5.3 Herstellung von Karten und Planen

Kartierung per Hand (nur noch selten):

• Handwerkszeug fur kleinere Reinzeichnungen auf Karton oder Folie:

- Anlegemaßstab- Tuschefuller und/bzw. eine Zeichennadel- gutes Stahllineal- zwei Zeichendreiecke (aus Kunststoff)(Es gibt in zahlreichen Ausfuhrungen Kleinkartiergerate, die eine scharfere Einstel-lung und Markierung der abzusetzenden Punkte und Maße ermoglichen.)

• Bei sorgfaltiger Arbeit lassen sich mit diesem Instrumentarium Genauigkeiten von≤ ±0,2mm erreichen (entspricht im Maßstab 1:250 ±0,05m; im Maßstab 1:500±0,10m; im Maßstab 1:1000 ±0,20m in der Ortlichkeit)

• Auszeichnung und die Beschriftung: =⇒DIN 18 702Die wichtigsten in dieser Norm festgehaltenen Regeln sind:

– Reinzeichnung/Plot in schwarzer Tusche (um die Vervielfaltigung zu erleich-tern)

– Eigentumsgrenzen werden mit Strichen von 0,3mm Starke, Flurgrenzen undGebaudeumrisse mit etwas feinerer Strichstarke gezeichnet

– Wohngebaude und offentliche Gebaude werden unter 50 gon Neigung zu denBegrenzungslinien, Wirtschaftsgebaude parallel zur kurzeren Seite schraffiert

– Wichtige Messungspunkte werden durch einen Kreis mit beigeschriebenerPunktnummer, die Kreuzungspunkte des Quadratnetzes durch kleine Kreuzedargestellt

– Gemeinde- und Flurnamen werden in senkrechter, Gebaudebezeichnungenund Punktnummern in rechtsgeneigter Schrift parallel zum unteren Blattrandgeschrieben. Wegenamen werden in rechtsgeneigter, Gewassernamen in links-geneigter Schrift in die Laufrichtung gesetzt. Die Große der Schrift soll derBedeutung des Gegenstandes entsprechen.

Meist werden anstelle der manuellen Erstellung von Planen und Karten EDV-Programmezur Erstellung eingesetzt (z.B. Geograf, BAV-GRAPH, SICAD-DIGSY oder AutoCAD).Diese Programme wie konnen auch zur Konstruktion uber die aufgenommenen Mes-sungselemente benutzt werden oder es konnen direkt die berechneten Koordinaten zumAufbau des Planes oder der Karte benutzt werden. Werkzeuge zur Konstruktion einesRahmens und der Beschriftung stehen direkt in der Software zur Verfugung.Die Sicherung auf maßhaltigen Zeichentragern kann entfallen, da die Zeichnungen DV-gestutzt gesichert werden konnen. Die analoge Bereitstellung der Zeichnungen erfolgtuber Plotter (bis hin zu Prazisionszeichenanlagen).


6 EINFACHE ABSTECKUNGEN 45

6 Einfache Absteckungen

Absteckung: Ubertragung von projektierten Daten (Koordinaten) in die Ortlichkeit.

Als Absteckungsverfahren kommen wie bei den Aufnahmeverfahren (Abschnitt 3.4) dasRechtwinkelverfahren (Orthogonalaufnahme, Koordinatenverfahren), das Einbindever-fahren und hauptsachlich das Polarverfahren zum Einsatz.

Die ersten beiden Verfahren werden (wurden!) mit Streckenmessbandern und Rechtwin-kelprismen durchgefuhrt.Das Polarverfahren wird heute mit elektronischen Tachymetern durchgefuhrt (Strecken-bestimmung und Horizontal- und Vertikalwinkelmessung mit ein und demselben Gerat;selten auch mit dem Theodolit und Messbandern).

6.1 Gebaudeabsteckungen

Bei kleineren Gebauden gelegentlich noch Rechtwinkelverfahren und EinbindeverfahrenDa bei der Planung von Gebauden die Abstande zu den Grenzen, die Lage innerhalb des Flurstucks

und die Große des Gebaudes die beschreibenden Großen der Absteckung darstellen, konnen diese Maße

direkt zur Absteckung des Gebaudes nach den beiden obigen Verfahren benutzt werden.

Beispiel:Abzustecken ist ein rechtwinkeligesGebaude mit den Außenmaßen10m*17m. Die Gebaudefront sollparallel zur Flurstucksgrenze ABund moglichst nahe zu ihr undzur Grenze AC liegen und zu allenGrenzen mindestens 5m Abstandaufweisen.

A B

CD

0,00

5,0

0

22

,00

5,00

0,0

0

15,00

Losungsmoglichkeit mittels Absteckung nach dem Einbindeverfahren:

- Die untere Einbindung des Gebaudes beginnt mit 0, 00m auf der Grenze AB,weist am Gebaude die Maße 5, 00m und 22, 00m auf und schneidet die Ordinateunter 5, 00m Abstand zur Grenze AB.

- Die obere Einbindung schneidet die Ordinate unter 15, 00m. Sie beginnt mit demMaß 0, 00m auf der Grenze AC.

- Die Schnittpunktsmaße mit der Grenze AC mussen aus deren Neigung ermitteltwerden. Der Abstand der Ordinate zum Gebaude entspricht dem auf der unterenEinbindung.

- Zur Komtrolle lassen sich nach der Absteckung die Diagonalen messen und gegen-rechnen (in diesem Fall also fur das abzusteckende Gebaude).



6.2 Absteckung von Kreisbogen (kleine Radien)

Kreisbogen werden nur in einzelnen Punkten abgesteckt. Dabei werden nach dennachfolgenden Grundgleichungen wenige Hauptpunkte bestimmt. Zwischen diesenwerden dann Zwischen- oder Kleinpunkte nach einfachen Verfahren eingeschaltet.

6.2.1 Grundlagen der Kreisbogenabsteckung

M $"

"/2

s/2 s/2h

H

S

T

ts/2

F

h "/2

$"

EA

r

r

Abb.: Geometrische Ele-mente des Kreisbogens

A = BogenanfangS = Scheitel, BogenmitteE = BogenendeM = KreismittelpunktT = TangentenschnittpunktH = Sehnenmittelpunktr = Radiust = Tangentes = Sehnem = Scheitelabstandh = Pfeilhohe, Scheitelordinateβ = Tangentenschnittwinkel

6.2.2 Grundgleichungen fur die Hauptpunkte eines Kreisbogens

Zentriwinkel α = 200 gon−β

Tangente TA = t = r · tanα/2

Sehne AE = s = 2 · r · sinα/2

Scheitelabstand TS = m = TM − r = r ·(

1cos α/2

− 1)

Scheitelabzisse AF = AH = 1/2 · AE = s/2 = r · sinα/2

Scheitelordinate SF = Pfeilhohe SH = h = r · (1 − cosα/2)

Bogen ASE = b = r · π·α[gon]

200[gon]= r · α[gon]

ρ[gon]

Berechnungs- und Absteckverfahren richten sich nach den gegebenen Stucken:



• gegeben: Punkt T mit den Richtungen der beiden Tangenten; Radius r

→ Rechenweg:

– Bestimmung des Tangentenschnittwinkels β

– Berechnung von α

– Berechnung aller weiteren Großen uber r und α

• gegeben: Punkt T mit den Richtungen der beiden Tangenten und den Langen TAund TE

→ Rechenweg:

– Bestimmung des Tangentenschnittwinkels β


– Berechnung von r


• gegeben: Die Richtungen der beiden Tangenten; Radius r; Punkt T unzuganglich

→ Rechenweg:

– Bestimmung des Tangentenschnittwinkels β aus einer Hilfsfigur:

R1

T

$

H1 H2

R2

Tangente1 Tangente 2

β = 200[gon] − ψ1 − ψ2

H1T = H1H2

sin β· sinψ2 und H2T = H1H2

sin β· sinψ1



• gegeben: Punkt T mit den Richtungen der beiden Tangenten; Zwangspunkt K aufdem Kreisbogen

→ Rechenweg:

– Messung von TL und TK

– Berechnung von LA nach folgender Formel

LA2

= r2 − (r − LK)2 = 2rLK − LK2

r = TA · tan β/2 = (LT + LA) · tan β/2

LA2

= 2(LT + LA) · tan β/2 · LK − LK2



LA2

= LA · 2LK · tan β/2 + 2LT · LK · tan β/2 − LK2

LA1/2 = (LK · tan β/2)±√

(LK · tan β/2)2 + 2LT · LK · tan β/2 − LK2

TA1/2 = TL± LA ; r1/2 = TA1/2 · tan β/2

M $"

"/2

H

S

T

tL

$

E

A

r

r

K

r– Berechnung von α


6.2.3 Absteckung von Zwischenpunkten auf dem Kreis

A) gesucht: rechtwinklige Koordinaten bezuglich der Tangente

• gegeben: Hauptpunkte/-elemente des Kreisbogens

→ Koordinatenrechnung:

A

r

b

x

y

XK

YK K

Kreisgleichung fur M{0, 0}:

x2 + y2 = r2

Kreisgleichung fur M{a, b}:

(x− a)2 + (y − b)2 = r2

Berechnung der Ordinaten y bei vorgegebe-nen Abzissen x (vgl. Abb.)

y = r −√r2 − x2

xK = r·sin(

b

r

)

; yK = r−√

r2 − x2K



B) gesucht: rechtwinklige Koordinaten bezuglich der Tangente mit fester Bogenlangeb zwischen den Kreispunkten


A

r

x

y

X1

TM rr

s

s

s

TT2T

2T

2T

X3

X2

Y2

Y3

Y1

ω =b

2r; s = 2r sinω

x1 = s · cosω y1 = s · sinωx2 = s · cos(3ω) y2 = s · sin(3ω)

x3 = s · cos(5ω) y3 = s · sin(5ω)

......

C) gesucht: rechtwinklige Koordinaten bezuglich einer Sehne (z.B. Sehne zwischenBogenanfang A und Bogenende E)


K

r

x

y

XK

T

M

r

r

"

YK"/2

xK = r · [cos(ω − α/2) − cosα/2]

yK = r · [sin(ω − α/2) − sinα/2]

Der Winkel ω ergibt sich aus ei-ner vorgegebenen Bogenlange zwi-schen den abzusteckenden Kreisbo-genpunkten

∆ω = b/r

6.2.4 Kreisbogenabsteckung ohne Theodolit

• Zur Absteckung von Kreisbogen z.B. bei Wegebauten steht mitunter kein Theodolitzur Verfugung.=⇒ der Tangentenschnittwinkel kann nicht direkt gemessen werden.=⇒ polare Absteckung ist nicht moglich

A) Tangentenrichtungen und Radius sind gegeben

– Absetzen von Parallelen zu den Tangenten im Abstand r; Schnittpunkt istM

– Fußpunkte von M auf die Tangenten sind A und E

– Kontrolle: Abstand TA = TE



B) Tangentenrichtungen und Kreisbogenanfang A sind gegeben

"Schnurkreis"

M

r r

T

A E

– Messen der Strecke t = TA und ab-setzen von t auf der zweiten Tangen-ten → Punkt ist E

– Schnittpunkt der Lote von A und Eaus ergibt M

– Kontrolle: Abstand MA = ME

– Auf dem mit dem Radius r vom Mit-telpunkt M aus gezogenen

”Schnur-

kreis“, konnen beliebig viele Zwi-schenpunkte bestimmt werden.

C) Kreismittelpunkt M nicht zuganglich (oder z.B. wegen Bewuchs fur Schnurkreisnicht nutzbar)

M

r r

T

A E

S

"/2

"/2

s/2

t

h

h

– Messung der Tangentenlanget = TA = TE und der Sehnes = AE

– Berechnung des Zentriwinkels α

cosα/2 = s/2t −→ α = 2 arccos(s/2t)

– Berechnung des Radius r

r

s/2=

t√

t2 − (s/2)2→ r =

t · s/2√

t2 − (s/2)2

– Berechnung der Pfeilhohe h

h = r −√

r2 − (s/2)2

Kontrolle: Aufwinkeln von S auf eine Tan-gente (Ordinatenlange= h!)

– Absteckung der Zwischenpunkte des Kreisbogens von der Tangente oder derSehne aus

– oder Absteckung mit Pfeilhohen uber der Sehne zwischen jeweils zwei bereits

abgesteckten Kreisbogenpunkten (mit hi = r −√

r2 − (si/2)2)

– Wenn s < r/5 Naherungsformel zur Berechnung der Pfeilhohen moglich

h

h'h''

s/2

s'/2h′ ≈ h/4

h′′ ≈ h′/4


7 FLACHENBERECHNUNGEN/FLACHENTEILUNGEN 51

7 Flachenberechnungen/Flachenteilungen

Bei Flachenberechnungen konnen nachfolgende drei Verfahren, die in Abhangigkeit vomAufmaß und der geforderten Genauigkeit angewendet werden, unterschieden werden:

• Flachenberechnung aus Maßzahlen

• halbgraphische Flachenberechnung

• graphische Flachenberechnung

7.1 Flachenberechnungen aus Maßzahlen

a) Berechnung uber MessungselementeFlachen werden auf Dreiecke oder Trapeze zuruckgefuhrt; Anwendung der bekann-ten Flachenberechnungsformeln

h

gh

g

Dreieck:

F =1

2g · h

g

h1

h2

g=a+b

h1

h2

a

b

h2

h1 -h

2

Trapez:

F =1

2g · (h1 + h2)

verschranktes Trapez:

F =1

2g · (h1 − h2)

Flachenformel nach Heron fur Dreiecke (alle drei Seiten gemessen):

F =√

s(s− a)(s− b)(s− c), mit s =a+ b+ c

2

b) Berechnung uber Koordinaten (Gaußsche Flachenformeln)Nummerierung der Eckpunkte einer Flache aufeinanderfolgend und rechtslaufig(bei rechtslaufigem Koordinatensystem)Vereinbarung: Punkt (n+ 1) = Punkt 1 (Wiederholung)

F =1

2

n∑

i=1

(xi − xi+1) · (yi + yi+1) =1

2

n∑

i=1

(xi + xi+1) · (yi+1 − yi)

F =1

2

n∑

i=1

xi · (yi+1 − yi−1) =1

2

n∑

i=1

yi · (xi−1 − xi+1)



y1

y3

y4

y2

x1

x3

x4

x2

X

Y

3

2

4

1

rechtsläufige Nummerierung

positiver doppelter Flacheninhalt:2F = (x4 − x1)(y4 + y1)

+(x1 − x2)(y1 + y2)+(x2 − x3)(y2 + y3)+(x3 − x4)(y3 + y4)

7.2 Grafische Flachenermittlung

Voraussetzung: maßstablich kartierter Lageplan (Karte,. . . )Genauigkeit ist von Maßstab und Kartiergenauigkeit abhangig.

7.2.1 Grafische Flachenermittlung mit Anlegemaßstab

• Zerlegung der Gesamtfigur im Lageplan durch Verbinden der Eckpunkte inDreiecke (oder Rechtecke bzw. Quadrate)

• Abgreifen der Maße fur Grundlinien und Hohen

• Berechnung nach elementaren Formeln

• eventueller Papierverzug in x- (px) und y-Richtung (py) muss berucksichtigt werden

F = F ′ · (px · py) mit px =xSoll

xIst

, py =ySoll

yIst

7.2.2 Flachenermittlung aus Koordinaten, die durch Digitalisierung ermitteltwerden

• Bestimmung der Koordinaten aus einer Kartierung durch Digitalisierung(⇒ Digitizer)

• Berechnung der Flache nach Koordinaten (Gaußsche Flachenformeln)

• bei krummlinigen Flachen (z.B. von Hohenlinien umgebene Flachen) ⇒ Bestim-mung von Punkten in geeigneten kleinen Abstanden



7.3 Weitere Moglichkeiten grafischer Flachenermittlung

• Quadratglastafel (veraltet)

– Glastafel mit Millimeter- bzw.Zentimeterquadratnetz

– streifenweises Anlegen an dieFigur

– Auszahlen der Quadrate

– Flachenbestimmung (unterBerucksichtigung des Maßsta-bes)

• Planimeterharfe (veraltet fur langgestreckte Flachen)

h

m

– Transparent mit Schar von Par-allelen im Abstand h

– Anlegen an die Figur

– Messung der Mittellinien mi derentstehenden Streifen

– Flachenbestimmung (un-ter Berucksichtigung desMaßstabes und Beachtunguberstehender Stucke amAnfang und Ende)

• Polarplanimeter (z.T. noch verwendet)

– mechanisches oder elektronisches Integrationsinstrument, mit dessen Hilfe ei-ne graphische Flache durch Umfahren der Begrenzungs-linie bestimmt werdenkann

– Anzahl der Umdrehungen einer Integrierrolle wird entweder mechanisch oderelektronisch bestimmt

– Vorteil: Flachen konnen beliebige Begrenzungslinien besitzen

– bei modernen elektronischen Geratenist eine automatische Berucksichtigungdes Maßstabsfaktors sowie eine Durch-schnittsbestimmung bei mehrmaligerUmfahrung moglich

– Genauigkeit abhangig vom Kartenmaß-stab, der Zeichengenauigkeit und derGenauigkeit bei der Umfahrung derFlachen

Messwerk

Pol

Lupe



7.4 Flachenteilungen

(siehe auch”LV Geodatische Rechenverfahren“)

Teilungen von Flurstucken stellen eine der Hauptaufgaben im Kataster dar. Bei Flachen-teilungen werden in der Regel zwei Forderungen gestellt:

A) Das abzutrennende Flurstuck soll einen bestimmten Flacheninhalt haben.

B) Die neue Grenze soll bestimmte Bedingungen erfullen:

1. Sie soll eine oder beide alten Grenzen in einem vorgegebenen Verhaltnis tei-len(Proportionalteilung).

2. Sie soll parallel zu einer alten Grenze sein (Parallelteilung).

3. Sie soll senkrecht auf einer alten Grenze stehen.

4. Sie soll durch einen gegebenen Punkt (oder mehrere gegebene Punkte) ver-laufen.

Als Flachenformen fur Flurstucke sollen nachfolgend das Dreieck und ein beliebig ge-formtes Viereck betrachtet werden.

7.4.1 Flachenteilungen im Dreieck

◦ Betrachtung der vier obigen Falle fur das Dreieck

◦ der Flacheninhalt fur das abzutrennende Flurstuck wird als bekannt vorausgesetzt

I) Proportional- und Parallelteilung im Dreieck(Im Dreieck entprechen sich die beiden Forderungen der Proportional- und derParallelteilung.)

– gegeben: Abzutrennende Flache F ∗ und die Beschreibung des Dreiecks; hierdie Seiten a, b und c

– gesucht: Grundlinie z und Seitenlinien x und y der abzutrennenden Flache

a b

c

F

F*x y

z

Gesamtflache:

F =√

s(s− a)(s− b)(s− c) mit s =a+ b+ c

2

Aus der Ahnlichkeit der Dreiecke folgt:

F ∗

F=x2

a2=y2

b2=z2

c2

Losung:

x = a

√

F ∗

Fy = b

√

F ∗

Fz = c

√

F ∗

F



II) Senkrechtteilung im Dreieck

– gegeben: Abzutrennende Flache F ∗ und die Beschreibung des Dreiecks; hierdie Seiten a, b und c

– gesucht: Grundlinie z und Seitenlinien x und y der abzutrennenden Flache

ab

c

hF'

F*

x y

z

pq

Gesamtflache F und Teilflache F ′:

F =√


2

h =2F

cp =

√b2 − h2 =

√

b2 − 4F 2

c2

F ′ =p · h2

Aus der Ahnlichkeit der Dreiecke folgt:

F ∗

F ′ =x2

h2=y2

b2=z2

p2

Losung:

x = h

√

F ∗

F ′ y = b

√

F ∗

F ′ z = p

√

F ∗

F ′

III) Gegebener Punkt K im Dreieck (auf dem Umring)

– gegeben: Abzutrennende Flache F ∗ und die Beschreibung des Dreiecks; hierdie Seiten a, b und c sowie der Punkt K d.h. die Strecke z

– gesucht: Hohe h∗ und Seitenlinien x und y der abzutrennenden Flache

ab

c

h

F

F*

x y

z

p

h*

qK

Gesamtflache F und Hohe h:

F =√


2

h =2F

c

Losung:

h∗ =2F ∗

z

b

y=

h

h∗=⇒ y =

b · h∗h

p =√

y2 − h∗2 q = z − p

x =√

q2 + h∗2

7.4.2 Flachenteilungen im Viereck

◦ Wiederum Betrachtung der vier Falle fur das Viereck



◦ der Flacheninhalt fur das abzutrennende Flurstuck wird als bekannt vorausgesetzt

◦ Die abzutrennende Flache soll wieder ein Viereck sein

I) Proportionalteilung im Viereck

– gegeben: Abzutrennende Flache F ∗ und ein Teilungsverhaltnis (oder beideTeilungsverhaltnisse m und n) sowie die Beschreibung des Vierecks; hier dieKoordinaten der Punkte A, B, C und D(Anmerkung: Von den drei Bestimmungsstucken F ∗, m und n sind nur zweiGroßen erforderlich, da sich die jeweils dritte Große aus den anderen beidenermitteln lasst).

– gesucht: Die Koordinaten der neuen Punkte E und F

A

E

D

C

F

B

F*

Y

X

m =AE

AD=xE − xA

xD − xA

=yE − yA

yD − yA

(11)

(xD 6= xA; yD 6= yA)

n =BF

BC=xF − xB

xC − xB

=yF − yB

yC − yB

(xC 6= xB; yC 6= yB)

2F ∗ = (xA − xF )(yE − yB) + (xB − xE)(yF − yA) (12)

xE = xA +m(xD − xA)

yE = yA +m(yD − yA) (13)

xF = xB + n(xC − xB)

yF = yB + n(yC − xB)

Werden die Gleichungen (13) in (12) eingesetzt, ergibt sich nach einigenUmformungen:

2F ∗ = n ·m [(xC − xB)(yD − yA) + (xD − xA)(yC − yB)]

+m [(xB − xA)(yD − yA) + (xD − xA)(yA − yB)] (14)

+n [(xC − xB)(yA − yB) + (xB − xA)(yC − yB)]

Mit den Abkurzungen

a1 = (xC − xB)(yD − yA) + (xD − xA)(yC − yB)

a2 = (xB − xA)(yD − yA) + (xD − xA)(yA − yB)

a3 = (xC − xB)(yA − yB) + (xB − xA)(yC − yB)

erhalt man schließlich

F ∗ =m · n

2a1 +

m

2a2 +

n

2a3 (15)



Und eine Umstellung nach m bzw. n ergibt:

m =2F ∗ − n · a3

n · a1 + a2

; n =2F ∗ −m · a2

m · a1 + a3

(16)

FALL 1: F ∗ und m (bzw. n) gegeben:

(1) Berechnung von n (bzw. m) nach (16)(2) Berechnung der Punkte E und F nach (13)

FALL 2: n und m gegeben:

(1) Berechnung von F ∗ nach (14)(2) Berechnung der Punkte E und F nach (13)

FALL 3: F ∗ gegeben und Bedingung m = n:

(1) Berechnung von m = n als Losung einer quadratischen Gleichung,die sich aus (16) ergibt

(2) Berechnung der Punkte E und F nach (13)

II) Parallelteilung im Viereck

– gegeben: Abzutrennende Flache F ∗ und die Forderung, dass die neue GrenzeEF parallel zu der vorhandenen Grenze CD sein soll, sowie die Beschreibungdes Vierecks; hier die Koordinaten der Punkte A, B, C und D(Anmerkung: Hier wird davon ausgegangen, dass die abzutrennende FlacheF ∗ uber die Dreiecksflache F ′ hinausreicht)

– gesucht: Die Koordinaten der neuen Grenzpunkte E und F

A

E

D

C

F

B

Y

X

P

F*

F'

F''

Anstiege der Vierecksseiten AD und CD

m1 =yD − yA

xD − xA

m2 =yD − yC

xD − xC

Berechnung des Hilfspunktes P durch Geradenschnitt von AD und BP wobeider Anstieg von BP gleich m2 ist

xP = xA +(yB − yA) −m2(xB − xA)

m1 −m2

yP = yA +m1(xP − xA)

Berechnung der Flache F ′′ aus den Koordinaten der Punkte A, B und P(z.B. nach der Gaußschen Flachenformel)

F ′′ =1

2[xA(yB − YP ) + xB(yP − yA) + xP (yA − yB)]



Berechnung der verbleibenden Flache F ′

F ′ = F ∗ − F ′′

Proportionalteilung der Vierecks PBCD uber F ′ und gleiche Teilungsverhalt-nisse auf PD und BC nach (13) mit

m = n = − b

2a±√

2F ′

a+ (

b

2a)2

mit 0 < m < 1 und

a = (xC − xB)(yD − yP ) + (xD − xP )(yB − yC)

b = (xB − xP )(yD − yP + yC − yB) + (xD − xP + xC − xB)(yD − yP )

III) Senkrechtteilung im Viereck

– gegeben: Abzutrennende Flache F ∗ und die Forderung, dass die neue GrenzeEF senkrecht zu der gegebenen Grenze AD sein soll, sowie die Beschreibungdes Vierecks; hier die Koordinaten der Punkte A, B, C und D(Anmerkung: Es wird davon ausgegangen, dass sich die neue Grenze EF indem neu entstehenden Viereck P1BCP2 befindet)

– gesucht: Die Koordinaten der neuen Grenzpunkte E und F

A

E

D

C

F

B

Y

X

P1

F* F'

F'' P2

Anstieg der Vierecksseite AD

m1 =yD − yA

xD − xA

Berechnung der Hilfspunktes P1 und P2 durch Geradenschnitt von AD undBP1 (bzw. BP2) wobei BP1 und BP2 senkrecht auf AD stehen

xP1 = xA +m1(yB − yA) + (xB − xA)

m21 + 1

yP1 = yA +m1(xP1 − xA)

xP2 = xA +m1(yC − yA) + (xC − xA)

m21 + 1

yP2 = yA +m1(xP2 − xA)

Berechnung der Flache F ′′ aus den Koordinaten der Punkte A, B und P1

(z.B. nach der Gaußschen Flachenformel)

F ′′ =1

2[xA(yB − YP1) + xB(yP1 − yA) + xP1(yA − yB)]

Berechnung der verbleibenden Flache F ′

F ′ = F ∗ − F ′′



Proportionalteilung der Vierecks P1BCP2 uber F ′ und gleiche Teilungs-verhaltnisse auf P1P2 und BC nach (13) mit

m = n = − b

2a±√

2F ′

a+ (

b

2a)2

mit 0 < m < 1 und

a = (xC − xB)(yP2 − yP1) + (xP2 − xP1)(yB − yC)

b = (xB − xP1)(yP2 − yP1 + yC − yB) + (xP2 − xP1 + xC − xB)(yP2 − yP1)

IV) Teilung durch einen gegebenen Punkt im Viereck

– gegeben: Abzutrennende Flache F ∗ und die Forderung, dass die neue GrenzeEF durch den gegebenen Punkt E verlaufen soll, sowie die Beschreibung desVierecks; hier die Koordinaten der Punkte A, B, C und D(Anmerkung: Es wird davon ausgegangen, dass sich die neue Grenze EF indem neu entstehenden Viereck P1BCP2 befindet)

– gesucht: Die Koordinaten des neuen Grenzpunktes F

A

E

D

C

F

B

Y

X

F*

Berechnung der Teilungsverhalt-nisse m nach (11) und n nach (16)

Berechnung der Koordinaten vonF nach (13)


8 HOHENMESSUNGEN 60

8 HOHENMESSUNGEN

8.1 Grundlagen

8.1.1 Arten von Hohen

in Ruhe befindlicherMeeresspiegel Geoid

E

rdoberflächeHorth

P

orthometrische Hohe:Hohe uber dem Geoid (nichtpraktisch realisierbar!)

normalorthometrische Hohe (NN):Naherungsweise Hohe uber demGeoid (zusatzliche Annahmen)

Das Geoid ist eine Niveauflache des Schwerefeldes der Erde.Es ist allerdings nicht hypothesenfrei bestimmbar.

Meeresspiegel

Geoid

ErdoberflächeHn

P

Quasigeoid

(Referenz-) Ellipsoid

Normalhohe: Hohe uber demQuasigeoid (HN, NHN)

Das Quasigeoid ist eine hypothesenfrei bestimmbare Be-zugsflache. Es ist keine Niveauflache, sondern eine exakteRechenflache,

”geglattetes Geoid“.

Meeresspiegel

E

rdoberfläche

Hell

P

Quasigeoid

(Referenz-) Ellipsoid

ellipsoidische Hohe:Hohe uber dem Bezugsellipsoid

Das Ellipsoid ist keine Niveauflache! Es ist eine mathe-matisch

”einfache“ Flache fur Rechnungen in der (Landes-

)Vermessung. Moderne satellitengeodatische Verfahren lie-fern geozentrische 3D-Koordinaten und daraus ellipsoidischeHohen.Zur Umrechnung ellipsoidischer Hohen in Normalhohen oderNormalorthometrische Hohen benotigt man den vertikalen Ab-stand zwischen Ellipsoid und Quasigeoid bzw. Geoid, die soge-nannten Undulationen. Diese Werte liegen in entsprechenden

”Modellen“ (Raster, funktionale Ansatze) vor.


8 HOHENMESSUNGEN 61

8.1.2 Definition von Hohensystemen

Hohensysteme sind durch

• die Art der Hohe (siehe Punkt 8.1.1) und durch

• das Hohendatum, also den Nullpunkt des Netzes definiert.

NULLPUNKTSDEFINITIONEN:

Amsterdamer Pegel16 Normalhohenpunkt (Hohennullpunkt), der mit demlangjahrigen Mittelwasser der Nordsee zusammenfallt

Normal Null17 Seit 1879 ist die NN-Flache die Hohenbezugsflache furDeutschland. Sie ist die Bezugsflache, die 37,000 m unterdem Normalhohenpunkt an der alten Berliner Sternwarteliegt.

Hohen Null Der Normalhohenpunkt Hoppegarten war auch der Nullpunktdes ostdeutschen Systems der Normalhohen (HN) nach1945. Dieses System ist durch Nivellements an das langjahrigbeobachtete Mittelwasser am Kronstadter Pegelangeschlossen.(Dieser Hohenbezug liegt etwa 15 cm uber dem Pegel von Amsterdam.)

FUR BERLIN DEFINIERTE HOHENSYSTEME (Beispiele aus NivP-Erlass)

Hohen- Hohensystemstatus

0 vorlaufige Hohe im erneuerten Hohenfestpunktfeld (normalorthometrische Hohebezogen auf NN)

16 vorlaufige Normalhohe im System DHHN92100 Hohe im System DHHN 92140 Normalorthometrische Hohe im System des DHHN85150 Normalhohe im System des SNN 76264 Hohe im alten Festpunktfeld (Netz 64) (normalorthometrische Hohe im System

des DHHN12)460 Geopotentielle Kote (gpu) im System DHHN92760 Undulation; ellipsoidische Hohe uber dem GRS 80-Ellipsoid minus Normalhohe

im DHHN92800 ortliches System900 historische Hohe (Reichsamt fur Landesaufnahme, System DHHN 12)

16Der alte Amsterdamer Pegel existiert nicht mehr. Der Hohennullpunkt ist heute durch eine Gruppevon Nivellementsfestpunkten 1. Ordnung realisiert.

171912 wurde der Normalhohenpunkt wegen des Abrisses der Sternwarte nach Hoppegarten (ostlichvon Berlin bei Muncheberg) verlegt. Die Definition des Nullpunktes der normalorthometrischen Hohenblieb unverandert. Sie stimmt auf ±10 cm mit dem Amsterdamer Pegel uberein. Nach 1945 wurdein der BRD ein neuer Normalhohenpunkt bei Wallenhorst in Niedersachsen geschaffen und an denAmsterdamer Pegel angeschlossen.


8 HOHENMESSUNGEN 62

8.1.3 Hohenfestpunktfelder (Amtliche Festpunktfelder)

• Das amtliche Festpunktfeld ist hirarchisch vom Netz 1. Ordnung (Haupthohennetz)bis zum Aufnahmenetz aufgebaut.

• Punkte des Aufnahmenetzes stellen die Anschlusshohen fur praktische Hohenbe-stimmungen zur Verfugung

• Nach der Wiedervereinigung der beiden deutschen Staaten erfolgte eine gemein-same Neuausgleichung der beiden Haupthohennetze im Anschluss an das EUVN.(Ergebnis: Normalhohen mit dem Bezugsniveau Normal Null (Pegel Amsterdam)- Hohenstatus 100)

• Folgenetze niederer Ordnung (bis hin zum Aufnahmenetz) mussen in dasHaupthohennetz eingerechnet werden um Hohen unter dem gleichen Hohensta-tus zu erhalten.

• Nivellementsnetze bstehen aus Schleifen, Nivellementslinien zwischen den Knoten-punkten und Nivellementsstrecken zwischen den Festpunkten (1 bis 1,5 km).

AUFBAU DER HOHENNETZE

Netz Schleifendurchmesser1. Ordnung 30 bis 80 km2. Ordnung hochstens 20 km3. Ordnung hochstens 10 km4. Ordnung mit Nivellementslinien nicht langer als 4 km

VERMARKUNG VON HOHENFESTPUNKTEN

Mauerbolzen (MB) Hohenbolzen in Bauwerken oder FelsPfeilerbolzen (PB) Hohenbolzen in Granit- oder BetonpfeilernRammpfahlbolzen (RB) Hohenbolzen in eingerammten SchleuderbetonpfahlenRohrfestpunkte (RF) Hohenbolzen auf Stahlrohren, die bis in den tragfahigen

Untergrund reichen

Das Berliner Hohenfestpunktfeld gliedert sich hierarchisch in:

• das Ubergeordnete Hohenfestpunktfeld

• und das Aufnahmefestpunktfeld.

Die Hohenfestpunkte sind in der Stadt mit Mauerbolzen und in Ausnahmefallen mitPfeilerbolzen (Steinen) vermarkt.Der Nachweis erfolgt in den Vermessungsamtern mit Vermessungsvordruck 39 (VV 39). Es liegen

Netzubersichten vor. Nach den Ausfuhrungsvorschriften uber die Herstellung des Hohenfestpunktfeldes

liegt die Zustandigkeit fur das Hohenaufnahmefestpunktfeld bei den bezirklichen Vermesungsamtern.

Die Hohenpunkte werden mit einer Genauigkeit von ±2 mm zur Verfugung gestellt.


8 HOHENMESSUNGEN 63

8.2 Das geometrische Nivellement/Ingenieunivellement

8.2.1 Geometrisches Nivellement

horizontale Ziellinie

A

B

a b

c

Abb.: Grundprinzip des geometrischen Nivelle-ments

Der Hohenunterschied c zwischen A und B ergibtsich aus Differenz der lotrechten Abstande a undb von einer horizontalen Ziellinie.

c = a− b

Bezeichnet man a als Ablesung im Ruckblick Rund b als Ablesung im Vorblick V erhalt man denHohenunterschied zwischen A und B nach:

∆h = R−V HB = HA +∆h = HA +R−V

Berucksichtigt man den Einfluss von Erdkrummung und Brechung des Zielstrahls in derAthmosphare (Refraktion) ergibt sich:

VR

dRV

dEV

dRR

dER

Erdkrümmung

HR

HV

Lichtkurve

HR +R + dRR − dER = HV + V + dRV − dEV

HV = HR + (R− V ) + (dRR − dRV ) − (dRV − dEV )

mit: HR, HV Hohen in den beiden Zielpunkten (Ruck- und Vorblick)R, V Lattenablesungen im Ruck- und VorblickdRR, dRV Einfluss durch den gekrummten Lichtweg (Refraktion)dER, dEV Einfluss der Erdkrummung

Unter den Voraussetzungen, dass

• die Niveauflachen durch konzentrische Kugelschalen angenahert werden konnen

• die Lichtkurven symmetrisch zur Stehachse gekrummt sind

gilt bei gleichen Zielweiten wieder:

HV = HR + (R− V )


8 HOHENMESSUNGEN 64

Wird der Hohenunterschied zwischen zwei Punkten A und B mittels mehrerer Instru-mentenaufstellungen bestimmt ergibt sich:

HB = HA + (ΣRi − ΣVi)

Der Einfluss von Erdkrummung und Refraktion in Abhangigkeit von der Zielweite si kannfolgendermaßen naherungsweise berechnet werden (R ≈ 6370 km):

• Erdkrummung

dE =s2

i

2R

• Refraktion (gekrummter Lichtweg)

dR =s2

i

2r=k · s2

1

2R

Durch den Einfluss der Erdkrummung werden die Ablesungen zu groß, die Refraktionvermindert diesen Effekt um etwa 1/8 (mittlerer Wert, im Einzelfall sind starke Schwan-kungen der Refraktion moglich). Der Refraktionseinfluss wird durch den Refraktionsko-effizienten k ausgedruckt: k = R/r ≈ 0, 125.Bei kleinen Zielweiten (< 50m) ist der Einfluss sehr gering.

8.2.2 Nivellierinstrumente

Klassifizierung nach der erreichbaren Genauigkeit(Standardabweichung fur 1 km Doppelnivellement):

(1) Nivelliere niederer Genauigkeit > 10mm/km(2) Nivelliere mittlerer Genauigkeit ≤ 10mm/km(3) Nivelliere hoher Genauigkeit ≤ 3mm/km(4) Nivelliere sehr hoher Genauigkeit ≤ 1mm/km(5) Nivelliere hochster Genauigkeit ≤ 0, 5mm/km

(1) und (2) fur einfache technische Hohenmessungen auf Baustellen, fur Flachenaufnah-men und kurze Anschlussnivellements (

”Baunivelliere“)

(3) und (4) in der Ingenieurvermessung (”Ingenieurnivellier“)

(5) Herstellung von Hohenfestpunktfeldern und Aufgaben mit hochsten Genauigkeitsfor-derungen (

”Prazisions-“ bzw.

”Feinnivellier“)

8.2.3 Ingenieunivellement

• bei allen Nivellierverfahren wird aus der Mitte nivelliert; dadurch Elimination von:

– Erdkrummung

– symmetrischer Anteil der Refraktion


8 HOHENMESSUNGEN 65

– restliche Justierfehler des Instrumentes

• Hohenubertragung erfolgt schrittweise uber sogenannte Wechselpunkte von einemhohenmaßig bekannten Punkt aus

• Abschluss an einem bekannten Punkt

– entweder weiterer bekannter Punkt (Linie)

– oder Nivellement zum Ausgangspunkt (Schleife)

• Verteilung des Abschlusswiderspruchs zwischen Sollhohenunterschied und gemes-senem Hohenunterschied proportional auf die einzelnen Hohenunterschiede (Stand-punkte)

∆HA,E = ∆h1 + ∆h2 + · · · + ∆hn

= (R1 − V1) + (R2 − V2) + + · · · (Rn − Vn)

=n∑

i=1

Ri −n∑

i=1

Vi = [R] − [V ]

w = HE −HA − ∆HA,E = HE −HA −n∑

i=1

Ri −n∑

i=1

Vi = HE −HA − [R] − [V ]

vi = w/n

mit: Ri Ablesung der ruckwartigen Latte (Ruckblick)Vi Ablesung der vorderen Latte (Vorblick)n Anzahl der StandpunkteHA bekannte Hohe im Anfangspunkt AHE bekannte Hohe im Endpunkt E

Hinweis:Da die Ablesegenauigkeit beim Ingenieurnivellement nur 1mm betragt, werden die Ab-schlusswiderspruche (meist) auch nur anteilig in ganzen Millimeterbetragen verteilt. Daw/n i.a. nicht ganzzahlig ist, muss entschieden werden, welche Einzelhohenunterschiedeverbessert werden. Moglich ist z.B.:

- die großten Einzelhohenunterschiede erhalten vorzugsweise Verbesserungen

- die Einzelhohenunterschiede mit den langsten Zielweiten erhalten vorzugsweiseVerbesserungen.


8 HOHENMESSUNGEN 66

8.2.4 Prufung von Nivellierinstrumenten

(=⇒ VO”Instrumentenkunde“)

- Festlegung der Punkte A und B mit zwei Lattenuntersatzen (oder Plocken)- die Punkte mussen bei der Prufung unverandert bleiben!

I:”Aus der Mitte“ (Naherungsverfahren)

S2

a2 a1

)h+

b2

"

"" S1

B

A

)hb

1 b2

))

)2

ca. 30...40 m

ca. 2 m

• 2 Lattenstandpunkte (A, B) in30. . . 40 m Abstand

• Instrumentenstandpunkt S1 inder Mitte=⇒ fehlerfreier

”Soll-

hohenunterschied“

• Instrumentenstandpunkt S2 anLatte B=⇒ fehlerbehafteter

”Ist-

hohenunterschied“

∆h1 = a1 − b1 ∆h2 = a2 − b2∆h1 = (a∗1 + ∆) − (b∗1 + ∆)∆h1 = a∗1 − b∗1 ∆h2 = (a∗2 + 2∆) − b∗2 ∆h2 − ∆h1 = 2∆

Sollwert fur a2: a∗2 = b2 + ∆h1

a∗1, b∗1, a

∗2 und b∗2 sind die fehlerfreien

”Sollablesungen“

a1, b1, a2 und b2 sind die fehlerbehafteten Ablesungen

II: Verfahren nach”Kukkamakie“

S2

a2

a1

"" S1

B

A

)h

b1 b

2

)

)4

ca. 10 m

"

)

)2

ca. 10 m ca. 20 m

∆h1 = a1 − b1 ∆h2 = a2 − b2∆h1 = (a∗1 + ∆) − (b∗1 + ∆)∆h1 = a∗1 − b∗1 ∆h2 = (a∗2 + 4∆)− (b∗2 + 2∆) ∆h2 − ∆h1 = 2∆

Sollwert fur a2: a∗2 = a2 − 4∆Sollwert fur b2: b∗2 = b2 − 2∆


8 HOHENMESSUNGEN 67

III: Verfahren nach”Nabauer“

S2

a2

a1

"S1

B

A

)h

b1

b2

) ")2

ca. 15 mca. 15 m ca. 15 m

))2

∆h1 = a1 − b1 ∆h2 = a2 − b2∆h1 = (a∗1 + ∆) − (b∗1 + 2∆) ∆h2 = (a∗2 + 2∆) − (b∗2 + ∆)∆h1 = a∗1 − b∗1 − ∆ ∆h2 = a∗2 − b∗2 + ∆ ∆h2 − ∆h1 = 2∆

Sollwert fur a1: a∗1 = a1 − ∆Sollwert fur b1: b∗1 = b1 − 2∆Sollwert fur a2: a∗2 = a2 − 2∆Sollwert fur b2: b∗2 = b2 − ∆

IV: Verfahren nach”Forstner“

S2

a2

a1

S1

B

A

)h

b1

b2))2

ca. 15 mca. 15 m ca. 15 m

) )2

" "

" "

∆h1 = a1 − b1 ∆h2 = a2 − b2∆h1 = (a∗1 + ∆) − (b∗1 + 2∆) ∆h2 = (a∗2 + 2∆) − (b∗2 + ∆)∆h1 = a∗1 − b∗1 − ∆ ∆h2 = a∗2 − b∗2 + ∆ ∆h2 − ∆h1 = 2∆

Sollwert fur a1: a∗1 = a1 − ∆Sollwert fur b1: b∗1 = b1 − 2∆Sollwert fur a2: a∗2 = a2 − 2∆Sollwert fur b2: b∗2 = b2 − ∆

Berechnung der Neigung der Ziellinie aus den Lattenablesungen:

tanα = ∆Strecke

bzw.α = ∆∗ρ

Streckemit ρ = 63, 6620 gon

8.2.5 Genauigkeit des Nivellements

• Annahmen:

– die einzelnen Fehlereinflusse auf allen Standpunkten sind gleich


8 HOHENMESSUNGEN 68

– nur diese Einflusse gehen in den Gesamtfehler einer Nivellementslinie ein

– etwa gleiche Zielweiten

• Es ergibt sich fur den Fehler der Linie sL folgender einfacher Zusammenhang:

sL =√

s21 + s2

2 + · · · + s2n =

√n · s =

√

L/(2z) · s

mit: s Standardabweichung je InstrumentenaufstellungL Lange der Nivellementsliniez Zielweiten Anzahl der Standpunkte

• Druckt man den Zusammenhang mit der Standardabweichung fur einen KilometerNivellement aus, ergibt sich:

sL = sNiv/1 km ·√

L[km]

=⇒Die Standardabweichung einer Nivellementsstrecke oder -linie wachst mit derWurzel aus der nivellierten Lange der Strecke oder Linie.

• Standardabweichung fur 1 km Nivellement

– aus den Differenzen di zwischen Hin- und Ruckweg der n Einzelstrecken mitden Streckenlangen Ri

sNiv/1 km =

√

√

√

√

1

2n

[

dd

R[km]

]

– aus den Widerspruchen wi beim Anschluss an zwei (fehlerfreie) Festpunkteoder bei geschlossenen Nivellementsschleifen

sNiv/1 km =

√

√

√

√

1

2n

[

ww

L[km]

]

• Den Fehler fur 1 km Doppelnivellement (Mittel aus Hin- und Ruckweg) erhalt mannach:

sDNiv/1 km =sNiv/1 km√

2

• Sinnvoll ist ein Vergleich der Ergebnisse der Fehlerrechnungen aus Hin- und Ruck-weg und aus Schleifenschlussen.Erhalt man aus den Schleifenschlussen abweichende (großere) empirische Stan-dardabweichungen, ist davon auszugehen, dass noch systematische Fehlereinflussewirken.


8 HOHENMESSUNGEN 69

8.3 Feinnivellement (Prazisionsnivellement)

8.3.1 Messung

Fur genaueste Messungen mussen geeignete Instrumente eingesetzt werden:

• 40 fache Vergroßerung, Objektivdurchmesser 50 mm

• Nivellierlatten mit auf Invarband aufgetragenen Teilungen (zwei versetzte Teilun-gen)

Bei der Messung mussen bestimmte Bedingungen eingehalten werden:

• der Zielstrahl soll mindestens 50 cm vom Boden entfernt sein

• strenges nivellieren aus der Mitte (Zielweitenunterschied < 1 m ⇒ Stationierung)

• Verwendung von zwei Latten mit je zwei Lattenteilungen und grundsatzlich Hin-und Rucknivellement

8.3.2 Fehlereinflusse

SYSTEMATISCHE FEHLEREINFLUSSE

Fehlereinfluss Bekampfungeinseitige Schatzfehler beim Ablesen Verwendung von Planplattenmikrometern

Lattenfehler (Maßstab, Teilung, Null-punkt)

regelmaßiges Uberprufen

Schiefhalten der Latte Kontrolle der Lattenlibelle; Abstutzen mitStaben

Temperatureinflusse auf die Messaus-rustung

Temperierung; Schutz vor Sonneneinstrahlung

Einsinken des Instrumentes wahrend derMessung

nur auf festem Untergrund; Benutzung beiderLattenteilungen zweier Latten in der Reihenfol-ge RI , VI , VII , RII

Kompensationsreste bei selbsthorizontie-renden Instrumenten

Horizontierung des Instrumentes in alter-nierenden Richtungen auf den einzelnenStandpunkten

Einseitiger Einfluss der Refraktion schnelle Messung; Mindestabstand des Ziel-strahls vom Boden einhalten; Bergstreckenmoglichst zu gunstigen Zeiten (kleiner Tempe-raturgradient) beobachten


8 HOHENMESSUNGEN 70

ZUFALLIGE FEHLEREINFLUSSE

Fehlereinfluss BekampfungLuftflimmern Messung bei gunstigen Wetterlagen (bedeckt);

an heißen Tagen morgens oder abends

Einsinken und sonstige Lageanderungender Latten

sorgfaltiges Festlegen der Lattenuntersatze(Unterlegplatten); Sauberhalten der Lattenfußeund -untersatze

ungleiche Zielweiten Ausmessung der Entfernungen (Distanzfaden)oder vorherige Stationierung; Abweichungenauf anderen Standpunkten ausgleichen

Fehler der Lattenaufsatzflachen Latten mit der gleichen Stelle aufsetzen (Lat-tenschuhe); Nullpunktsdifferenz des Lattenpaa-res berucksichtigen oder mit der Latte abschlie-ßen, mit der begonnen wurde

Nachziehen der Libellenachse Libelle vollstandig zur Ruhe kommen lassen

Bei sorgfaltiger Messung und Beachtung obiger Vorschriften lasst sich fur eine aus Hin-und Rucknivellement gemittelte Strecke eine Standardabweichung von 0,2–0,5 mm/kmerreichen.

8.3.3 Auswertung

• fur den Datenfluss vom Feld bis zum Rechner stehen verschiedene elektronischeSysteme zur Verfugung

• durchgehenden Datenfluss ermoglichen digitale Strichcodenivelliere, die mit Strich-codelatten auf Invarband auch fur Nivellements hochster Genauigkeit eingesetztwerden konnen

• Bestimmung der Hohen der einnivellierten Punkte durch Ausgleichung der Beob-achtungen nach der Methode der kleinsten Quadrate (MKQ)

• Korrektion der Lattenfehler (Teilung, Maßstab, Nullpunkt) =⇒ Vorprogramme

• an den beobachteten Hohenunterschieden werden”Schwerekorrektionen“ ange-

bracht, die der Variabilitat der Schwerebeschleunigung und deren Auswirkung aufdie Nivellementsergebnisse Rechnung tragen

– um normalorthometrische Hohenunterschiede zu erhalten ⇒ Korrektionenwegen

”Normalschwerefeld“ (Modell) erforderlich

– um Normalhohenunterschiede zu erhalten ⇒ ist zusatzlich die Kenntnis vonSchwerewerten entlang der Nivellementslinie erforderlich


8 HOHENMESSUNGEN 71

8.4 Spezialfall: Strom- und Talubergangsnivellement

Beim Ubergang uber Flusse oder Taler konnen sehr große Zielweiten auftreten. EinNivellieren aus der Mitte ist i.a. nicht moglich.=⇒ spezielle Messausrustung und -anordnung!

Ziel: Realisierung eines wahren Horizontes mit Kompensatornivellieren unabhangig vonKompensationsrestfehlern.

Losungsprinzip:

• Werden zwei in geringem Hohenunterschied aufgestellte (auf Unendlich fokussier-te) Nivellierinstrumente in gegenseitige Kollimation gebracht, sind ihre Ziellinienparallel.Das heißt, dass das eine Instrument in bezug auf den wahren (mittleren) Horizontgenausoviel nach unten wie das andere nach oben zielt.

• Durch die Kompensatoren bleibt die einmal eingestellte Neigung der Ziellinie auchbei Drehung des Instrumentes erhalten.

• Das Mittel der beiden Kippachshohen stellt den wahren Horizont dar.

Messausrustung:Fur Ubergange von bis zu 2 km steht z.B. eine Talubergangsasrustung der Firma CarlZeiss Oberkochen zur Verfugung. Sie besteht aus folgenden Elementen:

• zwei Grundplatten mit je zwei selbsthorizontierenden Ingeniernivellieren Ni 2;

• jedes der vier Ni 2 ist mit einem Drehkeilvorsatz ausgerustet, der eine messbarekleine Neigung der Ziellinie ermoglicht;

• zwei Paar Zieltafeln oder Beleuchtungsreflektoren;

• je eine Nivellierlatte zum Hohenanschluss an Festpunkte an den beiden Ufern.

Messungsdurchfuhrung:

1. Herstellung der Kollimation fur die beiden auf einer Grundplatte befindlichenNivelliere mittels der Drehkeilvorsatze (Ablesungen n1 und n2).

2. Bestimmung der Kippachshohen der beiden Nivelliere durch Anzielen der Nivel-lierlatte auf einem Festpunkt.

3. Am anderen Ufer werden zwei Zieltafeln aufgebaut und deren vertikaler Abstandb bestimmt (vertikale Basis).

4. Die beiden Zieltafeln werden mit beiden Instrumenten angezielt und es werden dieNeigungen zur oberen (o1, o2) und unteren (u1, u2) Zieltafel an den Drehkeilskalenabgelesen.


8 HOHENMESSUNGEN 72

Auswertung:Der Hohenunterschied von der mittleren Kippachse zur unteren Zieltafel kann folgender-maßen berechnet werden. Dabei ist zu beachten:

• Drehkeilablesungen sind Richtungen (Kippung nach oben positiv)• Differenzen von Drehkeilablesungen sind Winkel!

wahrer Horizont

Zo

Zu

N1

Ziellinie N1

b

n1-u1

h2

h1

Ziellinie N2n2-u2

o1-u1 ; o2-u2

N2

s

Nach der Bogenformel:

o1 − u1

b=

1

s=n1 − u1

h1

h1 =n1 − u1

o1 − u1

b

h2 =n2 − u2

o2 − u2

b

h =1

2(h1 + h2)

Es wird die Hohe der un-teren Zieltafel unter demwahren Horizont berechnet:

h =b

2

(

n1 − u1

o1 − u1

+n2 − u2

o2 − u2

)

Zur Eleminierung des Einflusses von Erdkrummung und Refraktion mussen die Messun-gen von beiden Ufern aus gemittelt werden und die Beobachtungen mussen zeitgleicherfolgen um Refraktionsanderungen auszuschalten.Wenn sich die Zielweiten unterscheiden, ist zusatzlich eine Korrektion wegen Erd-krummungs- und Refraktionseinfluss erforderlich (siehe Abschnitt ??:

”Trigonometrische

Hohenmessung“):

dh =1 − k

RS · dS

mit: dh Hohenkorrektionk RefraktionskoeffizientS ZielweitedS Unterschied der beiden ZielweitenR Erdradius

Bei 6 bis 8 Satzen lasst sich mit dem Verfahren auf eine Entfernung von etwa 1 km eineStandardabweichung des Mittels von ±10 mm erreichen.

8.5 Barometrische Hohenbestimmung

Die barometrische Bestimmung von Hohenunterschieden basiert auf der Anderung desLuftdrucks mit der Hohe. Die Methode weist im Gegensatz zu den anderen geodatischenVerfahren (geometrisches und trigonometrisches Nivellement) eine bedeutend geringereGenauigkeit auf. Sie wird daher nur in Bereichen eingesetzt, wo die geodatischen nichteinsetzbar oder nicht erforderlich sind (Expeditionen (Geologie, Geophysik), Erganzung


8 HOHENMESSUNGEN 73

zu GPS-Navigationssystemen bei Land- und Luftfahrzeugen, Alpinismus, Spezialaufga-ben).

UMRECHNUNGSTABELLE FUR DRUCKEINHEITEN

Pa hPa bar mbar TorrN/m2 mm Hg

Pa 1 10−2 10−5 10−2 760101325

hPa 100 1 10−3 1 7601013.25

bar 105 103 1 103 7601.01325

mbar 100 1 10−3 1 7601013.25

Torr 101325760

1013.25760

1.01325760

1013.25760

1

8.5.1 Messung des Luftdrucks

Quecksilberbarometer An der Rohablesung sind die folgenden Korrektionen anzu-bringen:

Bkorr = B0 + kt + kk + kφ + kH + kStand

• kt Temperaturkorrektion kt = − B·t6140

mit Temperatur t in ◦C

• kk Kapilardepression Die Kapilardepression lasst sich imVergleich zu einem Hg-Barometer miteinem Rohrendurchmesser von min-destens 20 mm empirisch bestimmen(Geratekonstante)

• kφ breitenabhangige Schwerekorrektion kφ = −0.00264 cos(2φ)B

• kH hohenabhangige Schwerekorrektion kH = −0.0000003HB• kStand Standverbesserung kann durch Vergleich des bis hierher kor-

rigierten Lufdruckwertes durch Vergleichmit einem Normalbarometer bestimmtwerden

Quecksilberbarometer eignen sich nicht fur Feldmessungen. Sie dienen als Normalbaro-meter zur Uberprufung von Aneroidbarometern.

Aneroidbarometer (Barometer mit Membrandose und Gegenfeder) An der Ro-hablesung von Aneroidbarometern mussen Temperatur-, Teilungs- und Standverbesse-rung angebracht werden:

Bkorr = B0 + kt + kT + kStand = B0 + a · t+ b · (1013.25hPa −B) + c

Die Konstanten a, b und c konnen durch Vergleich mit einem Quecksilberbarometer imRahmen einer Grateuberprufung ermittelt werden. Diese Bestimmung sollten periodischwiederholt werden, um Alterungserscheinungen der Feder zu erfassen.


8 HOHENMESSUNGEN 74

Anstelle von Membrandosen mit Gegenfeder werden heute meist elektrische Systeme(piezoelektrische Drucksensoren) mit digitaler Messwertanzeige eingesetzt, die auch alsPrazisionsinstrumente zur Verfugung stehen.

8.5.2 Ermittlung von Hohenunterschieden aus Barometermessungen

Zur Ermittlung von Hohenunterschieden zwischen zwei Punkten aus Luftdruckmessungenkann die Barometerformel von W. Jordan verwendet werden:

∆h = 18400 · lg B1

B2

(1 + αtm)

(

1 + 0.377em

pm

)

(1 + β cos 2φm)(

1 +2Hm

R

)

mit: Konstanten α = 0.003665, β = 0.00264, R = 6370000mB1, B2 korrigierte Luftdruckwerte an den beiden Punkten.tm mittlere Temperatur in ◦Cem mittlerer Partialdruck des Wasserdampfes der Luftpm mittlerer Luftdruckφm mittlere geographische BreiteHm mittlere Hohe

Mit den Annahmen φm = 50◦, Hm =500 m, em/pm = 1/100 lasst sich fur Mitteleuropaeine Naherungsformel angeben:

∆h = 18464(1 + 0.0037 · tm)(lgB1 − lgB2)

Voraussetzungen fur die Anwendung obiger Formel sind, dass der Luftdruck an beidenPunkten gleichzeitig gemessen wird und dass die Temperatur von unten nach obengleichmaßig abnimmt. Diese Vorausetzungen sind nicht streng erfullt. Außerdemwirkt bei raumlich ausgedehnten Messgebieten die Neigung der Isobarenflachen alsFehlereinfluss.

Die Messung muss daher so angelegt werden, dass meteorologische Einflusse entwederdurch Anschluss an feste Punkte umgangen oder durch Beobachtungen an einem (odermehreren) ortsfesten Barometern in Rechnung gestellt werden konnen.

Die nachfolgend prinzipiell skizzierten speziellen Beobachtungsverfahren sind dazubestimmt, die Tragheit der Federbarometer und die etwaigen Anderungen des Lufdrucksinfolge der sich andernden Großwetterlage zu eleminieren.

STAFFELVERFAHREN (mit zwei Barometern)

Messpunkte A 1 2 3 B⇓ I II⇓ II I⇓ II I⇓ II I⇓ II I

Zeit II I


8 HOHENMESSUNGEN 75

SPRUNGVERFAHREN (mit zwei Barometern, mit gegenseitigem Uberholen)

Messpunkte A 1 2 3 B⇓ I II⇓ II I⇓ I II⇓ II I⇓ I II

Zeit I II

8.5.3 Ermittlung von Hohenunterschieden aus Altimetermessungen

Altimeter sind Barometer mit einer metrischen Hohenskala. Es handelt sich meist umAneroidbarometer oder um piezoelektrische Gerate.Mit Altimetern werden sogenannte Normhohen bestimmt, die ihre Definition aus derNorm- oder Standardatmosphare erhalten.

Die Physikalische Normatmosphare wurde 1924 von der Commission Internationale deNavigation Aerienne (CINA) festgelegt:

Luftdruck in Meereshohe (Jahresmittel) p0 = 1013.25 hPa = 760 TorrLufttemperatur in Meereshohe t0 = 15◦ bzw. T0 = 288KTemperaturgefalle je km fur Hohen bis 11 km a = 6.5 K/kmDichte der Luft bei einem Kohlensauregehalt von 0.03% ρ0 = 0.001226 g/cm3

Schwerebeschleunigung g0 = 980.62 cm/s2

Die Normhohe hNA lasst sich unter Benutzung einer Normbeziehung zwischen Luftdruckund Normhohe folgendermaßen direkt berechnen:

hNA =T0

a

1 −(

p

p0

)1n

mit n =g0T0ρ0

ap0

=⇒ hNA = 44307.69 − 11874.31p0.190259 hNA in m, p in mbar

Da die Verhaltnisse der Normatmosphare nicht streng und durchgehend erfullt sind, mussein mit Altimetern gemessener Normhohenunterschied wegen Dampfdruck, Schwerebe-schleunigung und Hoheneinfluss korrigiert werden (vgl. barometrische Hohenformel):

∆h = ∆hNA

(

1 +tm − t0 + ahm

TE

)(

1 + 0.377em

pm

)

(1 + β cos 2φm)(

1 +2Hm

R

)

mit: Konstanten TE = 273K, β = 0.00264, R = 6370000mtm mittlere Temperatur in ◦Cem mittlerer Partialdruck des Wasserdampfes der Luftpm mittlerer Luftdruckφm mittlere geographische BreiteHm mittlere Hohe

In dieser Beziehung sind alle Großen direkt messbar oder berechenbar. Den Dampfdrucke erhalt mittels Aspirations-Psychometermessungen nach (Sprungsche Formel):

e = E ′ − ct− t′

755p


8 HOHENMESSUNGEN 76

mit: E ′ Sattigungsdampfdruck (z.B. als Angabe des Deutschen Wetterdienstes)c Konstante mit den Werten 0.5 uber Wasser und 0.43 uber Eist, t′ Trocken- und Feuchttemperaturp Luftdruck

8.5.4 Genauigkeit der barometrischen Hohenmessung

Nach dem Varianzfortpflanzungsgesetz gilt (bei Vernachlassigung der Fehleranteile desDampfdrucks, des mittleren Luftdrucks und der mittleren Hohe):

s2∆h =

(

8019

B1

)2

s2B1

+(

8019

B1

)2

s2B1

+ (0.0037∆h)2s2tm

Fur einen Hohenunterschied ∆h = 100m und eine Standardabweichung fur die Tempe-raturmessung von st = 1K betragt der Fehleranteil des letzten Gliedes 0.37 m.Der Fehleranteil der Luftdruckbestimmung betragt fur sB = 0.1Torr≡ 0.13 hPa 1.1 mbei einem mittleren Luftdruck.Fur die Standardabweichung eines Hohenunterschiedes ergibt sich daraus s∆h = 1.6m.

Bei speziellen Messanordnungen und Interpolation zwischen bekannten Hohen konnenGenauigkeiten von etwas unter einem halben Meter erreicht werden.

8.6 Hydrostatisches Nivellement

Das hydrostatisches Nivellement arbeitet nach dem Prinzip der kommunizierendenRohren. Es kann zur Hohenubertragung zwischen zwei und mehreren Punkten eingesetztwerden.Nach diesem Prinzip sind die einfachsten Nivellierinstrumente, die Kanalwaagenaufgebaut. Ersetzt man das Verbindungsrohr durch einen Schlauch und bringt an denbeiden Enden Standglaser mit Millimeterteilung an, erhalt man die Schlauchwaage.Solche Instrumente werden vorwiegend in schlecht einsehbarem Gelande in der Inge-nieurvermessung fur Straßen-, Brucken- und Kanalisationsbau eingesetzt. Weiterhinfindet man sie als Prazisionsschlauchwaage in der Bauwerksuberwachung und imBergbau.

Im Idealfall befinden sich die Flussigkeitsspiegel (Menisken) in den Standglasern in einund derselben Niveauflache. Abweichungen enstehen jedoch durch:

• Einflusse außerer Krafte (Temperatur- und Luftdruckunterschiede, Schwereande-rungen)

• innere Krafte (Kapillarkrafte)

• Einflusse dynamischer Art (Kapilarkrafte)

• Einflusse unsachgemaßer Schlauchfullungen (Luftblasen)

Nach Bestimmung der Nullpunktskorrektion durch Nebeneinanderhalten der beidenStandglaser und dem darauffolgenden Ablesen der Standglaser an den beiden Messstel-len lasst sich der Hohenunterschied bestimmen. Dies sollte erst nach Beruhigung des


8 HOHENMESSUNGEN 77

Wassers im Schlauch geschehen und mehrfach wiederholt werden.

Mit einfachen Schlauchwaagen lassen sich Hohenunterschiede mit einer Standardabwei-chung von s∆h = 1mm bestimmen. Mit Prazisionsschlauchwaagen sind Genauigkeitenvon einigen 0.001 mm erreichbar.


9 GELANDEAUFNAHMEN 78

9 Gelandeaufnahmen

9.1 Langs- und Querprofile

Fur die Trassierung von Verkehrsbauten werden haufig Langs- und Querprofile oderdigitale Gelandemodelle aufgenommen.

Ein Langsprofil ist ein Vertikalschnitt durch die Erdoberflache langs einer eventuell auchgekrummt oder geknickt verlaufenden Leitlinie. Diese Leitlinie stellt bei Straßen- oderEisenbahnwegen meist die Achse des kunftigen Bauwerkes und bei Wasserwegen eineParallele zu dieser Achse dar.

Querprofile sind Vertikalschnitte durch die Erdoberflache, die normal zur Leitlinieabgesteckt werden. Bei geraden Strecken verlaufen sie also im rechten Winkel, beiKnickpunkten in der Winkelhalbierenden und in Kurven in radialer Richtung.

9.1.1 Langsprofile

Die Aufnahme beginnt mit der Stationierung und Verpfahlung der Leitlinie.In Abstanden von 25, 50 oder 100 m je nach dem Gelande und dem Zweck und zusatz-lich bei Gefallewechseln und Schnitten mit Wegen oder Wasserlaufen, werden Nummern-pfahle und erdbodengleiche Grundpfahle eingebracht.Die Stationierung erfolgt in Hektometern, so daß die Stationspunkte z.B. in folgenderArt dargestellt werden:0+50 fur 50 m; 2+75 fur 275 m.

Die Art der Absteckung richtet sich nach der geforderten Genauigkeit und kann durcheinfaches Fluchten und Meßbandmessung bis zum Einsatz elektrooptischer Tachymetervorgenommen werden.

Im Vertkalschnitt des Langsprofils sind die vorhandene Gelandeoberflache und die ge-plante Trassenachse zueinander darzustellen.

Die Trassenpunkte sind hohenmaßig durch Nivellement zu bestimen. Dabei ist dasHohenniveau im Anfangs- und im Abschlußpunkt durch Anschluß an Hohenfestpunk-te zu realisieren.Die Hohenbestimmung innerhalb des Profils erfolgt uber die im Abstand von 100 m ste-henden Grundpfahle als Wechselpunkte und zu den weiteren Grundpfahlen und sonstigenwichtigen Punkten als sogenannte Zwischen- oder Seitenblicke.Der Abschlußfehler, der sich aus dem Anschluß an zwei Hohenfestpunkte oder ausHin- und Ruckmessung ergibt, wird wie beim einfachen Nivellement proportional zurStreckenlange (umgekehrt proportional zum Gewicht) auf die einzelnen Abschnitte ver-teilt.



BEISPIEL FUR EINE LANGSPROFILAUFNAHME

Punkt Zielweite Ruck- Seiten- Vorblick Instr.- Hoheuber

Verbess.

(m) blick blick horizont NN(mm)

HP 1 50 1.415 49.67550 1.290 51.090

W1 45 0.420 49.800 +345 1.655 50.220

0+00 50 1.390 48.565 +60+25 3.175 49.955 46.780 +60+50 2.955 47.000 +60+75 0.595 49.360 +6

50 0.7001+00 50 2.040 49.255 +91+25 1.545 51.295 49.750 +91+50 3.235 48.060 +91+75 0.820 50.475 +9

50 0.4152+00 30 1.005 50.880 +12

30 2.090 51.885W2 40 1.870 49.795 +15

40 1.235 51.665HP 2 Ist: 50.430 +18

8.140 7.385 50.4480.755 0.773

9.1.2 Querprofile

Querprofile sind Vertikalschnitte orthogonal zur Leitlinie. Sie dienen der Erarbeitung desEntwurfs und zur Erdmassenberechnung. Daher sind sie uberall dort aufzunehmen, wosich Gelandeneigung oder die Richtung der Leitlinie andern.Die Herstellung der Querprofillinie wird analog zum Langsprofil in Abhangigkeit vonder geforderten Genauigkeit mit einfachen Verfahren (Winkelprisma, Meßband) odergenaueren Verfahren (elektronische Tachymeter) durchgefuhrt. Die seitliche Ausdeh-nung schwankt zwischen 20 und 30 m (abhangig vom Zweck der Aufnahme und vomGelande). Die seitlichen Entfernungen konnen i.d.R. auf Dezimeter gerundet bestimmtwerden.Die Hohenbestimmung der Profilpunkte erfolgt mit einem Nivellierinstrument imAnschluß an die Hohe des Achspunktes moglichst mit einer Instrumentenaufstellung.Die Hohen werden auf einen Zentimeter genau bestimmt.Die Aufnahme des Querprofils ist in einem Handriß zu dokumentieren.



Beispiel Langsprofil (aus Kahmen, 1997)

9.1.3 Darstellung von Langs und Querprofilen

• Darstellung der Gelandeoberflache und der Planung des Verkehrsbandes relativzueinander

• =⇒ heute haufig EDV-Programme inclusive graphischer Ausgabe

Bei manueller Bearbeitung der Daten und Darstellung der Ergebnisse ist nachfogendeszu beachten:A: Langsprofile

- in Langsprofilen wahlt man unterschiedliche Maßstabe fur Hohen und Entfernungen(markantere Darstellung von Hohenanderungen)

- uber Bezugslinie (gerader Hohenwert) werden Gelande und Entwurfshohen abge-tragen

- Bezugslinie, Ordinaten (Hohen), Gelandelinie, Stationszahlen und Hohenangabender Punkte−→ schwarz

- alle Angaben zu Wasserlinien −→ blau

- Dartstellung des Entwurfs −→ rot (Zinnober)

B: Querprofile

- in Querprofilen wahlt man gleiche Maßstabe fur Hohen und Entfernungen(Vermeidung verzerrter Darstellungen)



- uber einer Bezugslinie werden wiederum Gelande und Entwurfshohen abgetragen

- Darstellung der Gelandeoberflache bezuglich Ausgangslinie (Grundpfahl mit dazu-gehoriger Hohe)

- Ordinaten (Hohen), Gelandelinie, Hohenangaben der Punkte −→ schwarz

- Dartstellung des geplanten Regelprofils (Entwurfs) −→ blaßrot

Beispiel Querprofil (aus Kahmen, 1997)

9.2 Rostaufnahme

• Langs- und Querprofile reichen zur Erfassung der Topographie des Gelandes z.B.fur die Ermittlung von Hohenlinien nicht aus

• fur Lageplane mit Hohenlinien oder digitale Gelandemodelle (DGM) erfolgt dahereine sog. Rostaufnahme (Flachennivellement, Rasteraufnahme)

• in schwach geneigtem Gelande kann die Hohenbestimmung nivellitisch erfolgen,bei starkeren Neigungen und Hohenunterschieden tachymetrisch

9.2.1 Aufbau des Rasters

Die lagemaßige Festlegung und Bestimmung der Punkte soll an der Hohengestaltung desGelandes ausgerichtet werden.Es sind folgende Falle unterscheidbar:

• Auswahl von koordinaten- und hohenmaßig bekannten Punkten und ggf. Ver-dichtung des Punktrasters von diesen bekannten Punkten ausgehend (in flachemGelande)

• liegen lediglich fur den Umring des aufzunehmenden Gelandes bekannte Punktevor:Einbindung von Profilen in den bekannten Umring



• ohne Vermessungsgrundlage:Absteckung von sich rechtwinklig schneidenden Geraden (Quadratrost, Rechteck-rost)Abstand ist abhangig von Art des Gelandes und von Abstufung der zu ermittelndenHohenlinienzwischen die Rostpunkte fallende etwaige charakteristische Gelandepunkte sind miteinzumessen

• in bewegterem Gelande kann gleichzeitige Bestimmung von Lage und Hohe derPunkte (mit Tachymetern) erfolgenAufnahme Geripplinen: Rucken- und Muldenpunkte, Gelandeknicke (Gefallwechsel,Boschungskanten)ERFAHRUNG NOTIG!

9.2.2 Hohenaufnahme

• entweder tachymetrische Bestimmung der Lage und Hohe der Punkte (Polarver-fahren)

• oder einfache Absteckung der Punkte und Hohenbestimmung mit Nivellieren ein-facher Genauigkeit

- Anschluß des Nivellements an zwei bekannte Hohenpunkte (Kontrolle)

- Rostaufnahme uber die notwendigen Wechselpunkte und auch Seitenblicke

- lange Zielweiten moglich (≤ 300 m), da Genauigkeitsforderung gering

9.2.3 Hohenlinien

• =⇒ Computerprogramme

Bei manueller Bearbeitung:

1. lagemaßige Kartierung der Punkte und Kennzeichnung der Hohen (Hohenzahlen)

2. Interpolation der glatten Hohenwerte zwischen diesen PunktenAbstande (0.1), 0,5, 1,0 m (flaches Gelande); 2,5, 5,0 m (bewegtes Gelande)−→ gelande- & maßstabsabhangigimmer Nutzung der Punktverbindungen mit dem starksten Gefalle

3. Konstruktion der Hohenlinien:glatter Verlauf außer bei tatsachlichen Gelandeknicken

Zur Klarung von Zweifeln oder Unstimmigkeiten ist im Feld ein geeigneter Handrißanzufertigen!Darstellung der charakteristischen Gelandeformen und -linien im Handriß.

Hohenlinien werden gewohnlich in brauner Farbe (Sepia) dargestellt und in geeigneten



Abstanden eindeutig beziffert.Haupthohenlinien werden z.B. durch hohere Strichstarke hervorgehoben.

A

C

B

4

321

3

4

2

1

A CBBeispiel Profileinbindung (links)Beispiel Rostaufnahme (rechts)(aus Kahmen, 1997)

9.3 Erdmassenermittlungen

• mit allen Ingenieurbauwerken sind Erdmassenbewegungen verbunden

• schon bei der Planung soll voraussichtlicher Erdmassenanfall minimiert werden

• Erdmassenausgleich soll angestrebt werden

Erdmassenberechnungen beruhen auf den Zusammenhangen der Stereometrie.

- Simpsonsche Regel, Guldinsche Regel

- Formeln zur Berechnung des Rauminhaltes von Prismen und Prismatoiden

Vermessungstechnische Grundlage sind Langs- und Querprofile, Flachennivellementsbzw. topographische Gelandeaufnahmen.

Die Erfassung der Unregelmaßigkeiten der Erdoberflache mit mathematischen Korpernkann nur mit vereinfachenden Annahmen erfolgen.Die dadurch auftretenden Fehler lassen sich uber diese Annahmen gut abschatzen.

=⇒ EDV-Programme zur Massenberechnung als Bestandteil von Projektierungssoftware!

9.3.1 Erdmassenberechnungen aus Querprofilen

• Tritt z.B. bei der Anlage von Dammen, Anschnitten und Einschnitten fur Ver-kehrstrassen auf.



• Grundlage sind die Ergebnisse von Querprofilaufnahmen in denen die Gelandeo-berflache bezuglich des geplanten Querschnitts des Verkehrsweges dargestellt ist.

• Anwendung der Kepplerschen Faßregel und der Simpsonschen Regel fur geradenTrassenverlauf und der Guldinschen Regel fur Abschnitte in Bogen

Kepplersche Faßregel/Simpsonsche Regel(Mathemetik =⇒ einfache Regel zur numerischen Integration)

V =1

6(F1 + 4Fm + F2) · l

F1 und F2 Querschnittsflachen benachbarter ProfileFm Querschnittsflache in der Mitte zwischen den Profilen

Wird Fm = 12(F1 + F2) gesetzt, ergibt sich die Vereinfachung:

V =1

2(F1 + F2) · l (∗)

Die Formeln gelten unter Beachtung der Vorzeichen fur Auftrag (Damm) [+], Einschnitt[-] und Anschnitt [+/-] (beim Anschnitt: aufgetragene Massen positiv, abgetragenenegativ → Differenzflache).

Die Verallgemeinerung fur n Querprofile liefert (Simpsonsche Regel):dazu Unterteilung von l in n− 1 gleichlange Abschnitte (d.h. n ungerade)

V =1

3(n− 1)(F1 + 4(F2 + F4 + . . .+ Fn−1) + 2(F3 + F5 + . . .+ Fn−2) + Fn) · l

oder mit der Vereinfachung Fm = 12(F1 +F2) fur jedes Teilstuck die Verkettung von (*):

V =F1 + F2

2l1 +

F2 + F3

2l2 + . . .+

Fn−1 + Fn

2ln−1

Auftrag (A),Einschnitt (C),Anschnitt (B)

A

C

B

Die Querschnittsflachen gewinnt man aus den Koordinaten und Hohen oder manuelldurch ausplanimetrieren der graphischen Darstellungen.Gaußsche Flachenformel (Flache aus Koordinaten):

F =1

2[(s1 − s2)(H1 +H2) + (s2 − s3)(H2 +H3) + · · · + (sn − s1)(Hn +H1)]



si Abstande zur TrassenleitlinieHi Hohen der fur die gegen den Uhrzeigersinn nummerierten Punkte

Anwendung der Gaußschen Flachenformel und der Simpsonschen Regel auf Querprofile

1

2 3

76

5

4

9

8

F1 F2

1

2 3

76

5

48

F3 F4

Punkt im Abstand von Hohe Punkt im Abstand von HoheProfil 1 der Trassen- Profil 2 der Trassen-

leitlinie leitlinie[m] [m] [m] [m]

1 -4.3 33.16 1 -4.3 31.912 -3.0 35.76 2 -3.0 34.23 0.0 35.67 3 0.0 34.434 3.0 35.58 4 3.0 34.345 4.2 33.78 5 4.2 32.436 4.7 33.03 6 4.7 31.697 5.2 33.03 7 5.2 31.698 5.8 33.92 8 5.8 32.609 0.8 33.49

l = 25m, F1 = 16.12m2, F2 = 0.86m2, F3 = 16.38m2, F4 = 0.86m2

VD = 12(F1 + F3)l = 406.25m3

VE = 12(F2 + F4)l = 21.50m3

V = (VD − VE) = 384.75m3

Guldinsche RegelVerallgemeinerung der Simpsonschen Regel

Rotiert ein ebenes Flachenstuck um eine Gerade, die hochstensRandpunkte mit der Flache gemeinsam hat, so ist das Volumen desentstehenden Rotationskorpers gleich dem Produkt aus demFlacheninhalt und der Lange des Weges ihres Schwerpunktes.



V=Querschnittsflache·Weg ihres Schwerpunktes

Der Schwerpunkt wird i.a. nicht mit der Mittelachse der Trasse zusammenfallen(unsymmetrische Querschnittsflachen)!

Genauigkeitsbetrachtung

Fur Prismen und Prismoide liefern die Kepplersche Faßregel und Simpsonsche Regelexakte Ergebnisse!Unterschied zwischen exakter Berechnung (Ergebnis V ) und Naherungslosung (ErgebnisV ):

Fall 1: Gerade oder schiefe Prismen

F1 = F2 = Fm und damit V = V

Fall 2: Gerade oder schiefe Pyramiden

F1 > 0, F2 = 0, −→ Fm =1

4F1 und damit V =

1

3F1·l, V =

1

2F1·l, ∆V =

1

6V

Allgemein gilt der Zusammenhang:V ≤ V

da alle praktisch moglichen Falle (Prismoide) zwischen diesen Extremen liegen.

Praktische Erfahrungen zeigen, daß der relative Fehler ∆VV

bei Erdmassenberechnungenzwischen 1 und 5% liegt.

Genauigkeitsbetrachtung Guldinsche Regel

Bei der Guldinschen Regel ist der Fehler des Radius R des Bogens b, den der Schwerpunktbeschreibt, zu betrachten.Mit b (fehlerhafte Bogenlange) und R (fehlerhafter Radius) erhalt man:

b− b = bR−R

R

∆V = F (b− b) = F · ∆b = F · bR−R

RUnd fur den relativen Fehler ergibt sich:

∆V

V=

∆V

F · b =R−R

R

Das heißt, der relative Fehler des Radius (oder der des Bogens) geht auf die Volumen-bestimmung uber.

Allgemeine Genauigkeitsaussagen

• Voraussetzung fur eine gute Erdmassenberechnung ist gute Erfassung des Gelandesdurch die Profile (Fehler 1 bis 4%)



• Fur die Anwendung der Formeln ergibt sich daraus ein Fehler fur die Volumen vonbis zu 5%

• Die systematischen Fehler lassen sich durch kurzere Profilabstande verringern

9.3.2 Erdmassenberechnungen aus Flachennivellements

• Flachennivellements oder Rostaufnahmen dienen zur Erfassung der Oberflachenfur kleine Bereiche

• es kann ein rechtwinkliges Raster (ebenes Gelande) oder auch eine unregelmaßigePunktverteilung (bewegtes Gelande) vorliegen

• daher Unterteilung der Gelandeoberflache in Rechtecke und/oder Dreiecke moglich

⇒ Ableitung von Hohenplanen und Massenberechnungen moglich

• Zerlegung des Volumens in dreieckige oder Viereckige Prismen

• Berechnung der Teilvolumen V aus den Grundflachen F und den gemessenenHohen h uber der Grundflache

Volumen von Prismen (Ebenen als Deckflachen):

Volumen eines dreieckigen Prismas

V = FDreieckh1 + h2 + h3

3

Volumen eines viereckigen Prismas

V = FV iereckh1 + h2 + h3 + h4

4

Grundflachenberechnung aus den elementaren Formeln fur Dreieck oder Viereck.Beim Vorliegen von rechtwinkligen Koordinatenwerten fur die Rasterpunkte kann dieGaußsche Flachenformel verwendet werden:

F =1

2[(X1 −X2)(Y1 + Y2) + (X2 −X3)(Y2 + Y3) + . . .+ (Xn −X1)(Yn + Y1)]

Flachenberechnung aus Polarkoordinaten:

F =1

2

n∑

i=1

si−1si sin(αi − αi−1)

Dreiecksroste konnen dem Gelande besser angepaßt werden als Quadratroste.

Exemplarisch laßt sich dies fur ein Qadratrost zeigen:A: Berechnunmg als Quadrat:

VQuadrat = FQuardat ·h1 + h2 + h3 + h4

4

B: Berechnung uber zwei Dreiecke:

VQuadrat = VDreieck1 + VDreieck2 =FQuardat(h1 + h2 + h3)

6+FQuardat(h2 + h3 + h4)

6



VQuadrat = FQuardat

(

h1 + h4

6+h2 + h3

3

)

4

321

3

4

2

1

A CBVeranschaulichung der verschiedenen moglichen Falle:A: Berechnung als Quadrat moglich (ebene Deckflache)B: Deckflache mit

”Grat“ zwischen Punkt 2 und Punkt 4

C: Deckflache mit”Einschnitt“ zwischen Punkt 1 und Punkt 3

• Der zu erwartende relative Fehler ∆VV

fur die Massen liegt fur geubte Beobachterbei 0.5%

• Voraussetzung: gute Anpassung des Rasters an die Gelandeformen

9.3.3 Erdmassenberechnungen aus Hohenlinien

Ruckfuhrung des Problems auf die Berechnung von Massen aus Langs- und Querprofilenoder aus Flachennivellement.

• entweder: Ableitung von Langs- und Querprofilen aus dem Hohenlinienbild undMassenberechnung nach den entsprechenden Formeln

• oder: Interpolation von Hohenrastern aus dem Hohenlinienbild und Weiterverar-beitung des Rasters

Beide Verfahren enthalten zusatzlich die Fehler der Hohenlinienbestimmung!

• Bestimmung der Flachen zwischen zwei Hohenlinien mit einem Planimeter undVolumenberechnung mit der mittleren Hohe zwischen den Hohenlinien

Die erreichbare Genauigkeit ∆VV

betragt erfahrungsgemaß 1%.

9.3.4 Digitales Gelandemodell

• nicht nur fur rechnergestutzte Durchfuhrung sondern auch fur Planung von Bau-maßnahmen

• Dreidimensionale Aufnahme eines erweiterten Streifens um die mogliche Tras-senfuhrung=⇒ Variantenrechnungen moglich



• Interpolation von Hohen zwischen den gemessenen Hohenpunkten z.B. uberPolynomansatze:

H(X,Y ) = a0 + a11X + a12Y + a21X2 + a22XY + a23Y

2 + · · ·Die Koeffizienten aij konnen aus den gemessenen Hohen in einer Ausgleichungbestimmt werden.


Documents

C:/Korth/TEX/Lehre/Vorlesung/Vermessungskunde/vorl …public.beuth-hochschule.de/~korth/vorl_vk1_BA_Verm.pdf · für die elektrische Stromst ärke das Ampère = A für die thermodynamische