148 Buchbesprechunaen -

der zugeordneten Legendreschen Differentialgleichung nach dem Vorbild von Hobson durch Schleifen- integrale eingefuhrt. Mit groBter Sorgfalt werden vom Verfasser die durch die spezielle Lage von p, n, m hedingten Fallunterscheidungen vorgenommen und Gultigkeitsgrenzen abgesteckt. Es folgen eine Menge von Reihenentwicklungen, u. a. nach den

1--16 l t l l 2 2 1 1 , . Variablen 2 __ ~ __ 3 , - -, 2 ’ 2 ’ 1-p’ l+p p 1-p2 -. . . . , (p - l p z - 1)2 iisw., eine grobe Zahl von Inte-

graldarstellungen (so z. B. Versllgemeinerungen der bekannten Formeln von Laplace-Heine, Dirichlet- Mehler), fernerliin Rekursionsformeln, Darstellungen von PF durch &; und umgekehrt, bestimmte Inte- grale, die Legendresche Funktionen enthalten, Be- ziehungen zwischen Besselschen, Legendreschen Funk- tionen und den (elliptischen) Legendreschen Inte- gralcn l. und 2 . Gattung.

Das V. Kapitel enthalt wichtige asymptot’ische Ab- schatzungen fur den Fall, daB eine dcr drei kom- plexen Variablen m, n, p --f 00 strebt. Hier - wie iibrigens a n sehr vielen anderen Stellen - hat der Verfasser die Lehre von den Kugelfunktionen um viele eigene Entdeckungen hereichert, zumal durch die von ihm gefordcrte Auffassung der .Pt,&T als analytische Funktionen der Zeiger n, m.

Das VI., das fur die Anwendungen wohl bedeu- tungsvollste Kapitel endlich hringt Kriterien fur die Darstellbarkeit einer Funktion f ( x ) durch Reihen nach Legendreschen Polynomen P,(s), nach Legendre- schen Funktionen P,”,.,(x) (n, m 2 0, ganz) und P r ( x ) (nur n 2 0, ganz) und hehandelt die Fragen der Sum- mierbarkeit von solchen Legendreschen Reihen im Sinne von Poisson-Abel und Ceshro-Knopp ((C, k ) - Summierbarkeit’). I n gleicher Weise wird darauf die Frage nach der Darstellbarkeit einer auf der Einheits- kugel des drei- hzw. p-dimensionalen Raumes defi- nierten Funktion f ( 0, p) hzw. f ( O,, 02, . . Op-l) durch eine Reihe nach Laplaeeschen bzw. Gegenbauer- schen Polynomen &( 0, p) hzw. CF’zl-l im Sinne der (C, k)-Summierbarkeit entschieden. Das Buch schliedt mit einer Besprechung des Gibbsschen Phanomens bei Reihenentwicklungen nach Legendreschen bzw. La- placeschen Polynomen.

Durch diese kurze Skizze ist der Inhalt des Buches und die Leistung des Verfassars keineswegs auch nur einigermaBen gerecht charakterisiert. Stattdessen werde auf das Buch selbst verwiesen, das allen denen warmsten empfohlen werden kann, die sich von Be- rufs wegen mit Kugelfunktionen befassen miissen, namlich Mathematikern, Physikern, Elektroingeni- euren usw.

Dresden L. BITTNER

D. Hilbcrt *f und W. Ackermann, Grundzi ige d e r t h e o r e t i s c h e n Logik. 4. Aufl. (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band XXVII) VII I + 188 S. Berlin/Gottingen/Heidelberg 1959. Springer- Verlag. Preis geb. 36,60 DM.

Die vorliegende Einfiihrung in die mathematische Logik ist eine Neuauflage des hekannten und vielfach bewahrten Buches und gibt gcnan wie die vorher- gehende Auflage in vier Kapiteln jeweils einen Ahrib des klassischen zweiwertigen Aussagenkalkuls, des Klassenkalkiils, des Pradikatenkalkiils der ersten Stufe sowje der Pradikatenkalkiile hoherer Stiife.

Gegeniiber der dritten Auflage sind eine Reihe von Paragraphen neu aufgenommen worden, und zwar iiber den intuitionistischen Aussagenkalkiil, die strenge Implikation, den Priidikatenkalkiil der ersten Stufe mit Identitat sowie iiber den bestimmten Ar- tikel. Jeder einzelne dieser Abschnitte ist eine wert- volle Erganzung des bisher dargebotenen Stoffes und tragt dazu bei, das Buch noch vielseitiger und inter-

essanter zu machen. AuBerdem sind jeweils am Ende der Kapitel I, I1 und I11 ahungsaufgaben fur den Le- ser neu aufgenommen worden.

Auch der ubrige Text weist.cine Reihe von mehr oder weniger umfangreichen Anderungen auf. Hier konnen nur einige derselben erwahnt werden. SO sind z. B. die Zeichen fur die in den Ausdriicken vorkom- menden Funktoren und Quantifikatoren geiindert; und die Bezeichnungen dadurch a n die heute in deutschen Veroffentlichungen iiberwiegend angewendete Sym- holik angeglichen worden. (Das konnte ohne jede Einschriinkung hegriiat werden, wenn auch fur die Negation das iibliche Zeichen - eingefiihrt worden ware.)

Auberdem ist schon beim Aussagenkalkiil und dem- zufolge auch bei allen anderen darauf aufbauenden Kalkiilen ein Axiomensystem vom Gentzenschen Typ eugrundegelegt worden. Das ha t den Vorteil, daB heim Aussagenkalkiil und beim PrLdikatenkalkul der ersten Stufe Verfahren angegeben werden konnen, mit deren Hilfe jeder allgemeingiiltige Ausdruck auch effektiv abgeleitet werden lrann. Demgegeniiber steht allerdings die Tatsache, dad die angegebenen Axio- mensysteme weniger an das iibliche inhaltliche Schlie- Ben angelehnt und demzufolge weniger ,,anschaulich“ sjnd.

Ferner wird in der vorliegenden Auflage mehr als friiher auf seniantische Begriffshildungen eingegangen. So wird z. B. der Aussagenkalkiil wie allgemein ublich auf Wertetabellen aufgebaut. Diese Tendenz ist sehr zu begriiben, denn dadurch ist ein bisher vorhandener (wohl geschichtlich bedingter) Mange1 zum Teil be- seitigt worden.

Die Neuauflage schliedt zweifellos eine vorhandene Liicke und kann allen Lesern, die Interesse fur mathe- matische Logik und Grundlagenfragen haben, nur empfohlen werden.

Dresden H. ROIILEDER

J.K. Weihnacht, P r i n z i p i e n z u r Lo s u n g m a t h e - m a t i s c h e r P r o b l e m e . VII I + 116 S. m. 45 Abb. .Braunschweig 1958. Verlag Friedr. Vieweg & Sohn. Preis kart. 8,80 DM.

Aus langjahriger Erfahrung schopfend zeigt der Autor im vorlicgenden Buch, wie der Schiiler an mathematische Probleme heranzugehen hat. Es wird in hreiter Schildcrung der Weg aufgezeigt, der bei der Losung von mathematischen Aufgaben heschritten werden soll, und es werden dem Leser eine Reihe von allgemeinen Methoden und Prinzipien klargelegt, die man sinngemad bei speziellen Problemen verwenden kann. Zur Illustration werden 45 Beispiele vor allem aus der Elementargeometrie vollstandig durchge- sprochen und analysiert.

Das Buch wird daher, wenn auch die mathema- tische Exaktheit manchmal etwas zu wunschen ubrig ladt, vor allem fur Mathematiklehrer, Studienreferen- ten und fur Mathematikstudenten der jungeren Se- mester interessant und aufschlubreich sein.

Dresden R. BEREIS

E l e k t r o n i s c h e D a t e n v c r a r b e i t u n g . (Fach- berichte iiber programmgesteuerte Maschinen und ihre Anwendung, Folge 1). Redaktion Dr. H. K. Schuff. I11 + 55 S. m. Abb. Braunschweig 1959. Friedr. Vieweg & Sohn. Preis brosch. 6,80 DM.

Die Fachberichte sollen periodisch erscheinen und wenden sich a n alle, die sich mit der Anwendung datenverarbeitender Maschinen befassen. Ihr Ziel ist eine laufende Unterrichtung dieses groden In- teressentenkreises iiber neue Ergebnisse und ProbIeme der Informationsverarbeitung. Speziell soll dabei die Betriebsautomatisierung berucksichtigt werden. Ne-