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Elektrostatik1. Ladungen Phänomenologie2. Eigenschaften von Ladungen3. Kräfte zwischen Ladungen, quantitativ4. Elektrisches Feld

i) Feldbegriff, Definitionenii) Darstellung von Felderniii) Feldberechnungen diskreter und kontinuierlicher Ladungsverteilungen

5. Der Satz von Gauss

Kräfte zwischen Ladungen: quantitative Bestimmung

Messmethode: Coulombsche Drehwaage

Coulomb Charles Augustin de, Physiker und Ingenieur,

*1736 Angouleme, +1806 Paris;Drehwinkel proportionalzu Kraft zwischen Ladungen

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Kräfte zwischen Ladungen Coulombgesetz

rq1

q2Kraft F (Drehwinkel, Auslenkung)Ladungsmenge qAbstand der Ladungen r

Beobachtungen•Kraft ist proportional zur Ladungsmenge

F ~ q1 bzw. F ~ q2•Kraft kann anziehend bzw. abstoßend sein

F ~ q1 q2•Abstandsabhängigkeit

F ~ 1/r2

Coulomb Gesetz

rCoulomb er

qqrr

rqqF r

rr

r

rr

⋅⋅

=⋅⋅

∝ 221

221

rCoulomb er

qqkrr

rqqkF r

rr

r

rr

⋅⋅

=⋅⋅

= 221

221

Exponent 2 experimentell überprüft

Ergebnis von Präzisionsmessungen: 2 +/- 1 x 10-16

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CGS System

erqqkF r

rr⋅⋅= 2

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1≡ Def.: k

[ ] 2-scmgdynF ==

1 esu = 1 electrostatic unit

Ladung über mechanische Kraftwirkung definiert1 esu übt in 1 cm Abstand die Kraft 1 dyn auf 1 esu aus

Elegant: Elektrodynamik-Rechnungen mit k = 1Kompliziert: Umrechnung in mechanische Größen

[ ] [ ] esusgcmdyncmFrq ≡=== −12/12/3

Cgs System bzw Gauss-systemBasiseinheiten Centimeter, Gramm und Sekunde

SI System

⇒ durch einen Drahtquerschnitt fließt pro s die Ladung 1 C = 1As

Mechanische Definition der Stromstärke: 1 A = 1 Ampere = diejenige Stromstärke in zwei unendlich langen parallelen geraden Leitern in 1 m Abstand, die pro m Leiterlänge eine Kraft von 2·10-7 N verursacht.

Messung: k = 8,9875·109 N m2 C-2 Definition: 04

1ε

kπ

=

Dielektrizitätskonstante ε0:= 8,8541878 10-12 A2 s4 kg m-3

Umrechnung: 1C = 3 109 esu (riesige Ladung)

[ ] AsCoulombCQ === erqqkF r

rr⋅⋅= 2

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SI System bzw Giorgi-systemBasiseinheiten Meter, Kilogramm, Sekunde (MKS), und Ampere

ε0 ist durch Festlegung der Lichtgeschwindigkeit (c0 = 299792458 m s-1) und magnetische Feldkonstante (µ0 = 4π 10-7 Vs/Am) exakt berechenbar

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Vergleich Coulomb - Gravitationskraft

Zusammenhalt Makrokosmos

Zusammenhalt Mikrokosmos

Bedeutung

Kein Masspunkt (nur idealisiert)

Ladung punktförmig (Elektron)

Ausdehnung

Masse nicht, aber EnergieLadung bleibt erhaltenErhaltung

Nicht gequantelt (aber Masse von

Elementarteilchen gleich)

Nur ganzzahlige Vielfache der Elementarladung

(außer Quarks)

Quantelung

1/r21/r2Abstandsabhängigkeit

Klein (10-37)Groß (1)Stärke

Immer nur anziehendAnziehend /abstoßend je nach Ladungen

Kraftrichtung

Schwere Masse (nur ein Sorte)

Ladungen positiv und negativ

Ursache

GravitationCoulomb

Was sind die Kräfte die die Welt im Inneren zusammenhalten?

Elektron Proton im Wasserstoffatom

FC = 9 10-8N = 1040 FG

Anziehende Wirkung durch Coulombkraft

Zwei Protonen im Kern

FC = - 26 N abstoßendFG = 2 10-35 N anziehend

Abstoßende Wirkung überwiegt, warum fliegt Kern dann nicht auseinander?

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Fundamentale Wechselwirkungen

10-14≤ 10-17Wechselwirkung beim β-Zerfallschwache Ladung

„Schwache“ Kraft

1≤ 10-15zwischen den Kernbausteinenstarke Ladung (Farbladung)

„Starke“ Kraft

10-2∞zwischen elektrischen Ladungen(Anziehend und Abstoßend)

Coulombkraft

10-22∞zwischen MassenGravitationsladung(Anziehend)

Gravitationskraft

Relative Stärke

Reichweite (m)WechselwirkungKraft

Elektrisches FeldFrage: Wie groß ist die Kraft auf eine Testladung q0, wennsie in das Ladungssystem q1,q2, und q3 gebracht wird?

q1

q2

q0

q3

F1

F2F3

Fges

Es gilt das Superpositionsprinzip: Resultierende Kraft ist vektorielle Summe der Einzelkräfte, kann für jede Position gefunden werden.

Frage: Kann ich Größe definieren, die Kraftwirkung für den ganzen Raum und beliebige Testladungen q0 beschreibt?

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Feldbegriff

Temperaturfeld:Jedem Ort ist eine TemperaturzugeordnetTemperatur = SkalarSkalarfeld

Windverteilung

Wind: Stärke und Richtung zeitlich und örtlich veränderlich: zeitanhängiges Vektorfeld

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Elektrische FeldstärkeAn jedem Raumpunkt wird Kraft F auf elektrische Ladung q ausgeübt: EqF

rr=

qF:Er

r=

Die Stärke der elektrischen Kraft pro Ladungsmenge nennen wir:

elektrische Feldstärke E

E elektrisches Feld beschreibt Zustand (lokale Kraftwirkung auf Probeladung) des Raumes der durch Ladungen erzeugt wird.

Mit Hilfe von Probeladung Bestimmung von E an allen Orten E ist ein ortsabhängiger Vektor (Vektorfeld)Dimension (Einheit) von E ist V/m (Volt/Meter)

Wie kann man Feldstärkenfeld darstellen?

Richtungsfeld

Für ausgewählte Raumpunkte wird Richtung und Betrag(Länge) der Feldstärke angegeben

(Kraft auf eine positive Probeladung)

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Feldstärkenfeld

Feldlinien: Richtung der Coulombkraft auf eine positive Ladungist gleich der Tangente an die Feldlinie

Elektrische Feldlinien beginnen immer bei einerpositiver Ladung und enden bei einer negativen LadungEnde bzw. Anfang kann bei Monopolen auch im Unendlichen seinFeldlinien überkreuzen sich nicht und haben keine Wirbel(geschlossene Feldlinien) falls Ladungen sich nicht bewegenDichte der Feldlinien ist Maß für die Stärke des FeldesFeldlinien in Nähe eines Monopols sind kugelsymmetrisch

Feldlinien

Feldlinien: Richtung (Tangente) und Betrag (Liniendichte) der Feldstärke

( )tzyxE ,,,r

( )tzyxE ,,,r

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Elektrisches Feld einer Punktladung

qProbeladung

QQuellladung

Er

Fr

( )1 EqF rr

⋅=Aus Definition der Feldstärke

Kraft auf Probeladung q hervorgerufen durch Quellladung Q

( )24

12

0

q erQ

εF r ⋅⋅⋅=

rr

π

Coulombkraft

erQ

εE r

rr⋅⋅= 2

041π

Aus (1) und (2) folgt für die Feldstärke der Quellladung Q:

Feld einer Punktladung

-Q

Orientierung Feldlinien: Kraft auf positive Probeladung

+ Q

Frage: Im Ursprung r → 0 wird das Feld E → ∞, ist das physikalisch sinnvoll?

Klassischen Elektromagnetismus: es gibt nur kontinuierliche Ladungsverteilung, wenn r → 0 auch Q → 0

erQ

εE r

rr⋅⋅= 2

041π

Atomarer Elektromagnetismus: es gibt punktförmige Ladungsver-teilungen, richtige Beschreibung liefert Quantenelektrodynamik (QED)

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Elektrisches Feld mehrer Punktladungen

Superpositionsprinzip: ( ) ( ) QE,Q,QE n

iin ∑

=

=1

1

rK

r

( ) ( ) ( ) ( )22110

22

0

11

0

QEQEqQF

qQF

qF

E ges rrrrr

r+=+==

Elektrische DipoleDipol: Zwei gleich große Ladungen q mit entgegengesetztemVorzeichen und kleinem Abstand d

Elektrische Eigenschaften eines Dipol lassen sich vollständig mit dem Dipolmoment p beschreiben: Betrag p = q dRichtung von negativer zu positiver Ladung

( ) 30

24

1zpzErr

επ=

Feldstärke eines Dipols in Richtung der Dipolachse zE(z)= E(-q, -d/2) + E(q, d/2)

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DipoleWozu führt man das Dipolmoment, das Produkt aus Ladung undAbstand, zur Beschreibung eines Dipols ein?

1. Das Feld in einer großen Entfernung hängt nur mehr vom Dipolmoment ab, es kann nicht mehr festgestellt werden, ob Abstand oder Ladung groß oder klein sind

2. Viel Moleküle, Atome verhalten sich wie ein Dipol, z.B. Wasser

Warum ist Wasser ein Dipol?

Anzahl der Elektronen = Protonen: neutral

Aber Elektronen bevorzugt bei Sauerstoff,Ladungsschwerpunkt verschobenSauerstoff negativWasserstoff positivDipolmoment

Kontinuierliche Ladungsverteilungen

Elektrisches Feld beliebiger Ladungsverteilung mit Gesamtladung Q:Ladung ist quantisiertEs gilt das Superpositionsprinzip

Ladungen dicht beieinander:Näherung Gesamtladung kontinuierlich verteiltVolumselement ∆V enthält viele Ladungen ∆Q, aber so klein, dass ∆V→ dV und ∆Q→ dq

( )dVdqr

dVV

dqQ

Volumen

Volumen

=

=

=

∫

∫

rρ

Gesamtladung des Körpers

Gesamtvolumen

Raumladundsdichte (ortsabhängig)

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Feldstärke einer kontinuierlichen Ladungsverteilung

Rrrr

−

Rr

x

z

y

0 ( ) RdRρdQdV

3

ent Volumselemr

=

rr

( )rEd rr

Volumen Vmit Ladung Q

Wie groß ist die elektrische Feldstärke E im Punkt r, wenn im Volumen V die Ladung Q homogen verteilt ist?

Volumselement dV an Stelle R mit Ladung dQ erzeugt in Punktr Feld dE

( )

( ) dQRrRrrEd

RrRree

RrdQrEd rRrR

30

20

41

41

rr

rrrr

rr

rrrr

rrrr

−

−=

−

−=

−=

επ

επ

( ) ( )∫−

−=

Volumen

dVRRrRrrE

rrr

rrrr

ρεπ 3

041

( )rE rr stärkeGesamtfeld

Flächenladungen

( )mentFlächenele

LadungdAdQ

==r ungsdichteFlächenlad rσ

( )dArQFläche∫=

rσ ngGesamtladu

Ladungen auf einer dünnen Schicht auf der Oberfläche verteilt:Beschreibung mit Flächenladungsdichte

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FlächenladungenFeld einer homogen geladenen Scheibe σ = konst. mit Radius R in Punkt P auf Scheibenachse im Abstand x

x

R

x

yz

Ladungen auf Kreisring mitmit Radius r und Dicke dr ergeben zusammengefasst in P ein Feld in x-Richtung

r

P

dr( ) ( )

( ) 2322

0

,4

1,,rx

xdrrrdQdrrrxEd+

+=+

επr

dEx

Intgegration über alle Kreisringe von 0 bis R

( ) xeRx

xxE rr⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−=

220

121 σε

( ) xx exQe

xRxE rrr

20

2

2

0 41

41

επσ

ε==

( ) xexE rrσ

ε 021

=0 für 00für0

<<>>

xExE

x

x

Sonderfälle

Abstand x>> R

Scheibe R→∞

Feldstärke unabhängig vom Ort: Feld ist homogen

Linienladung

( )entLinienelem

LadungddQ

==l

rr ngsdichteLinienladu λ

( ) lrdrQ

Linie∫= λ ngGesamtladu

Modell für dünne leitende Drähte,leitende Polymere als „eindimensionale“ Leiter

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Zusammenfassung Elektrisches Feld

• Elektrisches Feld beschreibt Zustand (lokale Kraftwirkung) des Raumes der durch Ladungen erzeugt wird.

• Das elektrische Feld in einem Raumpunkt ist definiert E( r ) = F(r) /q• Elektrische Feldlinie sind graphische Mittel zur Veranschaulichung

des Feldverlaufs (Richtung = Tangente an Feldlinie, Stärke proportional zu Liniendichte)

• Feld einer Punktladung ist radial nach außen gerichtet E(r) ∝ Q/r2

• Feld eines Dipols (zwei Ladungen Q mit entgengesetztemVorzeichen im Abstand d) mit Dipolmoment p (p = q d): E(r) ∝ p/r3

• Feld einer kontinuierlichen Ladungsverteilung, durch Aufintegrieren der von Teilladungen erzeugten differenziellen Feldbeiträge (Integration oft schwierig)