Danksagung - duepublico.uni-duisburg-essen.de · F rau Doris Kaiser und F rau P etra H otger. Meinem F reund J orn Galonsk a dank eic hf ur seinen h umorv ollen Beistand. Meine El-tern

Zur Signalverarbeitung mit

Statistiken h�oherer Ordnung

Vom Fachbereich Elektrotechnik der

Gerhard-Mercator-Universit�at

- Gesamthochschule -

Duisburg

zur Erlangung der Lehrbef�ahigung im Lehrgebiet

Signaltheorie und Signalverarbeitung

genehmigte Habilitationsschrift

von

Dr.-Ing. Thomas Kaiser

aus

Gelsenkirchen

Danksagung

Die vorliegende Arbeit entstand w�ahrend meiner T�atigkeit als wissenschaftlicher Assi-

stent im Fachgebiet Nachrichtentechnik des Fachbereichs Eletrotechnik an der Gerhard-

Mercator-Universit�at { Gesamthochschule Duisburg und w�ahrend der Zeit als Stipen-

diat des Deutschen Akademischen Auslandsdienstes an der University of Southern Ca-

lifornia, Los Angeles, USA.

Mein herzlicher Dank gilt dem Leiter des Fachgebiets Nachrichtentechnik, Herrn Prof.

Dr.-Ing. H. Luck. Seinen wertvollen Ratschl�agen konnte ich immer bedenkenlos ver-

trauen. Er gew�ahrte mir uneingeschr�ankte wissenschaftliche Entfaltungsm�oglichkeiten

und jederzeit Unterst�utzung in allen Belangen. Seine Fairness, sein Humor und seine

Geradlinigkeit waren und werden mir immer ein Vorbild sein.

Herrn Prof. Dr.-Ing. K. D. Kammeyer danke ich nicht nur f�ur die Begutachtung meiner

Habilitationsschrift, sondern auch f�ur sehr vielf�altige Anregungen zur Anwendung der

Statistischen Signaltheorie in der Nachrichten�ubertragung. Er hat ma�geblich dazu

beigetragen, da� dieses Gebiet meinen Forschungsschwerpunkt bilden wird.

Deep gratitude goes also to Prof. Ph.D. Jerry M. Mendel for his inspiration and support

during my unforgettable stay at the University of Southern California. The fruitful dis-

cussions, the stimulating ideas and the painstaking reviews of our papers are gratefully

appreciated.

Ebenso danke ich den Professoren und den habilitierten Mitgliedern des Fachbereichs

Elektrotechnik f�ur ihr wohlwollendes Entgegenkommen.

Ich danke auch allen Kollegen des Fachgebiets Nachrichtentechnik, die durch vielf�alti-

ge Mithilfe zum Gelingen dieser Schrift beigetragen haben. Dieser Dank gilt besonders

Herrn Dipl.-Ing. Christian M�uller f�ur seine geduldige Bereitschaft, jedes Rechnerpro-

blem zu l�osen und die transatlantische Verbindung immer aufrechtzuerhalten. Mein

Dank gilt auch allen studentischen Hilfskr�aften und den zahlreichen Studien- und Di-

plomarbeitern. Ganz besonders unterst�utzt haben mich die Herren Dipl.-Ing. Ziad El-

Batal und cand.-Ing. Youssef Dhibi.

F�ur die unz�ahligen Hinweise bei der Durchsicht der Schrift bedanke ich mich bei Herrn

Dr.-Ing. Dirk Franken, Frau Monika Zimmermann, Herrn Dipl.-Ing. Norbert Waletzeck,

Frau Doris Kaiser und Frau Petra H�otger.

Meinem Freund J�orn Galonska danke ich f�ur seinen humorvollen Beistand. Meine El-

tern haben mich stets gef�ordert und in jeder Hinsicht tatkr�aftig unterst�utzt. Hierf�ur

bin ich ihnen sehr dankbar. Ganz besonders bedanke ich mich bei meiner Petra, die

mir in einer anstrengenden Zeit immer mit Rat und Tat beiseite gestanden hat. Sie

und Sohn Hendrik mit seinem fr�ohlichen Wesen haben mich stets aufgemuntert und

mir viel Geduld und Verst�andnis f�ur die uns entgangenen gemeinsamen Stunden ent-

gegengebracht.

Duisburg, im M�arz 2000

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 1

Verzeichnis der Formelzeichen 5

1 Eine Einf�uhrung in die Statistiken h�oherer Ordnung 15

1.1 Grundlegende De�nitionen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16

1.2 Beziehungen zwischen Verbundmomenten und Verbundkumulanten : : 18

1.3 Eigenschaften von Verbundmomenten und Verbundkumulanten : : : : : 20

1.4 Verbundkumulanten oder Verbundmomente ? : : : : : : : : : : : : : : 22

1.5 Station�are Zufallsprozesse : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23

1.6 Verbundkumulanten und Verbundmomente bei station�aren Zufallspro-

zessen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24

1.7 Sch�atzung von Erwartungswerten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27

1.8 Kumulanten- und Momentespektren : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29

1.9 Sch�atzung von Kumulanten- und Momentespektren : : : : : : : : : : : 31

1.10 Verbundkumulanten und Verbundmomente bei linearen zeitinvarianten

Systemen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32

1.11 Kapitelzusammenfassung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 35

2 Eine Diskussion der Statistiken h�oherer Ordnung 37

2.1 Ein motivierendes Beispiel : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38

2.2 E�ekte endlicher Datenl�angen in der Sensorgruppensignalverarbeitung : 45

2.2.1 Das zugrundeliegende Signalmodell : : : : : : : : : : : : : : : : 48

2.2.2 Verbundkumulanten in der Sensorgruppensignalverarbeitung : : 50

I

II Inhaltsverzeichnis

2.2.3 Sch�atzer des Steuervektors bei einer Signalquelle : : : : : : : : : 51

2.2.4 Erwartungswert der Steuervektorsch�atzer : : : : : : : : : : : : : 53

2.2.5 Kovarianz der Steuervektorsch�atzer : : : : : : : : : : : : : : : : 56

2.2.6 Auswertung der Varianzberechnungen : : : : : : : : : : : : : : : 58

2.2.7 Abschlie�ende Betrachtungen und Ausblick : : : : : : : : : : : : 75

2.3 Allgemeing�ultige Aspekte : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 78

2.3.1 Erhaltung der Phaseninformation : : : : : : : : : : : : : : : : : 79

2.3.2 Additives Gauss-verteiltes Rauschen : : : : : : : : : : : : : : : 80

2.4 Zur Auswahl der Kumulanten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 82

2.4.1 Grundlegende Betrachtungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 82

2.4.2 Asymptotisch optimale Gewichtung : : : : : : : : : : : : : : : : 83

2.4.3 Ein Vergleich parameterunabh�angiger Sch�atzer : : : : : : : : : : 85


3 Lineare Signalmodellierung mit Statistiken h�oherer Ordnung 97

3.1 AR(pi,pa)-Modelle : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 100

3.2 MA(q)-Modelle : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 105

3.2.1 Eine erste Methode zur MA(q)-Parametersch�atzung : : : : : : : 107

3.2.2 MA(q)-Parametersch�atzung mit einer Diagonalen der Autoku-

mulantenfolge : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 109

3.2.3 MA(q)-Parametersch�atzung mit modulierten Autokumulanten-

folgen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 111

3.2.4 Zur Wahl der Modulationskreisfrequenzen : : : : : : : : : : : : 118

3.2.5 Zur Eindeutigkeit der Parametersch�atzer : : : : : : : : : : : : : 120

3.2.6 Verbesserung des �N;M -Sch�atzwertes : : : : : : : : : : : : : : : : 122

3.2.7 Ein Eigenvektoransatz zur MA-Parametersch�atzung : : : : : : : 125

3.2.8 Rechnergest�utzte Simulationen bei asymmetrisch verteilten Si-

gnalen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 129

3.2.9 Rechnergest�utzte Simulationen bei symmetrisch verteilten Signalen135

3.2.10 Ausblick : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 137

Inhaltsverzeichnis III

3.3 ARMA(pi,pa,q)-Modelle : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 140

3.3.1 Separationsansatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 140

3.3.2 Allpa�(p)-Modelle : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 141

3.3.3 Rechnergest�utzte Simulationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 149

3.4 Erweiterung auf zeitvariante Modelle : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 153

3.4.1 Zeitrekursive MA(q)-Parametersch�atzung : : : : : : : : : : : : : 155

3.4.2 Rechnergest�utzte Simulationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 163


4 Zusammenfassung 169

Literaturverzeichnis 171

Anhang 191

A Beweise zu Verbundmomenten und Verbundkumulanten : : : : : : : : : 191

B Autokumulantenfolge bei linearen zeitinvarianten Systemen : : : : : : : 196

C Moment N -ter Ordnung einer Gauss-verteilten Zufallsvariablen : : : : 196

D Kovarianz eines Steuervektorsch�atzers : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 197

E Varianz von Kumulantensch�atzern im Allpa�fall : : : : : : : : : : : : : 199

F Bedingung f�ur einen rekursiven MA-Parametersch�atzer : : : : : : : : : 205

IV Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Die L�osung zahlreicher technischer Aufgabenstellungen erfordert die Kenntnis verschie-

denster physikalischer Gr�o�en. Zu diesem Zweck erfassen Sensoren die physikalische

Realit�at und liefern Signale, aus denen die gesuchten Gr�o�en extrahiert werden sol-

len. Dies kann nur dann erfolgreich sein, wenn die wesentlichen Zusammenh�ange der

physikalischen Gegebenheiten hinreichend genau verstanden sind. Aus diesem Grund

besteht der in der Wissenschaft �ubliche fundamentale L�osungsansatz in der Ableitung

eines mathematischen Modells f�ur die gemessenen Signale, welches kurz als Signal-

modell bezeichnet wird. Dieses Signalmodell beinhaltet die technisch relevanten Gr�o�en

als Signalparameter, so da� durch deren Bestimmung die geforderte Aufgabenstellung

gel�ost wird. Dabei ist freilich entscheidend, wie genau das Signalmodell die physikali-

sche Realit�at nachbildet. Weist beispielsweise das Signal neben einem eventuellen de-

terministischen Anteil auch einen nicht vernachl�assigbaren, eher zuf�alligen Charakter

auf, so wird eine erfolgreiche Signalmodellierung nur unter Einbeziehung statistischer

Methoden m�oglich sein. Es ist daher naheliegend, den gemessenen stochastischen Si-

gnalanteil x(t) als eine Realisierung eines Zufallsprozesses X(t) aufzufassen und dann

eine m�oglichst umfassende mathematische Beschreibung dieses zufallsbehafteten Si-

gnalanteils zu �nden. Zu dieser Thematik liefert die vorliegende Schrift einen Beitrag.

Um nun besser verstehen zu k�onnen, was mit einer m�oglichst umfassenden mathe-

matischen Beschreibung gemeint ist, wird die multivariate Verteilungsfunktion

FX(t1);:::;X(tK)(x1; :::; xK) = PfX(t1) � x1; :::;X(tK) � xKg

eingef�uhrt, wobei PfX(t) � xg die Wahrscheinlichkeit f�ur das EreignisX(t) � x ist. Da

sowohl die Zeitpunkte ti 2 IR, i = 1(1)K als auch die Anzahl K 2 IN+ der betrachteten

Zufallsvariablen beliebig zu w�ahlen sind, beschreibt die multivariate Verteilungsfunk-

tion den Zufallsproze� X(t) vollst�andig (z. B. [5], S. 92). In der technischen Anwendung

ist die multivariate Verteilungsfunktion jedoch bis auf wenige Ausnahmen weder be-

kannt, noch kann sie aus den gemessenen Signalen hinreichend genau ermittelt werden.

1

2 Einleitung

Als wesentlich handhabbarer haben sich daher die Verbundmomente N-ter Ordnung

E

(KYk=1

Xnk (tk)

); N =

KXk=1

nk; nk 2 IN+; N 2 IN+

von X(t) erwiesen. Dabei wird aber die vollst�andige Beschreibung zwangsl�au�g aufge-

geben, da { selbst wenn s�amtlicheMomente N-ter Ordnung

E

nXN

o; N 2 IN+

einer Zufallsvariablen X bekannt sind { die Verteilungsfunktion dieser Zufallsvariablen

im allgemeinen nicht eindeutig aus diesen Momenten bestimmbar ist ([12], S. 227).

Hingegen l�a�t sich intuitiv vermuten, da� mit steigender Zahl bekannter Momente die

statistische Beschreibung zunehmend genauer wird.

In den ersten technischen Anwendungen der statistischen Signaltheorie wurden je-

doch lediglich die Verbundmomente erster und zweiter Ordnung zur Probleml�osung

hinzugezogen ([125], [196], siehe auch Literaturhinweise in diesen Artikeln). Dies lag

zum einen in der durch den zentralen Grenzwertsatz ([5], S. 53, [17], S. 99) nicht

selten begr�undbaren Annahme eines nun Gauss-verteilten Zufallsprozesses, dessen

Dichtefunktion1

fX(t)(x) =1p2��2

e�(x� �)2

2�2 ; � 2 IR; � 2 IR+

f�ur ein festes t durch das Moment erster Ordnung EfX(t)g = � und das zentrierte

Moment zweiter Ordnung Ef(X(t)� �)2g = �2 vollst�andig festgelegt ist; zum anderen

sind statistische Verfahren nur bei Einsatz zeitdiskreter Systeme e�zient realisierbar.

Folglich behinderte nicht zuletzt der unter Umst�anden betr�achtliche numerische Auf-

wand den Einsatz von Momenten mit h�oherer Ordnung als zwei.

Die Wurzeln der Momente h�oherer Ordnung, die auch kurz als h�ohere Momente be-

zeichnet werden und allgemein zu dem Gebiet der Statistiken h�oherer Ordnung z�ahlen,

reichen zur�uck bis zu Kolmogoroff's Arbeiten in den vierziger Jahren. Ungekl�art

ist noch, ob auch schon Gauss Momente h�oherer Ordnung verwendete (siehe [252],

1Neben der elementaren Bedeutung, die der Gauss-Funktion im Rahmen der statistischen Si-

gnaltheorie zukommt, hat sie auch in der Nachrichtentechnik einen besonderen Stellenwert, da ih-

re Fourier-Transformierte wiederum eine Gauss-Funktion ist und sie somit als einzige Funktion

die Unsch�arfebeziehung der Nachrichtentechnik mit Gleichheit erf�ullt (siehe [13], S. 84). Aus die-

sem Grund wird die Gauss-Funktion auch als optimale Fensterfunktion bei der Kurzzeit-Fourier-

Transformation betrachtet (siehe [40], S. 335).

Einleitung 3

S. 65). In den sechziger Jahren folgten weitere Pionierarbeiten von Statistikern aus

Nordamerika und Osteuropa (z. B. [49], [158], [185]), ehe der zu Beginn der achtzi-

ger Jahre einsetzende, rasant ansteigende Integrationsfortschritt mikroelektronischer

Schaltungen auch den erfolgreichen Einzug der Statistiken h�oherer Ordnung in die In-

genieurwissenschaften erm�oglichte. Folglich konnten immer realistischere Signalmodelle

entwickelt werden. Das deutlich gestiegene Interesse an Statistiken h�oherer Ordnung im

Verlauf der letzten f�unfzehn Jahre l�a�t sich am einfachsten an der Zahl der Ver�o�entli-

chungen auf diesem Gebiet belegen. W�ahrend beispielsweise in dem Zeitraum vor 1981

erst 134 Ver�o�entlichungen zu verzeichnen waren [253], wies ein 1997 erschienenes Li-

teraturverzeichnis schon 1759 Eintragungen auf [252]. Im Gegensatz zu der sehr umfas-

send ausgearbeiteten Theorie der zweiten Momente und der damit h�au�g verbundenen

Gauss-Verteilungsannahme besteht auf dem Gebiet der Statistiken h�oherer Ordnung

noch eine Vielzahl o�ener theoretischer Fragestellungen, und ihr Einsatz k�onnte in

zahlreichen Anwendungsgebieten zu verbesserten, mathematisch exakten L�osungsme-

thoden f�uhren. Hier sind nur einige wenige Gebiete genannt: Seismische Entfaltung

([62], [86], [100], [143], [145], [150]), Blinde Kanalentzerrung ([57], [58], [59], [60], [72],

[73], [87], [124], [157], [160], [178], [188], [191], [204], [236], [237], [238]), Sensorgrup-

pensignalverarbeitung ([88], [113], [135], [136], [137], [154], [192], [230]) oder das sich

neu entwickelnde Forschungsgebiet der sogenannten blinden Demodulatoren [203]. Bei

genauerer Betrachtung dieser Arbeiten l�a�t sich zusammenfassend feststellen, da� Sta-

tistiken h�oherer Ordnung verwendende Verfahren vorzugsweise zur L�osung sogenann-

ter Nicht-Probleme eingesetzt werden, die beispielsweise bei nicht-Gauss-verteilten

Zufallsprozessen, nicht-minimalphasigen, nicht-kausalen oder nicht-linearen Systemen,

oder auch bei nicht-station�aren Signalen auftreten.

Nachdem nun der Begri� des Signalmodells pr�azisiert wurde und ein kurzer, zuwei-

len historischer �Uberblick �uber das Gebiet der Statistiken h�oherer Ordnung gegeben

worden ist, kann jetzt die Zielsetzung, der Inhalt und der Aufbau der vorliegenden

Schrift erl�autert werden.

Die Zielsetzung dieser Schrift ist es, den Einsatz von Statistiken h�oherer Ordnung

im Hinblick auf die Verarbeitung von zufallsbehafteten Signalen zu diskutieren. Dieses

soll sowohl unter Ber�ucksichtigung der Anwendbarkeit als auch bez�uglich allgemeiner

theoretischer Fragestellungen erfolgen, wobei die vom Autor dieser Schrift stammenden

Beitr�age stets im Vordergrund stehen werden. Ausgehend von der derzeitigen Zahl der

Ver�o�entlichungen ist sicherlich verst�andlich, da� hier eine umfassende Darstellung

nicht m�oglich ist und daher folgende Schwerpunkte gesetzt werden: Zum einen wird

das F�ur und Wider von Statistiken h�oherer Ordnung anhand einiger praxisrelevanter

Fallbeispiele diskutiert. Zum anderen wird gezeigt, wie Statistiken h�oherer Ordnung in

4 Einleitung

den f�ur die technische Anwendung besonders bedeutsamen linearen zeitinvarianten oder

zeitvarianten Signalmodellen angewendet werden k�onnen. Hingegen werden nichtlineare

oder mehrkanalige Signalmodelle entweder nur beil�au�g besprochen - oder es wird auf

die weiterf�uhrende Literatur verwiesen. Gem�a� dieser Betrachtungen ergibt sich der

folgende grunds�atzliche Aufbau dieser Schrift.

Nach einer Einf�uhrung in die Statistiken h�oherer Ordnung werden im zweiten Ka-

pitel die Vor- und Nachteile derselben ausf�uhrlich diskutiert. Beispielsweise wird den

bekannten Vorteilen der theoretischen Unemp�ndlichkeit gegen�uber additivemGauss-

verteilten Rauschen oder der Erhaltung der Phaseninformation der h�au�g ge�au�erte

Nachteil einer ungenaueren Parametersch�atzung anhand von praxisrelevanten Signal-

modellen gegen�ubergestellt. Schlie�lich wird in diesem Kapitel auch auf die Fragestel-

lung eingegangen, welche und auch wie Statistiken h�oherer Ordnung zur Signalparame-

tersch�atzung m�oglichst geeignet einzusetzen sind. Im dritten und letzten Kapitel wird

die Signalmodellierung mit linearen zeitinvarianten Systemen eingehend untersucht,

wobei abschlie�end eine Parametersch�atzmethode auf zeitvariante Modelle durch eine

zeitrekursive Formulierung erweitert wird.

Verzeichnis der Formelzeichen und

Vereinbarungen zu deren Schreibweise

Da die Signaltheorie auf zwei verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen { der Sy-

stemtheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung { fu�t, entsteht unvermeidbar die

Problematik einer einheitlichen, beiden Disziplinen gerecht werdenden Schreibweise

von Formelzeichen. Insofern stellen die im folgenden angef�uhrten Vereinbarungen einen

Kompromi� dar, der sich u.a. aus den entsprechenden DIN-Normen (siehe [249], [250])

ergeben hat, wobei im Kon iktfall die der Systemtheorie n�aherliegende Schreibweise

vorgezogen wurde. Beispielsweise werden die Buchstaben ! als Kreisfrequenz und als

normierte Kreisfrequenz verwendet und nicht wie in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

�ublich als Ereignis und Menge der Ereignisse.

Vereinbarungen zur Schreibweise von Formelzeichen

� Zur Kennzeichung von Zufallsvariablen und die den Frequenzbereich betre�en-

den Gr�o�en werden in der Regel Gro�buchstaben verwendet. Die Realisierung

einer Zufallsvariablen und die den Zeitbereich betre�enden Gr�o�en werden in

Kleinbuchstaben geschrieben. Ferner werden Vektoren v klein und fettgedruckt

und MatrizenM gro� und fettgedruckt dargestellt. Die durch diese Vereinbarung

denkbaren Widerspr�uche, wie beispielsweise ein gro� geschriebener Zufallsvektor,

sollten sich an gegebener Stelle aus dem Zusammenhang kl�aren lassen.

� Ein Sch�atzer �X f�ur einen die Zufallsvariable X beschreibenden, unbekannten

wahren Parameterwert � wird durch ein Dach gekennzeichnet und ist eine Zu-

fallsvariable. Der Sch�atzwert �x, der auch als Sch�atzung bezeichnet wird und keine

Zufallsvariable ist, wird vereinbarungsgem�a� klein geschrieben. Dies wird un-

terst�utzend durch die Kleinschreibung des Index x betont.

� Eine hochgestellte, in Klammern eingeschlossene Zahl �(3) dient entweder zur

Durchnumerierung oder zur Kennzeichung der Ordnung der verwendeten statis-

tischen Gr�o�en.

5

6 Verzeichnis der Formelzeichen und Vereinbarungen zu deren Schreibweise

Im Anschlu� an die Vereinbarungen zur Schreibweise von Formelzeichen enth�alt das

nachfolgende Verzeichnis die in dieser Schrift verwendeten Formelzeichen.

Einige Formelzeichen besitzen verschiedene in der Literatur verwendete Namen wie

die Momentefolge zweiter Ordnung, die auch kurz zweite Momentefolge oder Autoko-

varianzfolge genannt wird. In dieser Au istung ist die der DIN-Norm entsprechende

Bezeichung oder, f�ur nicht genormte Begri�e, die nach der Erfahrung des Autors �ubli-

che Bezeichnung angegeben. Weitere Bezeichnungen werden bei der Einf�uhrung des

jeweiligen Formelzeichens genannt.

Lateinische Formelzeichen

al AR- oder Allpa�parameter

am;j(�; #) Elemente der Steuermatrix A(�; #), m = 1(1)M , j =

1(1)J

aAR Vektor, bestehend aus AR-Parametern

a(�; #) Steuervektor der Dimension M � 1

a(N)p;q;l(�; #) Steuervektor basierend auf Kumulanten N -ter Ordnung

a(N;sign)p;q;l (�; #) Auf den Betrag normierter Steuervektor basierend auf Ku-

mulanten N -ter Ordnung

a(N;w;sign)n (�; #) Auf den Betrag normierter gewichteter Steuervektor ba-

sierend auf Kumulanten N -ter Ordnung

A(e j) Fourier-Transformierte der AR-Parameter al, l =

�pa(1)piA(�; #) Steuermatrix der Dimension M � J

Ak Zeitabh�angige Hilfsmatrix

b� MA-Parameter

b Vektor, bestehend aus MA-Parametern

b(c) Vektor, bestehend aus Kumulanten

B(e j) Fourier-Transformierte der MA-Parameter b�, � =

0(1)q

Bk Zeitabh�angige Hilfsmatrix

c Nichtzentralit�atsparameter einer nichtzentral Chi-Qua-

drat-verteilten Zufallsvariablen

c1, c2 Konstanten

cX;N(�1; :::; �N�1) Autokumulantenfunktion N -ter Ordnung des station�aren

zeitkontinuierlichen Zufallsprozesses X(t)

Verzeichnis der Formelzeichen und Vereinbarungen zu deren Schreibweise 7

cX;N(�1; :::; �N�1) Autokumulantenfolge N -ter Ordnung des station�aren

zeitdiskreten Zufallsprozesses X(k)

c�1;:::;�N�1X;N (�1; :::; �N�1) Modulierte Autokumulantenfolge N -ter Ordnung des sta-

tion�aren zeitdiskreten Zufallsprozesses X(k)

d�X;N (�) Summierte modulierte Autokumulantenfolge N -ter Ord-

nung des station�aren zeitdiskreten Zufallsprozesses X(k)

cX;NX ;Y;NY (�1; :::; �N�1) KreuzkumulantenfunktionN -ter Ordnung der station�aren

zeitkontinuierlichen Zufallsprozesse X(t) und Y (t), N =

NX +NY

cX;NX ;Y;NY (�1; :::; �N�1) KreuzkumulantenfunktionN -ter Ordnung der station�aren

zeitdiskreten Zufallsprozesse X(k) und Y (k), N = NX +

NY

CX;N(1; :::;N�1) Autokumulantenspektrum N -ter Ordnung des stati-

on�aren zeitdiskreten Zufallsprozesses X(k)

CX;NX;Y;NY (1; :::;N�1) Kreuzkumulantenspektrum N -ter Ordnung der stati-

on�aren zeitdiskreten Zufallsprozesse X(k) und Y (k), N =

NX +NY

c Vektor, bestehend aus Kumulanten

ck Zeitabh�angiger Hilfsvektor

C(c) Matrix, bestehend aus Kumulanten

d Maximaler Sensorabstand

D Hilfsmatrix

Dk Zeitabh�angige Hilfsmatrix

E

nXN

oMoment N -ter Ordnung der Zufallsvariablen X

E

(KYk=1

Xnkk

)Verbundmoment N -ter Ordnung der Zufallsvariablen Xk,

k = 1(1)K, mit N =KXk=1

nk

Ek Zeitabh�angige Hilfsmatrix

f Frequenz

f0 Tr�agerfrequenz

f(�1; :::; �N�1) Fensterfolge

fX(x) Dichtefunktion der Zufallsvariablen X

fX1;:::;XN(x1; :::; xN) Multivariate Dichtefunktion von X1; :::;XN

FX1;:::;XK(x1; :::; xK) Multivariate Verteilungsfunktion von X1; :::;XN

F k Zeitabh�angige Hilfsmatrix

gm(�j; #j) Antwort des m-ten Sensors auf einen unter den Winkeln

�j, #j einfallenden Quellensignalimpuls


h(k) Impulsantwort eines zeitdiskreten Systems

H(e j) �Ubertragungsfunktion eines zeitdiskreten Systems

H(z) Systemfunktionen eines zeitdiskreten Systems

I Menge der Zahlen f1; 2; :::;KgIm Kombination ohne Wiederholung

I Einheitsmatrix geeigneter Dimension

j Imagin�are Einheit

J Anzahl der Signalquellen

JCR(�;K) Cramer-Rao-Schranke f�ur eine endliche Datenanzahl K

J1CR(�) Asymptotische Cramer-Rao-Schranke

k Diskrete Zeit

K Positive ganze Zahl (h�au�g gleich der Datenzahl)

Ka, Kb Normierungskonstanten und Funktionen der Datenzahl K

K

nXN

oKumulante N -ter Ordnung der Zufallsvariablen X

K

(KYk=1

Xnkk

)Verbundkumulante N -ter Ordnung der Zufallsvariablen

Xk, k = 1(1)K, mit N =KXk=1

nk

L Positive ganze Zahl oder Fensterl�ange

M Positive ganze Zahl oder Sensoranzahl

mX;N Moment N -ter Ordnung EnXN

oder Zufallsvariablen X

mX;N(�1; :::; �N�1) Automomentefunktion N -ter Ordnung des station�aren

zeitkontinuierlichen Zufallsprozesses X(t)

mX;N(�1; :::; �N�1) Automomentefolge N -ter Ordnung des station�aren zeit-

diskreten Zufallsprozesses X(k)

mX;NX;Y;NY (�1; :::; �N�1) Kreuzmomentefunktion N = NX + NY -ter Ordnung der

station�aren zeitkontinuierlichen Zufallsprozesse X(t) mit

Y (t)

mX;NX;Y;NY (�1; :::; �N�1) Kreuzmomentefolge N = NX + NY -ter Ordnung der sta-

tion�aren zeitdiskreten Zufallsprozesse X(k) mit Y (k)

MX;N(1; :::;N�1) Automomentespektrum N -ter Ordnung des station�aren

zeitdiskreten Zufallsprozesses X(k)

MX;NX ;Y;NY (1; :::;N�1) Kreuzmomentespektrum N -ter Ordnung der station�aren

zeitdiskreten Zufallsprozesse X(k) und Y (k)

N Positive ganze Zahl oder auch die Momente- bzw. Kumu-

lantenordnung

N1, N2 Positive ganze Zahlen

Nm(k) m-ter station�arer zeitdiskreter Rauschproze�


N(2)A (M) Anzahl unterschiedlicher, auf Kumulanten zweiter Ord-

nung beruhender Steuervektorsch�atzer

N(2)K (M) Zahl verschiedener Kombinationen von auf Kumulanten

zweiter Ordnung beruhenden Steuervektorsch�atzern

N(4)A (M) Anzahl unterschiedlicher, auf Kumulanten vierter Ord-

nung beruhender Steuervektorsch�atzer

N(4)K (M) Zahl verschiedener Kombinationen von auf Kumulanten

vierter Ordnung beruhenden Steuervektorsch�atzern

N (k) Vektor, bestehend aus N (k) = (N1(k); :::; NM(k))T

O Nullmatrix geeigneter Dimension

p Anzahl der Polstellen der Systemfunktion oder AR-

Modellordnung

pa Anzahl der Polstellen der Systemfunktion au�erhalb des

Einheitskreises

pi Anzahl der Polstellen der Systemfunktion innerhalb des

Einheitskreises

pr Anzahl reeller Polstellen der Systemfunktion

pc Anzahl komplexer Polstellen der Systemfunktion

PX;N (1; :::;N�1) Periodogramm N -ter Ordnung des station�aren zeitdiskre-

ten Zufallsprozesses X(k)

P k Zeitabh�angige Hilfsmatrix

q Anzahl der Nullstellen der Systemfunktion oder MA-

Modellordnung

qr Anzahl reeller Nullstellen der Systemfunktion

qc Anzahl komplexer Nullstellen der Systemfunktion

Q(S) Quadrierte normierte Quellenkurtosis des Signales S(k)

rX(�) Automomentefolge zweiter Ordnung des station�aren zeit-

diskreten Zufallsprozesses X(k)

R Abstand zwischen einer Quelle und einer Sensorgruppe

RZZ(k1; k2) Verbundmoment zweiter Ordnung des im allgemeinen

nichtstation�aren Zufallsprozesses Z(k)

RAB Hilfsmatrix, deren Elemente �uber ein Integral de�niert

sind

RAR;J J -zeilige Matrix zur AR-Parametersch�atzung, bestehend

aus Momentefolgen zweiter Ordnung

rAR;J J -spaltiger Vektor zur AR-Parametersch�atzung, beste-

hend aus Momentefolgen zweiter Ordnung


si(x) si-Funktion, si(x) = sin(x)=x

SBP (k) Zeitdiskretes bipolares Signal

SL�QAM (k) Zeitdiskretes quadraturamplitudenmoduliertes Signal mit

L Modulationsstufen

Sj(k) j-ter Quellenproze�

SX(e j) Leistungsdichtespektrum

SXX(e j1 ; e j2) Leistungsdichtespektrum des im allgemeinen nichtstati-

on�aren Zufallsprozesses Z(k)

S(k) Vektor, bestehend aus S(k) = (S1(k); :::; SJ(k))T

t Zeit

TA Abtastperiode

vW Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle

V1, V2 Konstanten

V (x) Mehrdimensionale Optimierungsfunktion

w(�1L; �2L) Zweidimensionale Fensterfunktion der Ausdehnung L

wrect(n) Eindimensionales rechteckf�ormiges Fenster

wrect(n;m) Zweidimensionales rechteckf�ormiges Fenster

wHamming(n) Eindimensionales Hamming-Fenster

wHamming(n;m) Zweidimensionales Hamming-Fenster

W k Zeitabh�angige Hilfsmatrix, bestehend aus den Daten

x(0); :::; x(k)

W (�) Gewichtsmatrix

x(k) Realisierung des zeitdiskreten Zufallsprozesses X(k)

xm x-Koordinate des m-ten Sensors

X(k) Zeitdiskreter Zufallsproze�

Xm(t) Zeitkontinuierlicher Zufallsproze� des m-ten Sensors~X(t) Zeitkontinuierlicher Zufallsproze�, der sich durch Modula-

tion des zeitkontinuierlichen Zufallsprozesses X(t) ergibt

X(k) Vektor, bestehend aus X(k) = (X1(k); :::;XM(k))T

Xk Zeitabh�angige Hilfsmatrix, bestehend aus den Daten

x(0); :::; x(k)

ym y-Koordinate des m-ten Sensors

zm z-Koordinate des m-ten Sensors

z1 Polstelle der Systemfunktion

z0 Nullstelle der Systemfunktion


Griechische Formelzeichen

� Einfallswinkel einer Wellenfront auf eine Sensorgruppe

oder Parameter 2 � � > 0 der stabilen symmetrischen

Verteilung�k Konstanten f�ur k = 1(1)K, K 2 IN+

�min Minimaler Wert f�ur �

�max Maximaler Wert f�ur �

��(�) Hilfsfolge

�AP Vektor, bestehend aus miteinander gefalteten Allpa�-

parametern

��(�) Hilfsfolge

Ged�achtnisfaktor 0 < � 1 oder Parameter 2 IR+ der

stabilen symmetrischen Verteilung

n n-te normierte Modulationskreisfrequenz

�(x) Gammafunktion (siehe [8], S. 103)

� Konstante

�(�1; :::; �N�1) (N � 1)-dimensionaler Impuls

� Hilfsvariable

�r;J J -spaltiger Fehlervektor

�x Sch�atzwert oder Sch�atzung f�ur einen die ZufallsvariableX

beschreibenden, unbekannten wahren Parameterwert �

�X Sch�atzer f�ur einen die Zufallsvariable X beschreibenden,

unbekannten wahren Parameterwert �

# Erhebungswinkel (auch Polarwinkel genannt), # 2 [0; �]

�W Wellenl�ange

�n n-te normierte Modulationskreisfrequenz

�R;J J -zeilige Fehlermatrix

� Initialisierungsparameter und Erwartungswert einer

Gauss-verteilten Zufallsvariablen

� Unabh�angige Variable, � 2 Z

� Parameter der Gauss-Verteilung

�X Standardabweichung �X =qEfX2g � EfXg2 der Zu-

fallsvariablen X

�2X;II Auf dem Moment zweiter Ordnung basierender Sch�atzer

f�ur �2 einer Gauss-verteilten Zufallsvariablen X

�2X;IV Auf dem Moment vierter Ordnung basierender Sch�atzer

f�ur �2 einer Gauss-verteilten Zufallsvariablen X


�2X;N(K) Auf dem Moment N -ter Ordnung basierender Sch�atzer

f�ur �2 einer Gauss-verteilten Zufallsvariablen X in

Abh�angigkeit der Datenanzahl K

�1;M Zeitverz�ogerung zwischen dem Ausgangssignal von Sensor

1 zu dem Ausgangssignal von Sensor M

�X1;:::;XK(s1; :::; sK) Charakteristische Funktion der Zufallsvariablen Xk, k =

1(1)K

� Richtungswinkel (auch Azimuthwinkel genannt), � 2[��; �]

�k Zeitabh�angige Hilfsmatrix

! Kreisfrequenz

!0 Tr�agerkreisfrequenz

!A Abtastkreisfrequenz

!g Grenzkreisfrequenz

Normierte Kreisfrequenz = 2�!=!A = !TA

Abk�urzungen

BIBO Bounded Input Bounded Output

SNR Signal-zu-Rauschleistungsverh�altnis

QAM Quadraturamplitudenmodulation

BP Bipolar

Schreibweisen und Symbole

arg minx

f(x) Argument x, f�ur das f(x) minimal ist

Bf:::g Systematischer Fehler (engl.: bias)

C Menge der komplexen Zahlen

Ef:::g Erwartungswertoperator

F

n�o

E�zienz eines Sch�atzers � (vgl. Gl. (2.12))

Imf:::g Imagin�arteil

Kovf:::g Kovarianz

Kov1 f:::g Asymptotische Kovarianz

Kf:::g Kumulantenoperator

Mf:::g Erwarteter quadratischer Fehler (engl.: mean square

error)


Median fx1; :::; xNg Medianwert der Gr�o�en x1; :::; xN

min(:::) Minimum

IN Menge der nat�urlichen Zahlen (inklusive der Null)

IN+ Menge der positiven nat�urlichen Zahlen (exklusive der

Null)

Rang (:::) Rang einer Matrix

Re f:::g Realteil

rect(x) Rechteckfunktion, rect(x) =

8>><>>:

1 jxj < 1

1=2 jxj = 1

0 jxj > 1

IR Menge der reellen Zahlen

IR+ Menge der positiven reellen Zahlen (exklusive der Null)

sign(x) Vorzeichenfunktion, sign(x) =

8>><>>:�1 x < 0

0 x = 0

1 x > 0

std(:::) Standardabweichung

Vf:::g Varianz

n = N1(�N)N2 Variation der diskreten Variablen n in Schritten �N von

N1 bis N2

x Spaltenvektor

xT Transponierter Vektor (Zeilenvektor)

[x]n n-tes Element des Vektors x

fx j:::g Menge aller x f�ur die gilt ...

X Matrix

XT Transponierte Matrix

[X]nZ;nS Element der MatrixX in der nZ -ten Zeile und der nS -ten

Spalte

� Faltungssymbol

_ Oder-Symbol

^ Und-Symbol

Ff...g Fourier-Transformierte

F�1f...g Inverse Fourier-Transformierte

Z Menge der ganzen Zahlen

Zf...g Z-Transformierte

Z�1f...g Inverse Z-Transformierte


1 Eine Einf�uhrung in die Statistiken h�oherer Ord-

nung

Bevor auf Statistiken h�oherer Ordnung basierende Ans�atze zur L�osung f�ur konkrete

Problemstellungen detailliert behandelt werden k�onnen, ist neben einigen De�nitionen

vor allem eine genaue Begri�skl�arung unerl�a�lich. Letzteres tri�t hier in besonderem

Ma�e zu, da sich bisher noch keine einheitliche Bezeichnungsweise auf dem Gebiet der

Statistiken h�oherer Ordnung durchsetzen konnte. Dies mag auf folgende drei Gr�unde

zur�uckf�uhrbar sein: Einerseits handelt es sich bei den Statistiken h�oherer Ordnung

um eine noch recht junge wissenschaftliche Disziplin. Andererseits wurden Statistiken

h�oherer Ordnung von einigen, zun�achst weitgehend unabh�angig voneinander arbeiten-

denWissenschaftlern (siehe z. B. [152]) in verschiedenenBereichen der Natur- und Inge-

nieurwissenschaften erprobt; folglich wurde keine einheitliche Schreibweise verwendet.

Zuletzt bleibt anzuf�uhren, da� die Statistiken h�oherer Ordnung auf zwei klassischen

Disziplinen - der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Systemtheorie - basieren. Gera-

de dies f�uhrt insbesondere zu Schwierigkeiten bei der Wahl der Formelzeichen (siehe

auch S. 5).

Nun ist es schwerlich m�oglich, einer Bezeichnungsweise aufgrund ihrer h�au�gsten

Verwendung den Vorzug zu geben, da die Zahl an wissenschaftlichen Beitr�agen mitt-

lerweile un�uberschaubar geworden ist (siehe z. B. [252]). Daher wird im weiteren ei-

ne m�oglichst konsequente Bezeichnungsweise verfolgt. Beispielsweise wird die aus den

klassischen Statistiken zweiter Ordnung bekannte Fourier-Transformierte der Auto-

momentefolge1, die auch Autokorrelationsfolge genannt wird, als Automomentespektrum

bzw. Autoleistungsdichtespektrum bezeichnet. Der �Ubergang zu den Statistiken h�oherer

Ordnung l�a�t sich dann konsequent durch Anh�angen der Ordnung - also beispielsweise

der Automomentefolge N-ter Ordnung - erreichen. Ferner werden zur Vermeidung von

m�oglichen Fehlinterpretationen, die vor allem durch Hinzunahme begleitender Lite-

ratur entstehen k�onnen, auch andere �ubliche Bezeichnungsweisen an geeigneter Stelle

angegeben.

1Die Endung Folge wird dann verwendet, wenn die unabh�angige Variable einem diskreten Wer-

tevorrat entstammt. Ist der Wertevorrat hingegen beliebig, so wird zur Verdeutlichung die Endung

Funktion gew�ahlt.

15

16 Kapitel 1 Eine Einf�uhrung in die Statistiken h�oherer Ordnung

Ziel dieses Kapitels ist es, neben den zum Verst�andnis notwendigen De�nitionen

und Begri�skl�arungen eine Einf�uhrung in die Statistiken h�oherer Ordnung zu geben. Im

nachfolgenden Kapitel werden die Vor- und Nachteile derselben eingehend diskutiert,

und anschlie�end kann ihr Nutzen zur L�osung technischer Problemstellungen aufgezeigt

werden.

1.1 Grundlegende De�nitionen

Betrachten wir zun�achst die in der Einleitung schon angegebene multivariate Vertei-

lungsfunktion von K Zufallsvariablen Xk, k = 1(1)K,

FX1;:::;XK(x1; :::; xK) = PfX1 � x1; :::;XK � xKg; (1.1)

wobei nun nicht notwendig ein Zufallsproze� zugrunde liegen mu�. Die multivariate

Verteilungsfunktion ist nicht monoton fallend in jeder unabh�angigen Variablen xk, und

es gilt neben der sogenannten Vertr�aglichkeitsbedingung (s. [5], S. 92)

limx1!1;:::;xK!1

FX1;:::;XK(x1; :::; xK) = FX1;:::;XK(1; :::;1) = 1 (1.2)

auch

limxk!�1

FX1;:::;XK(x1; :::; xk; :::; xK) = FX1;:::;XK(x1; :::;�1; :::; xK) = 0: (1.3)

Weitere Eigenschaften der Verteilungsfunktion und entsprechende Beweise sind in [5],

S. 23 zu �nden.

Ist FX1;:::;XK(x1; :::; xK) nach allen xk, k = 1(1)K partiell di�erenzierbar, so wird

fX1;:::;XK(x1; :::; xK) =@FX1;:::;XK(x1; :::; xK)

@x1 � � � @xK(1.4)

multivariate Dichtefunktion genannt. Die Dichtefunktion ist nichtnegativ und ihre Exi-

stenz wird im weiteren stets vorausgesetzt. Unter Verwendung von (1.2) und (1.3)

ergibt sich die Normierungsbedingung

Z 1

�1� � �

Z 1

�1fX1;:::;XK(x1; :::; xK) dx1 � � � dxK = 1:

Wird die Dichtefunktion Fourier-transformiert und !k = �sk gesetzt, so wird

�X1;:::;XK(s1; :::; sK) =Z 1

�1� � �

Z 1

�1fX1;:::;XK(x1; :::; xK) e

�jKPk=1

!kxk

dx1 � � �dxK

��!k=�sk

(1.5)

1.1 Grundlegende De�nitionen 17

Charakteristische Funktion der Zufallsvariablen Xk, k = 1(1)K genannt. Eigenschaften

der Charakteristischen Funktion sind wiederum in [5], S. 43 zu �nden.

Der Erwartungswert der Funktion g(X1; :::;XK) ist als

Efg(X1; :::;XK)g =Z 1

�1� � �Z 1

�1g(x1; :::; xK) fX1;:::;XK(x1; :::; xK) dx1 � � � dxK (1.6)

de�niert, falls das Integral konvergiert. In Anlehnung an die Mittelwertbildung �uber

die Schar oder das Ensemble eines Zufallsprozesses wird der Erwartungswert auch

gelegentlich als Scharmittelwert oder Ensemblemittelwert bezeichnet. O�enbar l�a�t sich

unter Verwendung dieser De�nition die Charakteristische Funktion auch als

�X1;:::;XK(s1; :::; sK) = E

8><>:e

jKPk=1

skXk

9>=>; (1.7)

schreiben. Folglich liefert eine nl-fache partielle Di�erentiation nach sl

@nl�X1;:::;XK(s1; :::; sK)

@snll= jnl E

8><>:Xnl

l ejKPk=1

skXk

9>=>; ;

so da� sich das Moment nl-ter Ordnung der Zufallsvariablen Xl zu

EfXnll g =

1

jnl@nl�X1;:::;XK(s1; :::; sK)

@snll

��sk=0; k=1(1)K

(1.8)

ergibt. Dementsprechend lassen sich auch die Verbundmomente N-ter Ordnung mit

N =KXk=1

nk als

E

(KYk=1

Xnkk

)=

1

jN@N�X1;:::;XK(s1; :::; sK)

KYk=1

@snkk

��sk=0; 8k=1(1)K

(1.9)

einf�uhren. Die Verbundmomente k�onnen somit auch als Taylor-Reihenkoe�zienten

der Charakteristischen Funktion um Null aufgefa�t werden (siehe [32], S. 395). Zu

beachten ist, da� die Existenz der Verbundmomente auch bei gegebener Dichtefunktion

keinesfalls garantiert ist. Als Beispiel hierzu wird eine sogenannte stabil symmetrisch

verteilte2 Zufallsvariable X betrachtet, deren Dichtefunktion zwar im allgemeinen nicht

2Die stabile symmetrische Verteilung ist ein Sonderfall der stabilen Verteilung [194], welche als

eine Verallgemeinerung der Gauss-Verteilung aufgefa�t werden kann und daher in zunehmendem

Ma�e praktische Relevanz erlangt. Insbesondere die entsprechende Verallgemeinerung des zentralen

Grenzwertsatzes (siehe [194], S. 990) tr�agt dazu unterst�utzend bei.


geschlossen darstellbar ist, aber eindeutig durch die Charakteristische Funktion (siehe

[34], S. 38)

�X(x) = e jax� jxj�

; a 2 IR; 2 IR+; 2 � � > 0

festgelegt ist. Es kann nun gezeigt werden (siehe [34], S. 22�), da� s�amtliche Momente

EfjXjpg f�ur p � � mit 2 > � > 0 nicht existieren. In dem Sonderfall � = 2 geht die sta-

bile symmetrische Verteilung in eine Gauss-Verteilung �uber, und s�amtliche Momente

sind dann existent.

Nach diesen grundlegenden Begri�en l�a�t sich eine weitere, im Rahmen dieser

Schrift h�au�g verwendete statistische Gr�o�e de�nieren. Als Verbundkumulante N-ter

Ordnung werden die Taylor-Reihenkoe�zienten der logarithmierten Charakteristi-

schen Funktion um Null bezeichnet

K

(KYk=1

Xnkk

)=

1

jN@N ln(�X1;:::;XK(s1; :::; sK))

KYk=1

@snkk

��sk=0; 8k=1(1)K

; (1.10)

wobei analog zu dem Erwartungswertoperator Ef:::g hier der Kumulantenoperator

Kf:::g angewandt wurde. Da die Addition einer Konstanten c 2 IR zu einer belie-

bigen Zufallsvariablen Xl den Wert der Verbundkumulante h�oherer Ordnung als eins

nicht �andert (vgl. (1.17b)), wird dieselbe gelegentlich auch Semiinvariante genannt.

1.2 Beziehungen zwischen Verbundmomenten und Verbund-

kumulanten

O�enbar sind Verbundkumulanten und Verbundmomente �uber dieselbe Funktion de�-

niert, so da� ein Zusammenhang zwischen beiden naheliegend ist. Tats�achlich l�a�t sich

zeigen ([153], S. 297), da� die Verbundkumulanten aus den Verbundmomenten gem�a�

K

(KYk=1

Xnkk

)=

X[Mm=1Im=I

(�1)M�1(M � 1)!MYm=1

E

8<:Yi2Im

Xnii

9=; (1.11)

berechnet werden k�onnen. Hierbei erstreckt sich die Summation �uber s�amtliche so-

genannte Partitionen der Menge I = f1; 2; :::;Kg. Dabei wird unter einer Partition

der Menge I = f1; 2; :::;Kg die unsortierte Anordnung M schnittfremder, nichtleerer

Kombinationen ohne Wiederholung Im vonK Elementen beliebiger Ordnung r = 1(1)K

verstanden (vgl. [8], S. 111 und [153], S. 297). So existieren zu der Menge I = f1; 2; 3g

1.2 Beziehungen zwischen Verbundmomenten und Verbundkumulanten 19

� drei Kombinationen ohne Wiederholung von 3 Elementen erster Ordnung

(1); (2); (3)

� drei Kombinationen ohne Wiederholung von 3 Elementen zweiter Ordnung

(1; 2); (1; 3); (2; 3)

� eine Kombinationen ohne Wiederholung von 3 Elementen dritter Ordnung

(1; 2; 3)

und damit ergeben sich die f�unf Partitionen zu

f(1; 2; 3)g; ! I1 = (1; 2; 3); (M = 1)

f(1)(2; 3)g; ! I1 = (1); I2 = (2; 3); (M = 2)

f(2)(1; 3)g; ! I1 = (2); I2 = (1; 3); (M = 2)

f(3)(1; 2)g; ! I1 = (3); I2 = (1; 2); (M = 2)

f(1)(2)(3)g; ! I1 = (1); I2 = (2); I3 = (3); (M = 3):

Analog zu Gleichung (1.11) existiert auch die Umkehrformel zur Berechnung der Ver-

bundmomente aus den Verbundkumulanten

E

(KYk=1

Xnkk

)=

X[Mm=1Im=I

MYm=1

K

8<:Yi2Im

Xnii

9=; : (1.12)

Ferner impliziert die Gleichung (1.11) (bzw. (1.12)), da� zur Berechnung der Verbund-

kumulante (bzw. des Verbundmomentes) N -ter Ordnung die Verbundmomente (bzw.

die Verbundkumulanten) bis zur Ordnung N bekannt sein m�ussen. Als Beispiel, auf

welches im nachfolgenden h�au�ger zur�uckgegri�en wird, sind hier die Gleichungen zur

Berechnung von Verbundkumulanten zweiter bis vierter Ordnung aus Verbundmomen-

ten zweiter und vierter Ordnung angegeben

KfX1X2g = EfX1X2g (1.13a)

KfX1X2X3g = EfX1X2X3g (1.13b)

KfX1X2X3X4g = EfX1X2X3X4g � EfX1X2gEfX3X4g�EfX1X3g EfX2X4g � EfX1X4gEfX2X3g ; (1.13c)

wobei der Erwartungswert s�amtlicher Zufallsvariablen gleich Null ist3.

3Entsprechende Gleichungen f�ur Zufallsvariablen ~Xk mit einem Erwartungswert En~Xk

o6= 0 folgen

durch die SubstitutionXk = ~Xk�En~Xk

oauf der jeweils rechten Seite der Gleichungen (1.13a)-(1.13c),

w�ahrend auf der linken Seite wegen der imAnschlu� bewiesenen Eigenschaft (1.17b) lediglichXk = ~Xk

zu substituieren ist.


1.3 Eigenschaften von Verbundmomenten und Verbundku-

mulanten

Verbundmomente und Verbundkumulanten besitzen einige mathematische Eigenschaf-

ten, die f�ur viele in den folgenden Kapiteln vorzustellenden Methoden von fundamen-

taler Bedeutung sind:

� Verbundmomente (bzw. Verbundkumulanten) von skalierten potenzierten Zu-

fallsvariablen sind gleich dem Produkt aller entsprechend potenzierten Skalie-

rungsfaktoren multipliziert mit den Verbundmomenten (bzw. Verbundkumulan-

ten) der nicht-skalierten Zufallsvariablen; d.h., sind �k, k = 1(1)K Konstanten,

so gilt

E

(KYk=1

(�kXk)nk

)=

KYk=1

�nkk E

(KYk=1

Xnkk

)(1.14a)

K

(KYk=1

(�kXk)nk

)=

KYk=1

�nkk K

(KYk=1

Xnkk

): (1.14b)

� Verbundmomente (bzw. Verbundkumulanten) sind unabh�angig von der Anord-

nung der Zufallsvariablen; d.h.,

E

(KYk=1

Xnkk

)= E

(KYk=1

Xnikik

)(1.15a)

K

(KYk=1

Xnkk

)= K

(KYk=1

Xnikik

); (1.15b)

wobei fi1; :::; iKg eine Permutation von I = f1; :::;Kg ist (s. [8], S. 107). Zur

Verdeutlichung dieser Eigenschaft und in m�oglichst strenger Analogie zum Erwar-

tungswertoperator wird hier der Schreibweise KnQK

k=1Xnkk

oder Vorzug gegeben,

im Gegensatz zu der in der englischsprachigen Literatur �ublichen Schreibweise

KfXn11 ; :::;XnK

K g. Auch die Eigenschaft (1.14b) wird durch diese Notation plau-

sibler.

� Verbundmomente (bzw. Verbundkumulanten) sind additive Operatoren f�ur Zu-

fallsvariablen. Sind Yj und Zj zwei beliebig von Xk, k = 1(1)K, k 6= j abh�angige

Zufallsvariablen, so gilt

E

8><>:(Y nY

j + ZnZj )

KYk=1k 6=j

Xnkk

9>=>; = E

8><>:Y nY

j

KYk=1k 6=j

Xnkk

9>=>;+ E

8><>:ZnZ

j

KYk=1k 6=j

Xnkk

9>=>; ; (1.16a)

K

8><>:(Y nY

j + ZnZj )

KYk=1k 6=j

Xnkk

9>=>; = K

8><>:Y nY

j

KYk=1k 6=j

Xnkk

9>=>;+ K

8><>:ZnZ

j

KYk=1k 6=j

Xnkk

9>=>; ; (1.16b)

1.3 Eigenschaften von Verbundmomenten und Verbundkumulanten 21

mit nY 2 IR, nZ 2 IR.

� Im Gegensatz zu Verbundmomenten sind Verbundkumulanten h�oherer Ordnung

als eins unabh�angig von der Addition einer Konstanten � zu einer beliebigen

Zufallsvariablen Xnjj

E

8><>:(�+X

njj )

KYk=1k 6=j

Xnkk

9>=>; = � E

8><>:

KYk=1k 6=j

Xnkk

9>=>;+ E

(KYk=1

Xnkk

); (1.17a)

K

8><>:(�+X

njj )

KYk=1k 6=j

Xnkk

9>=>; =

8>>><>>>:

�+ KfX1g wenn K = 1 ^ n1 = 1

K

(KQk=1

Xnkk

)sonst.

(1.17b)

� Im Gegensatz zu Verbundmomenten sind Verbundkumulanten stets identisch

Null, wenn die Untermenge von Zufallsvariablen Xi1 ; :::;XiJ , ij 2 IN+, ij � K,

j = 1(1)J , J 2 IN+, J < K, unabh�angig von den �ubrigen Zufallsvariablen Xk,

k 6= ij ist; d.h.

E

(KYk=1

Xnkk

)i.a.6= 0 (1.18a)

K

(KYk=1

Xnkk

)!= 0: (1.18b)

In einigen Literaturstellen ([33], S. 13, [153], S. 280, [167], S. 17) ist folgende weitere

Eigenschaft von Verbundkumulanten zu �nden: Sind die K Zufallsvariablen Xk, k =

1(1)K unabh�angig von den K Zufallsvariablen Yk, k = 1(1)K, so gilt

K

(KYk=1

(Xnkk + Y nk

k )

)= K

(KYk=1

Xnkk

)+ K

(KYk=1

Y nkk

): (1.19)

Obwohl diese Eigenschaft nur f�ur Verbundkumulanten und nicht f�ur Verbundmomente

gilt und von gro�er Bedeutung zur L�osung vieler Problemstellungen ist, wird sie nicht

in obiger Au istung explizit angef�uhrt, da sie unmittelbar aus (1.16b) und (1.18b)

ableitbar ist.

Eine f�ur die technische Anwendung vielleicht noch bedeutsamere Eigenschaft exi-

stiert im Falle von Gauss-verteilten Zufallsvariablen Xk, k = 1(1)K

KfXkg = EfXkg (1.20a)

KfXkXjg = Ef(Xk � EfXkg)(Xj � EfXjg)g= EfXkXjg � EfXkgEfXjg (1.20b)

K

(KYk=1

Xnkk

)= 0 8 N =

KXk=1

nk > 2: (1.20c)


O�enbar sind s�amtliche Verbundkumulanten f�ur N > 2 identisch Null, so da� Gauss-

verteilte Zufallsvariablen durch ihre Verbundkumulanten (bzw. Verbundmomente) er-

ster und zweiter Ordnung vollst�andig beschrieben sind. Diese Eigenschaft wird bei den

klassischen Anwendungen der statistischen Signaltheorie sehr rege genutzt, da die nur

selten bekannte oder sch�atzbare multivariate Verteilungsfunktion, die { wie in der Ein-

leitung schon angegeben (S. 1) { eine vollst�andige Beschreibung darstellt, nun durch

einfach zu sch�atzende (siehe S. 28) Verbundkumulanten (bzw. Verbundmomente) er-

ster und zweiter Ordnung ersetzt werden kann; die Vollst�andigkeit der Beschreibung

bleibt dabei erhalten. In gewissem Sinne bieten Verbundkumulanten f�ur N > 2 somit

ein Ma� zur Bestimmung der statistischen Unterschiede der betrachteten Zufallsvaria-

blen zu Gauss-verteilten Zufallsvariablen. Die Beweise zu dieser und zu allen oben

aufgelisteten Eigenschaften sind im Anhang A zu �nden.

1.4 Verbundkumulanten oder Verbundmomente ?

Nachdem nun Verbundmomente und Verbundkumulanten de�niert und ihre Eigen-

schaften aufgezeigt wurden, stellt sich die naheliegende Frage, welche dieser statisti-

schen Gr�o�en f�ur die technische Anwendung von gr�o�erer Relevanz ist. Zur Beantwor-

tung dieser Fragestellung sind im wesentlichen drei anwendungsnahe Gesichtspunkte

zu nennen:

1. Gem�a� der Eigenschaft (1.18b) sind Verbundkumulanten besonders vorteilhaft

einzusetzen, wenn von den betrachteten Zufallsvariablen eine Untermenge un-

abh�angig von den restlichen Zufallsvariablen ist. Dies gilt insbesondere bei dem

in der Praxis h�au�g anzutre�endem Fall eines einem Nutzsignal �uberlagerten

Rauschprozesses. Eine entsprechende Verallgemeinerung f�ur Verbundmomente ist

aufgrund von (1.18a) nicht m�oglich.

2. Die Eigenschaft (1.19) erm�oglicht die Verwendung von Verbundkumulanten als

einfachen Operator in dem praxisrelevanten Fall additiver Zufallsprozesse in idea-

ler Weise. Auch dies ist nicht f�ur Verbundmomente g�ultig.

3. Aufgrund von (1.20c) eignen sich Verbundkumulanten nicht nur zum Test der

Hypothese einer Gauss-Verteilung (siehe z. B. [115]) f�ur die betrachteten Zu-

fallsvariablen Xk, k = 1(1)K, sondern vor allem zur Unterdr�uckung additiver

Gauss-verteilter St�orprozesse ([90], [166], [173], [211], [217]).

Diese Aufz�ahlung macht deutlich, da� Verbundkumulanten h�au�g den Verbundmomen-

ten vorzuziehen sind. Zahllose Ver�o�entlichungen in unterschiedlichen Anwendungsge-

1.5 Station�are Zufallsprozesse 23

bieten belegen dies (siehe z. B. [50], [51], [67], [70], [72], [76], [88], [89], [101], [102],

[112], [113], [118], [131], [136], [169], [193], [195], [212], [232]). Lediglich der numeri-

sche Aufwand ist bei Verwendung von Verbundmomenten in der Regel reduziert, da

zur Sch�atzung der Verbundkumulanten N -ter Ordnung aus den gemessenen Signalen

zun�achst s�amtliche Verbundmomente bis zur Ordnung N gesch�atzt werden m�ussen (s.

auch S. 28), und erst dann kann die Verbundkumulante N -ter Ordnung mit Hilfe von

Gleichung (1.11) berechnet werden.

1.5 Station�are Zufallsprozesse

Nach diesen grundlegenden De�nitionen und der Au istung von relevanten Eigenschaf-

ten wichtiger statistischer Gr�o�en wird jetzt ein Schwerpunktthema dieser Schrift {

die Signalmodellierung { erstmalig aufgegri�en. Wie schon in der Einleitung erw�ahnt,

ist der zufallsbehaftete Anteil x(t) des der physikalischen Realit�at entnommenen Si-

gnals geeigneterweise als eine Realisierung eines Zufallsprozesses X(t) aufzufassen.

Zur L�osung der gestellten Aufgabe wird zun�achst ein Signalmodell m�oglichst einfacher

Struktur gesucht. Dabei mu� nicht notwendigerweise die physikalische Realit�at in allen

ihren Einzelheiten exakt nachgebildet werden, sondern vielmehr werden nur die zur

Aufgabenl�osung hilfreichen Zusammenh�ange durch das Signalmodell wiedergegeben.

Bevor nun konkrete Signalmodelle eingef�uhrt werden und Methoden zur Bestim-

mung ihrer Parameter dargelegt werden, ist es sinnvoll, die gemessenen Signale auf-

grund der zeitlichen4 Entwicklung ihrer statistischen Eigenschaften in folgende zwei

Klassen zu unterteilen: Sind die statistischen Eigenschaften eines Zufallsprozesses un-

abh�angig von einer Verschiebung der Zeitachse, so wird der Zufallsproze� als statio-

n�ar bezeichnet und ansonsten als nichtstation�ar oder auch instation�ar. F�ur die den

Zufallsproze� vollst�andig beschreibende multivariate Dichtefunktion gilt im Falle der

Stationarit�at folglich

fX(t1);:::;X(tK)(x1; :::; xK) = fX(t1+�);:::;X(tK+�)(x1; :::; xK); 8 � 2 IR; (1.21)

f�ur die aus dem Zufallsproze� X(t) beliebig herausgegri�enen Zufallsvariablen X(tk),

k = 1(1)K. Da, wie eingangs erw�ahnt, aus praktischen Erw�agungen beinahe ausschlie�-

lich Verbundmomente oder Verbundkumulanten anstelle der multivariaten Dichtefunk-

tion verwendet werden k�onnen, werden hier in Analogie zu der bei Verbundmomenten

gew�ahlten Notation der Begri� der Stationarit�at N-ter Ordnung und der f�ur die An-

4Um leicht verst�andliche Begri�e w�ahlen zu k�onnen, werden hier die unabh�angigen Variablen t und

k immer als Zeit interpretiert.


wendung bedeutsamere Begri� der Stationarit�at bis zur Ordnung N eingef�uhrt. Statio-

narit�at N-ter Ordnung liegt vor, wenn das Verbundmoment N -ter Ordnung

E

(KYk=1

X(tk)nk

)= E

(KYk=1

X(tk + � )nk); N =

KXk=1

nk (1.22)

unabh�angig von einer beliebigen zeitlichen Verschiebung � ist. Hingegen ist Stationa-

rit�at bis zur Ordnung N gegeben, wenn s�amtliche Verbundmomente erster bis N -ter

Ordnung unabh�angig von einer zeitlichen Verschiebung sind. Aufgrund von Gleichung

(1.11) sind bei Vorliegen der Stationarit�at bis zur Ordnung N auch s�amtliche Verbund-

kumulanten erster bis N -ter Ordnung unabh�angig von einer zeitlichen Verschiebung.

Jedoch impliziert die Station�arit�at N-ter Ordnung keineswegs die Invarianz von Ver-

bundkumulantenN -ter Ordnung gegen�uber der Zeitachse, da zur Berechnung derselben

ja Verbundmomente niedrigerer Ordnung alsN , die durchaus zeitabh�angig sein k�onnen,

notwendig sind.

Es verbleibt noch ein Hinweis auf die unterschiedliche Benennung der hier de�-

nierten verschiedenen Arten von Stationarit�at. In der Literatur wird die Stationarit�at

bis zur Ordnung zwei auch h�au�g als schwache Stationarit�at oder als Stationarit�at im

weiteren Sinne und die gem�a� Gleichung (1.21) eingef�uhrte Stationarit�at auch als Sta-

tionarit�at im engeren Sinne oder strenge Stationarit�at bezeichnet. O�ensichtlich ist ein

Beibehalten dieser Bezeichnungen bei Verwendung von Statistiken h�oherer Ordnung

nur bedingt sinnvoll.

Nachdem nun Zufallsprozesse in prinzipiell zwei Klassen unterteilt werden k�onnen,

stellt sich abschlie�end die Frage nach dem Zweck einer solchen Unterscheidung im

Hinblick auf die Signalmodellierung. In der Regel f�uhrt die Eigenschaft der Stationa-

rit�at bis zur Ordnung N auf sehr viel einfachere Signalmodelle und damit verbunden

zu numerisch g�unstigen Methoden zur Bestimmung der das Signalmodell festlegen-

den Parameter. Diese Eigenschaft erm�oglicht auch, aus einer einzigen Realisierung des

Zufallsprozesses - also dem gemessenen Signal - die Verbundkumulanten bzw. Ver-

bundmomente zu sch�atzen. Aus diesen Sch�atzungen lassen sich dann letztendlich mit

geeigneten Methoden die Modellparameter bestimmen.

1.6 Verbundkumulanten und Verbundmomente bei statio-

n�aren Zufallsprozessen

Im folgenden werden einige Funktionen und Folgen de�niert, die Sonderf�alle von Ver-

bundkumulanten bzw. Verbundmomenten bei station�aren Zufallsprozessen darstellen.

1.6 Verbundkumulanten und Verbundmomente bei station�aren Zufallsprozessen 25

Dabei f�uhrt die Stationarit�atsannahme zu einer um eins reduzierten Zahl an unabh�angi-

gen Variablen, so da� anhand der Schreibweise die Stationarit�at schon erkannt werden

kann.

Als Autokumulantenfunktion N-ter Ordnung eines station�aren ZufallsprozessesX(t)

wird

cX;N(�1; :::; �N�1) = K

(X(t)

N�1Yn=1

X(t+ �n)

); �n 2 IR (1.23a)

bezeichnet und entsprechend wird

mX;N(�1; :::; �N�1) = E

(X(t)

N�1Yn=1

X(t+ �n)

); �n 2 IR (1.24a)

Automomentefunktion N-ter Ordnung genannt. Um zu verdeutlichen, da� die betrach-

teten Zufallsvariablen einem Zufallsproze� zu unterschiedlichen Zeitpunkten entnom-

men werden, ist hierbei das Wort Verbund durch das Wort Auto ersetzt worden. Ferner

wird der Begri� der Funktion angeh�angt, damit der zeitkontinuierliche Wertebereich

der unabh�angigen Variablen �n, n = 1(1)N � 1 schon aus der Bezeichnungsweise her-

vorgeht. Sind hingegen die unabh�angigen Variablen �n, n = 1(1)N � 1 ganzzahlig, wie

es bei zeitdiskreten Signalen der Fall ist, so wird anstelle des Begri�s der Funktion der

Begri� Folge verwendet. Demzufolge wird

cX;N(�1; :::; �N�1) = K

(X(k)

N�1Yn=1

X(k + �n)

)(1.23b)

als Autokumulantenfolge N-ter Ordnung bezeichnet und entsprechend wird

mX;N(�1; :::; �N�1) = E

(X(k)

N�1Yn=1

X(k + �n)

)(1.24b)

Automomentefolge N-ter Ordnung genannt. Die gew�ahlte Notation erm�oglicht auch die

Darstellung von nk-fachen Potenzen von Zufallsvariablen { wie sie bei der De�nition

der Verbundmomente (1.9) und der Verbundkumulanten (1.10) eingef�uhrt wurden {

durch Nullsetzen von h�ochstens nk beliebigen unabh�angigen Variablen �n. Zu beachten

ist, da� s�amtliche soeben eingef�uhrten statistischen Gr�o�en N -ter Ordnung, bedingt

durch die Stationarit�atsannahme, nur durch N � 1 unabh�angige Variablen festgelegt

sind. Ferner ist ihre Existenz stets gew�ahrleistet, wenn der betrachtete Zufallsproze�

X(t) die in der Anwendung g�ultige Bedingung

jX(t)j <1; 8 t 2 IR (1.25)


erf�ullt. Aus (1.25) folgt dann sofort die Existenzbedingung (siehe z. B. [242], S. 27) f�ur

Momentefunktionen bzw. Momentefolgen N -ter Ordnung

E

njX(t)jN

o<1; 8 t 2 IR; (1.26)

so da� aufgrund von (1.11) im Falle der G�ultigkeit von (1.26) auch die Existenz von

Kumulantenfunktionen bzw. Kumulantenfolgen stets gegeben ist.

Neben der um eins reduzierten Anzahl an unabh�angigen Variablen f�uhrt die Statio-

narit�at auch zu gewissen Symmetrieeigenschaften. Beispielsweise ist die Automomen-

tefolge 2-ter Ordnung bekanntlich eine gerade Folge mX;2(�) = mX;2(��), und somit

ist eine Bestimmung f�ur � � 0 ausreichend. Hingegen gelten f�ur die Automomentefolge

3-ter Ordnung die Beziehungen

mX;3(�1; �2) = mX;3(�2; �1) (1.27a)

= mX;3(��2; �1 � �2) (1.27b)

= mX;3(�1 � �2;��2) (1.27c)

= mX;3(�2 � �1;��1) (1.27d)

= mX;3(��1; �2 � �1) (1.27e)

- �1

6�2

1

2

3

645

��

��

��

��

��

Q(q)�

q

q

�q

�q

Bild 1.1 Symmetriebereiche

von mX;3(�1; �2).

Ist also die Automomentefolge 3-ter Ordnung f�ur j�1j � q, j�2j � q zu berechnen,

so gen�ugt o�enbar die Bestimmung f�ur den durch das schra�erte Grundgebiet Q(q) =

f�1; �2 j 0 � �1 � q; 0 � �2 � �1g gekennzeichneten Wertebereich. Alle verbleibenden

Werte ergeben sich aus den Symmetriebeziehungen (1.27a)-(1.27e). O�enbar nimmt die

Zahl an Symmetriebeziehungen mit steigender Ordnung N aufgrund der zunehmenden

Zahl unabh�angiger Variablen erheblich zu, so da� nur f�ur N = 4 noch entsprechende

Beziehungen bekannt sind [83].

Zur L�osung vieler Aufgabenstellungen ist es h�au�g notwendig, nicht nur ein Si-

gnal, sondern weitere, nicht unbedingt die gleiche physikalische Gr�o�e repr�asentieren-

de Signale aufzuzeichnen und zu verarbeiten. In diesem Fall ist eine ausschlie�liche

Beschreibung mit Autokumulanten bzw. Automomenten nicht mehr ausreichend, da

nun mehrere Zufallsprozesse existieren. Abhilfe scha�t hier die Einf�uhrung sogenannter

Kreuzkumulanten bzw. Kreuzmomente. Als Kreuzkumulantenfunktion N-ter Ordnung

bzw. Kreuzkumulantenfolge N-ter Ordnung mit N = NX +NY der beiden Zufallspro-

zesse X(t) und Y (t) werden

cX;NX;Y;NY (�1; :::; �N�1) = K

8<:X(t)

NX�1Yn=1

X(t+ �n)N�1Yn=NX

Y (t+ �n)

9=; (1.28a)

1.7 Sch�atzung von Erwartungswerten 27

cX;NX ;Y;NY (�1; :::; �N�1) = K

8<:X(k)

NX�1Yn=1

X(k + �n)N�1Yn=NX

Y (k + �n)

9=; (1.28b)

bezeichnet und entsprechend werden

mX;NX;Y;NY (�1; :::; �N�1) = E

8<:X(t)

NX�1Yn=1

X(t+ �n)N�1Yn=NX

Y (t+ �n)

9=; (1.29a)

mX;NX;Y;NY (�1; :::; �N�1) = E

8<:X(k)

NX�1Yn=1

X(k + �n)N�1Yn=NX

Y (k + �n)

9=; (1.29b)

Kreuzmomentefunktion N-ter Ordnung bzw. Kreuzmomentefolge N-ter Ordnung ge-

nannt. Die Verallgemeinerung von Kreuzkumulanten bzw. Kreuzmomenten auf beliebig

viele Zufallsprozesse kann entsprechend vorgenommen werden; sie ist jedoch hier nicht

n�otig und wird zwecks einer �ubersichtlichen Schreibweise unterlassen.

Wie bereits erw�ahnt, sind statistische Verfahren zur Signalmodellierung nur bei

Verwendung zeitdiskreter Systeme e�zient realisierbar. Daher werden in der Regel

die die physikalischen Gegebenheiten beschreibenden zeitkontinuierlichen Signale mit

hinreichend kleiner Periodendauer TA abgetastet. Aus den resultierenden zeitdiskre-

ten Signalen k�onnen obige statistische Gr�o�en gesch�atzt werden; dies ist Gegenstand

des n�achsten Abschnitts. Folglich f�allt das Hauptaugenmerk im Rahmen dieser Schrift

auf zeitdiskrete Signale und demzufolge werden im weiteren Kumulanten- und Momen-

tefolgen anstelle von Kumulanten- und Momentefunktionen mit h�au�ger verwendet.

1.7 Sch�atzung von Erwartungswerten

Die f�ur die praktische Anwendung in der Regel unvermeidbare Sch�atzung der so-

eben eingef�uhrten statistischen Gr�o�en aus einem gemessenen Signal x(k) l�a�t sich

zur�uckf�uhren auf das Problem der Sch�atzung eines Erwartungswertes, da s�amtliche

De�nitionen (1.23a)- (1.24b), (1.28a)-(1.29b) entweder direkt oder �uber den Kumulan-

tenoperator (1.11) auf Erwartungswerten beruhen.

Um Bedingungen zur Sch�atzung eines Erwartungswertes aus einem einzigen Signal

zu formulieren, wird der Begri� der Ergodizit�at eines Zufallsprozesses eingef�uhrt. Dabei

besitzt ein Zufallsproze� X(k) die Eigenschaft der Ergodizit�at N-ter Ordnung, wenn die

Automomentefolge N -ter Ordnung

E

(X(k)

N�1Yn=1

X(k + �n)

)= lim

K!1

1

2K + 1

KXk=�K

x(k)N�1Yn=1

x(k + �n) (1.30)

gleich dem rechtsseitigen Zeitmittelwert ist. Diese De�nition impliziert o�enbar schon

die unvermeidbare Voraussetzung der Stationarit�at des Zufallsprozesses X(k), da an-


sonsten das VerbundmomentN -ter Ordnung zeitabh�angig ist und es somit nicht f�ur alle

Zeiten mit den Zeitmittelwerten �ubereinstimmen kann. Da der mathematisch strenge

Nachweis der Ergodizit�at sich nur in Sonderf�allen erbringen l�a�t (siehe [17], S. 70),

wird die Ergodizit�at eines Zufallsprozesses in der Regel angenommen. H�au�g wird des-

halb von der Ergodenhypothese (siehe [251], S. 29, S. 31)) gesprochen. Entsprechend

der Stationarit�at bis zur Ordnung N wird auch hier die Ergodizit�at bis zur Ordnung

N eingef�uhrt, die die Ergodizit�at erster bis N -ter Ordnung impliziert. Die Ergodizit�at

bis zur Ordnung zwei wird h�au�g auch als schwache Ergodizit�at oder als Ergodizit�at im

weiteren Sinne bezeichnet, und bei G�ultigkeit der Gleichung (1.30) f�ur alle N 2 IN+,

wird von Ergodizit�at im engeren Sinne oder strenger Ergodizit�at gesprochen. Die Er-

godizit�atseigenschaft zeitkontinuierlicher Zufallsprozesse kann entsprechend de�niert

werden, wobei in (1.30) neben der Substitution von k mit t die Summation durch eine

Integration �uber t zu ersetzen ist (z. B. [38], S. 327 �.). Abschlie�end verbleibt festzu-

stellen, da� bei Verwendung von Verbundkumulanten anstelle von Verbundmomenten

die Ergodizit�at in der Regel leichter zu pr�ufen ist ([65], S. 1368).

Im folgenden wird bei station�aren Zufallsprozessen stets die Ergodenhypothese an-

genommen, so da� gem�a� (1.30) Erwartungswerte gleich zeitliche Mittelwerte sind.

Auch bei G�ultigkeit dieser Annahme ist jedoch noch ungekl�art, wie aus einem endli-

chen Ausschnitt einer Realisierung, d.h. einem gemessenen abgetasteten Signal x(k)

endlicher Dauer k = 0(1)K � 1, Erwartungswerte von nahezu beliebigen Funktionen

g(X(0); :::;X(K � 1)) des zugeh�origen Zufallsprozesses X(k) zu sch�atzen sind. Ein na-

heliegender Ansatz ist der Abbruch der Summation aus (1.30) und das Unterlassen der

Grenzwertbildung. Im Falle der AutomomentefolgeN -ter Ordnung ergibt sich dann als

Sch�atzung

mx;N(�1; :::; �N�1) =1

K � k0

K�k0�1Xk=0

x(k)N�1Yn=1

x(k + �n); j�nj � k0 (1.31)

(siehe auch [98], S. 27). Hierbei gew�ahrleistet die ganzzahlige positive Konstante k0 < K

die ausschlie�liche Verwendung von bekannten Abtastwerten x(k), k = 0(1)K�1 in der

Summation von Gleichung (1.31). Der Sch�atzer mX;N(�1; :::; �N�1), der Zufallscharakter

aufweist, besitzt unter schwachen Voraussetzungen mehrere vorteilhafte Eigenschaften

(siehe z. B. [98], S. 27):

� Der Systematische Fehler (engl.: Bias)

BfmX;N(�1; :::; �N�1)g =

EfmX;N(�1; :::; �N�1)g �mX;N(�1; :::; �N�1) = 0 (1.32a)

ist gleich Null.

1.8 Kumulanten- und Momentespektren 29

� Er ist konvergent mit Wahrscheinlichkeit 1

P

�limK!1

mX;N(�1; :::; �N�1) = mX;N(�1; :::; �N�1)�= 1: (1.32b)

� Er ist konvergent im quadratischen Mittel

limK!1

VfmX;N(�1; :::; �N�1)g

= limK!1

E

n(mX;N(�1; :::; �N�1)�mX;N(�1; :::; �N�1))

2o= 0; (1.32c)

wobei VfmX;N(�1; :::; �N�1)g die Varianz des Sch�atzers mX;N(�1; :::; �N�1) ist.

Ferner impliziert Gleichung (1.32b) die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit ([5], S. 52)

limK!1

PfjmX;N(�1; :::; �N�1)�mX;N(�1; :::; �N�1)j � �g = 0; 8 � > 0;

welche auch kurz als Konsistenzeigenschaft und mX;N(�1; :::; �N�1) somit als konsisten-

ter Sch�atzer bezeichnet wird. Die Konsistenz ist zwar ein schwacher Konvergenzbegri�,

jedoch gilt, da� jede stetige Funktion eines konsistenten Sch�atzers wieder auf einen

konsistenten Sch�atzer f�uhrt ([30], S. 96). Diese Eigenschaft ist von fundamentaler Be-

deutung f�ur die Entwicklung von Verfahren zur Signalmodellierung, da o�ensichtlich

auf Automomentefolgen N -ter Ordnung beruhende Methoden zur Identi�kation eines

Signalmodells stets konsistente Parametersch�atzer liefern. Das gilt o�enbar auch f�ur

Verfahren basierend auf Autokumulantenfolgen, da diese stetige Funktionen von Auto-

momentefolgen sind (vgl. z. B. (1.11) oder (1.13a)-(1.13c)), und zudem f�ur Verfahren

basierend auf Automomente- bzw. Autokumulantenfunktionen, da die Konsistenz un-

abh�angig von dem Wertebereich der Variablen �1; :::; �N�1, bzw. �1; :::; �N�1 ist. Als

letzte Eigenschaft ist anzuf�uhren, da� die Sch�atzer f�ur die Automomentefolge bzw. -

funktion und folglich auch f�ur die Autokumulantenfolge bzw. -funktion asymptotisch

Gauss-verteilt sind ([103], S. 368, [158]). Dabei wird unter asymptotisch stets der

Grenz�ubergang K !1, also eine unendliche Datenl�ange, verstanden.

1.8 Kumulanten- und Momentespektren

Nachdem nun die den Zeitbereich betre�enden, relevanten statistischen Gr�o�en de�-

niert wurden, werden jetzt ihre Fourier-Transformierten eingef�uhrt. X(k) ist dabei

wieder ein zeitdiskreter station�arer Zufallsproze� N -ter Ordnung, und die Autokumu-

lantenfolge N -ter Ordnung ist absolut summierbar

1X�1=�1

� � �1X

�N�1=�1

jcX;N(�1; :::; �N�1)j <1:


Dann l�a�t sich das Autokumulantenspektrum N-ter Ordnung de�nieren als

CX;N(ej1; :::; e jN�1) =

1X�1=�1

� � �1X

�N�1=�1

cX;N(�1; :::; �N�1) e�j

N�1Pn=1

n�n

: (1.33a)

Das Autokumulantenspektrum wird h�au�g Polyspektrum [65] oder Spektrum h�oherer

Ordnung [49] genannt. Auch hier wird anstelle des Wortes Verbund das Wort Auto

verwendet. So ist schon am Begri� erkennbar, da� nur die Abh�angigkeit eines Zu-

fallsprozesses mit sich selbst betrachtet wird. F�ur das Autokumulantenspektrum drit-

ter Ordnung ist das Bispektrum zur Kennzeichnung der zwei unabh�angigen Variablen

ein h�au�g anzutre�ender Begri�, und entsprechend wird das Autokumulantenspektrum

vierter Ordnung auch Trispektrum genannt [83].

Die (1.27a)-(1.27e) entsprechenden und durch die Stationarit�at bedingten Symme-

triebeziehungen f�ur den Frequenzbereich sind in [33], S. 22, [83] oder auch in [246], S. 5

zu �nden.

Analog zum Autokumulantenspektrum lassen sich auch das Automomentespektrum

N-ter Ordnung (1.33b), das Kreuzkumulantenspektrum N-ter Ordnung (1.33c) und das

Kreuzmomentespektrum N-ter Ordnung (1.33d)

MX;N(ej1 ; :::; e jN�1) =

1X�1=�1

� � �1X

�N�1=�1

mX;N(�1; :::; �N�1) e�jN�1Pn=1

n�n

(1.33b)

CX;NX ;Y;NY (ej1 ; :::; e jN�1) =

1X�1=�1

� � �1X

�N�1=�1

cX;NX;Y;NY (�1; :::; �N�1) e�jN�1Pn=1

n�n

(1.33c)

MX;NX ;Y;NY (ej1 ; :::; e jN�1) =

1X�1=�1

� � �1X

�N�1=�1

mX;NX;Y;NY (�1; :::; �N�1) e�jN�1Pn=1

n�n

(1.33d)

einf�uhren, deren Existenz bei entsprechender G�ultigkeit von

1X�1=�1

� � �1X

�N�1=�1

jmX;N(�1; :::; �N�1)j < 11X

�1=�1

� � �1X

�N�1=�1

jcX;NX;Y;NY (�1; :::; �N�1)j < 11X

�1=�1

� � �1X

�N�1=�1

jmX;NX;Y;NY (�1; :::; �N�1)j < 1

gew�ahrleistet ist. Auf die De�nition der Fourier-Transformierten der Kumulanten-

bzw. Momentefunktionen wird hier mangels Notwendigkeit verzichtet. Es sei lediglich

angemerkt, da� die in Analogie zu der absoluten Summierbarkeit stehende absolute

1.9 Sch�atzung von Kumulanten- und Momentespektren 31

Integrierbarkeit nicht mehr f�ur eine eineindeutige Fourier-Transformation hinreichend

ist (vgl. [13], S. 52, 53).

Der in Signalmodellen h�au�g anzutre�ende Sonderfall eines zeitdiskreten stati-

on�aren Zufallsprozesses mit einem konstanten Autokumulantenspektrum

CR;N(ej1; :::; e jN�1) = cR;N (0; :::; 0) (1.34)

wird Weisses Rauschen N-ter Ordnung R(k) genannt. Dabei entstammt der Name

Weiss der gleichm�a�igen relativen Erregung aller Rezeptoren des menschlichen Auges

mit den Farben Blau, Gr�un und Rot (z. B. [15], S. 577). Die Autokumulantenfolge

N -ter Ordnung eines Weissen Rauschens ist gegeben durch

cR;N(�1; :::; �N�1) = cR;N(0; :::; 0) �(�1; :::; �N�1); (1.35)

wobei

�(�1; :::; �N�1) =

8<: 1 f�ur �n = 0 8 n = 1(1)N

0 sonst(1.36)

einen mehrdimensionalen Impuls der H�ohe eins darstellt. Entsprechend der Stationa-

rit�at und der Ergodizit�at ist bei einem Weissen Rauschen bis zur Ordnung M die

Gleichung (1.35) f�ur N = 1(1)M g�ultig. Demzufolge wird von unabh�angigem Weissen

Rauschen gesprochen, falls (1.35) f�ur alle N 2 IN+ g�ultig ist.

1.9 Sch�atzung von Kumulanten- und Momentespektren

Da der Sch�atzung von Spektren im Rahmen dieser Schrift nur eine untergeordnete Be-

deutung zukommt,wird in diesemAbschnitt nur kurz auf die grundlegende Problematik

des Kompromisses zwischen dem Systematischen Fehler und der Varianz eingegangen.

Dabei wird ein Verfahren zur konsistenten Sch�atzung des Kumulanten- bzw. Momen-

tespektrums angegeben. F�ur weiterf�uhrende Zusammenh�ange wird auf die Literatur

verwiesen ([7], [33], S. 123�).

Eine intuitiv sehr naheliegende Sch�atzung f�ur das Autokumulantenspektrum N-ter

Ordnung ergibt sich durch Anwendung der diskreten Fouriertransformation auf den

Sch�atzer der Autokumulantenfolge N-ter Ordnung

PX;N (ej1; :::; e jN�1) =

K�1X�1=�(K�1)

� � �K�1X

�N�1=�(K�1)

cX;N(�1; :::; �N�1) e�j

N�1Pn=1

n�n

; (1.37)


welches als Periodogramm N-ter Ordnung bezeichnet wird. F�ur Gauss-verteilte Zu-

fallsprozesse und N = 2 kann exakt gezeigt werden, da� die Varianz des Periodogramms

f�ur K ! 1 nicht gegen Null strebt und folglich das Periodogramm zweiter Ordnung

kein konsistenter Spektralsch�atzer ist (z. B. [24], S. 255). Allgemeiner kann gezeigt

werden, da� die Varianz des Periodogramms N -ter Ordnung f�ur gro�e K proportional

zu KN�2 ist ([7], S. 163). O�enbar strebt die Varianz f�ur h�ohere Ordnungen als zwei

mit zunehmender Zahl K an Abtastwerten dann sogar gegen unendlich. Dies demon-

striert die Schwierigkeit einer zuverl�assigen Spektralsch�atzung. Durch Multiplikation

des Autokumulantenfolgensch�atzers mit der sogenannten Fensterfolge f(�1; :::; �N�1)

CX;N(ej1; :::; e jN�1)

=K�1X

�1=�(K�1)

� � �K�1X

�N�1=�(K�1)

f(�1; :::; �N�1) cX;N(�1; :::; �N�1) e�j

N�1Pn=1

n�n

(1.38)

l�a�t sich aber ein konsistenter Sch�atzer angeben, solange nur die Fensterfolge gewissen

Bedingungen gen�ugt (siehe z. B. [33], S. 126�). Sodann ist CX;N(e j1; :::; e jN�1) asym-

ptotisch erwartungstreu ([7], S. 168), asymptotisch Gauss-verteilt ([7], S. 173) und die

Varianz strebt asymptotisch gegen Null ([7], S. 170). Zudem ist CX;N(e j1; :::; e jN�1)

von CX;M(e j1; :::; e jM�1) f�ur N 6= M unabh�angig ([7], S. 172).

Abschlie�end verbleibt anzumerken, da� die auf S. 29 angegebene Eigenschaft der

asymptotischenGauss-Verteilung des Autokumulanten- bzw. des Automomentensch�at-

zers als direkte Folge der asymptotischenGauss-Verteilung des durch (1.38) eingef�uhr-

ten Spektralsch�atzers verstanden werden kann. Der Grund hierf�ur liegt in der Eigen-

schaft der Fourier-Transformation, eine lineare Transformation darzustellen, und ein

linear transformierterGauss-verteilter Zufallsproze� ist bekanntlich wiederumGauss-

verteilt ([5], S. 46).

1.10 Verbundkumulanten und Verbundmomente bei linea-

ren zeitinvarianten Systemen

In diesem letzten Abschnitt der theoretischen Grundlagen wird der Zusammenhang

zwischen den Verbundkumulanten und Verbundmomenten des Eingangsprozesses und

denen des Ausgangsprozesses bei Filterung mit einem linearen zeitinvarianten System

angegeben. Zeitvariante Systeme werden am Ende des letzten Kapitels aufgegri�en, wo-

hingegen auch eine nur ober �achliche Darstellung der nichtlinearen Systeme mit ihren

unersch�op ichen Variationsm�oglichkeiten den Rahmen dieser Schrift deutlich �uberstei-

gen w�urde. Daher kann nur auf die entsprechende Fachliteratur verwiesen werden (z.

1.10 Verbundkumulanten und Verbundmomente bei linearen zeitinvarianten Systemen 33

B. [3], S. 19-33, [4], S. 151�, S. 213�, S. 477�, [33], S. 58�, S. 447�, [64], [66], [91], S.

43, [114], [119],[139], [148], [155], [179], [180],[182], [197], [205], [223], [229], [239]).

Betrachtet wird zun�achst das in Bild 1.2 dargestellte lineare zeitinvariante System

mit dem bis zur OrdnungN station�aren Eingangsproze� Z(k) und demAusgangsproze�

X(k). Dabei impliziert die Stationarit�at von Z(k) die Existenzbedingung (1.26), so da�

die Autokumulantenfolge N -ter Ordnung die Ungleichung

jcZ;N (�1 � k1; :::; �N�1 � kN�1)j < M1 <1; M1 2 IR+ (1.39)

erf�ullen mu�.

e - h(k) - eZ(k) X(k)

Bild 1.2 Lineares zeitinvariantes System

Bekanntlich wird dieses System durch die Di�erenzengleichung

X(k) =1X

�=�1

h(�) Z(k � �) (1.40)

vollst�andig beschrieben, wobei h(k) die Impulsantwort des Systems ist. Das Verbund-

moment N -ter Ordnung des Ausgangsprozesses X(k) ergibt sich zu (s. Anhang B)

K

(X(k)

N�1Yn=1

X(k + �n)

)

=1X

k0=�1

� � �1X

kN�1=�1

h(k0) � � � h(kN�1) cZ;N (k0 + �1 � k1; :::; k0+ �N�1 � kN�1) (1.41a)

=1X

k1=�1

� � �1X

kN�1=�1

cZ;N (�1 � k1; :::; �N�1� kN�1)1X

k0=�1

h(k0)N�1Yj=1

h(k0 + kj) (1.41b)

und ist o�enbar unabh�angig von der Zeit k f�ur beliebige Ordnungen N . Falls zudem

noch K

nX(k)

QN�1n=1 X(k + �n)

oendlich ist, so ist X(k) ein station�arer Zufallsproze�

N-ter Ordnung, und es gilt

K

(X(k)

N�1Yn=1

X(k + �n)

)!= cX;N(�1; :::; �N�1):


Folglich verbleibt zum Beweis der Stationarit�at des Ausgangsprozesses X(k) lediglich

die Eigenschaft

��K(X(k)

N�1Yn=1

X(k + �n)

)�� <1

zu zeigen. Die hierzu notwendige und hinreichende Bedingung unter Verwendung von

(1.39) lautet��K(X(k)

N�1Yn=1

X(k + �n)

)��=

��1X

k0=�1

� � �1X

kN�1=�1

h(k0) � � � h(kN�1) cZ;N (k0 + �1 � k1; :::; k0 + �N�1 � kN�1)

��

1Xk0=�1

� � �1X

kN�1=�1

jh(k0) � � � h(kN�1) cZ;N(k0 + �1 � k1; :::; k0 + �N�1 � kN�1)j

< M1

1Xk0=�1

� � �1X

kN�1=�1

jh(k0) � � � h(kN�1)j

= M1

0@ 1Xk=�1

jh(k)j1AN

< 1;

so da� die absolute Summierbarkeit der Impulsantwort hinreichend f�ur die Stationarit�at

N -ter Ordnung des Ausgangsprozesses X(k) ist. Die Notwendigkeit dieser Bedingung

wird durch Wahl von

cZ;N (k0 + �1 � k1; :::; k0+ �N�1 � kN�1) =N�1Yn=0

sign (h(kn + �n))

einsichtig, da ansonsten

K

nXN (k)

o=

1Xk0=�1

� � �1X

kN�1=�1

h(k0) � � �h(kN�1) cZ;N(k0 � k1; :::; k0 � kN�1)

=1X

k0=�1

� � �1X

kN�1=�1

h(k0) � � �h(kN�1)N�1Yn=0

sign (h(kn))

=1X

k0=�1

� � �1X

kN�1=�1

N�1Yn=0

jh(kn)j

=N�1Yn=0

0@ 1Xkn=�1

jh(kn)j1A

o�enbar gegen unendlich strebt. Diese Beweisf�uhrung ist analog zu der sogenannten

BIBO-Eigenschaft (engl. Bounded Input Bounded Output) linearer zeitinvarianter Sy-

steme geschehen, die auch h�au�g als Stabilit�atskriterium betrachtet wird ([13], S. 141).

1.11 Kapitelzusammenfassung 35

Im Gegensatz zu der hier untersuchten Stationarit�at l�a�t sich die BIBO-Eigenschaft

aber auch auf lineare zeitvariante Systeme erweitern ([45], S. 123).

Nachdem nun der grundlegende Zusammenhang

cX;N(�1; :::; �N�1)

=1X

k0=�1

� � �1X

kN�1=�1

h(k0) � � � h(kN�1) cZ;N(k0 + �1 � k1; :::; k0 + �N�1 � kN�1)

=1X

k1=�1

� � �1X

kN�1=�1

cZ;N(�1 � k1; :::; �N�1� kN�1)1X

k0=�1

h(k0)N�1Yj=1

h(k0 + kj)

im Zeitbereich gefunden und die Voraussetzungen daf�ur aufgezeigt wurden, ist eine

Transformation dieser Gleichungen in den Frequenzbereich naheliegend. Das Autoku-

mulantenspektrumN -ter Ordnung des Ausgangsprozesses bestimmt sich dann zu ([33],

S. 37)

CX;N(ej1; :::; e jN�1) = CZ;N (e

j1; :::; e jN�1)H�(ejN�1Pn=1

n

)N�1Yn=1

H(e jn); (1.42)

wobei H(e jn) �Ubertragungsfunktion genannt wird und die Fourier-Transformierte

der Impulsantwort h(k) ist. Abschlie�end sei angemerkt, da� weder (1.41a), (1.41b)

noch (1.42) auf Automomentefolgen oder auf Automomentespektren erweiterbar sind.

Der Grund hierf�ur liegt in der zur Herleitung von (1.42) verwendeten Eigenschaft

(1.16b), die nicht auf Verbundmomente �ubertragbar ist. Hingegen k�onnen entsprechen-

de Gleichungen f�ur lineare zeitkontinuierliche Systeme durchaus abgeleitet werden.

1.11 Kapitelzusammenfassung

In diesem Kapitel wurden anhand einer Einf�uhrung in die Statistiken h�oherer Ordnung

die f�ur diese Schrift notwendigen De�nitionen und Begri�skl�arungen gegeben. Aufbau-

end auf der multivariaten Verteilungsfunktion und der multivariaten Dichtefunktion

wurde dieCharakteristische Funktion eingef�uhrt und derenTaylor-Reihenkoe�zienten

als Verbundmomente bezeichnet. �Uber eine Taylor-Reihenentwicklung der logarith-

mierten Charakteristischen Funktion wurden dann die sogenannten Verbundkumulan-

ten de�niert. Da sowohl die Verbundmomente als auch die Verbundkumulanten auf

der Charakteristischen Funktion basieren, konnten anschlie�end nicht nur Gemein-

samkeiten und Umrechnungsm�oglichkeiten, sondern auch die Vorteile der Verbundku-

mulanten gegen�uber den Verbundmomenten aufgezeigt werden. Nach der Herleitung

entsprechender Vereinfachungen bei den h�au�g anzutre�enden station�aren Zufallspro-

zessen konnten darauf basierend weitere, bedeutsame statistischen Gr�o�en, wie z. B.


die Autokumulantenfolge, eingef�uhrt werden. Alsdann wurde eine �ubliche Methode zur

Sch�atzung dieser statistischen Gr�o�en aus einem zeitdiskreten Signal endlicher Dauer

vorgestellt und der �Ubergang in den Frequenzbereich durch De�nition der sogenannten

Kumulanten- bzw. Momentespektren als mehrdimensionale Fourier-Transformierte

der Kumulanten- bzw. Momentefolgen vollzogen. Im Anschlu� an die Sch�atzung dieser

Spektren wurde gezeigt, wie sich die Kumulantenfolgen bzw. die Kumulantenspektren

des Ausgangsprozesses eines linearen zeitinvarianten Systems in Abh�angigkeit von der

Impulsantwort h(k) bzw. der �Ubertragungsfunktion H(e j) und den Kumulantenfolgen

bzw. Kumulantenspektren des Eingangsprozesses berechnen.

Abschlie�end kann nun gekl�art werden, was alles unter dem Begri� Statistiken

h�oherer Ordnung zu verstehen ist. Hierzu z�ahlen neben den Verbundmomenten und

Verbundkumulanten N -ter Ordnung mit N > 2 die daraus resultierenden Autokumu-

lanten bzw. AutomomenteN -ter Ordnung und die sich durch Fourier-Transformation

ergebenden Kumulanten- bzw. Momentespektren N -ter Ordnung.

2 Eine Diskussion der Statistiken h�oherer Ord-

nung

Ein gelegentlich in Fachkreisen zu h�orender Nachteil von Statistiken h�oherer Ordnung

ist, da� diese in der Regel zu ungenaueren Sch�atzungen f�uhren als Statistiken zweiter

Ordnung. Anders gesprochen: Statistiken h�oherer Ordnung erfordern h�au�g eine gr�o�e-

re Zahl an Signalabtastwerten, um eine zu Statistiken zweiter Ordnung vergleichbare

Sch�atzgenauigkeit zu erzielen. Mit dieser Behauptung wird sich in diesem Kapitel an-

hand praxisrelevanter Beispiele intensiv auseinandergesetzt. Ein unbestrittener Vorteil

von Statistiken h�oherer Ordnung besteht hingegen in der mathematisch exakten L�osung

einer Vielzahl bisher ungekl�arter signaltheoretischer Problemstellungen. Auch hierzu

werden im folgenden einige Beispiele angef�uhrt, die im dritten und letzten Kapitel

durch neue, verbesserte Algorithmen zur linearen Signalmodellierung erg�anzt werden.

Ein aus informationstheoretischer Sicht naheliegender Ansatz besteht o�enbar in

der Verwendung m�oglichst vieler optimal gewichteter Statistiken zur Erh�ohung der

Sch�atzgenauigkeit. Die Schwierigkeit eines solchen Vorhabens wird aber im Laufe die-

ses Kapitels deutlich, da neben einem nicht selten dramatischen Anstieg der mathe-

matischen Komplexit�at mit steigender Ordnung N auch die De�nition und Umset-

zung geeigneter Optimalit�atskriterien erhebliche Probleme darstellen. Die ansteigende

mathematische Komplexit�at k�onnte vielleicht durch die rechnergest�utzte symbolische

Mathematik in Verbindung mit den permanenten Fortschritten auf dem Gebiet der

mikroelektronischen Schaltungen noch allgemein bew�altigt werden. Ein zwar gel�ostes,

aber dennoch die Komplexit�at demonstrierendes Beispiel wird in diesem Kapitel an-

hand der Signalverarbeitung f�ur Sensorgruppen gegeben. Hingegen stellt das zweite

Problem { geeignete Optimalit�atskriterien zu �nden { eine gro�e Herausforderung f�ur

den Signaltheoretiker dar. Zielsetzung ist die Entwicklung optimaler kumulantenbasier-

ter Sch�atzmethodenmit �ahnlich vorteilhaften Eigenschaften wie der nur in Sonderf�allen

geschlossen berechenbare Maximum-Likelihood-Sch�atzer (siehe z. B. [5], S. 74). Erste

Schritte hierzu sind auf S. 83 bei der { durch Minimierung der Varianz { asymptotisch

optimalen Gewichtung von Kumulanten zu �nden.

Im folgenden wird zun�achst ein motivierendes Beispiel zur Verwendung von Stati-

stiken h�oherer Ordnung gegeben, und im Anschlu� wird gezeigt, da� in dem anwen-

37

38 Kapitel 2 Eine Diskussion der Statistiken h�oherer Ordnung

dungsnahen Gebiet der Signalverarbeitung f�ur Sensorgruppen mit Statistiken h�oherer

Ordnung durchaus genauere Parametersch�atzungen m�oglich sind. Abschlie�end zu die-

ser Thematik wird allgemein bewiesen, da� die Sch�atzung der Momente einer Zufalls-

variablen mit steigender Ordnung nicht notwendig ungenauer wird. Alsdann wird der

eingangs erw�ahnte Vorteil von Statistiken h�oherer Ordnung einer mathematisch exak-

ten L�osung bisher ungekl�arter signaltheoretischer Problemstellungen, der sich einfach

aus der erh�ohten Zahl an unabh�angigen Variablen ergibt, anhand der Identi�kation

sogenannter nichtminimalphasiger Systeme demonstriert. Zudem wird die Bedeutung

der theoretischen Unemp�ndlichkeit von Statistiken h�oherer Ordnung gegen�uber addi-

tivemGaussschen Rauschen dargelegt. Anschlie�end wird sich der Fragestellung einer

geeigneten Gewichtung von Verbundkumulanten zur Erh�ohung der Parametersch�atz-

genauigkeit gewidmet. Dabei ergibt sich eine im allgemeinen parameterabh�angige Ge-

wichtung mit demzufolge eingeschr�ankter Praxisrelevanz. Als abschlie�endes Beispiel

wird ein parameterunabh�angiger Vergleich von Sch�atzern bei der Modellierung von all-

pa�ge�lterten Zufallsprozessen angegeben.

2.1 Ein motivierendes Beispiel

Im folgenden ist X eine Gauss-verteilte Zufallsvariable mit der Dichtefunktion

fX(x) =1p2��2

e� x2

2�2 ;

und den Momenten

EfXg = 0 (2.1a)

E

nX2o

= �2; � 2 IR+ (2.1b)

E

nX3o

= 0 (2.1c)

E

nX4o

= 3�4: (2.1d)

Ferner sind xk, k = 0(1)K � 1 Realisierungen dieser Zufallsvariablen X, so da� der

�ubliche Sch�atzwert f�ur die Varianz �2 durch

�2x;II =1

K

K�1Xk=0

x2k (2.2)

gegeben ist, wobei der Erwartungswert aus (2.1b) durch den zeitlichen Mittelwert er-

setzt wurde und die Indizierung II die Verwendung von Statistiken zweiter Ordnung

2.1 Ein motivierendes Beispiel 39

kennzeichnet. Alternativ k�onnen basierend auf Gleichung (2.1d) auch ausschlie�lich

Momente vierter Ordnung (IV ) zur Varianzsch�atzung verwendet werden

�2x;IV =

vuut 1

3K

K�1Xk=0

x4k : (2.3)

Aufschlu�reich ist nun ein Vergleich dieser beiden Sch�atzer �2X;II, �2X;IV hinsichtlich

ihrer Genauigkeit. W�ahrend �2X;II f�ur alle K erwartungstreu ist, weist �2X;IV einen

systematischen Fehler auf, der sich f�ur K = 1 zu

B

n�2X;IV

o= �2

1p3� 1

!

ergibt. Hingegen l�a�t sich leicht zeigen, da�

E

��2X;II

�2�= �4

�1 +

2

K

�(2.4a)

E

��2X;IV

�2�= �4; (2.4b)

also

E

��2X;IV

�2�< E

��2X;II

�2�

f�ur alle endlichenK gilt. Zum Vergleich der beiden Sch�atzer ist daher ein Ma� sinnvoll,

welches sowohl die Erwartungstreue als auch die Varianz geeignet ber�ucksichtigt. Als

ein solches Ma� hat sich der erwartete quadratische Fehler (engl. mean square error

(MSE))

M

n�o= E

��

�2�= V

n�o+ B

n�o2

(2.5)

f�ur einen nicht notwendig erwartungstreuen Sch�atzer � des Parameters � bew�ahrt.

Denn neben der geforderten Ber�ucksichtigung der Erwartungstreue und der Varianz

erf�ullt der erwartete quadratische Fehler auch noch die Ungleichung ([10], S. 480 oder

[46], S. 636)

M

n�o�

1 +

dBf�gd�

!2

K E

8<: d ln fX(X; �)

d�

!29=;

def= JCR(�;K); (2.6)


wobei ein Sch�atzer, der die rechte Seite { die sogenannte Cramer-Rao-Schranke

{ erreicht, im Sinne des kleinsten erwarteten quadratischen Fehlers optimal ist. Er-

wartungstreue Sch�atzer, die (2.6) mit Gleichheit erf�ullen, werden daher e�zient ge-

nannt. Zu beachten ist, da� nicht-erwartungstreue Sch�atzer auch im asymptotischen

Fall K ! 1 einen kleineren erwarteten quadratischen Fehler aufweisen k�onnen als

e�ziente Sch�atzer, so da� diese Sch�atzer als supere�zient bezeichnet werden ([48], S.

208�, [198], [199]).

Der erwartete quadratische Fehler berechnet sich f�ur den auf Statistiken zweiter

Ordnung beruhenden Sch�atzer zu

M

n�2X;II

o=

2�4

K: (2.7)

Hingegen konnte eine allgemeine geschlossene Formel f�ur Mn�2X;IV

obisher nicht abge-

leitet werden. Um trotzdem zu n�utzlichen Erkenntnissen zu gelangen, bieten sich zwei

unterschiedliche rechnergest�utzte Methoden an. Entweder werden die bei der Berech-

nung des Erwartungswertes auftretenden K-dimensionalen Integrale durch numerische

Integrationsverfahren approximativ gel�ost, oder der erwartete quadratische Fehler wird

durch Erzeugung von Pseudozufallszahlen und Ersetzen der Erwartungswerte in (2.5)

durch Zeitmittelwerte (siehe auch S. 28) gesch�atzt. Die letzte Vorgehensweise hat sich

im Bereich der statistischen Signaltheorie nicht nur aufgrund ihrer Universalit�at, son-

dern vor allem wegen der Anlehnung an die zugrundeliegende Signalmodellvorstellung

und der daraus resultierenden einfachen Programmierung bew�ahrt. Tatsache ist, da�

zahlreiche neuentwickelte Algorithmen aufgrund ihrer mathematischen Komplexit�at

bisher nur in Sonderf�allen analytisch exakt miteinander verglichen werden konnten.

Insofern ist die auf Pseudozufallszahlen basierende rechnergest�utzte Methode als ein

mittlerweile probates Verfahren zum Vergleich verschiedenster L�osungsvorschl�age an-

erkannt.

Daher wurden zur Sch�atzung der Varianz, des systematischen Fehlers und des er-

warteten quadratischen Fehlers der Sch�atzer �2X;II, �2X;IV f�ur den Parameter �2 je-

weils 105 Gauss-verteilte Zufallszahlen mit � = 1 und EfXg = 0 rechnergest�utzt f�ur

K = 1(1)10 erzeugt. Die entsprechenden Ergebnisse sind in Bild 2.1 dargestellt.

O�enbar ist neben einem zwar von Null verschiedenen systematischen Fehler die Va-

rianz und vor allem der erwartete quadratische Fehler des Sch�atzwertes �2IV stets kleiner

als der des Sch�atzwertes �2IV . Somit widerlegt dieses einfache Beispiel die Behauptung

einer abnehmenden Sch�atzgenauigkeit mit zunehmender Ordnung N bei gleichbleiben-

der Datenanzahl. Naheliegend ist nun die Fragestellung, ob mit Statistiken sechster

oder gar h�oherer Ordnung der erwartete quadratische Fehler noch zu verringern ist.


2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

2 4 6 8 10-0.5

0

0.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

M

n�2x;II

oM

n�2x;IV

o

6

K -

Gesch�atzter erwarteter quadratischer Fehler

V

n�2x;II

oV

n�2x;IV

o

6

K -

Gesch�atzte Varianz

B

n�2x;II

o

B

n�2x;IV

o

6

K -

Gesch�atzter Bias

Bild 2.1 Sch�atzung der Varianz, des systematischen Fehlers und des

erwarteten quadratischen Fehlers von �2x;II (Kreise) und �2x;IV

(Sterne).

Zur Beantwortung sei nochmals auf Bild 2.1 verwiesen. Beide Kurven verhalten

sich umgekehrt proportional zu der Datenanzahl K und n�ahern sich mit zunehmen-

dem K immer mehr an. Folglich gen�ugt eine Berechnung des erwarteten quadratischen

Fehlers im Falle von K = 1, um eine erste, mathematisch exakte Antwort geben zu

k�onnen. Hierzu ist im Anhang C das Moment N -ter Ordnung der Gauss-verteilten

Zufallsvariablen X abgeleitet

E

nXN

o= �N

(1 + (�1)N) �(N)

2N

2 �(N=2); N > �1; (2.8)

wobei �(x) die Gammafunktion (z. B. [8], S. 103) ist. Durch Ersetzen des Erwartungs-

wertes durch den zeitlichen Mittelwert l�a�t sich ein Sch�atzer f�ur �2 o�enbar zu

�2X;N(K) =

0@ 2

N

2 �(N=2)

(1 + (�1)N )�(N)

1

K

K�1Xk=0

XNk

1A

2N

; N > �1; N 6= 1(2)1 (2.9)


angeben, wobei N keine ungerade Zahl sein darf. Eine Berechnung des erwarteten

quadratischen Fehlers dieses Sch�atzers f�ur beliebige K scheint aufgrund der durch den

Exponenten 2=N gegebenen Nichtlinearit�at aussichtslos. F�ur K = 1 k�onnen jedoch

folgende Erwartungswerte berechnet werden

E

n�2X;N(1)

o= 2�2

�(N=2)

(1 + (�1)N)�(N)

! 2N

(2.10a)

E

n�4X;N(1)

o= 12�4

�(N=2)

(1 + (�1)N )�(N)

! 4N

; (2.10b)

so da� der erwartete quadratische Fehler gleich

M

n�2X;N(1)

o= E

n(�2X;N(1) � �2)2

o= E

n�4X;N(1)

o� 2�2E

n�2X;N(1)

o+ �4

= �4

2412

�(N=2)

(1 + (�1)N)�(N)

! 4N

� 4

�(N=2)

(1 + (�1)N )�(N)

! 2N

+ 1

35 (2.11)

ist. Um nun das globale Minimum M

n�2X;N(1)

oals Funktion von N zu �nden, ist

die Ableitung1 nach N gleich Null zu setzen; dies f�uhrt jedoch auf eine nichtlineare

Gleichung, die nur rechnergest�utzt gel�ost werden kann. Da in dieser Schrift aber nur

ganzzahlige Ordnungen von Interesse sind, wird auf eine solche Minimierung verzichtet

und anstelle dessen ist der Verlauf des erwarteten quadratischen Fehlers in Abh�angig-

keit der Ordnung N = 2(2)30 in Bild 2.2 dargestellt.

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-N

6

M

n�2X;N(1)

o

Bild 2.2 Erwarteter quadratischer Fehler in Abh�angigkeit der Ordnung N .

Aus Bild 2.2 l�a�t sich das bemerkenswerte Ergebnis entnehmen, da� der erwartete

quadratische Fehler f�ur N = 8 { also f�ur Statistiken achter Ordnung { minimal ist.

1Zu beachten ist, da� Gleichung (2.11) f�ur alle N > �1, N 2 IR+ mit Ausnahme ungerader

Ordnungen g�ultig ist, und eine st�uckweise Di�erentiation somit �uberhaupt m�oglich ist.


Dabei ist zu beachten, da� mit dieser exakten Berechnung keineswegs ein Minimum

bei N = 8 f�ur beliebige Datenl�angen K gew�ahrleistet werden kann. Dieses einfache Bei-

spiel motiviert jedoch die Verwendung von Statistiken h�oherer Ordnung gerade auch bei

sehr kleinen Datenzahlen. Weitere rechnergest�utzte Simulationen haben gezeigt, da� f�ur

K = 2 auch Statistiken achter Ordnung, f�ur K = 3(1)7 hingegen Statistiken sechster

Ordnung und erst ab K > 7 Statistiken vierter Ordnung zu dem kleinsten gesch�atz-

ten erwarteten quadratischen Fehler f�uhren. Dieses Beispiel erg�anzende Betrachtungen

sind in [63] zu �nden. Dort wird f�ur beliebige Datenl�angen und unabh�angig von der

Verteilungsfunktion allgemein gezeigt, da� Momente mit zunehmender Ordnung nicht

notwendig ungenauer gesch�atzt werden. Dazu wird in [63] der Begri� der E�zienz eines

Sch�atzers �

F

n�o=

V

n�o

(En�o)2; E

n�o6= 0 (2.12)

eingef�uhrt, wobei die Normierung auf den quadrierten Erwartungswert zwar die Un-

abh�angigkeit von einer Skalierung des Sch�atzers gew�ahrleistet, aber auch gleichzeitig

die Untersuchung von Sch�atzern mit En�o= 0 ausschlie�t.

Wird nun die E�zienz des Sch�atzers f�ur das N -te Moment

E

nXN

o=

1

K

K�1Xk=0

XNK

def= mX;N

bei Annahme von E

nXN

o= mX;N 6= 0 berechnet, so ergibt sich die E�zienz zu

FfmX;Ng =1

K

mX;2N

(mX;N)2 � 1

!;

welche im allgemeinen nicht in N monoton steigend ist. Es k�onnen zwar unabh�angig

von der Verteilung von X die Ungleichungen

FfmX;2N+1g � FfmX;2Ng (2.13a)

FfmX;2N+2g � FfmX;2Ng (2.13b)

gezeigt werden, aber auch

FfmX;2N+2g 6� FfmX;2N+1g (2.13c)

ist g�ultig, so da� Momente h�oherer Ordnung unabh�angig von der Datenl�ange K nicht

notwendig ungenauer zu sch�atzen sind. Ferner ist zu beachten, da�, auch wenn der


Momentesch�atzer mit zunehmender Ordnung ungenauer wird, die im allgemeinen auf

einer nichtlinearen Funktion der Momente basierende Parametersch�atzung keinesfalls

mit steigender Ordnung an Genauigkeit einb�u�en mu�. Gerade dieser Sachverhalt wur-

de in dem einf�uhrenden Beispiel der Varianzsch�atzung einer Gauss-verteilten Zufalls-

variablen in anschaulicher Weise demonstriert.

Die Gleichungen (2.13a)-(2.13c) erm�oglichen zwar eine fundamentale Aussage zur

Sch�atzgenauigkeit von Momenten in Abh�angigkeit der Ordnung, jedoch sind hierbei

zwei wesentliche Einschr�ankungen notwendig. Zum einen sind diese Gleichungen nur f�ur

den Fall einer Zufallsvariablen und nicht f�ur einen aus mehreren voneinander abh�angi-

gen Zufallsvariablen bestehenden Zufallsproze� g�ultig. Zahlreiche anwendungsnahe Si-

gnalmodelle basieren aber gerade auf einem solchen Zufallsproze�, so da� die E�zienz

von Sch�atzern f�ur Momentefolgen anstelle von Momenten { wiederum als Funktion der

Ordnung N { erheblich bedeutsamer f�ur die Praxis ist. Zum anderen ist ein E�zi-

enzma� ohne die Einschr�ankung En�o6= 0 �au�erst erstrebenswert. Ein erster Ansatz

hierzu bietet das Ma�

~FfmX;Ng def=

VfmX;Ng((VfmX;2g)

N

2

= K(N=2�1) mX;2N � (mX;N)2

�mX;4 � (mX;2)

2�N

2

; (2.14)

welches nicht nur unabh�angig von einer Skalierung ist, sondern auch einen stets positi-

ven Nenner VfmX;2g > 0 aufweist. Es l�a�t sich leicht zeigen, da� der Abstand zweier

derartiger E�zienzma�e sich zu

~FfmX;N+Mg � ~FfmX;Ng = (2.15)

K(N2�1)

0BB@K M

2mX;2(N+M)� (mX;N+M)

2

�mX;4 � (mX;2)

2�N+M

2

� mX;2N � (mX;N)2

�mX;4 � (mX;2)

2�N

2

1CCA ; M 2 IN+

berechnet. Wird zun�achst angenommen, da� Momente mit steigender Ordnung zuneh-

mend ungenauer zu sch�atzen sind, so mu� die rechte Seite von Gleichung (2.15) o�enbar

der Ungleichung

KM2mX;2(N+M)� (mX;N+M)

2

�mX;4 � (mX;2)

2�N+M

2

� mX;2N � (mX;N)2

�mX;4 � (mX;2)

2�N

2

> 0 (2.16)

gen�ugen. Unter Ber�ucksichtigung der Tatsache, da� beide in (2.16) enthaltene, aus

Momenten bestehende Br�uche stets positiv sind, kann folgendes festgestellt werden:

Entweder ist die Ungleichung (2.16) f�ur alle K stets erf�ullt, oder aber es existiert ein

K = K0, wobei f�ur K > K0 die Momente h�oherer Ordnung ungenauer und f�ur K < K0

2.2 E�ekte endlicher Datenl�angen in der Sensorgruppensignalverarbeitung 45

genauer gesch�atzt werden. Folglich sollte f�ur K < K0 daher die Ordnung mit abneh-

mender Datenl�ange zunehmen, um nicht an Sch�atzgenauigkeit zu verlieren.Genau diese

Erkenntnis stimmt mit den Resultaten des eingangs vorgestellten motivierenden Bei-

spiels �uberein. Denn einerseits haben sich die Statistiken achter Ordnung f�ur K = 1; 2,

Statistiken sechster Ordnung f�ur K = 3(1)7 und Statistiken vierter Ordnung f�ur K > 7

als optimal zur Sch�atzung der Varianz eines Gauss-verteilten Zufallsprozesses heraus-

gestellt, und andererseits ist in Bild 2.1 die mit sinkender Datenzahl K anwachsende

Di�erenz Vn�2x;II

o� V

n�2x;IV

odeutlich zu erkennen. Weitere verteilungsunabh�angige

Aussagen scheinen aufgrund des von N abh�angigen Exponenten der DatenzahlK (siehe

(2.14)) nur schwerlich m�oglich. Hingegen sollte aber bei gegebener Verteilungsfunktion

und geschlossener Gleichung f�ur die Momente beliebiger Ordnung der Schwellenwert

K0 nicht nur in Sonderf�allen exakt zu bestimmen sein.

2.2 E�ekte endlicher Datenl�angen in der Sensorgruppensi-

gnalverarbeitung

Im Gegensatz zu dem vorherigen, mehr theoretisch orientierten Beispiel wird in diesem

Abschnitt der Einsatz von Statistiken h�oherer Ordnung bei einem konkreten praxisrele-

vanten Problem - der Signalverarbeitung f�ur Sensorgruppen - diskutiert. Sensorgruppen

sind in der technischen Anwendung h�au�g zu �nden, beispielsweise in der Radartechnik

[20], [18], der Sonartechnik [141], der Nachrichten�ubertragung [77], der Medizintechnik

[28], [172], der Brandentdeckungstechnik [133], und ihr Einsatz zur Erh�ohung der Ka-

pazit�at von Mobilfunknetzen ist sicherlich nur noch eine Frage der Zeit [171].

Die Verwendung von Sensorgruppen anstelle eines Sensors ist durch folgende zwei

wesentliche Gr�unde motiviert:

� Vergr�o�erung des Signal-zu-Rausch-Leistungsabstandes (siehe Gleichung (2.50))

� Erkennung der nahen und/oder fernen Umgebung, die durch die Anzahl an signal-

emittierenden Quellen, durch die Quellenorte - welche sich erschwerend zeitlich

schnell �andern k�onnen - und durch die Signalverl�aufe festgelegt ist.

In der im folgenden diskutierten Aufgabenstellung wird das Problem der Ortsbe-

stimmung von signalemittierenden Quellen aufgegri�en, wobei der Abstand R zwischen

der Sensorgruppe und der ihr naheliegendsten Quelle sehr viel gr�o�er

R� d (2.17)


als die r�aumliche Ausdehnung d der Sensorgruppe ist.

Bei G�ultigkeit von (2.17) wird die Kr�ummung der

Wellenfronten imBereich der Sensorgruppe so klein

(siehe Bild 2.3), da� eine zuverl�assige Bestimmung

des Abstandes R nicht mehr m�oglich ist und die

empfangenen Wellenfronten nun geeigneter als pla-

nar anzunehmen sind. Bei vielen Anwendungen

ist diese sogenannte Fernfeldsituation jedoch nicht

als Einschr�ankung aufzufassen, da h�au�g ledig-

lich der Einfallswinkel � von Interesse ist und zu-

dem Methoden von beschr�ankter Komplexit�at zur

Bestimmung von � durch diese Fernfeldannahme

erm�oglicht werden. Selbst bei Vorliegen der Nah-

feldsituation sind h�au�g Approximationen notwen-

dig [69], [193], um die mathematische Handhab-

barkeit zu gew�ahrleisten. Im Bedarfsfall k�onnen

auch alternative Methoden - wie beispielsweise ei-

ne Laufzeitsch�atzung bei bekannter Wellenausbrei-

tungsgeschwindigkeit - n�aheren Aufschlu� �uber die

Entfernung geben.

u u u

.

...................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................

�?

uQuelle

R

� -

d

Bild 2.3 Planare Wellenfront-

approximation.

Neben der Fernfeldsituation k�onnen die betrachteten Signale in zahlreichen Anwen-

dungen als schmalbandig aufgefa�t werden. Die Schmalbandannahme ist h�au�g durch

die zur Anpassung an die physikalischen �Ubertragungsgegebenheiten erforderliche Mo-

dulation in hohe Frequenzbereiche begr�undet. Mit !0 als Tr�agerkreisfrequenz und !g

als Grenzkreisfrequenz des informationstragenden Signals X(t) l�a�t sich die Schmal-

bandeigenschaft des modulierten Signals

~X(t) = X(t) e j!0t (2.18)

mathematisch formulieren als die Ungleichung !0 � !g. Im Zusammenhang mit der

Sensorgruppensignalverarbeitung kann der Begri� der Schmalbandigkeit noch n�aher

konkretisiert werden. Hierzu wird eine Sensorgruppe mitM beliebig angeordneten Sen-

soren betrachtet (Bild 2.4), deren maximaler Sensorenabstand wieder gleich d ist.

Sei vW die Ausbreitungsgeschwindigkeit der planaren Wellenfront, so gilt o�enbar

~XM (t) = ~X1(t� �1;M); �1;M =d

vWcos�:


u u

u

u

u

u

u

p

�

~X1(t)~XM (t)~Xm(t)

-� d

Bild 2.4 Darstellung einer unter dem Winkel � einfallenden planaren

Wellenfront auf eine Sensorgruppe, bestehend aus M beliebig

angeordneten Sensoren (schwarze Punkte).

Unter Verwendung von Gleichung (2.18) folgt weiter

~XM (t) = X1(t� �1;M) ej!0(t��1;M )

� X1(t) ej!0(t��1;M ) (2.19)

= ~X1(t) e�j!0�1;M ; (2.20)

wobei die N�aherung (2.19) der Annahme unterliegt, da� die zeitliche �Anderung des

informationstragenden Signalanteils X1(t) = X(t) bei der Ausbreitung durch die Sen-

sorgruppe zu vernachl�assigen ist. Da eine Verschiebung im Zeitbereich um �1;M eine

zus�atzliche lineare Phase mit der Steigung �1;M im Frequenzbereich bewirkt und zudem

die gr�o�te Signalfrequenz gleich !g ist, l�a�t sich die (2.19) zugrundeliegende Approxi-

mationsbedingung mathematisch formulieren als

!g�1;M � 2�:

Unter Ber�ucksichtigung von vW = �Wf0, f0 = !0=(2�) mit �W als Wellenl�ange mu�

neben

!g �2�vWd cos�

(2.21a)

auch

!g � !0�W

d cos(�)(2.21b)

gelten, so da� alternativ zu einer hohen Tr�agerkreisfrequenz auch eine geringe r�aumliche

Ausdehnung der Sensorgruppe oder { bei bekanntem kleinen Einfallswinkelbereich � 2


[�min; �max], (�max � �min) � 2� { eine entsprechende Ausrichtung der Sensorgruppe

die G�ultigkeit der Schmalbandannahme und die von Gleichung (2.19) gew�ahrleistet.

Im Gegensatz zu der nicht immer geforderten Bedingung R� d ist (2.19) im weiteren

stets g�ultig, so da� ausschlie�lich die Nah- oder Fernfeldsituation bei schmalbandigen

Signalen betrachtet wird.

Nachdem die grundlegenden Annahmen erl�autert worden sind, werden jetzt die

Einsatzm�oglichkeiten von Statistiken h�oherer Ordnung in der Sensorgruppensignal-

verarbeitung aufgezeigt. F�ur eine praxisgerechte Diskussion von Statistiken h�oherer

Ordnung mu� dabei selbstverst�andlich von Signalen endlicher L�ange ausgegangen wer-

den. Unter Annahme einer unendlichen Datenl�ange wurden hingegen schon zahlreiche

Algorithmen zur Einfallswinkelsch�atzung miteinander verglichen [68], [78], [79], [80],

[81], [97], [99], [111], [159], [224], [227], [230], [231], [233], w�ahrend nur wenig Auf-

merksamkeit dem realistischen Fall einer endlichen Datenl�ange [92], [183] entgegen-

gebracht wurde. Letztere Arbeiten sind jedoch auf den Fall Gauss-verteilter Signale

sowie Gauss-verteilter St�orungen beschr�ankt, und die Resultate sind somit nicht auf

Verbundkumulanten h�oherer Ordnung erweiterbar. Bei k�urzlich entwickelten, auf Ver-

bundkumulanten h�oherer Ordnung beruhenden Algorithmen (vgl. [88], [89], [90], [112],

[113]), wurde unter gewissen Konstellationen durch rechnergest�utzte Simulation die�Uberlegenheit im Vergleich zu Verfahren basierend auf Verbundkumulanten zweiter

Ordnung beobachtet. Dies galt insbesondere bei recht kleinen Datenl�angen und gab

Anla� zu den im folgenden dargestellten Untersuchungen.

2.2.1 Das zugrundeliegende Signalmodell

Bevor einfache Methoden zur Sch�atzung des Einfallswinkels abgeleitet werden k�onnen,

ist das zugrundeliegende Signalmodell einzuf�uhren, und entsprechende Randbedingun-

gen sind anzugeben.

Empf�angt eine ausM Sensoren bestehende Sensorgruppe J schmalbandige Quellen-

signale, so k�onnen die in dem Vektor X(k) = (X1(k); :::;XM(k))T zusammengefa�ten,

demodulierten und abgetasteten Ausgangssignale Xm(k), m = 1(1)M modelliert wer-

den als

X(k) = A(�; #)S(k) +N (k): (2.22)

Dabei ist

� S(k) = (S1(k); :::; SJ(k))T ein Vektor der Dimension J�1, bestehend aus den in-

formationstragenden Quellensignalen Sj(k) mit jeweils dem Erwartungswert Null


(EfSj(k)g = 0; 8 j = 1(1)J). Da ein informationstragendes Signal in der Regel

Zufallscharakter aufweist, werden Sj(k0) und Sj(k1) f�ur k0 6= k1 als voneinan-

der unabh�angige, nicht-Gauss-verteilte Zufallsvariablen mit gleicher Verteilungs-

funktion modelliert. Diese Annahme ist nur dann zu begr�unden, wenn die Abtast-

frequenz beim Empf�anger gleich der Rate der von der Signalquelle ausgesandten

informationstragenden Symbole gesetzt wird. Der Fall einer �Uberabtastung der

empfangenen Signale und die daraus resultierende, sogenannte Zyklostationarit�at

wird sp�ater aufgegri�en (s. S. 77).

� N (k) = (N1(k); :::; NM(k))T ein Vektor der DimensionM�1, welcherM beliebig

verteilte, voneinander unabh�angige Rauschsignale Nm(k) mit dem Erwartungs-

wert Null (EfNm(k)g = 0; 8m = 1(1)M) und gleicher Leistung EfN2m(k)g =

EfN21 (k)g, 8m = 2(1)M enth�alt. Analog zu den Quellensignaleigenschaften sind

Nm(k0) und Nm(k1) f�ur k0 6= k1 nicht nur voneinander unabh�angige Zufallsva-

riablen mit gleicher Verteilungsdichtefunktion, sondern zudem unabh�angig von

Sj(k), 8k 2 Z.

� A(�; #) wird als Steuermatrix der Dimension M � J bezeichnet, und die un-

abh�angigen Variablen � 2 [��; �], # 2 [0; �] werden Richtungswinkel oder Azi-

muthwinkel beziehungsweiseErhebungswinkel oder Polarwinkel genannt. ImFern-

feldfall lassen sich die Elemente am;j(�; #), m = 1(1)M , j = 1(1)J der Steuerma-

trix schreiben als [133]

am;j(�j; #j) = gm(�j; #j) ej 2��W

(xm sin#j cos�j+ym sin#j sin�j+zm cos#j); (2.23)

wobei gm(�j; #j) die Antwort des m-ten Sensors auf ein unter den Winkeln �j,

#j einfallenden Quellensignalimpuls der H�ohe eins ist und (xm; ym; zm) die karte-

sischen Koordinaten des m-ten Sensors sind.

� Entsprechend der Basisbanddarstellung in der Nachrichten�ubertragung sind s�amt-

liche Zufallsvariablen komplexwertig mit voneinander unabh�angigen Real- und

Imagin�arteilen, und die Verbundkumulanten bis zur achten Ordnung sind exi-

stent. Insbesondere kennzeichnen die Quellensignale Sj(k) die komplexwertigen

H�ullkurven der modulierten Signale ~Sj(k).

Nach dieser Einf�uhrung des zugrundeliegenden Signalmodells werden im folgenden Ab-

schnitt die Verbundkumulanten zweiter und vierter Ordnung der empfangenen Zu-

fallsprozesse Xm(k) berechnet.


2.2.2 Verbundkumulanten in der Sensorgruppensignalverar-

beitung

Da die Zufallsprozesse Sj(k) und Nm(k) ausschlie�lich aus unabh�angigen Zufallsvaria-

blen bestehen, sind sowohl die Autokumulantenfolgen cS;L(�1; :::; �L�1), cN;L(�1; :::; �L�1)

als auch die Automomentefolgen mS;L(�1; :::; �L�1), mN;L(�1; :::; �L�1) beliebiger Ord-

nung L bis auf ihren Wert im Ursprung �l = 0; 8 l = 0(1)L � 1 stets gleich Null.

Daher werden im weiteren ausschlie�lich Kumulanten L-ter Ordnung, wie beispiels-

weise KnSLj (k)

o, anstelle der Folgen verwendet. Wie sp�ater noch anschaulich gezeigt

wird, sind aus Komplexit�atsgr�unden nur die Verbundkumulanten zweiter und vierter

Ordnung

K

nXp(k)X

�q (k)

o= E

nXp(k)X

�q (k)

o(2.24)

K

nXp(k)X

�q (k)X

�l (k)Xm(k)

o= E

nXp(k)X

�q (k)X

�l (k)Xm(k)

o�E

nXp(k)X

�q (k)

oE

nX�l (k)Xm(k)

o�E

nXp(k)X

�l (k)

oE

nX�q (k)Xm(k)

o�E

nXp(k)Xm(k)

oE

nX�l (k)X

�q (k)

o(2.25)

von Interesse2; die Sch�atzer ergeben sich durch Ersetzen der Erwartungswerte durch

Zeitmittelwerte zu

bKnXp(k)X�q (k)

o=

1

K

K�1Xk=0

Xp(k)X�q (k); (2.26)

bKnXp(k)X�q (k)X

�l (k)Xm(k)

o=

1

Ka

K�1Xk=0

Xp(k)X�q (k)X

�l (k)Xm(k)

� 1

Kb

K�1Xk=0

Xp(k)X�q (k)

K�1Xk=0

X�l (k)Xm(k)

� 1

Kb

K�1Xk=0

Xp(k)X�l (k)

K�1Xk=0

X�q (k)Xm(k)

� 1

Kb

K�1Xk=0

Xp(k)Xm(k)K�1Xk=0

X�l (k)X

�q (k); (2.27)

und die entsprechenden Sch�atzungen durch Ersetzen der Zufallsvariablen Xn(k), n 2[p; q; l;m] durch ihre Realisierungen xn(k). Dabei sind Ka, Kb Funktionen der Daten-

2Um weiterhin die rechte Seite von Gleichung (2.24) auch f�ur p = q als Leistung interpretieren zu

k�onnen, wird eine der beiden Zufallsvariablen konjugiert. Entsprechend sind bei Erwartungswerten

oder Kumulanten vierter Ordnung zwei Zufallsvariablen zu konjugieren. Dabei ist es wegen (1.15a)

bzw. (1.15b) unerheblich, welche Zufallsvariable konjugiert wird.


anzahl K und f�uhren zu einem erwartungstreuen Sch�atzer (siehe [130]), wenn gilt

Ka =K2 �K

K + 2; Kb = K2 �K; K > 1: (2.28)

H�au�g wird jedoch der durch die Wahl

Ka = K; Kb = K2; K > 0 (2.29)

festgelegte, nicht erwartungstreue Sch�atzer verwendet. Da die im weiteren abgeleiteten

Gleichungen f�ur beide Sch�atzer g�ultig sind, k�onnen deren Eigenschaften mathematisch

exakt analysiert werden.

2.2.3 Sch�atzer des Steuervektors bei einer Signalquelle

Nachdem das Signalmodell und die Sch�atzer f�ur Verbundkumulanten zweiter und vier-

ter Ordnung angegeben wurden, ist nun ein mathematischer Zusammenhang zwischen

den zu bestimmenden Parametern, die bei der hier betrachteten Problemstellung gleich

den Elementen der Steuermatrix A(�; #) sind, und den Verbundkumulanten aufzu-

zeigen. Sodann k�onnen Verfahren zur Sch�atzung der Parameter aus den gesch�atzten

Verbundkumulanten abgeleitet werden.

Dabei wird zun�achst aus Komplexit�atsgr�unden der Fall einer signalemittierenden

Quelle (J = 1) betrachtet. Das Signalmodell vereinfacht sich dann zu

X(k) = a(�; #)S(k) +N (k) (2.30)

mit dem Steuervektor a(�; #) = (a1(�; #); :::; aM(�; #))T und S(k) = S1(k). F�ur die

Verbundkumulante zweiter Ordnung des Ausgangsprozesses ergibt sich

K

nXp(k)X

�q (k)

o= E

nXp(k)X

�q (k)

o= E

n(ap(�; #)S(k) +Np(k)) (a

�q(�; #)S

�(k) +N�q (k))

o= ap(�; #)a

�q(�; #) EfS(k)S�(k)g+ E

nNp(k)N

�q (k)

o(2.31)

p6=q= ap(�; #)a

�q(�; #)K

njS(k)j2

o; (2.32)

wobei zur Herleitung von (2.31) sowohl die Unabh�angigkeit von S(k), S�(k) mit Np(k),

N�q (k) als auch EfS(k)g = EfS�(k)g = EfNp(k)g = E

nN�q (k)

o= 0 ausgenutzt wurde.

Hingegen basiert der letzte Rechenschritt auf der Unabh�angigkeit von Np(k) mitN�q (k)

f�ur p 6= q. Entsprechend Gleichung (2.32) l�a�t sich auch ein Zusammenhang zwischen


dem Steuervektor und der Verbundkumulante vierter Ordnung angeben

K

nXp(k)X

�q (k)X

�l (k)Xm(k)

o= K

n(ap(�; #)S(k) +Np(k)) (a

�p(�; #)S

�(k) +N�q (k))

(a�l (�; #)S�(k) +N�

l (k)) (am(�; #)S(k) +Nm(k))g= K

nap(�; #)S(k) a

�p(�; #)S

�(k) a�l (�; #)S�(k) am(�; #)S(k)

o+K

nNp(k)N

�q (k)N

�l (k)Nm(k)

o(2.33a)

= ap(�; #)a�p(�; #)a

�l (�; #)am(�; #)K

njS(k)j4

o+K

nNp(k)N

�q (k)N

�l (k)Nm(k)

o(2.33b)

= ap(�; #)a�p(�; #)a

�l (�; #)am(�; #)K

njS(k)j4

o: (2.33c)

Dabei ist die letzte Gleichung (2.33c) nur dann g�ultig, wenn mindestens ein Index p,

q, l, m ungleich einem anderen ist. Zur Herleitung wurde f�ur den zweiten Rechen-

schritt (2.33a) die Eigenschaft (1.18b) und f�ur den dritten Rechenschritt (2.33b) die

Eigenschaft (1.14b) angewendet.

Die Gleichungen (2.32) und (2.33c) liefern o�enbar den gesuchten Zusammenhang

zwischen den Verbundkumulanten zweiter und vierter Ordnung und den Elementen des

zu bestimmenden Steuervektors, so da� lediglich eine Umstellung dieser Gleichungen

nach den Steuervektorelementen verbleibt. Dabei ist zu beachten, da� der Steuervektor

nur bis auf eine multiplikative komplexe Konstante berechnet werden kann, da die

als unbekannt angenommenen Quellensignale stets eine nicht bestimmbare Skalierung

beinhalten. Unter Ber�ucksichtigung dieser �Uberlegung ergibt sich der Steuervektor bis

auf den Skalierungsfaktor

K

njS(k)j2

o2ap(�; #) a

�q(�; #) a

�l (�; #) (2.34)

durch Multiplikation der Gleichung (2.32) mit sich selbst und geeignetem Umstellen zu

a(2)p;q;l(�; #) =

0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@

K

nXp(k)X�

q (k)oKfX�

l (k)X1(k)gK

nXp(k)X�

q (k)oKfX�

l (k)X2(k)g...

K

nXp(k)X�

q (k)oKfX�

l (k)Xl�1(k)gKfXp(k)X�

l (k)g K

nXl(k)X�

q (k)o

K

nXp(k)X�

q (k)oKfX�

l (k)Xl+1(k)g...

K

nXp(k)X

�q (k)

oKfX�

l (k)XM(k)g

1CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCA

wenn

p 6= q

^ q 6= l

^ l 6= p:

(2.35)


Die Ungleichungen p 6= q ^ q 6= l ^ l 6= p entstammen der Gleichung (2.32) und gew�ahr-

leisten die Unterdr�uckung des additiven RauschensN (k). Aus demselben Grund wurde

der Index q des l-ten Elementes von a(2)p;q;l(�; #) mit dem Index l vertauscht. Ferner ist

zu beachten, da� mindestens M = 3 Sensoren zur Erf�ullung der drei Ungleichungen

notwendig sind. Der hochgestellte Index (2) verdeutlicht die Verwendung von Verbund-

kumulanten zweiter Ordnung (s. auch S. 5).

Entsprechend der Gleichung (2.35) l�a�t sich auch, bis auf den Skalierungsfaktor

K

njS(k)j4

oap(�; #) a

�q(�; #)a

�l (�; #); (2.36)

die ausschlie�lich auf Verbundkumulanten vierter Ordnung basierende Gleichung

a(4)p;q;l(�; #) =

0BBB@

K

nXp(k)X�

q (k)X�l (k)X1(k)

o...

K

nXp(k)X

�q (k)X

�l (k)XM (k)

o1CCCA (2.37)

ableiten, die im Falle eines additiven Gauss-verteilten Rauschens ohne Einschr�ankung

g�ultig ist und die bei anderen Verteilungen die G�ultigkeit mindestens einer der Unglei-

chungen p 6= q ^ q 6= l ^ l 6= p erfordert.

Ausgehend von den beiden grundlegenden Gleichungen (2.35) und (2.37) lassen

sich nun Sch�atzer a(2)p;q;l(�; #), a

(4)p;q;l(�; #) f�ur die Steuervektoren gewinnen, indem die

Verbundkumulanten zweiter und vierter Ordnung durch ihre Sch�atzer (2.26), (2.27)

ersetzt werden. Demzufolge kann nun beurteilt werden, unter welchen Situationen wel-

cher Sch�atzer der geeignetste ist, wenn nur die Varianzen und Erwartungswerte der

jeweiligen Sch�atzer - vor allem in Abh�angigkeit der Datenl�ange K - analytisch be-

rechnet werden k�onnen. Genau diese Varianz- und Erwartungswertberechnungen sind

Gegenstand des n�achsten Abschnitts. Abschlie�end sei noch zum besseren Verst�andnis

angemerkt, da� beide Sch�atzer �uber beinahe beliebig w�ahlbare Indizes p, q, l verf�ugen,

die nicht nur direkten Ein u� auf die Sch�atzgenauigkeit haben, sondern auch durch

Mittelwertbildung vieler, verschieden indizierter Sch�atzer die Sch�atzgenauigkeit ver-

bessern. Dieser Ansatz wird an sp�aterer Stelle nochmals aufgegri�en (s. S. 72).

2.2.4 Erwartungswert der Steuervektorsch�atzer

Die Berechnung des Erwartungswertes beider Sch�atzer ist im Gegensatz zur Varianz-

berechnung noch von geringem mathematischen Aufwand. Beginnend mit dem Erwar-


tungswert der Elemente von a(2)p;q;l(�; #) folgt

E

na(2)p;q;l;m(�; #)

o= E

8<: 1

K2

K�1Xk1=0

K�1Xk2=0

Xp(k1)X�q (k1)X

�l (k2)Xm(k2)

9=;

=1

K2

K�1Xk1=0

K�1Xk2=0

E

nXp(k1)X

�q (k1)X

�l (k2)Xm(k2)

o

=1

KE

nXp(k1)X

�q (k1)X

�l (k1)Xm(k1)

o

+K2 �K

K2 E

nXp(k1)X

�q (k1)

oEfX�

l (k1)Xm(k1)g ; (2.38)

wobei zur Herleitung von (2.38) die Unabh�angigkeit von Xp(k1) mit Xp(k2) f�ur k1 6= k2

verwendet wurde. Nun gilt aber f�ur den ersten Summanden aus (2.38)

E

nXp(k1)X

�q (k1)X

�l (k1)Xm(k1)

o=

E

njS(k)j4

oap(�; #) a

�q(�; #) a

�l (�; #) am(�; #); (2.39)

solange nur die Bedingungen p 6= q ^ q 6= l ^ l 6= p erf�ullt sind. Entsprechend folgt f�ur

den zweiten Summanden

E

nXp(k1)X

�q (k1)

o= E

njS(k)j2

oap(�; #) a

�q(�; #); p 6= q; (2.40)

so da� der Erwartungswert unter Verwendung von EfjS(k)j2g = KfjS(k)j2g sich

schlie�lich zu

E

na(2)p;q;l;m(�; #)

o!= (2.41)

ap(�; #) a�q(�; #) a

�l (�; #) am(�; #)

�K

njS(k)j2

o2+

1

K

�E

njS(k)j4

o� E

njS(k)j2

o2��

ergibt. O�enbar ist der auf Verbundkumulanten zweiter Ordnung basierende Steuer-

vektorsch�atzer bis auf den Skalierungsfaktor (2.34) asymptotisch erwartungstreu. In

den nachfolgenden Beispielen wird h�au�g EfjS(k)j4g = EfjS(k)j2g2 gelten, so da�

dann (2.41) auch f�ur beliebige Datenl�angen K erwartungstreu ist. Insofern ist nur die

Varianz anstelle des erwarteten quadratischen Fehlers zu betrachten.

Die Berechnung des Erwartungswertes der Elemente von a(4)p;q;l(�; #) gestaltet sich

hingegen schon wesentlich aufwendiger

E

na(4)p;q;l;m(�; #)

o=

1

Ka

K�1Xk=0

E

nXp(k)X

�q (k)X

�l (k)Xm(k)

o

� 1

Kb

0@K�1Xk1=0

K�1Xk2=0

E

nXp(k1)X

�q (k1)X

�l (k2)Xm(k2)

o


+EnXp(k1)X

�l (k1)X

�q (k2)Xm(k2)

o+ EfXp(k1)Xm(k1)X

�l (k2)X

�l (k2)g

!

=�K

Ka

� 3K

Kb

�E

nXp(k)X

�q (k)X

�l (k)Xm(k)

o

� K2 �K

Kb

! E

nXp(k)X

�q (k)

oEfX�

l (k)Xm(k)g

+EfXp(k)X�l (k)gE

nX�q (k)Xm(k)

o

+EfXp(k)Xm(k)gEnX�q (k)X

�l (k)

o!: (2.42)

Wird nun von einem erwartungstreuen Kumulantensch�atzer gem�a� (2.28) ausgegangen,

so vereinfacht sich die Gleichung (2.42) zu

E

na(4)p;q;l;m(�; #)

o= E

nXp(k)X

�q (k)X

�l (k)Xm(k)

o�E

nXp(k)X

�q (k)

oE

nX�l (k)Xm(k)

o�E

nXp(k)X

�l (k)

oE

nX�q (k)Xm(k)

o�E

nXp(k)Xm(k)

oE

nX�q (k)X

�l (k)

o:

Die rechte Seite dieser Gleichung stellt nichts anderes als die Verbundkumulante vier-

ter Ordnung (s. (1.13c)) der Sensorausgangsprozesse dar, und unter Verwendung von

(2.33c) folgt schlie�lich

E

na(4)p;q;l;m(�; #)

o!= K

nXp(k)X

�q (k)X

�l (k)Xm(k)

o(2.43)

= ap(�; #)a�p(�; #)a

�l (�; #)am(�; #) K

njS(k)j4

o:

Somit ist der auf Verbundkumulanten vierter Ordnung basierende Sch�atzer bis auf

den Skalierungsfaktor (2.36) f�ur beliebige Datenl�angen K erwartungstreu. Ferner kann

gezeigt werden, da� die Erwartungstreue f�ur jede andere Wahl von Ka, Kb verlorengeht

[130].

Da das Signalmodell (2.22) trotz seiner Einfachheit eine enorme Vielzahl variier-

barer Parameter enth�alt (s. S. 58), wird aus Gr�unden der �Ubersichtlichkeit und zur

einfachen Vergleichbarkeit von (2.37) mit (2.35) durch Wahl von (2.28) stets der erwar-

tungstreue Sch�atzer f�ur Verbundkumulanten vierter Ordnung betrachtet. Die Analyse

nichterwartungstreuer Sch�atzer ist mit den entwickelten Rechnerprogrammen jedoch

auch m�oglich [130].

Durch geeignete Wahl der Quellensignale ist der auf Kumulanten zweiter Ordnung

basierende Steuervektorsch�atzer (2.35) gem�a� (2.41) in den folgenden Beispielen bis

auf eine Ausnahme stets erwartungstreu. Zudem hat sich bei dieser Ausnahme (s. S.

64) herausgestellt, da� der quadrierte systematische Fehler im Vergleich zur Varianz


vernachl�assigbar ist, so da� zur Beurteilung der Sch�atzgenauigkeit nur die Varianz an-

stelle des erwarteten quadratischen Fehlers herangezogen wird. Aus diesem Grund wird

im n�achsten Abschnitt die Berechnung der Kovarianz erl�autert, die die Varianz als Son-

derfall beinhaltet. Dies kann aber wegen des erheblichen mathematischen Aufwandes

nur in Grundz�ugen geschehen.

Nr. Beziehungen zwischen k1, k2, k3, k4 H�au�gkeit

1. k1 = k2 = k3 = k4 K

2. k1 = k2 = k3 6= k4 K(K � 1)

3. k1 = k2 = k4 6= k3 K(K � 1)

4. k1 = k3 = k4 6= k2 K(K � 1)

5. k2 = k3 = k4 6= k1 K(K � 1)

6. k1 = k2 6= k3 = k4 K(K � 1)

7. k1 = k3 6= k2 = k4 K(K � 1)

8. k1 = k4 6= k2 = k3 K(K � 1)

9. k1 = k2 6= k3 6= k4 K(K � 1)(K � 2)

10. k1 = k3 6= k2 6= k4 K(K � 1)(K � 2)

11. k1 = k4 6= k2 6= k3 K(K � 1)(K � 2)

12. k2 = k3 6= k1 6= k4 K(K � 1)(K � 2)

13. k2 = k4 6= k1 6= k3 K(K � 1)(K � 2)

14. k3 = k4 6= k1 6= k2 K(K � 1)(K � 2)

15. k1 6= k2 6= k3 6= k4 K(K � 1)(K � 2)(K � 3)

Tabelle 2.1 Erforderliche Fallunterscheidungen zur Berechnung des Ver-

bundmomentes achter Ordnung.

2.2.5 Kovarianz der Steuervektorsch�atzer

Die Kovarianzberechnung bietet gegen�uber der Varianzberechnung den Vorteil, auch

die Varianz eines �uber die frei w�ahlbaren Indizes p, q, l gemittelten Steuervektorsch�atzers

berechnen zu k�onnen. Denn bekanntlich erfordert die Berechnung der Varianz einer

Summe von Zufallsvariablen jede Kovarianz zwischen diesen Zufallsvariablen (z. B.

[5], S. 94). Der Einfachheit halber wird zun�achst die Kovarianz der Elemente des auf

Verbundkumulanten zweiter Ordnung basierenden Sch�atzers berechnet


Kov

na(2)p1;q1;l1;m1

(�; #); a(2)p2;q2;l2;m2

(�; #)o

= E

na(2)p1;q1;l1;m1

(�; #)�a(2)p2;q2;l2;m2

(�; #)��o� E

na(2)p1;q1;l1;m1

(�; #)oE

n�a(2)p2;q2;l2;m2

(�; #)��o

= E

8<: 1

K4

K�1Xk1=0

K�1Xk2=0

K�1Xk3=0

K�1Xk4=0

Xp1(k1)X�q1(k1)X

�l1(k2)Xm1(k2)X

�p2(k3)Xq2(k3)Xl2(k4)X

�m2(k4)

9=;

�KnjS(k)j2

o4 ��ap(�; #) a�q(�; #) a�l (�; #) am(�; #)��2 ; (2.44)

=1

K4

K�1Xk1=0

K�1Xk2=0

K�1Xk3=0

K�1Xk4=0

E

nXp1(k1)X

�q1(k1)X

�l1(k2)Xm1(k2)X


�m2(k4)

o

�KnjS(k)j2

o4 ��ap(�; #) a�q(�; #) a�l (�; #) am(�; #)��2 ; (2.45)

wobei f�ur den vorletzten Schritt Gleichung (2.41) herangezogen wird. O�enbar verbleibt

die Bestimmung des aufsummierten Verbundmomentes achter Ordnung in Abh�angig-

keit der Modellparameter. Da Xp1(k1) immer unabh�angig von Xq2(k2) ist, solange nur

k1 6= k2 gilt, sind die in Tabelle 2.1 angegebenen f�unfzehn F�alle zur Berechnung von

(2.45) zu unterscheiden. Dabei enth�alt die rechte Spalte die H�au�gkeit, mit der die in

der mittleren Spalte geltenden Beziehungen bei dem Verbundmoment achter Ordnung

vorkommen. Es ergibt sich nach einiger Rechnung

Kov

na(2)p1;q1;l1;m1

(�; #); a(2)p2;q2;l2;m2(�; #)

o=

1

K3E

nXp1(k1)X

�q1(k1)X

�l1(k1)Xm1(k1)X


�m2(k1)

o

+K � 1

K3

�E

nXp1(k1)X

�q1(k1)X

�l1(k1)Xm1(k1)X

�p2(k1)Xq2(k1)

oE

nXl2(k4)X

�m2(k4)

o+E

nXp1(k1)X

�q1(k1)X

�l1(k1)Xm1(k1)Xl2(k1)X

�m2(k1)

oE

nX�p2(k3)Xq2(k3)

o+E

nXp1(k1)X

�q1(k1)X


�m2(k1)

oE

nX�l1(k2)Xm1(k2)

o+E

nX�l1(k2)Xm1 (k2)X


�m2(k2)

oE

nXp1(k1)X

�q1(k1)

o+E

nXp1(k1)X

�q1(k1)X

�l1(k1)Xm1(k1)

oE

nX�p2(k3)Xq2(k3)Xl2(k3)X

�m2(k3)

o+E

nXp1(k1)X

�q1(k1)X

�p2(k1)Xq2(k1)

oE

nX�l1(k2)Xm1(k2)Xl2(k2)X

�m2(k2)

o+E

nXp1(k1)X

�q1(k1)Xl2(k1)X

�m2(k1)

oE

nX�l1(k2)Xm1(k2)X

�p2(k3)Xq2(k3)

o�

+(K � 1)(K � 2)

K3�E

nXp1(k1)X

�q1(k1)X

�l1(k1)Xm1(k1)

oE

nX�p2(k3)Xq2(k3)

oE

nXl2(k4)X

�m2(k4)

o


+EnXp1(k1)X

�q1(k1)X

�p2(k1)Xq2(k1)

oE

nX�l1(k2)Xm1(k2)

oE

nXl2(k4)X

�m2(k4)

o+E

nXp1(k1)X

�q1(k1)Xl2(k1)X

�m2(k1)

oE

nX�l1(k2)Xm1(k2)

oE

nX�p2(k3)Xq2(k3)

o+E

nX�l1(k2)Xm1(k2)X

�p2(k2)Xq2(k2)

oE

nXp1(k1)X

�q1(k1)

oE

nXl2(k4)X

�m2(k4)

o+E

nX�l1(k2)Xm1(k2)Xl2(k2)X

�m2(k2)

oE

nXp1(k1)X

�q1(k1)

oE

nX�p2(k3)Xq2(k3)

o+E

nX�p2(k3)Xq2(k3)Xl2(k3)X

�m2(k3)

oE

nXp1(k1)X

�q1(k1)

oE

nX�l1(k2)Xm1(k2)

o�

+(K � 1)(K � 2)(K � 3)

K3

E

nXp1(k1)X

�q1(k1)

oE

nX�l1(k2)Xm1(k2)

oE

nX�p2(k3)Xq2(k3)

oE

nXl2(k4)X

�m2(k4)

o�K

njS(k)j2

o4 ��ap(�; #) a�q(�; #) a�l (�; #) am(�; #)��2 ; (2.46)

so da� nun die Verbundmomente zweiter, vierter, sechster und achter Ordnung

der Sensorausgangsprozesse in Abh�angigkeit der Modellparameter durch Einsetzen von

(2.30) in (2.46) zu berechnen sind. Allein im Falle des achten Verbundmomentes f�uhrt

dieses Einsetzen schon auf 28 = 256 Summanden, bestehend aus den Steuervektorele-

menten (2.23), den Momenten zweiter, vierter, sechster und achter Ordnung von S(k)

und den Verbundmomenten zweiter, vierter, sechster und achter Ordnung von Np(k).

Da hier jedoch nur die Berechnung in Grundz�ugen erl�autert werden soll, wird auf eine

umfassende Herleitung verzichtet und lediglich im Anhang D die (2.46) entsprechende

Gleichung { deren rechte Seite im Falle einer Quelle aus 2504 Summanden besteht {

f�ur den auf Kumulanten vierter Ordnung beruhenden Steuervektorsch�atzer angegeben.

Die detaillierte Berechnung kann der Literatur entnommen werden [130].

Es verbleibt anzumerken, da� Gleichung (2.46) nicht auf den Fall einer Signalquelle

beschr�ankt ist, sondern die Kovarianz mittels (2.46) auch bei einer beliebigen Quellen-

zahl berechnet werden kann. In diesem allgemeinen Fall erh�oht sich der mathematische

Aufwand nochmals betr�achtlich [130].

2.2.6 Auswertung der Varianzberechnungen

Mit Hilfe der soeben abgeleiteten Gleichungen und deren Erweiterungen [130] kann nun

bei praxisrelevanten Szenarien der Einsatz von Kumulanten zweiter und/oder vier-

ter Ordnung f�ur eine endliche Datenl�ange K mathematisch exakt beurteilt werden.

Angesichts der in dem Signalmodell zahlreich enthaltenen Parameter werden im fol-

genden einige einmalig gew�ahlt und beibehalten, w�ahrend andere variiert werden, um

das Verhalten der Steuervektorsch�atzer besser verstehen zu k�onnen. Hierzu erg�anzende


Untersuchungen sind in [130], [135], [136], [137] zu �nden.

Neben einer konstanten Signalleistung (EfjS(k)j2g = 1) werden im weiteren s�amt-

liche Rauschprozesse Nm(k), m = 1(1)M als Gauss-verteilt angenommen und, bis auf

eine Ausnahme (s. den letzten Absatz in Abschnitt 2.2.4), nur erwartungstreue Steuer-

vektorsch�atzer betrachtet. Zur Best�atigung einer korrekten Programmierung der ana-

lytisch berechneten Varianzformeln (2.46), (D.1) wird die schon auf Seite 40 erl�auterte

Methode der rechnergest�utzten Erzeugung von Pseudozufallszahlen herangezogen. Da-

bei werden in V Wiederholungen sowohl f�ur die Rauschprozesse Nm(k) als auch f�ur

das Quellensignal jeweils K = 20 Pseudozufallszahlen3 sv(k), nm;v(k), k = 1(1)20,

m = 1(1)M , v = 1(1)V erzeugt. Durch die Sch�atzung der Kumulanten aus den

Realisierungen xm;v(k) mittels (2.26), (2.27) werden die Steuervektoren a(2;v)p;q;l;m(�; #),

a(4;v)p;q;l;m(�; #) gesch�atzt. Um trotz der M Steuervektorelemente nur ein einziges Ver-

gleichskriteriumzu erhalten, werden im folgenden die normierten mittleren Varianzen

V(2) =

1

M

MXm=1

V

na(2)p;q;l;m(�; #)

oK

njS(k)j2

o4 ��ap(�; #) a�q(�; #) a�l (�; #)��2(2.47a)

V(4) =

1

M

MXm=1

V

na(4)p;q;l;m(�; #)

oK

njS(k)j4

o2 ��ap(�; #) a�q(�; #)a�l (�; #)��2(2.47b)

betrachtet, wobei die Normierung durch die den Steuervektoren innewohnenden, nicht

bestimmbaren Skalierungsfaktoren (2.34), (2.36) erforderlich ist. Zur rechnergest�utzten

Best�atigung einer korrekten Programmierung der analytisch bestimmten normierten

mittleren Varianzen, werden die auf den Pseudozufallszahlen beruhenden Sch�atzun-

gen

V(2) =

1

MV

MXm=1

VXv=1

a(2;v)p;q;l;m(�; #)�

1

V

VXv=1

a(2;v)p;q;l;m(�; #)

!2(2.48a)

V(4) =

1

MV

MXm=1

VXv=1

a(4;v)p;q;l;m(�; #)�

1

V

VXv=1

a(4;v)p;q;l;m(�; #)

!2(2.48b)

berechnet. Eintausend Wiederholungen (engl.Monte-Carlo-run's) V = 1000 haben

sich zur Veri�kation einer korrekten Programmierung zumeist als hinreichend genau

erwiesen. Ferner wird eine Gruppe von Sensoren angenommen, die mit einem �aquidi-

stanten Abstand von d = �W =2 linear angeordnet sind. Die verbleibenden Parameter-

einstellungen �nden sich immer zu Beginn eines jeden Beispiels in zusammengefa�ter

Form.

3Die einzige Ausnahme hierzu ist das erste Beispiel, bei dem die Abh�angigkeit von K = 10(1)100

untersucht wird.


Beispiel 1: Abh�angigkeit der Steuervektorsch�atzer von der Datenl�ange K

(Parametereinstellung: K = 10(1)100, M = 20, SNR= 0dB, gm(�; #) = 1, bipolares

Signal, (p; q; l) = (3; 2; 1), � = 30o, # = 90o)

Da nur praxisrelevante Szenarien untersucht werden sollen, sind f�ur die Nachrich-

ten�ubertragung typische Signale ausgew�ahlt worden. Hierzu z�ahlt das in den folgenden

Beispielen stets verwendete bipolare Signal

SBP (k) =

8<: +1

�1 ; (2.49)

dessen Zust�ande durch die Forderung EfSBP (k)g = 0 stets mit der gleichen Wahr-

scheinlichkeit PfSBP (k) = �1g = 0; 5 auftreten. Eine weitere, bisher nicht erl�auterte

Gr�o�e ist das Signal-zu-Rauschleistungsverh�altnis4 (engl.: signal-to-noise ratio (SNR))

SNR = 10 log

0@ E

njS(k)j2

oE

njNm(k)j2

o1A ; (2.50)

dessen Ein u� auf die Sch�atzgenauigkeit im Beispiel 4 n�aher untersucht wird. Gegen-

stand dieses einf�uhrenden Beispiels ist wieder die Behauptung, da� Statistiken h�oherer

Ordnung f�ur eine mit Statistiken zweiter Ordnung vergleichbare Sch�atzgenauigkeit ei-

ne gr�o�ere Datenanzahl K ben�otigen. Aus diesem Grund wird hier die Datenl�ange

K = 10(1)100 variiert, und alle weiteren Parameter bleiben unver�andert. Das nachfol-

gende Bild 2.5 zeigt die Ergebnisse.

O�enbar ist neben einer guten �Ubereinstimmung zwischen den analytischen Be-

rechnungen und den rechnergest�utzten Sch�atzungen vor allem die geringe normierte

mittlere Varianz des auf Kumulanten vierter Ordnung basierenden Steuervektors auch

f�ur sehr kleine Datenl�angen K deutlich zu erkennen. Damit ist die zu Anfang dieses

Beispiels angegebene Behauptung ein weiteres Mal widerlegt, und folglich k�onnen Sta-

tistiken h�oherer Ordnung durchaus zu genaueren Parametersch�atzungen als Statistiken

zweiter Ordnung f�uhren. Weitere Untersuchungen haben ergeben [135], [136], da� diese

Erkenntnis nahezu unabh�angig von der Sensoranzahl M , den Steuervektorindizes p,q,l

und letztlich auch von den Einfallswinkeln �, # ist.

4Da ferner SNR = 10 log�E�jS(k)j2

�� 10 log

�E�jNm(k)j

2�

gilt, wird gelegentlich auch vom

Signal-zu-Rauschleistungsabstand gesprochen.


10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-1

-0.5

0

K -

log V(2)

log V(4)

log V(2)

log V(4)

6

Bild 2.5 Gesch�atzte (log V(2) in Plus-Zeichen, log V(4) in Kreisen) und

analytisch berechnete (logV(2) in gestrichelter Linie, log V(4)

in durchgezogener Linie) normierte mittlere Varianzen in

Abh�angigkeit der Datenl�ange K.

Beispiel 2: Abh�angigkeit der Steuervektorsch�atzer von den Einfallswinkeln

(Parametereinstellung: K = 20, M = 20, SNR= 0dB, gm(�; #) = 1, bipolares Signal,

(p; q; l) = (3; 2; 1), � = 0o(1o)90o, # = 90o)

In diesem Beispiel wird der Richtungswinkel � = 0o(1o)90o variiert, und alle wei-

teren Parameter bleiben unver�andert. Eine Variation des Erhebungswinkels f�uhrt zu

�ahnlichen Ergebnissen und unterbleibt daher. Das nachfolgende Bild 2.6 zeigt die Er-

gebnisse.

Hier best�atigt sich die schon im vorigen Beispiel ge�au�erte Behauptung, da� wieder-

um Kumulanten vierter Ordnung zu genaueren Sch�atzungen f�uhren. Hingegen ist die im

vorigen Beispiel noch recht gute �Ubereinstimmung zwischen rechnergest�utzten Ergeb-

nissen und den mathematisch exakten Formeln nun nicht mehr gegeben. Die Ursache

daf�ur ist in einer zu geringen Anzahl an Wiederholungen V zu �nden, da im Gegen-


satz zu Beispiel 1 der Ordinatenwertebereich hier relativ klein ist und somit eine sehr

gro�e Anzahl an Wiederholungen zur Reduzierung der sich �uber beinahe den gesamten

Ordinatenbereich erstreckenden Streuung notwendig ist. Dies demonstriert in anschau-

licher Weise die Unzul�anglichkeit rechnergest�utzter Simulationen, allgemein determi-

nierte Gesetzm�a�igkeiten zu erkennen. Durch eine deutliche Erh�ohung von V = 1000

auf V = 100000 kann jedoch die korrekte Programmierung der Gleichungen (2.46),

(D.1) wieder best�atigt werden.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.28

0.29

0.3

0.31

0.32

0.33

0.34

0.35

0.36

0.37

� -

logV(2)

logV(4)

log V(2)

log V(4)

6




Abh�angigkeit des Einfallswinkels �.

Als weitere Erkenntnis ist das im Vergleich zu log V(4) deutliche Fluktuieren von

logV(2) festzustellen, welches sich auch im n�achsten Beispiel anhand der Variation der

Wellenl�ange best�atigt.


Beispiel 3: Abh�angigkeit der Steuervektorsch�atzer von der Wellenl�ange


(p; q; l) = (3; 2; 1), � = 30o, # = 90o, �W = 0; 002(0; 002)0; 5)

Bisher wurde ausschlie�lich eine Sensorgruppe, bestehend aus M linear angeord-

neten, mit dem Abstand d = �W =2 �aquidistanten Sensoren betrachtet. Da nun die

Wellenl�ange �W bei gleichbleibenden Sensorabst�anden untersucht werden soll, wird d

nun fest zu d = 1=4 gesetzt, so da� f�ur die obere Intervallgrenze �W = 0; 5 wieder der

Fall d = �W=2 eintritt. Bild 2.7 zeigt die Ergebnisse.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

�W -

logV(2)

logV(4)

log V(2)

log V(4)

6




Abh�angigkeit der Wellenl�ange �W .

Das wesentlich uktuierendere Verhalten von logV(2) im Vergleich zu logV(4) ist

wieder deutlich zu erkennen. Folglich reagieren Steuervektorsch�atzungen basierend auf

Kumulanten zweiter Ordnung auch auf kleine Wellenl�angen�anderungen, die in der tech-

nischen Anwendung nicht selten aus dem Doppler-E�ekt resultieren, emp�ndlicher


als auf Kumulanten vierter Ordnung beruhende Sch�atzungen. Bei einer solchen Aussa-

ge sind aber immer die festgehaltenen Parametereinstellungen zu beachten. Derartige

Erkenntnisse erm�oglichen neben einem tieferen Verst�andnis und der damit verbunde-

nen Grundlage f�ur Verbesserungsm�oglichkeiten auch praxisrelevante Aussagen (s. S.

93).

Weiter ist dem Bild 2.7 zu entnehmen, da� in dem in der Praxis h�au�g anzutref-

fenden Fall d = �W=2 { woraus f�ur d = 1=4 die Wellenl�ange �W = 0; 5 folgt { nicht nur

Kumulanten vierter Ordnung zu genaueren Sch�atzwerten f�uhren, sondern da� dieser

Sch�atzer f�ur �W = 0; 5 auch ein lokales Miminum annimmt. Hingegen sind die lokalen

Minima der auf Kumulanten zweiter Ordnung beruhenden Sch�atzer zwar kleiner, aber

sie treten eben nicht in den praxisrelevanten Abst�anden d = �W =2 oder auch d = �W =4

auf; im letzteren Fall ist logV(2) sogar maximal.

Abschlie�end sei angemerkt, da� wiederum der Ordinatenbereich im Vergleich zum

ersten Beispiel relativ klein ist und daher die �Ubereinstimmung zwischen rechner-

gest�utzten Ergebnissen und analytischen Berechnungen erwartungsgem�a� gering ist.

Beispiel 4: Abh�angigkeit der Steuervektorsch�atzer vom Signal-zu-Rausch-

leistungsverh�altnis und der Modulationsart

(Parametereinstellung: K = 20, M = 20, SNR= �20dB(5dB)40dB, gm(�; #) = 1,

(p; q; l) = (3; 2; 1), � = 30o, # = 90o)

Im Gegensatz zu den vorherigen Beispielen wird hier neben einer Variation des

Signal-zu-Rauschleistungsverh�altnisses auch die Modulationsart variiert. Neben dem

schon erl�auterten bipolaren Signal SBP (k) werden nun auch einige quadraturampli-

tudenmodulierte (engl.: quadrature amplitude modulation (QAM)), komplexwertige

Signale SL�QAM (k) = Re fSL�QAM (k)g+ j ImfSL�QAM (k)g, L = 4; 64 mit den Werte-

bereichen

Re fSL�QAM (k)g =�pL+ 1 (2)

pL � 1s

2

3(L � 1)

ImfSL�QAM (k)g =�pL+ 1 (2)

pL � 1s

2

3(L � 1)

in die Untersuchung miteinbezogen. Dabei gew�ahrleistet die Normierung der ansonsten

ganzzahligen Wertebereiche mitq

23(L� 1) die zu Beginn dieses Abschnitts angegebene

Vereinbarung EfjSL�QAM (k)j2g = 1.


In ([231], S. 2547) wurde angemerkt, da� bei Verwendung eines quadraturampli-

tudenmodulierten Signales mit L = 4 { ein sogenanntes 4-QAM-Signal { anstelle ei-

nes bipolaren Signales die Sch�atzgenauigkeit von Methoden basierend auf Kumulanten

vierter Ordnung reduziert wird. Da diese Anmerkung lediglich auf einer asymptoti-

schen Analyse fu�t und somit eine unendliche Datenanzahl impliziert, ist die Kl�arung

der naheliegenden Fragestellung, ob diese Erkenntnis auch bei einer endlichen Da-

tenanzahl g�ultig ist, mit Hilfe der Gleichungen (2.46), (D.1) durchaus m�oglich. Das

nachfolgende Bild 2.8 zeigt die Ergebnisse f�ur ein Signal-zu-Rauschleistungsverh�altnis

SNR= �20dB(5dB)40dB und ein bipolares, ein 4-QAM- und ein 64-QAM-Signal.

-20 -10 0 10 20 30 40-6

-4

-2

0

2

4

6

8

SNR -

log V (2)

log V (4)

log V(2)

log V(4)

6

�

64-QAM(4)

R

64-QAM(2)

4-QAM(4)

BP(4)

�

4-QAM(2) � BP(2)

Bild 2.7a Gesch�atzte (log V(2) in Plus-Zeichen, log V(4) in Kreisen)

und analytisch berechnete (log V(2) in gestrichelter Linie,

logV(4) in durchgezogener Linie) normierte mittlere Varian-

zen in Abh�angigkeit des Signal-zu-Rauschleistungsverh�altnis-

ses (SNR) und der Modulationsart (bipolar, 4-QAM, 64-

QAM).

W�ahrend die durchgezogenen Kurven (logV(4)) sich deutlich voneinander unter-

scheiden, sind die Varianzen log V(2), log V(2) im Falle eines bipolaren Signales nahezu


identisch mit denen des 4-QAM-Signales. Dies mag seinen Ursprung in dem unabh�angi-

gen Real- und Imagin�arteil des 4-QAM-Signales haben, so da� bei gleicher Signallei-

stung EfjS4�QAM (k)j2g = EfjSBP (k)j2g kein Unterschied zu einem bipolaren Signal

mit nur einem von Null verschiedenen Realteil besteht.

Dar�uberhinaus ist zu beobachten, da� die auf Kumulanten zweiter Ordnung beru-

henden Kurven f�ur s�amtliche Modulationsarten mit abnehmendem Signal-zu-Rausch-

leistungsverh�altnis erwartungsgem�a� ineinander �ubergehen, da dann der Signalanteil

verschwindend gering wird. Dieses einsichtige Verhalten ist auch f�ur auf Kumulanten

h�oherer Ordnung basierende Verl�aufe { jedoch erst bei deutlich kleineren und hier nicht

dargestellten Signal-zu-Rauschleistungsabst�anden { zu �nden.

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

SNR -

logV(2)

logV(4)

6

Bild 2.8 Analytisch berechnete (log V(2) in gestrichelter Linie, log V(4)

in durchgezogener Linie) normierte mittlere Varianzen

in Abh�angigkeit des Signal-zu-Rauschleistungsverh�altnisses

(SNR) bei einem bipolaren Signal.

Zudem l�a�t sich sowohl bei 64-QAM- als auch bei 4-QAM-Signalen stets eine vergli-

chen mit log V(2) gr�o�ere Varianz logV(4) erkennen. Dieses Verhalten ist bei bipolaren


Signalen nur bei kleinem SNR zu beobachten, und, beginnend bei einem SNR� 1dB,

log V(4) sogar immer unterhalb von log V(2) liegt. Dabei vergr�o�ert sich dieser Abstand

zun�achst und strebt mit weiter zunehmendem SNR dann gegen Null. Im Bild 2.9 ist

dieser Ausschnitt von Bild 2.8 vergr�o�ert dargestellt.

O�enbar ist also dieser auf Kumulanten vierter Ordnung basierende Sch�atzer bei

bipolaren Signalen zwar nur geringf�ugig �uberlegen, doch gilt dies f�ur einen gr�o�eren

und praxisrelevanten SNR-Bereich. Da sich auch f�ur andere Datenl�angen K die gleichen

Verh�altnisse ergeben, ist zu vermuten, da� Kumulanten vierter Ordnung bei moderatem

Signal-zu-Rauschleistungsverh�altnis nahezu unabh�angig von der Sensorenanordnung,

der Sensorenanzahl, den Einfallswinkeln und vor allem von der Datenl�ange stets den

Kumulanten zweiter Ordnung vorzuziehen sind. Diese Erkenntnis deckt sich gut mit

der in [68], S. 222, bewiesenen asymptotischen Eigenschaft, da� ein auf Kumulanten

vierter Ordnung basierender Algorithmus im Falle eines hinreichend hohen SNR's von

gleicher Genauigkeit bei einer besonderen Klasse von Quellensignalen ist, die als ver-

allgemeinerte bipolare Signale interpretiert werden k�onnen, wie derselbe Algorithmus

basierend auf Kumulanten zweiter Ordnung.

Beispiel 5: Abh�angigkeit der Steuervektorsch�atzer von der quadrierten nor-

mierten Quellenkurtosis

(Parametereinstellung: K = 20, M = 20, SNR= 0dB, gm(�; #) = 1, (p; q; l) = (3; 2; 1),

KfS4(k)g2 =KfS2(k)g4 = eln(10)�, � = �2(1=80)3, � = 30o, # = 90o)

Aufgrund der deutlichen Abh�angigkeit der Varianzen von der Modulationsart er-

gibt sich die naheliegende Fragestellung, welche Signalform optimal im Sinne eines

Steuervektorsch�atzers mit kleinster Varianz ist. Obwohl die Varianzen nun als Funkti-

on der Signalkumulanten erster bis achter Ordnung berechenbar sind und somit eine -

wenn auch nichtlineare - Optimierung [37] derselben zu einer minimalen Varianz f�uhren

k�onnte, werden die sich dann ergebenden optimalenKumulanten nur in Ausnahmef�allen

gleich denen eines realisierbaren Signals S(k) sein. Hierzu wird ein einfaches Beispiel be-

trachtet, bei dem s�amtliche Kumulanten KnSN (k)

o!= K

nSNBP (k)

o, N = 1(1)8, N 6= 2

bis auf die Kumulante zweiter Ordnung KfS2(k)g gleich denen eines bipolaren Signals

gew�ahlt werden. Die Kumulante zweiter Ordnung wird hingegen wie folgt

K

nS2(k)

o=

0@K

nS4(k)

oeln(10)�

1A1

4; � = �2(1=80)3

variiert. Der Grund f�ur diese zun�achst willk�urlich anmutende nichtlineare Variation ist,


da� die quadrierte normierte Quellenkurtosis ([68], S. 222)

Q(S) =K

nS4(k)

o2K

nS2(k)

o4 = eln(10)� = 10�

im logarithmischen Ma�stab ver�andert wird und somit auch Besonderheiten f�ur sehr

kleine und sehr gro�e Werte von Q(S) zu erkennen sind. Bild 2.9 zeigt die Ergebnisse.

10-1

100

101

102

-3

-2

-1

0

1

2

Q(S) -

logV(2)

logV(4)

6

Bild 2.9 Analytisch berechnete (log V(2) in gestrichelter Linie, log V(4)


Abh�angigkeit der quadrierten normierten Quellenkurtosis

Q(S).

Ist die quadrierte normierte Quellenkurtosis hinreichend gro� (Q(S)>� 110), so

f�uhren Kumulanten vierter Ordnung mit weiter zunehmendem Q(S) zu einem genaue-

ren Steuervektorsch�atzer. Bei den bisher gr�o�tenteils betrachteten bipolaren Signalen

ist Q(S) = Q(SBP ) = 4, wodurch sich der zwar kleine, aber dennoch erkennbare Un-

terschied zwischen logV(2) und logV(4) zugunsten der Kumulanten vierter Ordnung


erkl�aren l�a�t. Eine einsichtige Begr�undung ist sowohl f�ur das globale Maximum von

log V(4) in der N�ahe von Q(S) = 36 als auch f�ur die globalen Minima von log V(4) bei

Q(S) = 0:81 und von logV(2) bei Q(S) = 0:32 aufgrund der Komplexit�at der Gleichun-

gen (2.46) und (D.1) wohl kaum m�oglich. Nichtsdestotrotz sind vor allem diese globalen

Minima �uberraschend, so da� im Vergleich zu den ohnehin schon recht geeigneten bi-

polaren Signalen (vgl. Bild 2.7) eventuell genauere Steuervektorsch�atzungen m�oglich

sein sollten. Wird jedoch die Charakteristische Funktion (1.7) unter Zuhilfenahme der

Potenzreihendarstellung der Exponentialfunktion ([2], S. 402)

�X(s) = E

ne jsX

o=

1Xl=0

(js)l

l!E

nX lo

f�ur die oben festgelegten Kumulanten berechnet, so folgt

�X(s) = cos(s) +s2

2

�K

nS2(k)

o� 1

�; (2.51)

welches f�ur bipolare Signale (KfS2BP (k)g = 1) o�enbar in �X(s) = cos(s) �ubergeht.

Da die Fourier-Transformierte Ffs2g jedoch nicht konvergiert (z. B. [36], S. 170),

existiert die zu (2.51) korrespondierende Dichtefunktion nur f�ur KfS2(k)g = 1, so da�

die globalen Minima von log V(2) oder logV(4) nicht realisierbaren Zufallsprozessen ent-

sprechen. Insofern gestaltet sich die erfolgreiche Optimierung mit der numerisch schwer

einzubeziehenden Nebenbedingung einer existenten Dichtefunktion und einem daraus

resultierenden in obigem Sinne optimalen Zufallsproze� als au�erordentlich schwierig.

Dennoch ist die Optimierung der statistischen Signaleigenschaften ein interessantes

Forschungsgebiet mit vielf�altigen Anwendungsm�oglichkeiten, wobei die Varianzformeln

(2.46), (D.1) einen ersten Schritt zur L�osung dieser anspruchsvollen Aufgabe bieten.

Beispiel 6: Mittelung der Steuervektorsch�atzer


� = 30o, # = 90o)

Wie schon am Anfang dieses Abschnitts (s. S. 53) erw�ahnt, besteht die M�oglichkeit,

anstelle einer festen Wahl der Kumulantenindizes (p; q; l) = (3; 2; 1) durch Mittelwert-

bildung vieler, auf unterschiedlichen Indizes (p; q; l) beruhende Sch�atzer die Varianz

unter Umst�anden erheblich zu reduzieren. In diesem abschlie�enden Beispiel werden

nun die Fragen aufgegri�en, welche Kumulanten und wie Kumulanten miteinander

zu kombinieren sind, um m�oglichst genaue Sch�atzer zu erzielen. Hierzu werden oh-

ne Beschr�ankung der Allgemeinheit (vgl. den Kommentar bzgl. der multiplikativen,


komplexen Konstanten auf S. 52) die einzelnen komplexwertigen Steuervektorsch�atzer

zun�achst geeignet skaliert

a(2;sign)p;q;l (�; #) =

a(2)p;q;l(�; #)

sign�a(2)p;q;l;1(�; #)

� ; a(2)p;q;l;1(�; #) 6= 0 (2.52a)

a(4;sign)p;q;l (�; #) =

a(4)p;q;l(�; #)

sign�a(4)p;q;l;1(�; #)

� ; a(4)p;q;l;1(�; #) 6= 0 (2.52b)

wobei die Division durch die Signumfunktion zu der Reellwertigkeit des jeweils ersten

Elementes a(2;sign)p;q;l;1 (�; #) bzw. a

(4;sign)p;q;l;1 (�; #) f�uhrt. Nun lassen sich die so skalierten Steu-

ervektorsch�atzer, die bei exakter Sch�atzung alle in dieselbe Richtung zeigen, durch eine

Mittelwertbildung beliebig miteinander kombinieren. Bevor jedoch derartige Sch�atzer

untersucht werden, ist es zun�achst zweckm�a�ig, die Anzahl NA(M) s�amtlicher unter-

schiedlicher Steuervektorsch�atzer und dar�uber hinaus die sich ergebende Zahl aller

voneinander verschiedenen Kombinationen NK(M) als Funktion der Sensorenzahl M

zu berechnen.

N(2)A (M), N (2)

K (M) im Falle von Kumulanten zweiter Ordnung

Aufgrund der zur G�ultigkeit von (2.35) notwendigen Ungleichungen p 6= q ^ q 6= l

^ l 6= p existieren bis auf den Fall M = 3, bei welchem die Indizes q und l ohne

Wert�anderung des Steuervektorsch�atzers miteinander vertauscht werden k�onnen, genau

M(M � 1)(M � 2) verschiedene Steuervektorsch�atzer a(2;sign)p;q;l (�; #). Folglich gilt

N(2)A (M) =

8<: 3 f�ur M = 3

M(M � 1)(M � 2) f�ur M > 3:

O�enbar steigt die Anzahl unterschiedlicher Steuervektorsch�atzer mit zunehmender

Sensorenanzahl M sehr schnell an. Nun kann die Anzahl N (2)K (M) aller voneinander

verschiedenen Kombinationen dieser Steuervektorsch�atzer berechnet werden. Dabei

wird unter einer Kombination der Mittelwert von einigen oder vielleicht auch allen

N(2)A (M) Steuervektorsch�atzern verstanden. Mit Hilfe der Kombinatorik ([8], S. 111)

berechnet sich die Anzahl N(2)L (M) der verschiedenen Kombinationen von L Steuer-

vektorsch�atzern, L = 1(1)N (2)A (M) zu

N(2)L (M) =

N(2)A (M)!

L!(N(2)A (M)� L)!

=

N

(2)A (M)

L

!:


Die Aufsummation von N(2)L (M) f�ur L = 1(1)N

(2)A (M) f�uhrt schlie�lich auf die gesuchte

Gr�o�e

N(2)K (M) =

N(2)

A(M)X

L=1

N(2)L (M) = 2N

(2)

A(M) � 1; (2.53)

wobei in diesem letzten Schritt die sich aus dem Binomischen Satz ergebende Fol-

gerung ([8], S. 106)

KXk=0

K

k

!= 2K

verwendet wird.

N(4)A (M), N (4)

K (M) im Falle von Kumulanten vierter Ordnung

Bei Annahme von Gauss-verteilten additiven Rauschprozessen k�onnen o�enbar M3

Steuervektorsch�atzer a(4;sign)p;q;l (�; #), p = 1(1)M , q = 1(1)M , l = 1(1)M angegeben

werden, von denen einige wegen der o�ensichtlichen Symmetrieeigenschaft (vgl. (2.37)

und (1.15b))

K

nXp(k)X

�q (k)X

�l (k)X1(k)

o= K

nXp(k)X

�l (k)X

�q (k)X1(k)

o(2.54)

identisch sind. F�ur jedes feste p = 1(1)M existieren M2 Steuervektorsch�atzer, von

denenM gleiche Indizes q = l haben. Folglich verbleibenM2�M Steuervektorsch�atzer

mit ungleichen Indizes q 6= l. Unter Verwendung der Symmetriebeziehung (2.54) ist

aber zu jedem dieser Steuervektorsch�atzer genau einer mit vertauschten Indizes l, q

angebbar, so da� (M2 �M)=2 Steuervektorsch�atzer identisch sind. Mit p = 1(1)M

ergibt sich die Anzahl verschiedener Steuervektorsch�atzer a(4;sign)p;q;l (�; #) damit zu

N(4)A (M) = M(M2 � M2 �M

2) =

M3 +M2

2:

In Analogie zu den vorherigen Schritten berechnet sich dann die Zahl aller verschiede-

nen Kombinationen zu

N(4)K (M) = 2N

(4)

A(M) � 1: (2.55)

Sowohl Gleichung (2.53) als auch (2.55) demonstrieren, da� die M�oglichkeiten zur

Sch�atzung des Steuervektors mit steigender SensorenzahlM erheblich zunehmen.W�ah-

rend beispielsweise N(2)K (3) = 7 (N

(4)K (2) = 63) gilt, ist N

(2)K (4) = 16777215 (N

(4)K (3) =


262143). Folglich ist ein analytischer Vergleich lediglich f�ur M = 2 Sensoren im Falle

von Kumulanten vierter Ordnung beziehungsweise f�ur M = 3 Sensoren im Falle von

Kumulanten zweiter Ordnung mit ertr�aglichem Aufwand durchf�uhrbar.

Die gemittelten Steuervektorsch�atzer zweiter und vierter Ordnung werden de�niert

als

a(2;sign)n (�; #) =

1

PQL

Xp2IP

Xq2IQ

Xl2IL

a(2;sign)p;q;l (�; #); n = 1(1)N (2)

K (2.56a)

a(4;sign)n (�; #) =

1

PQL

Xp2IP

Xq2IQ

Xl2IL

a(4;sign)p;q;l (�; #); n = 1(1)N

(4)K ; (2.56b)

wobei der neu eingef�uhrte Index n lediglich zur Durchnumerierung dient und IP , IQ,

IL jeweils P -, Q-, bzw. L-wertige Teilmengen von IM = fm jm = 1(1)Mg sind.

1 2 3 4 5 6 70.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

�V (2)

�V(2)

6

a1;2;3 a1;3;2 a2;1;3 a1;2;3

+a1;3;2

a1;2;3

+a2;1;3

a1;3;2

+a2;1;3

a1;2;3

+a1;3;2

+a2;1;3Kombinationen n -

Bild 2.10 Gesch�atzte (log V(2) in Plus-Zeichen) und analytisch berechne-

te (log V(2) in gestrichelter Linie) normiertemittlereVarianzen

f�ur alle Kombinationen (M = 3).


Bei der Wahl dieser Teilmengen sind f�ur (2.56a) wieder die Ungleichungen p 6= q ^q 6= l ^ l 6= p und f�ur (2.56b) die sich aus der Symmetriebeziehung (2.54) ergebenen

Einschr�ankungen zu ber�ucksichtigen.

In Bild 2.11 ist auf der Abszisse die Numerierung n aufgetragen, und zum besse-

ren Verst�andnis wurden auch die zur Mittelung herangezogenen Steuervektorsch�atzer

eingetragen.

Erwartungsgem�a� sinkt die Varianz mit zunehmender Zahl an Steuervektorsch�atzern

sogar um beinahe 40% bei Verwendung aller Steuervektorsch�atzer im Vergleich zu

nur einem Steuervektorsch�atzer. Etwas �uberraschend ist jedoch der Varianzanstieg bei

n = 5, da genauso wie im Fall n = 4 nur �uber zwei Steuervektorsch�atzer gemittelt

wurde und lediglich ein Index zwischen diesen verschieden ist. Die Ursache f�ur die

trotzdem unterschiedliche Varianz ist, da� f�ur n = 4 der zweite und dritte Index dieser

zwei Steuervektorsch�atzer mit den zwei konjugiert komplexen Gr�o�en X�2 (k), X

�3 (k)

korrespondieren (vgl. (2.35)), w�ahrend f�ur n = 5 der erste und zweite Index unter-

schiedlich sind und sich folglich diese beiden Steuervektorsch�atzer durch eine nicht

konjugiert komplexe X1(k), X2(k) und eine konjugiert komplexe Gr�o�e X�2 (k), X

�1 (k)

unterscheiden. Des weiteren l�a�t sich beobachten, da� wieder die rechnergest�utzten

Simulationsergebnisse mit den analytischen Berechnungen gut �ubereinstimmen; aller-

dings ist f�ur jedes n eine geringe systematische Abweichung zu erkennen. Dies hat

folgende Ursache: In Gleichung (2.52a) wird der Sch�atzer a(2)p;q;l(�; #) durch die Zufalls-

variable sign�a(2)p;q;l;1(�; #)

�geteilt, so da� die Varianz von a(2;sign)p;q;l (�; #) nicht einfach

gleich der geeignet skalierten Varianz von a(2)p;q;l(�; #) ist, sondern vielmehr eine genaue

Berechnung der bivariaten Verteilungsfunktion zwischen den beiden Zufallsvariablen

a(2)p;q;l(�; #) und sign

�a(2)p;q;l;1(�; #)

�erfordert. Eine solche Berechnung f�ur endliche Da-

tenl�angen ist jedoch zu aufwendig. Daher ist die hier gew�ahlte Vorgehensweise, die

Zufallsvariable sign�a(2)p;q;l;1(�; #)

�durch ihre deterministische Gr�o�e sign

�a(2)p;q;l;1(�; #)

�bei der analytischen Varianzberechnung zu ersetzen, die einzig praktikable. Ein zus�atzli-

ches Ersetzen von sign�a(2)p;q;l;1(�; #)

�durch sign

�a(2)p;q;l;1(�; #)

�bei der rechnergest�utzten

Varianzsch�atzung f�uhrt dann erwartungsgem�a� zu einem Verschwinden dieser systema-

tischen Abweichung. Die geringe Gr�o�e dieser Abweichung l�a�t sich durch die Eigen-

schaft der Zufallsvariablen sign�a(2)p;q;l;1(�; #)

�, stets den gleichen Betrag aufzuweisen,

erkl�aren. Die in dem nachfolgenden Bild 2.11 dargestellten Ergebnisse best�atigen diese

Beobachtung auch f�ur Kumulanten vierter Ordnung.


10 20 30 40 50 600.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

�V (4)

�V(4)

6

Kombinationen n -

Bild 2.11 Gesch�atzte (log V(4) in Kreisen) und analytisch berechnete

(logV(4) in durchgezogener Linie) normierte mittlere Varian-

zen f�ur alle Kombinationen (M = 2).

Neben der geringen systematischen Abweichung zwischen rechnergest�utzten Simu-

lationsergebnissen und analytischer Berechnung, ist die Tendenz einer abnehmenden

Varianz mit zunehmender Zahl an Steuervektorsch�atzern zu erkennen. Falls �uber s�amt-

liche N(4)A (2) = 6 Steuervektorsch�atzer (n = 63) gemittelt wird, ist sogar eine Reduzie-

rung der Varianz um 50; 8% gegen�uber der Verwendung nur eines Steuervektorsch�atzers

m�oglich. Au��allig ist die geringe Varianz f�ur n = 14, welche mit dem Sch�atzer

a(4;sign)14 (�; #) =

1

2

�a(4;sign)1;1;2 (�; #) + a(4;sign)2;2;1 (�; #)

�

korrespondiert und schon zu einer Varianzminderung von 47; 5% f�uhrt. Der Grund

hierf�ur liegt in den vollst�andig verschiedenen Indizes (1; 1; 2) und (2; 2; 1). Diese Be-

obachtung f�uhrt zu der sich aus Bild 2.11 best�atigenden Regel, da� bei gleicher Zahl

an gemittelten Steuervektorsch�atzern die Varianz um so kleiner ist, je mehr Indizes


voneinander unterschiedlich sind. Beispielsweise entspricht die mit steigendem Abszis-

senwert n�achstkleinere Varianz dem Sch�atzer

a(4;sign)27 (�; #) =

1

2

�a(4;sign)1;1;1 (�; #) + a

(4;sign)1;2;2 (�; #) + a

(4;sign)2;1;2 (�; #)

�; (2.57)

dessen einzelne Steuervektorsch�atzer o�ensichtlich genau zwei verschiedene Indizes un-

tereinander aufweisen. Basierend auf obiger Regel und vorgegebenen limitierten Re-

chenleistungen lassen sich die geeignetsten Steuervektorsch�atzer nun ausw�ahlen.

2.2.7 Abschlie�ende Betrachtungen und Ausblick

Anhand dieser repr�asentativen Beispiele lassen sich einige bedeutende Erkenntnisse

�uber Kumulanten zweiter und vierter Ordnung zur Steuervektorsch�atzung einer Si-

gnalquelle gewinnen, die abschlie�end nochmals zusammengefa�t dargestellt sind.

Bei bipolaren Sendesignalen und moderatem Signal-zu-Rauschleistungsverh�altnis

sind Kumulanten vierter Ordnung zur Steuervektorsch�atzung den Kumulanten zweiter

Ordnung nahezu immer �uberlegen. Dies gilt neben einer beinahe beliebigen Sensoren-

zahl bei �ublichen Sensorenanordnungen auch unabh�angig von den Einfallswinkeln und

insbesondere f�ur beliebig kleine Datenl�angen. Gerade dies widerlegt ein weiteres Mal die

Behauptung, da� mit zunehmender Kumulantenordnung die Sch�atzgenauigkeit sinkt

(vgl. auch S. 37). Ferner sind Kumulanten vierter Ordnung im Vergleich zu Kumulan-

ten zweiter Ordnung unemp�ndlicher gegen�uber Wellenl�angen�anderungen, die in der

technischen Anwendung bei bewegten Objekten durch den Doppler-E�ekt entstehen

k�onnen.

Die Variation der quadrierten normierten Quellenkurtosis wirft die Fragestellung

auf, wie durch eine Optimierung der statistischen Signaleigenschaften eine minima-

le Varianz der Steuervektorsch�atzer zu erzielen ist. Insbesondere entsteht hierbei das

Problem, den optimierten Kumulantenwerten eine Dichtefunktion und damit ein reali-

sierbares Signal zuzuordnen. O�ensichtlich bietet sich hier ein interessantes Forschungs-

gebiet mit vielf�altigen Anwendungsm�oglichkeiten, und die Varianzformeln (2.46), (D.1)

geben einen ersten Ansatz zur L�osung dieser anspruchsvollen Aufgabe.

Dar�uberhinaus konnte wiederum basierend auf den Gleichungen (2.46), (D.1) eine

Regel erarbeitet werden, durch die nun in einfacher Weise besonders geeignete Kombi-

nationen von Kumulanten zur Steuervektorsch�atzung ausgew�ahlt werden k�onnen.

Zahlreiche weitere Beispiele, die im wesentlichen nur die hier gewonnenen Erkennt-

nisse untermauern, sind in [134] zu �nden. Dazu z�ahlt die Untersuchung der Nah-

feldsituation, der Mehrwegeausbreitung und die Betrachtung mehrerer Signalquellen.


Bei mehreren Signalquellen sind nur indirekte Schl�usse hinsichtlich des Steuervektors

m�oglich, da dann ein linearer Zusammenhang zwischen den Steuervektorelementen und

den Kumulanten zweiter und auch vierter Ordnung nicht mehr anzugeben ist. Jedoch

best�atigte eine Untersuchung der normierten Varianzen der Kumulantensch�atzer die

in [68], S. 223, gefundene asymptotische Eigenschaft, da� die Varianz der Richtungs-

winkelsch�atzung einer Quelle mit geringer Sendeleistung bei einer zus�atzlichen Quelle

mit gro�er Sendeleistung bei Verwendung von Kumulanten vierter Ordnung gegen�uber

Kumulanten zweiter Ordnung merklich erh�oht ist.

Auch verbleiben noch eine Vielzahl o�ener Fragen, die weitere, mitunter noch

deutlich aufwendigere Berechnungen erfordern. W�ahrend bisher nur einfache Steuer-

vektorsch�atzer betrachtet wurden, sind entsprechende Untersuchungen f�ur komplexe-

re und wesentlich h�au�ger verwendete Verfahren durchzuf�uhren. Zu diesen Verfahren

z�ahlen beispielsweise der MUSIC-Algorithmus (Multiple Signal Classi�cation) [189],

der ESPRIT-Algorithmus (Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance

Techniques) [187] und der k�urzlich vorgestellte VESPA-Algorithmus (Virtual ESPRIT

Algorithm) [89]. Eine Varianzberechnung dieser Methoden f�ur eine endliche Datenl�ange

gestaltet sich jedoch wegen der mehrdimensionalen nichtlinearen Zusammenh�ange zwi-

schen den Kumulanten und den Modellparametern als au�erordentlich schwierig. Ein

prinzipieller Ansatz k�onnte in einer mehrdimensionalen Taylor-Reihenentwicklung

dieser Nichtlinearit�at um einen Entwicklungspunkt mit anschlie�endemReihenabbruch

bestehen. Sodann ist die Berechnung von Momenten notwendig, deren Ordnung ma-

ximal gleich der zweifachen Ordnung der verwendeten Kumulanten multipliziert mit

der durch den Abbruch resultierenden oberen Summationsgrenze ist. Aus diesen �Uber-

legungen und den bisherigen Varianzberechnungen wird die enorme Komplexit�at ein-

sichtig, die wohl nur mit Hilfe der Methoden zur symbolischen Programmierung5 noch

fehlerfrei gel�ost werden kann. Dabei ist { auch wenn der Entwicklungspunkt den wah-

ren Kumulanten entspricht { die G�ultigkeit f�ur sehr kleine Datenl�angen aufgrund des

Summenabbruchs keineswegs gew�ahrleistet, so da� im Zweifelsfall doch rechnergest�utz-

te Simulationen hinzugezogen werden m�ussen.

Ein weiterer Aspekt betri�t die Abtastperiode TA der Signale. Bisher wurde stets

angenommen, da� die Signale im sogenannten Symboltakt abgetastet werden, und da die

Symbole informationstragend sind, ist die angenommene Unabh�angigkeit von Sj(k1)

mit Sj(k2) f�ur k1 6= k2, k1; k2 2 Z durchaus berechtigt. K�urzlich sind erste, auf ei-

ner �Uberabtastung der empfangenen Signale beruhende Ans�atze [201], [234] entwickelt

worden, die Parametersch�atzungen unter ausschlie�licher Verwendung von Kumulan-

5Eine erfolgreiche Anwendung der symbolischen Programmierung zur Berechnung von Kovarianzen

ist in [95] zu �nden.


ten zweiter Ordnung f�ur jeden linearen zeitinvarianten �Ubertragungskanal erm�oglichen.

Bisherige, auf einer Abtastung im Symboltakt basierende Methoden ben�otigten hinge-

gen stets Kumulanten h�oherer Ordnung f�ur einen eindeutigen und analytisch exakten

Parametersch�atzer. Wenngleich die neuen Ans�atze sich mehr zur Identi�kation von

ged�achtnisbehafteten �Ubertragungskan�alen eignen, so motivieren sie doch eine Erwei-

terung der erl�auterten Methodik auf eine variable Abtastperiode. Die �uberabgetasteten

Signale sind dann zwar nicht mehr station�ar, jedoch weisen die Verbundmomente bzw.

Verbundkumulanten gewisse Symmetrieeigenschaften auf (sogenannte Zyklostationa-

rit�at, siehe auch S. 80 ), so da� weiterhin nur eine Realisierung eines Zufallsprozesses

zur Parametersch�atzung gen�ugt.

Abschlie�end seien noch kurz weitere Eigenschaften von Kumulanten in Bezug auf

die Sensorgruppensignalverarbeitung diskutiert. In [67] und auch in [192] wurde ge-

zeigt, da� unter Verwendung von Kumulanten h�oherer Ordnung deutlich mehr Signal-

quellen au �osbar sind als unter Verwendung von Kumulanten zweiter Ordnung. F�ur

die praxisrelevanten Kumulantenordnungen N = 2; 3; 4 veranschaulicht Tabelle 2.2 die

Verh�altnisse ([192], S. 296 und [39], S. 60) unter Annahme einer bestm�oglichen Senso-

renanordnung.

M 2 2 2 3 3 3 4 4 4

N 2 3 4 2 3 4 2 3 4

J 1 3 4 3 6 8 6 9 12

Tabelle 2.2 Anzahl detektierbarer Signalquellen J als Funktion der Sen-

sorenanzahl M und der Kumulantenordnung N .

Mit zunehmender Kumulantenordnung N steigt die Anzahl J an detektierbaren

Signalquellen deutlich an; dies zeigt ein weiteres Mal die Vorz�uge von Kumulanten

h�oherer Ordnung.

Als letztes Beispiel im Bereich der Sensorgruppensignalverarbeitung sei noch das

Problem der Gruppenkalibrierung angesprochen. Der auf Kumulanten zweiter Ordnung

beruhende popul�are MUSIC-Algorithmus [189] ist in der Lage, eine Vielzahl von Para-

metern zu sch�atzen, wie z. B. die Quellenanzahl J , den Richtungswinkel �, den Erhe-

bungswinkel � und auch die Polarisierung einer einfallenden elektromagnetischenWelle.

Diesen vorteilhaften Eigenschaften steht folgender erheblicher Nachteil entgegen: F�ur

jede Kombination obiger Parameter mu� die Sensorantwort gm(�j; #j), m = 1(1)M ,

j = 1(1)J bekannt sein. Das sich daraus ergebende, als Gruppenkalibrierung bezeichnete


Verfahren erfordert nicht nur �au�erst aufwendige a-priori Messungen unter verschieden-

sten Einfallswinkeln, sondern auch einen unter Umst�anden erheblichen Speicherbedarf

zur Ablegung der durch die Messung gewonnenen Sensorantworten. In [89] wurde ge-

zeigt, da� unter Verwendung von Kumulanten h�oherer Ordnung lediglich die Kenntnis

der Orte zweier Sensoren6 mit gleicher aber unbekannter Antwort g1(�j; #j)!= g2(�j; #j)

ausreicht, um neben einer Gruppenkalibrierung die Einfallswinkel der voneinander un-

abh�angigen Quellen zu bestimmen und auch die Sendesignale zu rekonstruieren. Dieses

Verfahren beruht letztlich auf der erh�ohten Zahl an unabh�angigen Ver�anderlichen von

Kumulanten h�oherer Ordnung und umgeht das Gruppenkalibrierungsproblem in ele-

ganter Weise.

2.3 Allgemeing�ultige Aspekte

Im Gegensatz zu den beiden vorherigen Abschnitten, in denen ausf�uhrlich die Eigen-

schaften von Kumulanten und Momenten h�oherer Ordnung bei konkreten Aufgaben-

stellungen { insbesondere in Hinblick auf die Datenl�ange { diskutiert wurden, sollen

nun Aspekte von allgemeinerer G�ultigkeit aufgezeigt werden.

Wie schon in der Einleitung (s. S. 1) erw�ahnt wurde, ist eine m�oglichst vollst�andi-

ge mathematische Beschreibung der betrachteten zufallsbehafteten Signale erstrebens-

wert. Da nun diese vollst�andige mathematische Beschreibung die Kenntnis der multi-

variaten Dichtefunktion voraussetzt und letztere mit steigender Anzahl an Verbund-

momenten oder Verbundkumulanten im allgemeinen immer genauer approximiert wer-

den kann, f�uhrt die Sch�atzung der Statistiken h�oherer Ordnung bis auf Ausnahmef�alle

immer zu einem Informationsgewinn. Folglich k�onnen Problemstellungen analytisch

exakt und eindeutig gel�ost werden, die unter ausschlie�licher Verwendung von Stati-

stiken zweiter Ordnung bestenfalls mehrdeutig oder auch nur approximativ zu l�osen

waren. Gegenstand dieses Abschnittes ist daher, nicht nur Fallbeispiele zu geben, son-

dern vielmehr mit allgemeing�ultigen Aussagen den durch Statistiken h�oherer Ordnung

erhaltenen Informationsgewinn zu verdeutlichen.

Ein erster, unmittelbar einsichtiger Aspekt besteht in der steigenden Zahl an un-

abh�angigen Variablen mit zunehmender Kumulantenordnung (siehe auch den Kommen-

tar zu Ende des vorigen Abschnitts). So gilt beispielsweise bei einem station�aren zeitdis-

kreten Zufallsproze� X(k) (vgl. (1.23b)) f�ur die Autokumulantenfolge N -ter Ordnung

cX;N(�1; :::; �N�1) = K

(X(k)

N�1Yn=1

X(k + �n)

):

6Ohne Beschr�ankung der Allgemeinheit werden hier die Sensoren 1 und 2 als gleichartig ausgew�ahlt.

2.3 Allgemeing�ultige Aspekte 79

O�enbar ist also die Anzahl an unabh�angigen Variablen �n, n = 1(1)N � 1 genau

gleich der um eins erniedrigten Ordnung. Da die unabh�angigen Variablen frei w�ahlbar

sind, bieten sich eben durch geeignete Wahl derselben neue L�osungsm�oglichkeiten f�ur

vielf�altige Problemstellungen.

2.3.1 Erhaltung der Phaseninformation

Zur Vertiefung der vorigen Erkenntnisse betrachten wir nochmals das auf S. 33 ein-

gef�uhrte zeitinvariante lineare System und die Beziehung (1.42) zwischen den Autoku-

mulantenspektren des Eingangsprozesses und des Ausgangsprozesses

CX;N(ej1; :::; e jN�1) = CX;N(e

j1; :::; e jN�1)H�

0B@e j

N�1Pn=1

n

1CA N�1Y

n=1

H(e jn);

wobei H(e jn) die �Ubertragungsfunktion ist. Insbesondere gilt f�ur das auch als Lei-

stungsdichtespektrum bezeichnete Spektrum zweiter Ordnung

CX;2(ej1) = jH(e j1)j2 CX;2(e

j1) (2.58)

und f�ur das Bispektrum entsprechend

CX;3(ej1; e j2) = H(e j1)H(e j2)H�(e j(1+2)) CX;3(e

j1; e j2):

Das Bispektrum CX;3(e j1; e j2) beinhaltet im Gegensatz zum Leistungsdichtespek-

trum CX;2(e j1) sehr wohl Informationen �uber die Phase des zeitinvarianten linearen

Systems. Diese recht fundamentale Eigenschaft von Statistiken h�oherer Ordnung hat die

Entwicklung einer Vielzahl neuer Verfahren zur Identi�kation linearer Systeme bewirkt,

mit denen nun die Parameter auch nichtminimalphasiger Signalmodelle theoretisch ex-

akt bestimmt werden k�onnen. Dieser Sachverhalt wird im n�achsten Kapitel eingehend

untersucht, und Erweiterungen auf zeitvariante lineare Systeme und auf Systeme mit

mehreren Ein- und Ausg�angen werden dort vorgeschlagen. Bevor nun weitere allge-

meine Aspekte behandelt werden, sei noch auf eine wichtige Ausnahme hingewiesen.

Wird die Stationarit�at der betrachten Signale X(k), Z(k) aufgegeben und werden die

Verbundmomente zweiter Ordnung als

RZZ(k1; k2) = EfZ(k1)Z(k2)gRXX(k1; k2) = EfX(k1)X(k2)g

de�niert, so folgt mit Hilfe von (1.40) (s. auch [170])

SXX(ej1 ; e j2) = H(e j1)H(e j2) SZZ(e

j1; e j2);


wobei die Spektren SZZ(e j1; e j2)=FfRZZ(k1; k2)g, SXX(e j1; e j2)=FfRXX(k1; k2)gals zweidimensionale Fourier-Transformierte der Verbundmomente zweiter Ordnung

aufzufassen sind. Das Ausgangsspektrum SXX(e j1; e j2) ist bis auf den Sonderfall

1 = �2 nun von der Phase der �Ubertragungsfunktion abh�angig, so da� f�ur nicht-

station�are Eingangssignale die Phase durchaus bestimmt werden kann. Genau diese

Eigenschaft wird bei den schon auf Seite 77 kurz angesprochenen zyklostation�aren Zu-

fallsprozessen ausgenutzt. Dabei wird ein Proze� Y (k) als zyklostation�ar bezeichnet,

der

RY Y (k1; k2) = RY Y (k1 +K; k2 +K); K 2 Z (2.59)

erf�ullt. Somit gilt auch RY Y (k1; k2) = RY Y (k1+nK; k2+nK), n 2 Z und das Verbund-

moment zweiter Ordnung weist deshalb gewisse Periodizit�aten7 auf. Da aber bei den

hier betrachteten Problemstellungen nur die Ausgangsprozesse bekannt sind, kann diese

Periodizit�atseigenschaft der Verbundmomente auch alternativ auf das lineare System

�ubertragen werden. Denn ob nun die statistischen Eigenschaften der Eingangsprozesse

gewisse Periodizit�aten aufweisen und das System zeitinvariant ist, oder ob die Ein-

gangsprozesse station�ar sind und das System periodisch zeitvariant ist, kann f�ur den

nur den Ausgangsproze� kennenden Empf�anger nicht unterschieden werden. Insofern ist

der Zusammenhang zwischen Aufs�atzen, die zyklostation�are Prozesse oder periodisch

zeitvariante Systeme betre�en, keineswegs �uberraschend (siehe z. B. [84], [144], [201],

[234], [235]).

F�ur den allgemeinen nichtstation�aren Fall { bei dem die VerbundmomenteRZZ(k1; k2),

RXX(k1; k2) weder Periodizit�aten noch Symmetrieeigenschaften aufweisen { sind zur

Sch�atzung von RXX(k1; k2) mehrere Realisierungen notwendig. Diese Situation ist je-

doch in der Praxis nur selten anzutre�en, so da� die Sch�atzung von Parametern nicht-

station�arer Zufallsprozesse nur in Sonderf�allen eine l�osbare Aufgabe ist.

2.3.2 Additives Gauss-verteiltes Rauschen

Ein weiterer allgemeing�ultiger Aspekt �ndet sich in der Eigenschaft von Verbundku-

mulanten h�oherer Ordnung imGauss-Fall stets identisch Null zu sein (siehe Gleichung

(1.20c)). Zahlreiche Signalmodelle, wie z. B. auch das unter (2.22) eingef�uhrte Modell in

der Sensorgruppensignalverarbeitung, beinhalten ein additives, h�au�g als St�orung auf-

zufassendes Rauschen. Dieses Rauschen wird aufgrund der physikalischen Gegebenhei-

7Hingegen gilt keineswegs RY Y (k1; k2) = RY Y (k1 + nK; k2 + mK), n 6= m, womit das Verbund-

moment zweiter Ordnung schon vollst�andig durch RY Y (k1; k2) auf einem quadratischen Bereich der

Breite K beschrieben w�are.

2.3 Allgemeing�ultige Aspekte 81

ten in Verbindung mit dem zentralen Grenzwertsatz ([243], S. 30) in vielen Anwendun-

gen als ein Gauss-verteilter Zufallsproze� modelliert. Der zentrale Grenzwertsatz be-

sagt, da� eine lineare �Uberlagerung von N unabh�angigen, beliebig verteilten Zufallsva-

riablen asymptotisch (N !1) auf eine Gauss-verteilte Zufallsvariable f�uhrt. Insofern

erscheinen Verbundkumulanten h�oherer Ordnung als die idealen statistischen Gr�o�en

zur vollst�andigen Unterdr�uckung dieser ungewollten Gauss-verteilten St�orungen. Es

ist auch in zahlreichen Aufs�atzen ([89], [90], [101], [103], [107], [152], [153], [161], [166],

[167]) nachzulesen, da� im Gegensatz zu Kumulanten zweiter Ordnung Kumulanten

h�oherer Ordnung gegen�uber jeglicher Art von Gauss-verteilten St�orungen unemp�nd-

lich sind oder, abgeschw�acht formuliert, da� auf Kumulanten h�oherer Ordnung beruhen-

de Methoden f�ur eine gleiche Sch�atzgenauigkeit das Signal-zu-Rauschleistungsverh�altnis

bei additiven Gauss-verteilten St�orungen kleiner sein kann als bei Methoden basierend

auf Kumulanten zweiter Ordnung. Die G�ultigkeit der ersten Aussage erstreckt sich

jedoch nur auf die wahren Kumulanten und nicht auf die in der Praxis anzutre�en-

den gesch�atzten Kumulanten. Denn gerade f�ur die Sch�atzung von Kumulanten h�oherer

Ordnung ist das Signal-zu-Rauschverh�altnis von besonderer Bedeutung. Mit steigen-

der Rauschleistung wird auch die Sch�atzgenauigkeit zunehmend ungenauer, so da� ein

unter Umst�anden sogar entscheidender Ein u� additiver Gauss-verteilter St�orungen

zu verzeichnen ist. Da� dieser Ein u� mit zunehmender Datenzahl immer geringer

wird, ist aus der Konsistenzeigenschaft der Kumulantensch�atzer (vgl. S. 29) einsich-

tig. Demzufolge ergibt sich auch hier wieder die Notwendigkeit, eine exakte Analyse

der gegebenen Problemstellung durchzuf�uhren, wenn m�oglich gar in Abh�angigkeit der

Datenl�ange. Der hierf�ur erhebliche mathematische Aufwand ist anhand der im vorigen

Abschnitt 2.2 geleisteten Analyse erkennbar. F�ur zahlreiche weitere Anwendungen von

Statistiken h�oherer Ordnung stehen derartige Untersuchungen weitestgehend noch aus.

Lediglich eine asymptotische Analyse des Signalmodells

X(k) =1X

�=�1

h(�)Z(k � �) +N(k); EfZ(k)g = 0; EfN(k)g = 0

ist in der Literatur zu �nden ([14], S. 89-111). Hierbei besteht der station�are Zufallspro-

ze� Z(k) aus nicht-Gauss-verteilten unabh�angigen Zufallsvariablen, und N(k) wird

als i. a. korreliertes Gauss-verteiltes station�ares Rauschen angenommen. Selbst dieses

zwar h�au�g angewandte, aber nicht sonderlich komplexe Signalmodell, erfordert zur

analytischen Untersuchung des Rauschein usses schon derart aufwendige Berechnun-

gen, da� eine Analyse des Falles endlicher Datenl�angen sicherlich nur mit Methoden

der symbolischen Programmierung zu bew�altigen ist (vgl. auch den Kommentar auf S.

76). Als wesentliches Resultat dieser asymptotischen Analyse ergab sich, da� auch im

Fall additiverGauss-verteilter St�orungen Methoden basierend auf Kumulanten h�oher-


er Ordnung keineswegs immer zu genaueren Ergebnissen f�uhren als auf Kumulanten

zweiter Ordnung beruhende Verfahren. Vergleichbar weitreichende Aussagen wie im

Fall der Sensorgruppensignalverarbeitung (s. S. 75) sind in [14] nicht zu �nden.

2.4 Zur Auswahl der Kumulanten

Nachdem einige allgemeing�ultige Aspekte dargestellt wurden, sollen nun in diesem Ka-

pitel abschlie�end die grundlegenden Fragen aufgegri�en werden, welche Kumulanten

und wie Kumulanten f�ur eine m�oglichst genaue Sch�atzung auszuw�ahlen sind. Dabei

wird wiederum anhand von einigen, unterschiedliche Problemstellungen behandelnden

Beispielen zwar die Komplexit�at der mit dieser Fragestellung verbundenen L�osungs-

vorschl�age einsichtig, jedoch lassen sich auch recht einfache Resultate ableiten. Die

Ber�ucksichtigung des numerischen Aufwandes wird hier von untergeordneter Bedeu-

tung sein, da sie die soeben angesprochene Komplexit�at nochmals deutlich steigern

w�urde.

2.4.1 Grundlegende Betrachtungen

Aus informationstheoretischer Sichtweise liegt es nahe, m�oglichst viele Kumulanten

(vgl. auch Bild 2.10 und Bild 2.11) mit m�oglichst vielen Argumentwerten zu der Sch�atz-

aufgabe heranzuziehen. W�ahrend zahlreiche Argumentwerte durch Symmetriebezie-

hungen redundant sein k�onnen (vgl. z. B. (1.27e)), ist der Wahl der h�ochsten verwen-

deten Ordnung N prinzipiell keine Grenze gesetzt. �Ublicherweise werden jedoch neben

dem Wunsch einer m�oglichst vollst�andigen Beschreibung folgende drei Gesichtspunkte

zur Wahl der h�ochsten Ordnung ber�ucksichtigt:

� Die Signaleigenschaften (beispielsweise werden bei symmetrisch nicht-Gauss-ver-

teilten Signalen h�au�g Kumulantenfolgen vierter Ordnung verwendet).

� Der numerische Aufwand (der mit steigender Ordnung N erheblich ansteigen

kann).

� Die Sch�atzgenauigkeit.

Folglich soll die Ordnung N in aller Regel klein gehalten werden.

Auch wenn eine maximale Ordnung festgelegt ist und die Symmetriebeziehungen

bekannt sind, k�onnen je nach Problemstellung weiterf�uhrende Aussagen bez�uglich der

2.4 Zur Auswahl der Kumulanten 83

Auswahl oder, allgemeiner, bez�uglich der Gewichtung von Kumulanten gemacht wer-

den. Beispielsweise k�onnen die in (2.56a) und (2.56b) angegebenen Steuervektorsch�at-

zer durch eine geeignete Gewichtung

a(2;w;sign)n (�; #) =

1

PQL

Xp2IP

Xq2IQ

Xl2IL

w(2)p;q;l a

(2;sign)p;q;l (�; #) (2.60a)

a(4;w;sign)n (�; #) =

1

PQL

Xp2IP

Xq2IQ

Xl2IL

w(4)p;q;l a

(4;sign)p;q;l (�; #) (2.60b)

und der Nebenbedingung gleicher Energie

MXm=1

��a(2;w;sign)n;m (�; #)��2 =

MXm=1

��a(2;sign)n;m (�; #)��2

MXm=1

��a(4;w;sign)n;m (�; #)��2 =

MXm=1

��a(4;sign)n;m (�; #)��2

eventuell noch verbessert werden. Dabei sind die Gewichtsfaktoren w(2)p;q;l, w

(4)p;q;l so zu

bestimmen, da� die �uber alle Elemente aufsummierte Varianz von (2.60a), (2.60b) mi-

nimal ist. Aufgrund der ohnehin schon sehr schwer �uberschaubaren Gleichungen f�ur die

Varianz (2.46), (D.1) der nicht-gewichteten Sch�atzer wird auf die Ausf�uhrung eines der-

artigen Ansatzes verzichtet, und anstelle dessen werden im folgenden die Erkenntnisse

von asymptotischen Analysen zusammengetragen.

2.4.2 Asymptotisch optimale Gewichtung

Wie im n�achsten Kapitel noch mehrmals gezeigt wird, l�a�t sich h�au�g zwischen dem

gesuchten Parametervektor � = (�1; :::; �L)T und einer Matrix C(c) beziehungsweise

einem Vektor b(c) der lineare Zusammenhang

C(c) � = b(c) (2.61)

angeben, wobei

c = (:::; cX;n(�1; :::; �n�1); :::); n = 1(1)N; dimc = M; (2.62)

ein M -dimensionaler Vektor ist, der die zu verwendenden Autokumulantenwerte in

beliebiger Anordnung enth�alt. Nach der Sch�atzung der Kumulanten cX;n(�1; :::; �n�1)

kann folglich aus dem gemessenen Signal x(k), k = 0(1)K � 1 gem�a� (1.31) die Matrix

C(c) und der Vektor b(c) konsistent (vgl. S. 29) gesch�atzt werden, solange nur die

Funktionen zwischen den Matrix- bzw. Vektorelementen und den Autokumulantenwer-

ten bekannt und stetig sind. Falls nun hinreichend viele linear unabh�angige Gleichungen


vorhanden sind, also Rang (C(c)) = L gilt, so l�a�t sich � nach der sogenanntenMethode

der gewichteten kleinsten Fehlerquadrate (vgl. S. 101 oder [177], S. 196) durch

�KQ =�C

T(c)W (�) C(c)

��1C

T(c)W (�) b(c) (2.63)

sch�atzen. Die als positiv de�nit zu w�ahlende Matrix W (�) gewichtet o�enbar die in

C(c) enthaltenen Kumulantensch�atzer und wird daher als Gewichtsmatrix bezeichnet.

Demzufolge ist eine optimale Gewichtsmatrix Wopt(�) zu bestimmen. Dabei sind die

weiteren Ausf�uhrungen dieses Abschnitts vollst�andig aus [177], S. 194� entnommen.

Mit

D =

@b(c)

@c1� @C(c)

@c1; :::;

@b(c)

@cM� @C(c)

@cM

!;

wobei cm, m = 1(1)M die Elemente des Vektors c = (c1; :::; cM)T sind und der asym-

ptotischen Kovarianzmatrix

Kov1nc; cT

o= lim

N!1N E

n(c� c)(c� c)T )

o(2.64)

des erwartungstreuen Sch�atzers c, gilt ([177], S. 196) f�ur die im Sinne einer kleinsten

asymptotischen Varianz optimale Gewichtsmatrix

Wopt(�) =�D Kov

1nc; cT

oD��1

: (2.65)

W�ahrend die Berechnung vonD bei praxisrelevanten Signalmodellen noch relativ �uber-

schaubar ist (vgl. [177], S. 201), erfordert die asymptotische Kovarianzmatrix �ahnlich

den Gleichungen (2.46), (D.1) erheblich aufwendigere Berechnungen (siehe [177], S.

219-224 und auch [244]). Aber selbst wenn Wopt(�) f�ur das zugrundeliegende Signal-

modell allgemein berechnet werden kann, so verbleibt die konkrete Wahl vonWopt(�),

da � zu sch�atzen ist und nicht als bekannt angenommen werden kann. Denkbar ist

entweder eine nichtlineare Optimierung von Gleichung (2.63), die aber dem Zweck und

damit den Vorz�ugen eines linearen Gleichungssystems widerspr�ache, oder ein rekursives

Verfahren, bei dem im ersten Rekursionsschritt die Gewichtsmatrix als Einheitsmatrix

gew�ahlt wird und nach einer ersten Sch�atzung �1 des Parametervektors nun Wopt(�1)

im zweiten Rekursionsschritt verwendet wird. Dies wird solange wiederholt, bis der

Parametervektor sich von einem Rekursionsschritt zum n�achsten nur noch geringf�ugig

�andert. Problematisch bei diesem Ansatz ist der Beweis der Konvergenz dieser rekur-

siven Methode, denn die fehlende Konvergenzeigenschaft stellt die Zuverl�assigkeit der

Methode in Frage und kann extrem ungenaue Parametersch�atzungen bewirken. Den-

noch wird unter Verwendung der optimalenGewichtsmatrix die Frage nach der Auswahl

von Kumulanten bei Annahme eines linearen Gleichungssystems beantwortet.


Bevor nun ein weiterer Ansatz zur Auswahl von Kumulanten n�aher untersucht

wird, soll zum tieferen Verst�andnis kurz der Zusammenhang zwischen der optimalen

Gewichtsmatrix und einer allgemeinen nichtlinearen Optimierungsfunktion erl�autert

werden. Gegeben sei wieder der von dem Parametervektor � in allgemein nichtlinearer

Weise abh�angige Kumulantenvektor c(�) (vgl. (2.62)). Unter Verwendung der asym-

ptotischen Kovarianzmatrix (2.64) kann gezeigt werden, da� der die skalare Funktion

V (x) =1

2(c(x)� c)T Kov1

nc; cT

o�1(c(x)� c) (2.66)

minimierende Sch�atzer

�opt = argminx

V (x) (2.67)

im Falle der Existenz eines globalen Minimums von V (x) die asymptotisch kleinste

Varianz aufweist. Ist ferner der lineare Zusammenhang (2.61) gegeben, so gilt

�KQ!= �opt:

Dieser auf Kumulanten beliebiger Ordnung beruhende asymptotisch optimale Sch�atzer

�opt (2.67) wurde erstmals in [177], S. 194 (siehe auch [40], S. 82-85) abgeleitet und dort

anhand linearer Signalmodelle eingehend untersucht. K�urzlich wurde derselbe Ansatz

im aktuellen Forschungsgebiet der blinden Entzerrung von nachrichten�ubertragenden

Kan�alen [109] aufgegri�en und zur Vermeidung einer nichtlinearen und damit nume-

risch aufwendigen und nicht global konvergenten Optimierung in [235] geeignet modi-

�ziert.

2.4.3 Ein Vergleich parameterunabh�angiger Sch�atzer

Die in dem vorigen Abschnitt dargelegte Abh�angigkeit der GewichtsmatrixW (�) von

dem Parametervektor � f�uhrt auf schwierig zu l�osende Probleme. Alternativ dazu wird

hier ein Beispiel gegeben, bei dem eine zu sch�atzende Gr�o�e nicht von den zu bestim-

menden Parametern abh�angt und ein analytischer Vergleich verschiedener Sch�atzer

m�oglich ist. Als recht erstaunliches Ergebnis folgt, da� bei hinreichend gro�er Da-

tenanzahl der die geringste Zahl an Autokumulantenwerte verwendende Sch�atzer von

gr�o�ter Genauigkeit im Vergleich zu allen �ubrigen ist. Weitere Einzelheiten hierzu sind

in [23] und [132] zu �nden.

An dieser Stelle ist es unumg�anglich, auf das n�achste Kapitel der Parametersch�atzung

linearer Systeme, und zwar im Zusammenhang mit der Identi�kation von Allpa�syste-


men, vorzugreifen. K�urzlich wurde ein auf Autokumulantenfolgen dritter Ordnung ba-

sierender Algorithmus [71] zur Sch�atzung der Koe�zienten eines Allpasses vorgeschla-

gen. Dabei wurde, ausgehend von der das Bispektrum (s. S 30) des Ausgangsprozesses

eines linearen zeitinvarianten Systems beschreibenden Gleichung (1.42)

CX;3(ej1; e j2) = H�(e j(1+2))H(e j1)H(e j2) CZ;3(e

j1; e j2) (2.68)

und der Annahme eines Weissen Rauschens dritter Ordnung als Eingangsproze� Z(k)

CZ;3(ej1; e j2) = cZ;3(0; 0) 81; 82

die Allpa�eigenschaft

jH(e j)j = 1 (2.69)

ausgenutzt, so da� schlie�lich aus (2.68) die im weiteren wichtige Beziehung

jcZ;3(0; 0)j = jCX;3(ej1; e j2)j (2.70)

folgt. Nun kann bei bekannten, zu modellierenden Daten x(k), k = 0(1)K � 1 nach

einer Sch�atzung cX;3(�1; �2) der Autokumulantenfolge dritter Ordnung (vgl. (1.31)),

das Bispektrum nach (1.38)

CX;3(ej1; e j2) =

LX�1=�L

LX�2=�L

w(�1

L;�2

L) cX;3(�1; �2) e

�j(1�1+2�2); (2.71)

mit der noch zu w�ahlenden zweidimensionalen und im allgemeinen zeitkontinuierlichen

Fensterfunktion (siehe [158], S. 1260) der Ausdehnung8 L = K�, 0 < � < 0:5 (siehe

[33], S. 125)

w(�1

L;�2

L) =

8<: f(�1; �2) (j�1j � L) ^ (j�2j � L)

0 sonst

gesch�atzt werden. Folglich l�a�t sich feststellen, da� der Betrag der Kumulanten drit-

ter Ordnung jKfZ3(k)g j = jcZ;3(0; 0)j des Eingangsprozesses Z(k) mittels (2.70) aus-

schlie�lich aus der zur Verf�ugung stehenden Realisierung x(k), k = 0(1)K � 1 des

Ausgangsprozesses X(k) gesch�atzt werden kann. Nun ist in [71] aber auch gezeigt wor-

den, da� genau dieser Betrag der Kumulanten dritter Ordnung jKfZ3(k)g j das globale8Zwecks einer Konzentration auf das Wesentliche werden s�amtliche Gleichungen nur f�ur den Fall

einer geraden Fensterl�ange L angegeben und bewiesen.


Maximum der dort verwendeten nichtlinearen Zielfunktion zur Sch�atzung der Allpa�-

parameter darstellt. Mit anderen Worten kann also das globale Maximum schon vor

einer nichtlinearen Optimierung berechnet werden. Insofern bietet sich damit die selte-

ne M�oglichkeit, die die Konvergenz einer nichtlinearen Optimierung deutlich bein us-

senden Startwerte solange zu variieren, bis tats�achlich das globale Maximum erreicht

ist. Da es f�ur die Zuverl�assigkeit eines solchen Verfahrens unabdingbar ist, die Ku-

mulante KfZ3(k)g hinreichend genau zu sch�atzen, werden im folgenden verschiedene

Sch�atzer auch bei einer endlichen Datenl�angeK analytisch miteinander verglichen.Wie

eingangs schon erw�ahnt, ist es dabei besonders vorteilhaft, da� diese Sch�atzer gem�a�

(2.70) �uberhaupt nicht von der �Ubertragungsfunktion H(e j) und somit auch nicht

von den zu sch�atzenden Allpa�parametern abh�angen. Auf die eigentliche Sch�atzung

der Allpa�parameter wird im n�achsten Kapitel nochmals ausf�uhrlich eingegangen.

Wird in Gleichung (2.68) 2 = �1 gesetzt, so folgt unter Ber�ucksichtigung der

Allpa�eigenschaft (2.69) die Beziehung

cZ;3(0; 0) = CX;3(ej1; e�j1) = CX;3(e

j1; 1);

wobei das letzte Gleichheitszeichen aus den Symmetriebeziehungen des Bispektrums

bei station�aren Zufallsprozessen resultiert (vgl. [33], S. 22, [246], S. 5). Dies bedeutet,

da� nicht nur der Betrag des Bispektrums imAllpa�fall, sondern auch die Phase entlang

der Geraden 2 = �1 konstant ist. Unter Verwendung von (2.71) ergibt sich dann

umgehend der erste9 Sch�atzer zu

c(1)Z;3(e

j1) = RenCX;3(e

j1 ; 1)o=

LX�1=�L

LX�2=�L

w(�1

L;�2

L) cX;3(�1; �2) cos(1�1): (2.72)

Um dabei die Abh�angigkeit des Sch�atzers c(1)Z;3(e

j1) { nicht jedoch die des wahren

Wertes cZ;3(0; 0) { von der Frequenz 1 zu verdeutlichen, wurde das die Kumulante im

Ursprung kennzeichnendeWertepaar (0; 0) fortgelassen und durch (e j1) ersetzt. Ferner

ist zu beachten, da� die Reellwertigkeit des Eingangsprozesses Z(k) selbstverst�andlich

die Reellwertigkeit von cZ;3(0; 0) impliziert und somit die Realteilbildung in (2.72)

bewirkt.

Zur Ableitung eines zweiten Sch�atzers f�ur cZ;3(0; 0) wird die Tatsache ausgenutzt

(z. B. [33], S. 143), da� die Zufallsvariablen CX;3(e j1; e j2) und CX;3(e j3 ; e j4) f�ur

1 6= 3 oder f�ur 2 6= 4 unabh�angig voneinander sind, solange nur der Abstand

zwischen den Frequenzen 1 und 3 oder 2 und 4 gr�o�er ist als 2�=L. Um die

9Wie in dieser Arbeit �ublich, werden verschiedene Sch�atzer anhand hochgestellter, in Klammern

eingeschlossener Indizes durchnumeriert.


Varianz von c(1)Z;3(e

j1) zu reduzieren, ist es daher naheliegend, �uber m�oglichst viele

unabh�angige Sch�atzer zu mitteln, so da� der Sch�atzer

c(2)Z;3 =

1

L

L�1Xl=0

RenCX;3(e

j 2�lL ; 1)

o; (2.73)

der sich auch schreiben l�a�t als

c(2)Z;3 =

1

L

L�1Xl=0

c(1)Z;3(e

j 2�lL )

=LX

�1=�L

LX�2=�L

w(�1

L;�2

L) cX;3(�1; �2)

1

L

L�1Xl=0

cos(2��1l

L)

=LX

�1=�L

w(�1

L;�1

L) cX;3(�1; �1); (2.74)

eine geringere Varianz aufweisen sollte als c(1)Z;3(e

j1). Hierbei ist allerdings zu beachten,

da� die Varianz des Bispektrums beispielsweise f�ur 1 = 0 gegen�uber der f�ur andere

Frequenzwerte 0 < 1 < � deutlich erh�oht sein kann. Allgemein gilt f�ur die Varianz

des Realteils des Bispektrums ([158], S. 1262, siehe auch [146]) bei hinreichend gro�er

Datenanzahl K

V

nRe

nCX;3(e

j1; e j2)oo

=L2

KCX;2(e

j1) CX;2(ej2) CX;2(e

j(1+2))

=�V1(8�(1) + �(2)) + V2(9�(1) + �(2)[1 + �(1 � �)]

+[1 + �(1 � 2)] [1 + �(1 + 22 � 2�) + �(21 + 2 � 2�)])�

(2.75)

f�ur den durch

0 � 1 � �; 0 � 2 � 1; 21 + 2 � 2� (2.76)

festgelegten Grundbereich des Bispektrums. Die Kenntnis s�amtlicher Werte im Grund-

bereich gen�ugt zur vollst�andigen Beschreibung des Bispektrums, da alle au�erhalb lie-

genden Werte durch Verwendung der schon erw�ahnten Symmetriebeziehungen (siehe

[33], S. 22, [246], S. 5) aus denen innerhalb des Grundbereiches liegenden berechnet

werden k�onnen. Die in Gleichung (2.75) enthaltenen frequenzunabh�angigen Gr�o�en

V1 =�Z 1

�1w(0;m) dm

�2(2.77a)

V2 =1

2

Z 1

�1

Z 1

�1w2(n;m) dn dm (2.77b)


sind o�ensichtlich nur von den Eigenschaften der Fensterfunktion w(n;m) abh�angig.

Aufgrund der Positivit�at von V1 und V2 l�a�t sich anhand von Gleichung (2.75) die

erh�ohte Varianz des Bispektrumsch�atzers an den R�andern des Grundbereiches erken-

nen. Diese, schon vorher angedeutete Tatsache motiviert neben dem Sch�atzer c(2)Z;3 auch

die beiden Sch�atzer

c(3)Z;3 =

1

L� 1

L�1Xl=1

RenCX;3(e

j1; 1)o

(2.78)

c(4)Z;3 =

1

L+ 1

LXl=0

RenCX;3(e

j1; 1)o

(2.79)

in einen analytischen Vergleich miteinzubeziehen. O�enbar sind hier entweder die

Randwerte fortgelassen worden (c(3)Z;3) oder hinzugekommen (c

(4)Z;3), so da� ein enger

Zusammenhang mit c(2)Z;3 zu vermuten ist. Tats�achlich lassen sich die Gleichungen

c(3)Z;3 =

L

L� 1c(2)Z;3 �

1

L� 1c(1)Z;3(0) (2.80a)

c(4)Z;3 =

L

L+ 1c(2)Z;3 +

1

L + 1c(1)Z;3(0): (2.80b)

einfach ableiten.

Bevor nun die Varianzen der vorgestellten Sch�atzer berechnet werden, sei noch ein

letzter Sch�atzer angegeben. Ein Quadrieren und anschlie�endes zweifaches Integrieren

beider Seiten in Gleichung (2.70) f�uhrt auf

jcZ;3(0; 0)j2 =1

4�2

Z 1

�1

Z 1

�1jCX;3(e

j1; e j2)j2 d1d2;

und nach Anwendung des Parseval-schen Theorems (z. B. [35], S. 62) folgt

jcZ;3(0; 0)j2 =1X

�1=�1

1X�2=�1

c2X;3(�1; �2)

und somit ergibt sich ein Sch�atzer zu

cZ;3 = �vuut LX

�1=�L

LX�2=�L

c2X;3(�1; �2): (2.81)

Da sich die Berechnung der Varianz dieses Sch�atzers als �au�erst aufwendig gestaltet,

wird zun�achst ein sich nur unwesentlich von cZ;3 unterscheidbarer Sch�atzer vorgeschla-

gen. Seine Varianzberechnung ist nicht nur leichter durchzuf�uhren, sondern es ergibt

sich dabei auch ein prinzipieller Ansatz zur Varianzberechnung von cZ;3.


Hierzu wird die nun f�ur eine diskrete Fourier-Transformation g�ultige Parseval-

sche Gleichung (siehe [35], S. 651) auf den Radikand von Gleichung (2.81) angewendet,

so da�

cZ;3 = �

vuuut 1

(2L + 1)2

LX�=�L

LX�=�L

jCX;3(ej 2��L ; e j

2��L )j2

folgt. Aufgrund der Symmetriebeziehungen des Bispektrums gen�ugt anstelle der Sum-

mation �uber den quadratischen Bereich � = �L(1)L, � = �L(1)L die Summation �uber

den Grundbereich (vgl. (2.76)) � = 0(1)L=2, � = 0(1)�, � < L�2�. Da jedoch die Va-

rianz des Bispektrumsch�atzers an den R�andern des Grundbereiches deutlich erh�oht ist

(vgl. (2.75)), werden diese aus der Summation herausgenommen, so da� sich schlie�lich

der zu untersuchende Sch�atzer ([132], S. 354)

c(5)Z;3 = �

vuuuut 3

L2

L=2�1X�=1

�X�=1

�<L�2�


2��L )j2

ergibt, dessen Radikand aus L2=3 Summanden besteht.

Es stehen nun f�unf verschiedene Sch�atzer f�ur das globale Maximum jcZ;3(0; 0)j der in[71] abgeleiteten Optimierungsfunktion zur Verf�ugung. Im Anhang E wird die Varianz

dieser Sch�atzer in Abh�angigkeit der Fensterl�ange L, der Datenl�ange K, der von der

Wahl des Fensters abh�angigen Gr�o�en V1, V2 und der Standardabweichung �Z des

Eingangsprozesses berechnet.

Ausgehend von (2.75) und einigen Hilfss�atzen ergeben sich die Varianzen dann zu

V

nc(1)Z;3(1)

o=

L2

K�6X

�V1[1 + 8�(1)] + V2[2 + 10�(1) + 2�(1 � �)]

�(2.82a)

V

nc(2)Z;3

o=

�6XK

�V1(10 + 2L) + V2(16 + 4L)

�(2.82b)

V

nc(3)Z;3

o=

L2�6X(L � 1)2K

�V1(1 + 2L) + V2(4 + 4L)

�(2.82c)

V

nc(4)Z;3

o=

L2�6X(L + 1)2K

�V1(37 + 2L) + V2(52 + 4L)

�(2.82d)

V

nc(5)Z;3

o=

2L2�6XV2

K; (2.82e)

wobei der erste Sch�atzer nur f�ur den eingeschr�ankten Wertebereich 0 � 1 � � g�ultig

ist. W�ahrend die Varianz des ersten Sch�atzers selbst im Falle des f�ur 0 < 1 < �

geltenden minimalen Wertes

min1

V

nc(1)Z;3(1)

o=

(V1 + 2V2)L2�6X

K


noch proportional zum Quadrat der Fensterl�ange L ist und gleiches auch f�ur die Vari-

anz Vnc(5)Z;3

odes letzten Sch�atzers gilt, sind die auf der Mittelung basierenden Sch�atzer

lediglich linear von der Fensterl�ange abh�angig. Da die Fensterl�ange jedoch f�ur einen

konsistenten Sch�atzer �uber den Exponenten 0 < � < 0:5 gem�a� L = K� eine Funktion

der Datenanzahl ist (siehe [33], S. 125), sind die Sch�atzer c(2;3;4)Z;3 zumindest ab einer kri-

tischen Datenanzahl K0 stets den Sch�atzern c(1;5)Z;3 vorzuziehen. Eine derartige Aussage

ist beim Vergleich der Sch�atzer c(2;3;4)Z;3 untereinander nicht m�oglich. Das nachfolgende

Bild 2.12 zeigt die Verl�aufe der mit N=�6X multiplizierten Varianzen im Falle eines

zweidimensionalen, separierbaren rechteckf�ormigen Fensters

wrect(n;m) = wrect(n) wrect(m)

mit

wrect(n) =

8<: 1 jnj � 1

0 sonst:

2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

0

102

103

105

NV

nc(2;3;4;5)

Z;3

o�6X

N min1

V

nc(1)

Z;3(1)

o�6X

6

Fensterl�ange L -

Bild 2.12 Normierte Varianzen (N min1

V

nc(1)Z;3(1)

o=�6X in Kreisen,

NV

nc(2)Z;3

o=�6X in Plus-Zeichen, NV

nc(3)Z;3

o=�6X in Quadraten,

NV

nc(4)Z;3

o=�6X in Rauten, NV

nc(5)Z;3

o=�6X in Pentagrammen)

der Autokumulantensch�atzer bei Wahl eines Rechteckfensters

als Funktion der Fensterl�ange L.

Ab L = 11 ist der Sch�atzer c(3)Z;3, bei dem die Randwerte des Bispektrums nicht

in die Sch�atzung eingehen, allen �ubrigen vorzuziehen. F�ur sehr kleine Fensterl�angen

1 � L � 6 ist hingegen c(5)Z;3 am besten zur Sch�atzung geeignet. Da sich �ubliche Fenster-

funktionen von der Rechteckfunktion im wesentlichen durch einen glatteren �Ubergang


von w(0; 0) = 1 (siehe [33], S. 126) zu den Randwerten w(�1;m), w(n;�1) unter-

scheiden, ist durch die Quadrierung von w(n;m) in (2.77b) im Gegensatz zu der nur

linearen Abh�angigkeit in (2.77a) das Verh�altnis von V2 zu V1 bei �ublichen Fenstern

kleiner als beim Rechteckfenster. Dies hat insbesondere zur Folge, da� die Varianz von

c(5)Z;3, die direkt proportional zu V2 ist, im Falle eines Rechteckfensters recht gro� ist.

Folglich kann bei �ublichen Fenstern erwartet werden, da� der Sch�atzer c(5)Z;3 den an-

deren Sch�atzern dann f�ur etwas gr�o�ere Fensterl�angen als L = 10 noch vorzuziehen

ist. Bild 2.13 verdeutlicht abschlie�end diesen Sachverhalt anhand des separierbaren

Hamming-Fensters ([33], S. 127) mit

wHamming(n;m) = wHamming(n) wHamming(m)

mit

wHamming(n) =

8<: 0:54 + 0:46 cos(�n) jnj � 1

0 sonst:

2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

0

102

103

105

NV

nc(2;3;4;5)

Z;3

o�6X

N min1

V

nc(1)

Z;3(1)

o�6X

6

Fensterl�ange L -

Bild 2.13 Normierte Varianzen (N min1

V

nc(1)Z;3(1)

o=�6X in Kreisen,

NV

nc(2)Z;3

o=�6X in Plus-Zeichen, NV

nc(3)Z;3

o=�6X in Quadra-

ten, NV

nc(4)Z;3

o=�6X in Rauten, NV

nc(5)Z;3

o=�6X in Pentagram-

men) der Autokumulantensch�atzer bei Wahl einesHamming-

Fensters als Funktion der Fensterl�ange L.

O�ensichtlich sind s�amtlichenormiertenVarianzen verglichenmit Bild 2.12 merklich

kleiner, wobei der Schwellenwert zur Wahl von c(3)Z;3 nun gleich L = 14 anstelle von

L = 11 ist. Da durch die �Ahnlichkeit typischer Fensterfunktionen (vgl. [33], S. 128-

129) in den Varianzverl�aufen keine prinzipiellen Unterschiede zu erkennen sind, kann


festgestellt werden, da� entweder c(5)Z;3 f�ur kleine oder c

(3)Z;3 f�ur gro�e Datenl�angen die

besten Sch�atzer darstellen. Dabei k�onnen die Begri�e klein und gro� bei gegebener

Datenzahl und nach Wahl von � mathematisch exakt quanti�ziert werden. Die anderen

Sch�atzer c(1)Z;3(1), c

(2;4)Z;3 sind aufgrund ihrer zu gro�en Varianz ohne weitere Bedeutung.

Eine letzte Anmerkung zu dieser Thematik betri�t nochmals den Sch�atzer c(5)Z;3.

Bei dessen Einf�uhrung wurde der Randbereich des Bispektrums zur Sch�atzung bewu�t

nicht hinzugezogen, damit die Varianzberechnung von ertr�aglichem Umfang bleibt. Da

aber c(3)Z;3 im Vergleich zu c

(4)Z;3 gerade nicht den nur ungenau zu sch�atzenden Randbereich

beinhaltet, liegt die Vermutung nahe, da� auch im Falle von c(5)Z;3 der Einschlu� des

Randbereichs eher eine Varianzerh�ohung bewirkt. Aus diesem Grund wird auf eine

n�ahere Untersuchung dieses Sch�atzers verzichtet.

In diesem Abschnitt konnten aufgrund der Unabh�angigkeit der Sch�atzer von den

Parametern - hier den Allpa�parametern - im Vergleich zum vorigen Abschnitt zahl-

reiche auf Kumulanten dritter Ordnung basierende Sch�atzer analytisch miteinander

verglichen werden. Dabei ergibt sich ein �au�erst bemerkenswertes Resultat: Da f�ur

gro�e Datenl�angen K, also auch f�ur gro�e Fensterl�angen L = K�, 0 < � < 0:5 nach

(2.80a), (2.80b)

c(3)Z;3 �

L

L � 1c(2)Z;3

approximativ gilt, ergibt sich unter Ber�ucksichtigung von (2.74) auch

c(3)Z;3 �

L

L � 1

LX�1=�L

w(�1

L;�1

L) cX;3(�1; �1): (2.83)

Folglich verwendet der f�ur gro�e Datenl�angen beste Sch�atzer nur die Autokumulan-

tenfolge entlang ihrer Diagonalen �2 = �1 und damit nur einen geringen Teil der zur

Verf�ugung stehenden statistischen Information. Diese Erkenntnis best�atigt die fehlende

Optimalit�at, beispielsweise im Sinne eines kleinsten quadratischen Sch�atzfehlers, des

daf�ur aber parameterunabh�angigen Sch�atzers. Wie schon zu Beginn dieses Kapitels

angesprochen und hier best�atigt, stellt gerade die Scha�ung geeigneter Optimalit�ats-

kriterien bei Verwendung von Kumulanten h�oherer Ordnung die gro�e Herausforderung

f�ur den Signaltheoretiker dar.


Anhand ausgew�ahlter Beispiele wurden in diesem Kapitel die Vor- und Nachteile von

Statistiken h�oherer Ordnung diskutiert. Die nicht selten in Fachkreisen zu h�orende Be-

hauptung einer bei Verwendung von Statistiken h�oherer Ordnung notwendigen gr�o�eren


Zahl an Signalwerten, um eine mit Statistiken zweiter Ordnung vergleichbare Parame-

tersch�atzgenauigkeit zu erzielen, konnte schon in dem ersten motivierenden Beispiel der

Varianzsch�atzung einer Gauss-verteilten Zufallsvariablen als zu pauschalisiert zur�uck-

gewiesen werden. Denn insbesondere f�ur sehr kleine Datenl�angen ist die �Uberlegenheit

von Statistiken h�oherer Ordnung zu erkennen gewesen. F�ur den zwar praxisfernen Fall

nur eines Signalwertes konnte analytisch gezeigt werden, da� Statistiken achter Ord-

nung zu dem genauesten Varianzsch�atzer f�uhren. Ferner best�atigten rechnergest�utzte

Simulationen, da� mit zunehmender Datenl�ange die Kumulantenordnung zu verrin-

gern ist, um eine m�oglichst hohe Sch�atzgenauigkeit beizubehalten. Allgemeing�ultige

Aussagen �uber die Genauigkeit von Sch�atzern f�ur Momente- bzw. Kumulantenfolgen

beliebiger Ordnung sind bisher jedoch nicht verf�ugbar.

Im zweiten, sehr praxisorientierten Beispiel wurde der Einsatz von Statistiken zwei-

ter und vierter Ordnung in der Signalverarbeitung f�ur Sensorgruppen eingehend dis-

kutiert. Diese Thematik wurde besonders umfassend behandelt, da hierbei die mit

Statistiken h�oherer Ordnung einhergehenden Probleme o�enkundig werden, wie bei-

spielsweise die unter Umst�anden enorme Zunahme der mathematischen Komplexit�at.

Nichtsdestotrotz ergaben sich wertvolle Erkenntnisse aus dieser analytisch exakten Un-

tersuchung, die im Rahmen von rechnergest�utzten Simulationen nur schwerlich gewon-

nen werden k�onnen. Unter anderem wurde festgestellt, da� bei bipolaren Sendesigna-

len und moderatem Signal-zu-Rauschleistungsverh�altnis Kumulanten vierter Ordnung

zur Steuervektorsch�atzung den Kumulanten zweiter Ordnung nahezu immer �uberlegen

sind. Dies gilt neben einer fast beliebigen Sensorzahl auch unabh�angig von den Ein-

fallswinkeln und insbesondere f�ur beliebig kleine Datenl�angen. Folglich wird die oben

angegebene Behauptung ein weiteres Mal widerlegt (vgl. auch Abschnitt 2). Ferner

stellen die in dieser Schrift angegebenen Varianzformeln (2.46), (D.1) einen ersten An-

satz zur L�osung der interessanten Fragestellung einer Optimierung der statistischen

Signaleigenschaften dar; hier hinsichtlich einer m�oglichst genauen Winkelsch�atzung.

Im Anschlu� an diese beiden Beispiele wurden Aspekte von allgemeinerer Natur

aufgezeigt. Aufgrund der steigenden Zahl unabh�angiger Variablen mit zunehmender

Kumulantenordnung N, welche auch in der Sensorgruppensignalverarbeitung zu neuen

Algorithmen f�ur bisher unl�osbare Probleme f�uhrte, ergab sich f�ur N > 2 bei linearen

zeitinvarianten Systemen die Erhaltung der Phaseninformation, die bei ausschlie�licher

Verwendung von Statistiken zweiter Ordnung verlorengeht. Gerade diese Eigenschaft

gab den Anla� f�ur die Entwicklung der ersten, auf Statistiken h�oherer Ordnung basie-

renden Verfahren im Bereich der Ingenieurwissenschaften (z. B. [101], [103], [116], [117],

[142], [145], [149], [151], [160], [163], [168], [176], [181], [186], [206], [207], [208], [209],

[210], [210], [242]). Ein weiterer Aspekt ist die Tatsache, da� Kumulantenfolgen h�oher-


er Ordnung bei Gauss-verteilten Zufallsprozessen identisch Null sind. Insbesondere im

Falle eines additiven Rauschens, das, basierend auf dem zentralen Grenzwertsatz, nicht

selten als Gauss-verteilt modelliert wird, erscheinen Verbundkumulanten h�oherer Ord-

nung als die idealen statistischen Gr�o�en zur vollst�andigen Unterdr�uckung dieser unge-

wollten St�orungen. Dies gilt aber nur im Falle der wahren und nicht f�ur die gesch�atzten

Verbundkumulanten, so da� auch hier eine analytische Genauigkeitsuntersuchung erfor-

derlich ist. In dem zu dieser Thematik ersten, wenngleich auch asymptotischen Ansatz

([14], S. 89-111), konnte gezeigt werden, da� bei additivenGauss-verteilten St�orungen

Methoden basierend auf Kumulanten h�oherer Ordnung nicht notwendig zu genaueren

Ergebnissen f�uhren als auf Kumulanten zweiter Ordnung beruhende Verfahren. In-

sofern relativiert sich die Rauschunterdr�uckungseigenschaft von Kumulanten h�oherer

Ordnung, und wie auch bei der Sensorgruppensignalverarbeitung ist eine fallspezi�sche

Pr�ufung unumg�anglich.

Im letzten Abschnitt dieses Kapitels wurde die Fragestellung aufgegri�en, wie Ku-

mulanten zu gewichten sind, um im Sinne eines m�oglichst kleinen quadratischen Sch�atz-

fehlers optimale Parametersch�atzungen zu erhalten. Ist zwischen den gesuchten Para-

metern und den sch�atzbaren Kumulantenfolgen ein lineares Gleichungssystem aufstell-

bar, so konnte in [177] anhand einer asymptotischen Analyse die optimale Gewichtung

der Kumulanten abgeleitet werden. Da diese Gewichtung jedoch von den zu sch�atzen-

den Parametern abh�angt, ist diese nur von begrenztem Wert f�ur die praktische An-

wendung. Zur Erg�anzung dieser Thematik wurde daher ein weiteres Sch�atzproblem im

Zusammenhang mit einem Sonderfall (vgl. auch S. 141) eines linearen zeitinvarianten

Systems - dem Allpa� - behandelt, bei dem die zu sch�atzende Gr�o�e unabh�angig von

den Systemparametern ist. Demzufolge waren analytische Vergleiche einer Reihe ver-

schiedener Sch�atzer m�oglich, mit dem bemerkenswerten Resultat, da� die Nutzung nur

einer Untermenge der zur Verf�ugung stehenden statistischen Informationen zu einem

genaueren Sch�atzer als bei vollst�andiger Nutzung der statistischen Information gef�uhrt

hat. Diese Tatsache best�atigt die fehlende Optimalit�at des parameterunabh�angigen

Sch�atzers.

Abschlie�end kann festgestellt werden, da� der Einsatz von Statistiken h�oherer Ord-

nung stets fallweise zu pr�ufen ist.


3 Lineare Signalmodellierung mit Statistiken

h�oherer Ordnung

Nach einer Einf�uhrung und einer ausf�uhrlichen Diskussion wird nun anhand der linea-

ren Signalmodellierung ein umfangreiches Anwendungsgebiet von Statistiken h�oherer

Ordnung dargestellt. Wie schon in der Einleitung erw�ahnt, besteht ein in der Wis-

senschaft �ublicher Ansatz in der Anpassung eines mathematischen Modells an das

gemessene Signal. Da im Rahmen dieser Schrift zufallsbehaftete Signale betrachtet

werden, deren Verlauf keiner erkennbaren Gesetzm�a�igkeit folgt, bietet das Konzept

des Zufallsprozesses einen geeigneten Modellierungsansatz f�ur diese Signale. Bekannt-

lich ist ein Zufallsproze� vollst�andig durch seine multivariate Verteilungsdichtefunktion

bestimmt, deren Berechnung oder Sch�atzung aus einem einzigen Signal jedoch nur in

Sonderf�allen m�oglich ist (vgl. S. 1). Die Klasse der m�oglichen Zufallsprozesse wird daher

derart eingeschr�ankt, da� das gemessene Signal stets als Realisierung des Ausgangs-

prozesses eines linearen, mit einem Weissen Rauschen (vgl. S. 31) erregten Systems

aufzufassen ist. So sind neben den Rauschparametern nur noch die Systemparameter

aus dem gemessenen Signal zu bestimmen1.

Eine solche Vorgehensweise scheint zun�achst eine nicht nur willk�urliche, sondern

vielmehr eine �au�erst weitreichende Einschr�ankung aller m�oglichen Modelle zu bedeu-

ten; ihre Rechtfertigung �ndet sich jedoch in der erfolgreichen Anwendung dieser als

linear bezeichneten Signalmodelle in zahlreichen wissenschaftlichen Disziplinen (z. B.

der Nachrichten�ubertragung [25], S. 55�, S.125�, der Sprachverarbeitung [47], S. 165�,

der Seismologie [29], S. 7�, etc.). Folglich beinhalten lineare Signalmodelle eine ausrei-

chende Vielfalt an einstellbaren Parametern, so da� die tats�achlichen Gegebenheiten in

vielen F�allen hinreichend genau approximiert werden k�onnen. Mangelt es diesen Ap-

proximationen an der erforderlichen Genauigkeit, so kann die Klasse der nichtlinearen

Signalmodelle hinzugezogen werden. Letztere bieten jedoch einen derart lehrbuchf�ullen-

den Variantenreichtum, da� selbst auf eine kurze Darstellung dieses interessanten Ge-

bietes verzichtet werden mu� und anstelle dessen auf die Literatur verwiesen wird (s.

1Dabei sind die Rauschparameter von untergeordneter Bedeutung, da das f�ur die technische An-

wendung wichtige spektrale Verhalten aufgrund der idealisierten unendlichen Rauschbandbreite (vgl.

S. 31) ausschlie�lich durch die Systemparameter gepr�agt wird.

97

98 Kapitel 3 Lineare Signalmodellierung mit Statistiken h�oherer Ordnung

S. 33).

Zun�achst wird wieder das auf S. 33 schon eingef�uhrte lineare zeitinvariante System

betrachtet, welches nun durch Weisses Rauschen Z(k) bis zur Ordnung N (vgl. S. 31)

erregt wird und den Ausgangsproze� X(k) erzeugt. Zeitvariante Signalmodelle werden

gegen Ende dieses Kapitels behandelt.

e - h(k) - eZ(k) X(k)

Bild 3.1 Lineares zeitinvariantes System.

Ein solches System ist durch die Impulsantwort h(k) vollst�andig beschrieben und der

Ausgangsproze� berechnet sich zu

X(k) =1X

�=�1

h(�) Z(k � �): (3.1)

Die aus der gegebenen Realisierung x(k), k = 0(1)K � 1 zu sch�atzenden Modellpara-

meter bestehen damit aus den Werten der Impulsantwort h(k), k = �1(1)1 und den

die das Weisse Rauschen vollst�andig beschreibenden Werte cZ;n(0; :::; 0), n = 1(1)N der

Autokumulantenfolge im Ursprung bis zur Ordnung N . Bedingt durch die im allgemei-

nen unendlich ausgedehnte Impulsantwort ist daher aus einer endlichen Realisierung

eine unendliche Zahl an Parametern zu bestimmen. Dieses ho�nungslose Vorhaben

kann umgangen werden, indem ausschlie�lich lineare zeitinvariante Systeme mit einer

endlichen Zahl an Parametern betrachtet werden, was keineswegs eine endliche Aus-

dehnung der Impulsantwort implizieren mu�. Solche Systeme werden mathematisch

durch die rekursive Di�erenzengleichung

X(k) = Z(k) +qX

�=1

b� Z(k � �)�piX

l=�pal6=0

al X(k � l) (3.2)

mit

al; b� 2 IR; q; pa; pi 2 IN+; q; pa; pi <1a�pa 6= 0; api 6= 0; bq 6= 0

beschrieben, und das entsprechende Signalmodell wird Autoregressives Moving-Average-

Modell oder kurz ARMA-Modell genannt. Der in dieser Gleichung (3.2) enthaltene

99

autoregressive, also ein zum Eingang zur�uckkehrender Anteil, f�uhrt umgehend zu dem

Sonderfall

X(k) = Z(k)�piX

l=�pal6=0

al X(k � l); a�pa 6= 0; api 6= 0 (3.3)

des sogenannten AR(pi,pa)-Modells. Hingegen f�uhrt der Moving-Average-Anteil, wel-

cher als gleitender Mittelwert aufgefa�t werden kann, zu dem �uber die Di�erenzenglei-

chung

X(k) = Z(k) +qX

�=1

b� Z(k � �); bq 6= 0 (3.4)

de�niertenMA(q)-Modell. O�enbar weisen sowohl das ARMA(pi,pa,q)-Modell als auch

die als Sonderf�alle interpretierbaren AR(pi,pa) bzw. MA(q)-Modelle die gesuchte Eigen-

schaft einer endlichen Zahl q+ pa + pi an Systemparametern auf. Zudem kann einfach

gezeigt werden, da� die als Systemfunktion bezeichnete Z-TransformierteH(z) der Im-

pulsantwort eine rationale Funktion ist, die zur Stabilit�at des Systems keine Polstellen

auf dem Einheitskreis aufweisen darf.

Obwohl das ARMA(pi,pa,q)-Modell nat�urlich die Klasse der linearen Signalmodel-

le nochmals einschr�ankt2, k�onnen die durch Gleichung (3.2) beschriebenen Systeme

hinreichend genaue Approximationen der gesamten Klasse der linearen zeitinvarianten

Systeme sein. Beispielsweise gen�ugt nur ein Koe�zient al 6= 0, um eine aufgrund der

rekursiven Eigenschaft von Gleichung (3.2) (bzw. auch von Gleichung (3.3)) unendlich

ausgedehnte, aber nicht unendlich anwachsende Impulsantwort zu realisieren. Ferner

sind die durch Gleichung (3.1) denkbaren nichtkausalen Signalmodelle { die vor al-

lem dann von praxisnahem Interesse sind, wenn die unabh�angige Variable k nicht der

diskreten Zeit entspricht { auch mittels des ARMA(pi,pa,q)- bzw. AR(pi,pa)-Modells

approximierbar, solange nur pa > 0 gew�ahlt wird. Dabei kennzeichnet pa die Anzahl

an Polstellen der Systemfunktion au�erhalb des Einheitskreises, wohingegen pi gleich

der Polstellenanzahl innerhalb des Einheitskreises ist. Diese notwendige Vereinbarung

ergibt sich umgehend aus der hier zu fordernden Stabilit�at eines Signalmodells (siehe

z. B. [82]). Eine entsprechende Unterscheidung der Lage der Nullstellen ist nicht not-

wendig, so da� auch die Klasse der nichtminimalphasigen Modelle in den Gleichungen

(3.2) und (3.4) einbezogen ist.

2Beispielsweise kann ein durch die Systemfunktion H(z) = ln(az), a 2 IR beschriebenes Signal-

modell, welches nur durch einen Parameter a festgelegt ist, mittels eines ARMA(pi,pa,q)-Modells

nicht exakt wiedergegeben werden. Der Parameter a kann jedoch unter Verwendung des sogenannten

Cepstrums recht einfach aus der Realisierung x(k) gesch�atzt werden (siehe [33], S. 164�).


Bevor nun erste Methoden zur Parametersch�atzung von AR(pi,pa), MA(q)- und

ARMA(pi,pa,q)-Modellen hergeleitet werden, ist noch folgendes zu beachten: Da nur

eine Realisierung x(k) des Ausgangsprozesses X(k) und keine des Eingangsprozesses

Z(k) bekannt ist, kann eine dem System innewohnende Verz�ogerung und auch eine

etwaige Skalierung prinzipiell nicht bestimmt werden. Aus diesem Grunde ist Z(k) in

den Gleichungen (3.2), (3.3) und (3.4) weder mit einem multiplikativen Koe�zienten

b0 versehen noch um irgendeinen Wert k0 verz�ogert. Ferner sind dieModellordnungen q

und p = pa+pi im weiteren stets als bekannt vorausgesetzt, so da� sich ausschlie�lich der

wesentlichen Aufgabe der Bestimmung der Modellparameter al, b� gewidmet werden

kann. Obwohl bereits eine Vielzahl von Verfahren zur Ordnungsbestimmung existieren

([138], [243], S. 22), ist dieses Problem keineswegs als gel�ost zu betrachten. Vielmehr

kann in der praktischen Anwendung gerade eine fehlerhafte Ordnungssch�atzung die

Modellg�ute ernsthaft beein ussen.

3.1 AR(pi,pa)-Modelle

In diesem Abschnitt werden grundlegende Ans�atze und sich daraus ergebende Me-

thoden zur Parametersch�atzung auch nichtkausaler, autoregressiver Modelle erl�autert.

Ausgehend von (3.3) folgen durch Multiplikation beider Seiten mit X(k � j) und an-

schlie�ender Erwartungswertbildung nach einiger Rechnung die Gleichungen

rX(pa � j) =�2Z �(j)

a�pa�

piXl=�pal6=0

al rX(pa + l � j); j � 0: (3.5)

Durch Auswertung von (3.5) f�ur j = 1(1)J , J � pa + pi l�a�t sich das lineare Glei-

chungssystem

0BBBBBB@

rX(�1) � � � rX(pa � 2) rX(pa) � � � rX(pa + pi � 1)

rX(�2) � � � rX(pa � 3) rX(pa � 1) � � � rX(pa + pi � 2)...

......

...

rX(�J) � � � rX(pa � 1 � J) rX(pa + 1� J) � � � rX(pa + pi � J)

1CCCCCCA

0BBBBBBBBBBBB@

a�pa...

a�1

a1...

api

1CCCCCCCCCCCCA

=

0BBBBBB@

rX(pa � 1)

rX(pa � 2)...

rX(pa � J)

1CCCCCCA

(3.6)

3.1 AR(pi,pa)-Modelle 101

zur Berechnung der pa + pi Unbekannten al aufstellen. Eine kompakte Formulierung

von (3.6) lautet

RAR;J aAR = rAR;J ; (3.7)

wobei der Aufbau der Matrix RAR;J und der Spaltenvektoren aAR, rAR;J direkt aus

(3.6) zu entnehmen ist. Bei Kenntnis der exakten Automomentefolge zweiter Ordnung

rX(�) gen�ugen nun genau J = pa + pi Gleichungen zur Berechnung der AR(pi,pa)-

Parameter durch Matrixinversion

aAR;INV = R�1AR;pa+pi

rAR;pa+pi (3.8)

mit

aAR;INV = (a�pa;INV ; :::; a�1;INV ; a1;INV ; :::; api;INV ) ; (3.9)

wohingegen bei einer Sch�atzung rX(�) der Automomentefolge rX(�) aus einer gegebe-

nen Realisierung x(k) , k = 1(1)K zur Verbesserung der Parametersch�atzgenauigkeit

durchaus mehrere Gleichungen J � pa + pi hinzugezogen werden k�onnen. Dazu ist in

(3.6) die Automomentefolge rX(�) durch ihre Sch�atzung rX(�) zu ersetzen, und das

somit �uberbestimmte Gleichungssystem

RAR;J aAR = rAR;J (3.10)

kann mit Hilfe der Methode der kleinsten Fehlerquadrate (vgl. [5], S. 58 oder auch

Gleichung (2.63))

aAR;KQ =�R

T

AR;JRAR;J

��1R

T

AR;J rAR;J (3.11)

mit

aAR;KQ = (a�pa;KQ; :::; a�1;KQ; a1;KQ; :::; api;KQ) (3.12)

gel�ost werden. Bekanntlich wird bei der Methode der kleinsten Fehlerquadrate der

Fehler

�r;J = rAR;J � rAR;J (3.13)

quadratisch minimiert, jedoch ist bei der hier betrachteten Aufgabenstellung o�enbar

auch die Matrix RAR;J fehlerbehaftet. Eine zus�atzliche quadratische Minimierung des

Fehlers

�R;J = RAR;J � RAR;J (3.14)


f�uhrt auf die sogenannte Methode der totalen kleinsten Fehlerquadrate, die { wie Si-

mulationen gezeigt haben ([222]) { in der Regel eine genauere Parametersch�atzung

erm�oglicht. Als L�osung ergibt sich dann

aAR;TKQ =�R

T

AR;J RAR;J � �minI

��1R

T

AR;J rAR;J (3.15)

mit

aAR;TKQ = (a�pa;TKQ; :::; a�1;TKQ; a1;TKQ; :::; api;TKQ) ; (3.16)

wobei �min der kleinste Eigenwert der zusammengesetzten Matrix

�RAR;J

�� rAR;J�T �RAR;J

�� rAR;J�

ist. Da der numerische Aufwand bei der Methode der totalen kleinsten Fehlerquadrate

deutlich erh�oht ist und hier lediglich Parametersch�atzverfahren untereinander vergli-

chen werden, wird im folgenden nur die �ubliche Methode der kleinsten Fehlerquadrate

zur L�osung linearer �uberbestimmter Gleichungssysteme verwendet.

Nachdem nun sowohl bei Kenntnis der exakten Automomentefolge als auch bei

Sch�atzung derselben die AR(pi,pa)-Parameter bestimmbar sind, verbleibt die Frage

nach der Eindeutigkeit der L�osung. Wie schon auf S. 79 diskutiert, ist die Phase der�Ubertragungsfunktion H(e j) des linearen zeitinvarianten Systems ohne Ein u� auf die

Statistiken zweiter Ordnung des Ausgangsprozesses. Folglich kann anhand der Automo-

mentefolge zweiter Ordnung nicht unterschieden werden, ob ein Pol z1 der Systemfunk-

tion H(z) innerhalb des Einheitskreises oder an konjugiert komplexer, reziproker Stelle

1=z�1 au�erhalb des Einheitskreises liegt. Das hat zur unmittelbaren Konsequenz, da�

die mittels (3.8), (3.11) oder (3.15) bestimmten AR(pi,pa)-Parameter im allgemeinen

auch nicht approximativ den wahren Parametern entsprechen. Lediglich die Polstellen

der Polynome

HINV (z) =piX

l=�pal6=0

al;INV z�l

HKQ(z) =piX

l=�pal6=0

al;KQ z�l

HTKQ(z) =piX

l=�pal6=0

al;TKQ z�l

k�onnen bis auf eine betragsm�a�ig reziproke Lage bei gleicher Phase mit denen von

HAR(z) =piX

l=�pal6=0

al z�l (3.18)

3.1 AR(pi,pa)-Modelle 103

hinreichend genau �ubereinstimmen. Auswege aus dieser Problematik bieten folgende

drei unterschiedlichen Ans�atze:

1. Seien pr von den pa+pi Polstellen reell und pc Polstellen komplex, so sind aufgrund

der Reellwertigkeit des Systems (al 2 IR) insgesamt 2pr+pc=2 Kombinationen3 der

gesch�atzten Polstellen z1;l, l = �pa(1)pi, l 6= 0 mit ihren konjugiert komplexen,

reziproken �Aquivalenten 1=z�1;l auf �Ubereinstimmung mit den wahren Polstellen

zu pr�ufen. Dies ist mit Hilfe von Statistiken h�oherer Ordnung m�oglich, sofern der

Eingangsproze� Z(k) nicht-Gauss-verteilt ist, da ansonsten die die Phasenin-

formation beinhaltenden Autokumulantenfolgen h�oherer Ordnung identisch Null

sind. Die erste in der Literatur zu verzeichnende Methode zur L�osung dieses

Polstellenselektierungsproblems ist in [117] zu �nden. Dort wird f�ur jede Pol-

stellenkombination die Realisierung x(k) mit einem dieser Polstellenkombination

entsprechenden inversen, nun nichtrekursiven System ge�ltert, und die so ent-

stehenden 2pr+pc=2 verschiedenen Ausgangssignale werden auf Weisses Rauschen

h�oherer Ordnung getestet. Jenes Ausgangsignal, dessen Statistiken denen eines

Weissen Rauschens am n�achsten kommen, f�uhrt dann auf die gesuchte Polstel-

lenkombination. Sodann k�onnen die AR(pi,pa)-Parameter aus diesen Polstellen

berechnet werden. Alternativ hierzu wird in [210], S. 398, f�ur jede Polstellen-

kombination die dem Signalmodell entsprechende Autokumulantenfolge vierter

Ordnung berechnet und mit der aus der Realisierung gesch�atzten Autokumulan-

tenfolge vierter Ordnung verglichen. Durch Minimierung eines Abstandsma�es,

welches in [210] wieder der quadratische Fehler zwischen der gesch�atzten und

der aus dem Signalmodell berechneten Autokumulantenfolge vierter Ordnung ist,

kann die geeignetste Polstellenkombination gefunden werden. Folglich k�onnen die

gesuchten AR(pi,pa)-Parameter eindeutig bestimmt werden. Wie auch bei ande-

ren Methoden h�angt die Genauigkeit der Parametersch�atzung ausschlie�lich von

der Genauigkeit der gesch�atzten Automomente- bzw. Autokumulantenfolge und

somit von der Datenl�ange ab. Alternativ zu der in [210] verwendeten Autoku-

mulantenfolge vierter Ordnung kann prinzipiell jede Autokumulantenfolge N -ter

Ordnung verwendet werden, solange nur cZ;N (0; :::; 0) 6= 0 gilt. Hierbei sind je-

doch die zu Beginn des Abschnitts (2.4.1) angef�uhrten Aspekte bez�uglich der

Wahl der Ordnung N zu ber�ucksichtigen.

2. Die grundlegende Gleichung (3.5) l�a�t sich auch bei nicht-Gauss-verteiltem Ein-

gangsproze� Z(k) auf Autokumulantenfolgen h�oherer Ordnung erweitern. Ist ins-

3Aus Stabilit�atsgr�unden sind Polstellen auf dem Einheitskreis nicht erlaubt, so da� sich immer

2pr+pc=2 Kombinationen ergeben.


besondere die Autokumulante dritter Ordnung cZ;3(0; 0) 6= 0 ungleich Null, so ist

eine derartige Erweiterung in [162], S. 1558 und in [165], S. 1912, zu �nden. Durch

die in der Autokumulantenfolge dritter Ordnung cX;3(�1; �2) enthaltene Phasen-

information kann dann das nichtkausale AR(pi,pa)-Modell eindeutig identi�ziert

werden. Alternative Methoden (siehe [211] und [214]) minimieren den quadrati-

schen Fehler zwischen den aus der Realisierung x(k), k = 0(1)K � 1 gesch�atzten

Autokumulantenfolgen cX;N(�1; :::; �N�1) und den in Abh�angigkeit der AR(pi,pa)-

Parameter berechneten Autokumulantenfolgen cX;N(�1; :::; �N�1;aAR). Dies f�uhrt

zu einer nichtlinearen Optimierungsaufgabe mit den einer solchen Optimierung

verbundenden Nachteilen, wie eine nicht zu garantierende Konvergenz zum glo-

balen Optimum oder auch einem unter Umst�anden erheblichen numerischen Auf-

wand.

3. Entspricht die unabh�angige Variable k der diskreten Zeit, so sind kausale AR(pi,0)-

Modelle in zahlreichen technischen Anwendungen zu �nden. Hier sind beispiels-

weise die auf AR(pi,0)-Modellen basierenden, f�ur die Sprachverarbeitung [47], S.

165� oder f�ur die Bildverarbeitung [21], S. 193� besonders bedeutsamen linearen

Pr�adiktoren oder auch die sogenannten Optimal�lter zur Rauschunterdr�uckung

([42], S. 239�) zu nennen. Da bei kausalen AR(pi,0)-Modellen de�nitionsgem�a�

pa = 0 gilt, liegen s�amtliche Polstellen innerhalb des Einheitskreises, und die

Phase der Systemfunktion ist nicht l�anger von Bedeutung f�ur die AR(pi,0)-

Parametersch�atzung. Insofern k�onnen nun die AR(pi,0)-Parameter mittels der

auf ausschlie�lich Automomentefolgen zweiter Ordnung beruhenden Gleichungen

(3.8), (3.11), (3.15) eindeutig bestimmt werden. Da einerseits zu dieser Thematik

eine Vielzahl eleganter theoretischer Ausarbeitungen existieren, und andererseits

Statistiken zweiter Ordnung zur vollst�andigen Behandlung gen�ugen, werden Me-

thoden zur Parametersch�atzung kausaler AR(pi,0)-Modelle hier nicht weiter an-

gef�uhrt. Statt dessen wird auf die entsprechende Lehrbuchliteratur verwiesen ([1],

S. 5�, [5], S. 114�, [6], S. 9�, [9], S. 21�, [11], S. 325, [22], S. 334, [17], S. 118�,

[24], S. 229�, [25], S. 641�, [26], S. 111, [27], S. 14�, [30], S. 13�, [31], S. 49�, [40],

S. 152�, [41], S. 19�, [42], S. 208�). Dennoch kann bei kausalen Systemen auch

die auf Autokumulantenfolgen h�oherer Ordnung N erweiterte Gleichung [108]

cX;N(�1; :::; �N�1) = �piXl=1

al cX;N(�1 � l; �2:::; �N�1) (3.19)

mit �1 > min (0; �2; :::�N�1)

von praktischer Bedeutung sein. Dies gilt insbesondere dann, wenn dem Aus-

gangsproze� X(k) eine additiveGauss-verteilte St�orung N(k) �uberlagert ist (vgl.

3.2 MA(q)-Modelle 105

hierzu auch Abschnitt 2.3.2). Auch konnte gezeigt werden [190], da� die in Glei-

chung (2.6) eingef�uhrte Cramer-Rao-Schranke zur Sch�atzung der AR(pi,0)-

Parameter bei nicht-Gauss-verteiltem Eingangsproze� stets kleiner als im Falle

eines Gauss-verteilten Eingangsprozesses ist. Da zudem ausschlie�lich auf Sta-

tistiken zweiter Ordnung basierende Parametersch�atzer nur die f�ur die Gauss-

Verteilung geltendeCramer-Rao-Schranke erreichen k�onnen, folgt unmittelbar,

da� unter Verwendung von Statistiken h�oherer Ordnung deutlich genauere Pa-

rametersch�atzungen m�oglich sind. Beispielsweise konnte in [190] die Varianz mit

einem die Cramer-Rao-Schranke erreichenden Sch�atzer um etwa den Faktor

10 gegen�uber einem ausschlie�lich auf Statistiken zweiter Ordnung basierenden

Parametersch�atzer reduziert werden.

Nachdem nun die Bedeutung von Statistiken h�oherer Ordnung im Zusammenhang mit

AR(pi,pa)-Modellen aufgezeigt worden sind, werden im n�achsten Abschnitt Methoden

zur Parametersch�atzung von MA(q)-Modellen erl�autert.

3.2 MA(q)-Modelle

Wie sich durch rechnergest�utzte Simulationen schon vielfach best�atigt hat (vgl. z. B.

[40], S. 156, S. 315), sind die Parameter von MA(q)-Modellen im Vergleich zu denen

kausaler AR(pi,0)-Modelle bei gleicher Datenzahl h�au�g ungenauer zu sch�atzen. Dies

hat folgende Gr�unde: Es kann gezeigt werden (siehe [40], S. 145-147, S. 187), da�

jeder auf einer endlichen Anzahl von Werten der Automomentefolge zweiter Ordnung

basierende MA(q)-Parametersch�atzer im Gegensatz zu Parametersch�atzern f�ur kausale

AR(pi,0)-Modelle selbst bei Annahme einer Gauss-Verteilung nie die asymptotische

Cramer-Rao-Schranke (vgl. S. 39)

J1CR(a; b) = limK!1

K JCR(a; b;K)

mit

a = (a1; :::; api)T

b = (b1; :::; bq)T

erreichen kann. Es ist daher zu erwarten, da� zur MA(q)-Parametersch�atzungmehr Da-

ten n�otig sind, um eine zur AR(pi,0)-Parametersch�atzung vergleichbare Sch�atzgenau-

igkeit zu erzielen. Diese Erkenntnis mag aus anderer Sicht �uberraschen, da sie doch im

scheinbaren Widerspruch zu der von den MA(q)-Parametern und AR(pi,0)-Parametern


in gleicher Weise abh�angigen asymptotischen Cramer-Rao-Schranke

J1CR(a; b) =

0BBB@

12�4Z

0 0

0 RAA �RAB

0 �RTAB RBB

1CCCA�1

(3.20)

mit den Matrixelementen

[RAA]nZ ;nS =1

2�

Z �

��

e j(nS�nZ )

A(e j)A(e�j)d; nS = 1(1)p; nZ = 1(1)p;

[RBB]nZ ;nS =1

2�

Z �

��

e j(nS�nZ )

B(e j)B(e�j)d; nS = 1(1)q; nZ = 1(1)q;

[RAB]nZ ;nS =1

2�

Z �

��

e j(nS�nZ)

A(e j)B(e�j)d; nS = 1(1)q; nZ = 1(1)p;

und

A(e j) =pXl=0

al e�jl

B(e j) =pXl=0

bl e�jl

im Falle eines Gauss-verteilten, nichtminimalphasigen, kausalen ARMA(p,0,p)-Pro-

zesses steht (siehe [40], S. 138, Gl. (5.2.13)-(5.2.16)). Die Symmetrie der asymptoti-

schen Cramer-Rao-Schranke von A(e j) mitB(e j) l�a�t anscheinend auf eine gleiche

Sch�atzgenauigkeit der AR(p,0)-Parameter und der MA(p)-Parameter schlie�en. Diese

fehlerhafte Schlu�folgerung erkl�art sich jedoch durch die nur asymptotische G�ultigkeit

der obigen Cramer-Rao-Schranke.

Ein weiterer Grund f�ur eine mangelnde Sch�atzgenauigkeit von MA(q)-Parametern

liegt vor, wenn die Systemfunktion

HMA(z) =qX

�=0

b�z�� (3.21)

mindestens eine Nullstelle z0 auf dem Einheitskreis (jz0j = 1) aufweist. Dies l�a�t sich

intuitiv damit erkl�aren, da� die der Nullstelle entsprechende Kreisfrequenz des Ein-

gangsprozesses vollst�andig und das dazu benachbarte Frequenzintervall erheblich un-

terdr�uckt werden. Demzufolge ist in der Realisierung x(k), k = 1(1)K die Information

�uber den Wert der spektralen Erregung bei dieser Kreisfrequenz nicht mehr enthalten.

Somit ist eine genaue Parametersch�atzung merklich erschwert (siehe auch [175]).


Aufgrund dieser Aspekte konnte sich bisher noch keiner der zahlreich vorgeschlage-

nen Algorithmen zur MA(q)-Parametersch�atzung durchsetzen. Dies ist umso mehr zu

bedauern, da im Gegensatz zu nichtkausalen Systemen die sogenannten nichtminimal-

phasigen Systeme, die Nullstellen au�erhalb des Einheitskreises aufweisen und somit

Statistiken h�oherer Ordnung zur eindeutigen Identi�kation erfordern, von erheblicher

praktischer Relevanz sind (z. B. [19], [29], S. 21, [58], [59], [60], [234]). Dies mag im we-

sentlichen an der Tatsache liegen, da� beim MA(q)-Modell die Impulsantwort beliebig

anzupassen ist, solange nur die MA(q)-Ordnung hinreichend gro� gew�ahlt wird. Aus

diesem Grund wurde in den letzten Jahren eine immense Vielfalt an Methoden zur

MA(q)-Parametersch�atzung (z. B. [50], [57], [59], [61], [93], [94], [98], [103], [126], [127],

[128], [142], [157], [160], [163], [168], [176], [177], [191], [206], [208], [215], [216], [234],

[235], [238]) entwickelt, die alle als eine Abw�agung zwischen m�oglichst geringem nu-

merischen Aufwand und hinreichend genauer Parametersch�atzung verstanden werden

k�onnen.

3.2.1 Eine erste Methode zur MA(q)-Parametersch�atzung

Da die Phaseninformation zur korrekten Identi�kation von nichtminimalphasigen Sy-

stemen notwendig ist, m�ussen bei station�aren Zufallsprozessen Statistiken h�oherer Ord-

nung ausschlie�lich oder zumindest in Verbindung mit Statistiken zweiter Ordnung

zur Parametersch�atzung hinzugezogen werden. Eine erste motivierende Methode zur

MA(q)-Parametersch�atzung (siehe [101], [102], [104]) basiert auf der in Kapitel 1 her-

geleiteten Gleichung (1.42)

cX;N(�1; :::; �N�1)

=1X

k1=�1

� � �1X

kN�1=�1

cZ;N(�1 � k1; :::; �N�1� kN�1)1X

k0=�1

h(k0)N�1Yj=1

h(k0 + kj);

die sich im Falle eines MA(q)-Modells (h(�) = b�) zu

cX;N(�1; :::; �N�1) = cZ;N(0; :::; 0)qXl=0

bl

N�1Yn=1

bl+�n

!(3.22)

vereinfacht, wobei die Eigenschaft (siehe Gl. (1.35))

cZ;N (�1; :::; �N�1) = cZ;N (0; :::; 0) �(�1; :::; �N�1)

mit

cZ;N (0; :::; 0) 6= 0 (3.23)


des Weissen Rauschens zur Herleitung von (3.22) genutzt wurde. Da bei einem MA(q)-

Modell bl = 0 8 l < 0 und 8 l > q gilt, verbleibt aus (3.22) bei Auswertung f�ur �1 = q

nur der l = 0 entsprechende Summand

cX;N(q; �2; :::; �N�1) = cZ;N (0; :::; 0) bqN�1Yn=2

b�n: (3.24)

Wird nun (3.24) durch

cX;N(q; 0; �3; :::; �N�1) = cZ;N (0; :::; 0) bqN�1Yn=3

b�n (3.25)

dividiert, so folgt unmittelbar

cX;N(q; �2; :::; �N�1)

cX;N(q; 0; �3; :::; �N�1)= b�2 : (3.26)

Bei bekannter Realisierung x(k) und damit sch�atzbaren Autokumulantenfolgen N -ter

Ordnung (siehe S. 28) lassen sich dann die MA(q)-Parameter mittels

b�;cqk =cX;N(q; �; �3; :::; �N�1)

cX;N(q; 0; �3; :::; �N�1)(3.27)

sch�atzen, wobei der Index in Anlehnung an die f�ur N = 3 in der Literatur unter

dem Namen c(q; k)-Formel gel�au�gen Bezeichnung gew�ahlt wurde. Diese recht einfa-

che Methode besitzt jedoch mehrere o�ensichtliche Nachteile. Ist nur einer der q � 1

Parameter b�, � = 1(1)q � 1 identisch Null, so ist eine Parametersch�atzung nicht

mehr sinnvoll m�oglich, da dann die Gleichung (3.24) zu Null wird. Aber selbst wenn

s�amtliche MA(q)-Parameter ungleich Null sind, so kann trotzdem die Sch�atzung des

Nenners cX;N(q; 0; �3; :::; �N�1) bei betragsm�a�ig kleinen MA(q)-Parameterwerten der-

art kleine Werte annehmen, da� die daraus resultierende MA(q)-Parametersch�atzung

b� �au�erst ungenau wird. Dar�uberhinaus werden bei dieser einfachen Methode ledig-

lich q Werte der Autokumulantenfolgen N -ter Ordnung zur Sch�atzung herangezogen,

obwohl doch die Anzahl der die Autokumulantenfolgen N -ter Ordnung vollst�andig be-

schreibenden Werte proportional zu qN ist. Wenngleich auch eine Mittelwert- oder

Medianwertbildung4 der Parametersch�atzer �uber die noch frei w�ahlbaren unabh�angi-

gen Variablen �3; :::; �N�1 m�oglich ist, so werden dennoch nicht s�amtliche statistischen

Informationen N -ter Ordnung zur Parametersch�atzung verwendet, und folglich sollten

4Die Medianwertbildung ist hier einer Mittelwertbildung unter Umst�anden vorzuziehen, da zwar

wenige, aber dennoch sehr ungenaue Parametersch�atzungen bei einer Medianwertbildung im Gegen-

satz zu einer Mittelwertbildung nahezu ohne Ein u� auf die Sch�atzgenauigkeit sind.


genauere Methoden m�oglich sein. Derartige Methoden, die m�oglichst viele statistische

Informationen verwenden, werden in den folgenden Abschnitten eingehend erl�autert.

Auch hier mu� wieder ein Schwerpunkt gesetzt werden. Dieser Schwerpunkt beinhaltet

die sogenannten linearen Methoden, die ihren Namen aufgrund des zugrundeliegenden

linearen Gleichungssystems tragen. Das Gegenst�uck hierzu, die nichtlinearen Metho-

den, basieren stets auf einer nichtlinearen Optimierung mit den schon erw�ahnten Nach-

teilen (vgl. S. 104, Punkt 2), so da� auf eine Diskussion dieser Methoden verzichtet

wird und auf die umfangreiche Literatur (z. B. [33], S. 293-294, [40], S. 318�, [210],

[211], [219], [220], [243]) verwiesen wird.

3.2.2 MA(q)-Parametersch�atzung mit einer Diagonalen der

Autokumulantenfolge

Die nun vorzustellenden linearen Methoden wurden erstmalig in [242] angegeben, in

[103], [215] und [216] erweitert und in [177] eingehend analysiert. Im folgenden wird

die grundlegende Idee dieser Methoden erl�autert, und die sich daraus ergebenden Vor-

und Nachteile werden diskutiert. Anschlie�end wird gezeigt, wie mit dem Konzept der

sogenannten modulierten Autokumulantenfolgen die Nachteile weitgehend vermieden

werden k�onnen, so da� schlie�lich genauere Parametersch�atzungen m�oglich sind.

Ausgehend von Gleichung (3.22)

cX;N(�; �; :::; �) = cZ;N (0; :::; 0)qXl=0

bl bN�1l+� ; (3.28)

wobei �j = �, 8j = 1(1)N � 1 gew�ahlt wurde, ergibt sich f�ur N = 2

rX(�) = rZ(0)qXl=0

bl bl+�: (3.29)

Wird nun Gleichung (3.28) mit b� und Gleichung (3.29) mit bN�1� gefaltet5

cX;N(�; �; :::; �) � b� = cZ;N(0; :::; 0)1X

m=�1

qXl=0

bl bN�1l+m

!b��m (3.30a)

rX(�) � bN�1� = rZ(0)1X

m=�1

qXl=0

bl bl+m

!bN�1��m; (3.30b)

5 �Ublicherweise wird an dieser Stelle zur weiteren Herleitung in den Frequenzbereich �ubergegangen.

Der hier gew�ahlte Weg ist nicht nur etwas k�urzer, sondern erspart auch die zus�atzlichen De�nitionen

der Fourier-Transformierten von cX;N (�; �; :::; �) und bN�1� .


so folgt nach der Variablensubstitution m0 = � � m � l in (3.30b) umgehend die bis

auf die Faktoren cZ;N(0; :::; 0), rZ(0) g�ultige �Aquivalenz der rechten Seiten von (3.30a)

mit (3.30b). Demzufolge gilt

cX;N(�; �; :::; �) � b� =cZ;N (0; :::; 0)

rZ(0)rX(�) � bN�1� (3.31)

oder auch

qXl=0

blcX;N(�� l; �� l; :::; �� l) = �GM

qXl=0

bN�1l rX(�� l); �GM =cZ;N (0; :::; 0)

rZ(0):(3.32)

Ist mindestens eine der N�1 unabh�angigen Variablen �n von cX;N(�1; �2; :::; �N�1) be-

tragsm�a�ig gr�o�er als q, so ist die Autokumulantenfolge N -ter Ordnung eines MA(q)-

Prozesses identisch Null. Dies liegt an der Tatsache, da� ein nichtrekursives System

q-ter Ordnung { bedingt durch die q innewohnenden Verz�ogerer { nur eine statistische

Abh�angigkeit von im Abstand kleiner oder gleich q zueinander be�ndlichen Zufallsva-

riablen des Ausgangsprozesses erzeugen kann.

Aus dieser Eigenschaft folgt unmittelbar, da� eine Auswertung von (3.32) nur f�ur

� = �q(1)2q sinnvoll ist, da ansonsten beide Seiten von (3.32) gleich Null sind. So-

mit ergibt sich ein �uberbestimmtes lineares Gleichungssystem, bestehend aus 3q + 1

Gleichungen bei 2q + 1 Unbekannten

CGM bGM = cGM (3.33)

mit

CGM=

0BBBBBBBBBBBBBBB@

0 � � � 0 rX(�q) � � � 0

cX;N(�q; :::;�q) � � � 0 rX(�q + 1) � � � 0...

......

...

cX;N(q�1; :::; q�1) � � � cX;N(0; :::; 0) rX(q) � � � rX(0)

cX;N(q; :::; q) � � � cX;N(1; :::; 1) 0 � � � rX(1)...

. . ....

.... . .

...

0 � � � cX;N(q; :::; q) 0 � � � rX(q)

1CCCCCCCCCCCCCCCA

(3.34a)

und

bGM = (b1; :::; bq; �GM ; �GMb1; :::; �GMbq)T (3.34b)

cGM = � (cX;N(�q; :::;�q); :::; cX;N(q; :::; q); 0; :::; 0)T : (3.34c)


Bei bekannter Realisierung x(k), k = 0(1)K � 1 und Ersetzen der wahren Autoku-

mulantenfolgen durch die gesch�atzten Autokumulantenfolgen ergibt sich die durch die

Methode der kleinsten Fehlerquadrate (vgl. S. 101) gewonnene Parametersch�atzung zu

bGM =�C

T

GMCGM

��1C

T

GM cGM; (3.35)

welche sich o�enbar auch schreiben l�a�t als

bGM =�b1; :::; bq; b�; d�GMb1; :::; d�GMbq�T :

Basierend auf diesem Vektor sind nun mehrere Sch�atzer ableitbar. Zum einen k�onnen

einfach die ersten q Elemente verwendet werden

b(1)�;GM =

hbGM

i�; � = 1(1)q; (3.36a)

zum anderen die durch das (q + 1)-te Element d�GM normierten letzten q Elemente

b(2)�;GM =

hbGM

i�+q+1h

bGM

iq+1

; � = 1(1)q; (3.36b)

oder schlie�lich auch der Mittelwert aus beiden

b(3)�;GM =

1

2

�b(1)�;GM + b

(2)�;GM

�: (3.36c)

Trotz dieser vielf�altigen M�oglichkeiten zur Parametersch�atzung ist ein wesentlicher

Nachteil dieser Methode nicht zu �ubersehen; zwar wird die Autokumulantenfolge zwei-

ter Ordnung rX(�) vollst�andig zur Parametersch�atzung verwendet, jedoch wird von der

Autokumulantenfolge N -ter Ordnung lediglich die Diagonale cX;N(�; :::; �) ben�otigt.

Insofern bleiben mit zunehmender Ordnung N immer mehr statistische Informationen

unber�ucksichtigt. Neben der daraus resultierenden Einbu�e an Parametersch�atzgenau-

igkeit hat dies auch zur Folge, da� nicht alle MA-Modelle mittels (3.33) identi�zierbar

sind, welches sich mathematisch aus dem nicht vollen Rang der obigen Matrix zeigen

l�a�t (siehe auch [103]). Genau diese wesentlichen Nachteile k�onnen mit dem im folgen-

den erl�auterten Ansatz modulierter Autokumulantenfolgen weitestgehend vermieden

werden.

3.2.3 MA(q)-Parametersch�atzung mit modulierten Autoku-

mulantenfolgen

Die grundlegende Idee der nun vorzustellendenMethode besteht in der Einbringung von

Freiheitsgraden, so da� durch ihre geeignete Wahl die Nachteile bestehender Verfahren


vermieden werden k�onnen. Diese N+M Freiheitsgrade werden alsModulationskreisfre-

quenzen6

�n; n = 1(1)N � 1; m; m = 1(1)M � 1; N > M (3.37)

bezeichnet, da sie zur Modulation der Autokumulantenfolgen N -ter und M -ter Ord-

nung dienen. Demzufolge hei�en

c�1;:::;�N�1X;N (�1; :::; �N�1) = cX;N(�1; :::; �N�1) e

jN�1Pn=1

�n�n

(3.38a)

und

c 1;:::; M�1

X;M (�1; :::; �M�1) = cX;M(�1; :::; �M�1) ejM�1Pm=1

n�n

(3.38b)

modulierte Autokumulantenfolgen N-ter bzw. M-ter Ordnung. Werden die Fourier-

Transformierten dieser Folgen, die sich nur durch eine Verschiebung um die Modula-

tionskreisfrequenzen von den Fourier-Transformierten der nichtmodulierten Autoku-

mulantenfolgen unterscheiden, zueinander ins Verh�altnis gesetzt, so folgt (vgl. (1.42))

CX;N(ej(1��1); :::; e j(N�1��N�1))

CX;M(ej(1� 1); :::; e j(M�1� M�1))

=

cZ;N (0; :::; 0)H�MA(e

jN�1Pn=1

(n��n)

)N�1Yn=1

HMA(ej(n��n))

cZ;M (0; :::; 0)H�MA(e

jM�1Pm=1

(m� m)

)M�1Ym=1

HMA(ej(m� m))

: (3.39)

Zur Vereinfachung von Gleichung (3.39) werden nun einige Beziehungen zwischen den

Modulationskreisfrequenzen angegeben und s�amtliche Frequenzen bis auf

1 =

zu Null gesetzt

n = 0; 8 0 < n < N; m = 0; 8 0 < m < M:

6Zur Verdeutlichung einer dimensionslosen Gr�o�e ist der Begri� normierte Modulationskreisfre-

quenz sicherlich vorzuziehen, jedoch wird zwecks einer m�oglichst �ubersichtlichen Formulierung darauf

verzichtet. Etwaige Mi�verst�andnisse sind hier auszuschlie�en, da eine nichtnormierte Modulations-

kreisfrequenz im Rahmen dieser Schrift nicht verwendet wird.


Somit ergibt sich aus Gleichung (3.39)

CX;N(ej(��1); e�j�2; :::; e�j�N�1)

CX;M(ej(� 1); e�j 2; :::; e�j M�1)

=

cZ;N (0; :::; 0)

cZ;M (0; :::; 0)

H�MA(e

j(�N�1Pn=1

�n)

)HMA(ej(��1))

N�1Yn=2

HMA(e�j�n)

H�MA(e

j(�M�1Pm=1

m)

)HMA(ej(� 1))

M�1Ym=2

HMA(e�j m)

: (3.40)

Wird nun zudem

N�1Xn=1

�n =M�1Xm=1

m + 2�l; l 2 Z (3.41)

gew�ahlt, so k�urzt sich die konjugiert komplexe �Ubertragungsfunktion des Z�ahlers mit

der entsprechenden im Nenner, und es verbleibt

CX;N(ej(��1); e�j�2; :::; e�j�N�1)

CX;M(ej(� 1); e�j 2; :::; e�j M�1)

=

cZ;N (0; :::; 0)

cZ;M (0; :::; 0)

N�1Yn=2

HMA(e�j�n)

M�1Ym=2

HMA(e�j m)

HMA(ej(��1))

HMA(ej(� 1))

: (3.42)

Da sowohl �1 als auch 1 stets nur als Verschiebung zu auftreten, ist durch die

Substitution

0 = � �1

und anschlie�endes Ersetzen von 0 durch einfach zu zeigen, da� entweder �1 oder

1 ohne Beschr�ankung der Allgemeinheit eliminiert werden k�onnen. Es folgt daher

CX;N(ej; e�j�2; :::; e�j�N�1)

CX;M(ej(+�1� 1); e�j 2; :::; e�j M�1)

=

cZ;N (0; :::; 0)

cZ;M (0; :::; 0)

N�1Yn=2

HMA(e�j�n)

M�1Ym=2

HMA(e�j m)

HMA(ej)

HMA(ej(+�1� 1))

: (3.43)

Aufgrund der Bedingung (3.41) gilt aber auch

�1 � 1 = �N�1Xn=2

�n +M�1Xm=2

m + 2�l; l 2 Z; (3.44)


so da� folglich nur die N +M � 4 Modulationskreisfrequenzen

�n; n = 2(1)N � 1; m; m = 2(1)M � 1 (3.45)

zur freien Wahl verbleiben. Ist insbesondere N = 3 und M = 2, so ist

�1 � 1 = ��2 + 2�l; l 2 Z;

also lediglich eine Modulationskreisfrequenz �2 frei w�ahlbar. Die Gleichung (3.43) ver-

einfacht sich in diesem Fall zu

CX;3(ej; e�j�2)

CX;2(ej(��2))

=cZ;3(0; 0)

cZ;2(0)HMA(e

�j�2)HMA(e

j)

HMA(ej(��2))

: (3.46)

Die f�ur den Frequenzbereich g�ultige Gleichung (3.43) wird im folgenden kurz diskutiert

und anschlie�end in den Zeitbereich transformiert. Alsdann kann ein lineares �uberbe-

stimmtes Gleichungssystem zur Sch�atzung der MA-Parameter angegeben werden.

Zur Vereinfachung der Schreibweise werden zun�achst die beiden Gr�o�en

�N;M =cZ;N(0; :::; 0)

cZ;M(0; :::; 0)

N�1Yn=2

HMA(e�j�n)

M�1Ym=2

HMA(e�j m)

; (3.47)

� = 1 � �1 (3.48)

eingef�uhrt, und (3.43) ergibt sich dann zu

CX;N(ej; e�j�2; :::; e�j�N�1)HMA(e

j(��)) =

�N;M CX;M(ej(��); e�j 2; :::; e�j M�1)HMA(e

j): (3.49)

O�ensichtlich beinhaltet Gleichung (3.49) neben der unbekannten �Ubertragungsfunkti-

on ausschlie�lich Linien der AutokumulantenspektrenN -ter undM -ter Ordnung. Diese

beiden Linien, die sich durch die Abh�angigkeit von ergeben, k�onnen durch Variation

der Modulationskreisfrequenzen �2; :::; �N�1, 2; :::; M�1 beliebig verschoben werden.

Da ferner

� =N�1Xn=2

�n �M�1Xm=2

m � 2�l; l 2 Z (3.50)

gilt (vgl. (3.44), (3.48)) und damit die Verschiebung des AutokumulantenspektrumsM -

ter Ordnung als abh�angig betrachtet werden kann, stehen diese beiden Linien immer

in einer festen Beziehung zueinander. Werden jedoch die Modulationskreisfrequenzen


�n, n = 2(1)N � 1, m, m = 2(1)M � 1 derart ung�unstig gew�ahlt, da� � zu Null

wird, so k�urzt sich in Gleichung (3.49) die frequenzabh�angige �Ubertragungsfunktion

heraus, und eine zuverl�assige Parametersch�atzung, basierend auf (3.49), ist nicht mehr

m�oglich. Aus dieser Betrachtung ergibt sich die intuitiv naheliegende Folgerung, da�

� m�oglichst von Null verschieden sein sollte, welches aufgrund der 2�-Periodizit�at der

Spektren und der �Ubertragungsfunktionen umgehend zu � = � f�uhrt. Damit wird eine

der N+M�4 Modulationskreisfrequenzen (vgl. (3.45)) festgelegt. Auf diese Wahl und

die daraus resultierende Parametersch�atzgenauigkeit wird sp�ater noch eingegangen.

Werden nun beide Seiten der Gleichung (3.49) invers Fourier-transformiert, so

gilt

d�X;N (�) ��b� e

j��= �N;M

�d X;M(�) e

j�� b� (3.51)

mit den Vektoren

� = (�2; :::; �N�1)T ; = ( 2; :::; M�1)

T

und der sogenannten summierten modulierten Autokumulantenfolge N-ter Ordnung

d�X;N (�) =1

2�

Z �

��CX;N(e

j; e�j�2; :::; e�j�N�1) e j� d; (3.52)

wobei diese Bezeichnungsweise aus den nachfolgenden Betrachtungen verst�andlich wird.

Bevor Gleichung (3.51) zur Herleitung eines linearen Gleichungssystems weiter um-

geschrieben wird, ist der Zusammenhang zwischen den soeben de�nierten, summierten

modulierten Autokumulantenfolgen und den gew�ohnlichen Autokumulantenfolgen zu

kl�aren. Sodann k�onnen die summierten modulierten Autokumulantenfolgen auch aus

einer gegebenen Realisierung x(k), k = 0(1)K � 1 gesch�atzt werden. Hierzu wird das

Autokumulantenspektrum als Fourier-Transformierte geschrieben (vgl. (1.33a)) und

in (3.52) eingesetzt

d�X;N (�) =1

2�

�Z��

1X�1=�1

� � �1X

�N�1=�1

cX;N(�1; :::; �N�1) e�j�1 e

jN�1Pn=2

�n�n

e j� d

=1X

�1=�1

� � �1X

�N�1=�1

cX;N(�1; :::; �N�1) ejN�1Pn=2

�n�n 1

2�

�Z��

e j(��1)d

=1X

�2=�1

� � �1X

�N�1=�1

cX;N(�; :::; �N�1) ejN�1Pn=2

�n�n

; (3.53)


wobei das in der vorletzten Gleichung auftretende Integral sich zu

1

2�

Z �

��e j(��1) d = si(�(�� 1)) =

8<: 1 f�ur �1 = �

0 sonst

vereinfacht und damit eine (N � 2)-fache Summation �uber die modulierte Autokumu-

lantenfolge N -ter Ordnung verbleibt7.

Zur Ableitung des linearen Gleichungssystems wird zun�achst die in (3.51) angege-

bene Faltung ausgeschrieben

qX�=0

b� ej�� d�X;N (l � �) = �N;M

qX�=0

b� d X;M(l � �) e j�(l��): (3.54)

Mit b0 = 1 und nach Multiplikation mit e�j�l=2 folgt weiterqX

�=1

b�

�d�X;N(l � �) e j�(��l=2)� �N;M d

X;M(l � �) e j�(l=2��)

�=

�N;M d X;M(l) e

j�l=2� d�X;N (l) e�j�l=2; (3.55)

so da� schlie�lich eine Gleichung zur Verf�ugung steht, die die zu sch�atzenden MA-

Parameter und die summierten modulierten Autokumulantenfolgen enth�alt.

Durch Auswertung dieser Gleichung f�ur l = �q(1)2q l�a�t sich das folgende lineare

Gleichungssystem ableiten

C�; mod1

bmod1 = c�mod1

(3.56)

mit

C�; mod1

=

0BBBBBBBBBBBBBBBBBB@

0 �� 0 �d X;M

(�q) e j�(�q)=2 �� 0

d�X;N

(�q) e j�q+12 �� 0 �d

X;M

(�q+1) e j��q+12 �� 0

......

......

......

d�X;N

(�1) e j� �� d�X;N

(�q) e j�q �d X;M

(0) �� d X;M

(�q) e�j�q

......

......

......

d�X;N

(q�1) e j�2�q2 �� d�

X;N(0) e j�

q2 �d

X;M

(q) e j�(q=2) �� d X;M

(0) e j�q2

......

......

......

0 �� d�X;N

(q) 0 �� d X;M

(q)

1CCCCCCCCCCCCCCCCCCA

;

7Gem�a� Gleichung (3.53) kann die summierte modulierte Autokumulantenfolge o�enbar auch als

(N � 2)-dimensionale Fourier-Transformierte unter Beibehaltung einer Zeitvariablen � aufgefa�t

werden. Eine dieser Interpretation entsprechende Bezeichnungsweise, wie z.B. zeitabh�angiges Autoku-

mulantenspektrum (N � 1)-ter Ordnung wird hier bewu�t nicht verwendet, da einerseits die Modula-

tionskreisfrequenzen einmalig fest zu w�ahlen sind und insofern nicht als Ver�anderliche im Sinne einer

kontinuierlichen Kreisfrequenz zu betrachten sind, und andererseits um Verwechselungen mit Begri�en

aus der Zeit-Frequenz-Analyse zu vermeiden (siehe z. B. [31], S. 191�, [4], S. 111�).


(3.57a)

und

bmod1 = (b1; :::; bq; �N;M; �N;Mb1; :::; �N;Mbq)T (3.57b)

c�mod1=

��d�X;N(�q) e j�(q=2); :::;�d�X;N(q) e j�(�q=2); 0; ; :::; 0

�T; (3.57c)

welches bei 2q+1 Unbekannten und 3q+1 Gleichungen stets �uberbestimmt ist. Nach

Wahl der Modulationskreisfrequenzen, der Ordnungen N , M und der Sch�atzung der

summierten modulierten Autokumulantenfolgen aus den zur Verf�ugung stehenden Da-

ten x(k), k = 0(1)K � 1, kann der die MA-Parameter enthaltene Vektor bmod1 mittels

der Methode der kleinsten Fehlerquadrate zu

bmod1 =

0@ C�; mod1

!HC�; mod1

1A�1

C�; mod1

!Hc�mod1

(3.58)

gesch�atzt werden (vgl. S. 101, insbesondere Gleichung (3.11)). Es verbleibt nun lediglich

die Berechnung der MA-Parameter aus bmod1. Hierzu k�onnen entweder die ersten q

Elemente dieses Vektors

b(1)�;mod1

=hbmod1

i�; � = 1(1)q (3.59)

verwendet werden, oder alternativ die durch das (q + 1)-te Element �N;M dividierten

letzten q Elemente

b(2)�;mod1

=

hbmod1

i�+q+1h

bmod1

iq+1

=d�N;Mb��N;M

; � = 1(1)q: (3.60)

Selbstverst�andlich ist auch die Mittelung dieser Sch�atzer f�ur eine eventuelle Reduzie-

rung der Varianz m�oglich

b(3)�;mod1

=1

2

�b(1)�;mod1

+ b(2)�;mod1

�; � = 1(1)q; (3.61)

jedoch kann die Division mit �N;M bei b(2)�;mod1und b

(3)�;mod1

(vgl. auch Gleichung (3.26))

erhebliche Sch�atzungenauigkeiten bewirken. Dies gilt insbesondere f�ur �N;M = 0 und

wird im n�achsten Abschnitt eingehend untersucht.


3.2.4 Zur Wahl der Modulationskreisfrequenzen

O�enbar ist �N;M = 0 genau dann erf�ullt (vgl. (3.47)), wenn die �Ubertragungsfunk-

tion eine Nullstelle bei einer Modulationsfrequenz �n aufweist. Folglich sind also die

Modulationskreisfrequenzen so zu w�ahlen, da�

HMA(e�j�n) 6= 0; 8 �n; n = 2(1)N � 1 (3.62a)

gilt. Die Nullstellen der �Ubertragungsfunktion sind jedoch aufgrund der zu sch�atzenden

MA-Parameter a-priori unbekannt, so da� obige Bedingungen im allgemeinen nicht

erf�ullt werden k�onnen. Eine analoge Betrachtung ist auch f�ur den Nenner von (3.47)

m�oglich, denn �N;M kann auch der rechten Seite von (3.49) alternativ als Kehrwert

zugeschrieben werden, so da� dann

HMA(e�j m) 6= 0; 8 m; m = 2(1)M � 1 (3.62b)

gelten mu�. Eine Diskussion der Polstellenlagen ist hier nicht erforderlich, da bei

dem hier vorausgesetzten MA(q)-Modell mit endlicher Ordnung q die Systemfunktion

HMA(z) keine Polstellen au�erhalb des Ursprungs aufweist. Auch wenn die Bedingun-

gen (3.62a) und (3.62b) nicht a-priori zu erf�ullen sind, so sind die problematischen

Sonderf�alle von geringer Bedeutung f�ur die praktische Anwendung; schlie�lich han-

delt es sich hierbei nur um endlich viele, h�ochstens N +M � 4 nicht identi�zierbare

MA(q)-Modelle bei �uberabz�ahlbar unendlich vielen MA(q)-Modellen. Sind ferner N

und M durch die statistischen Signaleigenschaften und/oder die auf Seite 82 angef�uhr-

ten Aspekte fest gew�ahlt, so kann diese Anzahl nicht identi�zierbarer Modelle durch

Wahl von n = �n gem�a� (vgl. (3.47)) noch weiter reduziert werden.

Neben den bisher abgeleiteten Bedingungen (3.44), (3.62a), (3.62b) zur Wahl der

Modulationskreisfrequenzen verbleibt noch eine weitere letzte Einschr�ankung aufzuzei-

gen, die ausschlie�lich die Modulationskreisfrequenz � betri�t. Die im Frequenzbereich

geltende Gleichung (3.49), die f�ur das Sch�atzverfahren von fundamentaler Bedeutung

ist, enth�alt nach Umschreiben den Faktor

HMA(ej(��))

HMA(ej)

: (3.63)

Bei den hier betrachteten, bis auf eine Ausnahme durchweg reellen (vgl. S. 141) Syste-

men existiert zu jeder komplexen Nullstelle z0 auch eine konjugiert komplexe Nullstelle

z�0, so da� sich die �Ubertragungsfunktion in Produktform schreiben l�a�t als

HMA(ej) =

qrYl=1

�e j � zR0;l

� qr+qc=2Yl=qr+1

�e j � z0;l

� �e j � z�0;l

�


=qrYl=1

�e j � zR0;l

� qr+qc=2Yl=qr+1

�e j2 � 2 zR0;l e

j + jz0;lj2�;

wobei qr die Anzahl reeller und qc die Anzahl komplexer Nullstellen ist. Einsetzen dieser

Produktform in (3.63) liefert

HMA(ej(��))

HMA(ej)

=

qrYl=1

�e j(��) � zR0;l

� qr+qc=2Yl=qr+1

�e j2(��) � 2 zR0;l e

j(��) + jz0;lj2�

qrYl=1

�e j � zR0;l

� qr+qc=2Yl=qr+1

�e j2 � 2 zR0;l e

j + jz0;lj2� ; (3.64)

so da� eine unerw�unschte Eliminierung von Nullstellen durchaus m�oglich ist und damit

bestimmteMA(q)-Modelle nicht vollst�andig identi�zierbar sind. O�enbar kann eine sol-

che Eliminierung gem�a� (3.64) aber nur dann erfolgen, wenn die beiden Gleichungen

e j2(��) = e j2 (3.65a)

2 zR0;l ej(��) = 2 zR0;l e

j (3.65b)

f�ur alle Frequenzen g�ultig sind. Dabei ist die Gleichung (3.65a) stets dann erf�ullt,

wenn die Nullstelle rein imagin�ar ist, also zR0;l = 0 gilt. Demzufolge ist die G�ultigkeit

von (3.65a) zu vermeiden, welches umgehend zu der Forderung

� 6= �l; l 2 Z (3.66)

f�uhrt. Zu beachten ist, da� durch diese Bedingung auch s�amtliche reelle Nullstellen

erhalten bleiben.

Abschlie�end l�a�t sich feststellen, da� bei der Wahl der Modulationskreisfrequenzen

�, �n, n = 2(1)N�1, m, n = 2(1)M�1 die nachfolgenden vier Bedingungen m�oglichst

zu erf�ullen sind

�!=

N�1Xn=2

�n �M�1Xm=2

m + 2�l; l 2 Z (3.67a)

� 6= �l; l 2 Z (3.67b)

HMA(e�j�n) 6= 0 (3.67c)

HMA(e�j m) 6= 0: (3.67d)

Aber selbst bei G�ultigkeit von (3.67a)-(3.67b) verbleibt dennoch die Frage nach der

Eindeutigkeit der MA-Parametersch�atzungen. Es ist n�amlich durchaus m�oglich, da�

weitere Sch�atzer existieren, die auch dem Gleichungssystem (3.56) gen�ugen. Aus ma-

thematischer Sichtweise ist daher zu pr�ufen, ob die Matrix C�; mod1

den vollen Rang


2q + 1 besitzt. Ein Beweis konnte bisher im allgemeinen nicht erbracht werden. Wird

hingegen �N;M als bekannt angenommen, so kann durchaus die Eindeutigkeit der MA-

Parametersch�atzer gezeigt werden. Da ein solcher Beweis aber nur im Zusammenhang

mit einem Sch�atzverfahren f�ur �N;M von praktischer Bedeutung ist, wird zun�achst eine

geeignete Methode vorgestellt. Darau�olgend wird dann die Eindeutigkeit der MA-

Parametersch�atzer bewiesen.

3.2.5 Zur Eindeutigkeit der Parametersch�atzer

Ausgehend von demGleichungssystem (3.56) wird nach dessen L�osung folgender Sch�atz-

wert

�(med)N;M = Median

(�N;M;

d�N;Mb1b1

; :::;d�N;Mbqbq

)(3.68)

f�ur �N;M vorgeschlagen. Durch die Bildung des Medianwertes anstelle des Mittelwertes

bleiben auch betragsm�a�ig sehr kleine Parametersch�atzungen b�, deren wahre Werte

bis auf bq 6= 0 auch durchaus gleich Null sein k�onnen, ohne gr�o�eren Ein u� auf die

Sch�atzgenauigkeit. Anschlie�end wird die Gleichung (3.55) unter der Annahme eines

jetzt bekannten �N;M diesmal f�ur l = �q + 1(1)2q � 1 ausgewertet. Die verbleibenden

zwei Gleichungen f�ur l = �q und l = 2q sind unabh�angig von b�, � = 1(1)q und damit

zur MA-Parametersch�atzung ohne Nutzen. Es ergibt sich das Gleichungssystem

C�; mod2

bmod2 = c�mod2

(3.69)

mit

C�; mod2

=

0BBBBBBBBBBBBBBBBBBB@

d�X;N

(�q) e j�q+12 ��N;M d

X;M

(�q) e�j�q+12 �� 0

d�X;N

(�q+1) e j�q2��N;M d

X;M

(�q+1) e�j�q2

... 0

......

d�X;N

(�1) e j��N;M d X;M

(�1) e�j� �� d�X;N

(�q) e j�q��N;M d X;M

(�q) e�j�q

......

d�X;N

(q�1) e j�2�q2 ��N;M d

X;M

(q�1) e�j�2�q2 �� d�

X;N(0) e j�

q2��N;M d

X;M

(0) e�j�q2

......

...

0 d�X;N

(q�1) e j�=2��N;M d X;M

(q�1) e�j�=2

1CCCCCCCCCCCCCCCCCCCA

;

(3.70a)

und

bmod2 = (b1; :::; bq)T (3.70b)


c�mod2=

��N;M d

X;M (�q + 1) e j�(�q+1)=2 � d�X;N (�q + 1) e�j�(�q+1)=2; :::

:::; �N;M d X;M (q) e j�q=2� d�X;N(q) e

�j�q=2; 0; :::; 0�T

; (3.70c)

welches bei q Unbekannten und 3q�1 Gleichungen stets �uberbestimmt ist. Eine L�osung

nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate liefert

bmod2 =

0@ C�; mod2

!HC�; mod2

1A�1

C�; mod2

!Hc�; mod2

; (3.71)

so da� sich die MA-Parameter mittels

b�;mod2 =hbmod2

i�; � = 1(1)q (3.72)

sch�atzen lassen. Nachdem nun ein Ansatz zur Sch�atzung der MA-Parameter bei be-

kanntem �N;M aufgezeigt wurde, verbleibt die Frage nach der Eindeutigkeit der mittels

(3.72) gewonnenen L�osung. Zu deren Kl�arung wird jetzt ein rekursives Verfahren zur

MA-Parametersch�atzung hergeleitet, welches lediglich die in (3.69) enthaltenen Glei-

chungen (3.55) f�ur l = �q + 1(1)0 verwendet.

Bei bekannten �N;M l�a�t sich der erste MA-Parameter b1 durch Auswertung von

Gleichung (3.55) f�ur l = �q + 1 wie folgt berechnen

b1 =�N;M d

X;M(�q + 1) e j�(�q+1)=2� d�X;N(�q + 1) e�j�(�q+1)=2

d�X;N(�q) e j�(1�(�q+1)=2)� �N;M d X;M(�q) e j�((�q+1)=2�1)

:

Dementsprechend liefert die Auswertung von (3.55) f�ur l = �q + 2 eine Gleichung

f�ur b2, die neben den summierten modulierten Autokumulantenfolgen und �N;M nur

noch von b1 abh�angt. Dieser Vorgehensweise folgend ist eine rekursive Methode zur

MA-Parametersch�atzung ableitbar, bei der sich s�amtliche MA-Parameter nach

b� =�N;Md

X;M(�q + �) e j�(�q+�)=2 � d�X;N (�q + �) e�j�(�q+�)=2

d�X;N(�q) e j�((q+�)=2)� �N;Md X;M(�q) e�j�((q+�)=2)

� (3.73)

��1Xl=1

bl

�d�X;N(�q + � � l)e j�(l�(�q+�)=2) � �N;Md

X;M(�q + �� l)e j�((�q+�)=2�l)

�

d�X;N(�q) e j�((q+�)=2)� �N;Md X;M(�q) e�j�((q+�)=2)

berechnen lassen. Da eine solche rekursive L�osung stets eindeutige Parametersch�atzer

liefert und zudem ausschlie�lich die in (3.69) enthaltenen Gleichungen verwendet wur-

den, mu� die Matrix (3.70a) vollen Rang q aufweisen und die L�osung (3.72) damit

eindeutig sein. Bei diesen �Uberlegungen wurde aber vorausgesetzt, da� der Nenner auf


der rechten Seite von (3.73) stets ungleich Null ist. Dies f�uhrt zu der die Bedingungen

(3.67a)-(3.67b) erg�anzenden Forderung (siehe Anhang 4)

� 6= 2�l

�; 8 l 2 Z ^ � = 1(1)q; (3.74)

welche notwendig zur Existenz einer rekursiven L�osung ist. Hingegen ist (3.74) hinrei-

chend und nicht notwendig f�ur den vollen Matrixrang und damit auch hinreichend f�ur

die Eindeutigkeit der L�osung (3.72). Dies l�a�t sich wie folgt begr�unden: Der Nenner der

rechten Seite von Gleichung (3.73) ist o�enbar identisch mit der Hauptdiagonale von

C�; mod2

. Zudem ist eine quadratische untere Dreiecksmatrix bekanntlich dann und nur

dann von vollem Rang, wenn s�amtliche Hauptdiagonalelemente von Null verschieden

sind (siehe z. B. [8], S. 152). Nun ist die MatrixC�; mod2

zwar eine untere Dreiecksmatrix,

aber keineswegs quadratisch, so da�, auch wenn ein Hauptdiagonalelement der ersten

q-Zeilen gleich Null sein sollte, durch Vertauschen dieser Zeile mit einer der verbleiben-

den 2q�1 Zeilen, die zu einem von Null verschiedenen Hauptdiagonalelement f�uhrt, der

Rang weiterhin gleich q ist. Folglich ist (3.74) hinreichend f�ur einen vollen Matrixrang.

3.2.6 Verbesserung des �N;M -Sch�atzwertes

Obwohl nun eine eindeutige L�osung gefunden wurde, zeigte sich durch rechnergest�utzte

Simulationen, da� diese auf (3.69) beruhende Methode zwar geringf�ugig, aber doch

merkbar ungenauere Parametersch�atzungen als die mittels (3.56) gewonnene L�osung

(3.59) lieferte. Der wesentliche Grund hierf�ur liegt in der Zweistu�gkeit der eindeutigen

Methode, denn ein ungenauer Sch�atzwert von �N;M kann gravierende Auswirkungen auf

die nachfolgende MA-Parametersch�atzung haben. Die Bedeutung von �N;M best�atigt

sich zudem durch die vorherige Diskussion �uber die Einschr�ankungen zur Wahl der

Modulationskreisfrequenzen (vgl. (3.67a)-(3.67b)), wobei die H�alfte dieser Bedingungen

sich aus Forderungen an �N;M ergaben.

Diese Gr�unde motivieren eine Verbesserung des �N;M-Sch�atzwertes. Dazu sollte an-

stelle der Sch�atzung mittels eines Gleichungssystems, bei dem die in dem Vektor bmod1

enthaltenen Parameter keineswegs unabh�angig voneinander sind und daher sowohl Ge-

nauigkeitsverluste als auch nicht identi�zierbare MA(q)-Modelle die Folge sein k�onnen,

vielmehr eine Gleichung f�ur �N;M gefunden werden, die einerseits m�oglichst viele sta-

tistische Informationen enth�alt und andererseits direkt nach �N;M au �osbar ist. Zur

Herleitung eines solchen Sch�atzers wird (3.49) f�ur zwei verschiedene Frequenzen A

und B ausgewertet und die dadurch entstehenden zwei Gleichungen werden derart


miteinander multipliziert, da�

CX;N(ejA; e�j�2; :::; e�j�N�1) CX;N(e

jB ; e�j�2; :::; e�j�N�1)

CX;M(ej(A��); e�j 2 ; :::; e�j M�1) CX;M(e

j(B��); e�j 2; :::; e�j M�1)=

�2N;MHMA(e

jA)HMA(ejB)

HMA(ej(A��))HMA(e

j(B��))(3.75)

folgt. Nun werden die Frequenzen A und B so gew�ahlt, da� die rechte Seite von

(3.75) unabh�angig von den �Ubertragungsfunktionen wird. Dazu mu� gelten

A = B � � + 2�l1; l1 2 Z (3.76a)

B = A � � + 2�l2; l2 2 Z; ; (3.76b)

welches umgehend auf

�!= �l; l 2 Z (3.77)

f�uhrt. Obwohl diese Gleichung von A und B unabh�angig ist, wird die Bedingung

(3.66) verletzt, so da� MA(q)-Modelle mit Nullstellen auf der imagin�aren Achse (vgl. S.

119) mit einer auf der Forderung (3.77) basierenden Methode nicht korrekt identi�ziert

werden k�onnen. Dennoch folgt unter Ber�ucksichtigung von (3.76a), (3.76b) aus (3.75)

�2N;M =CX;N(e

jA; e�j�2; :::; e�j�N�1) CX;N(ej(A��); e�j�2; :::; e�j�N�1)

CX;M(ejA; e�j 2; :::; e�j M�1) CX;M(e

j(A��); e�j 2; :::; e�j M�1);

so da� nun ein Sch�atzer f�ur �2N;M ableitbar ist. Hierzu werden die Autokumulanten-

spektren N -ter und M -ter Ordnung an den Frequenzen (siehe auch den Kommentar

auf S. 87 zur Unabh�angigkeit von Werten des Bispektrums)

A = �l

L; l = 1(1)L

gesch�atzt (vgl. S. 31). Aus den sich ergebenden L Sch�atzern b�2(l)N;M wird durch Median-

bildung der bis auf ein Vorzeichen eindeutige verbesserte Sch�atzer

�(l)N;M = �

sMedian

� b�2(1)N;M ; :::;b�2(L)N;M

�(3.78)

f�ur �N;M berechnet. Alsdann wird dieser Sch�atzer in die Matrix Cmod3 bzw. in den

Vektor cmod3 eingesetzt, wobei die wahren Werte mit denen von Cmod2 bzw. cmod2

�ubereinstimmen. Mittels der Methode der kleinsten Fehlerquadrate ergibt sich dann

entsprechend

b�

mod3=�C

H

mod3Cmod3

��1C

H

mod3cmod3; (3.79)


so da� der letzte anzugebende MA-Parametersch�atzer gleich

b��;mod3=�b�

mod3

��

; � = 1(1)q (3.80)

ist. Dabei wird die durch das unbekannte Vorzeichen entstehende Doppeldeutigkeit wie

folgt aufgel�ost: Die obige Kleinste-Quadrate-L�osung wird sowohl f�ur das Plus- als auch

f�ur das Minus-Zeichen in (3.78) berechnet, was durch das hochgestellte Symbol � in

(3.79) und (3.80) angedeutet ist. Anschlie�end wird die gegebene Realisierung x(k),

k = 0(1)K � 1 durch zwei Systeme mit den zugeh�origen �Ubertragungsfunktionen

H+(e j) =1

qX�=0

b+�;mod3e j�

H�(e j) =1

qX�=0

b��;mod3e j�

ge�ltert, so da� sich zwei Realisierungen z+(k), z�(k) f�ur den Eingangsproze� Z(k)

ergeben. Mit Hilfe statistischer Tests wird nun gepr�uft, welche dieser beiden Realisie-

rungen z+(k), z�(k) denen eines Weissen Rauschens N -ter Ordnung am ehesten ent-

spricht. Sodann wird entsprechend dem Testergebnis entweder b+�;mod3oder b��;mod3

als

der endg�ultige MA-Parametersch�atzer ausgew�ahlt. Bei dieser Methodik zur Ermittlung

des fehlenden Vorzeichens bleibt zu beachten, da� MA-Modelle im allgemeinen nicht-

minimalphasig sind und demzufolge die Systemfunktionen H+(e j), H�(e j) durchaus

Polstellen au�erhalb des Einheitskreises aufweisen k�onnen. Zur Gew�ahrleistung der Sta-

bilit�at derartiger Systeme ist eine nichtkausale Filterung erforderlich, die aber aufgrund

der vorliegenden endlichen Realisierung x(k), k = 0(1)K � 1 keinerlei Probleme berei-

tet (siehe [82]). Lediglich die Identi�kation von MA-Modellen mit Nullstellen auf dem

Einheitskreis, die instabile inverse Systeme hervorrufen w�urden, ist mit diesem Ansatz

nicht m�oglich. In diesen seltenen F�allen, wo eine der Realisierungen z+(k), z�(k) einen

exponentiell ansteigenden Verlauf aufweisen mu�, l�a�t sich das fehlende Vorzeichen von

�(l)N;M auch durch die Gleichung (3.68) gewinnen.

Wie im n�achsten Abschnitt gezeigt wird, f�uhrt diese letzte Methode h�au�g zu sehr

genauen Parametersch�atzungen. Der numerische Aufwand ist jedoch durch das fehlende

Vorzeichen in (3.78) mehr als verdoppelt und MA-Modelle mit Nullstellen auf der ima-

gin�aren Achse sind nicht korrekt identi�zierbar. Eine wie im zweiten Kapitel des �ofteren

zu �ndende analytische Aussage �uber die zu erwartende Parametersch�atzgenauigkeit

in Abh�angigkeit der Modellparameter zu erhalten, ist aufgrund der Zweistu�gkeit der

letzten beiden Methoden (b�;mod2, b��;mod3

) auch asymptotisch eher aussichtslos. Hin-

gegen konnten die ersten Parametersch�atzer b(1)�;mod1

, b(2)�;mod1, b(3)�;mod1

mit der in [177]

angegebenen Methodik sehr wohl analytisch miteinander verglichen werden. N�aheres

hierzu ist in [248] zu �nden.


Abschlie�end sei angemerkt, da� diese Methoden auch bei einem zus�atzlichen ad-

ditiven Weissen Rauschen N(k), also

Y (k) = X(k) +N(k)

nach entsprechender Modi�kation prinzipiell zur L�osung der Parametersch�atzaufgabe

geeignet sind. Es gen�ugt lediglich eine Realisierung y(k), k = 0(1)K�1 des Zufallspro-

zesses Y (k). N�aheres hierzu ist in [127], [129] zu �nden. Bevor nun mit Hilfe von rech-

nergest�utzten Simulationen die vorgestellten Methoden miteinander verglichen werden,

wird im folgenden noch ein grunds�atzlich verschiedener Ansatz zur Identi�kation von

MA-Modellen erl�autert.

3.2.7 Ein Eigenvektoransatz zur MA-Parametersch�atzung

In [61] wurde k�urzlich ein Verfahren zur Parametersch�atzung von MA-Modellen vorge-

stellt, welches auf der L�osung eines Eigenvektorproblems beruht. Dieser Ansatz, der im

folgenden nur in seinen Grundz�ugen erl�autert wird, besitzt den Vorteil der Unemp�nd-

lichkeit gegen �uber Modellordnungsfehlsch�atzungen. Bisherige Methoden unterstellten

stets eine bekannte Modellordnung q, welche mit anderen Verfahren zuerst zu sch�atzen

war. Der Eigenvektoransatz hingegen erfordert lediglich eine maximale Ordnungsvor-

gabe qmax und sch�atzt bei tats�achlicher kleinerer Ordnung q < qmax die Parameter

bq+1; :::; bqmax asymptotisch zu Null.

Zur Erl�auterung sind im folgenden Bild dem zu identi�zierendenModell zwei lineare

zeitinvariante Systeme nachgeschaltet.

e - bk - eZ(k) X(k)

u - binvk

- brefk

- eZ(k � k0)

- eZref(k � k0)

Bild 3.2 Zum Eigenvektoransatz.

Das obere System mit den Parametern binvk dient zur Rekonstruktion Z(k� k0) des

Eingangssignals Z(k), wobei eine dem Gesamtsystem innewohnende Verz�ogerung k0 zu

ber�ucksichtigen ist. Das untere System wird als Referenzsystem bezeichnet. Zun�achst


sind die Parameter brefk des Referenzsystems nahezu beliebig eingestellt, wobei minde-

stens ein Parameter ungleich Null zu w�ahlen ist. Die Impulsantworten der Systeme mit

dem Eingang Z(k) und den Ausg�angen Z(k � k0) und Zref(k � k0) werden mit

hges(k) = bk � binvk (3.81a)

href(k) = bk � brefk (3.81b)

bezeichnet. Ist nun jhmaxref j das einzige Maximum von jhref(k)j, also

hmaxref = max

k2Zjhref(k)j; (3.82)

so gilt o�ensichtlich

1Xk=�1

h2ref(k) h2ges(k) � (hmax

ref )2

1Xk=�1

h2ges(k); (3.83)

wobei das Gleichheitszeichen nur dann angenommen wird, wenn

hges(k) = hges(kmax) �(k � kmax) (3.84)

erf�ullt ist. Hierbei ist kmax genau die Stelle, an der jhref(k)j maximal ist. Eine durch

Gleichung (3.84) beschriebene Impulsantwort bedeutet jedoch, da� Z(k) bis auf eine

Verschiebung um kmax!= k0 gleich Z(k) ist. Mit anderen Worten besitzt das System

mit der Impulsantwort binvk die zu dem gesuchten System inverse Systemfunktion. Folg-

lich m�u�te nach Bestimmung von binvk eine Sch�atzung bk der gesuchten Parameter bk

m�oglich sein. Im weiteren wird daher zun�achst binvk bestimmt und anschlie�end wird

eine Gleichung zur Berechnung von bk abgeleitet.

Der Summand der linken Seite von Gleichung (3.83) besteht aus zwei Faktoren

jeweils zweiten Grades. Ein Vergleich mit Gleichung (1.28b) motiviert die Berechnung

dieses Ausdrucks mittels einer Kreuzkumulanten vierter Ordnung. Tats�achlich l�a�t sich

leicht die Beziehung

cZ;2;Zref ;2(0; 0; 0) = K

�Z2(k � k0)

�Zref(k � k0)

�2�

= K

nZ4(k � k0)

o 1Xk=�1

h2ref(k) h2ges(k) (3.85)

ableiten, dessen rechte Seite bis auf den Skalierungsfaktor KfZ4(k � k0)g identisch zu

der linken Seite von (3.83) ist. Zudem gilt auch f�ur die Autokumulante zweiter Ordnung

cZ;2(0) = K

nZ2(k � k0)

o

= K

nZ2(k � k0)

o 1Xk=�1

h2ges(k); (3.86)


die bis auf den Skalierungsfaktor KfZ2(k � k0)g identisch zu der rechten Seite von

(3.83) ist. Wird nun die rechte Seite von (3.83) konstant gehalten und die linke Sei-

te durch Variation der Parameter binvk des inversen Systems maximiert, so ist nach

erfolgreicher Maximierung die Gleichung (3.84) erf�ullt und damit sind die Parameter

binvk bestimmt. Aufgrund der �Aquivalenz von (3.83) zu einer Ungleichung zwischen der

Kreuzkumulanten vierter Ordnung und der Autokumulanten zweiter Ordnung l�a�t sich

die Maximierungsaufgabe auch schreiben als

Maxmiere cZ;2;Zref;2(0; 0; 0)

unter der Nebenbedingung cZ;2(0) = K

nZ2(k � k0)

o= konst. (3.87)

Der hierbei unbekannte Proze� Z(k � k0) kann mittels der Faltung

Z(k � k0) = X(k) � binvk

in (3.87) ersetzt werden, so da� lediglich Zref(k�k0) als unbekannt verbleibt. Da jedochdie Parameter brefk des Referenzsystems frei w�ahlbar sind, kann Zref(k�k0) stets durch

Zref(k � k0) = X(k) � brefk

berechnet werden. Werden nun K Zufallsvariablen des Ausgangsprozesses X(k) in vek-

torieller Form zusammengefa�t

X(k) = (X(k);X(k � 1); :::;X(k �K + 1))T ;

und wird unter

binv =�binv0 ; :::; binvqinv

�T

verstanden, so kann (3.87) auch geschrieben werden als [61]

Maxmiere binv;T CZref ;2;X;2

binv

unter der Nebenbedingung binv;T CX ;2binv = K

nZ2(k)

o= konst. (3.88)

Hierbei ist qinv eine hinreichend gro� zu w�ahlende Ordnung des inversen Systems und

die Matrizen sind zu

CZref ;2;X;2

= K

��Zref(k � k0)

�2X(k)XT (k)

�(3.89a)

CX ;2= K

nX(k)XT (k)

o(3.89b)


de�niert. O�enbar istCZref ;2;X;2

eine Kreuzkumulante zwischen Zref(k�k0) undX(k)

und damit unabh�angig von den Parametern binvk des inversen Systems (vgl. Bild 3.2).

Folglich ist die Zielfunktion

binv;T

CZref ;2;X;2

binv

quadratisch in binvk . Ein solches, durch (3.88) beschriebenes Maximierungsproblem f�uhrt

auf die Gleichung

CZref ;2;X;2

binv = �CX ;2

binv (3.90)

welches verallgemeinertes Eigenproblem ([16], S. 394�) genannt wird. Als L�osung wird

der zu dem betragsmaximalen Eigenwert � korrespondierende Eigenvektor binv bezeich-

net. Eine solche L�osung ist { bis auf eine multiplikative Konstante (vergleiche hierzu die

Anmerkungen auf S. 100) und die unbekannte Verz�ogerung k0 { eindeutig, solange nur

jhmaxref j das einzige Maximum von jhref(k)j ist (siehe Gleichung (3.82)). Die G�ultigkeit

dieser Forderung kann nicht garantiert werden, da href(k) gem�a�

href(k) = bk � brefk

von den unbekannten MA-Parametern bk abh�angt. Jedoch besteht die M�oglichkeit

durch iterative Variation von brefk eine etwaige Fehlsch�atzung in gewissen Grenzen zu

halten. N�aheres hierzu ist in [61] zu �nden.

Nachdem nun die Parameter des inversen Systems binvk berechenbar sind, verbleibt

noch die Ableitung einer Gleichung zur Bestimmung der gesuchten MA-Parameter bk.

Sodann k�onnen die Kreuz- und Autokumulanten durch ihre Sch�atzungen ersetzt und

demzufolge die MA-Parameter gesch�atzt werden. Ist qinv hinreichend gro� gew�ahlt, so

wird der Ausgangsproze� Z(k) des inversen Systems den Eingangsproze� bis auf eine

multiplikative Konstante � approximieren

Z(k) �= � Z(k); � 2 IR:

Da ferner

Z(k � k0) = binvk �X(k)

gilt, folgt umgehend

� Z(k � k0) �=qinvX�=0

binv� X(k � �):


Multiplikation mit X(k + l) und anschlie�ende Erwartungswertbildung liefert

� EfX(k + l)Z(k � k0)g �=qinvX�=0

binv� EfX(k � �)X(k + l)g :

Mit X(k) = bk � Z(k) ergibt sich

� E

( qX

�=0

b� Z(k + l � �)

!Z(k � k0)

)�=

qinvX�=0

binv� cX;2(�+ l)

�qX

�=0

b� cZ;2(� � l � k0) �=qinvX�=0

binv� cX;2(�+ l);

so da� mit cZ;2(�) = KfZ2(�)g �(�) schlie�lich die Bestimmungsgleichung f�ur die

gesuchten MA-Parameter

bl+k0�= 1

�KfZ2(k)gqinvX�=0

binv� cX;2(�+ l); (3.91)

folgt. Anstelle dieses zweistu�gen Verfahrens, welches zun�achst die Parameter des in-

versen Systems und anschlie�end die des gesuchten Systems bestimmt, ist die dem

verallgemeinerten Eigenwertproblem (3.90) entsprechende Gleichung

� b = CZref ;2;X;2

C�1

X ;2b (3.92)

ableitbar [61]. Hierbei enth�alt b = (bk0 ; bk0�1; :::; b0; 0; :::; 0)T die gesuchtenMA-Parameter

in umgekehrter Reihenfolge. Ein detaillierte Diskussion dieses, als EVI-Algorithmus

bezeichnetes Verfahrens ist in [61] zu �nden. Der EVI-Algorithmus ist bisher nur

im Zusammenhang mit nachrichtentragenden Signalen angewendet worden. Solche Si-

gnale sind �ublicherweise symmetrisch verteilt und folglich sind die Kumulanten und

Momente dritter und h�oherer ungerader Ordnung gleich Null. Aus diesem Grund

werden mit den nachfolgenden rechnergest�utzten Simulationen zuerst die vorgestell-

ten MA-Parametersch�atzverfahren { bis auf den EVI-Algorithmus { bei Annahme

von asymmetrisch verteilten Signalen untersucht. Alsdann wird das genaueste MA-

Parametersch�atzverfahren dem EVI-Algorithmus anhand der schon bekannten bipola-

ren Signale (vgl. S. 60) gegen�ubergestellt.

3.2.8 Rechnergest�utzte Simulationen bei asymmetrisch ver-

teilten Signalen

Zur rechnergest�utzten Simulation wurden R = 100 Realisierungen zr(k), r = 0(1)R�1,

k = 0(1)K � 1 eines Weissen Rauschens mit einer Datenl�ange K = 1024 erzeugt.


Als Dichtefunktion des aus unabh�angigen Zufallsvariablen bestehenden Zufallsprozesses

Z(k) wurde eine Exponentialverteilung gew�ahlt

fZ(z) =

8<: e�(z�1) z � �1

0 sonst,

deren Momente gleich

EfZ(k)g = 0; E

nZ2(k)

o= 1; E

nZ3(k)

o= 2

sind, so da� aufgrund der Asymmetrie von fZ(z) die Kumulantenordnungen mit N = 3

und M = 2 niedrig gehalten werden konnten (siehe auch S. 82). S�amtliche zr(k),

r = 0(1)99 wurden entweder mit einem nichtrekursiven System erster oder f�unfter

Ordnung ge�ltert. Folglich konnten die Ausgangssignale xr(k) als Realisierungen eines

MA(1)- oder MA(5)-Prozesses X(k) aufgefa�t werden. Die Beschr�ankung auf Systeme

erster oder f�unfter Ordnung hat neben der Zielsetzung einer zwar repr�asentativen, aber

keineswegs umfassenden rechnergest�utzten Untersuchung folgende zwei Gr�unde:

� Bei dem System erster Ordnung wurde der MA-Parameter b1 zwischen �5(0:1)5variiert, so da� anhand der Verl�aufe des systematischen Fehlers und der Standard-

abweichung als Funktion von b1 gewisse Eigenschaften der verschiedenen Metho-

den zu erkennen sind. Mitunter sind einige dieser Eigenschaften auch schon bei

der Herleitung der jeweiligen Methoden aufgezeigt worden und �nden damit bei

dieser rechnergest�utzten Simulation eine anschauliche Best�atigung.

� Zur Demonstration der Tauglichkeit der Methoden bei MA-Modellen h�oherer Ord-

nung als eins wurde ein h�au�g in der Literatur angegebenes MA(5)-Modell ver-

wendet. Weitere rechnergest�utzte Simulationen, insbesondere von MA(2)-Model-

len, sind in [128] angegeben.

MA(1)-Modell

Hier und auch im folgenden Beispiel wurde die einzig w�ahlbare Modulationskreisfre-

quenz � entweder zu � oder zu 3 gew�ahlt. Wie schon gezeigt, ist durch die Wahl von

� = � eine Nullstelle bei z0 = �1, die dem MA-Parameter b1 = 1 entspricht, nicht

korrekt identi�zierbar. Dieser E�ekt ist anhand der nachfolgenden Bilder deutlich zu er-

kennen, in denen die gesch�atzte Standardabweichung und der gesch�atzte systematische

Fehler dargestellt sind. Die Anzahl L der zur verbesserten �N;M -Sch�atzung hinzugezo-

genen Spektralwerte wurde stets zu L = 16 gew�ahlt.


-5 -3 -1 1 3 5-0.5

-0.2

0

0.2

0.5

-5 -3 -1 1 3 50

0.1

0.3

0.5

b1 - b1 -

B

nb1;cqk

oB

nb(1)1;GM

oB

nb(2)1;GM

oB

nb(3)1;GM

oB

nb(1;�=�)1;mod1

o

6

�b1;cqk

�b(1)

1;GM

�b(2)1;GM

�b(3)

1;GM

�b(1;�=�)

1;mod1

6

Gesch�atzter systematischer Fehler Gesch�atzte Standardabweichung

Bild 3.3a Gesch�atzter systematischer Fehler und gesch�atzte Standard-

abweichung beim MA(1)-Modell in Abh�angigkeit des MA-

Parameters b1 (b1;cqk fettgedruckte durchgezogene Linien,

b(1)1;GM strichpunktierte Linien, b(2)1;GM d�unngedruckte durchge-

zogene Linien, b(3)1;GM gestrichelte Linien, b(1;�=�)1;mod1gepunktete

Linien).

-5 -3 -1 1 3 5-0.5

-0.2

0

0.2

0.5

-5 -3 -1 1 3 50

0.1

0.3

0.5

b1 - b1 -

B

nb(1;�=3)1;mod1

o

B

nb(2;�=�)1;mod1

o

B

nb(2;�=3)1;mod1

o

B

nb(3;�=�)1;mod1

o

6

�b(1;�=3)

1;mod1

�b(2;�=�)

1;mod1

�b(2;�=3)

1;mod1

�b(3;�=�)1;mod1

6


Bild 3.3b Gesch�atzter systematischer Fehler und gesch�atzte Standard-


Parameters b1 (b(1;�=3)1;mod1fettgedruckte durchgezogene Linien,

b(2;�=�)1;mod1

strichpunktierte Linien, b(2;�=3)1;mod1d�unngedruckte durch-

gezogene Linien, b(3;�=�)1;mod1

gestrichelte Linien).


-5 -3 -1 1 3 5-0.5

-0.2

0

0.2

0.5

-5 -3 -1 1 3 50

0.1

0.3

0.5

b1 - b1 -

B

nb(3;�=3)1;mod1

o

B

nb(�=�)1;mod2

o

B

nb(�=3)1;mod2

o

B

nb1;mod3

o

6

�b(3;�=3)

1;mod1

�b(�=�)

1;mod2

�b(�=3)

1;mod2

�b1;mod3

6


Bild 3.3c Gesch�atzter systematischer Fehler und gesch�atzte Standard-


Parameters b1 (b(3;�=3)1;mod1

fettgedruckte durchgezogene Linien,

b(�=�)1;mod2

strichpunktierte Linien, b(�=3)1;mod2

d�unngedruckte durch-

gezogene Linien, b1;mod3 gestrichelte Linien).

Der zuerst angegebene Sch�atzer b1;cqk (siehe Bild 3.3a) ist wieder sowohl hinsichtlich

des gesch�atzten systematischen Fehlers als auch der gesch�atzten Standardabweichung

bis auf den Parameterwert b1 � 1 am ungenauesten. Hingegen best�atigt sich das zu-

letzt angegebene Verfahren (b1;mod3) als die genaueste Methode. Dies ist deutlich zu

erkennen f�ur betragsm�a�ig gro�e Parameterwerte (jb1j > 3), bei denen der gesch�atz-

te systematische Fehler aller anderen Methoden entweder steil ansteigt oder heftig

oszilliert. Lediglich die gesch�atzte Standardabweichung des Parametersch�atzers b(1;�=3)1;mod1

weist einen zu �b1;mod3vergleichbaren Verlauf auf. Als einziger Schwachpunkt der b1;mod3

entsprechenden Methode ist die gro�e gesch�atzte Standardabweichung in der N�ahe von

b1 = 1 zu erkennen. Dabei ist aber zu beachten, da� der gesch�atzte systematische Feh-

ler an dieser Stelle nur geringf�ugig erh�oht ist. Wie schon erl�autert, ist dieses Verhalten

auf die unvermeidbare Wahl von � = � zur�uckzuf�uhren.

MA(5)-Modell

Die nachfolgende Tabelle 3.1 zeigt die Ergebnisse im Falle eines MA(5)-Modelles mit

den in der zweiten Zeile angegebenen wahren Parameterwerten. In der dritten bis sieb-

ten Spalte sind entweder die sich aus R = 100 Realisierungen ergebenden Mittelwerte�b� oder Standardabweichungen �b� der in der ersten Spalte angegebenen Sch�atzer zu

�nden. Die vorletzte Spalte enth�alt einen �uber alle gesch�atzten Parameter gemittelten


systematischen Fehler

B

nb�o=

1

5

5X�=1

��b� � b�

�

und entsprechend auch eine mittlere gesch�atzte Standardabweichung

S

nb�o=

1

5

5X�=1

�b�:

Um ferner einen einfachen Vergleich s�amtlicher Sch�atzer miteinander zu erm�oglichen

(vgl. dazu auch die Anmerkungen zu Gleichung (2.5)), ist in der letzten Spalte der

gesch�atzte erwartete quadratische Fehler

M

nb�o= B

nb�o2

+ S

nb�o2

angegeben.

O�enbar best�atigen sich die in dem ersten Beispiel gesammelten Erkenntnisse. Die

einfache Methode der Division zweier Autokumulantenfolgen weist wieder einen erheb-

lichen systematischen Fehler und eine derart hohe Standardabweichung auf, da� dieser

Methode keinerlei praktische Relevanz zuzumessen ist. Auch der Einsatz der zu b(2)�;GM,

b(3)�;GM und b

(2;�=�)�;mod1

, b(3;�=�)�;mod1

korrespondierenden Methoden ist �au�erst fragw�urdig, wenn-

gleich die beiden letzten Parametersch�atzer durch geringf�ugige �Anderung der Modulati-

onskreisfrequenz von � = � auf � = 3 erheblich genauer werden. Unter diesen Aspekten

gewinnt das hervorragende Ergebnis des in der obigen Tabelle zuletzt angef�uhrten Ver-

fahrens, welches auch die Wahl von � = � erfordert, nochmals an Bedeutung. Damit

best�atigt sich die Notwendigkeit eines m�oglichst genauen �N;M-Sch�atzwertes. Ferner ist

zu beachten, da� die den Parametersch�atzern b(1;�=�)�;mod1

, b(1;�=3)�;mod1entsprechende Methode

auch von akzeptabler Genauigkeit ist, w�ahrend ihr numerischer Aufwand im Vergleich

zu der besten Methode um mehr als die H�alfte reduziert ist. Nicht zuletzt aus die-

sem Grund wird gegen Ende des Kapitels eine Erweiterung gerade dieser Methode zur

Identi�kation zeitvarianter MA(q)-Modelle vorgeschlagen.


b1 b2 b3 b4 b5Sch�atzer

0.1 -1.87 3.02 -1.43 0.49B f:::g� S f:::g M f:::g

�b�;cqk 2.45 -0.239 -1.86 3.549 -3.99

b�;cqk�b�;cqk 31.38 34.24 71.13 55.42 40.46

3.663�46.53 2178

�b(1)

�;GM 0.027 -0.616 1.081 -0.394 0.234b(1)�;GM �

b(1)

�;GM

1.211 1.147 1.468 1.191 0.6970.912�1.143 2.137

�b(2)

�;GM -0.489 -0.515 2.757 -1.617 0.307b(2)�;GM �

b(2)

�;GM

11.38 10.28 12.46 7.635 3.1030.515�8.971 80.75

�b(3)

�;GM -0.325 -0.585 2.124 -1.147 0.178b(3)�;GM �

b(3)

�;GM

8.093 7.303 8.860 5.449 2.2300.642�6.387 41.21

�b(1;�=�)

�;mod10.147 -1.549 2.380 -1.061 0.244

b(1;�=�)�;mod1 �

b(1;�=�)

�;mod1

0.438 0.767 0.999 1.120 0.6280.324�0.790 0.729

�b(1;�=3)

�;mod10.035 -1.437 2.288 -1.093 0.336

b(1;�=3)�;mod1 �

b(1;�=3)

�;mod1

0.321 0.465 0.779 0.865 0.3850.344�0.563 0.436

�b(2;�=�)

�;mod10.748 -3.552 4.880 -2.338 0.624

b(2;�=�)�;mod1 �

b(2;�=�)

�;mod1

2.306 7.186 9.714 7.024 1.9881.046�5.644 32.95

�b(2;�=3)

�;mod10.259 -2.204 3.078 -1.099 0.207

b(2;�=3)�;mod1 �

b(2;�=3)

�;mod1

1.091 2.065 2.303 1.619 0.6230.233�1.540 2.427

�b(3;�=�)

�;mod10.447 -2.550 3.630 -1.700 0.434

b(3;�=�)�;mod1 �

b(3;�=�)

�;mod1

1.174 3.538 4.794 3.418 0.9970.393�2.784 7.906

�b(3;�=3)

�;mod10.147 -1.821 2.683 -1.096 0.272

b(3;�=3)�;mod1 �

b(3;�=3)

�;mod1

0.510 1.049 1.152 0.640 0.3170.1972�0.734 0.577

�b(�=�)

�;mod20.194 -1.04 1.932 -1.038 0.418

b(�=�)�;mod2 �

b(�=�)

�;mod2

0.430 1.141 1.527 0.893 0.3700.535�0.872 1.047

�b(�=3)

�;mod2-0.345 -0.808 1.707 -0.827 0.400

b(�=�)�;mod2 �

b(�=3)

�;mod2

0.276 0.721 0.955 0.532 0.2310.703�0.543 0.788

�b�;mod3 0.043 -1.631 2.659 -1.190 0.370

b�;mod3 �b�;mod30.270 0.501 0.611 0.370 0.357

0.2207�0.4018 0.210

Tabelle 3.1 Gesch�atzte mittlere Parameterwerte und deren Standardab-

weichungen bei einem MA(5)-Modell.


3.2.9 Rechnergest�utzte Simulationen bei symmetrisch ver-

teilten Signalen

Zur weiteren rechnergest�utzten Simulation wurden nun R = 100 Realisierungen zr(k),

r = 0(1)R� 1, k = 0(1)K � 1 eines Weissen Rauschens mit einer Datenl�ange K = 142

erzeugt. Die geringe Datenl�ange dient der Best�atigung eines m�oglichen Einsatzes von

Kumulanten zweiter und vierter Ordnung in der Mobilfunktechnik; das derzeit weltweit

dominierende, sogenannte GSM-System (engl. Global System for Mobile Communica-

tion) basiert auf derart kurze Datenbl�ocke.

Als Dichtefunktion des aus unabh�angigen Zufallsvariablen bestehenden Zufallspro-

zesses Z(k) wurde jetzt die einem bipolaren Signal entsprechende diskrete Verteilung

gew�ahlt

fZ(z) =1

2(�(z � 1) + �(z + 1))

deren Momente gleich

EfZ(k)g = 0; E

nZ2(k)

o= 1; E

nZ3(k)

o= 0; E

nZ4(k)

o= 1

sind. Aufgrund der Symmetrie von fZ(z) wurden daher die Kumulantenordnungen zu

N = 4 und M = 2 gesetzt (siehe auch S. 82).

S�amtliche zr(k), r = 0(1)99 wurden wieder mit einem nichtrekursiven System er-

ster Ordnung ge�ltert. Folglich konnten die Ausgangssignale xr(k) als Realisierungen

eines MA(1)-Prozesses X(k) aufgefa�t werden. Aufgrund der Ausf�uhrungen auf S. 133

wurde ausschlie�lich das zu dem Index mod3 korrespondierende, auf modulierte Mo-

mente beruhende Verfahren dem EVI-Algorithmus gegen�ubergestellt. Zu beachten ist

ferner, da� der EVI-Algorithmus aufgrund der unbekannten Verz�ogerung k0 ein Syn-

chronisationsproblem beinhaltet. Tats�achlich mu�ten daher die wahren MA-Parameter

bk, k = 1(1)q zur Auswahl der gesch�atzten Parameter bk, k = 1(1)q aus b hinzugezogen

werden. Dies geschah im Sinne eines minimalen quadratischen Fehlers. Ferner wurden

die beiden Modulationskreisfrequenzen im folgenden stets zu � gew�ahlt.


MA(1)-Modell

In dem nachfolgenden Bild ist wieder der gesch�atzte systematische Fehler und die

gesch�atzte Standardabweichung dargestellt.

−5 −3 −1 1 3 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−5 −3 −1 1 3 50

0.5

1

1.5

2

b1 - b1 -

B

nb1;EVI

oB

nb1;mod3

o6

�b1;EVI

�b1;mod3

6


Bild 3.4 Gesch�atzter systematischer Fehler und gesch�atzte Standard-


Parameters b1 (b1;EVI durchgezogene Linien, b1;mod3 gestrichel-

te Linien).

Es ist deutlich zu erkennen, da� beide Verfahren bei den Parameterwerten b1 = �1versagen. Im Falle des EVI-Algorithmus ist dieses Verhalten in gewisser Weise verst�and-

lich, da die Impulsantwort h(k) = bk f�ur b1 = �1 betragsm�a�ig zwei Maxima aufweist.

Das Referenzsystem ist anscheinend nicht in der Lage diese auszugleichen. Bei dem

auf modulierte Momente beruhenden Verfahren ist die ungenaue Parametersch�atzung

bei b1 = 1 erkl�arlich, jedoch h�alt sich { wie auch schon bei asymmetrischen Signa-

len { der gesch�atzte systematische Fehler in Grenzen. Im Ursprung b1 = 0 versagt

die mod3-Methode g�anzlich; dies liegt an der dann fehlerhaft angenommenen Mo-

dellordnung q = 1 obwohl f�ur b1 = 0 die Modellordnung q = 0 ist. Hingegen weist

der EVI-Algorithmus kein derartiges Verhalten auf. Gerade im Ursprung strebt die

gesch�atzte Standardabweichung sogar gegen Null. Diese Beobachtung verdeutlicht die

Unemp�ndlichkeit der auf einem Eigenvektoransatz beruhenden Methode im Vergleich

zu den sonstigen Methoden. Auf diese Eigenschaft wird im n�achsten Beispiel nochmals

eingegangen. F�ur die verbleibenden Parameterwerte ist das auf modulierte Momente

beruhende Verfahren dem EVI-Algorithmus jedoch meistens �uberlegen.

Das nachfolgende Bild zeigt die Abh�angigkeit der beiden Verfahren im Falle ei-


ner Modellordnungsfehlsch�atzung. Der einzige Unterschied zu dem vorherigen Beispiel

besteht in der Annahme einer Modellordung von q = 1; 2; 3 obwohl die wahre Modell-

ordnung weiterhin gleich eins war.

−5 −3 −1 1 3 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

−5 −3 −1 1 3 50

0.5

1

1.5

2

b1 - b1 -

B

nb1;EVI

oB

nb1;mod3

o6

�b1;EVI

�b1;mod3

6


Bild 3.5 Gesch�atzter systematischer Fehler und gesch�atzte Stan-

dardabweichung beim MA(1)-Modell in Abh�angigkeit des

MA-Parameters b1 und einer Modellordnungs�ubersch�atzung

(b1;EVI: q = 1 d�unngedruckte durchgezogene Linien, q = 2

normalgedruckte durchgezogene Linien, q = 3 fettgedruck-

te Linien; b1;mod3 : q = 1 d�unngedruckte gestrichelte Linien,

q = 2 normalgedruckte gestrichelte Linien, q = 3 fettgedruck-

te gestrichelte Linien).

Es ist zu erkennen, da� die auf modulierte Momente beruhende Methode mit stei-

gender Ordnungsfehlsch�atzung deutlich an Genauigkeit verliert, wohingegen der EVI-

Algorithmus nahezu unabh�angig von der Modellordnung ist. Ein eindeutiges Urteil,

welches der beiden Verfahren nun vorzuziehen ist, f�allt somit schwer. Folglich ist stets

eine fallspezi�sche Pr�ufung, insbesondere durch Einbeziehung von hier nicht vorgestell-

ten Verfahren zur Modellordnungssch�atzung, ratsam.

3.2.10 Ausblick

Zusammenfassend l�a�t sich feststellen, da� durch Einf�uhrung der summierten modu-

lierten Autokumulantenfolgen gleich mehrere Verfahren zur MA-Parametersch�atzung

abgeleitet wurden, die im Vergleich zu herk�ommlichen Methoden { mit Ausnahme

des EVI-Algorithmus { erheblich genauere Sch�atzungen liefern. Obwohl einige im Zu-


sammenhang mit dem Modulationsansatz stehende Aspekte hier eingehend behandelt

wurden (z. B. die Wahl der Modulationskreisfrequenzen), verbleiben noch zahlreiche

weitere Fragen, deren umfassende Kl�arung einerseits den Rahmen dieser Schrift deut-

lich �ubersteigen w�urde und andererseits Gegenstand aktueller Forschungsarbeiten sind.

Zu den bereits gr�o�tenteils gel�osten Problemen z�ahlt die Frage, wie die Modulati-

onskreisfrequenz � f�ur N = 3 und M = 2 einzustellen ist. Auch wenn die Varianz der

Parametersch�atzer als Funktion von � derart aufwendig ist, da� eine analytische Be-

rechnung eines optimalen � durch Ableitung ohne Rechnerunterst�utzung aussichtslos

ist, konnte dennoch durch umfassende rechnergest�utzte Simulationen und durch Aus-

wertung dieser komplexen Varianzgleichung (siehe [248]) als geeignete Wahl �opt � 3

best�atigt werden.

Zudem ist weitestgehend bekannt, inwieweit eine Auswertung der auf dem Mo-

dulationsansatz beruhenden Gleichungen f�ur mehrere verschiedene Modulationskreis-

frequenzen und die so gewonnenen zus�atzlichen Gleichungen zur Erh�ohung der Para-

metersch�atzgenauigkeit n�utzlich sein k�onnen. Bei Wahl nur einer Modulationskreis-

frequenz wird o�enbar eine ganz bestimmte Linie der Autokumulantenspektren N -

ter bzw. M -ter Ordnung zur Parametersch�atzung hinzugezogen, so da� durch meh-

rere Modulationskreisfrequenzen auch mehr spektrale Informationen in die Parame-

tersch�atzung hinein ie�en und demzufolge eine genauere Sch�atzung zu erwarten ist. Es

zeigte sich aber anhand umfassender rechnergest�utzter Simulationen, da� der erwarte-

te quadratische Parametersch�atzfehler mit zunehmender Zahl an Modulationskreisfre-

quenzen zwar geringf�ugig kleiner wurde, jedoch dies immer entweder auf Kosten des

systematischen Fehlers oder der Standardabweichung zu beobachten war. Da ferner die

Hinzunahme nur einer Modulationskreisfrequenz schon eine Verdoppelung des numeri-

schen Aufwandes bedeutet, ist eine solche Erweiterung der oben genannten Methoden

nur bei gen�ugender Rechenleistung zu empfehlen.

Dar�uberhinaus wurde auch versucht, die Autokumulantenfolge vierter Ordnung ne-

ben denen zweiter und dritter Ordnung zur Parametersch�atzung zu verwenden. Es

konnten zwar entsprechende lineare Gleichungssysteme abgeleitet werden, jedoch zeig-

ten rechnergest�utzte Simulationen unter Umst�anden erhebliche Genauigkeitseinbu�en.

Dennoch ist einsichtig, da� die zus�atzliche Information nur besser genutzt werden mu�,

um zu einer genaueren Sch�atzung zu gelangen.

Eine weitere, noch keineswegs befriedigend gel�oste Aufgabenstellung besteht in der

Verallgemeinerung des Modulationsansatzes zur Identi�kation mehrkanaliger Systeme.

Dieses, in der Forschung immer mehr Beachtung �ndende Problem (siehe auch z. B.

[105], [121], [120], [156], [200], [202], [221], [228]), eignet sich insbesondere zur Modellie-


rung von �Ubertragungskan�alen mit voneinander unabh�angigen Sendesignalen und im

allgemeinen voneinander abh�angigen Empfangssignalen. Zur Verf�ugung stehen I Rea-

lisierungen xi(k), i = 0(1)I � 1, k = 0(1)K � 1 der Zufallsprozesse Xi(k) am Ausgang

des im Bild 3.6 dargestellten mehrkanaligen linearen zeitinvarianten Systems.

e - - e

e - - e

e - - e

hji(k)

j = 1(1)J

i = 1(1)I

Z1(k) X1(k)

X2(k)

XI(k)

Z2(k)

ZJ (k)

Bild 3.6 Mehrkanaliges lineares zeitinvariantes System.

Dabei sind Zj(k), j = 1(1)J voneinander unabh�angige Weisse Rauschprozesse N -ter

und M -ter Ordnung, und die Zahl der Ausgangsprozesse ist gr�o�er gleich der Zahl der

Eingangsprozesse (I � J). Aufgabe ist nun, alle in der Faltung

Xi(k) =JXj=1

1X�=�1

hji(�) Zj(k � �)

enthaltenen Impulsantworten hji(k) anhand der bekannten Realisierungen xi(k) zu be-

stimmen. Ist die Impulsantwort endlich, so kann Xi(k), i = 1(1)I als mehrkanaliger

MA-Proze� aufgefa�t werden. Demzufolge ist auch hier der Modulationsansatz zur

L�osung dieses Problems prinzipiell geeignet. Jedoch zeigt die schon seit langem aus-

stehende Verallgemeinerung des auf Diagonalen der Autokumulantenfolgen beruhen-

den Verfahrens f�ur mehrkanalige Modelle die Schwierigkeit eines solchen Vorhabens.

Trotzdem konnten k�urzlich erste lineare Gleichungssysteme, sowohl basierend auf dem

Modulationsansatz als auch unter Verwendung von Diagonalen der Autokumulanten-

folge, f�ur symmetrische Systeme (hji(k) = hij(k)) mit zwei Eing�angen und beliebig

vielen Ausg�angen zur Bestimmung von hii(k) abgeleitet werden ([240], [247]). Die ver-

bleibende Sch�atzung der Impulsantworten hji(k), i 6= j und die Erweiterung dieser

Gleichungssysteme auch auf asymmetrische Systeme mit J Eing�angen sind Gegenstand

weiterer Forschungsaktivit�aten.

Nachdem nun einerseits die Antworten auf hier nicht ausf�uhrlich behandelte, aber

dennoch bereits gel�oste Fragestellungen gegeben worden sind und andererseits die noch


ausstehenden Probleme aufgezeigt wurden, wird nun die einen wesentlichen Schwer-

punkt dieser Schrift bildende MA-Parametersch�atzung beendet. Zum Abschlu� dieses

Kapitels werden Methoden zur Parametersch�atzung von ARMA(pi,pa,q)-Modellen mit

Statistiken h�oherer Ordnung aufgezeigt.

3.3 ARMA(pi,pa,q)-Modelle

Zur Identi�kation von den durch die Di�erenzengleichung (siehe (3.2))

X(k) = Z(k) +qX

�=1

b� Z(k � �)�piX

l=�pal6=0

al X(k � l)

beschriebenen ARMA(pi,pa,q)-Modellen existieren zahlreiche, auf Statistiken h�oherer

Ordnung basierende Verfahren (siehe z. B. [106], [108], [147], [164], [174], [176], [218],

[220]), die sich in lineare und nichtlineare Methoden aufteilen lassen, wobei auf letztere

aus den schon erw�ahnten Gr�unden nicht n�aher eingegangen werden kann (siehe hierzu

auch die Bemerkungen auf den Seiten 33, 98, 109). Da anzunehmen ist, da� bei einer

Erweiterung des sich im Vergleich zu vielen anderen Verfahren imMA(q)-Fall auszeich-

nenden Modulationsansatzes auf das ARMA(pi,pa,q)-Modell �ahnliche Vorz�uge zu er-

warten sind, wird im folgenden ein allgemeiner Ansatz hierzu vorgestellt. Anschlie�end

wird ein Sonderfall des ARMA(pi,pa,q)-Modells { das sogenannte Allpa�(p)-Modell {

mit Hilfe des Modulationsansatzes identi�ziert.

Das erste Verfahren basiert auf einer getrennten Sch�atzung der AR- und der MA-

Parameter. Bei der zweiten Methode wird das ARMA-Modell in eine Reihenschaltung

eines minimalphasigen Systems, das mit Statistiken zweiter Ordnung eindeutig zu iden-

ti�zieren ist, und eines Allpasses zerlegt, der entweder nichtkausal und/oder nichtmi-

nimalphasig ist und somit zur Identi�kation Statistiken h�oherer Ordnung ben�otigt.

3.3.1 Separationsansatz

Es l�a�t sich leicht zeigen, da� die f�ur AR(pi,pa)-Modelle hergeleitete Gleichung (3.5)

im Falle eines ARMA(pi,pa,q)-Modells

rX(pa � j) = �piX

l=�pal6=0

al rX(pa + l� j); j � q + 1 (3.93)

anstelle von j � 0 nun nur f�ur j � q + 1 G�ultigkeit hat. Dies hat folgende anschauli-

che Begr�undung: Das ARMA(pi,pa,q)-Modell l�a�t sich in ein AR(pi,pa)-Modell und ein

3.3 ARMA(pi,pa,q)-Modelle 141

nachgeschaltetes nichtrekursives System q-ter Ordnung aufteilen. Unter Ber�ucksichti-

gung der bei der Einf�uhrung des MA(q)-Prozesses (s. S. 110) gewonnenen Erkennt-

nis, da� ein nichtrekursives System q-ter Ordnung nur eine statistische Abh�angigkeit

zwischen den Zufallsvariablen X(k) und X(k � l), l = 1(1)q des Ausgangsprozesses

erzeugen kann, wird die Forderung j � q + 1 verst�andlich.

Die Auswertung von (3.93) f�ur j = q+1(1)J , J � pa+pi+ q liefert dann analog zu

(3.6) wiederum ein lineares Gleichungssystem. Nach dem Ersetzen von rX(�) durch die

aus der gegebenen Realisierung x(k) des ARMA(pi,pa,q)-Prozesses X(k) berechneten

Sch�atzung rX(�), � = �J(1)pa + pi � q � 1 und durch L�osung des entsprechenden

Gleichungssystems (vgl. (3.11), (3.15)) k�onnen s�amtliche au�erhalb des Ursprungs lie-

genden Polstellen des ARMA(pi,pa)-Modells bis auf eine betragsm�a�ig reziproke Lage

bei gleicher Phase bestimmt werden. Alsdann ist mit den unter Punkt 1 auf S. 103

erl�auterten Ans�atze die korrekte Polstellenlage zu ermitteln, so da� schlie�lich aus die-

sen Polstellen eine Sch�atzung al, l = �pa(1)pi, l 6= 0 der AR-Parameter berechnet

werden kann.

Zur Sch�atzung der noch ausstehenden q MA-Parameter b�, � = 1(1)q wird die

gegebene Realisierung x(k) mit einem durch die Di�erenzengleichung

y(k) =piX

l=�pa

al x(k � l)

beschriebenen System ge�ltert, so da� y(k) gem�a� Gleichung (3.2) o�enbar einer Rea-

lisierung y(k) des durch

Y (k) = Z(k) +qX

�=1

b� Z(k � �)

de�nierten Zufallsprozesses recht nahe kommt. Da somit y(k) als bekannte Realisierung

eines MA(q)-Prozesses aufgefa�t werden kann, k�onnen die MA-Parameter b� mit den

im vorigen Abschnitt ausf�uhrlich erl�auterten Methoden gesch�atzt werden.

Bevor nun das Allpa�-Modell als Sonderfall eines ARMA-Modells behandelt wird,

sei abschlie�end festgestellt, da� mit obigem Verfahren eine g�anzlich lineare Methode

zur Identifkation auch nichtkausaler nichtminimalphasiger ARMA-Modelle zur Verf�u-

gung steht.

3.3.2 Allpa�(p)-Modelle

Bekanntlich kann jedes nichtminimalphasige System in eine Reihenschaltung aus einem

minimalphasigen System und einem Allpa� zerlegt werden (z. B. [251], S. 79). Folg-


lich ist der minimalphasige Anteil ausschlie�lich mit Statistiken zweiter Ordnung zu

identi�zieren, wohingegen Statistiken h�oherer Ordnung entsprechend ihrer Eigenschaft

der Erhaltung der Phaseninformation zur Identi�kation des allpa�haltigen Anteils ver-

wendet werden k�onnen. Auch in der technischen Anwendung ist das Allpa�(pi)-Modell,

welches durch die Di�erenzengleichung

X(k) = Z(k � p) +p�1Xl=0

ap�l Z(k � l)�pXl=1

al X(k � l); al 2 IR (3.94)

mit dem Weissen Rauschen Z(k) als Eingangsproze� beschrieben wird, durchaus von

Nutzen. Als Beispiele sind hier Arbeiten auf dem Gebiet der Sprachverarbeitung [71]

und der Seismologie [184] oder g�anzlich theoretischer Natur (z. B. [70], [131], [132])

genannt.

Die dem Allpa�(p)-Modell entsprechende Systemfunktion lautet

HAP (z) =A(z�1)

A(z)z�p (3.95)

mit

A(z) = 1 +pXl=1

al z�l: (3.96)

Damit berechnet sich das Autokumulantenspektrum N -ter Ordnung, ausgewertet an

den Modulationskreisfrequenzen �n, n = 2(1)N�1 und ��1 (vgl. auch (3.39), (3.40))zu

CX;N(ej(��1); e�j�2; :::; e�j�N�1) =

cZ;N (0; :::; 0)H�AP (e

j(�N�1Pn=1

�n)

)HAP (ej(��1))

N�1Yn=2

HAP (e�j�n): (3.97)

Einsetzen von (3.95) in (3.97), Substitution von � �1 durch 0 und anschlie�endes

Umbenennen von 0 zu f�uhrt zu

A(e j)A(e�j

��

N�1Pn=2

�n

�) CX;N(e

j; e�j�2; :::; e�j�N�1) =

�AP A(e�j)A(ej

��

N�1Pn=2

�n

�) (3.98)

mit

�AP = cZ;N (0; :::; 0)N�1Yn=2

A(e j�n)

A(e�j�n): (3.99)


Basierend auf Gleichung (3.98) kann durch �Ubergang in den Zeitbereich ein lineares

Gleichungssystem aufgestellt werden, wobei zu beachten ist, da� die Modulationskreis-

frequenzen stets den Bedingungen

N�1Xn=2

�n 6= 2�l; l 2 Z (3.100a)

A(e j(��n)) 6= 0 (3.100b)

gen�ugen m�ussen. W�ahrend (3.100b) schon aufgrund der anzunehmenden Stabilit�at des

Systems immer erf�ullt sein mu�, ist die Notwendigkeit von (3.100a) durch Betrachtung

der linken und rechten Seite von Gleichung (3.98) sofort einsichtig. Ist n�amlich (3.100a)

verletzt, so k�urzen sich die Polynome A(e j) beziehungsweise A(e�j) in der Gleichung

(3.98) heraus, und das AutokumulantenspektrumN -ter Ordnung wird unabh�angig von

, so da� eine Allpa�parametersch�atzung nicht mehr m�oglich ist.

Durch Einf�uhrung der Gr�o�en (vgl. auch (3.50))

� =N�1Xn=2

�n (3.101a)

��(�) = F�1fA(e j)A(e�j(��))g =pXl=0

al al+� e�j�l (3.101b)

��(�) = F�1fA(e�j)A(e j(��))g =pXl=0

al al+� ej�(l+�); (3.101c)

l�a�t sich �uber die Faltung (siehe (3.52))

��(�) � d�X;N (�) = �AP ��(�)

und die leicht zu zeigenden Eigenschaften

��(��) = ��(�) e�j��

��(��) = ��(�) e�j��

die Di�erenzengleichung

��(0) d�X;N(�) +pXl=1

��(l)�d�X;N(�� l) + d�X;N(�+ l) e�j�l

�= �AP �

�(�)

ableiten. Beidseitige Division durch ��(l0), l0 6= 0 ergibt8

~��(0) d�X;N(�) +pXl=1l6=l0

~��(l)�d�X;N (�� l) + d�X;N (�+ l) e�j�l

�� AP ~��(�)

= �d�X;N(�� l0) � d�X;N (�+ l0) e�j�l0 (3.102)

8Nach geeignetem Umschreiben von (3.102) ist auch l0 = 0 m�oglich.


mit

~��(�) =��(�)

��(l0)

~��(�) =��(�)

��(l0);

so da� schlie�lich durch Auswertung von (3.102) f�ur � = ��M (1)�M , �M � p das

eingangs erw�ahnte lineare Gleichungssystem

CAP;N �AP = cAP;N (3.103)

mit

CAP;N =

0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@

d�X;N

(�kM ) � � � d�X;N

(�kM�p)+d�X;N

(�kM+p)e�j�c2p 0 � � � 0

d�X;N

(�kM+1) � � � d�X;N

(�kM+1�p)+d�X;N

(�kM+1+p)e�j�c2p 0 � � � 0

... � � � ...... � � � ...

d�X;N

(�p) � � � d�X;N

(�2p)+d�X;N

(0)e�j�c2 p 0 � � � e�j�c2p

... � � � ...... � � � ...

d�X;N

(�1) � � � d�X;N

(�1�p)+d�X;N

(�1+p)e�j�c2p 0 � � � 0

d�X;N

(0) � � � d�X;N

(�p)+d�X;N

(+p)e�j�c2p 1 � � � 0

d�X;N

(1) � � � d�X;N

(1�p)+d�X;N

(1+p)e�j�c2p 0 0

... � � � ......

...

d�X;N

(p) � � � d�X;N

(0)+d�X;N

(2p)e�j�c2p 0 � � � 1

... � � � ....... . .

...

d�X;N

(kM ) � � � d�X;N

(kM�p)+d�X;N

(kM+p)e�j�c2 p 0 � � � 0

1CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCA

(3.104a)

�AP =�~��(0); � � � ; ~��(p);��AP ~��(0); � � � ;��AP ~��(p)

�T(3.104b)

cAP;N =��d�X;N(�kM � l0)� d�X;N(�kM + l0) e

�j�l0; � � �

� � � ;�d�X;N(kM � l0)� d�X;N(kM + l0) e�j�l0

�T(3.104c)

angegeben werden kann. Bei gegebener Realisierung x(k), k = 0(1)K � 1 ergibt sich

nach dem Ersetzen der summierten modulierten Autokumulantenfolge d�X;N(�) durch

die Sch�atzung d�X;N(�) in (3.103) mittels der Methode der kleinsten Fehlerquadrate

(siehe auch Gleichung (2.63)) der Sch�atzer

�AP =�C

H

AP;NCAP;N

��1C

H

AP;N cAP;N ; (3.105)


so da� nun die Folgen ��(�) und ��(�) bis auf eine jeweils multiplikative Konstante

gesch�atzt werden k�onnen. Derartige Konstanten sind bei Systemen mit unbeobachtba-

rem Eingang nicht bestimmbar und sind damit f�ur die weitere Parametersch�atzaufgabe

auch ohne Bedeutung (vgl. auch S. 100). Von praktischem Interesse ist auch der Fall

eines zus�atzlichen additiven Gauss-verteilten Rauschens, so da� dann lediglich das

von diesem Rauschen �uberlagerte Allpa�ausgangssignal bekannt ist. O�enbar bleiben

die wahren Werte der Folgen ��(�) und ��(�) durch die ausschlie�liche Verwendung

von Autokumulantenfolgen h�oherer Ordnung N > 2 trotz dieses additiven Rauschens

unver�andert. Folglich ist die im nachfolgenden erl�auterte Methode auch in diesem Fall

zumindest theoretisch exakt anwendbar. Ist hingegen das Rauschen zwar nicht Gauss-

aber noch symmetrisch-verteilt, so bleibt auch dann die folgende Methode noch g�ultig,

solange nur die Ordnung N ungerade gew�ahlt wird.

Es verbleibt zu zeigen, wie aus den gesch�atzten Folgen ��(�) und �AP ��(�) die

gesuchten Allpa�parameter al, l = 1(1)p bestimmt werden k�onnen. Hierzu werden

zun�achst die Gleichungen (3.101b) und (3.101c) wie folgt umgeschrieben

��(�) = e j��=2pXl=0

�al e

�j�l=2� �

al+� e�j�(l+�)

�(3.106a)

��(�) = e j��=2pXl=0

�al e

j�l=2� �

al+� ej�(l+�)

�; (3.106b)

so da� sowohl ��(�) e�j��=2 als auch ��(�) e�j��=2 als Autokumulantenfolgen zweiter

Ordnung eines jetzt komplexwertigen MA(p)-Prozesses mit den nun komplexwertigen

Koe�zienten ale�j�l=2 bzw. ale j�l=2 interpretiert werden k�onnen (vgl. Gleichung (3.29)).

Folglich k�onnen nun im letzten Schritt Verfahren basierend auf Statistiken zweiter Ord-

nung zur Sch�atzung der Allpa�parameter verwendet werden. Diese gen�ugen durchaus,

da das Polynom A(z) und damit auch das den komplexwertigen Koe�zienten al e�j�l=2

entsprechende PolynomA�z e j�=2

�aufgrund der Stabilit�at des Allpasses nur Nullstellen

innerhalb des Einheitskreises aufweist und somit Mehrdeutigkeiten der Nullstellenlagen

durch fehlende Phaseninformation nicht auftreten k�onnen. Ein hierzu geeigneter An-

satz wird im folgenden anhand einer vollst�andigen Zusammenfassung dieser Methode

zur Allpa�parametersch�atzung kurz erl�autert.

Das Problem der Allpa�parametersch�atzung ist damit auf das schon bekannte Pro-

blem der MA-Parametersch�atzung zur�uckgef�uhrt worden. Es verbleibt lediglich die An-

gabe einer Methode zur Sch�atzung der Parameter auch komplexer MA-Modelle. Dazu

dienen die folgenden Betrachtungen.


Allpa�parametersch�atzung mit summierten modulierten

Autokumulantenfolgen h�oherer Ordnung

1. Wahl der Ordnung N der Autokumulantenfolge cX;N(�1; :::; �N�1) und

Sch�atzung derselben aus x(k), k = 0(1)K � 1 (vgl. (1.31)).

2. Wahl der Modulationskreisfrequenzen �n, n = 2(1)N�1, der die Glei-

chungsanzahl bestimmenden Gr�o�e �M , der SummationsgrenzeM (siehe

Gleichung (3.53)) und des die Normierung bestimmenden Wertes l0.

3. Sch�atzung der summierten modulierten Autokumulantenfolge N -ter

Ordnung

d�X;N (�) =MX

�2=�M

� � �MX

�N�1=�M

cX;N(�; :::; �N�1) ejN�1Pn=2

�n�n

(3.107)

und Ersetzen von d�X;N(�) durch d�X;N (�) in (3.103).

4. Berechnung von (siehe (3.105))

�AP =�C

H

AP;NCAP;N

��1C

H

AP;N cAP;N

und Sch�atzung der Folgen endlicher L�ange

��(�) = [�AP ]� ; � = 0(1)p

��(�) = [�AP ]�+p+1 ; � = 0(1)p

��(��) = ��(�) e�j��; � = 1(1)p

��(��) = ��(�) e�j��; � = 1(1)p:

5. Berechnung der Momentefolgen zweiter Ordnung eines komplexwertigen

MA(p)-Prozesses

r�(�) = ��(�) e�j��=2; � = �p(1)pr�(�) = ��(�) e�j��=2; � = �p(1)p:

6. Anwendung eines Verfahrens zur Sch�atzung auch komplexwertiger MA-

Parameter basierend auf r�(�) und r�(�).


Es l�a�t sich leicht zeigen, da� f�ur die Z-Transformierten R�(z) = Z fr�(�)g und

R�(z) = Z fr�(�)g gilt

R�(z) = c1 A(zej�2 )A(z�1e�j

�2 ); c1 2 C

R�(z) = c2 A(ze�j�

2 )A(z�1e j�2 ); c2 2 C:

Folglich besteht zu jeder Nullstelle z0 von R�(z) (bzw. R�(z)) innerhalb des Einheits-

kreises eine entsprechende Nullstelle 1=(z0 e j�) (bzw. 1=(z0 e�j�)) au�erhalb des Ein-

heitskreises.

Nach der Berechnung der Nullstellen der Z-Transformierten R�(z) und R�(z) sind

durch Zusammenfassen aller innerhalb des Einheitskreises liegenden Nullstellen und an-

schlie�ender inverserZ-Transformation der sich so ergebenden Polynome zwei Sch�atzun-

gen ~a�;l, ~a�;l, l = 0(1)p der Allpa�parameter al bis auf eine jeweils multiplikative Kon-

stante m�oglich. Da de�nitionsgem�a� a0 = 1 gilt (s. Gleichung (3.94)), lassen sich diese

multiplikativen Konstanten durch Division der gesch�atzen Parameter durch ~a�;0 bzw.

~a�;0 eliminieren. Schlie�lich ergeben sich f�ur die gesuchten Allpa�parameter die zwei

Sch�atzungen

a�;l =~a�;l

~a�;0; l = 1(1)p

a�;l =~a�;l

~a�;0; l = 1(1)p:

Es hat sich anhand umfangreicher rechnergest�utzter Simulationen herausgestellt [131],

da� der aus einer Mittelwertbildung hervorgehende Sch�atzer

a�+�;l =a�;l + a�;l

2; l = 1(1)p (3.107)

deutlich genauer als a�;l, a�;l ist. Aus diesem Grund wird im n�achsten Abschnitt aus-

schlie�lich a�+�;l betrachtet.

Obwohl diese Methode recht aufwendig erscheint, weist sie aufgrund ihrer Anpas-

sung an das Allpa�modell eine in der Regel hohe Parametersch�atzgenauigkeit auf. Diese

Eigenschaft wird im n�achsten Abschnitt anhand einiger rechnergest�utzter Simulationen

veranschaulicht. Vorab werden noch einige Bemerkungen zum tieferen Verst�andnis des

obigen Algorithmus angef�uhrt, und Erweiterungsm�oglichkeiten werden diskutiert.

Aufgrund der rekursiven Natur der den Allpa� beschreibenden Di�erenzengleichung

(3.94) ist nicht nur die Dauer der Impulsantwort hAP (k) = Z�1fHAP (z)g unendlich,

sondern wegen Gleichung (1.42) auch die der Autokumulantenfolgen N -ter Ordnung


mitN > 1. Demzufolge ist ein Abbruch der zur Berechung der summiertenmodulierten

Autokumulantenfolge unendlichen Summation (siehe Gleichung (3.53))

d�X;N (�) =MX

�2=�M

� � �MX

�N�1=�M

cX;N(�; :::; �N�1) ejN�1Pn=2

�n�n

unumg�anglich. Da aber diese unendliche Summation auch als an den Modulationskreis-

frequenzen �n, n = 2(1)N �1 ausgewertete Fourier-Transformierte aufgefa�t werden

kann, f�uhrt ein solcher Summenabbruch zu dem aus der Spektralsch�atzung bekannten

und unvermeidbaren Kompromi� zwischen einem entweder geringen systematischen

Fehler oder einer kleinen Varianz. Eine ausf�uhrliche Diskussion hierzu ist in [110] zu

�nden, mit dem Resultat, da� die SummationsbegrenzungM stets merklich kleiner als

die Datenl�ange K sein sollte.

Ferner sollte die die Anzahl an Gleichungen bestimmende Gr�o�e �M mindestens

gleich p gew�ahlt werden. Aus zahlreichen Simulationen hat sich �M � 2p als geeig-

net herausgestellt. Eine zu gro�e Wahl von �M f�uhrt zu der Verwendung von weit vom

Ursprung entferntenWerten der Autokumulantenfolge. Dies kann trotz vermehrter An-

zahl an Gleichungen zu Genauigkeitseinbu�en f�uhren, da mit wachsendemAbstand vom

Ursprung die stets kleiner werdende Zahl verwendbarer Werte von x(k) die Sch�atzung

der Autokumulantenfolge zunehmend ungenauer werden l�a�t (vgl. Gleichung (1.31)).

Die zur Normierung wichtige Gr�o�e l0 sollte gleich der Modellordnung p gew�ahlt

werden, denn nur bei diesemWert kann a-priori garantiert werden, da� ��(l0)��l0=p

= ap

ungleich Null ist.

Durch die Festlegung, die unabh�angige Frequenz nur in dem ersten Argument

des Autokumulantenspektrums N -ter Ordnung �uber � �1 zu ber�ucksichtigen, sind

��(�) und ��(�) als Automomentefolge zweiter Ordnung interpretierbar. Hingegen

k�onnen bei Hinzunahme der Frequenz im zweiten Argument des Autokumulanten-

spektrums N -ter Ordnung die Folgen ��(�) und ��(�) dann als Autokumulantenfolge

dritter Ordnung aufgefa�t werden. Die im Abschnitt 3.2 diskutierten Verfahren zur

MA-Parametersch�atzung sind dann nach geeigneter Modi�kation anwendbar. Jedoch

ist aufgrund der angenommenen Kausalit�at des hier untersuchten Allpasses und der

damit verbundenen Eigenschaft des Polynoms A(z�1), nur Polstellen innerhalb des

Einheitskreises aufzuweisen, die Phase der �Ubertragungsfunktion festgelegt. Folglich

sind die Automomentefolgen zweiter Ordnung v�ollig ausreichend zur Identi�kation der

Allpa�parameter. Insofern sind diese Erweiterungsm�oglichkeiten bisher nicht weiter un-

tersucht worden, da gem�a� der auf S. 82 erl�auterten grundlegenden Betrachtungen die

Ordnung N m�oglichst niedrig zu halten ist. Zudem wird ein eventuell additivesGauss-


verteiltes Rauschen schon zu Anfang der Methode durch das Autokumulantenspektrum

N -ter Ordnung (N > 2) unterdr�uckt. Unter diesemAspekt ist die Verwendung von Au-

tokumulantenfolgen dritter oder h�oherer Ordnung in den letzten Schritten der Methode

nicht n�otig.

Ein vielleicht aussichtsreicher, bisher nicht n�aher untersuchter Ansatz besteht in

der Auswertung von (3.102) f�ur verschiedene Modulationskreisfrequenzen �n, so da�

� =N�1Xn=2

�n

weiterhin konstant bleibt. Folglich werden trotz Beibehaltung der Folgen ��(�) und

��(�) mit jeder Variation der Modulationskreisfrequenzen im allgemeinen unterschied-

liche Linien des Autokumulantenspektrums N -ter Ordnung zur Parametersch�atzung

herangezogen. �Ubertragen auf das Gleichungssystem (3.103)

CAP;N �AP = cAP;N

ist sowohl die Matrix CAP;N als auch der Vektor cAP;N durch Variation der Modulati-

onskreisfrequenzen ver�andert, wohingegen �AP konstant bleibt. Folglich kann die Zahl

an Gleichungen bei gleichbleibender Zahl an Unbekannten erh�oht werden. Damit ist

die Parametersch�atzgenauigkeit vermutlich zu verbessern.

3.3.3 Rechnergest�utzte Simulationen

Wie auch im Abschnitt 3.2.8 wurden zur rechnergest�utzten Simulation R = 100 Rea-

lisierungen zr(k), k = 0(1)K � 1, r = 0(1)R � 1 eines exponentialverteilten Weissen

Rauschprozesses mit einer Datenl�ange K = 1024 erzeugt, so da� aufgrund der asym-

metrischen Dichtefunktion die Kumulantenordnung wieder zu N = 3 gew�ahlt wurde

(siehe auch S. 82).

Der Zielsetzung einer zwar repr�asentativen, aber keineswegs umfassenden rechner-

gest�utzten Untersuchung folgend, wurden s�amtliche zr(k), r = 0(1)99 mit einem re-

kursiven System erster Ordnung ge�ltert. Die Ausgangssignale xr(k) k�onnen dann {

je nach Wahl der Systemparameter { als Realisierungen entweder eines ARMA(1,0,1)-

oder eines Allpa�(1)-Modells aufgefa�t werden. Weitere als die vorgestellten Verfahren

werden hier nicht untersucht, da einerseits die auf Gleichung (3.93) basierende Methode

einen h�au�g anzutre�enden linearen Ansatz zur Identi�kation der AR-Parameter eines

ARMA-Modells darstellt und andererseits der in diesem Kapitel eingehend untersuchte

Modulationsansatz von hoher Sch�atzgenauigkeit f�ur die verbleibenden MA-Parameter


ist. Somit existiert also zur ARMA-Parametersch�atzung eine lineare Methode, die die

Vorz�uge zweier verschiedener Methoden miteinander vereint.

ARMA(1,0,1)-Modell

In diesem Beispiel wurde die Modulationskreisfrequenz zu � = � gew�ahlt, so da�

nach erfolgter AR-Parametersch�atzung der verbesserte �N;M -Sch�atzwert (siehe Ab-

schnitt 3.2.6) zur MA-Parametersch�atzung verwendet werden konnte. Dabei wurden

wieder (vgl. Abschnitt 3.2.8) L = 16 Spektralwerte zur �N;M-Sch�atzung hinzugezo-

gen. Ferner wurde die die Anzahl an Gleichungen bestimmende Gr�o�e zu J = 10

gew�ahlt. Der MA-Parameter b1 dieses Modells wurde zu b1 = �2 gesetzt, und der AR-

Parameter a1 = �0:98(0:02)0:98 wurde variiert. Die nachfolgenden Bilder zeigen den

gesch�atzten systematischen Fehler und die gesch�atzte Standardabweichung sowohl von

a1 (Bild 3.7a) als auch von b1 (Bild 3.7b) in Abh�angigkeit des AR-Parameters a1.

Aus den Bildern wird ersichtlich, da� mit betragsm�a�ig kleiner werdenden Parameter-

werten die Genauigkeit der Sch�atzung sinkt. Dieses Verhalten wird durch das im Fall

recht kleiner Parameterwerte schnelle Abklingen der Impulsantwort verst�andlich, da

gem�a� Gleichung (1.42) dann auch die Autokumulantenfolgen schnell abklingen und

damit weiter vom Ursprung entfernt liegende Werte nur noch wenig statistische Infor-

mation �uber den zugrundeliegenden AR-Proze� bzw. ARMA-Proze� beinhalten. Beach-

tenswert ist auch die Lage des sich in Ursprungsn�ahe be�ndlichen lokalen Maximums.

W�ahrend bei der MA-Parametersch�atzung aufgrund der Modellordnungsfehlsch�atzung

dieses lokale Maximum stets exakt im Ursprung (siehe die Bilder in Abschnitt 3.2.8)

auftrat, ist hier ein kleiner Versatz zu a1 � 0:2 beobachtbar. Dies l�a�t sich wie folgt an-

schaulich erkl�aren: Selbst wenn a1 = 0 gilt, ist der Ausgangsproze� X(k) bedingt durch

den MA-Parameter b1 = �2 weiterhin korreliert. Folglich ist ein von Null verschiedenerAR-Parameter denkbar, der diese Korrelation zwar nur geringf�ugig mindert, aber damit

zu der beobachteten Verschiebung des lokalen Maximums f�uhrt. Weitere Simulationen

mit verschiedenen Werten des MA-Parameters b1 best�atigten diese Erkl�arung.

Die der AR-Parametersch�atzung nachgeschaltete MA-Parametersch�atzung liefert

stets befriedigende Ergebnisse, solange nur der AR-Parameter hinreichend genau ge-

sch�atzt wird. Ferner ist zu erkennen, da� { wenngleich die gesch�atzte Standardabwei-

chung �b1 zwar etwas gr�o�er als �a1 ist { die MA-Parametersch�atzgenauigkeit dennoch

von der gleichen Gr�o�enordnung wie die AR-Parametersch�atzgenauigkeit ist. Ein sol-

ches Verhalten war, vor allem unter Ber�ucksichtigung der Einleitung zum Abschnitt

3.2, nicht zu erwarten und best�atigt damit den Modulationsansatz auch bei der Iden-


ti�kation von ARMA-Modellen.

-1 -0.5 0 0.5 1-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1 -0.5 0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

a1 - a1 -

B fa1g

6

�a1

6


Bild 3.7a Gesch�atzter systematischer Fehler und gesch�atzte Standard-

abweichung von a1 beim ARMA(1,0,1)-Modell in Abh�angig-

keit des AR-Parameters a1.

-1 -0.5 0 0.5 1-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-1 -0.5 0 0.5 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

a1 - a1 -

B

nb1o6

�b1

6


Bild 3.7b Gesch�atzter systematischer Fehler und gesch�atzte Standard-

abweichung von b1 beim ARMA(1,0,1)-Modell in Abh�angig-

keit des AR-Parameters a1.

Allpa�(1)-Modell

Da ein Allpa�modell einen Sonderfall eines ARMA-Modells darstellt, ist die auf Glei-

chung (3.93) basierende Methode auch zur Identi�kation eines Allpa�(p)-Modells ge-

eignet. Folglich besteht ein einfaches, h�au�g verwendetes Verfahren zum Vergleich mit


der im Abschnitt 3.3.2 abgeleiteten Allpa�identi�kationsmethode. Zur leichteren Un-

terscheidbarkeit werden die entsprechenden Parametersch�atzer daher als aARMA bzw.

aAP;l = a�+�;l bezeichnet. Bei der rechnergest�utzten Simulation wurde der Allpa�para-

meter a1 = �0:9(0:02)0:9 variiert. Ferner wurde ausschlie�lich die Autokumulantenfol-

ge dritter Ordnung N = 3 verwendet, die Modulationskreisfrequenz zu � = � gew�ahlt,

bei beiden Methoden wurden jeweils 5 Gleichungen (�M = 2p = 2) hinzugezogen, und

f�ur den die Normierung bestimmenden Wert galt l0 = p = 1. Zudem wurde die obere

Summationsgrenze zuM = 4p = 4 festgelegt. Eine derart feste obere Summationsgren-

ze besitzt den Nachteil, da� mit betragsm�a�ig zunehmendem Parameterwert ja1j dieParametersch�atzgenauigkeit nachl�a�t. Der Grund hierf�ur liegt wiederum in der mit zu-

nehmendem ja1j immer langsamer abklingenden Impulsantwort. Da gem�a� Gleichung

(1.42) dann auch die Autokumulantenfolgen langsam abklingen, f�uhrt eine feste obere

Summationsgrenze zu einem st�andig steigenden Fehler bei der Sch�atzung der summier-

ten modulierten Autokumulantenfolge d�X;3(�) (siehe auch Gleichung (3.107)). Dieses

Verhalten ist anhand der folgenden beiden Bilder deutlich zu erkennen.

-0.9 -0.5 0 0.5 0.9-0.5

-0.2

0

0.2

0.5

-0.9 -0.5 0 0.5 0.90

0.5

1

a1 - a1 -

B faAP;1g

B faARMA;1g

6

�aAP;1

�aARMA;1

6


Bild 3.8 Gesch�atzter systematischer Fehler und gesch�atzte Standard-

abweichung von aARMA;1 (gestrichelte Linie) und aAP;1 (durch-

gezogene Linie) beim Allpa�(1)-Modell in Abh�angigkeit des

AR-Parameters a1.

Die f�ur ja1j > 0:7 mit ja1j zunehmende Ungenauigkeit kann aber in der praktischen

Anwendung durch eine Vorabsch�atzung der L�ange der Autokumulantenfolge erheblich

gemindert werden. Ferner l�a�t sich Bild 3.8 entnehmen, da� bis auf die Randbereiche

die Allpa�methode der ARMA-Methode hinsichtlich des gesch�atzten systematischen

Fehlers und der gesch�atzten Standardabweichung deutlich �uberlegen ist.

3.4 Erweiterung auf zeitvariante Modelle 153

Nachdemnun neue, auf demModulationsansatz basierendeMethoden zur Sch�atzung

der Parameter von linearen zeitinvarianten AR-, MA-, ARMA- und Allpa�modellen

vorgeschlagen und deren Wirksamkeit anhand rechnergest�utzter Simulationen aufge-

zeigt worden sind, ist im folgenden Abschnitt die Erweiterung eine dieser Methoden

zur Identi�kation zeitvarianter Systeme angegeben.

3.4 Erweiterung auf zeitvariante Modelle

In zahlreichen Anwendungsgebieten der Ingenieurwissenschaften nimmt die Zahl der

empfangenen Daten kontinuierlich mit der Zeit zu, so da� eine sich stets wiederholende

Parametersch�atzung erforderlich wird. Die in den vorherigen Abschnitten erl�auterten

Methoden, die zwar eine beliebige, aber dennoch feste Datenzahl K voraussetzen, sind

in diesen Anwendungsgebieten nur noch bedingt einsetzbar. Dies hat im wesentlichen

folgende zwei Gr�unde:

1. Besteht das Signalmodell weiterhin aus einem oder mehreren, mindestens bis zur

zweiten Ordnung station�aren Eingangsprozessen und einem linearen zeitinvari-

anten System, so sind zwar immer noch die f�ur den Einsatz obiger Methoden

notwendigen Voraussetzungen erf�ullt, jedoch bewirkt der st�andig zunehmende

Datenstrom neben einem stets wachsenden Speicherbedarf vor allem eine sich

h�au�g wiederholende und damit mit erheblichem numerischen Aufwand verbun-

dene Parametersch�atzung. Viel angebrachter erscheint daher eine rekursive For-

mulierung der Methode, so da� bei jedem neu empfangenen Datenwert nur ge-

ringf�ugige Berechnungen zur Aktualisierung der Parametersch�atzung notwendig

sind. Unter den obigen Signalmodellannahmen werden damit die Parameter mit

jedem Zeitschritt zunehmend genauer gesch�atzt.

2. Sind die Eingangsprozesse weiterhin station�ar, aber das System nun zeitvariant,

so ist der empfangene Datenstrom als nichtstation�ar zu modellieren. �Ublicherwei-

se werden zeitvariante Systeme noch genauer unterschieden in solche mit

� zeitlich langsam ver�anderlichen Parametern,

� zeitlich sprunghaft ver�anderlichen Parametern,

� zeitlich schnell ver�anderlichen Parametern

� und zeitlich quasiperiodisch ver�anderlichen Parametern.

Wie schon mehrfach erl�autert, ist es im Rahmen einer solchen Schrift unvermeid-

bar, einige wenige Schwerpunkte zu setzen. Hier besteht dieser in der Behandlung


von h�au�g anzutre�enden Systemen mit zeitlich langsam ver�anderlichen Parame-

tern. Eine Methode zur Parametersch�atzung solcher Systeme wird im folgenden

anhand eines zeitvarianten MA-Prozesses eingehend erl�autert.

Hingegen k�onnen Systeme mit sich sprunghaft �andernden Parametern als soge-

nannte blockweise station�are Signalmodelle betrachtet werden. Dabei wird unter

einem Block das Zeitintervall verstanden, in dem die Systemparameter sich nicht

�andern. In diesem Fall sind o�enbar die in den vorigen Abschnitten angegebe-

nen Verfahren einsetzbar, da dann eine Realisierung x(k) der zwar endlichen,

aber jetzt zeitvarianten L�ange K vorliegt. Das verbleibende Problem ist eine

hinreichend genaue Bestimmung der Zeitpunkte, an denen sich die Parameter

sprunghaft �andern. Zu dieser Thematik existieren schon zahlreiche Methoden

([52], [53], [54], [55], [56], [122], [123], [140], [225], [226], [241], [245]), auf die aber

hier nicht n�aher eingegangen werden kann. Ein solcher Ansatz der blockweisen

Modellierung ist allerdings nur dann erfolgreich, wenn das durch die sprunghaf-

ten Parameter�anderungen bedingte Einschwingverhalten von deutlich geringerer

Dauer ist als die L�ange K des zur Verf�ugung stehenden Datenausschnittes. An-

dernfalls sind diese Systeme geeigneter zu modellieren als Systeme mit schnell

ver�anderlichen Parametern.

Systeme mit schnell ver�anderlichen Parametern werden zur Zeit beinahe aus-

schlie�lich nur im Zusammenhang mit deterministischen Signalen unter dem Be-

gri� der Zeit-Frequenz-Signalanalyse eingehend untersucht (vgl. [40], S. 334-335,

[75]). Jedoch stellt die zunehmende Zahl an Ver�o�entlichungen zu dieser The-

matik im Bereich der statistischen Signaltheorie ([4], S. 111-150, oder auch in

[252], S. 124) eine baldige Erweiterung dieser noch recht jungen Theorie mit ih-

ren vielf�altigen Anwendungsm�oglichkeiten auf stochastische Signale in Aussicht.

Aufgrund des noch unausgereiften Wissensstandes wird dieses �au�erst interessan-

te Gebiet hier nicht n�aher behandelt und daher auf die weiterf�uhrende Literatur

([252], S. 124) verwiesen.

Auch Systeme mit sich zeitlich quasiperiodisch �andernden Parametern k�onnen

im Rahmen dieser Schrift nicht n�aher behandelt werden. Dies mag zu bedauern

sein, da gerade derartige Systeme zur Modellierung von zyklostation�aren Pro-

zessen (vgl. auch S. 77 und Gleichung (2.59)) in hervorragender Weise geeignet

sind. Diese Prozesse sind insbesondere f�ur das in der heutigen Zeit st�andig an

Bedeutung gewinnende Gebiet der Nachrichten�ubertragung von besonderem In-

teresse. Auch hier wird daher auf die weiterf�uhrende Literatur verwiesen ([84],

[144], [201], [234], [235]).


Zentraler Gegenstand dieses Abschnittes ist folglich die Ableitung einer rekursiven Me-

thode, mit der sowohl sich zeitlich langsam �andernde Systeme als auch zeitinvariante

Systeme bei stetig zunehmender Datenanzahl geeignet identi�ziert werden k�onnen. Zu

diesem Zweck wird ein sogenannter Ged�achtnisfaktor 0 < � 1 eingef�uhrt, durch des-

sen Einstellung die Schnelligkeit der zeitlichen System�anderung ber�ucksichtigt werden

kann. Beispielsweise wird bei Wahl von = 1 ein durch station�ares Rauschen erreg-

tes zeitinvariantes, also ein konstantes System angenommen, wohingegen mit kleiner

werdendem einer zunehmenden Zeitvarianz des Systems Rechnung getragen wird.

Wie oben schon angesprochen, wird die rekursive Erweiterung der in dieser Schrift

vorgestellten Algorithmen nur f�ur zeitvariante MA-Modelle und, aufgrund der mit

h�oheren Ordnungen (N > 3, M > 2) zunehmenden Komplexit�at, auch nur unter

Verwendung von Statistiken zweiter Ordnung (M = 2) und dritter Ordnung (N = 3)

durchgef�uhrt. Auch stellt gerade die zuverl�assige Identi�kation eines MA-Modells eine

anspruchsvolle Aufgabe dar (s. S. 105), und zudem ist mittels eines Separationsan-

satzes (vgl. Abschnitt 3.3.1) eine Erweiterung auf zeitvariante ARMA-Modelle einfach

m�oglich (siehe [96]).

3.4.1 Zeitrekursive MA(q)-Parametersch�atzung

Zur rekursiven Sch�atzung der Parameter von MA-Modellen existieren einige verschie-

dene Ans�atze [73], [74], [213], wobei die in [96] abgeleitete und in dem Lehrbuch [33],

S. 395 aufgenommene Methode hier zum Vergleich des im folgenden erl�auterten, wie-

derum auf dem Modulationsansatz beruhenden Verfahren dient. Dabei wird gezeigt,

da� das Konzept der Modulation von Autokumulantenfolgen durch die Verwendung

s�amtlicher Statistiken zweiter und dritter Ordnung nicht nur wieder zu einer erh�ohten

Parametersch�atzgenauigkeit f�uhrt, sondern zudem das bei rekursiven Methoden recht

wichtige Konvergenzverhalten deutlich verbessert wird. Zum vollst�andigen Verst�andnis

der im folgenden dargestellten Methode werden s�amtliche Rechenschritte ausf�uhrlich

erl�autert und sind nicht in den Anhang ausgegliedert.

Da f�ur N = 3 und M = 2 nur noch eine Modulationskreisfrequenz � frei w�ahlbar

ist (siehe Gleichung (3.48)), kann nun unter Verwendung von

C�mod1

= C�; mod1

das Gleichungssystem (3.56) wie folgt umgeschrieben werden

C�mod1

bmod1 = c�mod1

: (3.108)


Nach L�osung dieses �uberbestimmten Gleichungssystems mittels der Methode des klein-

sten quadratischen Fehlers (siehe auch (3.58)) folgt umgehend

bmod1 =

�C

�

mod1

�HC

�

mod1

!�1 �C

�

mod1

�Hc�mod1

; (3.109)

wobei die Matrix C�mod1

wie folgt

C�

mod1=�C3;k j C2;k

�(3.110)

mit

C3;k =


0 � � � 0

d�X;3(�q) e j�(q+1)=2 � � � 0...

. . ....

d�X;3(�1) e j� d�X;3(�q) e jq�...

...

d�X;3(q � 1) e j�(1�q=2) � � � d�X;3(0) ej�(q�q=2)

......

0 � � � d�X;3(q)


(3.111a)

und

C2;k =


�dX;2(�q) e j�(�q)=2 � � � 0

�dX;2(�q + 1) e j�(�q+1)=2 � � � 0...

. . ....

�dX;2(0) � � � �dX;2(�q) e�jq�...

. . ....

�dX;2(q) e j�(q=2) � � � �dX;2(0) e j�(q=2�q)...

. . ....

0 � � � �dX;2(q)


(3.111b)

in die Matrizen C3;k, C2;k zerlegt wird. Dabei wurde zur Vereinfachung der Schreibweise

der Index mod1 fortgelassen und zur Verdeutlichung der Zeitabh�angigkeit der Index k

hinzugef�ugt.

Zur Formulierung einer zeitrekursivenL�osung bestehen nun prinzipiell zweiM�oglich-

keiten. Ein erster Ansatz besteht in der rekursiven Sch�atzung des Vektors c�k = c�mod1

und der Matrizen C3;k, C2;k, so da� nach jedem hinzukommenden Signalwert x(k) nur


die Sch�atzung aktualisiert und nicht vollst�andig wiederholt werden mu�. Durch Anwen-

dung des bekannten Matrix-Inversionslemmas (z. B. [27], S. 19) auf Gleichung (3.109)

ist dann auch eine zeitrekursive Sch�atzung des Parametervektors b�

k = bmod1 m�oglich.

Ein derartiger Ansatz wird in der Literatur als Rekursive Methode der kleinsten Feh-

lerquadrate oder auch als Rekursives Verfahren der kleinsten Quadrate (z. B. [17], S.

347) bezeichnet.

Die Alternative zu diesem Ansatz ist eine rekursive Sch�atzung der Autokumulan-

tenfolgen (siehe [85]), jedoch ist dann die direkte Inversion der 2q + 1� 2q + 1 Matrix�C

�

mod1

�HC

�

mod1in jedem Zeitschritt notwendig. Aus diesem Grund wird hier dem

ersten Ansatz der Vorzug gegeben, da - wie im weiteren gezeigt wird - bei diesem ledig-

lich eine 2� 2 Matrix pro Zeitschritt zu invertieren ist; dies ist bekanntlich geschlossen

m�oglich.

Sind nun die Daten x(0); x(1); :::; x(k) bis zum diskreten Zeitpunkt k gegeben, so

lassen sich die Matrizen C2;k und C3;k zu

C2;k =

0BBBBBB@

x(0) e j�(�q

2) x(1) e j�(

�q

2) � � � x(k) e j�(

�q

2)

0 x(0) e j�(�q+12

) � � � x(k � 1) e j�(�q+12

)

......

...

0 0 � � � x(k � 3q) e j�(2q2)

1CCCCCCA

0BBBBBBBBBBBBBBB@

0 0 � � � 0...

......

0 0 � � � 0

�x(0) 0 � � � 0

�x(1) �x(0) e�j� � � � 0...

......

�x(k � q) �x(k � q � 1) e�j� � � � �x(k � 2q) e�j�q

1CCCCCCCCCCCCCCCA

(3.112)

= XH;(2)k W

(2)k ; (3.113)

und

C3;k =

0BBBBBBBBBB@

x(0)qP

m=�qx(m) e j�(m+ q

2) � � � x(k)

qPm=�q

x(k +m) e j�(m+ q

2)

0 � � � x(k � 1)qP

m=�qx(k � 1 +m) e j�(m+ q�1

2)

......

0 � � � x(k � 3q)qP

m=�qx(k � 3q +m) e j�(m�q)

1CCCCCCCCCCA


0BBBBBBBBBBBBBBB@

0 � � � 0...

...

0 � � � 0

x(0) e j� � � � 0

x(1) e j� � � � 0...

...

x(k � q � 1) e j� � � � x(k � 2q) e j�q

1CCCCCCCCCCCCCCCA

(3.114)

= XH;(3)k W

(3)k (3.115)

umschreiben. Dabei sind die zum Zeitpunkt k de�nierten HilfsmatrizenXH;(2)k ,W (2)

k ,

XH;(3)k und W (3)

k mit den Dimensionen

dimXH;(2)k = 3q + 1� k + 1 dimW (2)

k = k + 1 � q + 1

dimXH;(3)k = 3q + 1� k + 1 dimW (3)

k = k + 1 � q

eingef�uhrt worden. Es verbleibt nun zu zeigen, da� sowohl C2;k als auch C3;k geeignete

Sch�atzungen f�ur die MatrizenC2;k bzw.C3;k sind. Wie leicht zu erkennen ist, berechnen

sich die wahren Elemente von C2;k nach (3.111b) zu

[C2;k]n+q+1;�+1 = �dX;2(n� �) e j�(n=2��)

!= �rX(n� �) e j�(n=2��); n = �q(1)2q; � = 0(1)q: (3.116)

Folglich ist jetzt zu pr�ufen, inwieweit die Elemente von C2;k =XH;(2)k W

(2)k zur Sch�at-

zung von rX(n��)e j�(n=2��) geeignet sind. Durch Multiplikation der Zeilen vonXH;(2)k

mit den Spalten vonW(2)k ergeben sich die Matrixelemente zu

hC2;k

in+q+1;�+1

= �0@k�q��X

l=0

xl xl+��n

1A e j�(n=2��); n = �q(1)2q; � = 0(1)q: (3.117)

Ein Vergleich von (3.117) mit der f�ur N = 2 ausgewerteten Gleichung (1.31) l�a�t - bis

auf die Skalierung mit 1=(k � q � � + 1) - auf die Konsistenz der Elemente von C2;k

schlie�en (siehe auch S. 29). Dabei wird die Skalierung mit fortschreitender Zeit k immer

unbedeutender, da dann � im Nenner der Skalierung 1=(k � q � �+ 1) vernachl�assigt

werden kann und s�amtliche Matrixelemente approximativ mit der gleichen Skalierung

1=(k � q + 1) zu multiplizieren sind. Da ferner Gleichung (3.108) mit einer beliebigen

Konstanten, also auch der Skalierung 1=(k � q + 1), auf beiden Seiten multipliziert

werden kann, ist die MA-Parametersch�atzung b�

k = bmod1 schon nach kurzer Zeit k � q

von der Skalierung nahezu unabh�angig.


Es verbleibt nun zu zeigen, wie sich die Elemente der Matrix C3;k und des Vektors

c�k = c

�mod1

aus den zur Verf�ugung stehenden Daten x(0); :::; x(k) berechnen. Durch

Multiplikation der Zeilen von XH;(3)k mit den Spalten von W (3)

k ergeben sich die Ma-

trixelemente zu

hC3;k

in+q+1;�

=

0@k�q��X

l=0

xl xl+��n

qXm=�q

xl+��n+mej�m

1A e j�(��n=2);

n = �q(1)2q; � = 1(1)q; (3.118)

welche { bis auf eine Skalierung { konsistente Sch�atzer von

[C3;k]n+q+1;� = d�X;3(n � �) e j�(��n=2); n = �q(1)2q; � = 1(1)q

sind. Der Vektor wird durch

c�k = c

�mod1

= XH;(3)k (0; � � � ; 0; �x(0); �x(1); � � � ; �x(k � q))T (3.119)

=

0@k�q��X

l=0

xl xl+��n

qXm=�q

xl+��n+mej�m

1A e j�(��n=2) (3.120)

gesch�atzt, wobei wiederum zur Vereinfachung der Schreibweise der Index mod1 durch

den Zeitindex k ersetzt wurde. O�enbar stellt damit auch c�k eine bis auf eine Skalierung

konsistente Sch�atzung von

hc�k

in+q+1

= �d�X;3(n)e�j�n=2; n = �q(1)2q (3.121)

dar. Ist nun ein weiterer Wert x(k+1) bekannt, so k�onnen die Matrizen wie folgt erwei-

tert werden

X(2)k+1 =

0@ X

(2)k

xH;(2)k+1

1A (3.122a)

X(3)k+1 =

0@ X

(3)k

xH;(3)k+1

1A (3.122b)

W(2)k+1 =

0@ W

(2)k

wH;(2)k+1

1A (3.123a)

W(3)k+1 =

0@ W

(3)k

wH;(3)k+1

1A : (3.123b)

Dabei wurde neben den Hilfsvektoren

xH;(2)k+1 =

�x(k + 1) e�j�(

�q

2); � � � ; x(k + 1 � 3q) e�j�(

2q2)�

xH;(3)k+1 =

0@x(k + 1)

qXm=�q

x(k + 1 +m) e�j�m e j�(�q

2); � � �

� � � ; x(k + 1� 3q)qX

m=�q

x(k + 1� 3q +m) e�j�m e j�(2q2)

1A

wH;(2)k+1 =

��x(k + 1� q); � � � ;�x(k + 1 � 2q) e�j�q

�w

H;(3)k+1 =

�x(k � q) e j�; � � � ; x(k + 1 � 2q) e j�q

�


mit den Dimensionen

dimxH;(2)k+1 = 1� 3q + 1 dimw(2)k+1 = 1� q + 1

dimxH;(3)k+1 = 1� 3q + 1 dimw(3)k+1 = 1� q

auch der zu Beginn dieses Abschnitts schon erw�ahnte Ged�achtnisfaktor 0 < � 1

eingef�uhrt. Wenn = 1 ist, dann werden vergangene Werte :::; x(k � 1); x(k) und der

hinzukommende Wert x(k+1) gleich gewichtet, wohingegen f�ur 0 < < 1 die vergan-

genen Werte durch die in jedem Zeitschritt wiederholt statt�ndende Multiplikation mit

immer unbedeutender werden. Dieser Ged�achtnisverlust ist also um so ausgepr�agter,

je kleiner ist.

Nachdem nun gekl�art wurde, wie ein hinzukommender Signalwert x(k+ 1) bei den

Hilfsmatrizen und -vektoren zu ber�ucksichtigen ist, kann nun die Matrix

C�

k =�C3;k j C2;k

�(3.124)

rekursiv berechnet werden. Zielsetzung ist also, eine Gleichung f�ur C�

k+1 abzuleiten, bei

der die rechte Seite neben dem aktuellen Signalwert x(k+1) nur vergangene bekannte

Werte enth�alt. Durch Verwendung von (3.122a)-(3.123b) folgt umgehend

C�

k+1 =�X

H;(3)k+1 W

(3)k+1

��XH;(2)k+1 W

(2)k+1

�

=

0@� XH;(3)

k

�� x(3)k+1

�0@ W(3)k

wH;(3)k+1

1A�� X

H;(2)k

�� x(2)k+1

�0@ W(2)k

wH;(2)k+1

1A1A

= �X

H;(3)k W

(3)k

��XH;(2)k W

(2)k

�+�x(3)k+1w

H;(3)k+1

�� x(2)k+1wH;(2)k+1

�(3.125)

= C�

k +�k+1; (3.126)

wobei der zweite Summand in Gleichung (3.125) als �k+1 abgek�urzt wurde.

Der n�achste Schritt besteht in einer rekursiven Gleichung f�ur die in der L�osung

(3.109) enthaltene Matrix

P k =�C

�;H

k C�

k

��1: (3.127)

Beginnend mit der inversen Matrix zum Zeitpunkt k + 1

P�1

k+1 = C�;H

k+1C�

k+1

= ( �C

�

k

�H+�H

k+1)( C�

k +�k+1)

= 2�C

�

k

�HC

�

k +

�C

�

k

�H�k+1 + �H

k+1C�

k +�Hk+1�k+1 (3.128)


ergibt sich durch Zusammenfassen der letzten drei Summanden

P�1

k+1 = 2P�1

k + �k+1��1�H

k+1 (3.129)

mit �k+1 =

�C

�

k

�H �� Hk+1

�und

��1 =

0@ O3q+1�3q+1 I3q+1�3q+1

I3q+1�3q+1 I3q+1�3q+1

1A ;

wobei die Indizes an der Nullmatrix O und der Einheitsmatrix I zur Kennzeichnung

der Matrizendimensionen dienen. Zwar k�onnte die Matrix P k gem�a� (3.129) rekursiv

berechnet werden, jedoch ist dann eine Inversion dieser 2q + 1 � 2q + 1 Matrix in

jedem Zeitschritt erforderlich. Um nun durch zweifache Anwendung des sogenannten

Matrix-Inversions-Lemma's

(A +BCD)�1 = A�1 +A�1B�DA�1B +C�1

��1DA�1 (3.130)

(siehe z. B. [27], S. 19) dieses Inversionsproblem auf die Inversion einer 2 � 2 Matrix

zur�uckzuf�uhren, wird Gleichung (3.128) wie folgt umgeschrieben

P�1

k+1 = 2P�1

k + Ak+1DHk+1 + ( Dk+1 +Ak+1Bk+1)A

Hk+1

= Ek+1 + F k+1I2�2AHk+1 (3.131)

mit

Ak+1 =

0@ w

(3)k+1 Oq�1

Oq+1�1 w(2)k+1

1A

Bk+1 =

0B@ x

H;(3)k+1 x

(3)k+1 x

H;(3)k+1 x

(2)k+1

xH;(2)k+1 x

(3)k+1 x

H;(2)k+1 x

(2)k+1

1CA

Dk+1 =�C

�

k

�H �x(3)k+1 x

(2)k+1

�;

und

Ek+1 = 2P�1

k + Ak+1DHk+1 (3.132)

F k+1 = Dk+1 +Ak+1Bk+1: (3.133)

Die Dimensionen dieser Hilfsmatrizen ergeben sich zu

dimAk+1 = 2q + 1 � 2 dimBk+1 = 2 � 2

dimDk+1 = 2q + 1 � 2 dimEk+1 = 2q + 1� 2q + 1

dimF k+1 = 2q + 1� 2:


Durch Einf�ugen der Einheitsmatrix I2�2 in (3.131) l�a�t sich diese Gleichung unter

erstmaliger Anwendung des Matrix-Inversions-Lemmas (3.130) schreiben als

P k+1 = E�1k+1 �E�1

k+1F k+1

�AH

k+1E�1k+1F k+1 + I2�2

��1AH

k+1E�1k+1; (3.134)

so da� nun P k+1 durch Inversion einer 2� 2-Matrix berechnet werden kann, wenn nur

E�1k+1 bekannt ist. Dazu ist aber das Matrix-Inversions-Lemma lediglich ein weiteres

Mal anzuwenden, diesmal auf Gleichung (3.132). Es ergibt sich dann

E�1k+1 =

1

2P k �

1

2P kAk+1

�D

Hk+1P kAk+1 + I2�2

��1D

Hk+1P k: (3.135)

Einsetzen von (3.135) in (3.134) beweist, da� P k+1 nun durch Inversion zweier 2 � 2

Matrizen rekursiv berechnet werden kann.

Zur Vervollst�andigung der rekursiven Methode verbleibt die rekursive Berechnung

von c�k . Dazu ist in Gleichung (3.119) k durch k+ 1 zu substituieren und anschlie�end

Gleichung (3.122b) anzuwenden. Sodann folgt umgehend

c�k+1 = c�k � x(3)k+1 x(k + 1� q): (3.136)

Nun k�onnen s�amtliche in Gleichung (3.109) enthaltenen Matrizen und Vektoren durch

ihre rekursiven Formulierungen ersetzt werden. Somit folgt

b�

k+1 = P k+1 C�;H

k+1 c�k+1

= P k+1

�C

�

k

�H+�H

k+1

! � c�k � x(3)

k+1 x(k + 1� q)�

= 2P k+1P�1

k P k

�C

�

k

�Hc�k + P k+1

�

�C

�

k

�Hx(3)k+1 x(k + 1 � q)

+ �Hk+1c

�k ��H

k+1x(3)k+1x(k + 1� q)

�(3.137)

= 2P k+1P�1

k b�

kP k+1

�

�C

�

k

�Hx(3)k+1x(k + 1� q)

+ �Hk+1c

�k ��H

k+1x(3)k+1x(k + 1� q)

!; (3.138)

wobei von der ersten zur zweiten Gleichung (3.126) und (3.136) eingesetzt wurden und

anschlie�end in Gleichung (3.137) der erste Summand mit P�1

k P k erweitert wurde. Mit

Hilfe von Gleichung (3.129) gilt zudem

2P k+1P�1

k = I2�2 � P k+1�k+1��1�H

k+1; (3.139)


und eingesetzt in (3.138) ergibt sich

b�

k+1 = b�

k � P k+1�k+1��1�

Hk+1b

�

k + P k+1

�

�C

�

k

�Hx(3)k+1x(k + 1� q)

+ �Hk+1c

�k ��H

k+1x(3)k+1x(k + 1� q)

�

= b�

k � P k+1�k+1��1�H

k+1b�

k + P k+1�k+1��1

0@ c

�k

�x(3)k+1x(k + 1� q)

1A

= b�

k � P k+1�k+1��1

0@�H

k+1b�

k +

0@ �c�kx(3)k+1x(k + 1� q)

1A1A : (3.140)

Schlie�lich kann der vollst�andige rekursive Algorithmus wie folgend gezeigt zusammen-

gefa�t werden, wobei der bei der Initialisierung zus�atzlich eingef�uhrte Parameter � das

Einschwingverhalten des Algorithmus beein u�t (siehe auch [27], S. 299�).

Nachdem nun die vollst�andige rekursive Methode abgeleitet wurde, wird im folgen-

den Abschnitt anhand rechnergest�utzter Simulationen ein Vergleich mit einer Lehr-

buchmethode ([33], S. 395, siehe auch [96]) durchgef�uhrt.

3.4.2 Rechnergest�utzte Simulationen

Die erstmalig in [96] vorgeschlagene Vergleichsmethode kann als rekursive Formulierung

von (3.35) verstanden werden und verwendet daher neben der Autokumulantenfolge

zweiter Ordnung wieder die Diagonale der Autokumulantenfolge dritter Ordnung (siehe

auch S. 111).

Wie auch in den vorherigen rechnergest�utzten Simulationen wurden wieder R =

100 Realisierungen zr(k), k = 0(1)K � 1, r = 0(1)R � 1 eines exponentialverteilten

Weissen Rauschprozesses mit einer Datenl�ange von entwederK = 6144 oder K = 2048

erzeugt. Diese Realisierungen wurden im ersten Beispiel mit einem nichtrekursiven

System erster Ordnung und demMA-Parameter b1(k) = 3 cos(3�k=6143), k = 0(1)6143

ge�ltert. Der Ged�achtnisfaktor wurde zu = 0:9975, der Initialisierungsparameter

zu � = 1 und die Modulationskreisfrequenz zu � = 3 gew�ahlt. Das nachfolgende

Bild 3.9 zeigt neben dem wahren Verlauf b1(k) (gepunktete Linie) auch den gesch�atzten

Erwartungswert und die gesch�atzte Standardabweichung von b(GM)1;k (gestrichelte Linie)

und b(mod1)1;k (durchgezogene Linie) bei dem zeitvarianten MA(1)-Modell in Abh�angigkeit

der Zeit k.


Rekursive MA-Parametersch�atzung mit

Autokumulantenfolgen zweiter und dritter Ordnung

Initialisierung

P 0 = 1�2I2q+1�2q+1; b

�

0 = O2q+1�1

C�

0 = � (I2q+1�2q+1j O2q+1�q)T

c�0 = O3q+1�1

F�ur k = 0; 1; 2; ::::

x(2)k+1 =

�x(k + 1) e�j�(

�q

2); � � � ; x(k + 1� 3q) e�j�

q

2

�H

x(3)k+1 =

0@x(k + 1)

qXm=�q

x(k + 1 +m) e�j�m e j�(�q

2); � � �

� � � ; x(k + 1 � 3q)qX

m=�q

x(k + 1� 3q +m) e�j�m e j�(2q2)

1AH

w(2)k+1 =

��x(k + 1 � q); � � � ;�x(k + 1� 2q) e�j�q

�Hw

(3)k+1 =

�x(k � q) e j�; � � � ; x(k + 1� 2q) e j�q

�H�k+1 =

�x(3)k+1w

H;(3)k+1

�� x(2)k+1w

H;(2)k+1

�

�k+1 =

�C

�

k

�H�� Hk+1

�

Ak+1 =

0@ w

(3)k+1 Oq�1

Oq+1�1 w(2)k+1

1A

Bk+1 =

0B@ x

H;(3)k+1 x

(3)k+1 x

H;(3)k+1 x

(2)k+1

xH;(2)k+1 x

(3)k+1 x

H;(2)k+1 x

(2)k+1

1CA

Dk+1 =�C

�

k

�H �x(3)k+1 x

(2)k+1

�F k+1 = Dk+1 +Ak+1Bk+1

E�1k+1 =

1

2P k �

1

2P kAk+1

�DH

k+1P kAk+1 + I2�2��1

DHk+1P k

P k+1 = E�1k+1 �E�1

k+1F k+1

�AH

k+1E�1k+1F k+1 + I2�2

��1AH

k+1E�1k+1

b�

k+1 = b�

k � P k+1�k+1��1

0@�H

k+1b�

k +

0@ �c�kx(3)k+1x(k + 1 � q)

1A1A

C�

k+1 = C�

k +�k+1

c�k+1 = c�k � x(3)k+1 x(k + 1 � q)


0 2000 4000 6000-4

-2

0

2

4

0 2000 4000 60000

1

2

3

4

k - k -

E

nb(GM)1;k

o

E

nb(mod1)1;k

o

b1(k)

6

�b(GM)

1;k

�b(mod1)

1;k

6

Gesch�atzter Erwartungswert Gesch�atzte Standardabweichung

Bild 3.9 Gesch�atzter Erwartungswert und gesch�atzte Standardabwei-

chung von b(GM)1;k (gestrichelte Linie) und b

(mod1)1;k (durchgezo-

gene Linie) beim zeitvarianten MA(1)-Modell.

O�enbar kann die auf dem Modulationsansatz beruhende Methode mit einer von

dem Ged�achtnisfaktor abh�angigen zeitlichen Verschiebung dem wahren Parameter-

verlauf stets folgen, wohingegen die bekannte Methode bei positiven Parameterwerten

b1(k) > 0 erhebliche Abweichungen zeigt. Auch die gesch�atzte Standardabweichung

�b(mod1)

1;k

der neuen Methode ist beinahe immer kleiner als �b(GM)

1;k

. Lediglich die kleinen

�Uberschwinger von �b(mod1)

1;k

bei k � 1400 und k � 5400, die bei �b(GM)

1;k

zwar auch,

aber dann an anderer Stelle auftreten, bed�urfen noch einer genauen Erkl�arung. Es ist

anzunehmen, da� die Ursache dieser �Uberschwinger in der zu diesen Zeitpunkten sehr

schnellen Parameter�anderungen liegt. Weitere rechnergest�utzte Simulationen haben ge-

zeigt, da� bei kleinerem ( = 0:99) oder auch geringf�ugig gr�o�erem Ged�achtnisfaktor

( = 0:999) diese �Uberschwinger nahezu vollst�andig verschwinden.

Im zweiten Beispiel wird das Konvergenzverhalten beider Methoden untersucht.

Dazu wird der Ged�achtnisfaktor zu = 1 gesetzt und der nun zeitunabh�angige MA-

Parameter b1 = �3(0:1)3 wird variiert, so da� insgesamt 61 unterschiedliche MA(1)-

Modelle simuliert werden. Bild 3.10 zeigt die gesch�atzten Erwartungswerte der 61 Para-

metersch�atzungen in Abh�angigkeit der Zeit k bei der neuen Methode im linken Teilbild

und bei der bekannten Methode im rechten Teilbild.

Es ist deutlich zu erkennen, da� die neue Methode nicht nur eine wesentlich schnel-

lere Konvergenz aufweist, sondern beinahe s�amtliche Parameter sehr genau gesch�atzt

werden. Lediglich das Konvergenzverhalten bei b1 = 0 ist, verglichen mit allen �ubrigen

Parameterwerten, merklich schlechter. Dies liegt an der in diesem Fall inkorrekten Mo-


dellordnung, da stets q = 1 angenommen wird und bei b1 = 0 jedoch q = 0 gilt. Folglich

erfordert der zuverl�assige Einsatz der hier vorgeschlagenen Methode stets eine vorheri-

ge, m�oglichst genaue Modellordnungssch�atzung. Auch l�a�t sich aus Bild 3.9 entnehmen,

da� die bekannte Methode negative Parameterwerte b1 < 0 noch recht zufriedenstel-

lend sch�atzen kann, solange sie betragsm�a�ig nicht zu gro� sind. Jedoch best�atigt sich

der schon im vorigen Beispiel erkannte E�ekt einer deutlichen Genauigkeitseinbu�e

bei positiven Parameterwerten b1 > 0 in anschaulicher Weise. Die Darstellung der

Standardabweichungen unterbleibt hier, da einerseits im Gegensatz zum gesch�atzten

Erwartungswert viele Verl�aufe �ubereinanderliegen und somit ein einfacher Vergleich

schwerf�allt, und andererseits eine genaue Betrachtung der Standardabweichungen die

bisher gefundenen Ergebnisse nochmals best�atigt.

0 500 1000 1500 2000-4

-2

0

2

4

0 500 1000 1500 2000-4

-2

0

2

4

k - k -

E

nb(mod1)1;k

o6

E

nb(GM)1;k

o6

Neue Methode Bekannte Methode

Bild 3.10 Gesch�atzte Erwartungswerte der neuen E

nb(mod1)1;k

o(linkes

Teilbild) und der bekannten Methode Enb(GM)1;k

o(rechtes Teil-

bild) eines zeitinvarianten MA(1)-Modells.

In diesem letzten Abschnitt wurde der Modulationsansatz auf zeitvariante MA(q)-

Modelle erweitert und seine Vorz�uge anhand rechnergest�utzter Simulationen im Ver-

gleich zu einer bekannten Methode dargelegt. Weiterf�uhrende Aufgaben bestehen in

der Erweiterung dieser rekursiven Methode auf Autokumulantenfolgen N -ter und M -

ter Ordnung und einer Reduzierung des numerischen Aufwandes. Hierzu z�ahlt die Ent-

wicklung einer Schnellen rekursiven Methode des kleinsten Fehlerquadrates (z. B. [19],

S. 695) und auch eines ordnungsrekursiven Verfahrens (z. B. [43], S. 450)



In diesem Kapitel wurden die Einsatzm�oglichkeiten von Statistiken h�oherer Ordnung

zur linearen Signalmodellierung aufgezeigt und neue Methoden zur Sch�atzung der Pa-

rameter dieser Modelle vorgeschlagen. Zun�achst wurden bekannte Verfahren zur Iden-

ti�kation von AR-Modellen zusammengefa�t, bei denen Statistiken h�oherer Ordnung

nicht nur die korrekte Bestimmung der Phase von nichtkausalen und damit auch nicht-

minimalphasigen Systemen erm�oglichen, sondern vielmehr im Falle von nicht-Gauss-

verteilten Eingangsprozessen zu einer erheblich genaueren Parametersch�atzung f�uhren

k�onnen. Eine imVergleich zur AR-Modellierung merklich anspruchsvollere und deshalb

bisher als ungel�ost betrachtete Aufgabenstellung besteht in der Sch�atzung der Parame-

ter von MA-Modellen. Der wesentliche Grund hierf�ur liegt in der Tatsache (siehe [40],

S. 145-147, S. 187), da� jeder auf einer endlichen Anzahl von Werten der Automomente-

folge zweiter Ordnung basierende MA(q)-Parametersch�atzer selbst bei Annahme einer

Gauss-Verteilung nie die asymptotische Cramer-Rao-Schranke erreichen kann. Ein

in dieser Schrift vorgeschlagener neuer Ansatz zur MA-Parametersch�atzung beruht auf

der Einf�uhrung von Freiheitsgraden durch Modulation der Autokumulantenfolgen, so

da� durch deren Wahl beliebig viele statistische Informationen zur Parametersch�atzung

hinzugezogen werden k�onnen. Da zudem der Modulationsansatz auf numerisch g�unstig

zu l�osende lineare Gleichungssysteme f�uhrt und rechnergest�utzte Simulationen die im

Vergleich zu �ublichenMethoden erh�ohte Parametersch�atzgenauigkeit veranschaulichen,

stellt diese neue Methode einen weiteren Schritt zur L�osung der anspruchsvollen Aufga-

be einer zuverl�assigen MA-Parametersch�atzung dar. Auch konnte eine Modi�kation des

Modulationsansatzes zur Allpa�identi�kation angegeben werden, und die Eignung zur

Sch�atzung der MA-Parameter eines ARMA-Modells wurde anhand rechnergest�utzer

Simulationen best�atigt.

Der letzte Abschnitt widmete sich der in den Ingenieurwissenschaften h�au�g anzu-

tre�enden Situation einer mit der Zeit st�andig zunehmenden Zahl empfangener Da-

ten. Im Zusammenhang mit der Signalmodellierung erfordert eine solche Situation

sogenannte zeitrekursive Algorithmen, die von Zeitschritt zu Zeitschritt durch nur ge-

ringf�ugige Berechnungen in der Lage sind, entweder eine st�andige Verbesserung der zu

sch�atzenden Parameter oder eine Adaption an die sich zeitlich �andernde Umgebung zu

erm�oglichen. Basierend auf dem Modulationsansatz konnte eine neue rekursive Metho-

de zur Sch�atzung der Parameter eines nun im allgemeinen zeitvarianten MA-Modells

entwickeltwerden, die sich durch eine imVergleich zu einer bekannten Methode deutlich

verbesserten Parametersch�atzgenauigkeit auszeichnet und deren Konvergenz gegen die

wahren Parameter erheblich schneller ist. Folglich wird mit diesem Algorithmus nicht


nur eine Adaption an zeitlich sich �andernde Umgebungen erm�oglicht, sondern auch die

Zuverl�assigkeit einer Modellidenti�kation mit zunehmender Datenzahl st�andig erh�oht.

Weiterf�uhrende, diese Thematik erg�anzende Arbeiten bestehen in einer Reduzie-

rung des numerischen Aufwandes der zeitrekursiven Methode und in einer Erweiterung

des Modulationsansatzes auf die f�ur die Praxis immer bedeutsamer werdenden mehr-

kanaligen MA-Modelle.

4 Zusammenfassung

Zielsetzung der vorliegenden Schrift war eine theoretische, vor allem aber auch an-

wendungsorientierte Diskussion �uber den Einsatz von Statistiken h�oherer Ordnung zur

Verarbeitung zufallsbehafteter Signale. Schon in der Einleitung wurde aufgezeigt, da�

eine vollst�andige Beschreibung mittels der multivariaten Verteilungsfunktion des als

Realisierung eines Zufallsprozesses aufgefa�ten Signals nur in Sonderf�allen m�oglich ist.

Um dennoch m�oglichst viele vorhandene statistische Informationen bei der L�osung ei-

ner gegebenen Problemstellung zu nutzen, eignen sich neben den vielfach verwendeten

Statistiken zweiter Ordnung die Statistiken h�oherer Ordnung in besonderer Weise. Ei-

nerseits gen�ugt in der Regel nur eine Realisierung { also ein gemessenes Signal { des

Zufallsprozesses zur Sch�atzung von Statistiken h�oherer Ordnung. Andererseits sind der

mit zunehmender Ordnung linear ansteigenden Zahl an unabh�angigen Variablen zahl-

reiche neue, mathematisch exakte Ans�atze f�ur bisher nicht befriedigend gel�oste Pro-

blemstellungen zu verdanken. Hierzu z�ahlt das im letzten Kapitel vorgeschlagene, auf

einer Modulation der Autokumulantenfolgen h�oherer Ordnung beruhende Verfahren

zur Identi�kation von MA-Modellen. Dabei gew�ahrleistet die Verwendung von Auto-

kumulantenfolgen h�oherer Ordnung durch die erh�ohte Zahl an unabh�angigen Variablen

den Erhalt der Phaseninformation, und zus�atzlich erm�oglicht der Modulationsansatz

zur Parametersch�atzung beliebig viele statistische Informationen hinzuzuziehen. Da zu-

dem ausschlie�lich lineare Gleichungssysteme zu l�osen sind, ist neben einer imVergleich

zu �ublichen Methoden erh�ohten Parametersch�atzgenauigkeit auch der numerische Auf-

wand gering.

Als weiterer anwendungsorientierter Schwerpunkt der Schrift wurde der Einsatz

von Statistiken h�oherer Ordnung in der Signalverarbeitung f�ur Sensorgruppen einge-

hend diskutiert. Es zeigte sich ein erheblicher mathematischer Aufwand, um Statistiken

zweiter Ordnung mit Statistiken vierter Ordnung exakt zu vergleichen. Jedoch konnte

ein aussagekr�aftiges Ergebnis abgeleitet werden; bei einem bipolaren Sendesignal und

moderatem Signal-zu-Rauschleistungsverh�altnis sind Kumulanten vierter Ordnung den

Kumulanten zweiter Ordnung zur Steuervektorsch�atzung nahezu immer �uberlegen. Da

dies insbesondere f�ur beliebig kleine Datenl�angen gilt, wird zudem die in Fachkrei-

sen gelegentlich zu h�orende Behauptung einer bei Verwendung von Statistiken h�oherer

169

170 Kapitel 4 Zusammenfassung

Ordnung erforderlichen gr�o�eren Zahl an Signalwerten, um eine mit Statistiken zweiter

Ordnung vergleichbare Parametersch�atzgenauigkeit zu erzielen, widerlegt. Eine weitere

Widerlegung konnte bei der Varianzsch�atzung einer Gauss-verteilten Zufallsvariablen

gefunden werden, da in diesem Fall mit abnehmender Datenl�ange die Kumulantenord-

nung zu erh�ohen ist, um die Sch�atzgenauigkeit beizubehalten.

Abschlie�end kann festgestellt werden, da� eine objektive Beurteilung �uber den

Nutzen von Statistiken h�oherer Ordnung nur in einer fallspezi�schen Analyse erbracht

werden kann. Die Zahl der Anwendungen, in denen zufallsbehaftete, vielfach nachrich-

tentragende Signale zu verarbeiten sind, nimmt st�andig zu. So werden neue L�osungen

f�ur neue Problemstellungen erforderlich, und die Statistiken h�oherer Ordnung werden

auch auf lange Sicht ein vielseitiges Forschungsgebiet und eine Herausforderung f�ur den

Wissenschaftler darstellen.

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heren Momentefolgen. Studienarbeit, Universit�at GH - Duisburg, M�arz 1995.

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Dissertation, Universit�at - GH - Duisburg, Mai 1992.


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Anhang

A Beweise zu Verbundmomenten und Verbundkumulanten

� Beweis der Eigenschaft (1.14a):

E

(KYk=1

(�kXk)nk

)=

KYk=1

�nkk E

(KYk=1

Xnkk

)

Wird in Gleichung (1.6)

g(X1; :::;XK) =KYk=1

(�kXk)nk

gesetzt, so l�a�t sich das Produkt �uber alle potenzierten Skalierungsfaktoren �nkk

aus dem Integral in (1.6) herausziehen und (1.14a) ist somit bewiesen.

Beweis der Eigenschaft (1.14b):

K

(KYk=1

(�kXk)nk

)=

KYk=1

�nkk K

(KYk=1

Xnkk

)

Ist Yk = �kXk, k = 1(1)K, so gilt mit (1.11)

K

(KYk=1

Y nkk

)=

X[Mm=1Im=I

(�1)M�1(M � 1)!MYm=1

E

8<:Yi2Im

Y nii

9=;

=X

[Mm=1Im=I

(�1)M�1(M � 1)!MYm=1

E

8<:Yi2Im

(�iXi)ni

9=;

=X

[Mm=1Im=I

(�1)M�1(M � 1)!MYm=1

0@ Yi2Im

�nii

1A E

8<:Yi2Im

Xnii

9=; (A.1)

=X

[Mm=1Im=I

(�1)M�1(M � 1)!KYk=1

�nkk

MYm=1

E

8<:Yi2Im

Xnii

9=; (A.2)

191

192 A Beweise zu Verbundmomenten und Verbundkumulanten

=KYk=1

�nkk

X[Mm=1Im=I

(�1)M�1(M � 1)!MYm=1

E

8<:Yi2Im

Xnii

9=;

=KYk=1

�nkk K

(KYk=1

Xnkk

);

wobei zur Ableitung von (A.1) die soeben bewiesene Eigenschaft (1.14a) und zur

Ableitung von (A.2) [Mm=1Im = I genutzt wurden.


E

(KYk=1

Xnkk

)= E

(KYk=1

Xnikik

)

Diese Eigenschaft ist aufgrund der Kommutativit�at der Multiplikation stets ge-

geben.


K

(KYk=1

Xnkk

)= K

(KYk=1

Xnikik

)

Da die Partition der Menge I = f1; 2; :::;Kg die unsortierte Anordnung Im

schnittfremder, nichtleerer Kombinationen ohne Wiederholung von K Elemen-

ten beliebiger Ordnung r = 1(1)K ist (vgl. [8], S. 111 und [153], S. 297), wird die

Reihenfolge der Zufallsvariablen f�ur den Wert der Verbundkumulante unbedeu-

tend.


E

8><>:(Y nY

j + ZnZj )

KYk=1k 6=j

Xnkk

9>=>; = E

8><>:Y nY

j

KYk=1k 6=j

Xnkk

9>=>;+ E

8><>:ZnZ

j

KYk=1k 6=j

Xnkk

9>=>;

mit nY 2 IR, nZ 2 IR. Diese Eigenschaft ist aufgrund der Additivit�at der Integrati-

on stets gegeben (vgl. De�nition des Erwartungswertes (1.6). Unter Verwendung

von (1.11) ist damit (1.16a) bewiesen.


K

8><>:(Y nY

j + ZnZj )

KYk=1k 6=j

Xnkk

9>=>; = K

8><>:Y nY

j

KYk=1k 6=j

Xnkk

9>=>;+ K

8><>:ZnZ

j

KYk=1k 6=j

Xnkk

9>=>;

Anhang 193

mit nY 2 IR, nZ 2 IR.

Aufgrund von (1.15b) ist es hinreichend, den Beweis nur f�ur j = 1 zu f�uhren. Sei

Yk = Xk, nY;k = nk, Zk = Xk, nZ;k = nk, k = 2(1)K und Xn11 = Y

nY;11 +Z

nZ;11 , so

gilt

MYm=1

E

8<:Yi2Im

Xnii

9=; =

MYm=1

E

8<:Yi2Im

YnY;ii

9=;+

MYm=1

E

8<:Yi2Im

ZnZ;ii

9=; ;

da jede Partition genau einmal Xn11 = Y

nY;11 +Z

nZ;11 enth�alt und der Erwartungs-

wertoperator additiv ist (vgl. (1.16a).


E

8><>:(�+X

njj )

KYk=1k 6=j

Xnkk

9>=>; = �E

8><>:

KYk=1k 6=j

Xnkk

9>=>;+ E

(KYk=1

Xnkk

)

Diese Eigenschaft ist aufgrund der Linearit�at der Integration stets gegeben (vgl.

De�nition des Erwartungswertes (1.6)).


K

8><>:(�+X

njj )

KYk=1k 6=j

Xnkk

9>=>; = K

(KYk=1

Xnkk

);

Aufgrund von (1.15b) ist es wiederum hinreichend, den Beweis nur f�ur j = 1 zu

f�uhren. F�ur die logarithmierte Charakteristische Funktion gilt

ln(��+X1;:::;XK(s1; :::; sK)) = ln(E

8><>:e

js1(�+X1)+KPk=2

skXk

9>=>;)

= ln(Ene js1�

o) + ln(E

8><>:e

jKPk=1

skXk

9>=>;)

= js1� + ln(�X1;:::;XK(s1; :::; sK))

und somit folgt f�ur die Verbundkumulante N -ter Ordnung (vgl. (1.10))

K

8><>:(�+X

njj )

KYk=1k 6=j

Xnkk

9>=>;

194 A Beweise zu Verbundmomenten und Verbundkumulanten

=1

jN@N ln(��+X1;:::;XK(s1; :::; sK))

KYk=1

@snkk

��sk=0; 8k=1(1)K

=1

jN@N [js1� + ln(�X1;:::;XK(s1; :::; sK))]

KYk=1

@snkk

��sk=0; 8k=1(1)K

=1

jN

8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:

@ [js1� + ln(�X1(s1))]@s1

��s1=0

wenn K = 1

und n1 = 1

@N ln(�X1;:::;XK(s1; :::; sK))KYk=1

@snkk

��sk=0; 8k=1(1)K

sonst

=

8>>><>>>:

�+ KfX1g wenn K = 1 und n1 = 1

K

(KQk=1

Xnkk

)sonst.

� Beweis der Eigenschaft (1.18b):

Es gilt

K

(KYk=1

Xnkk

)!= 0;

wenn die Untermenge von Zufallsvariablen Xi1 ; :::;XiJ , ij 2 IN+, ij � K, j =

1(1)J , J 2 IN+, J < K unabh�angig von den �ubrigen Zufallsvariablen Xk, k 6= ij

ist.

Wiederum ist es aufgrund von (1.15b) hinreichend, den Beweis nur f�ur ij = j zu

f�uhren. Die logarithmierte Charakteristische Funktion ergibt sich dann zu

ln(�X1;:::;XK(s1; :::; sK)) = ln

0B@E

8><>:e

jKPk=1

skXk

9>=>;1CA

= ln

0BB@E

8>><>>:e

jJPj=1

sjXj

9>>=>>; E

8><>:e

jKP

k=J+1

skXk

9>=>;1CCA

= ln

0BB@E

8>><>>:e

jJPj=1

sjXj

9>>=>>;

1CCA + ln

0B@E

8><>:e

jKP

k=J+1

skXk

9>=>;1CA ;

Anhang 195

und die Verbundkumulante berechnet sich zu

K

(KYk=1

Xnkk

)=

1

jN@N ln(�X1;:::;XK(s1; :::; sK))

KYk=1

@snkk

��sk=0; 8k=1(1)K

=

@N

2664ln(E

8>><>>:e

jJPj=1

sjXj

9>>=>>;) + ln(E

8><>:e

jKP

k=J+1

skXk

9>=>;)3775

jNKYk=1

@snkk

��sk=0; 8k=1(1)K

!= 0:

Der letzte Schritt folgt aus der Unabh�angigkeit des in eckigen Klammern einge-

schlossenen ersten Summanden von sk, k > J und des zweiten Summanden von

sk, k � J , so da� die entsprechenden partiellen Ableitungen jeweils Null ergeben.

� Beweis der Eigenschaften (1.20a)-(1.20c):

KfXkg = EfXkg

KfXkXjg = Ef(Xk � EfXkg)(Xj � EfXjg)g= EfXkXjg � EfXkgEfXjg

K

(KYk=1

Xnkk

)= 0 8N =

KXk=1

nk > 2

Die Charakterische Funktion von K Gauss-verteilten Zufallsvariablen Xk, k =

1(1)K ist als Fourier-Transformierte derGauss-Funktion wiederumeineGauss-

Funktion (siehe z.B. [13], S. 76), so da� sich die logarithmierte Charakteristische

Funktion zu einem mehrdimensionalen Polynom zweiten Grades ergibt (s. [5], S.

46)

ln(�X1;:::;XK(s1; :::; sK)) =

jKXk=1

sk EfXkg �1

2

KXk=1

KXj=1

sksj Ef(Xk � EfXkg)(Xj � EfXjg)g :

Die Gleichungen (1.20a), (1.20b) folgen nun sofort per De�nition, und h�ohere als

die zweiten Ableitungen sind o�enbar identisch Null.

196 C Moment N -ter Ordnung einer Gauss-verteilten Zufallsvariablen

B Autokumulantenfolge bei linearen zeitinvarianten Syste-

men

Sei X(k) der Ausgangsproze� und Z(k) der station�are Eingangsproze� N -ter Ordnung

eines linearen zeitinvarianten Systems mit der Impulsantwort h(k), so gilt (1.40)

X(k) =1X

l=�1

h(l) Z(k � l):

F�ur die Autokumulantenfolge des Ausgangsprozesses folgt dann

K

(X(k)

N�1Yn=1

X(k + �n)

)

= K

8<:

1Xk0=�1

� � �1X

kN�1=�1

h(k0) � � � h(kN�1) Z(k � k0)N�1Yn=1

Z(k + �n � kn)

9=;

=1X

k0=�1

� � �1X

kN�1=�1

h(k0) � � � h(kN�1) K(Z(k � k0)

N�1Yn=1

Z(k + �n � kn)

)(B.1)

=1X

k0=�1

� � �1X

kN�1=�1

h(k0) � � � h(kN�1) cZ;N (�1 + k0 � k1; :::; �N�1+ k0 � kN�1) (B.2)

=1X

k0=�1

1Xk01=�1

� � �1X

k0N�1=�1

h(k0) � � � h(k0N�1 + k0) cZ;N (�1 � k01; :::; �N�1� k0N�1)

=1X

k1=�1

� � �1X

kN�1=�1

cZ;N (�1 � k1; :::; �N�1� kN�1)1X

k0=�1

h(k0)N�1Yj=1

h(k0 + kj); (B.3)

wobei zur Herleitung von Gleichung (B.1) die Eigenschaften (1.14b) und (1.16b) ver-

wendet wurden und die Stationarit�at N -ter Ordnung bei (B.2) ausgenutzt wurde. Of-

fenbar ist (B.2) identisch zu (1.41a) und (B.3) gleich (1.41b), was zu zeigen war.

C Moment N -ter Ordnung einer Gauss-verteilten Zufallsva-

riablen

Das Moment N -ter Ordnung einer Gauss-verteilten Zufallsvariablen X mit EfXg = 0

berechnet sich zu

E

nXN

o=

Z 1

�1xN fX(x)dx

=1p2��

Z 1

�1xN e

� x2

2�2 dx

=1 + (�1)Np

2��

Z 1

0xN e

� x2

2�2 dx

Anhang 197

[8];S:66=

1 + (�1)Np2��

��N + 1

2

�

2�

1

2�2

�N+12

= �N1 + (�1)Np

�2N�22 �

�N + 1

2

�

[8];S:331= �N

(1 + (�1)N) �(N)

2N

2 �(N=2): (C.1)

D Kovarianz eines Steuervektorsch�atzers

Hier wird die grundlegende Gleichung zur Berechnung der Kovarianz des auf vierten

Momenten basierenden Steuervektors aufgrund ihrer Komplexit�at nur angegeben und

nicht n�aher erl�autert. Eine detaillierte Herleitung ist in [130] zu �nden. Ferner wurde die

unabh�angige Variable k s�amtlicher Zufallsprozesse aus Gr�unden der �Ubersichtlichtkeit

fortgelassen.

Kov

na(4)p1;q1;l1;m1

(�; #); a(4)p2;q2;l2;m2

(�; #)o

=(3Ka �Kb)2K

K2aK

2b�

E

nXp1X

�q1X�l1Xm1X

�p2Xq2Xl2X

�m2

o� E

nXp1X

�q1X�l1Xm1

oE

nX�p2Xq2Xl2X

�m2

o�+

(3Ka �Kb)K(K � 1)

KaK2b

�E

nXp1X

�q1X�l1Xm1Xl2X

�m2

oE

nX�p2Xq2

o+

E

nXp1X

�q1X�l1Xm1Xq2X

�m2

oE

nX�p2Xl2

o+ E

nXp1X

�q1X�l1Xm1Xl2Xq2

oE

nX�p2X�m2

o+

E

nXp1X

�p2X�m2Xm1Xl2Xq2

oE

nX�q1X�l1

o� 2E

nXp1Xm1Xl2X

�m2

oE

nX�p2Xq2

oE

nX�q1X�l1

o+

E

nXp1Xm1

oE

nX�p2Xq2X

�m2Xl2X

�q1X�l1

o+ E

nX�q1Xm1

oE

nX�l1Xp1X

�p2Xq2Xl2X

�m2

o�

2EnXp1X

�l1

oE

nX�p2Xl2Xq2X

�m2

oE

nXm1X

�q1

o+ E

nXp1X

�l1

oE

nX�p2Xq2X

�q1Xm1Xl2X

�m2

o+

E

nXp1X

�q1X�l1Xm1X

�p2X�m2

oE

nXl2Xq2

o� 2E

nXp1X

�q1X�l1Xm1

oE

nX�p2X�m2

oE

nXl2Xq2

o+

E

nXp1X

�q1X�l1Xm1X

�p2Xl2

oE

nX�m2Xq2

o� 2E

nXp1X

�q1X�l1Xm1

oE

nX�p2Xl2

oE

nX�m2Xq2

o+

E

nXp1X

�q1X�p2Xq2Xl2X

�m2

oE

nX�l1Xm1

o+ E

nXp1X

�q1

oE

nX�l1Xm1X

�m2Xl2X

�p2Xq2

o+

E

nXl2X

�m2

oE

nX�q1Xp1X

�l1Xm1X

�p2Xq2

o� 2E

nX�q1Xp1X

�l1Xm1

oE

nX�p2Xq2

oE

nX�m2Xl2

o�+

198 D Kovarianz eines Steuervektorsch�atzers

(K2 � 3K + 2)K

K2b�

E

nXp1Xm1Xl2X

�m2

oE

nX�q1X�l1

oE

nX�p2Xq2

o+ E

nXp1Xm1X

�m2Xq2

oE

nX�p2Xl2

oE

nX�q1X�l1

o+

E

nXp1Xm1Xl2Xq2

oE

nX�p2X�m2

oE

nX�q1X�l1

o+ E

nXp1Xm1

oE

nX�p2X�m2

oE

nX�q1X�l1Xl2Xq2

o+

E

nXp1Xm1

oE

nX�p2Xl2

oE

nX�q1X�l1X�m2Xq2

o+ E

nXp1Xm1

oE

nXq2X

�p2

oE

nX�q1X�l1X�m2Xl2

o+

E

nXp1X

�l1Xl2X

�m2

oE

nX�p2Xq2

oE

nX�q1Xm1

o+ E

nXp1X

�l1Xq2X

�m2

oE

nX�p2Xl2

oE

nX�q1Xm1

o+

E

nX�q1Xm1

oE

nX�m2X�p2

oE

nXp1X

�l1Xq2Xl2

o+ E

nX�p1X�l1

oE

nX�m2X�p2

oE

nX�q1Xm1Xq2Xl2

o+

E

nXp1X

�l1

oE

nXl2X

�p2

oE

nX�q1Xm1Xq2X

�m2

o+ E

nX�l1Xp1

oE

nXq2X

�p2

oE

nX�q1Xm1X

�m2Xl2

o+

E

nXm1Xp1X

�m2X�p2

oE

nX�q1X�l1

oE

nXl2Xq2

o+ E

nXm1Xp1

oE

nX�q1X�l1X�m2X�p2

oE

nXl2Xq2

o+

E

nX�l1Xp1X

�m2X�p2

oE

nXl2Xq2

oE

nX�q1Xm1

o+E

nX�l1Xp1

oE

nXl2Xq2

oE

nX�q1Xm1

oE

nX�m2X�p2

o+

E

nXm1Xp1X

�p2Xl2

oE

nX�q1X�l1

oE

nX�m2Xq2

o+ E

nXm1Xp1

oE

nX�q1X�l1X�p2Xl2

oE

nX�m2Xq2

o+

E

nX�l1Xp1

oE

nX�q1Xm1X

�p2Xl2

oE

nX�m2Xq2

o+ E

nX�q1Xp1X

�m2Xl2

oE

nX�p2Xq2

oE

nX�l1Xm1

o+

E

nX�q1Xp1X

�m2Xq2

oE

nX�p2Xl2

oE

nX�l1Xm1

o+ E

nX�q1Xp1Xl2Xq2

oE

nX�p2X�m2

oE

nX�l1Xm1

o+

E

nX�q1Xp1X

�m2X�p2

oE

nXq2Xl2

oE

nX�l1Xm1

o+ E

nX�q1Xp1X

�p2Xl2

oE

nX�m2Xq2

oE

nX�l1Xm1

o+

E

nX�q1Xp1

oE

nX�m2Xq2

oE

nX�l1Xm1

oE

nX�p2Xl2

o+E

nX�q1Xp1

oE

nXl2Xq2

oE

nX�l1Xm1X

�p2X�m2

o+

E

nX�q1Xp1

oE

nX�m2X�p2

oE

nX�l1Xm1Xq2Xl2

o+ E

nX�q1Xp1

oE

nX�p2Xl2

oE

nX�l1Xm1X

�m2Xq2

o+

E

nX�q1Xp1

oE

nX�p2Xq2

oE

nX�l1Xm1X

�m2Xl2

o+ E

nXm1Xp1X

�p2Xq2

oE

nX�l1X�q1

oE

nX�m2Xl2

o+

E

nXm1Xp1

oE

nX�q1X�l1X�p2Xq2

oE

nX�m2Xl2

o+ E

nX�l1Xp1X

�p2Xq2

oE

nX�q1Xm1

oE

nX�m2Xl2

o+

E

nX�l1Xp1

oE

nX�q1Xm1X

�p2Xq2

oE

nX�m2Xl2

o+ E

nX�q1Xp1X

�p2Xq2

oE

nX�l1Xm1

oE

nX�m2Xl2

o+

E

nX�q1Xp1

oE

nX�l1Xm1X

�p2Xq2

oE

nX�m2Xl2

o�+

K(K � 1)

K2b

�E

nXp1Xm1Xl2X

�m2

oE

nX�q1X�l1X�p2Xq2

o+

E

nXp1Xm1Xq2X

�m2

oE

nX�q1X�l1X�p2Xl2

o+ EfXp1Xm1Xq2Xl2g E

nX�q1X�l1X�p2Xm2

o+

E

nXp1Xm1X

�p2X�m2

oE

nX�q1X�l1Xq2Xl2

o+ E

nXp1Xm1X

�p2Xl2

oE

nX�q1X�l1Xq2X

�m2

o+

E

nXp1Xm1X

�p2Xq2

oE

nX�q1X�l1Xl2X

�m2

o+ E

nXp1X

�l1X�m2Xl2

oE

nXm1X

�q1Xq2X

�p2

o+

E

nXp1X

�l1X�m2Xq2

oE

nXm1X

�q1Xl2X

�p2

o+ E

nXp1X

�l1Xq2Xl2

oE

nXm1X

�q1X�m2X�p2

o+

E

nXp1X

�l1X�m2X�p2

oE

nXm1X

�q1Xq2Xl2

o+ E

nXp1X

�l1X�p2Xl2

oE

nXm1X

�q1Xq2X

�m2

o+

E

nXp1X

�l1X�p2Xq2

oE

nXm1X

�q1Xl2X

�m2

o+ E

nXp1X

�q1X�m2Xl2

oE

nXm1X

�l1Xq2X

�p2

o+

Anhang 199

E

nXp1X

�q1X�m2Xq2

oE

nXm1X

�l1Xl2X

�p2

o+ E

nXp1X

�q1Xl2Xq2

oE

nXm1X

�l1X�p2X�m2

o+

E

nXp1X

�q1X�p2X�m2

oE

nXm1X

�l1Xl2Xq2

o+ E

nXp1X

�q1X�p2Xl2

oE

nXm1X

�l1Xq2X

�m2

o+

E

nXp1X

�q1

oE

nX�p2Xl2

oE

nXm1X

�l1Xl2X

�m2

o�+

2K(�2K2 + 5K � 3)

K2b

�E

nXp1Xm1

oE

nX�p2X�m2

oE

nX�q1X�l1

oE

nXq2Xl2

o+

E

nXp1X

�l1

oE

nX�p2X�m2

oE

nXm1X

�q1

oE

nXq2Xl2

o+ E

nXp1Xm1

oE

nXq2X

�m2

oE

nX�l1X�q1X�p2Xl2

o+ E

nXp1X

�l1

oE

nX�p2Xl2

oE

nXm1X

�q1

oE

nXq2X

�m2

o+ E

nXp1X

�q1

oE

nX�p2X�m2

oE

nXq2Xl2

oE

nXm1X

�l1

o+ E

nXp1X

�q1

oE

nX�p2Xl2

oE

nXm1X

�l1

oE

nXq2X

�m2

o+

E

nXp1Xm1

oE

nX�p2Xq2

oE

nX�q1X�l1

oE

nXl2X

�m2

o+ E

nXp1X

�l1

oE

nX�p2Xq2

oE

nX�q1Xm1

oE

nXl2X

�m2

o+ E

nXp1X

�q1

oE

nX�p2Xq2

oE

nXm1X

�l1

oE

nXl2X

�m2

o�: (D.1)

E Varianzen von Kumulantensch�atzern im Allpa�fall

Da die Varianz von c(1)Z;3(1) umgehend aus (2.75) folgt, werden im weiteren nur die

Gleichungen (2.82b)-(2.82e) bewiesen.

� Beweis von (2.82b):

Ein Umschreiben von c(1)Z;3(1) (siehe (2.73)) ergibt f�ur gerade Fensterl�angen L

c(2)Z;3 =

1

L

L�1Xl=0

RenCX;3(e

j 2�lL ; 1)

o

=1

L

0@L=2�1X

l=0

RenCX;3(e

j 2�lL ; 1)

o+

L�1Xl=L=2

RenCX;3(e

j 2�lL ; 1)

o1A (E.1)

=1

L

0@L=2�1X

l=0

RenCX;3(e

j 2�lL ; 1)

o+

L�1Xl=L=2

Re�CX;3(e

j2�(l�L)

L ; 1)�1A (E.2)

=1

L

0@L=2�1X

l=0

RenCX;3(e

j 2�lL ; 1)

o+

�1Xl=�L=2

RenCX;3(e

j 2�lL ; 1)

o1A (E.3)

=1

L

0@L=2�1X

l=0

RenCX;3(e

j 2�lL ; 1)

o+

�1Xl=�L=2

RenCX;3(e

�j 2�lL ; 1)

o1A

=1

L

0@L=2�1X

l=0

RenCX;3(e

j 2�lL ; 1)

o+

L=2Xl=1

RenCX;3(e

j 2�lL ; 1)

o1A

200 E Varianz von Kumulantensch�atzern im Allpa�fall

=1

L

0@2L=2�1X

l=1

RenCX;3(e

j 2�lL ; 1)

o+Re

nCX;3(1; 1)

o+Re

nCX;3(�1; 1)

o1A ; (E.4)

wobei zun�achst die 2�-Periodizit�at des Bispektrums genutzt wurde. F�ur den�Ubergang von (E.2) zu (E.3) wurde l durch l + L substituiert, und im darauf-

folgenden Schritt wurde die Symmetrieeigenschaft des Bispektrums (siehe z.B.

[246], S. 5)

CX;3(ej1; e j2) = C�

X;3(e�j1 ; e�j2)

verwendet. Im vorletzten Schritt wurde dann nochmals l durch �l ersetzt, bevorabschlie�end die beiden Summen geeignet zusammengefa�t werden konnten. Wie

schon in Kapitel 2 erw�ahnt, erfordern ungerade Fensterl�angen nur geringf�ugige

Modi�kationen der Beweisf�uhrung, so da� der Einfachheit halber nur der Fall

einer geraden Fensterl�ange betrachtet wird.

Ausgehend von (E.4) und der Unabh�angigkeit der Bispektralwerte (vgl. S. 87)

folgt schlie�lich f�ur die Varianz

V

nc(2)Z;3

o=

1

L2

0@4 L=2�1X

l=1

V

nRenCX;3(e

j 2�lL ; 1)

oo

+VnRenCX;3(1; 1)

oo+ V

nRenCX;3(�1; 1)

oo!

=�6XK

�4L

2(V1 + 2V2) + 9V1 + 12V2 + V1 + 4V2

�

=�6XK

(V1(10 + 2L) + V2(16 + 4L)) ;

wobei im vorletzten Schritt wiederum (2.75) verwendet wurde.

� Beweis von (2.82c):

Basierend auf dem soeben gefundenden Ergebnis (E.4) und mittels (2.80a) folgt

umgehend

c(3)Z;3 =

1

L � 1

0@2 L=2�1X

l=1

RenCX;3(e

j 2�lL ; 1)

o+Re

nCX;3(�1; 1)

o1A ; (E.5)

so da� sich die Varianz zu

V

nc(3)Z;3

o=

1

L2

0@4 L=2�1X

l=1

V

nRenCX;3(e

j 2�lL ; 1)

oo+ V

nRenCX;3(�1; 1)

oo1A

=L2�6X

(L� 1)2K(V1(1 + 2L) + V2(4 + 4L))

berechnet.

Anhang 201

� Beweis von (2.82d):

Analog zum vorherigen Beweis folgt nun

c(4)Z;3 =

1

L+ 1

0@2 L=2�1X

l=1

RenCX;3(e

j 2�lL ; 1)

o

+2RenCX;3(1; 1)

o+Re

nCX;3(�1; 1)

o1A (E.6)

und entsprechend gilt

V

nc(4)Z;3

o=

1

(L+ 1)2

0@4 L=2�1X

l=1

V

nRenCX;3(e

j 2�lL ; 1)

oo

+4VnRenCX;3(1; 1)

oo+ V

nRenCX;3(�1; 1)

oo!

=L2�6X

(L� 1)2K(V1(37 + 2L) + V2(52 + 4L)) :

� Beweis von (2.82e):

Wie schon in Kapitel 2 angedeutet, gestaltet sich die Berechnung der Varianz

des verbleibenden Sch�atzers c(5)Z;3 deutlich aufwendiger. Betrachtet wird zun�achst

die nur auf dem Grundbereich � = 1(1)L=2 � 1, � = 1(1)�, � < L � 2� ohne

Einschlu� der R�ander de�nierte Zufallsvariable

~Y (e j2��L ; e j

2��L ) =


2��L )j2

�2CX;3

=RenCX;3(e

j 2��L ; e j

2��L )o2

+ ImnCX;3(e

j 2��L ; e j

2��L )o2

�2CX;3

=

0B@Re

nCX;3(e

j 2��L ; e j

2��L )o� E

nRenCX;3(e

j 2��L ; e j

2��L )oo

�CX;3

��E

nRenCX;3(e

j 2��L ; e j

2��L )oo

�CX;3

1CA2

+

0B@Im

nCX;3(e

j 2��L ; e j

2��L )o� E

nImnCX;3(e

j 2��L ; e j

2��L )oo

�CX;3

��E

nIm

nCX;3(e

j 2��L ; e j

2��L )oo

�CX;3

1CA2


=�~UR(e

j 2��L ; e j

2��L )� cR(e

j 2��L ; e j

2��L )�2

+�~UI(e

j 2��L ; e j

2��L )� cI(e

j 2��L ; e j

2��L )�2;

cR(ej2��L ; e j

2��L ) 2 IR; cI(e

j2��L ; e j

2��L ) 2 IR

mit

�2CX;3

= V

nRenCX;3(e

j2��L ; e j

2��L )oo

=L2�6XV2

K

und den asymptotisch standardnormalverteilten voneinander unabh�angigen Zu-

fallsvariablen (vgl. [33], S. 143)

~UR(ej2��L ; e j

2��L ) =

RenCX;3(e

j2��L ; e j

2��L )o� E

nRenCX;3(e

j2��L ; e j

2��L )oo

�CX;3

~UI(ej 2��L ; e j

2��L ) =

ImnCX;3(e

j2��L ; e j

2��L )o� E

nIm

nCX;3(e

j2��L ; e j

2��L )oo

�CX;3:

Nun kann die Verteilung der Zufallsvariablen ~Y (e j2��L ; e j

2��L ) angegeben werden.

Nach [44], S. 167, gilt:

Seien ~Xk, k = 0(1)K � 1 standardnormalverteilte voneinander un-

abh�angige Zufallsvariablen und ck, k = 0(1)K � 1 Konstanten, so ist

die Zufallsvariable

~Z =K�1Xk=0

( ~Xk � ck)2

nichtzentral Chi-Quadrat-verteilt mit der Dichtefunktion

f ~Z(~z) =

8>><>>:

e�(~z+c2)

2

1X�=0

c2� ~z�+K=2�1

�! 2K=2+2� �(� +K=2)f�ur ~z > 0

0 f�ur ~z � 0

;

welche nur noch von der sogenannten Zahl der Freiheitsgrade K und

dem Nichtzentralit�atsparameter

c =K�1Xk=0

c2k

abh�angt. Der Erwartungswert und die Varianz berechnen sich dann

zu

E

n~Zo

= K + c2 (4.7a)

V

n~Zo

= 2K + 4c2: (4.7b)

Anhang 203

Folglich ist ~Y (e j2��L ; e j

2��L ) nichtzentral Chi-Quadrat-verteilt mit 2 Freiheitsgra-

den und dem Nichtzentralit�atsparameter

c~Y =

vuuuut0B@E

nRenCX;3(e

j2��L ; e j

2��L )oo

�CX;3

1CA2

+

0B@E

nImnCX;3(e

j2��L ; e j

2��L )oo

�CX;3

1CA2

=

��CX;3(ej2��L ; e j

2��L )��

�CX;3

=cZ;3(0; 0)

�CX;3:

Die Zufallsvariable

~W =L=2�1X�=1

�X�=1

�<L�2�

~Y (e j2��L ; e j

2��L )

=L=2�1X�=1

�X�=1

�<L�2�

�~UR(e

j 2��L ; e j

2��L )� cR(e

j 2��L ; e j

2��L )�2

+

�~UI(e

j 2��L ; e j

2��L )� cI(e

j 2��L ; e j

2��L )�2

ist o�enbar wiederum nichtzentralChi-Quadrat-verteilt mit nun 2L2=3 Freiheits-

graden (vgl. (2.4.3)) und dem Nichtzentralit�atsparameter

c ~W =

vuuuutL=2�1X�=1

�X�=1

�<L�2�

c2R(ej 2��L ; e j

2��L ) + c2I(e

j 2��L ; e j

2��L )

=

vuuuutL=2�1X�=1

�X�=1

�<L�2�

��CX;3(ej 2��L ; e j

2��L )��2

�2CX;3

=LcZ;3(0; 0)p

3�CX;3: (E.8)

Da sich schlie�lich der Sch�atzer als

c(5)Z;3 =

vuut3�2CX;3

L2~W (E.9)

schreiben l�a�t, kann auch die Verteilungsfunktion von c(5)Z;3 berechnet werden. Es

gilt

Fc(5)Z;3

(z) = Pfc(5)Z;3 � zg


= P

�r3�2

CX;3

~WL � z

�

=

8>>><>>>:

0 f�ur z < 0

Pf ~W � L2

3�2CX;3

z2g f�ur z � 0

=

8>>><>>>:

0 f�ur z < 0

F ~W ( L2

3�2CX;3

z2) f�ur z � 0;

und bei Existenz der Ableitung folgt f�ur die Dichtefunktion

fc(5)

Z;3

(z) =dF

c(5)

Z;3

(z)

dz=

8>><>>:

0 f�ur z < 0

2L2z3�2

CX;3

f ~W ( L2

3�2CX;3

z2) f�ur z � 0;

so da� schlie�lich die Varianz von c(5)Z;3 berechnet werden kann. Aufgrund der

asymptotischen Erwartungstreue des Bispektrumsch�atzers gilt

E

nc(5)Z;3

o= cZ;3(0; 0);

und weiter folgt mit (E.9)

E

��c(5)Z;3

�2�=

3�2CX;3

L2 E

n~Wo

=3�2

CX;3

L2

2L2

3+ c2~W

!

=3�2

CX;3

L2

0@2L2

3+L2c2Z;3(0; 0)

3�2CX;3

1A ;

wobei im vorletzten Schritt Gleichung (4.7a) und im letzten Schritt Gleichung

(E.8) angewandt wurden. Die gesuchte Varianz von c(5)Z;3 ergibt sich damit zu

V

nc(5)Z;3

o= E

��c(5)Z;3

�2�� Enc(5)Z;3

o�2

=3�2

CX;3

L2

0@2L2

3+L2c2Z;3(0; 0)

3�2CX;3

1A� c2Z;3(0; 0)

= 2�2CX;3

=2L2�6XV2

K: (E.10)

Anhang 205

F Bedingung f�ur einen rekursiven MA-Parametersch�atzer

Anhand des Nenners der rechten Seite von Gleichung (3.73)

d�X;N (�q) e j�((q+�)=2)� �N;M d X;M (�q) e�j�((q+�)=2)

ist nun zu pr�ufen, unter welchen Bedingungen dieser Nenner von Null verschieden ist.

Dazu wird zun�achst d�X;N(�q) und d X;M (�q) in Abh�angigkeit der MA-Parameter be-

rechnet, und anschlie�end wird �N;M durch (3.47) ersetzt. Alsdann kann die notwendige

Bedingung angegeben werden.

Ausgehend von Gleichung (3.53)

d�X;N (�q) =1X

�2=�1

� � �1X

�N�1=�1

cX;N(�q; �2:::; �N�1) ejN�1Pn=2

�n�n

und durch Einsetzen von (3.22) ergibt sich umgehend

d�X;N (�q) =1X

�2=�1

� � �1X

�N�1=�1

cZ;N (0; :::; 0)

qXl=0

blbl�q

N�1Yn=2

bl+�n

!!ejN�1Pn=2

�n�n

= cZ;N(0; :::; 0)1X

�2=�1

� � �1X

�N�1=�1

bqb0

N�1Yn=2

bq+�n

!ejN�1Pn=2

�n�n

= cZ;N(0; :::; 0) bqN�1Yn=2

1X

�n=�1

bq+�n ej�n�n

!

= cZ;N(0; :::; 0) bqN�1Yn=2

�e�j�nq HMA(e

�j�n)�;

wobei vom ersten zum zweiten Schritt nur der Summand f�ur l = q �ubrig geblieben ist

und im letzten Schritt die De�nition (3.21) verwendet wurde. Entsprechend folgt durch

Variablensubstitution

d X;M(�q) = cZ;M (0; :::; 0) bq

M�1Ym=2

�e�j mq HMA(e

�j m)�: (A.1)

Schlie�lich gilt dann f�ur den Nenner unter Verwendung von (3.47)

d�X;N (�q) e j�(q+�)=2� �N;M d X;M(�q) e�j�(q+�)=2

= cZ;N (0; :::; 0) bqN�1Yn=2

�e�j�nq HMA(e

�j�n)�e j

�(q+�)

2 �

206 F Bedingung f�ur einen rekursiven MA-Parametersch�atzer

cZ;N (0; :::; 0)

cZ;M (0; :::; 0)

N�1Yn=2

HMA(e�j�n)

M�1Ym=2

HMA(e�j m)

cZ;M (0; :::; 0) bqM�1Ym=2

HMA(e�j m) e�j mq e�j

�(q+�)2

= cZ;N (0; :::; 0) bqN�1Yn=2

HMA(e�j�n)

"e j

�(q+�)

2

N�1Yn=2

e�j�nq � e�j�(q+�)

2

M�1Ym=2

e�j mq#

= cZ;N (0; :::; 0) bqN�1Yn=2

HMA(e�j�n)

264e j�(q+�)2 e

�jqN�1Pn=2

�n

� e�j�(q+�)

2 e�jq

M�1Pm=2

m

375

= cZ;N (0; :::; 0) bqN�1Yn=2

HMA(e�j�n)

264e j�(q+�)2 e

�jqN�1Pn=2

�n

� e�j�(q+�)

2 e�jq(��+

N�1Pn=2

�n)

375 ;

= cZ;N (0; :::; 0) bq

�e j

�(q+�)2 � e�j

�(q+�)

2 e jq�� N�1Y

n=2

HMA(e�j�n) e

�jqN�1Pn=2

�n

= cZ;N (0; :::; 0) bq ej�q=2

he j��=2 � e�j��=2

i N�1Yn=2

HMA(e�j�n) e

�jqN�1Pn=2

�n

= 2j cZ;N(0; :::; 0) bq ej�q=2 sin(��=2)

N�1Yn=2

HMA(e�j�n) e

�jqN�1Pn=2

�n

;

wobei zur Ableitung des viertletzten Schrittes die Gleichung (3.50) verwendet wurde.

O�enbar wird der Nenner nur bei den Nullstellen der Sinusfunktion gleich Null, da

s�amtliche andere M�oglichkeiten, wie HMA(e�j�n) = 0 durch (3.62a), bq = 0 durch

(3.4) und letztlich cZ;N (0; :::; 0) = 0 durch (3.23) ausgeschlossen sind. Demzufolge ist

eine rekursive L�osung immer dann m�oglich, wenn nur die Modulationskreisfrequenz der

Ungleichung

� 6= 2�l

�; 8 l 2 Z ^ � = 1(1)q

gen�ugt. Da die Ordnung q a-priori als bekannt angenommen wird (vgl. hierzu den

Kommentar auf S. 100), kann diese Ungleichung stets erf�ullt werden.

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Danksagung - duepublico.uni-duisburg-essen.de · F rau Doris Kaiser und F rau P etra H otger. Meinem F reund J orn Galonsk a dank eic hf ur seinen h umorv ollen Beistand. Meine El-tern