Astr onomische Nachrichten,

abgeleitet. Von I n einer Abliandlung uber Ausgleicliungen von Pra-

cisionsnivellements in der Zeitschrift fiir Vermessungs- wesen VII. Band, 1878 hatte ich am Schlusse einige Worte itber Genauigkeitsbestimmungen von nivellitischen Stationsbeobachtungen hinzugefu gt und ein einfaches Gesetz fur das Wachsen des mittleren Fehlers bei zu- nehmender Zielweite zu geben versucht. Hierzu wurden die mittleren Fehler von Stationsbeobachtungen benutat, welche der Publication des geodatischen Instituts ,$as Pracisions - Nivellement der Elbe, ausgefuhrt von W . Seibt" entnommen sind und weiter unten unter - ,,A. Erste Reihe" - nochmals aufgefuhrt werden. Die da- rnaligen Resultate waren der Art, dass eine Wiederho- lung der Untersuchung niit anderem hinlanglich geeig neten Beobachtungsmatcrial wunschenswerth erschien.

Gegenwartig liegen mir nun ewei weitere Reihen mittlerer Fehler von Stationsbeobachtungen vor, welche eigens zu dem vorliegenden Zwecke aufgestellt wurden. Die eine Reihe, unter ,,B. Zweite Reihe" im Folgenden naher behandelt, ist in einer Abhandlung von W. Seibt ,,Genauigkeit geometrischer Nivellements" in der Zeit- schrift ,,CivilingenieurCc XXV. Band, 4. und 6. Heft 1879 enthalten, die andere unter ,,C. Dritte Reihe" er- iirterte, wurde von mir selbst in diesem Sommer ausge- fuhrt. Die Beobachtungen zu den drei Reihen mittlerer Fehler sind sammtlich einfache S tationsbeobachtungen -

blicks -, welche bei gleichm%ssig wachsenden Ziel- weiten, fur jede Station in gleicher Anzahl angestellt slurden. Dic hierbei angewendete Methode ist folgende.

Das Nivellirinstrum.ent hatte von den Lattenauf- stellungen des Riick- und Vorblickes gleichen Abstand - Zielweite -, und befand sich fur die Beobachtungen der beiden ersten Reihen auch in deren gerader Ver- bindnngslinie oder doch in der Nahe derselben. Der mittlere Horizontalstrich des Glasnetzes im Nivellirfern- rohre wurde auf die Mitte eines in der Nahe der hori-

Differene aus je einer Beobachtung des Ruck- und Vor-

Expedition auf der Koniglichen Sternwarte bei Kid Herauegeber: Prof- L>r. C, A. F- Peters.

Professor Dr. Biirsck.

zontalen Visirlinie liegenden kleinsten, 4mm fasscnden, Lattentheiles des Riick- dann des Vorblickes, narnlich auf R dann auf L; eingestellt und die zugehorigen Kiveausummen 117, und Nv, - gleich der Summe der Ablesungen der Libellenscala an beiden Blasenenden -, bestimmt. Bei jeder folgeraden Wiederholung der Beob- achtung wurde auf eine audere als die unmittelbar vor- her benutzte Mitte eines gleichgrossen Lattentheiles ein- gestellt, und hierdurch den einzelnen Beobachtungez moglichste Unabhangigkeit von eioander verschafft, 1st 2 W" der Winkelwerth eines pars, - 1 Par. Linse, der in der K.ichtung Objectiv - Ocular durchlaufend be- zi%erten Libellenscala, z die Zielweite, ll die gesuchte mhendifferenz zmischen den Aufstellungspunkten der beiden Nivellirlatten , so hat man aus einer einfachen Stationsbeobachtung

h = (R-V) -t 2 [LV~--.&) W" sin 1" (1) Da der mittlere Gesammtfehler m einer solclien

Stationsbeobachtung aus dem Zusammenwirken ver- schiedener mitt.ierer Fehler ml, 1122, m3 . . . hervorgeht, welche theils in dem Beobachter , theils in den ver- wendeten lnstrumenten und der Art ihrer Handhabung, theils in ausseren Einflussen ihre Ursaclie haben, SO

wird man nach den Principien der Methode der kleinsten Quadratc als den wahrscheinlichsten Ausdruck fiir den mittleren Gesammtfehler

setZen massen. Diese Gleicliung hat fur zufgllige, unvermeidliclle mittlere Fehler ihre Berechtigung. Constante und regelmassige Fehler sind entweder durcli die Anordnung der Beo bachtungen oder auf anderem Wege vor der Berechnung der mittleren Fehler aus den Beobachtungen auszuscheiden, ist dieses aber nach dem vorhandenen Beobachtungsmaterial nicht moglich , so werden sich dieselben in den aufklligen Fehlern ver- bergen, und auf die Reinheit namentlich in den Grossen- angaben deem. einen mebr oder weniger storenden Ein-

m 2 = m i 2 + m ~ 2 + m ~ 2 + . . . (2)

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Band 96. Nr. 2283. 3.

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f l u ~ s uben. Die hauptsachlichsten zufalligen Fehler, aus welchen sich der Gesammtfehler zusammensetzt, sind folgende :

I, D e r V i s u r f e h 1 e r. Der mittlere Horizon- talstrich des Glasnetzes wird auf die Mitte eines kleinsten, 4mm fassenden, Lattentheiles eingestellt, also analog dem Einvisiren des Objectes bei trigonometrischen Xdessungen verfahren. Die Breite 9 eines Glasnetz- striches betragt etwa 0 . 0 0 3 N m ; die rnit der Zielweite z in umgekehrtem Verhiiltnisse sich iindernde Breite

If des in der Brennweite f des Objectives erzeugten

Bildes eines im Abstande z beobachteten Lattentheiles t betragt fur t = 4 m m , f=4Wmm und z== 3 0 0 m aber = 0.06mm ; es kiinnen daher bei hinlanglicher Vergriisse- rung noch bis zu Zielweiten von 3 0 0 m Halbirungen cines solchen Lattentheilbildes durch den Horizontal- strich ausgefuhrt werden. Da aber die Genauigkeit der Halbirung mit der Breite des Bildes in umge- kehrtem Verhaltnisse steht. SO wird der bei der Ein- stellung aif die Mitte begangene Visurfehler unab- hangig von der Zielweite sein. Genau genommen ge-

staltet sich die Sache noch giinstiger, indem nicht t' son-

t f ' dern die Differenz -- - 9 halbirt wird.

2. U e r N i v e a u f e h l e r , welcher aus der Unge- nauigkeit in der Ablesung der Libellenscala folgt, wachst proportional der Zielweite.

3. D e r R e f r a c t i o n s f e h l e r , welcher durch die ungleiche Brechang des Visirstrahles in der Richtung des Riick- und Vorblickes, sowie durch die Luftwallungen hervorgerufen wird, ist dem Quadrate der Zielweiten p roportianal.

4. D e r F e h l e r h e r v o r g e r u f e n d u r c h d a s S c h w e n k e n d e r S i v e l l i r l a t t e n beim Halten derselben, ist unabhangig vun der Zielweite pnd fur eine einzelne Lattenbeobachtung ein in positivem Sinne, also einseitig wirkender Fehler. Da aber fur eine Stationsbeobachtung die Differenz zweier Lattenbeob- achtungen eur Anwendung kommt, 80 erhalt dcr E'ehler fur diesen Fall den Charakter eines yon der Zielweite unabhangigen zufalligen Fehlers. Dieser Fehler kann vermieden werden, wenn man, wie dieses bei den W iirtembergischen Pracisionsnivellements geschehen. den L attcn vermittelst besonderer Stative eine gesicherte S tellung giebt.

Alle noch iibrigen zufiilligen Einzelfehler, die jcdoch

Z

2

m Verhgltnisse zu den angefiihrten nur von sehr ge- ingem Einflusse sein konnen, werden sich leicht rnit lem einen oder anderen der unter 1) bis 4) genannten zusammenfassen lassen, so dass man schliesslich in der Gleichung (2) als' mittleres, von der Zielweite unabr hiingiges, Fehlerquadrat wu2 = a, als Functionen von z aber m2z = bz2 und m23 = cz4, und endlich das aus den mittleren Einzelfehlern berechnete mittlere Gesammt- fehlerquadrat

setzen kann. a , b und e kijnnen, da die drei Glieder rechter Hand Quadrate sind, nur positiv oder Xu11 sein.

Sind die aus den Beobachtungsgruppen fiir die vcrschiedenen gegebenen Zielweiten gefundenen m in iiberschiissiger Zahl vorhandeu, so findet man durch die Normalgleichungen

(??2)2 -- a +- 6 2% + c z4 (3)

0 = - [d ] + [I 1 a + [z2] b + [z4J c 0 = - [d z2] + [9] u + [z*] 6 + 14 c (4) 0 = -- [mz z4] + [z4 ] CL + [zoj b -/- [zsj c

lie wahrscheinlichsten Zahlenwerthe fur a, h und c und lann durch Einfuhrung derselben in die Gleichung (3) fur die verschiedenen Zielweiten die nach dem aufge- stellten Gesetze den beobachteten m am engsten sich mschliessenden berechneteu mittleren Gesammtfehbr (m).

J e correcter und in grosstmoglicher iiberschiissiger Zahl die Reobachtungen ausgefiihrt sind und je richtiger md erschopfender die unter (3) empirisch aufgestellten Functionen fur die mittleren Einzelfehler sind, um so mehr miissen sich die berechneten den beobachteten nittleren Gesammtfehlern anpassen d. h. um so kleiuer ~ U S S die Summe der Quadrate ihrer Differenzen, namlich

Sein. Konnen die drei Glieder rechter Hand der Gleichung .3) aber nictit zur Geltung gebracht werden, so ist ent- weder die Anzahl der Beobachtungen bews, der m nicht ;eniigend, oder in den Beobachtungen selbst ist nicht Alles gewahrt worden, dann wird es aber doch gelingen iach Ausscheidung eines Gliedes der Gleichung (3) ein tnnehmbares Resultat zii erhalten.

Durcb Multiplication des m mit V'io erha15 man

n der Gleichung

ien mittleren Fehler Ji eines mit der Zielweite z aus- ;efiihrten Nivellements von 1 Kilometer Lange, hier m z mittlerer Kilometerfehler genannt. Endlich geben

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die Quotienten @' (2 ein Mittel, sich im Allgemeinen

ein Urtheil uber den Einfluss der Zielweite auf den mittleren Stationsfehler zu bilden.

Auch noch auf einem anderen Wege, der aber nur einen Ausdruck f i r den mittleren Gesammtfehler, nicht aber auch fur die mittleren Einzelfehler liefert, kann. man ein Fehlergesetz entwickeln. Da nur die absoluten Werthe der mittleren Fehler m in Betracht kommen, und diese als Beobachtungen aufgefass t werden konnen, so darf man auch die ersten Potenzen der m einfihren und dieselben als abhangige Variable in einer nach steigenden Potenzen der unabhiingigen Variablen z fortlaufenden und wenigstens innerhalb gewisser Grenzen convergirenden Reihe darzustcllen versuchen, so dass das erste Glied als ausschlaggebend au betrachten sein wird, namlich :

V2' z

3 R m = f (2) = p z C L + q g g r C + r z

Fur z = 0 wird f ( z ) = 0, wie es auch sein muss, da das Vorhanirensein einer constanten Fehlerquelle ausgeschlossen sein soll.

Setzt man w = 0, so wurde m von der Zielweite unabhangig sein , was jeder Begrundung entbehrt, f iir a = .t erhalt mar, als berechneten mittleren Stations- fehler :

fur a = I aber

Grossere Werthe als 1 fiir B zu setzen ist zwecklos. Aus den in iiberschiissiger Zahl vorhandenen be-

obachteten m und den bekannten x bildet man mit Zu- grundelegung der Gleichungen (8) un-1. (9) die Normal- gleichungen :

0=-[m z

und

+. . . . *> (7)

u = PI/" --t q z $- r z 1 / z - . . .

( p ) = p z + q . 2 + r z 3 -+ . . .

(8)

(9)

0=-[m V Z 1 + (2 ] p + [z 1/21 Q + [z* ] T +. . . . 0=-[77zzl/z] + [z2 1 p -+ [z2Vzj y + [ ~ 3 3 T +. . . . O=--[mz 3 + [ z 2 ] p + [z3 ] Q - + [z4 ] Y+. . . 0=- [mzz 1 t l . 3 1 p + [z4 j p + p 1 Y + (11) O=--[mz3 3 + [z4 3 p + [z5 3 q -+ [zG ] T + . . . .

]+ [21/2] p + [=* 3 q f [z'p'z] r + (10)

*) Anm : Vergleiche meine Abhandlung: sUeber die Genauig- keit der , Winkel- und Linienmessungen. in der Zeitschrift fur Math. u. Physik. Bd. 17111, 1863 pag. 333.

findet aus diesen die wahrscheinlichsten Zahlenwerthe fur p , q und r und durch Einfahrung derselben in (8) und (9) die berechneten p und ( p ) fiir die verschiedenen Zielweiten.

Bildet man die Summe der Quadrate der Diffe- renzen der beobachteten und berechneten mittleren Fehler, namlich :

so wird das Fehlergesetz das wahrscheinlichere sein, welches die kleinere Quadratsumme liefert. Endlich wird man noch die mittleren Kilometerfehler M, (N), sowie die Quotienten -c, !f 'A und - G 1 berechnen.

vx 2 ' - f / z Naeh diesen allgemeinen Auseinandersetzungen fol-

gen nun die Untersuchungen der einzelnen Reihen beob- achteter m. Sammtliche mittlere Fehler sind durchweg in Millimetern ausgedriickt.

A. E r s t e R e i h e . Das verwendete Nivellirins trument hat ein ,Fernrohr

von 32 facher Vergrosseriing mit einem Objective von 42mm Oefinung und einer Brennweite von 460mm. Die Libelle hat eine Empfindlichkeit von 5,16 Secunden auf einen Scalentheil = 1 Par. L. Die 20 vorliegenden mittleren Behler m einfacher Stationsbeobnchtungen sind aus 'LO Gruppen von je 20 einfachen Stationsbeobach- tungen und je 5 verschiedenen Beobachtungsgrossen (Hohendifferenzen) abgeleitet , so dass auf jede der letzteren 4 Beobachtungen kommen, mithin fur den mittleren Fehler einer einfachen Stationsbeobachtung jeder Gruppe der Ausdruck

m= b/.L v v]

Anwendung findet. Die Beobachtungen sind ohne be- sondere Auswahl, also ganz dem Zufalle uberlassen, aus dem Qesammtbeobachtungsmated des Elbnivelle- ments zusammengelesen , wesshalb auch die Angaben der Zielweiten Ton 1 0 m bis 2 0 0 m in Interwallen von 1Om theilweise nicht scharf, sondern nur annahernd aqf- zufassen sind. Zur bequemeren Berechnung der (m), p und (p) ist die kurzeste Zielweite z=lOm als Einheit genommen.

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(Schluss folgt.)