Das klassische Modell der Quan fentheorie

Von K . F . Novobatzky

Inhaltsiibersieht Es wird eine neue Ableitung der Sc hrodinger schen Wellengleichung gegeben,

die ohne Benutwng optischer Analogien im Rahmen der reinen Mechanik erfolgt. Die Betrachtungen zeigen, daB die Quantenmechanik sich nur durch die Ein- fuhrung der antikIassischen Operatorenstatistik von der klassischen Mechanik scheidet.

Eine der Hauptaufgaben der statistischen Mechanik besteht in der Ermittlung jener virtuellen Gesamtheiten, die der Mittelwertsbildung als Grundlage dienen. Es sind hauptsachlich die kanonischen und mikrokanonischen Mannigfaltigkeiten, mit denen sich die klassische Statistik befafit.

Eine sehr bemerkenswerte Gesamtheit, die bisher ubergangen wurde, wird durch die Hami l ton- Jacobische Wirkungsfunktion S dargestellt. Beschrankt man sich auf den Massenpunkt, der sich unter der Einwirkung des Potentials V ( x , y , z, t ) bewegt, so lautet die H a m i l t o n - Jacobische Gleichung

Die vollstandige Losung ergibt sich in deq Form S ( x , y , z, t , a, b, c) , wo a, b, c unbestimmte Konstanten sind. Legt man ihre Werte irgendwie fest, so wird, wenn p den Impuls, b die Geschwindigkeit des Massenpunktes bedeutet, durch die bekannte Gleichung

p = grad 8, oder 0 = A m grad S(x , y , z , t ) (2)

ein Geschwindigkeitsfeld definiert. Denkt man sich die Orthogonaltrajektorien der Flachenschar S = konst mit gleichen Massenpunkten dicht bestreut, so erhalt

1 man das Bild einer inkoharenten, stromenden Flussigkeit. - S ( x , y , z , t ) spielt m

die Rolle des Geschwindigkeitspotentials. Die Bewegung erfolgt wirbellos. Es liegt nahe, auf diese Punktgesamtheit eine Statistik aufzubauen. Als

Dichte e wird man die Anzahl der Massenpunkte in der Volumeneinheit festsetzen und das Bestehen der Kontinuitatsgleichung

%+ dive0 = 0 at (3)

fordern. Es ist fur das folgende ausschlaggebend, daB sich die zwei Hauptglei- chungen (1) und (3) aus einem , Variationsprinzipe ableiten:

K . F. Novobatzky: Das klassische Modell der Quantenthwrie 407

Variation von e ergibt die G1. (l), Variation von 5, wenn man (2) in Betracht zieht, die Kontinuitatsgleichung (3). Will man noch zum Ausdruck bringen, daB die Dichte eine wesentlich positive GroBe ist, so kann man e = Az schreiben ( A reell) und vor den Integranden aus spateren Bequemlichkeitsrucksichten den Paktor 2 setzen. Das Variationsprinzip lautet dann

6fLdxdydzdt = 0, mit der L a gr a n g e funktion

Von einer Lagrangefunktion sind zwei Dinge zu verlangen. Sie mu4 eine Invariante sein und L dx dy dz dt mu13 die Dimension einer Wirkung haben. Beide Bedingungen sind erfullt. S und A sind im Rahmen der nichtrelativistischen Mechanik invariante GroBen, deren Dimensionen g cm2 sec-1 resp. cm-8 sind.

Nun ist die Hauptschwierigkeit, die sich dem Aufbau einer Statistik entgegen- stellt, naher ins Auge zy fassen. J e nach den Zahlenwerten, die man den in S auftretenden Konstanteri a, b, c erteilt, wird die Stromung eine andere sein und man kann nicht erwarten, daB die zu bildenden Mittelwerte irgendeine allgemeine Aussage enthalten iiber eine Bewegung, deren oinziges Datum das Potential V darstellt. Die Schwierigkeit wird beseitigt, wenn man fur nicht vollstiindige, sondern regulare Losungen fordert, wie es einer alinehmbaren Statistik angemessen ist. Es lafit sich jedoch an der Hand eines einzigen Beispieles dartun, daB es sehr wohl Bewegungen gibt, die eine regulare Dichte ausschlieflen. Man denke an den linearen Oszillator, der parallel der X-Achse schwingt. Bedeutet a die Amplitude, o die Kreisfrequenz, E die Energie des Oszillators, so errechnet sich die Wirkungs- funktion zu

Die Plachen S = konst stehen senkrecht zur X-Achse, die Stromung der Punkt- gesamtheit. erfolgt demnach in der X-Richtung. Die Punktmenge, die pro sec durch die Bodenflache f einer Stromrohre tritt, erfullt das Volumen f Us. Die Ge- schwindigkeit b, verringert sich gegen die Amplitudenendflachen hin stetig und wird dort Null. Die Punktmenge erfiillt einen stetig abnehmenden Raum, die Dichte wachst und wird an den Endfliichen’unendlich.

Man steht vor dem Dilemma, die Konzeption einer neuen Statistik fallen zu lassen, oder aber eine Erweiterung der klassischen Mechanik vorzunehmen. Als Schrodinger seinerzeit - in anderer Richtung vordringend - sich zu letzterem Schritte entschlol3, dienten ihm optische Analogien zur Richtschnur. Das Heil kam, wie P l a n c k sich ausdriickt, von der Seite der Optik. Hier jedoch moge das Gebiet der reinen Mechanik nicht verlassen werden. Die Moglichkeit einer klassi- schen Interpretation hangt damit zusammen. Das leitende Prinzip bestehe darin, die Lagrangefunktion (5), durch die die Gesamtheit beschrieben wird, im er- laubten MaBe zu verallgemeinern. Sehr bemerkenswert ist, das die Verallgemei- nerung ziemlich eindeutig, mit einem Minimum an Voraussetzungen durchgefiihrt werden kann.

Es ist klar, daB an den ersten vier Gliedern des Klammerausdruckes in (5) nichts geandert werden darf, sol1 durch die Variation von S die Kontinuitats- gleichung nicht zerstort werden. Die einzige zqlassige hderung besteht im Hin- zufiigen eines Zusatzgliedes 2, das aus demselben Grunde S nicht enthalten dad.

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Die zum Aufbau von 2 zur Verfugung stehenden GroBen siqd m und A. Aus dem Skalar A lassen sich folgende Invarianten bilden: I grad A 12, AA, I grad dA12, AdA usw. Die einfachste unter ihnen ist 1 grad A1 2, alle anderen fuhren zu Feldglei- chungen, die von hoherer als zweiter Ordnung sind. Das Zusatzglied hat daher folgende Gestalt:

Die Dimension von 2 muB gleich g em-1 s e c 2 sein, um mit dz dy dz dt multipliziert die geforderte Wirkungsdimension anzunehmen. Nun ist

[A] = cm-4, I grad A1 = cm-5, [m] = g.

Auf der rechten Seite von [6] fehlt ersichtlicherweise die Zeitdimension, die linker- seits auftritt. Man steht vor der unabweislichen Notwendigkeit, die rechte Seite mit einer universellen Konstante zu erweitern. Nun haben aber alle diese Kon- stanten auBer dern Planckschen R eine streng umschriebene Bedeutung und passen nicht hierher. Eine andere Wahl ware schwerlich zu begriinden. Wahlt man so lautet die G1. (6) in Dimensionen geschrieben

g cm-1 sec-2 = (g cm2 sec-1)ne cm-tni c m - 6 ~ ~ gna.

2 = An1 (grad A)ana mn.. (6)

Der Vergleich ergibt sofort 3

n4 = 2, n3 = - 1, T n l + 5 n2 = 5.

SchlieBt man ganz unwahrscheinliche Potenzen aus, so verbleibt als Losung der letzten Gleichung n, = 0, n2 = 1. Man erhalt daher

und die Lagrangefunktion wird

(8) Die daraus entspringenden E u ler when Gleichungen sind folgende:

Ra AA a s 2 m A (9)

(10) 1 a~ a s aA as aA a s 1 m a s ax y ay az ,az 2 m

g + - (- - + a - + - -) + - A AS = 0.

(10) stellt die Kontinuitatsgleichung, (9) die H a m i l t o n - Jacobische Bewegungs- gleichung dar. Der einzige Unterschied gegenuber (1) besteht darin, daB zum Potential V der aul3eren Krafte das von der Punktdichte abhangige Potential

Ti1 A A - - - dazugetreten ist. Die fundamentalen Bewegungsgesetze haben keine

Veranderung erfahren. Sie werden durch die charakteristischen GGichungen von 2 m A

(9) zum Ausdruck gebracht ax- 1 a s a as- fi’ _ _ _ _ _ _ _ - _ dt m ax’ dt as

a8 und nach Elimination von - ax

K . F. Novobatzky: Das klassische Modell der Quantentheork 409

Es bleibt zu Recht bestehen, daD MaDe ma1 Beschleunigung gleich der wirkenden Kraft ist, nur die &aft selbst hat sich geandert. Wahrend ,bei physikalischen Korpern zum Gradienten von V die Spannungsdivergenz hinzutritt, ist es hier ein Dichtepotential, dessen Gradient neue Kriifte hervorruft. Durch die vorge- nommene Verallgemeinerung wurde eine Punktgesamtheit geschaffen, die sich nach klassischen Gesetzen bewegt und daher klassisch vollkommen verstandlich bleibt. In Prage steht nur noch, ob das gewiinschte Ziel erreicht ist, ob die G1. (9) und (10) zu regularen Dichten fuhren. Man ist der Pflicht enthoben, dies rechnerisch nachzuweisen, denn faDt man die zwei unbekannten Funktionen A und X in der komplexen Funktion

(11) zustlmmen, so lassen sich die Bewegungsgleichung (9) und die Kontinuitatsglei- chung (10) in der wohlbekannten Sc hrodingerschen Wellengleichung

vereinigen. Fuhrt man die hier angedeuteten Differentiationen an der Porm (11) von y durch und setzt den reellen und imaginaren Teil von (12) getrennt gleich Null, so erhalt man gerade die Gln. (9) und (10). Von der Schrodingergleichung aber weiD man sehr wohl, daB sie regulare Losungen zulaBt. Die stationare Sc hr o - dingergleichung ergibt sich aus der Bemerkung, daB, wedn V die Zeit nicht ent- halt, X die Form annimmt: S = - E t + So (2, y, 2). Das erste Glied in (12) wird dann -E y.

Die Punktdichte ergibt sich zu e = A2 = y* y. (13)

Auch die Kontinuitatsgleichung (10) geht nach Multiplikation mit 2 A in die bekannte Form!

'(14) a T6

(y* y ) + div (y* grad y - y grad y*)

Z Y 2 1 v* uber, wenn das aus (11) berechnete S = -1g- eingesetzt wird. Die Interpre-

tation von y* y als Ortswahrscheinlichkeit und des Klammerausdruckes in (14) als WahrscheinlichkeitsfluD braucht jetzt nicht mehr axiomatisch eingefiihrt zu werden, sondern folgt von selbst aus dem Stromungsbilde. Der richtige Sinn der Schr odingergleichung besteht nach dem Vorhergehenden darin, daD durch sie eine klassische Gesamtheit definiert wird, auf die sich ohne Bedenken eine Statistik griinden la&.

Die G1. (12) ist linear und homogen, sie kann als Operatorengleichung aufge- faBt werden. Der Vergleich mit (1) zeigt sofort die sich entsprechenden Grohen und Operatoren an:

as f i a as f i a i ax

---- at a t , z = - - u s w . V-v.

Jeder Versuch, die Linearitat und Homogenitat der Gleichung abandern zu wollen, wiirde dem Operatorenkalkiil den Boden entziehen. Dieser Kalkiil bildet jene scharfe Grenze, auf deren einer Seite der durchaus klassische statistische Korper, auf deren anderer die antiklassische Operatorenstatistik liegt. Wird dz auf 1 normiert, so ist der klassische Mittelwert der Phasenfunktio? F ( z , p ) : = $e2Fdz,

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der quantentheoretische hingegen, wenn SZ den der Funktion F entsprechenden Operator bedeutet : F = J y* Q y dt. Wohl decken sich die beiden Mittelwerte fur reine Ortsfunktionen, sogar auch die Mittelwerte einer beliebigen Impuls- komponente, aber schon fur die Mittel der zweiten Potenzen dieser Komponenten findet keine ubereinstimmung mehr statt.

Nach alledem ist klar, daB die Schrodingergleichung und alles, was mit ihr allein zusammenhangt, wie Energieeigenwerte, Storungsrechnung usw., klassisch verstandlich bleibt, alles iibrige hingegen, an dem auch der Operatorenkalkul be- teiligt ist, in das Gebiet der spezifischen Quantentheorie fallt. So zum Beispiel ist die Austauscherscheinung beim Ha-Atom klhssisch verstandlich. Denn daB un- unterscheidbare Teilchen zur Fntartung fiihren, ist eine mathematische Tatsache, den Singulett- und Triplettzustanden aber ordnet die Storungsrechnung selbst die nichtkombinierenden Eigenfunktionen zu. Demgegenuber bleibt die Ungenauig- keitsrelation klassisch unverstandlich, denn zu ihrer Herleitung spielt die Opera- torengestalt des Impulses eine wesentliche Rolle.

Klar prazisiert wird der mystische Begriff ,,Zustand des Massenpunktes". DaB der mechanische Zustand durch Orts- und Impulsangabe erschopfend be- schrieben wird, liegt im Begriffe des Massenpunktes selbat. Es hat sich der Brauch eingebiirgert, die statistischen Aussagen der Gesamtheit auf den einzelnen Massen- punkt zu ubertragen und demselben einen Zustand zuzuschreiben, der durch eine Begleitwelle dargestellt wird. Nach der gegebenen Ableitung aber beschreibt y nicht die Bewegung eines einzelnen Punktes, sondern die der Gesamtheit. Der einzelne Massenpunkt wird durch keinerlei Welle begleitet, wie schon daraus er-

hellt, daB zum Zustandekommen der Welle das Zusatzglied - '- - erforderlich

ist, das das Bestehen einer Punktdichte voraussetzt. Wollte man das auf einen klei- nen Raum beschrankte Wellenpaket einem einzigen Teilchen zuordnen, so wurde man sofort Scheinprobleme heraufbeschworen. Wird namlich das solcherart de- finierte Wellenpaket an einem Potentialwall zum Teil reflektiert, zum Teil hin- durchgelassen, so zeigen die Wellenfunktionen der zwei Teilpakete ein eigenartiges Verhalten. Fur das erste ist J y* y dt,, fur das zweite J y* y dt2 Null oder 1, denn das Teilchen befindet sich ganz gewiB in einem bestimmten Yaket, oder ganz gewil3 nicht. Blickt man nun in das erste hinein und konstatiert dort die Anwesenheit des Teilchens, so wird fur das zweite j y * y dt, sofort zu Null und man kann sich den Kopf dariiber zerbrechen, welche geheimnisvolle Wirkung von unserem Blicke ausging, die zeitlos, mit unendlicher Geschwindigkeit fortschreitend, die Wellen- funktion im zweiten Paket annulliert hat. Die legitime Auffassung ist wohl fol- gende: im ungeteilten Paket befindet sich nicht ein Teilchen, sondern die ganze Punktmenge des virtuellen statistischen Korpers. Den am Wall giiltigen Grenz- bedingungen gembl3 verteilt sich diese Menge im Verhaltnis N , : N , auf die beiden Teilpakete. Das aber hat eine sehr einfache Bedeutung. Fallt nicht ein Teilchen, sondern eine groBe Anzahl solcher auf den Wall, so sind statistische Aussagen a m Platze und unser Ansatz bedeutet, daB die Zahl der hindurchgegangenen zu der der reflektierten im Verhaltnis von N , zu Nz steht. Das Scheinproblem ist verschwunden.

Es fragt sich noch, ob die iein statistische Auffassung der Quantenmechanik nur eine mogliche, oder aber eine zwingende ist. Die Antwort ist sehr einfach. Die Wellenfunktion ist immer komplex, die Zweiteilung der S c h rod ingerschen Gleichung in (9) und (10) gilt ohne Ausnahme. Diese zwei Gleichungen aber sind das mathematische Abbild der Punktgesamtheit, des statistischen Korpers.

ti2 AA 2 m A

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Der Versuch, die Optik in gleicher Weise als Photonenstatistik betrachten zu. wollen, verbietet sich von selbst. Die optische Wellenfunktion ist reell, eine Auf- spaltung in reellen und imaginaren Anteil entfallt und damit auch die Moglichkeit, eine Kontinuitatsgleichung, die sich auf die Teilchenanzahl bezieht, zu erhalten.

Genau derselbe Gedankengang, durch den die Schrodingergleichung (12). gewonnen wurde, fuhrt auf relativistischem Gebiete zur Schrodinger-Gordon- schen Gleichung. Bedeuten z1 %a, 8, z4 = i c t die Koordinaten des Teilchens, z die Eigenzeit und GI, @, @*, @* die Komponenten des Viererpotentials, so lautet die H a m i l t o n - Jacobische Gleichung

as moca at. 2 mit -=- . Die erste Gruppe der charakteristischen Gleichungen

- - definieren die Groflen

als Komponenten der Vierergeschwindigkeit und fiihren mit der zweiten Gruppe vereint zu den Bewegungsgleichungen

Multipliziert man die linke Seite von (15) mit 2 ~ , , so entsteht die Lagrange- funktion L und die Variation von S liefert die relativistische Kontinuitatsgleichung

Mit Po = A2 und ui = 1 (’!! - 2 Gi) nimmt sie die Form an ma ax, c

2- aA / a 8 - - - @ a ) + A O S = O . e ax, \ax, c

Die Verallgemeinerung der Lagr angefunktion erfolgt jetzt durch Hinzufugung des Gliedes - - 2 (g)o. Neben der unveranderten Kontinuitatsgleichung erhiilt man dann an Stelle von (15) die Jacobische Gleichung

Tka

9% ax,

a s 8 lia o A (15’).

(15‘) und (17) vereinigen sich wie oben zur Schrodinger-Gordongleichung,

wenn fur - wieder 0 gesetzt wild. Diese Gleichung wird verschiedentlich beurteilt. Es trifft sie einesteils der Vor-

wurf, da13 sie auch in der Zeitvai iablen von zweiter 01 dnung und deshalb inkorrekt ist. Andererseits hat es an Rehabilit ier ungsvei suchen nicht gefehlt . Allgemein betrachtet man sie heute als die I ichtige Wellengleichung spinloser Teilchen.

Es ist nicht uninteressant, festzustellen, wie sie sich im Lichte der hier gegebenen Ableitung darstellt. Die chaIaEteristischen Gln. (16) bleiben auch fur die veiall-

a s m c8

at 2

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gemeinerte GI. (lp) bestehen. Daraus aber folgt auf Grund von 2 ui = - ca, daB neben (15') auch die Gleichung

m, ca bestehen muBte. Setzt man die Konstante as in der Form k + - an, so hatte man fur die zwei unbekannten Funktionen A und S die drei Gleichungen

0, (18) und (17). Im allgemeinen Falle wird es keine Losung geben. k---= 2m, A

Laat man (18) auBer Betracht und lost nur (15') und (17), d. h. die gewohnliche Sohrodinger-Gordongleichung, so betrachtet man eben nicht eine Punkt- mannigfaltigkeit, die sich mit Vierergeschwindigkeit bewegt. Die Gleichung rechnet mit den vier Geschwindigkeitskomponenten als unabhangigen Grofien. Es ist daher nicht verwunderlich, daB sie auf das H-Atom angewandt, eine falsche Peinstruktur ergibt. Die ebenen Wellen des feldfreien Falles hingegep, mit A = konst., S = pi xi bedeuten eine strenge Losung. Dies ist die theoretische Stutze fur die gewohnliche Porderung, da8 iterierte Wellengleichungen erster Ordnung im feldfreien Falle in die Schrodinger-Gordongleichung iibergehen mogen.

Zusammenfassend kann gesagt werden, daB die hier gegebene Ableitung der S o hr odinger gleichung einerseits innerhalb der Grenzen der Mechanik erfolgt, andererseits die Quantenmechanik als rein statistische Theorie kennzeichnet und jenes klassische Model1 angibt, iiber das nach unklassischen Methoden gemittelt wird.

B u d a p e s t , Physikalisches Institut der Universitat.

a t 2

62 o A

(Bei der Redaktion eingegangen am 26. September 1951.)