Renald Otto

Das Wildcard-

Paradoxon

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Das Wildcard-Paradoxon

Der gelegentliche Pokerspieler stolpert hier und dort mal in eine Wildcard-Pokerrunde – den

meisten Spielern ist jedoch das sogenannte Wildcard-Paradoxon unbekannt. Wildcards sorgen für

veränderte Eintrittswahrscheinlichkeiten der verschiedenen Pokerhände. Professionelle Pokerspieler

wissen dies zu ihrem Vorteil zu nutzen und spielen deshalb gern mit Wildcards. Hier ein kurzer

Überblick zu diesem Thema, damit auch Sie davon profitieren können:

Die Bewertung der Hände im Pokerspiel erfolgt i.A. nach der Häufigkeit ihres Auftretens, wenn aus

einem Kartendeck mit 52 Spielkarten zufällig 5 Karten ausgewählt werden. Je geringer die

Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Pokerhand zu erhalten, desto höher ihre Bewertung.

Die folgende Tabelle zeigt die Eintrittswahrscheinlichkeiten der Pokerhände für ein normales

Kartenspiel mit 52 Karten, geordnet nach Ihrer Wertigkeit. (zur Berechnung siehe Anhang 1)

Pokerhand # Kombinationen Wahrscheinlichkeit in Prozent

Straight Flush 40 0,000015 0,0015 %

Vierling 624 0,000240 0,024 %

Full House 3.744 0,001441 0,144 %

Flush 5.108 0,001965 0,2 %

Straight 10.200 0,003925 0,4 %

Drilling 54.912 0,021129 2 %

Doppelpaar 123.552 0,047539 5 %

Paar 1.098.240 0,422569 42 %

High Card 1.302.540 0,501177 50 %

Insgesamt 2.598.960 1,000000 100 %

Das Paradoxon: Wenn eine oder mehrere Wildcards in das Spiel eingeführt werden, dann ist es nicht

möglich, die Pokerhände anhand ihrer Eintrittswahrscheinlichkeiten zu bewerten. Es wird in diesem

Fall immer mindestens eine Hand geben, die nach Standardregeln höher bewertet wird, aber auch

gleichzeitig häufiger auftritt, als eine geringer wertige Kartenkombination.

Wildcards werden oft dann eingeführt, wenn die Spieler eine etwas unterhaltsamere und

lebendigere Pokerrunde gestalten möchten. Die Wildcard (oft der Joker, aber auch jede andere der

52 Karten) kann dann dazu genutzt werden, die fehlende Karte zu einer Kartenkombination zu

ersetzen. Somit steigt die Wahrscheinlichkeit des Spielers, eine höher wertige Pokerhand zu

erreichen.

Dies ist jedoch auch die Ursache für das Paradoxon: Gehen wir davon aus, dass der Joker als Wildcard

gilt und die Rangfolge der Pokerhände wie in obiger Tabelle beibehalten wird. Ein Spieler erhält nun

die Karten 5D, 5C, 7S, 10H und den Joker. Die Wildcard könnte nun als 10 das Doppelpaar ergänzen,

oder als 5 einen Drilling bilden. Der Spieler wählt natürlich die höhere Pokerhand (den Drilling).

Damit erhöht er aber die Eintrittswahrscheinlichkeit für einen Drilling und macht gleichzeitig das

Auftreten eines Doppelpaars weniger häufig. Würde man die Pokerhände weiterhin nach

Eintrittswahrscheinlichkeiten bewerten wollen, müsste nun das Doppelpaar mehr wert sein, als der

Drilling. Dies würde aber wiederum den Spieler dazu veranlassen, seine Wildcard für das Doppelpaar

zu verwenden, womit sich aber wiederum die Häufigkeiten der Pokerhände ändern.

Wie sich die Häufigkeiten der Kartenkombinationen bei einer Wildcard in Abhängigkeit von der

Relation Drilling/Doppelpaar verhalten, zeigt die Tabelle 2. (Berechnung siehe Anhang 2)

Häufigkeiten bei einem wilden Joker und unterschiedlicher Rangfolge der Pokerhände

Pokerhand # Kombinationen Pokerhand # Kombinationen

Fünfling 13 Fünfling 13

Straight Flush 184 Straigt Flush 184

Vierling 3.120 Vierling 3.120

Full House 6.552 Full House 6.552

Flush 7.804 Flush 7.804

Straight 20.532 Straight 20.532

Drilling 137.280 Doppelpaar 205.920

Doppelpaar 123.552 Drilling 54.912

Paar 1.268.088 Paar 1.268.088

Egal, welche Reihenfolge man nun wählt – bei Einführung von Wildcards in das Spiel sind

Eintrittswahrscheinlichkeiten und Wertigkeiten der Pokerhände immer inkompatibel.

Ähnliches kann man bei anderen Wildcard-Varianten (2 Joker, Deuces Wild, etc.) beobachten. Der

Spieler sollte sich merken: Je mehr Wildcards im Spiel, desto häufiger werden Vierling und Full House,

jedoch nimmt die Häufigkeit eines Flushes ab.

Lösungsvorschlag für das Wildcard-Paradoxon

Eine mögliche Lösung für dieses Paradoxon haben John Emert und Dale Umbach (1) vorgeschlagen:

Grundlage für die Rangfolge von Händen beim Wildcard-Poker sollte die Einschluss-Häufigkeit

(inclusion frequency) sein.

Anstatt jede 5-Karten-Kombination in eine bestimmte Pokerhand-Kategorie einzuordnen, sollte

berücksichtigt werden, dass eine Kombination auch gleichzeitig mehrere Pokerhände abbilden kann.

Beispielsweise könnte ein Full House auch gleichzeitig als Doppelpaar, Drilling oder sogar nur als Paar

bezeichnet werden: Das Full House schließt Doppelpaar, Drilling und Paar ein, somit muss die

Einschluss-Häufigkeit bei der Festlegung der Rangfolge der Pokerhände betrachtet werden.

Wie sich die Einschluss-Häufigkeit einer Hand (ohne Wildcard) konstruieren lässt, kann anhand der

Tabelle 1 nachvollzogen werden: Für einen Drilling ist die Einschluss-Häufigkeit 59.280 – diese Zahl

ist die Summe der Häufigkeit eines Drillings (54.912) und der Häufigkeiten der Pokerhände, die den

Drilling einschließen (Full House mit 3.744 und Vierling mit 624).

Wenn wir dieses System für die Festlegung der Rangfolge von Pokerhänden verwenden, stellen wir

sicher, dass der Drilling immer mehr wert sein wird, als das Doppelpaar – insbesondere bei der

Verwendung von Wildcards. Tabelle 3 zeigt die Einschluss-Häufigkeiten für die verschiedenen

Pokerhände beim Wildcard-Poker.

Einschluss-Häufigkeiten der Pokerhände bei verschiedenen Wildcard-Varianten

keine Wildcard ein wilder Joker zwei wilde Joker Deuces Wild

Pokerhand # Kombi. Pokerhand # Kombi. Pokerhand # Kombi. Pokerhand # Kombi.

Fünfling 0 Fünfling 13 Fünfling 78 Fünfling 672

Straight Flush

40 Straight Flush

204 Straight Flush

624 Straight Flush

2.572

Vierling 624 Vierling 3.133 Vierling 9.438 Flush 17.044

Full House 3.744 Flush 8.008 Flush 12.012 Vierling 32.880

Flush 5.148 Full House 9.061 Full House 18.174 Full House 45.024

Straight 10.240 Straight 20.736 Straight 35.328 Straight 64.784

Drilling 59.280 Drilling 146.965 Drilling 256.494 Drilling 425.712

Doppel-paar

127.920 Doppel-paar

215.605 Doppel-paar

325.094 Doppel-paar

478.512

Paar 1.281.072 Paar 1.551.797 Paar 1.844.366 Paar 1.787.952

Die Tabelle zeigt: Bei der Pokervariante Deuces Wild muss ein Flush eigentlich höher bewertet

werden als Full House und sogar Vierling! Allgemein lässt sich feststellen: Je mehr Wildcards im Spiel,

desto wertvoller/seltener wird ein Flush. Die Reihenfolge der anderen Blätter bleibt im Vergleich mit

der herkömmlichen Bewertung unverändert.

Mit diesem Wissen wünsche ich Ihnen viel Spaß bei Ihrem nächsten Spiel „Deuces Wild!“

Literatur

(1) John Emert, Dale Umbach, „Inconsistencies of 'Wild Card' Poker“, Chance Magazine, 9 (1996),

Seite 17-22.

Anhang 1: Berechnung der Eintrittswahrscheinlichkeit einer Pokerhand bei 52 Karten

Die Anzahl der verschiedenen 5-Karten-Kombinationen, die aus einem Deck von 52 Spielkarten ohne

Wildcards gegeben werden können, wird berechnet mit N!/((N-k)!*k!), wobei N=52 und k=5:

52!/(47! * 5!)=2.598.960

Wieviele dieser Hände sind Vierlinge? Ein Vierling sind 4 Karten (A) gleichen Ranges (B) und eine

beliebige Karte (C) der übrigen 48.

(A) Auswahl von vier Karten eines Ranges: 4!/(0! * 4!) = 1

(B) Auswahl eines Ranges (2, 3, 4, ... As) von 13: 13!/(12! * 1!) = 13

(C) Auswahl einer beliebigen Karte aus 48: 48!/(47! * 1!) = 48

All dies sind unabhängige Ereignisse, somit ergibt sich die Anzahl der möglichen Vierlinge als Produkt

dieser Faktoren: 1*13*48 = 624

Die Eintrittswahrscheinlichkeit des Vierlings ist somit 624/2.598.960 = 0,000240 =0,024%

Anhang 2: Berechnung der Eintrittswahrscheinlichkeit einer Pokerhand bei 52 Karten und einem

wilden Joker

Wieviele Fünflinge gibt es? Ein Fünfling sind 4 Karten (A) gleichen Ranges (B) und ein Joker (C) aus

insgesamt einer Wildcard.

(A) Auswahl von vier Karten eines Ranges: 4!/(0! * 4!) = 1

(B) Auswahl eines Ranges (2, 3, 4, ... As) von 13: 13!/(12! * 1!) = 13

(C) trivial: Auswahl eines Jokers aus einer Menge von einer Wildcard: 1!/(0! * 1!) = 1

All dies sind unabhängige Ereignisse, somit ergibt sich die Anzahl der möglichen Fünflinge als Produkt

dieser Faktoren: 1*13*1 = 13

Wieviele Drillinge gibt es bei höherer Bewertung des Drillings im Vergleich zum Doppelpaar? Der

Drilling ist entweder natürlich (A) oder ein Paar plus Wildcard (B)

(A) Natürlicher Drilling ergibt sich aus folgenden unabhängigen Ereignissen: (i)Auswahl eines

Ranges von 13, (ii)Auswahl von 3 aus 4 Karten diesen Ranges, (iii)Auswahl zweier weiterer

Ränge, und (iv)zweimal die Auswahl von 1 aus 4 Karten dieser beiden Ränge.

(i) 13!/(12! * 1!) = 13

(ii) 4!/(1! * 3!) = 4

(iii) 12!/(10! * 2!) = 66

(iv) 4!/(3! * 1!) = 4

Die Häufigkeit des Drillings ist somit das Produkt 13 * 4 * 66 * 4 * 4 = 54.912

(B) Paar plus Wildcard: (i)Auswahl eines Ranges von 13, (ii)Auswahl von 2 aus 4 Karten diesen

Ranges, (iii)Auswahl zweier weiterer Ränge, und (iv)zweimal die Auswahl von 1 aus 4 Karten

dieser zwei Ränge – (und die Auswahl eines Jokers aus insgesamt einem Joker).

(v) 13!/(12! * 1!) = 13

(vi) 4!/(2! * 2!) = 6

(vii) 12!/(10! * 2!) = 66

(viii) 4!/(3! * 1!) = 4

Die Häufigkeit ist wieder das Produkt 13 * 6 * 66 * 4 * 4 = 82.368

Die Anzahl der Drillinge bei einem wilden Joker ist die Summe von (A) und (B): 137.280

Über den Autor: Renald Otto

Seit 2005 arbeite ich deutschlandweit in verschiedenen

Veranstaltungsagenturen und selbständig als Organisator von

Pokerturnieren und Casino-Events. Ob ein Pokertisch für den

Junggesellenabschied, das Casino-Dinner oder die nächste

Betriebsfeier unter dem Motto „Las Vegas“: Kein Anlass ist zu

klein, kein Fest zu groß!

Und wenn Sie für Ihre nächste Veranstaltung noch einen

Programmpunkt suchen, mit dem Sie bei Ihren Gästen in guter

Erinnerung bleiben – Sie finden mich unter:

www.casinovoyage.de