Entscheidungstheorie Teil 3...Seite 3 Entscheidungstheorie | Teil 3 St. Petersburg „Paradoxon“ (Bernoulli 1732) (1/1) Eine Münze mit Kopf und Zahl wird so oft geworfen, bis Kopf

EntscheidungstheorieTeil 3

Thomas Kämpke

Entscheidungstheorie | Teil 3Seite 2

Inhalt

– St. Petersburg „Paradoxon“ (Bernoulli 1732)– Präferenzfunktionen– Mittelpunktsmethode zur Bestimmung von Wertfunktionen über

Intervallen (eindimensional)– Methode der Sicherheitsäquivalente zur Bestimmung von

Nutzenfunktionen über Intervallen (eindimensional)– Risikoeinstellung

!!!

!

!


St. Petersburg „Paradoxon“ (Bernoulli 1732) (1/1)

Eine Münze mit Kopf und Zahl wird so oft geworfen, bis Kopf erscheint.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze dreimal geworfen wird?

Wie groß ist die erwartete Auszahlung dieser Lotterie?

ParadoxonNiemand ist bereit, einen hohen Preis für die Teilnahme an der Lotterie zu

zahlen. Daraus kann man schließen, dass der Erwartungswert keingeeignetes deskriptives Modell für Entscheidungen bei Unsicherheitdarstellt.

( )81

21,, 3321 ==KZZp

[ ] ( ) ( ) ( )

!=++++=+"++"+"=

++++=

+KKKK

KKK

21

21

21

212

212

211

,,,,2,22

121

21111

10

kk

kkk KZZZpKZpKpLE


Präferenzfunktionen (1/29)

Präferenzfunktionen stellen strikte Präferenzordnungen dar, d.h.

Deterministische und stochastische Situationen gleichermassen; zunächst.Deterministisch: f: n → 1.

Was aber, wenn Alternativen in Würfeln vs. nicht Würfeln oder Lotto spielenvs. nicht Lotto spielen besteht? Idee (v. Neumann)

Versuch f(a) als Erwartungswert darzustellen.

( ) ( ) !"# babfafba ,p A<



Dazu fasst man die Alternativen als W-Masse oder W-Verteilungen überMenge M auf.

Alternativen a, b,... = P, Q,...

Alternativenmenge A = P

Grundvoraussetzung

P konvex, d.h. mit P1, P2 P ist auch

( ) [ ].1,01 21 !"!#+ $$$ PP P



Beispiel

( ) ( )

( ) ( )

31

6,4,2,5,3,1,

031

6,,1,61

22

11

=

=

=

!"

!#$

===

====

%

ii

iXPiP

iiXPiP

X

X K



Beispiel für die Konvexkomination von zwei W-Massen( ) ( ) ( )

{ }

181

185

181

185

181

185

6,5,4,3,2,1

6,4,2,5,3,1,

1810

61

31

185

31

32

61

31

32

31

21

=

=

=

!"

!#

$

=+%

=%+%=

+=

M

ii

iPiPiP XXX



Für eine konvexe Menge P von W`Massen über M, die alle Einpunktmasse

enthält, gibt es Funktion u: M " mit

genau dann, wenn

1. ≺ ist strikte Präferenzordnung über P2. („Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen“)

3. („Archimedisches Axiom“ oder „Stetigkeit“)

!!"MM

udQudPQP p

( )1,0,, !"!" # und RQP

( ) ( )RQRPQP !!!! "+"+# 11 pp

( )

( ) ( )RPQRáP

RQPRQP

!!"

!"

#+#+

$$%

11

1,0,,,

pp

pp dassso, es gibt mit

P

P

<



Die Unabhängig von irrelevanten Alternativen ist erforderlich zurVerträglichkeit mit Integralen!

" „Minimalforderung“

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

QP

udQudP

udRudQudRudP

RQud

RPudRQRP

MM

MMMM

M

M

p

p

!

"

#$+#$+!

$+

$+!$+$+

%%

%%%%

%

%

01

11

1

111

&

&&&&

&&

&&&&&&

<

<

< <

<



u: Nutzenfunktion (utility function)

Integrale sind Summen, wenn Menge M endlich.

Beispiel{ } ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

5.17

6100

61

61

61

61

61

1006

154321

6,5,4,3,2,1

6

1

6

1

=

+++++==!

=

=====

==

"#

# "

=

=

iM

M i

iPiuudP

u

uuuuu

iPiuudPM



Nutzenfunktionen werden auch als Präferenzfunktionen bezeichnet,obwohl dies nicht ganz korrekt ist:

„Präferenzfunktionen“ sind Integrale bzgl. „Nutzenfunktionen“

Nutzen-nMorgenster Neumann v.

utzenBernoullin

nutzenErwartungs heisst !=M

p udPuE

( ) ( )

( ) ( )

!!

"

"

MM

udQudP

QfPfQP

bfafba

p

p <

<= =



Vereinfachtes LottoSpielen oder Nicht-Spielen?

71057.2

6491 !"#

$$%

&''(

)

Spielen999999744.0

64911 !

""#

$%%&

'(

# 106 Gewinn

# 1 Verlust (Einsatz)

Nicht-Spielen

1 # 0 weder Gewinn noch Verlust



Erwartungswert

⇒ Nicht-Spielen besser als Spielen gemäß reinem Erwartungswert

( )

928057744.0

999999744.0071942.0

1

6491110

6491 6

!=

!=

!"

#####

$

%

&&&&&

'

(

##$

%&&'

(!+"

##$

%&&'

(=SE

0

01

=

!=NSE



Erwartungsnutzen

( ) ( )

( )( )

6.24

999999744.0101056.2

1

6491110

6491

87101011

6

86

!

"##!

"#

$$$$$

%

&

'''''

(

)

$$%

&''(

)"+#

$$%

&''(

)=

"="="

uu

S uuE

( )( )00100 =

=!=u

NS uE



Spielen ist „sinnvoller“ als Nicht-Spielen gemäß Erwartungsnutzenz.B. für diese Nutzenfunktion:

Nutzenfunktion verzerrt die Ergebnisse der Zufallsanteile imBewertungsproblem

106

108

-1-1

u(x)



Nutzenfunktionen verschiedener Personen können verschieden sein.

Nutzenfunktionen ein und derselben Person in verschiedenenSituationen können verschieden sein. Es gibt kein „richtig“ oder„falsch“.

Erwartungsnutzen ist mächtiger Vorteil, aber nicht beliebig mächtig!



Allais Beispiel (Allais“paradoxon“)

6

6

66

6

1004

10503

1051002

101

11.089.0

1.09.0

1.089.001.0

!!

!!

!!!

!

"+"=

"+"=

"+"+"=

=

"

"

P

P

P

P



Diese beiden Relationen sind nicht mittels vNM Nutzenfunktion darstellbar!Nutzenfunktion normiert zu u(0) = 0 und u(5*106) = 1, sofern es sie gibt

1Mio.) statt 5Mio. auf man setzt

gewinnen, zu nicht nlichkeit Wahrscheigleicher ungefähr (bei

gewinnen) zu nicht nlichkeit Wahrschiemit ein, Risiko

das nicht man geht Mio. 1 von Gewinn sicherem (bei

43

21

1001

PP

PP

f

f



⇒ keine Darstellung mittels Erwartungsnutzen!

( ) ( ){ ( ) ( )

( ) ( )

( ) 1.01011.0

1.01089.010

1051.01089.0001.010

6

66

1

66

0

621

u

uu

uuuuPP

!"

+!"

!!+!+!"==43421

f

( ){ ( ) ( ){ ( )

( )6

6

01

6

043

1011.01.0

1011.0089.01051.009.0

u

uuuuPP

!"

!+!!!+!"===

43421f

<

<

<

<

<



Alternative Darstellung der Wahrscheinlichkeiten

Daher sollte Zuwachs in beiden Fällen als Verbesserung oderVerschlechterung angesetzt werden!

Alternative Bezeichnung „Common Consequence Effekt“

( )

( )

( )

( )0,11.0,89.0

10.0,0,90.0

10.0,89.0,01.0

0,1,0

4

3

2

1

P

P

P

P1001

101

1001

101

Übergang in beidenFällen gleich



Invertieren („Kippen“) von Präferenzen auch bei Approximationen möglich

Folgen von Nutzenfunktionen ui ! u (i ! ∞)Folgen von W-Massen Pi ! P (i ! ∞)

Qi ! Q (i ! ∞)

möglich

und

ist Dann

!!

!!

MM

Mii

Mii

udQudP

dQudRu <

<



Beispiel

( )

( )!"=+"+=

!"="#$

%&'

( )+=

+iQQ

iPii

P

iii

ii

101121

111

21

21

21

21

111

****

***

(21

1

i1 1

i11+

(

ui

u



aber

( ){

85

2111

21

21

2111111

141

21

21

=!"#

$%&

' ++!"#

$%&

'=

="#

$%&

' (!+!"#

$%&

'=

==

==

)

)

43421321

321

iu

iudQu

iu

iiudPu

iiii

iiii

( )

( ){ ( ){ 41

211

210

211

210

=!+!=

==

==

"

"

uuudQ

uudP



Bei der Inkonsistenz der Notation üblich

Nutzenfunktionen werden auch als Präferenzfunktionen bezeichnet!

f(x) = w(x) = v(x) Wertfunktion (value function) deterministischf(x) = u(x) Nutzenfunktion (utility function) stochastisch

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) unktionPräferenzfFall cherStochastis

unktionPräferenzfFall chischerDeterminis

!=M

xdPxuPf

xfbfaf K,,,

Nutzenfunktion Präferenzfunktion



Eine Präferenzfunktion ist ordinal bestimmt, wenn sie eindeutig bis aufmonotone Transformation ist, d.h. insbesondere mit u ist auf g"u einePräferenzfunktion, wobei g: → , g↑

Eine Präferenzfunktion ist kardinal bestimmt, wenn sie eindeutig bis aufmonotone affine Transformation ist, d.h. insbesondere mit u ist aucha u + b, a > 0, eine Präferenzfunktion.

Beispiel

Präferenzfunktion für dieselbe Präferenzordung. Gemischte Termekönnen Wechselwirkungen vortäuschen, die nicht vorliegen!

( )

( )

( ) 212221

2121

2221

2121

2

2,

xxxxxxxxug

zzg

xxxxxxu

+=++=

=

++=

o

für auch ist Dann

bestimmt. ordinal nur unktionPräferenzf



Eine Nutzenfunktion ist kardinal bestimmt, wenn es eine beste und eineschlechteste Alternative gibt.

x* schlechte Alternativex* beste Alternative

Nachweis Kardialität u1, u2 zwei beliebige Nutzenfunktionen

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) 0

0

22

11

11

11

!!

!!

!!

"

"#

#

# !!

!! $$

xuxu

xuxu

xuxu

duduxxxx

Genauso

%%%% p <

<

<

<



( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) [ ]

( ) ( ) xxuxu

xuxu

xuxu

xuxu

xuxuxuxu

xu

xuxuxuxu

xu

!=

"

"=

"

"=

++

++

+

+

##

#+

##

#+

nun gilt Es

normiert. in Wertenzu beide

von tionTransforma affine positive

und von tionTransforma affine positive ist

denn dar, elationPräferenzr selbe die und

auch stellen Dann

21

21

22

11

22

222

11

111

1,0,

.



( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) .

,11

11

1~

1,0

21

222

1112

0

22

111

22

22

11

11

21

1

2

0

22

1

1

0

11

bxuaxu

xuxuxuxuxu

xuxuxuxuxuxu

xu

xuxuxuxu

xuxuxuxu

xuxu

pxupxupxu

pxupxupxu

pp

p

ba

xxx

xxx

+!="

#

##+

#

#="

#

#=

#

#

=

#=!#+!=

#=!#+!="

#+

$

=

!!

!!

!!

!!

!

!!

!

!!

!

++

=

!+

=

!++

=

!+

=

!++

!!

!!

44444 344444 2144 344 21

321321

321321

pp

f

also

mit

AxiomArchim es gibt Wegen

%%%

%%%

=



Eine Wertfunktion ist nicht notwendig kardinal bestimmt, auch wenn eseine beste und eine schlechteste Alternative gibt. Dazu ist mehrerforderlich, z.B. die Darstellbarkeit von Präferenzen über Zuwächse.

MittelpunktseigenschaftZu a ≺ b gibt es c mit a ≺ c ≺ b und a → c ~ c → b.

Eine stetige Wertfunktion ist kardinal bestimmt, wenn es eine beste undeine schlechteste Alternative gibt und die zugrunde liegende Präferenzdie Mittelpunktseigenschaft hat.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )dvcvavbvdcba

bvavba

!!"##

"

p

p und

<

<



Zu zwei Wertfunktionen v1,v2 wird wieder die Gleichheit der normiertenFunktion

hergeleitet, d.h.

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )!!

!+

!!

!+

"

"=

"

"=

xvxvxvxv

xv

xvxvxvxv

xv

22

222

11

111

( ) ( )xvxv ++ = 21



( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )( ) ( )xvxv

xv

xv

xv

xvxvxvxv

xxxxxxx

++

+

+

+

+

=

!+

=

!++

!!

!!

="#$

#%

&

=

=

=

'='

((

21

2

1

1

1

1

1

0

11

21

21

12

~

:Genauso

mit es gibt und Zu

321321



Für andere Werte als wird das Verfahren wiederholt "

einschachteln.

21

21

1

!xx

!x

43

( ) ( )

( ) ( ) tionen.Nutzenfunk bei wie,0,21

21

abxvaxv

xxvxv

+!="

#=" ++

<


Mittelpunktsmethode zur Bestimmung von Wertfunktionenüber Intervallen (eindimensional) (1/4)

Für x1 < x2 und x gesucht mit

x1 ! x ~ x ! x2

(„Welcher Mittelpunkt halbiert den Wertzuwachs?“)

Beispiel x1 = 0 x2 = 1000 und x = 200

Dann x1 = 200 x2 = 1000 ⇒ ? etc.

Iteration, zur Bestimmung weiterer Punkte der Wertfunktion.

21

1

200 1000



Wert- und Nutzenfunktionen können verschieden sein, selbst wenn siekardinal bestimmt und gleichartig normiert sind.

( )xv1

1 1000

( )xu



Wert- und Nutzenfunktionen müssen nicht monoton sein:Wertfunktion zur Bewertung von Umgebungstemperatur

1

°20



Oft ergeben sich konkave Funktionen

„Prinzip“ des abnehmenden Grenz“nutzens“(„Die ersten 200# sind die wichtigsten“)

1

1000

( )xv


Methode der Sicherheitsäquivalente zur Bestimmung vonNutzenfunktionen über Intervallen (eindimensional) (1/3)

Sicherheitsäquivalent eines W-Masses („Lotterie“) ist ein sicheres Ergebnis(Wahrscheinlichkeit 1), das als gleichwertig angesehen wird.

Beispiel

(Die Frage ist nicht, wie viel ist man bereit zu zahlen, um an Lotterieteilzunehmen. Die Frage ist: gegen welche sichere Alternative tauschtman Lotterie ein bzw. umgekehrt, gegen welche Lotterie tauscht mansichere Alternative?)

( ){ ( ) ( )2007.010007.003.010

uuuudP ==!+!===

" 43421

200

3.0

7.0

1000

0

~1



Auch Nutzenfunktionen sind häufig konkav

( )321321

321 wertsErwartungsdes Nutzen

nutzenErwartungs

konkav=

=

!"

=

# p

uE

EuudPu

p

1

1000200

7.0

(Jensen´sche Ungleichung)



„Risikoversion“( )pEu

u

pE

uEp

P mit diesen 4 Werten


Risikoeinstellung (1/3)

eindimensionale Nutzenfunktion u, u#

Je grösser R(x), desto mehr Risikoaversion liegt vor.(pos. Werte: u konkav vs. neg. Werte: u konvex)

Vorteil des RisikomassesInvariant unter pos. affinen Transformationen. D.h. egal welche

Nutzenfunktion vorliegt (für dieselbe Präferenzordung), R ist immergleich. R hängt also nicht vom „Repräsentanten u(x) ab.

( ) ( )( )xuxu

xR'''

!= Risikomass PrattArrow



R(x) ist Funktion, d.h. Risikomass kann sich mit Werten ändern.R(x) #x, R(x) $x aber auch R(x) = const möglich.

Viele Varianten der Kennzahlen von Nutzenfunktionen zur Beschreibungder Risikoeinstellung.

Dies kann in einem allgemeinen Sinn aber nicht genügen" Mafiastation für Erpressung

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

cxuxu

xR

ecxucexu

cxexu

cxcx

cx

=!="

!=="

!=

!!

!

'''

'','

0,0

2

< <



⇒ Risikoeinstellung wird durch Nutzen- und Wertfunktion ausgedrückt

f beschreibt Risikobereitschaft

„u mehr durchgegeben als v“ ⇔ wahre Risikobereitschaft

( ) ( )( )xvfxu =

u

v

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