Daten und Zufall - hu-berlin.dedidaktik.math.hu-berlin.de/files/daten_08_09_h.pdf · XXX erweiterter Standard (Gymnasium und Gesamtschule F-Kurse) 7/53. Ziele Berliner Rahmenlehrplan

Daten und Zufall

Elke Warmuth

Humboldt-Universitat Berlin

WS 2008/09

1 / 53

ZieleBerliner Rahmenlehrplan

Unterrichtsbeispiele

1 Ziele

2 Berliner RahmenlehrplanGrundschuleSek. ISek. II

3 UnterrichtsbeispieleGrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II

2 / 53



Ziel: Daten sammeln, bearbeiten, darstellen, interpretieren, kritischreflektieren

Daten in unserer Umwelt

Zeitung, Zeitschriften

Fernsehen, Internet

eigene Beobachtungen

Spiele

Simulationen

3 / 53



GrundschuleSek. ISek. II

Klasse 1/2

Anforderungen Inhalte

Daten erfassen, aufbereiten unddarstellen

Tabelle, Strichliste

aus Bildern, Schaubildern undDiagrammen Informationenentnehmen und Aussagen dazutreffen

Streifendiagramme(Rechenkastchen ausmalen)

4 / 53




Klasse 3/4


Methoden zur Datenerfassungauswahlen

Befragungen in der Schule,Beobachtungen, Recherchen inverschiedensten Medien

Daten erfassen, aufbereiten unddarstellen

Schaubilder, Strecken- undStreifendiagramme

verschiedene Darstellungen,auch des gleichen Inhalts,miteinander vergleichen

5 / 53




Klasse 5/6


einschatzen, welche Daten zurProblembearbeitung notwendigsind

Erhebung von Daten

Methoden der Datenerfassungund Formen der Datendarstel-lung auswahlen, verwenden undkritisch reflektieren

Formen zur Datenaufbereitung

Daten aufbereiten, darstellen,sachgerecht interpretieren undadressatengerecht prasentieren

arithmetisches Mittel

6 / 53




Klasse 7/8

Kompetenzen

Planen und Durchfuhren statistischer Datenerhebungen

Erfassen, Darstellen und Bewerten von Daten

Interpretieren von Daten mittels geeigneter Mittelwerte

Darstellen von Daten durch geeignete positive rationale Zahlen

Standards fur Fahigkeiten und Fertigkeiten

X einfacher Standard (Hauptschule und Gesamtschule G/A-Kurse)XX mittlerer Standard (Realschule und Gesamtschule E-Kurse)XXX erweiterter Standard (Gymnasium und Gesamtschule F-Kurse)

7 / 53




Tatigkeiten

X

stellen selbsterhobene Daten in Urlisten, Strichlisten undHaufigkeitstabellen zusammen und stellen sie mittels Kreis-,Linien- und Balkendiagrammen dar,

bestimmen das Maximum, das Minimum und berechnen dasarithmetische Mittel eines Datensatzes,

bestimmen absolute und relative Haufigkeiten,

interpretieren Ergebnisse von Datenerhebungen, vergleichendiese mit ihren Erwartungen und beurteilen sie,

beschreiben die wiederholte Durchfuhrung einfacherZufallsexperimente mit absoluter und relativer Haufigkeit.

8 / 53




Tatigkeiten

XX

klassifizieren Daten in Messdaten, mit denen Rechnungendurchgefuhrt werden konnen, in Daten mit qualitativenMerkmalen und in Daten mit speziellen Rangmerkmalen,

bestimmen den Median einer Haufigkeitsverteilung,

ermitteln und beurteilen in Sachsituationen statistischeErgebnisse und begrunden ihre Entscheidungen undKonsequenzen.

XXX

planen statistische Erhebungen und erfassen die Daten,

stellen Daten dar (Balken- und Kreisdiagramme) undbewerten Darstellungen kritisch.

9 / 53




Ubersicht

X XX XXXDaten erheben Datentypen Erhebungen planen

Urliste, Strichliste, Haufigkeits-tabelle

Kreis-, Linien-, Balkendia-gramm

Darstellung kritischwerten

min,max, x Median

abs./rel. Haufigkeiten

interpretieren entscheiden

abs./rel. H. bei Zufallsexp.

10 / 53




Klasse 9/10

Kompetenzen

Planen von Erhebungen und Nutzen unterschiedlicherDarstellungsmoglichkeiten von Daten

Kritisches Analysieren graphischer statistischer Darstellungen

Interpretieren von Daten mit geeigneten Streuungsparametern

Situationsangemessenes Darstellen von Zahlen

11 / 53




Tatigkeiten

X

bilden Klassen von Daten und stellen diese inSaulendiagrammen dar,

ermitteln den Modalwert, den Median und das arithmetischeMittel,

ermitteln die Spannweite,

beurteilen die Aussagekraft der Mittelwerte und derSpannweite.

12 / 53




Tatigkeiten

XX

berechnen die mittlere lineare Abweichung,

interpretieren zwei Datensatze mit gleichem arithmetischenMittel und unterschiedlicher mittlerer linearer Abweichung,

identifizieren und beurteilen typische Fehler (uberzogeneGenauigkeit, unterschiedliche Bezugsbasis, falschesFestschreiben von Trends, Arbeiten mit vorsortiertenStichproben, falsche Verwendung des Prozentbegriffs) undManipulationen bei Grafiken.

13 / 53




Tatigkeiten

XXX

bilden kumulierte Haufigkeitsverteilungen und stellen diese inSaulendiagrammen und Polygonzugen dar,

begrunden die Wahl des Mittelwerts,

berechnen Boxplots und nutzen sie zur Interpretation derDatenerhebung.

14 / 53




Ubersicht

X XX XXXKlassenbildung

kumulierteHaufigkeitsverteilung

Saulendiagramm Polygonzug

Modalwert, Median, x Wahl des Mittel-werts begrunden

Spannweite mittlere lin. Abweichung Boxplot

Kenngroßen beurteilen interpretieren

Fehler und Manipulatio-nen identifizieren undbeurteilen

15 / 53




Einfuhrungsphase

Im 1. Halbjahr des Fundamentalbereichs Stochastik mit denInhalten Beschreibende Statistik, Laplace-Wahrscheinlichkeit,Baumdiagramme und Pfadregeln.Außerdem im 1. Halbjahr Koordinatengeometrie und Funktionen.

Eingangsvoraussetzungen (BS) zur Qualifikationsphase

planen statistische Erhebungen, nutzen Methoden zurErfassung und Darstellung von Daten (Saulen- undKreisdiagramme) und bewerten Darstellungen kritisch,

bestimmen relative Haufigkeiten, Mittelwerte (arithmetischesMittel, Median, Modalwert) sowie Streumaße (z.B.Spannweite) und interpretieren diese,

nutzen Haufigkeiten zum Schatzen von Wahrscheinlichkeiten.

16 / 53




Merkmale der Leitidee”Daten und Zufall“

spiraliger Aufbau, in der Grundschule beginnend

starker Bezug zur Lebenswirklichkeit angestrebt,Daten entstammen nicht nur Zufallsexperimenten/Spielen

kritische Auseinandersetzung angestrebt

Verbindung Statistik mit Wahrscheinlichkeitsrechnung leidernur in Ansatzen:

relative Haufigkeit/Wahrscheinlichkeit,Wahrscheinlichkeiten durch Simulation gewinnen

17 / 53



GrundschuleSekundarstufe ISekundarstufe II

Quelle: Das Zahlenbuch 1, Wittmann/Muller, Klett Verlag, 2004

Muster erkennen, systematisch vorgehen, geduldig sein, sauber arbeiten18 / 53





Umwelt erschließen, Muster erkennen (Quadranten), Daten erheben und

darstellen19 / 53





Darstellungen lesen, mit Daten rechnen, zufallige Schwankungen

erkennen; zuordnen, schatzen20 / 53





Darstellungen lesen, mit Daten rechnen, zufallige Schwankungen

erkennen, Mittelwert verstehen21 / 53





Zufallsexperimente auswerten, mit Daten rechnen, Schwankungen des

Mittelwertes erleben, Abnehmen der Schwankungen mit wachsender

Versuchsanzahl erleben

22 / 53




Wie groß und wie schwer?

Quelle: H. Winter: Erfahrungen zur Stochastik in der Grundschule. In: DdM 1976, Heft 1, S. 22-37

Urliste

Kind Gewicht Große Kind Gewicht Große Kind Gewicht Große

Nr. kg cm Nr. kg cm Nr. kg cm

1 36 145 11 29 138 21 41 151

2 28 140 12 30 143 22 35 143

3 40 146 13 24 131 23 30 139

4 25 134 14 28 137 24 36 144

5 30 138 15 36 147 25 32 139

6 31 146 16 27 130 26 31 140

7 31 133 17 40 139 27 29 139

8 40 144 18 33 147 28 29 144

9 37 152 19 35 147 29 25 141

10 25 128 20 29 135 30 25 133

Fragen stellen!

23 / 53




Z. B. Welches ist das leichteste, schwerste, kleinste, großte Kind?Welches ist das haufigste Gewicht, die haufigste Große?Spannweite, Mittelwerte

Stengel-und-Blatt-Diagramm fur die Große

12 813 4 8 3 8 1 7 0 9 5 9 9 9 314 5 0 6 6 4 3 7 7 7 3 4 0 4 115 2 1

Tendenz zur Mitte, Extreme sind selten

arithmetisches Mittel x = 140, 4 cm ≈ 140 cmDeutung?

Kritik: Musste man nicht zwischen Jungen und Madchenunterscheiden?Das haben wir bei der Datenerhebung nicht beachtet.

24 / 53




Median: leicht aus geordnetem Stengel-und-Blatt-Diagrammablesbar

12 813 0 1 3 3 4 5 7 8 8 9 9 9 914 0 0 1 3 3 4 4 4 5 6 6 7 7 715 2 1

n = 30 : Median x =x(15) + x(16)

2= 140 cm

Deutung: Mindestens die Halfte der Kinder ist kleiner odergleich 140 cm und mindestens die Halfte der Kinder ist großeroder gleich 140 cm.

”mindestens“ kann man nicht weglassen

unteres Quartil = Median der unteren 15 Werte= x(8) = 137 cm

oberes Quartil = Median der oberen 15 Werte= x(23) = 145 cm

25 / 53




Median x = 140 cmunteres Quartil = 137 cmoberes Quartil = 145 cmminimaler Wert = 128 cmmaximaler Wert = 152 cm

mindestens 50% der Werte liegen in der Box

26 / 53




Klasseneinteilung

Information verdichten, Ubersicht gewinnen

Problem Klassenanzahl: nicht zu viele und nicht zu wenigeFaustregeln: 5 lg n, 6 bis 20,

√n und zwischen 5 und 25

eindeutige und vernunftige Klassengrenzen

Klasseneinteilung bietet auch Manipulationsmoglichkeiten

Saulendiagramm mit absoluten oder relativen Haufigkeiten alsSaulenhohenrelative Haufigkeiten zwingend beim Vergleich zweierVerteilungen

spater Histogramme mit relativen Haufigkeiten alsSaulenflachen

27 / 53




Beispiel: n = 30, Spannweite 152− 128 = 24, 25 Werte

Klasse Haufigkeit128 cm bis 132 cm 3133 cm bis 137 cm 5138 cm bis 142 cm 9143 cm bis 147 cm 11148 cm bis 152 cm 2

Klasse Haufigkeit128 cm bis 134cm 6135 cm bis 141 cm 11142 cm bis 148 cm 11149 cm bis 152 cm 2

28 / 53




Graphische Darstellungen

Quelle: Produktive Aufgaben fur den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I,

Herget/Jahnke/Kroll, Cornelsen, 2000

Darstellungen lesen, kritisch bewerten, herstellen

29 / 53




Quelle: Produktive Aufgaben fur den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I,

Herget/Jahnke/Kroll, Cornelsen, 2000


30 / 53




Aufgabenbeispiel aus PISA 2000/03

Ein Fernsehreporter zeigte

folgende Graphik und sagte:

”Dieser Graph zeigt, dass

die Zahl der Raububerfalle

von 1998 bis 1999 stark zu-

genommen hat.“ Haltst du

die Aussage des Reporters

fur eine vernunftige Inter-

pretation des Diagramms?

Begrunde deine Antwort.


31 / 53




Richtiger Mittelwert?

32 / 53




Nettovermogen der Haushalte inDeutschland 2003:

arithmetisches Mittel:133 000 Euro(Ost 60 000/West 149 000)

Median: 50 000 Euro

Die armsten 50% besitzen3,8% des Vermogens

die reichsten 10% besitzen46,8% des Vermogens

Quelle: 2. Armuts- und Reichtumsbericht der Bundes-

regierung 2005

33 / 53




34 / 53




Nettoaquivalenzeinkommen ist Haushaltsnettoeinkommengeteilt durch Summe der Bedarfsgewichte, ergibt aquivalentenBetrag eines 1-Personen-Haushaltes.

Gini-Koeffizient beschreibt in einer Skala von 0 bis 1 dieAbweichung von der Gleichverteilung.

Die unteren 50% haben 28,7% des gesamtenNettoaquivalenzeinkommens.

Die oberen 10% haben 24,9% des gesamtenNettoaquivalenzeinkommens

Die Unterschiede nehmen zu.

Quelle: 3. Armuts- und Reichtumsbericht der Bundesregierung 2008

35 / 53




Lehrbuchbeispiele aus Klasse 11, Elemente der Mathematik,Ausgabe Berlin, Schroedel, 2005

1. Kritische Analyse von Graphiken

36 / 53




37 / 53




38 / 53




2. Kritische Analyse von Sprache

Median: 1750 Euro arithmetisches Mittel: ?

Informationen suchen

39 / 53




40 / 53




5250 Euro als Mitte der letzten Klasse

stark unterschiedliche Klassenbreiten ⇒ Histogramm

rel. Haufigkeit = Breite * HoheKlasse Kl.mitte Kl.breite rel. H. Kl.hohe

[0; 500) 250 500 0,03 6, 0 · 10−5

[500; 900) 700 400 0,12 3 · 10−4

[900; 1500) 1200 600 0,26 4, 3 · 10−4

[1500; 2000) 1750 500 0,18 3, 6 · 10−4

[2000; 2600) 2300 600 0,16 2, 7 · 10−4

[2600; 3200) 2900 600 0,10 1, 7 · 10−4

[3200; 4500) 3850 1300 0,10 7, 7 · 10−5

[4500; 6000) 5250 1500 0,06 4, 0 · 10−5

x = 2077 Euro > Median = 1750 Euro

41 / 53




42 / 53




Kritische Analyse von Motivation

43 / 53




Beispiel Aktienrendite – Beitrag zur Aufklarung

F.A.S. 01.07.2007: 3000 Teilnehmer der Leseraktionunterschatzen das Risiko von Aktienfonds und uberschatzendie Renditen

Schlusskurse der Adidas-Aktie zwischen 01.07.2008 und27.10.2008

Daten im Excel-fahigen Format unterhttp://de.finance.yahoo.com

Tagesrendite = (Kurs heute - Kurs gestern)/Kurs gestern

44 / 53




85 Borsentage

45 / 53




Renditen nach Klasseneinteilung

85 Renditen in 9 Klassen, in Prozent x = −0, 5, s = 3, 4

k · s-Bereiche: gute Deutung von s bei annahernd glockenformigerVerteilung und vielen Beobachtungen

46 / 53

Ausgewahlte Probleme

4 Ausgewahlte ProblemeLageparameter einer HaufigkeitsverteilungStreuungsparameter einer HaufigkeitsverteilungBeobachtungsebene und Modellebene

47 / 53

Ausgewahlte ProblemeLageparameter einer HaufigkeitsverteilungStreuungsparameter einer HaufigkeitsverteilungBeobachtungsebene und Modellebene

Kenngroßen der Lage einer Haufigkeitsverteilung

arithmetisches Mittel, haufig auch einfach Mittelwert genannt

gleichmaßige Aufteilung der Gesamtmesssung auf dieMesspunktemarkiert Schwerpunkt der Verteilungempfindlich gegen Außreißerbei asymmetrischer Verteilung stark verschieden vom Median

Median, auch Zentralwert genannt

mindestens die Halfte der Messwerte ist kleiner oder gleichdem Median, mindestens die Halfte ist großer oder gleich demMedianmarkiert Mitte der Verteilungunempfindlich gegen Außreißerbei symmetrischer Verteilung nahe dem arithmetischen Mittel

Am besten beide Werte angeben.

48 / 53


Streuungsmaße beschreiben Breite der Verteilung

Absolut:

Spannweite: großter - kleinster BeobachtungswertBoxplot: mindestens mittlere 50%

Streuung um einen Lageparameter ⇒ Parchen:

Lage- Streuungs- Kriteriumparameter parameter

arithm. empirischeMittel Streuung 1

n

n∑k=1

(xk − c)2 → min

Median mittl. lineareAbweichung 1

n

n∑k=1

|xk − c | → min

49 / 53


Division durch n − 1 oder durch n?

x1, x2, . . . xn Beobachtungswerte

Maß fur das Streuen dieser Werte?

(xi − xj)2, n2 Paare, mittlerer quadratischer Abstand:

1

n2

n∑i ,j=1

(xi − xj)2

Umformung:

n∑i ,j

(xi − xj)2 =

n∑i ,j

(xi − x + (x − xj))2

=n∑i ,j

(xi − x)2 +n∑i ,j

(xj − x)2 + 2n∑i ,j

(xi − x)(x − xj)

= 2n∑i ,j

(xi − x)2 = 2nn∑

i=1(xi − x)2

50 / 53


Division durch n2:

1

n2

n∑i ,j

(xi − xj)2 =

2

n

n∑i=1

(xi − x)2 = 2 · s2n (∗)

Modifikation: nur”echte“ Differenzen:

n∑i ,j

(xi − xj)2 =

n∑i<j

(xi − xj)2 +

n∑i>j

(xi − xj)2

= 2n∑

i<j(xi − xj)

2 (aus Symmetriegrunden)

n∑i<j

(xi − xj)2 = 1

2

n∑i ,j

(xi − xj)2 = n2 · s2

n

1n2−n

2

n∑i<j

(xi − xj)2 = 2

n−1 · n · s2n = 2 · s2

n−1

51 / 53


Die mittleren quadratischen Abstande fuhren auf die Großen

s2n =

1

n

n∑i=1

(xi − x)2

bzw.

s2n−1 =

1

n − 1

n∑i=1

(xi − x)2.

Das sind mittlere quadratische Abweichungen vom Mittelwert x .Bei kleinem n ist das Gewicht jedes Terms (xi − xj)

2 großer als beigroßem n. Bezieht man die Nullterme (xi − xi )

2 gleichberechtigtein, so druckt das den Durchschnitt. Die empirische Streuung s2

n

unterschatzt daher bei kleinen n die Varianz.

52 / 53


Begriffspaare

Beobachtungsebene Modellebene

relative Haufigkeit einesErgebnisses hn(ω)

Wahrscheinlichkeit einesErgebnisses P(ω)

relative Haufigkeit einesEreignisses hn(A)

Wahrscheinlichkeit einesEreignisses P(A)

arithmetisches Mittel vonMessdaten x

Erwartungswert einer Zu-fallsgroße E (X )

empirische Streuung vonMessdaten s2

n oder s2n−1

Varianz einer Zufalls-große Var(X )

⇒ . . . liefert einen Schatzwert fur ...

⇐ . . . trifft eine Vorhersage fur ...

53 / 53

Documents

Daten und Zufall - hu-berlin.dedidaktik.math.hu-berlin.de/files/daten_08_09_h.pdf · XXX erweiterter Standard (Gymnasium und Gesamtschule F-Kurse) 7/53. Ziele Berliner Rahmenlehrplan