49. B a n d H e f t 1 - - x964 J . I'ISCItER: Definitionen der Gr6Ben des magnetischen FeJdes 13

Definitionen der Grff~en des magnet i schen Feldes und die ,,Zuriickffihrung auf absolutes Mal~" nach C.F. Gaul,*

Von J. FISCHER, Kar ls ruhe

Mit I Texfcabbildung (Eingegangen am zo. Juni x963)

Llbersicht : Untersuchung der physikalischen Gr613ei1 (Gr6Benarten), die das magnetische Feldbeschreiben. Die rnagnetische Induktion kalln willktirfrei aus vorgegebenen Gr613en (Gr6Benarten) Kraft, Geschwindigkeit und elektrische Ladung abgeleitet werden. Zu der gleichen Definition kommt man bei entsprechender Inter- pretation des klassischen Experimentes von GAuss.

Summary : Investigation of physical mantities characterizing the magnetic field. The magnetic induc- tion may be derived arbitrarily from the given mantities force, speed and electric charge. The same definition is being achieved by corresponding interpretation of the classic experiment by GAuss.

,

In der Elektrizit~ttslehre, so wird h~tufig gesagt und geschrieben, k o m m t es vor, dab ein und dieselbe Gr613e (Gr613enart) auf verschiedene Weisen definiert wird. Zum Beispiel k6nne die Gr613e: magnet ische Induk t ion (FluBdichte) entweder so definiert werden, dab ftir sie eine

koh~trente Einhei t die (nichtrationale) elektrostat ische cm,g,s-Einhei t sei (n~imlich 1 ~/g/~mm~), oder so, dab ftir sie eine koh~irente Einhei t die (nichtrationale) e lekt romagnet ische cm,g,s-

Einhei t sei (n~imlich 1 }/g/cm/s), oder aber auch so, dab fi]r sie eine koh~irente Einhei t die (rationale) m,kg,s ,A-Einhei t sei (n~mlich z kg/s2A = 1 V . s/m2). - - Die Ausdrucksweise, dab ein und dieselbe physikalische Gr6f3e auf mehrere verschiedene Weisen definiert werde, ist wohl k a u m korrekt , sie ist da rum eine immerw/ihrende Ursache yon MiBverst~indnissen und Fehlschltissen. I n Wirklichkeit handelt_es sich immer um verschieden definierte und daher verschiedenart ige Gr613en zur Kennze ichnung ein und derselben physikal ischen Erscheinung. (Gr6Ben sind verschiedenart ig, wenn Differenzbi ldungen nicht physikal isch sinnvoll sind.) I m be t rach te ten Beispiel also handel t es sich um drei zwar (meist) gleich benannte , jedoch verschiedenart ige physikalische Gr6Ben (Gr613enarten), die wit in der oben angeftihrten Reihen- folge der Erw~ihnung e twa mit den Formelzeichen B s, B,~ und B schreiben k6nnen. Auch eine Unterscheidung im sprachliehen Ausdruck ist unerl~tl31ich fiir eine eindeutige Dars te l lung; man wird zum Beispiel B s die e lektrostat isch-mechanische, B,~ die elektromagnetiscla-mecha- nische und B die n ichtmechanische Gr6t3e : magnet ische Induk t ion (Flul3dichte) nennen k6nnen. Unterl~il3t m a n ohne besonderen Hinweis die Untersche idungsmerkmale im Formelzeichen und im sprachlichen Ausdruck, so darf man sich fiber Verst~indigungsschwierigkeiten nicht wundern, denn es verst6Bt gegen eine Grundregel verst~indlicher Darstet lung, Unterschied- liches unterschiedslos darzustel len 1.

2. Wi t befassen uns im folgenden mit den Begri f fsbest immungen (Definitionen, Ablei tungen)

der n ich tmechanischen Gr6gen B, magnet i sche Induk t ion (Flul3dichte) und H, magnet ische Feldst~irke (Erregung) einerseits, mi t denen der entsprechenden e lekt romagnet isch-mecha- nischen Gr6Ben B , und H , andererseits. Als die zwei von einander grunds~tzl ich verschie- denen Begr i f fsbes t immungen werden herk6mmlicherweise e inander gegenfiber gestellt : a) die Definit ion aus der Kraf t , die ein bewegter Tr~iger elektrischer Ladung im Feld erf~thrt, b) die Definit ion nach dem klassischen Expe r imen t yon GAuss. Wir wollen dabei im besonderen die h/iufig anzutreffende Ansicht prfifen, dab durch das klassische Expe r imen t yon GauB eindeutig

* c. F. GAuss: Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata, Gfttingen 1833; Die Intensit~Lt der erdmagnetischen Krafts auf absolutes MaB zurtickgefiihrt, herausgeg, yon E. DoN, Leipzig 1894 (Ostwalds Klassiker der exakten Naturwissenschaften, 13d. 53).

1 Das angeffihrte Beispiel geh6rt zu den b'~llen (sie bilden die Mehrzahl), in denen das gleiche Wort sowohl ffir das Phh~nomen, als auch fiir die Gr6Be (Formelgr613e) benutzt wird. Nur verhiiltnism/il3ig selten stehen ftir das Ph/inomen und die dieses kennzeichnende Formelgr613e verschiedene Worte zur Verfiigung: man kann zum Beispiel voI1 der Masse eines K6rpers, yon der St~rke eines elektrischen Stromes, voi1 der Kapa- zit~t eines IKondensators, yon der elektrischen Ladung eines Ladungstrggers sprechen, und so weiter.

Archiv ffir 14 J. FISC~IER: Defini t ionen der Gr6Ben des magne t i schen Feldes Elektrotechilik

und ausschlieBlich die elektromagnetisch-mechanischen Gr613en des magnetischen Feldes bestimmt werden. Diese Meinung wird sieh als unzntreffend herausstellen. Vielmehr wird es sich zeigen, dab eine zur Definition a) fiihrende Interpretation leicht m6glich ist. Etwas anderes l~iBt sieh aueh kaum erwarten, wenn man tiberlegt, dab ein Experiment (eine MeB- vorschrift) fiir sich allein grnnds~itzlieh nicht eindeutig zu einer Gr6Bendefinition ftihren kann. Zwar geh6rt notwendig zu jeder Or6Bendefinition eine MeBvorschrift, aber erst durch die unter- legte Gr6Bengleiehnng wird die Gr6Bendefinition eindeutig.

3. Aus der Beziehung

= Q (D x ~) (3.1)

f olg t die nichtmechanische Feldgr6Be ~ aus vorweggegebenen Gr6Ben ~ Kraft, Q elektrische Ladung und b Relativgeschwindigkeit zwischen Trttger der elektrischen Ladung und Erreger (Tr~iger) des magnetischen Feldes 2. Wegen der eindeutigen ]3eziehung zwischen den Or6Ben elektrische Ladung und elektrische Stromst~irke kommt es im grunds~itzlichen anf das gleiche hinaus, wenn nicht mit (3.1) von der Kraft, der Geschwindigkeit und der Ladung des Laclungs- tr~tgers ausgegangen wird, sondern yon dem Drehmoment ~; auf einen sehr ldeinen (infi- nitesimalen) ebenen Stromring (Randkurve g geniigend genau repr~isentiert dnrch einen fadenf6rmigen (linearen) Leiter, I Stromstfirke in diesem, I ~ und Fl~iche a = ~ta einander rechtswendig zugeordnet). Dann gilt

~; = I (~ x ~ ) , (3.2)

zum Beispiel ist der gr6Btm6gliche Betrag T ~ , = I a B. Nennt man

m I = Ia (3.3)

das magnetische Moment des Stromringes, kurz sein Strommoment, so ist

~; = 1II I • ~3. (3.4)

In dem Fall, dab die Permeabilit~itszahl iiberall den Wert 1 hat, gilt auch

= ~o (m, x # ) , (3.5) wenn Yp = ~3/#0 und /~0 die magnetische Feldkonstante ist. -- Das Strommoment ist nach Definition (3.3) in jedem Falle unabh~ingig yon magnetischen Eigenschaften der Substanz, in die der Stromring eingebettet ist.

Die Feldgr6ge ~3 ist somit eindeutig abgeleitet (definiert) aus vorweggegebenen Gr6Ben (Gr6Benarten) Kraft oder Drehmoment, elektrische Ladung, L~inge und Zeit. Es ist kein Platz fiir die Annahme, dab eine nicht mehr weiter ableitbare, daher unabh~ingig zu setzende ,,magnetische" Gr613enart unerl~iBlich notwendig sei a'4.

4. Fiir die Interpretation des klassischen Versuehes yon GAuss gehen wir arts von dem Dreh-

moment, das eine permanentmagnetische Nadel in einem homogenen magnetischen Feld erf~thrt; wir schreiben es

= m x Sp. (4.1)

Hier sind zun~ichst noch die b e i d e n Gr6Ben 1It, magnetisches Moment der Nadel, und Y), magnetischer Feldvektor, nnbestimmt. Insbesondere ist bier J~ nicht etwa dutch (3.5) zum u gegeben; die tdberlegungen dieses Abschnittes sollen vielmehr v611ig nnabh~ingig yon denen des vorangegangenen 3. Abschnittes gefiihrt werden. Um aber iiberhanpt einen Vergleich

2 Die Verabredungen, dab Q eine posi t ive Ladung sein soil und dab die drei Vektoren desselben Fe ldpunktes IJ, ~3, ~ in dieser Reiheiifolge eiil Rech t s sys tem bilden solleil, s ind dabei fiir die Eindeut igkei t eine notwendige, aber n ich t eine ausreicheilde Bediilgung : aus gemesseneil Vektoren ~ und 1) erhS.lt mail du tch die Beziehung (3.1) diejenige Komponei l te (Vektor !) yon ~ , die senkrecht auf der Ebene s teht , die durch t~ und ~ be s t i mmt wird. Zur vollstg~ildigen Best immuilg von ~ im bet rachte te i l Fe ldpui lk t b rauch t m a n demnach im allgemeineil drei Versuche mi t drei Geschwindigkei ten, die n ich t in einer Ebene tiegen.

a j . FISCHER, U. W. H. W~STP~IAL: Is t eine magnet i sche Grundgr6Benar t II6tig? Phys . B1. 17 (1961) S. 222--224 u. 542--543 .

J. FlSCI~ER: Gr6gen und Einhe i ten der ElektrizitS.tslehre. Berliil, G6ttii lgen, Heidelberg: Springer 1961, hier insbesondere die Absehni t t e 9, lo und 1L

49. Band Heft 1 -- ~964 J . F I s c a ~ a : D e f i n i t i o n e n d e r G r 6 B e n d e s m a g n e t i s c h e n F e l d e s 1 5

ziehen zu k6nnen mit den im 3-AbscSnit t gegebenen Definitionen, kann und muff man hier der GrSfie rtt eine nicht selbstverst~indliehe Eigenschaft erteilen, nfimiich die Eigenschaft, unab- h~tngig yon der Permeabilit~it und Permeabitit~itsverteiIung des Raumes zu sein, in dem die magnetische Nadel sich befindet: das Moment m solI eine Eigenschaftsgr6t3e ganz allein der permanentmagnetischen Nadel seinh Auch das magnetische Moment m I des Stromringes ist durch die GI, (3-3) als eine GrSl3e definiert worden, die nicht abh~ngig ist vonde r Permeabili- t~t und der Permeabilit~ttsverteilung in dem Raum, in dem der Stromring sich befindet ". -- Wir k6nnen im folgenden, ohne die Allgemeingiiltigkeit zu verlieren, annehmen, dab tiberall, auch im Innern der permanentmagnetischen Nadel, die Permeabilit~itszahl den Wert 1 hath Diese Annahme ist nicht notwendig, sie erleichtert aber den Vergleich mit den Ableitungen des vorangegangenen 3- Abschnitt

Dann geht der Versuch von GAuss wie folgt vor sich: 1. die frei bewegliche Nadet stellt sich im Felde Y) so ein, dab ~ = o ist, dab also m parallel

zu ~ wird. Wird sie aus dieser Lage um eine dazu senkrechte Drehungsachse um einen kleinen Winkel 0 ausgetenkt und sich selbst iiberlassen, so schwingt sie um die Steltung ~ = o, ver- gleicim Bild ~ a mit einer Periodendaner, die bei VernachI~issigung von mechanisehen D~mp-

lungs- und Torsionsmomenten den Weft z = 2 a }/K/m H hat ; K ist dabei das axiate Tr~g- heitsmoment der Nadet. Daher erh~lt man das Prodnkt

~H~ 4a~K z~ (4 "2) aus festgestellten GrSt3en K und ~..

/ Bild I a.

d~O K "~Ti "~ -- m H sin ~ ,

sin ~9 ~ O.

a b

/ P

Bild 1 b.

Hr tan a = - ~ - ,

2. Man legt die in 1. benutzte Nadel zum Beispiel so fest, dab lit senkrecht steht zu dem a u s g e d e h n t e n homogenen Fetd ~ , v.nd w/ihlt in Richtung yon m in einem Abstande r, der ein Mehrfaehes der L~nge der N a d d betdigt, einen Punkt P , vergleiche Bild t b. In diesem Punkt setzt sieh das magnetische Feld aus den zwei zueinander senkrechten Komponenten

,und ~r zusammen; .~ ist die magnetische Feldsr der Nadei im Feldpunkte P. Sit hat die Richtung yon ra nnd ist proportional zum magnetischen Moment m der Nadel, daher ist tan a = H,./H proportional zu m]H: m

~i prop tan e~. (4,3)

Aus dem Produkt nach (4.2) und dem Quotienten nach (4.3) erh~ilt man die GrSgen m u n d H einzeln, wenn man H~ in Abhiingigkeit yon m und r kennt. Es ist

tt~ -- ~ (4,4) und daher 2 ~ ~o va

'~ -- 2 ~ #0 ra tan cx. (4.5) H Das magnetische Moment ist auch schon so definiert worden, dab es diese Ei~enschaft nicbt hat. Ver-

gleiche J. FISCHER: Magnetisches Moment und magnetische Ladung. Arch. f. Etektrotechn. 45 (~96o) S, t57~ 16:t. Setz~ man die Kraft auf einen ruhenden isolierten Ladungstdiger gteich dem Produkt aus Ladung und

Feldst~ke, so setzt man voraus, dag der Faktor Ladung Imabhgngig ist yon der Dielektrizit~ttskonstante und ihrer Verteilung in dem Raum au~3ertledb des Lad~ngstrggers. Setzt man in der Dynamik die KrM~ gleich dem Produkt aus BescMeunigulag und 5lasse des bewegten I{6rpers, so setzt man f/it den Faktor Masse voraus, dab er eine Eigenschaft des K~rpers ganz atIein ist, abet nich~c yon der Massendichte auBerhalb des Kbrpers mitbestimmt wird.

Die permanente Permeabititgt I*B permanenter Magne~ce ist bekaJ~nttich vergleichsweise recht klein. Schon H. H~gTz hat deswegen far diese ,up ~/*o geset2t.

Archly ffir 1~ J. FISCHER: Definitionen der Gr6gen des magnetlschen Feides Elektrotechnik

Also hat man einzeln m2 ~___ 4 ~2K z~ " 2~/~~ (4'6)

H2 _ _ 4 ~ K/"c~ 2 ~ /~0 r3 t a n

aus festgestellten Gr6Ben K , ~, r und c~. Schliel31ich kann man noch einft~hren

B = #o H (4.7) mit der obengenannten Annahme iiber die Permeabilit~tt.

5.

Wir haben zwar im 3- und im 4- Abschnitt die magnetischen Feldgr613en mit den gleiehen Zeichen B und H geschrieben, wir haben jedoch ausdrticklich hervorgehoben, dab die Ablei- tungen, die in den beiden Abschnitten gegeben werden, yon einander v611ig tmabh~ngig sind. Es ist daher bis hierher nicht ausgeschlossen, dab die magnetischen Feldgr6Ben des 4. Abschnittes andere und andersartige sind, als die des 3. Abschnittes. Wir haben deshalb die in den beiden Ab- schnitten abgeleiteten Feldgr613en jetzt mit einander zu vergleichen. Ftir diesen Vergleich scheint es auf den ersten Blick ein Hindernis zu sein, dab im 3. Abschnitt der Prt~fkbrper ein bewegter Ladungstdiger oder ein ruhender starrer StromtrXger ist, dagegen im 4. Abschnitt eine permanentpolarisierte Nadel, also ein Magnetismustr~ger. Man sieht ein, dab far den Vergleich in Wirklichkeit keine Schwierigkeit vorliegt, indem man dem magnetischen Dipol des GauBschen Versuches im 4. Abschnitt nicht durch eine permanentpolarisierte Nadel ver- wirklicht, sondern durch einen starren Stromring (I zeitlich konstant). St immt dann das Strommoment nl a nach Gr6Be und Richtung tiberein mit 1tt//,0, wobei m das magnetische Moment der Nadel ist, yon der im 4. Abschnitt die Rede war :

m1 = Ia = m/#0, (5.i) so kann auf keine Weise, weder dutch die ausgeiibte, noch durch die erlittene Kraftwirkung, entschieden werden, ob das Feld yon dem starren Stromtfiiger (Stromring) oder dem starren Magnetismustr/iger (Nadel) hervorgebracht wird s. Dann aber ist im 3. Abschnitt in den Bezie- hungen (3-2, 3.4, 3-5) die Rede von Kraftwirkungen, die der Dipole r f ~ h r t, und im 4. Abschnitt in dem zweiten Teil des GauBsehen Versuches v o n d e r Kraftwirkung, die d e r s e l b e Dipol a u s i i b t . Das yon ihm in Richtung seines Momentes im Abstand r hervorgebrachte Feld (ver- gleiche Abbildung 1 b) ist

B~ --/z~ I a 2 ~ ~ ( 5 . 2 )

Wirken zwei Dipole aufeinander, so kann man auf Grund des Satzes der Gleichheit von Wirkung und Gegenwirkung jeden yon beiden sowohl als den die Kraftwirkung ausfibenden, als auch als den die Kraftwirkung erfahrenden Dipol ansehen. Die Feldgr613e B, die im 3- Abschnitt abgeleitet worden ist, und die Feldgr6Be B, die durch den im 4. Abschnitt beschriebenen GauBschen Versuch ermittelt worden ist, sind daher notwendig G r 613 e n g 1 e i c h e r A r t, und dasselbe gilt ftir die Gr6Ben H des 3. und des 4. Abschnittes. (Es war berechtigt, in 3. die gleichen Zeichen B und H zu benutzen wie in 49).

6.

In der Li teratur kann man bei der Auslegung des Gaul3schen Versuches ftir das Feld des Dipols anstelle von (4.4) auch die Beziehung

//~, - ~ ~ ( 6 . 1 ) , T3

S Ffir die Kennzeichnung dieses SachverhMtens ist a. a. O. 4,s der Ausdruck ,,Amp~resche Aquivalenz" vorgeschlagen wordem

9 Die Feststeltung der Dimensionsgleichheit der Gr6gen B des 3- und des 4. Abschnittes w/~re keinesfalls eine Beweis fiir die Gleichartigkeit der Gr6gen. Es kommt vor, dab ungleichartige Gr6gert gleichdimensional sind (zum Beispiel Wirkung und Betrag des Drehimpulses, Widerstandsmoment urkd Volumen, Winkelgeschwindig- keit und Frecluenz, magnetische Induktion und Kehrwert der Beweglichkeit yon Leitungsetektronen, ebener Winkel, Raumwinkel und Wirkungsgrad).

49. Band Hef t 1 -- ~964 J . F I S C H E R : D e f i n i t i o n e n d e r G : 6 S e n d e s magnetischen F e l d e s 17

finden. Auf den ersten Btick scheint diese Version nicht wesentlich zu sein, denn der Ausdruck (6.~) spricht ja nur eine Bindung der Gr6f3en H,,,~ und m~ tiber die dritte Potenz ether L~inge aus, ohne iiber eine der beiden Gr6gen und damit auch fiber die andere eine Festlegung zu enthalten. Abet mit (6.1) anstelle yon (4.4) erh~lt man

. ~ -- ira tanc~ (6.2) Hn~ 2

anstelle yon (4.5) l~ und mit (6.2) erh~lt man

mm~" = 4a~Kz ~ r~ t an a - - ' 2 (6.3)

anstelle yon (4.6), also ganz andere Gr6Senarten s% und H~. In diesen Gr6Senarten sind ersichtlieh ausschlie131ich mechanische Grund-Gr613enarten enthalten (denn das Tr~igheitsmo- ment K ist eine GrgBe der Mechanik). Zu den Gr6gen m nnd H in (4.6) bestehen die Bezie- hungen

~N

' % ' - g4X~o" (6"4)

H,, : H I/4 ~ ~o"

Die Gr613en mm und Hm sind m e c h a n i s c h e E r s a t z g r 6 g e n ffir die nichtmechanischen Gr6gen m u n d H, und zwar sind sie nach der im L Abschnitt vorgeschlagenen Ausdrucksweise elektromagnetisch-mechanische Gr6Ben. Da die magnetische Fetdkonstante/~o eine universelle physikalische Konstante, ist, ist die Ersatzgr6Be ms, ein eindeutiges M a t3 ffir das magnetische Moment ~n und die Ersatzgr6Be H~, ein eindeutiges M a t3 ffir die magnetische Feldst~rke H und ebenso die Ersatzgr613e B,~ ein eindeutiges M aB far die magnetische Induktion B n, i <

,

Die vorangegangenen Ausffihrungen haben gezeigt, dab es ein Irl~um w~ire, wenn man an- nehmen wollte, dab der klassische Versuch von Gauss notwendig und unausweichlich zu den elektromagnetisch-mechanischen Ersatzgr6Ben ffihre und dab gerade darin der grunds~itzliche und nntiberbrfickbare Unterschied bestehe zu der Definition der magnetischen Induktion aus der Kraft auf einen bewegten Ladungstr~ger oder einen ruhenden Stromtr~ger. Man kann vielmehr auI beiden Wegen zu der gIeichen Definition der nichtmechanischen Gr6Be kommen.

Der Grund fiir diese Tatsache tiegt darin, daB, wie schon bemerk% ein Experiment (eine MeBvorschriff) fiir sich atlein zur eindeufigen Definition ether Gr6Be nieht ausreicht; es muB zns~itzlich die Gr6Bengteichung angegeben werden, dutch wetche die MeBvorschrift ausgelegt werden soll. Wir hatten hier an der entscheidenden Stelte ffir das magnetische Feld in der Dipolachse zwei verschiedene Gr613engleichungen betrachtet: H~ nach (4.4) und H~,~ nach (6A); das Experiment (die Me13anordnung) war dieselbe.

Professor Dr.-Ing. Jog, FISCHI~R, Karlsruhe, Technische Hochschule, Lehrstuhl und Insf i tu t iiir Theoretische Elektrotechnik und MeBteehnik.

10 Wk haben H~ geschrieben, um anzudeuten, dab H~,r und .H m naiiirlich Gr613en gleicher Art sein miissen, n Wenn man ~4ll, kann man selbslverstSmdlich konsequent und riehiig auch mit mechanischen Ersatz-

grSSen rechnen, Aber man sollte grunds~itzlich nicht i~bersehen, dab sie aus nichtmechanischen Gr6Ben abge- leite%e GrSBen sind. Sie sind zul~ssig, aber nich% notwendig. ]%lit den nichtmechanischen Originalgr6Ben lassen sich die physikalischen Zusammenh~inge in der Eleks wohl ausnahmslos deudieher darstellen.

1~ Es is% auch schon erwogen worden, die mechanischen ErsatzgrSBen etwa ,,Gaut3sche Gr6Ben" zu nennen. Zwei Griinde sprechen dagegen: Erstens kann man, wie irn a. Abschni t t erw~lmt wurde, auf zwei verschledene Ar ten rnechanische Ersatzgr6Ben definieren, so daS eine gemeinsame Bezeichnung wieder kein eindenfiger Ausdruck w~ire. (Das gleiche gilt auch ffir den Ausdruck ,,Gaugsche EinheJten"). Zweitens k6nnte man sieh ffir diese Namengebung gar nieh/; auf GA~JSS bernfen: den ]3eg,dff der allgemeinen phy-sikaIischen Gr6Be im helatigen Sinne ha t GauB weder gekannt, noch implizit angewendet.

Are&iv I. Elektrotechnik~ 49.13and z t . Hef~ 2