Physikalisches Praktikum für Elektrotechniker

Alexander Gaul, Henning Huckfeldt

Experimentalphysik IV – Universität Kassel

18. Juni 2014

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitende Hinweise 3

2 Organisatorisches 3

2.1 Prinzipieller Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Anmeldung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Plagiate 3

4 Durchführung des Versuchs 4

4.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.2 Durchführung mit Messprotokoll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.4 Protokoll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.5 Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.6 Kolloquium und Testate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Versuchsskripte 9

V1 - Luftschiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9V2 - Das Reversionspendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11V3 - Die Atwoodsche Fallmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13V4 - Das Fadenpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15V5 - Eigenschaften von Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17V6 - Linsen und Fernrohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19V7 - Beugung am Vielfachspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Literaturhinweise 23

6 Beispielprotokoll 23

2

1 Einleitende Hinweise

Lesen Sie bitte vor dem Antritt zum Praktikum dieses Script sorgfältig und aufmerksam involler Länge und beherzigen Sie die Tipps und Hinweise zum Praktikum. Bereiten Sie sich ent-sprechend der Angaben auf Ihre Versuche vor und nutzen Sie zur Erstellung Ihrer Protokolle dasBeispielprotokoll am Ende dieser Datei als Leitfaden.Für Versäumnisse oder Unwissenheit Ihrerseits zu Informationen die in diesem Skript erläutertoder im Moodle-Kurs aufgeführt sind, sind Sie selbst verantwortlich!

2 Organisatorisches

2.1 Prinzipieller Ablauf

Jeder Elektrotechniker muss nach aktuellem Stand zwei Physik-Versuche im Rahmen der Ver-anstaltung ETP1 durchführen. Dies geschieht je nach Teilnehmerzahl in 2er- oder 3er-Gruppen.Die Versuche finden innerhalb von 2 Wochen, also 10 Arbeitstagen statt, wobei jede Prakti-kumsgruppe an zwei Tage ihre Versuche durchführt. Vor einem Versuch muss jede Gruppe einKolloquium machen. Zudem erhält jeder Student zu den Versuchen eine Note, die sich aus denNoten für das Kolloquium, die Versuchsdurchführung und das Protokoll zusammensetzt. EinVersuch gilt als bestanden, wenn das Protokoll mit Testat zurückgegeben wird.

2.2 Anmeldung

Die Anmeldung erfolgt über die Moodle-Plattform der Uni Kassel. Hier können Sie die Prakti-kumstermine mit den Versuchen einsehen und sich einwählen. Die Kombination von erstem undzweitem Termin sowie den Versuchen ist fest vorgegeben.Da in den zwei Wochen viele Gruppen betreut werden müssen und es daher zeitlich sehr engwerden kann, muss an den Praktikumstagen auf Pünktlichkeit geachtet werden! In Einzelfällenkann es in Rücksprache mit den Studenten zu Änderungen der Termine kommen.

3 Plagiate

Als Plagiat werden alle Passagen eines Protokolls gewertet, die nicht der eigenen Arbeit einesGruppenmitglieds entstammen; dies umfasst sowohl Texte als auch Bilder. Werden Inhalte desProtokolls direkt aus anderen Dokumenten (Protokolle, Lehrbücher, Internetseiten, usw.) über-nommen, ohne dass direkt auf die Quelle verwiesen wird, wird der Versuch als nicht bestanden

gewertet. Wird die Quelle im Literaturverzeichnis aufgeführt, der Ursprung in der Textpassageaber nicht deutlich gemacht, gibt es deutliche Abzüge in der Endnote. Mit einer Quelle sind auchsolche Passagen zu kennzeichnen die sich in der Argumentation oder Herleitung eines Sachver-halts an den Werken eines Dritten deutlich orientieren.Internetquellen sind nur in seltenen Ausnahmen legitim und müssen mit vollständiger URL so-wie Datum und Uhrzeit des Abrufs gekennzeichnet werden. Bei Texten sind (soweit vorhanden)Erscheinungsjahr, Verlag, Ausgabe, Band, Autor und Titel anzugeben.Für Vollzitate (die wörtliche Übernahme von ganzen Sätzen oder Absätzen) kann keine Bewer-tung erfolgen, da sie keine eigene Leistung der Praktikanten darstellt. Dies trifft auch zu, wenndie Textstelle korrekt gekennzeichnet ist (in Anführungszeichen von Text abgesetzt und mit Quel-lenverweis). Die entsprechende Stelle im Protokoll wird vom Korrekteur so behandelt, als wäreder Abschnitt nicht existent. Dies gilt explizit auch für Inhalte der Grundlagen in einem

Protokoll! Eine Ausnahme hiervon stellen Abbildungen dar.

3

4 Durchführung des Versuchs

Die Versuche sind in 3 Abschnitte gegliedert: Vorbereitung, Durchführung und Auswertung.

4.1 Vorbereitung

Bevor der Versuch durchführt werden darf, muss ein Kolloquium bestanden werden, wo folgendeFragestellungen ab- und nachgefragt werden:

• Wie lautet die Aufgabenstellung? Welche Größen sollen gemessen und berechnet werden?

• Was sind die theoretischen Grundlagen? Welches Wissen existiert über den Aufgabenkom-plex?

• Herleitung und Zusammenstellung der benötigten Formeln

• Wie wird das Experiment durchgeführt (Aufbau, Vorgehensweise, ...)?

• Wie werden die relevanten Größen am Besten gemessen, bzw. welche Größen brauche ichzur Berechnung meiner gewünschten Endgröße?

• Wie mache ich bei dem Versuch eine Fehlerrechnung?

Sollte eine Gruppe keine Ahnung vom Versuch haben oder eklatante Mängel in der Herleitungvon Formeln aufweisen, so wird der Versuch als nicht testiert gewertet. Fragen oder Anregungenkönnen beim Kolloquium gestellt werden. Nach bestandenem Kolloquium darf der eigentlicheVersuch durchgeführt werden.

Zur Recherche für die Vorbereitung dient die Versuchsbeschreibung. Diese reicht allerdingsnicht aus; es müssen weitere Quellen benutzt werden. Hilfreich sind die Physik-Standardwerke(siehe Abschn. 5), aber auch andere Literatur oder das Internet können und sollten zu Rategezogen werden. Beim Internet muss allerdings beachtet werden, dass oftmals auch Unwahrhei-ten und falsche Formeln kursieren, so dass man mit der Buchliteratur besser bedient ist. Allebenutzten Bücher müssen in der Auswertung im Literaturverzeichnis angegeben werden. Sollteein Text aus einer externen Quelle abgeschrieben werden, so gibt es entweder hohe Notenabzüge(bei Angabe der Quelle im Literaturverzeichnis) oder der Versuch wird als nicht testiert gewertet(bei Nicht-Angabe der Quelle).

4.2 Durchführung mit Messprotokoll

Bei der Versuchsdurchführung selbst werden nach dem Aufbau des Versuchs alle zur Auswer-tung wichtigen Messgrößen samt Fehler aufgenommen - oftmals eignen sich für die Aufzeich-nung Tabellen. Im Messprotokoll wird sowohl eine Skizze des Versuchs, als auch die Messwertemit Fehlern und ein kurzer, leitender Text festgehalten. Der Text sollte dabei Angaben überMessverfahren, Geräte, auftretende Besonderheiten etc. Aufschluss geben. Das Messprotokollist handschriftlich anzufertigen und auch im Original ins Protokoll zu heften. Abschriften oderKopien sind nicht gestattet und können dazu führen, dass der Versuch nicht testiert wird. DasMessprotokoll muss ordentlich, strukturiert und dokumentenecht (kein Füller oder Bleistift - au-ßer für Skizzen -, kein Tipp-Ex etc.) erstellt werden, daher lohnt sich eine gute Vorbereitungmit Planung. Am Ende der Versuchsdurchführung wird das Messprotokoll vom Praktikumsleiterabgezeichnet.

Nach der Versuchsdurchführung wird alles wieder abgebaut und der Messplatz

gesäubert!

4

4.3 Auswertung

Nach Beendigung der Versuchsdurchführung wird in der Auswertung mit den in der Vorberei-tung hergeleiteten Formeln und den im Messprotokoll aufgeschriebenen Werten die gewünschtenKenngrößen berechnet. Außerdem enthält sie eine Fehlerrechnung, eine Diskussion, wo u.a. einVergleich mit Literaturwerten gemacht wird (so dies möglich ist), eine Zusammenfassung unddas Literaturverzeichnis (in dieser Reihenfolge).

4.4 Protokoll

Im Folgenden sind die wichtigsten Dinge bzgl. des Protokolls aufgezählt:

• Die Protokolle werden mit PC geschrieben - mit Ausnahme des Messprotokolls.

• Das Protokoll muss einen gebundenen Text enthalten. Stichpunkte sind nicht erlaubt.

• Graphen werden sinnvoll skaliert und mit Fehlerbalken versehen.

• Abgabe des Protokolls ist immer der übernächste Werktag nach Beendigung des Versuchs.(Bsp.: Versuch Montag → Abgabe Mittwoch; Versuch Donnerstag → Abgabe Montag)

• Das Protokoll wird vor der nächsten Versuchsdurchführung besprochen.

Für die Gliederung hat sich folgender Ablauf bewährt (es sind KURZE Beschreibungen hinzu-gefügt, was in den Kapiteln stehen soll):

1. Deckblatt:Versuchsname, Durchführungsdatum, Praktikantennamen, Betreuer

2. Grundlagen zum Versuch:Einleitender erläuternder Text, wichtige Formeln, Herleitungen der Formeln für die Auswer-tung und Erklärungen der Hintergründe sowie eventuellen Annahmen zur Vereinfachung

3. Messprotokoll:Beschreibung, Messdaten mit Fehlern, Versuchsskizze und Durchführung

4. Auswertung:Berechnung der zu berechnenden Größen

5. Fehlerrechnung:Berechnung der Fehler der zu berechnenden Größen

6. Ergebnisdiskussion:Vergleich mit Literatur, was kann man verbessern, wo liegen die größten Fehler...

7. Zusammenfassung:KURZE Zusammenfassung der berechneten Größen und deren Fehler (sinnvoll gerundet)

8. Literaturverzeichnis:Angaben zur benutzten Literatur

Es empfiehlt sich dabei eine Gliederung mit nummerierten Überschriften zu wählen. Dies gilt auchfür Unterteilungen der oben genannten Kapitel.

Für Formeln empfiehlt sich eine zentrierte Ausrichtung und Absetzung vom Text. Mit einerNummerierung der Formeln kann man innerhalb des Protokolls (z.B. in der Auswertung) leichtauf sie verweisen. Beispiel:

g =2s

t2(4.1)

5

Wichtig ist die Fehlerberechnung, die oftmals falsch gemacht wird. Daher folgt eine kleineEinführung, die mit dem Buch von Walcher (siehe Abschn. 5) vertieft werden kann.

4.5 Fehlerrechnung

Keine Messung einer physikalischen Größe ist exakt. Trotzdem ist die Physik eine exakteWissenschaft, da es unter anderem zur Methode der Physik gehört, auftretende Abweichungeneiner Messung zu klassifizieren, zu verstehen und wenn möglich zu korrigieren. Es werden in derPhysik prinzipiell zwei Arten von Unsicherheiten unterschieden, die allerdings im Experiment niegetrennt auftreten:

Systematische Unsicherheiten

resultieren aus prinzipiellen Unzulänglichkeiten der Messung. die z.B. sein können:

1. falsche Messmethode für die gesuchte physikalische Größe

2. ungenaue Messgeräte

3. fehlerhaftes Ablesen der Messgeräte

4. falsche Kalibrierung oder Eichung der Messgeräte

5. Äußere Umwelteinflüsse auf die Messung

Anhand der obigen Liste zeigt sich eine gemeinsame Eigenschaft systematischer Unsicher-heiten. Bei sorgfältiger Vorbereitung und Experimentplanung sind systematische Unsicher-heiten entweder vermeid- oder korrigierbar!Der Einfluss von systematischen Unsicherheiten muss in jeder Auswertung diskutiert undabgeschätzt werden. Die quantitative Abschätzung der Größenordnung der systematischenUnsicherheit trägt zum Konfidenzintervall einer Messung bei.Ein Beispiel für einen systematischen Fehler ist die Messung einer Länge mit einem Zoll-stock, dessen Millimeterschritte 0, 9 mm Abstand haben. Man misst systematisch immerl ∗ 0, 1 mm zu lang (mit l = gemessene Länge).

Zufällige oder statistische Unsicherheiten

Auch bei (fast) vollständiger Korrektur systematischer Unsicherheiten liefert die mehrma-lige Messung einer physikalischen Größe nicht genau übereinstimmende Ergebnisse: dieMesswerte xi sind statistischen Schwankungen unterworfen, d.h. sie sind um einen „wah-ren“ Wert x0 zufällig verteilt. Oft liegt eine sogenannte Gauß-Verteilung vor. Für eineMessreihe von n Messwerten x0 kommt der arithmetische Mittelwert:

x =1

n

n∑

i=1

xi

dem „wahren“ Wert x0 am nächsten. Das Maß für die Streuung der Messwerte ist diesogenannte Standardabweichung:

s =

√

√

√

√

1

n− 1

n∑

i=1

(xi − x)2.

Für großes n beträgt die Wahrscheinlichkeit P , einen Einzelwert x0 zu messen, der innerhalbdes Intervalls x± s liegt, P = 68, 3 %(x± 2s: P = 95, 5 %; x± 3s: P = 99, 7 %).Bei zufällig schwankenden Messwerten ist also folgendermaßen vorzugehen:

6

1. die Messreihe mit hinreichend vielen Messwerten xi, i ∈ N, durchzuführen

2. der Mittelwert x und die Standardabweichung s wird berechnet

3. es wird ein Konfidenzintervall x±∆x (∆x = s, 2s, 3s) für den Messwert einer physi-kalischen Größe angegeben

Ein Beispiel für einen statistischen Fehler ist das Messen einer Zeit per Hand, in der einKörper zwischen zwei Messpunkten fällt (ohne Berücksichtigung der Reaktionszeit).

Um die systematischen Fehler einzubeziehen gilt hierbei die Gleichung:

∆x = ∆xstat +∆xsyst

Das Konfidenzintervall x ± ∆x unterliegt zusätzlich Veränderungen, die aus nichtkorrigierten oder unbewussten systematischen Unsicherheiten resultieren.

Fehlerfortpflanzung

Die meisten physikalischen Experimente betreffen abgeleitete Größen A, zu derenBestimmung mehrere direkt gemessene Teilgrößen x, y, z . . . erforderlich sind.

A = f(x, y, z, . . . )

Sind die Teilgrößen voneinander unabhängig und sind ihre Konfidenzintervalle x ± ∆x,y ±∆y, z ±∆z, . . . , dann liefert das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz für die mittlerequadratische Unsicherheit:

∆A =

√

(

∂A

∂x

)2

x=x

·∆x2 +

(

∂A

∂y

)2

y=y

·∆y2 +

(

∂A

∂z

)2

z=z

·∆z2 + . . .,

bzw. den absoluten Größtfehler:

∆Amax =

∣

∣

∣

∣

∂A

∂x

∣

∣

∣

∣

x=x

·∆x+

∣

∣

∣

∣

∂A

∂y

∣

∣

∣

∣

y=y

·∆y +

∣

∣

∣

∣

∂A

∂z

∣

∣

∣

∣

z=z

·∆z + . . . .

Dabei sind die partiellen Ableitungen ∂A∂x

, ∂A∂y

, ∂A∂z

, . . .an den Stellen x = x, y = y, z = z, . . . zu berechnen.Sei A die Summe (Differenz) von Messgrößen x, y, z, . . . :

A = ±x± y ± z ± . . .

dann haben die partiellen Ableitungen den Wert ±1 und es gilt:

∆Amax = ∆x+∆y +∆z + . . . .

Sei A das Produkt (Quotient) von Messgrößen x, y, z, . . . :

A = c · xk · yl · zm · . . .

mit k, l,m positiven oder negativen Zahlen, dann gilt für die relative Unsicherheit:

∆A

A=

√

k2(

∆x

x

)2

+ l2(

∆y

y

)2

+m2

(

∆z

z

)2

+ . . .

bzw.∆Amax

A= k ·

∆x

x+ l ·

∆y

y+m ·

∆z

z+ . . .

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Runden der Werte und ihrer Fehler

Beim Runden der Werte wird die letzte Stelle, die nach dem Runden bei der Zahl verbleibt,Rundestelle genannt. Für das Runden gilt folgende Regel (DIN 1333):

• Steht rechts neben der Rundestelle eine der Ziffern 0 bis 4, so wird abgerundet,

• steht rechts neben der Rundestelle eine der Ziffern 5 bis 9, so wird aufgerundet.Bsp.:8,579 413 → 8,5798,579 613 → 8,580

Bei der Angabe von Messwerten mit Unsicherheiten gelten folgende Rundungsregeln:

• Die Unsicherheit wird an der ersten von 0 verschiedenen Stelle gerundet, außer wenndiese ein 1 oder 2 ist. In diesem Fall ist an der Stelle rechts daneben zu runden.

• Unsicherheiten werden immer aufgerundet.

• Der Messwert wird an der gleichen Stelle gerundet wie die Unsicherheit.Bsp.:Ergebnis einer Messung mit Fehlerabschätzung: U = 5, 38412 V ± 0, 0469 VRundung der Unsicherheit an der 2. Stelle: U = 0, 05 VRundung des Messwertes an der gleichen Stelle: U = 5, 38 VEndergebnis: U = (5, 38± 0, 05) V

4.6 Kolloquium und Testate

Mit Bestehen des Kolloquiums darf der Versuch durchgeführt werden. Nach der Versuchsdurch-führung erhält jede Gruppe bei ordnungsgemäßer Durchführung ein Vortestat auf ihr Messpro-tokoll. Mit diesem wird das Protokoll maximal zwei Werktage nach Beendigung des Versuchsabgegeben. Mit Rückgabe des Protokolls gibt es normalerweise das Testat mit Note, was denVersuch als erfolgreich bestanden kennzeichnet.

Das Kolloquium ist eine ca. 45-minütige mündliche Prüfung mit dem Betreuer in der auf dieGrundlagen, die Durchführung, sowie das Protokollheft eingegangen wird. Sollten die Praktikan-ten nicht vorbereitet oder unwissend im Kolloquium auftreten, so dürfen sie den Versuch nichtdurchführen und der Versuch wird als nicht testiert bewertet.

Ein nicht-testierter Versuch muss ein Jahr später im Praktikum wiederholt werden.Die Noten setzen sich aus drei Teilen zusammen:

• Versuchsdurchführung

• Protokollheft

• Kolloquium

Während das Protokollheft beim ersten Versuch im Vergleich zu den anderen zwei Punkten wenigEinfluss hat, macht es beim zweiten Versuch deutlich mehr aus, weil das erste Protokoll zur Ein-führung in die Thematik „Physikalisches Protokoll“ dient und bei vielen noch recht fehlerbehaftetist. Mit dem Testat wird den Praktikanten die Gesamtnote mitgeteilt.

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V1 - Luftschiene

Einführung

Mit Hilfe einer Luftschiene ist es möglich, die nahezu reibungsfreie Bewegung eines Gleitschlit-tens zu verwirklichen. Bei einem Neigungswinkel Θ der Luftschiene wirkt auf den Gleitschlittendie Kraft:

F = m · g · sinΘ

g : Erdbeschleunigungm : Masse des Gleitschlittens

Der Gleitschlitten führt eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung aus. Zur Zeit t nach demLoslassen des Gleitschlittens beträgt seine zurückgelegte Wegstrecke s :

s =1

2· a · t2

a = g · sinΘ

a : Beschleunigung des Gleitschlittens

An der Stelle s0 ist ein Hindernis aufgebaut, das den Gleitschlitten reflektiert. Daraufhin führtder Gleitschlitten oszillierende Bewegungen aus, die wegen des nichtlinearen Kraftgesetzes an-harmonisch sind.

Vorbereitung

• Was sind harmonische, bzw. anharmonische Schwingungen?

• Zerlegung von Kräften bei einer schiefen Ebene?

• Welche Energien spielen eine Rolle? Energieumwandlung!

• Was versteht man unter einer gedämpften Schwingung? Unterschied magnetische und Fe-derdämpfung?

• Herleitung der Formeln für die Schwingungsdauer und die Dämpfungskonstante aus derDifferentialgleichung der Bewegung!!!

• Was sind der Schwingfall, Kriechgang und aperiodischer Grenzfall?

• Wie kann die Dämpfungskonstante bestimmt werden?

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Durchführung

1. Bestimmen Sie die Gleichgewichtslage der Schiene. Das Gleichgewicht ist mit Hilfe einerWasserwaage zu korrigieren und dadurch am genauesten zu überprüfen, dass ein ruhenderGleitschlitten in Ruhe bleibt und ein sich bewegender Gleitschlitten seine Geschwindig-keit beibehält. Die Neigung der Luftschiene kann dabei mit einer Stellschraube korrigiertwerden. Schätzen Sie experimentell die Genauigkeit ab, mit der Sie das Gleichgewicht mitHilfe dieser Stellschraube einstellen können.

2. Stellen Sie jetzt einen Neigungswinkel von einigen Bogenminuten ein. Messen Sie die Zeitt, die der Gleitschlitten zum Zurücklegen verschiedener Wegstrecken s benötigt (3 verschie-denen Winkeln, 10 Auslenkungen mit je 10 Einzelmessungen pro Winkel).

3. Betrachten Sie jetzt bei einem festen Winkel die oszillierende Bewegung des Gleitschlittensnach Reflexion an einem Hindernis. Starten Sie mit einer Amplitude größer 60 cm undmessen Sie die Amplitude in Abhängigkeit der Zeit mit ausreichend vielen Messpunkten(mindestens 20). Verwenden Sie zwei unterschiedliche Puffertypen:

(a) Federpuffer

(b) Magnetpuffer

Auswertung

1. Bestimmen Sie aus Ihren Messungen die Erdbeschleunigung g und die Standardabweichung,in dem sie für jeden Winkel einen s-t2-Graphen erstellen und aus den Messpunkten dieRegressionsgerade bestimmen.

2. Bestimmen Sie für die unterschiedlichen Puffer die Dämpfungskonstante δ = 1

Tln(

A0

A1

)

aus

dem Mittelwert aller aufeinander folgenden Messpaare. Errechnen Sie jeweils den Größt-fehler für die gemittelte Dämpfungskonstante.Wie ist das zeitliche Verhalten der Puffer und was zeigt sich beim Vergleich?

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V2 - Das Reversionspendel

Einführung

Das Modell eines mathematischen Pendels reduziert die Bewegung des Pendels auf die Bewe-gung eines Massepunkts. Diese Vereinfachung wird durch das Modell des physikalischen Pendelsaufgehoben.

Ein ausgedehnter starrer Körper, der um eine Achse A drehbar gelagert ist, die nicht durch seinenSchwerpunkt geht, führt unter Einfluss der Schwerkraft Schwingungen aus. Das Trägheitsmomentbezüglich dieser Achse sei JA. Dann lautet die Bewegungsgleichung:

JA · ϕ+m · g · s · sinϕ = 0 (4.1)

ϕ : Winkel zwischen Ruhelage des Pendels und Auslenkungm : Masse des Pendelsg : Erdbeschleunigungs : Strecke zwischen Aufhängepunkt A und Schwerpunkt (siehe Abb.1)

Durch die Einführung der reduzierten Pendellänge lr:

lr =JA

m · s

kann Gleichung (4.1) in die einfache Form:

ϕ+g

lr· sinϕ = 0

überführt werden. Dies ist die Bewegungsgleichung eines mathematischen Pendels der Länge lr.Die Lösung dafür ist bekannt:

ϕ(t) = ϕ0 · cos (2πft)

ϕ0 : Auslenkung des Pendels zur Zeit t = 0f : Frequenz der Pendelschwingung

Unter der Voraussetzung kleiner Amplituden führt das Pendel harmonische Schwingungen mitder Frequenz f aus:

f =1

2π·

√

g

lr

Die reduzierte Pendellänge eines physikalischen Pendels ist demnach die Länge eines mathe-matischen Pendels, das mit gleicher Frequenz schwingt. Der Punkt B in Abb. 1 liegt in derVerlängerung der Strecke AS im Abstand lr von A. Das Pendel schwingt mit unveränderterFrequenz, wenn es nicht in A, sondern in B aufgehängt wird. Dazu berechnen wir zuerst diereduzierte Pendellänge des neuen Pendels l′r:

l′r =JB

m · (lr − s)

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JB : Trägheitsmoment des Pendels um Drehachse B

Die Anwendung des Steinerschen Satzes auf lr und l′r mit dem Trägheitsmoment JS des Pendelsim Schwerpunkt S ergibt:

lr = l′r

Die reduzierten Pendellängen sind in beiden Fällen gleich, also auch die Eigenfrequenzen.

Vorbereitung

• Was sind harmonische, bzw. anharmonische Schwingungen? Was ist ein physikalisches Pen-del?

• Was versteht man unter einer gedämpften Schwingung?

• Wie kann die Dämpfungskonstante δ bestimmt werden?

• Herleitung der reduzierten Pendellänge lr bei einem Reversionspendel (Differentialglei-chung)?

• Warum ist die reduzierte Pendellänge lr bei einem Reversionspendel so wichtig?

• Was sagt der Satz von Steiner aus?

• Was versteht man unter einem Trägheitsmoment?

Durchführung

Ein Reversionspendel besteht aus einem Stab mit zwei fixen Aufhänge-punkten und zwei beweglichen Massen (siehe Abb. 2).Befestigen Sie die Masse 2 (Abb. 2) etwa 15 cm unter Punkt B. Ver-schieben Sie die Masse 1 zwischen den Punkten A und B in geeigne-ten Abständen (min. 10) über die gesamte mögliche Länge und bestim-men Sie die Schwingungsdauer TA und TB für das Reversionspendel beieiner Massenverteilung in den Schneiden A und B. Tragen Sie die ge-messenen Werte geeignet in einem Diagramm auf und nehmen Sie inder Nähe des Schnittpunkts 6 weitere Messwerte über 25 Perioden auf.Für TA und TB ist jeweils die Gesamtzeit ti für 10 Schwingungen zumessen und daraus in der Auswertung die Schwingungsdauer zu errech-nen.Anschließend nehmen Sie bei der gedämpften Schwingung ein Schwingungsanzahl-Auslenkungs-Diagramm auf. Hierfür starten Sie einmalig das Pendel von einer ausreichend großen Auslenkungund notieren dann die Anzahl an Schwingungsperioden, sobald eine der jeweils gekennzeichnetenAuslenkungen erstmals unterschritten wird.

Auswertung

• Bestimmen Sie aus Ihren Messungen die Erdbeschleunigung g und berechnen sie den Fehler.

• Bestimmen Sie aus Ihren Messungen die Dämpfungskonstante δ und geben sie die Stan-dardabweichung an.

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V3 - Die Atwoodsche Fallmaschine

Einführung

An der Atwoodschen Fallmaschine kann die gleichförmig beschleunigte Bewegunguntersucht und die Erdbeschleunigung g gemessen werden. Zudem wird an dieser Maschine derUnterschied zwischen träger und schwerer Masse deutlich. Den prinzipiellen Aufbau zeigt Abb. 1.

Die in Abb. 1 gezeigte Bewegung wird beschrieben durch:

mb · g = mges · a

a : Beschleunigung der fallenden Masse m2

Nicht berücksichtigt wurden dabei das Trägheitsmoment J und die Reibungskraft FR der Rolle.Mit diesen beiden Korrekturen lautet die Bewegungsgleichung:

mb · g − FR =

(

mges +J

r2

)

· a

r : Radius der Rolle

Vorbereitung

• Was bedeutet gleichförmige, bzw. gleichförmig beschleunigte Bewegung?

• Was ist der Unterschied zwischen träger und schwerer Masse?

• Überlegen Sie, bei welcher Masse der Fehler der Erdbeschleunigung am kleinsten wird.

• Was versteht man unter dem Begriff Trägheitsmoment und wie berechnet man es für einenKörper (z.B. einen Zylinder)?

• Welche Kräfte (inklusive Reibung) können bei diesem Experiment auftreten?

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Durchführung

Die Größenordnung der Massen m1 und m2 liegen im Bereich von 1 kg. Bei unachtsamen

Umgang mit der Fallmaschine können dabei ernsthafte Verletzungen oder Beschä-

digungen entstehen! Dies gilt es unbedingt zu vermeiden.

1. Minimieren Sie alle Reibungskräfte, um eine gleichförmig beschleunigte Bewegung der Mas-sen zu erreichen.

2. Führen sie je 10 Messungen mit drei verschiedenen Zusatzgewichten bis zu 5g mit Zwi-schenzeiten alle 10cm Fallstrecke durch.

3. Berechnen sie die optimale Masse und führen Sie damit 10 Messungen über die maximaleFallstrecke durch.

4. Führen Sie je 20 Messungen über die maximale Fallstrecke mit 10 unterschiedlichen Ge-wichten durch. Je fünf Gewichte sollen dabei im Bereich 5-20g und 20-50g liegen.

Auswertung

1. Verifizieren Sie das Gesetz der gleichförmig beschleunigten Bewegung, in dem Sie für jedeMasse aus dem Aufgabenteil 2 ein s-t2-Diagramm mit Regressionsgerade erstellen. Wassagt die Steigung aus? Wie sieht die Streuung ihrer Messwerte um die Regressionsgeradeaus (Residuenplot)? Vergleichen Sie die Ergebnisse für die unterschiedlichen Massen.

2. Bestimmen Sie die Erdbeschleunigung g mit Fehler aus den Messungen mit der optimalenMasse. Welche Schlüsse können Sie im Vergleich mit 1. ziehen?

3. Tragen Sie für alle durchgeführten Messungen ein Diagramm mit g gegen m auf. WelcheFolgerung können Sie aus dem Verlauf ziehen?

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V4 - Das Fadenpendel

Einführung

Die Bewegungsgleichung eines Fadenpendels mit geschwindigkeitsproportionaler Reibung

FR = b · v

FR : Reibungskraftb : Proportionalitätskonstantev : Geschwindigkeit

lautet:ϕ+ 2 δ ϕ+ ω2

0 ϕ = 0 (4.2)

ϕ : Auslenkung des Fadenpendels (siehe auch Abb. 1)

δ : Dämpfungskonstante δ = b2m

m : Masse des Pendels

ω0 : Kreisfrequenz des ungedämpften Systems: ω0 =√

gl

g : Erdbeschleunigungl : Länge des Fadens (siehe Abb. 1)

Die Lösung von Gleichung (4.2) ist für kleine Auslenkungen eine harmonische Schwingung mit

exponentiell abfallender Amplitude A(t):

ϕ(t) = ϕ0 exp (−t

τ) cos (ωt)

ϕ0 : Anfangsamplitude der Schwingungτ : Abklingzeit: τ = 1

δ

ω : Kreisfrequenz des gedämpften Fadenpendels: ω20= ω2 + δ2

t : Zeit; freier Parameter

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Vorbereitung

• Herleiten und Lösen der Schwingungsgleichung (Differentialgleichung)

• Warum ist das Fadenpendel nur bei kleinen Auslenkungen ein harmonischer Oszillator?

• Was sind harmonische, bzw. anharmonische Schwingungen?

• Was versteht man unter einer gedämpften Schwingung?

• Wie kann die Dämpfungskonstante δ bestimmt werden?

• Erläutern Sie die Begriffe Amplitude, Frequenz, Schwingungsdauer, Periodendauer undPhasenverschiebung.

• Machen Sie sich mit dem Begriff Trägheitsmoment vertraut? Was besagt der Satz vonSteiner?

Durchführung

1. Messen Sie die Schwingungszeit t des Pendels über 10 Perioden mit Holz- und Eisenkugeljeweils fünf mal. Messen Sie die Pendellänge l, die Kugelmassen M und die Kugeldurch-messer d.

2. Messen Sie für beide Kugeln die Amplitude A(t) als Funktion der Zeit. Beginnen sie beieiner maximalen Amplitude. Dafür lesen Sie jede fünfte Periode die Amplitude ab, bis sie 10Messpunkte aufgenommen haben. Für jeden Kugeltyp sind zwei Messreihen aufzunehmen.

Auswertung

• Bestimmen Sie die Erdbeschleunigung g und ihren Fehler aus der Schwingungsdauer.

• Bestimmen Sie Abklingzeit (Dämpfungskonstante) aus allen aufeinander folgenden Werte-paaren und mitteln Sie anschließend. Errechnen Sie den Fehler und die FrequenzkorrekturIhrer Pendel aus Ihren Messungen.

• Die Beziehung ω0 =√

gl

gilt nur im Grenzfall einer punktförmigen Masse m.

Besitzt die Masse eine endliche Ausdehnung, so wird l durch die reduzierte Pendellänge lrersetzt:

lr =Θ

ml

mit dem Trägheitsmoment Θ des Pendels.Bestimmen Sie das Trägheitsmoment Ihrer Masse im Versuch mit Hilfe des SteinerschenSatzes. Wie groß ist dadurch die relative Korrektur der Kreisfrequenz, bzw. Schwingungs-dauer Ihres Pendels?

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V5 - Eigenschaften von Flüssigkeiten

Einführung

Abbildung 1: Zähigkeit vonFlüssigkeiten

Abbildung 2: Oberflächen-spannung

Die Viskosität und Oberflächenspannung sind besondereMerkmale einer Flüssigkeit.

Die Viskosität verursacht bei der Deformation einer FlüssigkeitReibungsspannungen. Dies führt beim Fließen durch ein Rohr zueinem Geschwindigkeitsgefälle: Vom Maximum in der Rohrachsefällt sie zu den Rohrwänden auf 0 ab. Auch bei ruhender Flüs-sigkeit treten die Reibungen auf, wenn sich ein bewegter Gegen-stands in ihr befindet. Die Reibung einer Kugel in Flüssigkeitwird durch die Gleichung

FR = −6πηrv

η: Viskositätr: Radius der Kugelv: Geschwindigkeit der Kugel

beschrieben. Mit Hilfe einer durch die Schwerkraft fallenden Ku-gel kann man somit aus dem Kräftegleichgewicht bei laminarerStrömung um die Kugel die Viskosität zu

η =2

9r2

g

v(ρKug. − ρF l.)

ρKug.: Dichte der KugelρF l.: Dichte der Flüssigkeitg: Erdbeschleunidung

bestimmen.Eine Flüssigkeit versucht immer die kleinst mögliche Oberflä-

che einzunehmen. Die Moleküle erfahren Kohäsionskräfte, diein der Flüssigkeit kompensiert werden, am Rand der Flüssigkeitjedoch nicht. Die resultierende Kraft ist immer in Richtung Flüs-sigkeit gerichtet und ist somit die Ursache der Oberflächenspan-nung. Will man die Oberfläche vergrößern, so muss man Arbeitleisten. Es gilt:

σ =∆W

∆A

Ebenso muss man Kraft aufbringen, um einen Gegenstand in dieFlüssigkeit zu tauchen. Der Wasserläufer macht sich dies zunutzeund kann auf dem Wasser sich bewegen, da seine Gewichtskraftnicht ausreicht.

Vorbereitung

• Was sind ideale und reale, laminare und turbulente Strö-mungen?

• Was besagt das Hagen-Poiseuillesche Gesetz?

• Was beschreibt die (kritische) Reynoldszahl?

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• Was passiert bei Flüssigkeiten, wo Adhäsion (bzw. Kohä-sion) überwiegt?

• Wie muss die Gleichung für die Oberflächenspannung mo-difiziert werden, damit man sie mit der Ringmethode mes-sen kann?

Durchführung

Füllen sie das Fallrohr mit Paraffinöl und warten sie bis die Flüssigkeit keine Luftblasen mehrzeigt. Markieren sie am Rohr eine Strecke für den Fallversuch. Denken sie daran, dass die Kugelzwischen den Markierungen eine konstante Geschwindigkeit haben sollte, daher sollte über demStartpunkt noch eine ausreichende Strecke Öl sein. Messen sie für die unterschiedlichen Kugel-größen das Gewicht, den Durchmesser, und die Fallzeit und -strecke je 25 mal, um gut mittelnzu können.

Achten sie beim öffnen des Ventils immer darauf, dass der Becher mit Sieb darunter steht.Für die Oberflächenspannung füllen sie in die Schale Wasser und messen Sie das Gewicht des

Rings. Anschließend tauchen sie den Ring in die Flüssigkeit ein und ziehen sie ihn vorsichtigwieder heraus. Dabei muss darauf geachtet werden, dass der Ring möglichst gerade hängt. MitHilfe der Umlenkrolle und dem Federkraftmesser nehmen sie nun die Kraft auf, bei der dieVerbindung von Ring und Wasserfilm reißt. Führen Sie 10 Messungen durch, um den Fehler zuverringern. Geben sie dem Wasser nun einen kleinen Tropfen Spülmittel hinzu und wiederholensie den Versuch mit erneut 10 Messungen. Führen Sie 10 Referenzmessungen nur mit dem Ringdurch.

Auswertung

• Bestimmen sie die Viskosität der Flüssigkeit für die verschiedenen Kugelgrößen. Geben Sieden Größtfehler für Ihre Ergebnisse an.

• Berechnen sie die Oberflächenspannung von destilliertem Wasser mit wenig und ohne Spül-mittel. Berechnen Sie den Größtfehler.

• Vergleichen sie jeweils die Werte miteinander und mit Literaturwerten.

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V6 - Linsen und Fernrohre

Einführung

Linsen dienen zur gezielten Manipulation eines Strahlverlaufs in der Optik. Mit ihnen ist esmöglich eintreffende Strahlung zu fokussieren oder zu defokussieren und somit durch geschickteAnordnungen etwa Mikroskope oder Fernrohre aufzubauen, mit denen Objekte optisch vergrößertwerden und dadurch besser wahrnehmbar sind.Charakterisiert wird eine Linse durch verschiedene Parameter. Entscheidend für die optischenEigenschaften ist dabei immer die Form der Linse. Hierbei wird im einfachsten Fall konkav oderkonvex unterschieden, Hauptaspekt bleibt aber fast immer die Brennweite.

Vorbereitung

• Machen Sie sich mit der geometrischen Optik vertraut. Erklären sie die Begriffe Brennweite,Gegenstandsweite, Bildweite, Brennpunkt und Vergrößerung.

• Wie ist der Strahlengang für ein einfaches Mikroskop mit zwei Linsen und für ein Fernrohr?Wie kann der Vergrößerungsfaktor bestimmt werden? (siehe z.B. Demtröder „Experimen-talphysik“, Band 2).

• Machen Sie sich mit der Abbeschen Mikroskoptheorie vertraut.

• Wie lauten die Brechungsgesetze?

• Wie sieht die Bildkonstruktion für Sammel- und Zerstreuungslinsen aus? Was sind reelleund virtuelle Bilder?

• Was unterscheidet das Galilei- und das Kepler-Fernrohr?

• Beschreiben Sie die möglichen Abbildungsfehler bei optischen Instrumenten.

• Brennweitenbestimmung für Zerstreuungslinsen im Linsensystem.

Durchführung

1. Zur Bestimmung der Brennweiten der drei Linsen sollen jeweils zwei Messverfahren ange-wandt werden. Bei beiden Methoden muss die Zerstreuungslinse zur Brennweitenbestim-mung mit einer brechkräftigeren Sammellinse kombiniert werden. Wählen Sie dabei denminimal möglichen Abstand zwischen den beiden Linsen.

(a) Die Linsenformel stellt einen Zusammenhang zwischen der Gegenstandsweite g, derBildweite b und der Brennweite f einer dünnen Linse her, der hier für die Bestim-mung der Brennweite genutzt werden soll. Für alle Linsen werden für verschiedeneGegenstandsweiten die zugehörigen Bildweiten gemessen. Nehmen Sie zehn verschie-dene Wertepaare auf, wobei Sie vergrößerte und verkleinerte Bilder berücksichtigen.Bestimmen Sie die Brennweiten der drei Linsen zunächst grob aus jeweils einem oderzwei Wertepaaren, da Sie die Werte für den Aufbau der Fernrohre benötigen.

(b) Aufgrund der Umkehrbarkeit von Strahlengängen gibt es für einen festen Abstand e

zwischen Gegenstand und Schirm zwei Linsenpositionen, für die sich ein scharfes Bildergibt. Einmal handelt es sich um ein vergrößertes und einmal um ein verkleinertesreelles Bild. Leiten Sie den Zusammenhang f = e2−d2

4ezwischen der Brennweite f , dem

Abstand e und dem Abstand d zwischen den beiden Linsenspositionen her. MessenSie für die Sammellinsen für mindestens sechs verschiedene Abstände e die relevantenLängen wobei Sie die beiden Bildeinstellungen jeweils dreimal wiederholen.

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2. Bauen Sie aus den beiden Sammellinsen ein Keplersches Fernrohr und aus einer Sammel-linse und einer Zerstreuungslinse ein Galileisches Fernrohr auf. Die Linsenabstände fürdie beiden Fernrohrtypen können Sie aus den im obigen Versuchsteil grob bestimmtenBrennweiten abschätzen. Stellen Sie den Maßstab in größtmöglicher Entfernung vor demFernrohr auf. Lassen Sie jedes Gruppenmitglied die Fernrohrvergrößerung messen, indemSie den Maßstab gleichzeitig mit einem Auge durch das Fernrohr ansehen und mit dem an-deren Auge direkt betrachten. Die beiden Bildgrößen lassen sich auf diese Weise vergleichenund ins Verhältnis setzen.

Auswertung

• Bestimmen Sie für jede der drei Linsen die Brennweite f aus den gemessenen Gegen-standsweiten g und Bildweiten b bzw. Bildgrößen B und Gegenstandsgrößen G mit dreiMethoden:

1. Berechnen Sie f aus jedem gemessenen Wertepaar für g/G und b/B und bilden Sieden Mittelwert.

2. Stellen Sie 1

bals Funktion von 1

ggrafisch dar und entnehmen Sie den Schnittpunkten

der Ausgleichsgeraden mit den beiden Achsen des Koordinatensystems die Brennweitef .

• Bestimmen Sie für jede der drei Linsen die Brennweite f aus den gemessenen Abständen e

und d mit zwei Methoden:

1. Berechnen Sie f aus jedem gemessenen Wertepaar für e und d und bilden Sie denMittelwert.

2. Stellen Sie e2−d2

4e= f(e) grafisch dar und bestimmen Sie mit der Ausgleichsgeraden

den Wert für die Brennweite.

• Bestimmen Sie für jedes Fernrohr die Vergrößerung jeweils aus dem gemessenen Bildver-gleich und durch Berechnung aus den oben bestimmten Brennweiten der verwendeten Lin-sen.

20

V7 - Beugung am Vielfachspalt

Einführung

Wird ein Objekt in ein paralleles Lichtbündel gebracht, so entstehen Teilwellen, die in ver-schiedenen Raumrichtungen weiterlaufen. Dieses Phänomen heißt Beugung. Die allgemeine Be-schreibung liefert das Huygenssche Prinzip.Im Spezialfall eines Vielfachspaltes sagt dieses Prinzip aus, dass unter verschiedenen RichtungenMinima oder Maxima der Lichtintensität auftreten, je nachdem ob der Gangunterschied δ halb-oder ganzzahlige Vielfache der Wellenlänge λ des Lichts beträgt.

Die unter einem Winkel φ austretenden Strahlen aller Einzelspalte interferieren konstruktiv (ver-stärkend), wenn:

d · sinφn = nλ (4.1)

d : Spaltabstandφn : Ablenkwinkel des n-ten Maximumsn : Beugungsordnung; n = 0,±1,±2, . . .

Vorbereitung

• Machen Sie sich mit der geometrischen Optik vertraut. Erklären sie die Begriffe Brennweite,Gegenstandsweite, Bildweite und Brennpunkt.

• Wie lautet das Superpositions- und das Huygensche Prinzip?

• Machen sie sich mit dem Strahlengang einer Linse und beim Experiment vertraut.

• Wie sehen die Beugungsbilder eines Einfach- bzw. Doppelspaltes aus? Wo liegen Unter-schiede?

• Was passiert, wenn die Spaltbreite groß gegen die Wellenlänge wird?

• Wie muss Gleichung (4.1) modifiziert werden, damit sie für den Aufbau in Abb. 2 nochihre Gültigkeit behält?

• Machen sie sich mit dem Ursprung der spezifischen Spektren der chemischen Elementevertraut. Wo finden diese Verwendung im Alltag?

Durchführung

1. Bauen Sie das Experiment nach Abb. 2 auf.

2. Verwenden Sie zunächst den Farbfilter F1 (dunkelrot). Messen Sie die Beugungswinkel allererkennbaren Ordnungen in beide Richtungen für die verschiedenen Gitter.

21

3. Verwenden Sie ein Gitter mit Liniendichte von weniger als 80Linien

mmund bestimmen Sie die

Winkel der verschiedenen Beugungsordnungen bei Weißlicht. Notieren Sie Ihre Beobach-tungen.

Vorsicht beim Umgang mit Dampfdrucklampen!

Dampfdrucklampen können UV-Strahlung erzeugen, die zu Netzhautschäden und/oder Ver-brennungen der Haut führt. Schauen Sie daher niemals direkt in den Strahlengang oder dieLampe.Weiterhin sind Dampflampen im Betrieb empfindlich, sie werden außerdem sehr heiß. Schal-ten Sie eine Lampe erst ein, wenn diese vollständig abgekühlt ist, da es ansonsten zu Be-schädigungen kommen kann. Betreiben Sie die Lampen immer mit dem dafür vorgesehenAusgang am Netzteil.Zum Wechseln oder zur Inbetriebnahme einer Dampflampe rufen Sie bitte im-

mer einen Betreuer hinzu!

4. Verwenden Sie das hochauflösende Gitter mit 570 Linien pro mm. Die Beugungswinkelwerden jetzt so groß, dass Sie das erste Maximum auf einem Schirm weit außerhalb deroptischen Achse in der Brennebene von L2 auffangen können. Befestigen sie ein Blatt Papierin sinnvollem Abstand zum Aufbau, auf dem Sie die Lage der Spektren aufzeichnen können.

(a) Bestimmen Sie den Abstand zwischen der Linse L2 und ihrem Schirm, indem Siedie Lage der Maxima 0.-/−1.- und 1.-Ordnung der Na-Dampflampe messen. Natriumweist zwei Linien bei 589, 00 nm und 589, 59 nm auf. Stellen Sie sicher, dass der Aufbauin dieser Position verbleibt.

(b) Verwenden Sie den Aufbau aus 4.a um die Spektren der 4 unbekannten Dampflampenzu ermitteln.

Auswertung

• Stellen Sie die Messreihen aus 2. und 3. grafisch dar und verifizieren Sie Gleichung (4.1).

• Bestimmen Sie auf Basis Ihrer Messungen aus 4.a die Wellenlängen der von Ihnen in 4.baufgenommen Linienspektren aller unbekannten Dampflampen. Ermitteln Sie daraus dasjeweilige Element der Dampfdrucklampe.

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5 Literaturhinweise

Es folgen eine Lehrbücher, die Sie als Einstiegshilfe für die Grundlagen ihrer Protokolle undzur Vorbereitung nutzen können:

• Praktikum der Physik, Wilhelm Walcher

• Physik, Paul A. Tipler

• Experimentalphysik, Demtröder

• Physik, D.M. & C. Gertsen

6 Beispielprotokoll

Auf den folgenden Seiten finden Sie ein Beispielprotokoll, dass Ihnen dabei helfen soll einenkorrekten Aufbau und Inhalt in Ihre Protokolle zu bringen.

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Experimentalphysik

Protokoll zum Versuch "Torsionsmodul"

Max Mustermann, MatrNr: 123456789

Ute Musterfrau, MatrNr.: 987654321

Betreuer: Stephen Hawking

21. Mai 2007

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen zum Versuch 2

2 Messprotokoll 3

2.1 Skizze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Messwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Auswertung 4

3.1 Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Statistischer Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 Zusammenfassung der Messergebnisse und Vergleich mit Literaturwerten 6

5 Fehlerdiskussion 6

6 Quellen 7

1

1 Grundlagen zum Versuch

Bei diesem Experiment wird ein Drehpendel aufgebaut, bei dem eine Masse symmetrisch an einemEnde eines Metalldrahts aufgehängt ist. Die Pendelbewegung entsteht nach einer anfänglichenVerdrillung des Drahtes um seine Längsachse durch die rücktreibende Kraft die aus der Torsioneines Drahtes entstammt. Solange bei der Verdrillung nicht die Elastizitätsgrenze des Materialsüberschritten wird, versucht der Draht, wenn keine Kraft mehr auf ihn wirkt, seine ursprünglicheForm wieder anzunehmen. Die Energie zum Erzeugen des dabei wirkenden Drehmoments ist diegleiche, welche zuvor für die Verdrillung des Drahtes aufgewandt wurde und zwischenzeitlich alselastische Energie im Draht gespeichert war. Das aus dieser Energie entstehende DrehmomentM ist als

M = −D · ϕ, (1)

beschrieben, wobei ϕ den Winkel der Verdrillung und D die Federkonstante darstellt[2]. Letztereergibt sich bei den gewählten Versuchbedingungen zu

D =π

2·r4

l·G ⇔ G =

2 · l ·D

π · r4. (2)

Hierbei ist G das Torsionsmodul des Drahtes welches eine materialspezifische Kontante darstellt,l die Länge des Drahts und r dessen Radius[3].Die Geschwindigkeit, mit der die Ruhelage bei der Pendelbewegung erreicht wird, ist davonabhängig, wie hoch die Trägheit J des Pendels ist. Je weiter die Massenpunkte des Pendels vonder Rotationsachse entfernt sind, desto höher ist das Trägheitsmoment des Pendels und umsogeringer ist die Beschleunigung in Richtung der Ruhelage. Dies lässt sich ebenfalls mit einemDrehmoment beschreiben[3]:

M = J · ϕ. (3)

Aus den beiden Gleichungen (1) und (3) für das Drehmoment ergibt sich die Differentialgleichungder Schwingung zu

ϕ = −D

J· ϕ (4)

Die Lösung dieser Gleichung beschreibt die Schwingung des Pendels um die Ruhelage. Dabeiwird periodisch alle elastische Energie in kinetische Energie umgewandelt und umgekehrt. DiesePendelbewegung um die Ruhelage findet solange statt, wie nicht alle Energie in Reibungsarbeitumgewandelt worden ist. Bei der Schwingung beträgt die Schwingungsdauer T [2]:

T = 2 · π ·

√

J

D⇔ J =

T 2·D

4 · π2, ⇔ D =

4 · π2· J

T 2. (5)

Auf Basis dieser Gleichung ist es theoretisch möglich, die gesucht Federkonstante zu berechnen, je-doch ist das Trägheitsmoment J0 des sich drehenden Gestänges am Ende des Drahtes nicht bekan-nt. Deswegen werden zwei Messungen mit zusätzlichen Massen, also verschiedenen Trägheitsmo-menten J1 und J2, durchgeführt. Dabei gilt nach dem Steinerschen Satz Ji = J0 + m · R2 [1].Werden die Gleichungen für die veränderten Massen in Verhältnis zu einander gesetzt, kann dasunbekannte Drehmoment des Gestänges eliminiert werden:

D =4 · π2

· J1

T 21

D =4 · π2

· J2

T 22

T 22 − T 2

1 = 4π2·

(

J0 +m ·R22

D−

J0 +m ·R21

D

)

=4π2m

D·(

R22 −R2

1

)

D = 4 · π2·m ·

R22 −R2

1

T 22 − T 2

1

, (6)

2

wobei R der Abstand der Masse m zur Rotationsachse darstellt. Mit einer dritten Messung ohneZusatzgewichte lässt sich über die Schwingungsdauer das Trägheitsmoment J0 des Pendels nach(5) abschließend bestimmen.

2 Messprotokoll

An dieser Stelle würde das Messprotokoll vom Versuchstag im Original abgeheftet sein. Die

weiteren Inhalte im Kapitel „Messprotokoll“ dienen zur Verdeutlichung, wie ein solches aussehen

kann.

2.1 Skizze

Zeichnen Sie hier eine sinvolle Skizze des Versuchsaufbaus und beschriften sie diese inklusive aller

Messpositionen und Konstanten.

2.2 Versuchsdurchführung

Zuerst wurden von uns die Abmessungen des Pendels bestimmt sowie die für die Auswertung er-forderlichen anderen Größen. Außerdem wurden von uns die Fehler für die einzelnen Messungenabgeschätzt. Die Massen, die während der Versuchsdurchführung am Pendel angebracht wur-den, wurden mit einer elektronischen Waage des Typs „Kern CB12K1N“ gewogen. Die Zeitmes-sung erfolgte mit einer elektronischen Stoppuhr des Typs „Triple Timer“. Die Abmessungendes Pendels wurden mit einem Bandmaß bestimmt, für die Bestimmung des Durchmessers desDrahtes wurde eine Mikrometerschraube verwendet, deren Bezeichnung auf Grund von häufigerBenutzung nichtmehr erkennbar war.Bei der Durchführung gingen wir wie folgt vor: Zuerst bestimmten wir die Ruhelage des Pen-dels. Von dort aus wurde dem Pendel eine Anfangsamplitude von einer Umdrehung gegeben. BeiStarten des Pendels aus dieser Postion erfuhr es leichte vertikale Schwingungen um die horizon-tale Achse, welche über die Dauern der einzelnen Messungen bestehen blieben. Die Zeitmessungerfolgte an demjenigen Umkehrpunkt der Pendelbewegung, bei dem die die Pendelbewegungstartete.Der Messzeitraum am Pendel umfasste 30 Schwingungen bei der Massepositionierung am äußerenRand des Pendels. Bei den anderen Messungen wurde nur über einen Zeitraum von 25 Schwingun-gen gemessen, wobei wir uns jeweils um eine Schwingung verzählten und somit jeweils 26 Schwingun-gen aufgenommen haben. Die Reduzierung der Schwingungsanzahl erfolgte aus Zeitgründen. Ausdem selben Grund wurden pro Positionierung der Massen nur zwei statt drei Messungen durchge-führt.Während jeder Messung der Schwingungsdauern war zu beobachten, dass die Amplitude derPendelbewegung über den Messzeitraum kontinuierlich abgenommen hat, so dass sie zum Endeeiner jeden Messung um ca. 180◦ reduziert war. Dies entspricht ca. 50% der Startamplitude.

2.3 Messwerte

Erstellen Sie hier eine Tabelle mit den Messwerten und den zugehörigen abgeschätzten Mess-

fehlern.

3

3 Auswertung

3.1 Rechnung

Die Messwerte sind dem Messprotokoll zu entnehmen. Die Mittelwerte für die SchwingungsdauernT ergeben sich aus den Messgrößen ti1 und ti2 der beiden Einzelmessungen über alle Perioden,jeweils dividiert durch die Zahl der Schwingungen pro Messung:

T1 =T11 + T12

2=

t1126 + t12

25

2=

806,59 s26 + 775,66 s

25

2= 31, 02 s

T2 =T21 + T22

2=

t2130 + t22

30

2=

1637,8 s30 + 1638 s

30

2= 54, 60 s

Es lässt sich die Federkonstante nach Gleichung (6) bestimmen:

D =4 · π2·m ·

R22 −R2

1

T22− T1

2

=4 · π2· 0, 393 kg ·

(0, 2 m)2 − (0, 045 m)2

(54, 60 s)2 − (31, 02 s)2

=2, 92 · 10−4 Nm

Nun ist es möglich das Torsionsmodul des Stahldrahtes bzgl. Verdrillung nach Gleichung (2) zuermitteln:

G =2 ·D · l

π · r4

=2 · 2, 92 · 10−4 Nm · 1, 5 m

π · (2, 5 · 10−4 m)4

=7, 13 · 1010N

m2

Es lässt sich mit diesem Werte das Trägheitsmoment des Pendels nach Gleichung (5) bestimmen,wobei für die Schwingungsdauer verwendet wird, die ohne zusätzliche Massen bestimmt wurde:

T0 =T01 + T02

2=

t0126 + t02

25

2=

755,53 s26 + 726,29 s

25

2= 29, 06 s

J0 =T0

2·D

4 · π2

=(29, 06 s)2 · 2, 92 · 10−4 Nm

4 · π2

= 6, 25 · 10−3 kgm2

3.2 Statistischer Fehler

Der Gesamtfehler für die Federkonstante des Pendels lässt sich mit der Gauß’schen Fehlerrech-nung abschätzen:

∆D =

√

(

∂D

∂m·∆m

)2

+

(

∂D

∂R1·∆R1

)2

+

(

∂D

∂R2·∆R2

)2

+

(

∂D

∂T1·∆T1

)2

+

(

∂D

∂T2·∆T2

)2

4

∂D

∂m·∆m = 4 · π2

·R2

2 −R21

T22− T1

2 ·∆m

= 4 · π2·(0, 2 m)2 − (0, 045 m)2

(54, 60 s)2 − (31, 02 s)2· 0, 001 kg

= 7, 43 · 10−7 Nm

∂D

∂R1·∆R1 = 4 · π2

·m ·(−2) ·R1

T22− T1

2 ·∆R1

= 4 · π2· 0, 393 kg ·

(−2) · 0, 045 m

(54, 60 s)2 − (31, 02 s)2· 0, 003 m

= −2, 07 · 10−6 Nm

∂D

∂R2·∆R2 = 4 · π2

·m ·2 ·R2

T22− T1

2 ·∆R2

= 4 · π2· 0, 393 kg ·

2 · 0, 2 m

(54, 60 s)2 − (31, 02 s)2· 0, 003 m

= 9, 22 · 10−6 Nm

∂D

∂T1·∆T1 = −4 · π2

·m ·R2

2 −R21

(T22− T1

2)2

· (−2) · T1 ·∆T1

= −4 · π2· 0, 393 kg ·

(0, 2 m)2 − (0, 045 m)2

((54, 60 s)2 − (31, 02 s)2)2· (−2) · 31, 02 s ·

2

51s

= 3, 52 · 10−7 Nm

∂D

∂T2·∆T2 = −4 · π2

·m ·R2

2 −R21

(T22− T1

2)2

· 2 · T2 ·∆T2

= −4 · π2· 0, 393 kg ·

(0, 2 m)2 − (0, 045 m)2

((54, 60 s)2 − (31, 02 s)2)2· 2 · 54, 60 s ·

1

30s

= −5, 26 · 10−7 Nm

Wie erkennbar ist, stammt der größte Fehlerbeitrag aus der Unsicherheit des Abstands derZusatzmassen von der Drehachse. Der Gesamtfehler für die Federkonstante ergibt sich zu:

∆D = 9, 50 · 10−6 Nm

Der relative Fehler für das Torsionsmodul, angegeben als Maximalfehler, kann aus der Summeder relativen Fehler aller Messgrößen wie im Script beschrieben berechnet werden:

∆G

G=

∆D

D+

∆l

l+ 4 ·

∆r

r

=9, 50 · 10−6 Nm

2, 92 · 10−4 Nm+

0, 003 m

1, 5 m+ 4 ·

1 · 10−5 m

2, 5 · 10−4 m

= 0, 1945 = 19, 45%

5

Dies ergibt einen absoluten Fehler von:

∆G =∆G

G·G

= 0, 1945 · 7, 13 · 1010N

m2

= 1, 387 · 1010N

m2

Auf dieselbe Weise berechnet sich der Fehler für das Trägheitsmoment:

∆J0

J0= 2 ·

∆T0

T0

+∆D

D

= 2 ·251 s

29, 06 s+

9, 50 · 10−6 Nm

2, 92 · 10−4 Nm

= 0, 0352 = 3, 52%

∆J0 =∆J0

J0· J0

= 0, 0352 · 6, 25 · 10−3 kgm2

= 2, 20 · 10−4 kgm2

4 Zusammenfassung der Messergebnisse und Vergleich mit Lit-

eraturwerten

Aus unseren Messungen haben sich die folgenden Größen für das Torsionspendel ergeben:

D = (2, 9± 0, 1) · 10−4 Nm

G = (7± 2) · 1010N

m2

J0 = (6, 3± 0, 3) · 10−3 kgm2

Einen Vergleichswert aus der Literaur gibt es auf Grund des spezifischen Aufbaus des Experi-ments nur für das Torsionsmodul des Stahls. So findet sich in [1]: „α-Eisen: G = 0, 84 · 104 kp

mm2 “.

Dies entspricht einem Wert von G = 7, 46 · 1010 Nm2 , was gut mit unserem Ergebnis vereinbar ist.

5 Fehlerdiskussion

Die relativ hohe Fehlertoleranz des experimentell bestimmten Torsionsmoduls ist in der Haupt-sache durch die Genauigkeit der Messung des Drahtdurchmessers verursacht. Hierbei kann es zuFehlern in der Bestimmung gekommen sein, da keiner von uns im Umgang mit einer Mikrometer-schraube geübt ist. Somit ist es möglich, dass der von uns ausgeübte Druck beim Einstellen derMikrometerschraube am Draht in geringem Maße die Dicke des Drahtes verändert hat. Um dieGenauigkeit des Experiments zu verbessern, wäre es somit notwendig eine genauere Bestimmungder Drahtdicke zu erreichen.Weitere statistische Fehler während der Versuchsdurchführung könnten an mehreren Punktenwährend der Durchführung passiert sein. Einerseits wurde die schon beschriebene Pendelbewe-gung um die horizontale Achse beobachtet, deren Einfluss auf das Experiment uns nicht bekanntist. Andererseits kann es durch gekippte Fenster und eine geöffnete Tür als möglich erachtetwerden, dass ein kontinuierlicher Luftstrom einen Einfluss auf die Pendelbewegung hatte.Außerdem wäre zu empfehlen die Abstände der Gewichte von der Drehachse mit einem genaueremMesswerkzeug zu bestimmen.

6

6 Quellen

[1] W. Walcher, Praktikum der Physik, S. XYZ, 2005, Verlag ABC[2] P.A. Tipler, Physik - Für Wissenschaftler und Ingenieure, S. ABC, 1999, Spektrum, Auflage 3[3] W.H. Westphal, Physikalisches Praktikum, S. X-Y, 2006, Verlag ABC[4] http://www.hochschule-bochum.de/fileadmin/media/fb_e/labore/physik/ph-praktikum/M6.pdf,

Stand: 21.05.2007 14:11

7