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Der binomische Lehrsatz
Eine der bekanntesten Formeln in der Mathematik ist
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Im Grunde ist dies nur ein Spezialfall eines allgemeinen Satzes, des binomi-schen Lehrsatzes.
Wenn man namlich hohere Potenzen ausrechnen will, z.B.
(a + b)3
oder(a + b)4
wird der Rechenaufwand sehr groß, wenn man einfach ausmultipliziert. Letz-terer Term ausmultipliziert ergibt etwa
a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.
Man erkennt, wie kompliziert das Ausmultiplizieren wird. Deswegen versu-chen wir eine allgemeine Formel fur
(a + b)n
zu ermitteln.
Es gilt(a + b)n = (a + b) ∗ (a + b) ∗ . . . ∗ (a + b)︸ ︷︷ ︸
n−mal
Wenn man alle Klammern ausmultipliziert, bekommt man eine Reihe vonTermen, die wir Schritt fur Schritt bestimmen. Beim Ausmultiplizieren wird 1Faktor der 1. Klammer mit je 1 Faktor aller anderen Klammern multipliziert(dabei werden alle moglichen Kombinationen durchlaufen), und dann wirdaufsummiert.
Wenn man dies bei
(a + b)n = (a + b) ∗ (a + b) . . . ∗ (a + b)︸ ︷︷ ︸n−mal
macht, ergibt das
(a + b) ∗ (a + b) . . . ∗ (a + b)︸ ︷︷ ︸n−mal
= an + nan−1b +n(n− 1)
2!an−2b2 +
+n(n− 1)(n− 2)
3!an−3b3 + . . . +
+n(n− 1) . . . (n−m + 1)
m!an−mbm + . . . +
+nabn−1 + bn.
Die Koeffizienten der Terme an−kbk sind
1, n,n(n− 1)
2!, . . . ,
n(n− 1) . . . (n− k + 1)
k!, . . . ,
n(n− 1)
2!, n, 1
welche man auch auf folgende Weise anschreiben kann(n
0
),
(n
1
),
(n
2
), . . . ,
(n
k
), . . . ,
(n
2
),
(n
1
),
(n
0
)
was gleich (n
0
),
(n
1
),
(n
2
), . . . ,
(n
k
), . . . ,
(n
n− 2
),
(n
n− 1
),
(n
n
)
ist.
Also gilt
(a+b)n =
(n
0
)an+
(n
1
)an−1b+
(n
2
)an−2b2+. . .+
(n
n− 1
)abn−1+
(n
n
)bn
bzw.
(a + b)n =n∑
k=0
=
(n
k
)an−kbk Binomischer Lehrsatz
