m a n u s c r i p t a math. 72, 205 - 211 (1991) manuscripta mathematica �9 Springer-Verlag 1991

D E R C E B O T A R E V ~ S C H E D I C H T I G K E I T S S A T Z U N D E I N

A N A L O G O N Z U M D I R I C H L E T ~ S C H E N P R I M Z A H L S A T Z

F U R A L G E B R A I S C H E F U N K T I O N E N K O R P E R

Franz Halter-Koch

ABSTRACT. We improve the remainder term in Cebotarev's density theorem for alge- braic function fields by a logarithmic factor. With aid of this. we deduce an analogon of Dirichlet's theorem on primes in arithmetic progressions for holomorphy rings of algebraic function fields with best possible remainder term.

1. Der klassische Dirichlet'sche Primzahlsatz kann begriffiich aus dem {2ebota- rev'schen Dichtigkeitssatz und dem Zerlegungsgesetz ffir EinheitswurzelkSrper ge- folgert werden. Diese Betrachtungsweise erlaubte es mir in [2], das folgende Ana- logon zum Dirichlet'schen Primzahlsatz f/Jr Holomorphieringe algebraischer Funk- tionenkgrper (einer Variablen fiber einem endlichen KSrper) zu beweisen:

Ist R ein solcher HoIomorphiering und (0) # .~ <~ R , so Iiegen in jeder StrahlkIasse modulo ~- unendlich viele Primideale yon R .

Kiirzlich zeigten nun M. Kruse und H. Stichtenoth [4], dab auch die asymptoti- sche Aussage des klassischen Primzahlsatzes von Hadamard und de la Vall4e Poussin ein Analogon in algebraischen Funktionenk6rpern besitzt.

In der vorliegenden Note beweise ich als gemeinsame Verschiirfung dieser beiden Resultate ein Analogon zum Dirichlet'schen Primzahlsatz in algebraischen Funk- tionenkSrpern mit bestmSglichem Restglied (Satz 3). Die Grundlagen dafiir sind die Verbesserung der Restgliedabsch&tzung im (2ebotarev'schen Dichtigkeitssatz um einen logarithmischen Faktor (Satz 2) und die Theorie der verallgemeinerten Strahl- klassenk5rper aus [2].

2. Fiir natfirliche Zahlen definiere ieh

n , a mit l < a < n undree l leZahlen t > 1, x > 1

[z] t j s, . . . . (=)= E T

j = l j-a rood n

Die Funktionen St . . . . (x) sind als diskrete Analoga zum Integrallogarithmus zu betrachten und spielen im Primzahlsatz fiir Funktionenk6rper dieselbe Rolle wie jener im gewShnlichen Primzahlsatz. Ich beginne mit der Untersuchung des asym- ptotischen Verhaltens dieser Funktionen.

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Typeset by .AA4S- ~

Halter-Koch

S a t z 1. Sei t E N , t > 1 , und seien n, a E N mit 1 < a < n .

i) F/ i t x > 1 ist

0 ( ~ 1 S, . . . . ( . ) =

insbesondere folgt

D] tj t x

X : 7 - < ~ , 7 - ]=ac

mit einer nu t yon t abM~ngigen Konstanten % > 0 .

il) Ffir x E N , x = a m o d n und m E N besteht d ieAsympto t i k

m - - 1 __.{ c_, 1} St .. . . (x) = Tt~x 1 + E x" + 0(-~-~

t t = l

mit einer yon t, n und m abhiiaagigen O-Konstanten; dabei ist

t n T -

t n --I '

C. = ( -~)" �9 X:(-T)'~! s(~, ~), t n

und I V ( )

(_1)~_ k v k" s(~, ~) = ~ . E k k=O

sind die Stirling'schen Zahlen 2. Art.

Beweia. Fiir # > 0 definiere ich rat ionale Funkt ionen R~(z) rekursiv durch

Ro(z) = 1, Rt~+l(Z ) = R . ( z ) - R , ( z + n) ; Z

diese haben die fiir Iz[ > n# konvergenten Reihenentwicklungen

oo nV

.Rtt(Z ) : ( - - I ) t t~ ! E ( - 1 ) v S ( v , # ) Z ~ - ~ I

(siehe [6, Ch.6]). Insbesondere folgt mr x > 1 und m > #

m--1 R.(x) = (-1)"~! ~ (-1)'S(., ~)7~" + 0 (7Z~)1

V= D

1 = o ( 7 ~ ) .

Fiir # > 0 und x > 1 sei

[~]

S.(x) = E tJR"(J); j = l

j ~ a m o d n

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dann folgt aus [P, Satz A 1.5]

[*] x

Su(x) <- E tJRu(J) = f l j=l

t~R,(~)d~ +O(t~R,(x))

mit einer von # abhs O-Konstanten, da die Y~nktion t~Ru(~) von einer Stelle [(#) > 1 an monoton ws Daraus erhs man die Absch~itzung

wegen

folgt t �9

und damit insbesondere i) .

Zum Nachweis von ii) setze ich x = a + Jn mit Satz A 1.4] filr Mle # > 0

J E N und erhalte aus [P,

J s , ( x ) = t +"Jn.(a +

j=0

t n(J+l) -- 1 R, (x) - n ~o 3 t"([~]+l) - 1

J = Tt*R,(x) - nTt a fo tn[~lR~"(a + n~)d( + O(1)

und

Daraus folgt

~0./ J-1 [ j + l t n[~] R~(a + n[)d[ = E tnJR~ (a + n[)d~

j=oJJ

J

j=o

S~(x) = Tt*R,(x) + TS~+,(x) - Tt*R~+,(x),

und ich erhalte mittels Induktion die Formel

m-1

So(x) : Tt* E T~(R"(x) - R~+l(X)) + TmSm(x) + O(1)

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m--1 1 = T~,Z[~ Av(T--1)E TP-IR#(x)-[- O(x--m~) ] "

Setzt man die oben hergeleiteten Formeln fiir Rv(z) ein, so erhs man

m--1 p _(_~_ } { 1 1 So(x)= Tt*x ' 1 + ( 1 - ~ ) E E ( - T ) ~ v ! S ( # ' v ) + O ( ~ - ~ .

~u=l b'=l []

Bemerkungen 1) Die a~ymptotische Entwicklung von St . . . . (x) kann auch mit den in [3] ent-

wickelten Methoden bewiesen werden. Man kann m = re(x) mit x grog machen und dadurch Restglieder von der Grfi3enordnung (Tt) ~ erhalten.

2) Die Konstante 7t ist effektiv berechenbar; ffir t > � 8 9 3) = 1.372.. . liefert den Beweis yon Lemma 3 in [4] ein Verfahren zur Berechnung von 7t -

3. Sei E ein algebraischer Funktionenkfrper fiber dem endlichen Kfrper K mit [ K [= q (d. h., E ist endlich erzeugt, vom Transzendenzgrad 1 fiber K , und K ist relativ algebraisch abgeschlossen in E ). Ffir einen Primdivisor p von E bezeichne deg(p) den Grad und A/'(p) = qd,s(P) die Norm yon p. P(E) sei die Menge aller Primdivisoren von E ; ffir k e N sei P~(E) = {p e P(E) [ deg(p) = k} �9

Ich fixiere ein separierendes Element t E E \ K ; ffir dieses sei d = [E : K(t)] und e die Anzahl der fiber K(t) verzweigten Primdivisoren von E .

F I E sei eine endliche galoissche Erweiterung mit Galoisgruppe ~ ( F / E ) . Ffir einen in F unverzweigten Primdivisor p �9 P(E) sei (F~pE) C ~ (F /E) die

gonjugiertenklasse der Frobeniusautomorphismen [F_~E] �9 ~ ( r / E ) der Primteiler von p in F . Ffir eine Konjugiertenklasse C C ~(F /E) und k �9 N sei

Pk(F/E,C) = {p E Pk(E) ]p unverzweigt in F, ( _ F ~ ) = C}.

Es sei L der algebraisehe Abschlu$ von K in F, n = [L : K] und m = I F : LE]. ~ sei die kanonische Erzeugende von 9(L /K) , d .h . ~(z) = zq fiir alle z E L . Ffir eine gonjugiertenklasse C C ~(F /E) sei a(C) e { 1 , . . . , n } derart, dab ~- [ L = T ~ ffir a l l e v E C . SchlieBlich sei gF bzw. gE das Geschlecht yon F bzw. E .

Mit diesen Bezeichnungen gilt:

Satz 2. Sei C C ~ (F /E) eine gonjugiertenklasse, a = a(C) und k E N . Im FMIe k ~ a mod n ist Pk(F/E,C) = 0 �9 Ist k - a mod n , so folgt

[Pk(F/E,C) [ - I Cl,m q~k [ q~ < e + 2 I c [ -{(2gE + 1)7~ + gF + gFd + d2} �9 T ;

dabei ist 7q die Konstante aus Satz 1.

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Insbesondere folgt

I PKF/E,C) I = I C I qk ( k ) $

m . - - ~ + 0

wobei die O-Konstante nut yon der Erweiterung F/E abh~gt .

Beweis. Der Beweis verliiuft genauso wie der yon Proposition 5.16 in [1]; nur an einer entscheidenden Stelle (dem dortigen Lemma 5.15) hat man sorgfs ab- zuschgtzen, um im Fehlerglied den Faktor ~ anbringen zu kSnnen.

Ich habe alle Bezeichnungen wie in [1] gewi~hlt und kann mich nun darauf be- schriinken, die nStigen Modifikationen im dortigen Beweis zu beschreiben. Alle im folgenden verwendeten Formelnummern beziehen sich auf [1], w alle bisher nicht eingefiihrten Bezeichnungen haben dieselbe Bedeutung wie dort. Zuniichst ist

I IPk(F/E,C) I -- ICk(F/E,C) I I <e ; ~ s (15) ~nd (~G) folgt

I C I . I C I ( F , / E , , { , } ) 1 I Ck(F/E,C) I - [E' : E]

[C[ {q P,~(E')ldeg(qC?E)< 2 k-} < [E': E------] " e

nach (17) ist k

- q~ CI(F'/E',{r}) I - I c I . -< 2 [C I . ( g F + g F d + d 2 ) �9 T ' m m

Wegen rn >_ 1 folgt

_< e+ ICI.[[E ,1: El

Daher geniigt es, zu zeigen:

1 k} q~ [ E ' : E ] " {qeP~r (E ' [ d e g ( q n E ) < ~ < 2(2gE+1)%'--~-.

Fiir j > 1 ist 2gEq ~ +qJ + l <_ (2gE+ l)q j ,

und aus (9) und (10) folgt (unter Verwendung von Satz 1)

1 I k} [E': El " {q E P,r(E') 1 deg(q n E) < ~ < E I Pj(E) I

j~< } . qJ q ~ < 1-(2gEq�89 + qJ + 1) < (2gE + 1) E 7 < 2(2gE + 1)7k" --k-. _ - .7 j<_~

I I Pk(F/E,C)[ - [CI qk - - ; - . ; I _<

- - . l{q e P.r(E') l deg(qnE) < ~}l + 2(gf + gFd+d2)" q@] .

[ ]

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K o r o l l a r 1. Sei C C ~(F/E) eine KonjugiertenMasse und

~r(F/E,C,X) -- [{p E P ( E ) I p unverzweigt in F, Af(p) < X, ( - ~ - ) = C} i m

m

]

Dann gilt fiir X = qN mit N �9 N, N = a ( C ) m o d n :

7r(F/E,C,X) = IC__[.m Sq ... . (c)(N) + 0 ( ~ ) =

ICl q" ~ ( ~ x = ~ ' q - - l ' l o g q X + ~ . -, fi).

Bewei,. Ffir X=qlV mit N � 9 N - a ( C ) m o d n f o l g t a u s S a t z l u n d S a t z 2

7r(F/E,C,X) = E A ' - f f + 0 = learn .Sq . . . . (c)(N) + 0 ( ~ - ) = k = l k = l

k~a(C) rood n

ICl . s , . o(c)( N) + O(lo--~ )

und q. qN qN q" X X

S""'"(o(N) = q" - 1 - N + 0 ( ~ - ) = q - - 1 logq----X + O ( ( l o g q X ) 2 ) ' []

B e m e r k u n g . Im Falle F = E folgt aus Korollar 1 der Primdivisorsatz yon Kruse und Stichtenoth [4].

4. Ich komme nun zum angekfindigten Analogon des Dirichlet'schen Satzes. Sei dazu wieder E ein algebraischer FunktionenkSrper fiber dem endlichen K6rper K und ]K[ = q ; ff ir jedes p E P(E) sei vp : K - - * Z U {oo} die zugeh6rige Exponentenbewertung. Sei 0 # S C P(E) eine endliche Menge,

n = ggT{deg(p) [P E S}

und R = Rs(E) = { f E E I v,(f) > 0 fiir alle p �9 P(E) \ S};

fiir p E P(E) \ S sei ~, = { : �9 R I . , ( f ) > 0}.

Dann ist R ein Dedekindring, max(R) = {Pp [ p �9 P(E) \ S} ist die Menge der maximalen Ideale von R , und fiir jedes p �9 P(E) \ S ist

A/'(Pp) = ( R : Pp) = Af(p) = qdeg(p).

Ffir ein Ideal (0) # 5 r <~ R sei Z (~-) die Gruppe der zu .T pr imen gebrochenen Ideale yon R und "H~- = {aR [ a �9 EX,a = l m o d • "} C /(~-) der Strahl modulo ~" ; dabei bedeutet a - 1 mod xsr wie iiblich vp(a - 1) > vp(~-) fiir alle p �9 P(E) \ S . Die Faktorgruppe

e)~ = I(7) l~j: ist die Strahlklassengruppe modulo 9 v in R ; ffir die Verteilung der Primideale von R in den Klassen yon ~ 7 gilt nun das folgende Analogon zum Dirichlet'schen Primzahlsatz.

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Hal te r -Koch

S a t z 3. Sei (0) # 3 ~ <~ R e i n IdeM, S E ~J= eine Strah]klasse modulo ~ und

v ( S , X ) = I { P e m a x ( R ) l P e S , N ( 7 ~ ) < x } [ .

Dann gilt es eine nur yon S abhs Zahl a E { 1 , . . . ,n} , so dab/'fir X = qN mit N E N, N - - a m o d n gilt:

r = l~Sy I �9 Sq . . . . (N) + O[,l~gX )

n , q. x +o(o- gZx I ~ 1 qn _ 1 logq x )2 - )

Beweis. Sei E (s'7) der S -S t rah lk la s senkSrpe r modu lo Y fiber E i m Sinne von [2]; nach dem dor t bewiesenen T h e o r e m induz ie r t das A r t i n s y m b o l e inen G r u p p e n - i somorphismus

O: r -~ ~( E(S'a:) / E)

derar t , dab ffir alle p E P ( E ) \ S mit E ( s ' y ) ) gilt:

3~ E S genau dann , wenn

%(~-) = 0 (diese s ind unverzweigt in

= { o < s ) } . p /

Nach [2] ist der K o n s t a n t e n k S r p e r yon E (s'7) vom G r a d e n = ggT{deg(p) I P E S} fiber K . Ich wende Koro l l a r 1 mi t F = E (s J=), C = {0(S)} u n d a = 5 (0 ) an. Wegen

1 I O s l m ~ - - �9

folgt die Behaup tung . []

LITERATUR

[1] M. D. Fried, M. Jarden, Field Arithmetic, Springer 1986 [2] F. Halter-Koch, A note on ray class fields of global fields, Nagoya Math. J. 120 (1990), 61 -

66 [3] F. Halter-Koch, W. Mfiller, Quantitative aspects of non-unique factorization: A general theory

with applications to algebraic function fields, J. Reine Angew. Math. [4] M. Kruse, H. Stichtenoth, Ein Analogon zum Primzahlsatz fiir algebraische Funktionenk6rper,

Manuscripta Math. 69 (1990), 219 - 221 [5] K. Prachar, Primzahlverteilung, Springer 1957 [6] J. Riordan, Combinatorial Identities, J. Wiley, New York 1968

FRANZ HALTER-KOCH, INSTITUT FUR MATHEMATIK, S ARL-FRANZENS-UNIVERSITAT, H E I N R I C H S T R A S S E 36/IV, A - 8 0 1 0 GRAZ, (~STERHEICH.

(Eingegangen am 6 Marz 1991)

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