Der dynamische Beharrungszustand des kollektiven Bausparens

Hans Laux (Ludwigsburg)

I. E i n l e i t u n g und P r o b l e m s t e l l u n g

Die Bausparmathematik befaBt sich haupts~chlich mit dem sogenannten Beharrungs- zustand, aueh station~rer Zustand genannt, der sich herausbildet, wenn bei einem Bausparbestand periodisch gleichhohe Neuzug~nge sowie unvergnderliche Spar-, Zuteilungs- und Tilgungsverhgltnisse zu verzeiehnen sind [1]*. Im Beharrungs- zustand des kollektiven Bausparens sind alle UmsatzgrSBen (Sparbeitrgge, Gut- habenzinsen, Zuteilungen, Tilgungsrfickfliisse u.a.) wie auch alle BestandsgrSBen (Bauspareinlagen und -darlehen, Vertragsbestand usw.) konstant. Von besonderem Interesse ist die mittlere Wartezeit. Das ist die fiir den station~ren Zustand geltende Wartezeit, die der Bausparer vom VertragsabsehluB bis zur Zuteilung der Bauspar- summe zuriicklegen muB. Das schon seit langem bekannte mathematische Formel- werk [2] geht hierbei von den Daten des Bauspartarifs, wie HShe der Spar- und Tflgungsbeitr~ge sowie der Zinssgtze fiir Bausparguthaben und -darlehen einerseits und vonder Konstanz der Neuzuggnge andererseits aus. Nun sind in der Praxis des Bauspargesch~fts wartezeitverkiirzende Einfliisse zu beobachten, die sich wie folgt gliedern lassen: 1. Steigendes start gleiehbleibendes Neugesch~ft als wartezeitverkiirzender Faktor

erster Art; 2. HShere als tarifliche Spar- und Tilgungsintensitgt als wartezeitverkiirzender

Faktor zweiter Art; 3. VerzSgerter oder unterbleibender Abruf der Bausparsumme bzw. des Bauspar-

darlehens als wartezeitverkfirzender Faktor dritter Art.

In der Bausparliteratur wird die grSBte Bedeutung dem wartezeitverkiirzenden Faktor erster Art zugesehrieben. Es gibt sogar Ansiehten, welehe die Funktions- f~higkeit des kollektiven Bausparens iiberwiegend der dauernden Expansion des Neugeseh~fts zuschreiben. In der Zeit naeh dem Zweiten Weltkrieg sind in der Tat -- vom Jahre 1967 abgesehen, in dem eine wirtsehaftliche Rezession und eine Ein- sehr~nkung der staatlichen BausparfSrderung zusammentrafen -- bei fast allen Bau- sparkassen die Neuzug~nge dauernd angestiegen. Zweifellos hat dazu die Wohnungs- not der Nachkriegszeit beigetragen. Waehsende Kosten, WohnungsgrSBen und An- spriiche spielen indessen ebenso mit wie die ErhShung der Einkommen und der Spar- kraft, nicht zuletzt auch die mehrfach verbesserten gesetzlichen Bausparvergiinsti- gungen [3]. Im Zeitraum yon 1955 bzw. 1960 bis 1970 hat sigh das Neugesehgft im deutschen Bausparen um durchschnittlich 17 ~o pro Jahr geometrisch erhSht. Selbstverst~ndlich gibt es keine Garantie fiir eine fortw~hrende oder gar gleich- mgBige Progression des Neuzugangs an Bausparvertrggen. Nach dem Vorher- gesagten kann man jedoch auch ohne tieferes Eingehen auf die volkswirtsehaftlichen Zusammenhgnge davon ausgehen, dab sieh aueh kiinftig die Steigerungen des Neu- geschgfts fortsetzen werden. Dazu wird allein schon das weitere Waehstum des Volks- einkommens beitragen, in einem gewissen AusmaB bedauerlicherweise auch die sgkulare Geldentwertung. Zum Vergleieh sei darauf hingewiesen, dab es auch in der

*) Zahlen in eckigen Klammern verweisen auf das Literaturverzeichnis mit Anmerkungen am Ende der Arbeit.

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Sozialversicherung fiblieh geworden ist, in die Kalkulationen zum Beitrags- und Leistungsverlauf der Zukunft dauernde Steigerungen der Einkommen einzubeziehen, in der gesetzliehen Rentenversieherung der Bundesrepublik beispielsweise mit Jahresraten in der Gr6flenordnung yon 5 bis 6%. Auf welche Grfinde die Progression des Neugeseh~fts zurfiekgeht, kann letztlich offenbleiben. Hier geht es darum, den EinttuB des dynamisehen Verlaufs im Bauspar- gesch/~ft, insbesondere seine Wirkungen auf die Wartezeiten zu studieren. Ziel dieser Arbeit ist es somit, alas Formelwerk der Bestands- und UmsatzgrSBen sowie der Wartezeiten im kollektiven Bausparen ffir den Fall zu entwiekeln, da$ auf die Dauer mit steigendem Zugang neuer Bausparvertr/~ge gerechnet wird. Aueh unter der Voraussetzung geometriseh steigenden Neugeseh/ffts ergib~ sieh nach einiger Zeit eine Beharrung, die allerdings nur relativer Natur ist. Die Umsatz- und Bestandsgr6Ben waehsen immer welter an, die Relationen zueinander und die mittlere Wartezeit streben jedoeh konstanten Grenzwer~en zu. Der sich so ergebende Zustand sei dynamischer Beharrungszustand des kollektiven Bausparens genannt. Zur Unter- seheidung davon wird der Beharrungszustand im Sinne der bisherigen Bauspar- mathematik als statiseher Beharrungszustand bezeiehnet; er ergibt sich als Grenzfall des dynamischen Beharrungszustandes ffir den Fall gleichbleibender Neuzug/~nge (Progressionsfaktor p = 1). Da das Formelwerk ffir den statischen Beharrungszustand an zum Tefl kaum mehr zug/~nglichen Stellen publiziert ist, werden im folgenden zun~ehst die wichtigsten Formeln der bisherigen Bausparmathematik zusammengestellt. Alsdann werden die im dynamisehen Beharrungszustand geltenden Beziehungen sowohl ffir die Bestands- grSBen als aueh ffir die UmsatzgrSl3en hergeleitet. Naeh einer Diskussion der ver- scMedenen Formeln sehliel3t die Arbeit mit der Wiedergabe einiger Ergebnisse um- fangreieher Bereehnungen, die fiber die Wartezeiten im dynamisehen Beharmngs- zustand unter versehiedenen Pr~missen angestellt worden sind. Variiert ist Merbei nieht nur das Ausmal3 der Progression, sondern aueh die Spar- und Tflgungsintensit/~t. Aus den Tabellenwerten bzw. Figuren lassen sich infolgedessen die Auswirktmgen der wartezeitverkiirzenden Faktoren erster und zweiter Art ziemlich unmittelbar ab- lesen. Eine Untersuehung fiber die Einflfisse des wartezeitverkiirzenden Faktors dritter Art, zu dem u. a. die Kfindigungen, Vertragsfortsetzungen und Darlehens- verziehte zu reehnen sind, bleibt einer sp/iteren Arbeit vorbehalten.

II . Der s t a t i s e h e B e h a r r u n g s z u s t a n d

Aus Grfinden der mSglichst groSen Ann/~herung an die Verh/fltnisse in der Bauspar- praxis wird naehsfchend die diskontinuierliehe Darstellungsweise gew/iMt, und zwar mit viertelj/~hrliehen Perioden (Quartalen). Ferner werden aussehliel31ieh Ratentarife betraehtet, da Bauspartarife mit Grundspareinlage in den letzten Jahren fast vSllig bedeutungslos geworden sind (Antefl am Neugeseh~ft aller deutsehen Bauspar- kassen im Durehsehnitt tier Jahre 1966 his 1970 weniger als 0,3%). In den Zahlen- beispielen ist das Zinsniveau mit dem des Standardmodells der Bausparvertr/~ge yon 3% ffir die Guthaben- und 5% ffir die Darlehensverzinsung unterstent. In der Bausparmathematik ist folgende Bezeiehnungsweise fiblich, die auch dem vor- liegenden Aufsatz zugrunde liegt:

V Bausparsumme (wenn niehts anderes gesagt ist, wird V = 100 angenommen); A viertelj/~hrlieher Sparbeitrag (ZaMenwerte in Prozent der Bausparsumme); B viertelj/~hrliehe Zins- und Tflgungsrate (Tflgungsbeitrag; Zahlenwerte in Prozent

der Bausparsumme);

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s Sparzeit bzw. Wartezeit in Quartalen; t Tilgungszeit in Quartalen; G Bausparguthaben; D Bauspardarlehen; Do Anfangsdarlehen, genauer gesagt: anf/~ngliehes Bruttobauspardarlehen (ein-

schlieglich Darlehensgebfihr) ; d Darlehensgebfihr (durehweg 2% des Nettoanfangs-Bauspardarlehens, alas der

Differenz zwisehen der Bausparsumme und dem Bausparguthaben bei Zuteilung entspricht) ;

r Zinsfaktor fiir Habenzinsen (viertelj/~hrlieh 1,0075); q Zinsfaktor fiir Sollzinsen (viertelj/~hrlieh 1,0125); p Progressionsfaktor ffir den Neuzugang.

Bei nachsehfissiger Zahlungsweise des Sparbeitrages (wie sp/iter aueh des Tflgungs- beitrages) bel/~uft sieh das Bausparguthaben Gk am Ende des k-ten Quartals auf

Gk = A- rk-- 1 r ~ l - " (1)

Daraus ergibt sieh die Summe der Bausparguthaben naeh s Quartalen unter der Vor- aussetzung, dab in diesem Zeitpunkt das Endguthaben Gs dutch die Zuteilung be- reits abgeflossen ist, zu

_ s-1 A . ( r s - 1 @ = ~ G k - - - - s (2)

k=0 r 1 \ r - - 1 ] "

Der Tilgungsbeitrag B ist so bemessen, dab in t Quartalen das Anfangsdarlehen Do vollst/indig getilgt wird (progressive Tilgung, bei der die ersparten Zinsen der Tilgung zuwachsen). Folglieh gilt die Beziehung

B" q t_ 1 __ Do" qt (3) q - 1

Am Ende des k-ten Quartals betr~gt das Restdarlehen

D k = D o ' q k - - B " q k - 1 (Do B ) ' q k + B q- -1 -- q ~ l q - -1 " (4)

Setzt man darin k = t, so erhalt man mittels Dt = 0 wiederum die Formel (3). Die Summe aller Bauspardarlehen stellt sieh demnach auf

t - t q t _ 1 B q t _ 1 t . B t . B - - Do = Y 5 k = D 0 k=0 q- -1 q--1 q - -1 + - q - 1 = q- -1 (5)

Der statisehe Beharrungszustand ist dadurch definiert, dab sowohl die Guthaben- summe als auch die Darlehenssumme konstant sind und iibereinstimmen. Man spricht yon der sogenannten Kassengleichung

(~= A ( r S - - 1 ) t ' B - - D o r 1 " r ~ i s -- ----9. (6) q--1

Die mittlere Wartezeit entspricht derjenigen Sparzeit s, fiir welehe die Kassen. gleiehung (6) erffillt ist. Erg/inzend sei angemerkt, dab in den Bauspartarffen der Tilgungsbeitrag B entweder in Promille der Bausparsumme festgeleg~ ist (z. B. 5 ~ oo oder 6o/oo monatlieh, das sind 15 oder 18o/oo viertelj/~hrlieh) oder in Prozent des Bruttoanfangsdarlehens (meist monatlieh l~ des Bruttoanfangsdarlehens, d.h.

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3% im Quartal bzw. 12% im Jahr). Im erstgenannten Falle variiert die Tflgungs- zeit t je nach Anspargrad bei Zuteilung. Im zweiten Falle ist die Tilgungszeit t vor- gegeben und demnaeh ist -- wiederum in Abh/ingigkeit yore Prozentguthaben bei Zuteilung -- der Tilgungsbeitrag im Verh/iltnis zur Bausparsumme unterschiedlich hoch [4]. Geht man yon UmsatzgrSBen aus, so ist der statische Beharrungszustand dadurch charakterisiert, dab die Zufl/isse und Abfliisse der Zuteflungsmasse auf die Dauer iibereinstimmen. Der Zuteilungsmasse fliel3en die Sparbeitr/ige A der vorhandenen s Sparergruppen zu, ferner die Guthabenzinsen und die reinen Tilgungen der friiher herausgelegten Bauspardarlehen, die sich auf genau Do summieren. Entnommen wird aus der Zuteflungsmasse die zugeteilte Bausparsumme, die sieh aus dem Endgut- haben Gs und dem Anfangsdarlehen Do zusammensetzt. Daraus erh/~lt man die triviale Gleichung

s . A + A , r 2 f s + D 0 = A . r - -&-y+D0. (7)

Erst durch Einsetzen yon B qt _ 1

D o = - ~ q- -1

gelangt man zu der ffir die Berechnung der Wartezeit s brauchbaren Gleichung

A. rS-- l -+ B " q t - 1 = V + d . (8) r-- 1 qt q-- 1

F/Jr die praktischen Zwecke lohnt es nicht, die Gleichungen (6) oder (8) nach s auf- zulSsen. Einfacher und fiblich ist es vielmehr, mit ganzzahligen Werten yon s die Werte nach den Gleichungen (6) bzw. (8) so zu berechnen, dab sie zu Sparzeiten unter- sowie oberhalb der mittleren Wartezeit fiihren. Eine Interpolation liefert dann die mittleren Wartezeiten mit hinreichender Ngherung.

III. Die F o r m e l n des d y n a m i s c h e n B e h a r r u n g s z u s t a n d e s ffir die B e s t a n d s g r S B e n

Wenn man das l%rmelwerk ffir den dynamischen Beharrungszustand entwickeln will, so muB man sich vergegenw/irtigen, da$ die neuen Vertr/ige sukzessive aufimmer hSherem Niveau zugehen. Die am Schlu$ der Tilgung stehenden Vertrage nehmen dabei das niedrigste, die gerade erst neu hereingekommenen Bausparvertr/tge des Sparstadiums das hSchste Niveau ein. Fiir die formelm/i$ige Ableitung geniigt es anzunehmen, dab diejenige Zugangsgeneration, deren Bauspardarlehen soeben voll- st/~ndig getilgt worden ist, mit der HShenlage 1 beigetreten ist. Denn eine Ver. schiebung auf der Zeitachse um m Quartale nach vorne wiirde alle absoluten GrSBen nur im Verh/iltnis pm erhShen, ohne an den Relativzahlen bzw. Wartezeiten etwas zu/indern. Demnaeh gilt mit 0 < k --< t fiir das Darlehen Dk die tIShenlage pt-k. Die Bauspar- guthaben entstammen Vertr/igen, die auf dem Niveau pt+l, xot+2 ... pt+s zugegangen sind. Darauf beruht iiberhaupt tier wartezeitverkiirzende EinfluB steigender Neu- zug/~nge: Die Darlehen sind mit einer ZeitverzSgerung ffir Vertr/ige zu gew/ihren, die auf niedrigerem Niveau abgeschlossen worden sind, w/~hrend die der Refinanzierung dienenden Bausparguthaben aus den jiingsten Zugangsgruppen mit dem ange- stiegenen Niveau herrfihren. Die Abb. 1 verdeutlicht die Zusammenh/inge.

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Zeifpunkf: 0 I 2 I I I

H 6 h e n lage :

pO p! p2 .. pt-2 pf-t p f p ~ t . . . . pf§ pt+s

Dartehen : Gufhaben : t 3 1,5, t t , x o i%, i l

o~ D~., Or-2 . . . . O2 O~ Do % - t . . . . Ot Go

.. f-2 f - I f f+l . . . . f+s-I ~ s

u ~ : : : : : : % t 0 i

Abb. 1. Skizze der HShenlage yon Bausparguthaben und -darlehen im dynamischen Beharrungs- zustand

Unter den bezeichneten Voraussetzungen betr~gt das Einzelguthaben Gk auf der dynamischen Basis

Gk = A- r~ - 1 . p~+s-k r - -1

Daraus l/iBt sich die Summe der Bauspareinlagen ableiten zu s - 1 A s - 1

@ = ~ Gk = . pt+s. ~ (r k . p-k __ p-k) k=O r - 1 k=0

_ A ( 1 / p ) , - 1 ] _ A - r - 1 L (r/p) - - 1 ( ~ / p ~ - - i ~ - - < ~

Das dynamische Einzeldarlehen stellt sioh entsprechend auf

Dk = Do q-- 1

und die Summe der Darlehenssalden auf

~ D = ~ + D k = p t ' ~ Do - " + k=0 k=0 q - 1 ~ -

= p t . ( D o _ _ B ) (q]p)t--1 pt B (1/p)t--1 q : l ( q ~ - - 1 + q C l (l/p) --1

(9)

= ( D o - - B ) �9 q t - p t q- -1 q - -p " P +

----- q--PP "[(Do q--lB . ) . q t +

+ p.B q--1

=P'~-_~ ~p_~ ~ - - -

q--1 "1 "p-- " P + q ~ q--1

,(Do )1 q--1 q- -1 �9 p t - - 1 p.B p-- 1 (q-- p).(q-- 1)

pt

p,-1~ ( l o ) - f . ~ i / "

(n)

( 1 2 )

Die Kassengleichung im dynamischen Beharrungszustand lautet damn X, pt+l. (.~f~ s ps-- I'~

(~-- r - - 1 p - - l ]

=13" ~ \ p - - 1 ~ p - - q q - - 1

Die mittlere War~ezeit des dynamischen Beharrungszustandes ist dasjenige s, ffir das die Kassengleiehung (13) erftillt wird. Der Vollstgndigkeit halber sei noch angeffigt, dab bei der Kassengleichung for den dynamischen (wie auch frfiher fiir den statischen)

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Beharrungszustand nicht nur der Abflul3 des Endguthabens im Zeitpunkt s, sondern auch die bereits vollstgndige Auszahlung des Anfangsdarlehens Do postuliert ist. Beide Voraussetzungen sind unter dem Gesichtswinkel der Bausparpraxis, in der insbesondere die zugeteilten Bauspardarlehen nur verzSgert (nach dem Baufort- schritt) abfliel3en, als extrem ungiinstig in bezug auf den Wartezeitstatus anzusehen. Andererseits entspricht das nahtlose Aneinanderreihen der Zahlung yon Spar- und Tflgungsbeitrggen dem tarfflichen Bausparmodell sowie den Pr/imissen der klassischen Bausparmathematlk.

IV. Die F o r m e l n des d y n a m i s c h e n B e h a r r u n g s z u s t a n d e s ffir die U m s a t z g r S B e n

Im Quartal t + s flieBen der Zuteilungsmasse an Sparbeitrggen zu

~ = A . p t . P s - 1 p - 1 (14)

und an Guthabenzinsen (r -- 1 auf die Guthabensumme am Ende des Vorquartals)

~ = A . p t . ( p S - r S p s - l ~ (15) ~ - r ~--i/"

Da die Tflgung des Bauspardarlehens Dk fin k-ten Quartal sich auf

(B -- (q -- 1). Do)" qk-1. pt-k (16)

belguft, ergibt sich die Summe der Tilgungsrfickflfisse zu

~: = (B -- (q -- 1). Do) "t._. q k" pt-k+l = (B -- (q -- 1). Do)" qt-1. kff i0 k = 0

= (B -- (q -- 1). Do)" q t - 1 . ( p / q ) t _ 1 __~ ( B - - (q -- 1). Do)" pt _ qt (17) ( p ~ - - i p - - q

Die Entnahmen aus der Zuteilungsmasse setzen sieh aus dem zuget~flten Bauspar- guthaben

r S - - 1 = h . . pt (18)

r - i - und dem zugeteilten Bauspardarlehen

= Do' pt (19)

zusammen, beide mit der H6henlage pt. Fiir die UmsatzgrSBen der Zu~ilungsmasse mul3 mithin im dynamischen Beharrungszustand mit der mittleren Wartezeit s folgende Gleichung erfiillt sein:

p t _ q t ~ + ~ + ~ - - - - A ' p t ' p s - r S p - r + (B -- (q - -1) " Do) " P - q

r S - 1 = A . p t . r - 1 + D ~ (20)

Die Formeln fiir den dynamischen Beharrungszustand geben die Verh~ltnisse der Bausparpraxis (wie die fiir den statischen Beharrungszustand) insofern richtig wieder, als der Zuteflungsmasse lediglich die Guthabenzinsen, nicht aber die Darlehens- zinsen zufliel]en. Die Zinsspanne zwischen den (5%igen) Darlehenszinsen und den (3~igen) Guthabenzinsen benStigt und entnimmt die Bausparkasse zur Deckung

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ihrer Verwaltungskosten. Die beim VertragsabschluB gesondert zu entriehtende Absehlutgebiihr (regelm/~$ig 1% der Bausparsumme) dient der Deekung der Werbe- kosten und Abschlul~provisionen; sie geht deshalb in die bausparmathematisehen Formeln iiberhaupt nicht ein. Anders verh/flt es sieh hingegen mit der Darlehens- gebiihr, die (in H6he von durehweg 2%) dem Nettoanfangsdarlehen zugeschlagen wird und vom Bausparer mit zu verzinsen und zu tilgen ist. Die Darlehensgebiihr d muB daher indirek% aus Zuteflungsmitteln aufgebraeht werden, so dal~ sie in das Anfangsdarlehen Do als Soll mit eingeht.

V. F o r m e l d i s k u s s i o n

DaB die Kassengleiehung (13) fiir die Bestandsgr6$en und die Gleiehung (20) fiir die Umsatzgr6Ben ein und denselben Zustand, n/~mlich den dynamisehen Beharrungs- zustand bezeichnen, ist nieht ohne weiteres zu sehen. Folgende Umformungen zeigen aber, da$ die eine Gleiehung in die andere iiberfiihrt werden kann. Dazu sei zuns die Gleiehung (20) naeh Gr6$en geordnets, die vonder Sparseite zum einen und von der Darlehensseite zum anderen abh/~ngen. Man erh/flt

( r S - 1 ) B'(1 pt) pS __ r s pt A'pt" p~r r:l - p-q'(D~ P-q (21)

Desweiteren werde die Kassengleiehung (13) mit p -- 1 multipliziert (p =~ 1 voraus- gesetzt). Die linke Seite der Kassengleiehung 1/tl~t sieh dann wie folgt darstellen

1 .ps--r s pS_l~ A.pt.

__

Die reehte Seite der mit p -- 1 multiplizierten Kassengleiehung erlangg die Gestalt

' ( / " - - - ~ B p - - 1 pt + 1 B pt B pt+l . Do Do q - 1 p t - - l - ~ p - ~ - p - q q - 1 + p - q q - 1 ~ - p - q p - q

B = . (pt+l __ pt. (q -- I) (p -- q) q -- p + q + p -- 1 -- pt+l _~ lot)

B B . (I -- pt) - - (q 1) (p q) " ( - pt. ( q _ 1) + q - - 1) - - ( 2 3 ) _ _ p - q

Damit hat man die linke Seite der Kassengleiehung in die linke Seite der Umsatz- gr6gengleichung (21) und die reehte Seite yon (20) in die reehte Seite yon Gleiehung (21) umgewandelt. Die Gleichung (20) gilt mithin dann und nut dann, wenn die Kassengleiehung (13) erfiillt ist. Mit anderen Worten: Die Formeln (13) und (20) fiihren zum selben Ergebnis hinsichtlieh der mittleren Wartezeit des dynamisehen Beharrungszustandes. Im Falle p = 1 ergeben sich die elementaren Gleiehungen des statisehen Beharrungs- zustandes. Dies sei kurz an der Gleiehung (20) gezeigt. Verm6ge

lim P ' - 1 _ s (24) 1 ~ 1 P-- 1

erh/~lt man die Summe der SparbeitrKge aus (14) zu A. s. Die Guthabenzinsen (15) lassen sieh unmittelbar in die Outhabenzinsen iiberfiihren, die in der Formel (7) ent- halten sind. Ferner gelangt man dureh einige Umformungen unter Benutzung der

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Relation (3) zur Summe der Tflgungsbetr~ge Do, wenn man p ---- 1 in die Formel (17) einsetzt. Die Entnahmen der Zuteflungsmasse an Bausparguthaben und -darlehen schlieBlich bedfirfen keiner weiteren Diskussion, da sie sich im dynamischen Be- harrungszustand nur um die HShenlage pt der jeweiligen Zuteflung vom statischen Beharrungszustand unterscheiden. In ~hnlicher Weise kann man die Kassengleichung (13) des dynamischen Beharrungszustandes in die Kassengleichung (6) des statischen Beharrungszustandes umwandeln. In der Formel (10) ffir die Guthabensumme tr i t t der Ausdruck p -- r und in der Formel (12) ffir die Darlehenssumme der Ausdruek p -- q jeweils hn Nenner auf. Auf den ersten Blick kSnnte der Eindruck entstehen, dab die Guthaben- bzw. Darlehenssummen an den Stellen p----r bzw. p-----q eine Unstetigkeit (Pol) auf- weisen. Das ist nicht der Fall. Aus (24) folgt n/~mlich

lira pS _ rs lim (p/r)s - 1 rs = = s" rS-1. (25) l~-~r P - - r p/r-~l (p/r)-- 1 r

Mithin nlmmt die Guthabensumme (10) an der Stelle p ~ r den endliehen Wert

(~ (r) ---- r--lA .. . . rt+l. (s . rs_ 1 rS--1)r_l_ (26)

an, den man selbstverstgndlieh auch unmRtelbar aus der Summierung der dynami- schen Einzelguthaben (9) mit p = r ableiten kann. Im Falle p ~- q stellt sich die Darlehenssumme (12) dar als

~ ( q ) = B ( q t - - 1 t ) (27) q - 1 " q" q - 1 "

Aueh dieser Wert ist endlich und l~Bt sich unmittelbar aus (12) oder mittelbar aus der Summlerung der dynamischen Einzeldarlehen (11) mit p ---- q herleiten. Zum AbschluB der Formeldiskussion sei noeh erw/ihnt, dab die ffir den dynamischen Beharrungszustand entwickelten Formeln auch ffir den Fall 0 ~ p ~ 1 gelten. Selbstverst~ndlieh kann man dann nicht mehr yon einer dynamischen Entwicklung des Bauspargesch/ifts sprechen: Die Neuzug/inge nehmen fiir 0 ~ p ~ 1 dauernd ab und streben gegen 0. Die Situation kehrt sich insofern urn, als die Bauspardarlehen jeweils das hShere, die refinanzierenden Bausparguthaben das niedrigere Niveau einnehmen. Das wirkt zwangsl/iufig wartezeitverl~ngemd. Unterstellt man einmal, dab auf grSBere Dauer eine solche Sachlage tatsi~chlich gegeben ware, so wfirde sich allerdings auch hier ein Beharrungszustand mit festgeffigten Relationen und kon- stanter mittlerer Wartezeit, die fiber derjenigen des statischen Beharrungszustandes liegt, heraussch/ilen. Die formale Forfffihrung des Formelwerkes ffir Progressions- werte p ~ 1 erweist jedoch besonders deutlieh die modellhafte Betrachtung des Beharrungszustandes im kollektiven Bausparen, da selbstverst/indlich eine Bauspar- kasse mit dauernd gleichmaBig schrumpfendem Neugesch/ift nieht existieren kann. Der Fall p ~ 1 wird daher in den Zahlenbeispielen auch nieht n/iher verfolg~.

VI. Z a h l e n b e i s p i e l e

In der bereits besehriebenen Weise kSnnen die mittleren War~ezei~en des statischen Beharrungszustandes aus der Kassengleichung (6) oder aus der Gleichung (8) und ffir den dynamischen Beharrungszustand entweder aus der Kassengleichung (13) oder aus der ffir die UmsatzgrSBen geltenden Gleiehung (20) berechnet werden. Heraus-

4 2 6

gegriffen wurden die Progressionsfaktoren p ---- 1,02 und p = 1,04. Eine Steigerung des Neugeseh/~fts um 2% pro Quartal entsprieht einer ji~hrlichen Progression yon 8,24% und eine Steigerung yon 4% pro Quartal einer j/~hrliehen Progression yon immerhin 16,99%. Zusammen mit dem statischen Beharrungszustand diirfte somit der Bereieh realistiseher Zukunftserwartungen bedeckt sein. Die erreehneSen mittleren Wartezeiten sind in der Tabelle 1 zusammengestellt. Daraus ist zu ersehen, dab gleiehzeitig aueh die Sparbeitr/~ge A und die Tilgungs- zeiten t variiert worden sind. Der niedrigste Wert A ~-- 1,25 liefert eine j/ihrliche

Tabelle 1. Mittlere Wartezeit im dynamischen Beharrungszuetand des kollektiven Bausparens

Spar- beitrag A pro Quartal

Progression des Neugesch~fts pro Quartal

0% ] 2%

Tilgungszeit des Bauspardarlehens in Quartalen

28 36 44 ] 28 36 44

4%

28 36 44

% Mittlere Wartezeit in Quartalen: 1,25 34,65 37,45 39,73 30,53 32,57 34,17 27,16 28,61 29,71 1,50 30,96 33,37 35,31 27,56 29,36 30,76 24,73 26,04 27,02 1,75 28,08 30,19 31,89 25,22 26,82 28,06 22,79 23,98 24,86 2,00 25,76 27,64 29,13 23,30 24,74 25,86 21,18 22,27 23,07 2,25 23,85 25,52 26,86 21,69 23,01 24,02 19,83 20,82 21,56 2,50 22,23 23,75 24,95 20,33 21,52 22,44 18,66 19,58 20,26 2,75 20,84 22,23 23,31 19,15 20,25 21,09 17,65 18,50 19,13

Sparintensit/~t yon 5% der Bausparsumme. Dies stimm~ ungef/~hr mit dem tarifliehen Sparbeitrag der meisten Bauspartarffe fiberein, die einen monatlichen Sparbeitrag yon 4 oder 4,20]0o der Bausparsumme vorsehen. Der Sparbeitrag A = 2 (Spar- intensit/~$ j/~hrlieh 8~ der Bausparsumme) liegt sogar noch etwas unterhalb der seit Jahren im BauspargesehKft zu beobachtenden tats/~ehlichen Sparintensit/~t. Der Sparbeitrag A = 2,75 sehlieBlich (11~/o jahrlich) soll einen gewissen Maximalwert markieren. Die Variation der Tilgungszeit yon t = 28 fiber t = 36 his zu t = 44 Quartalen, d.h. mit 7, 9 und 11 Jahren bezeiehnet die Zeitspanne der effektiv im Bausparen anzu- treffenden Tflgungszeiten. Beispielsweise ffihrt der h/~ufig mit 1% des Anfangs- darlehens festgelegte monatliche Tilgungsbeitrag (bei 5 % Darlehenszinsen und viertel- j~hrlicher Verreehnung) zu einer Tilgungszeit yon exakt 10 Jahren und 10 Monaten. Andererseits leisten die Bausparer Sondertflgungen, dureh die sich die tats/~ehliehen Tilgungszeiten im Durehschnitt auf 8 bis 9 Jahre verkfirzen. Zu beachten ist aber, dab nach den Bauspartarffen die langen Tflgungszeiten bis zu 44Quartalen bei hoher Ansparung der Bausparsumme bzw. relativ langer mittlerer Wartezeit nicht auftreten kSnnen, well naeh aufsichtsbehSrdlieher Anordnung, die auf die Reform- richtlinien des Jahres 1938 zurfickgehen, die gesamte Vertragslaufzeit 18 Jahre nieht iiberschreiten soll. Die Laufzeitbegrenzung wird durch eine Tflgungsverkfirzung er- reicht. Beispielsweise bel/~uft sieh die Tflgungszeit im statisehen Beharrungszustand der g/~ngigen Bauspartarffe auf kaum mehr als rd. 8 Jahre. Folglich stimmt die mitt- lere Wartezeit yon 37,45 Quartalen, das sind rd. 91]a Jahre, die in der Tabelle 1 fiir

427

den Fall A = 1,25, t = 36 und p -= 1 angegeben ist, ziemlieh genau mit der mittleren Wartezeit iiberein, die im sogenannten Wartezeitrevers der Antragsvordrueke vieler privater Bausparkassen aufgefiihrt ist. Betraehtet man zun/~ehst die tarifliche Sparintensit/i.t yon rd. 5% der Bauspar- summe j/~hrlieh (A = 1,25) und die Tflgungszeit yon 9 Jahren (t = 36), so ist der Tabelle 1 zu entnehmen, dab eine Progression der Neuzug/~nge yon durchsehnittlieh 2 % pro Quartal die'mittlere Wartezeit gegenfiber dem statischen Beharrungszustand um rd. 5 Quartale abkiirzt, eine durchschnittlich 4%ige Progression sogar um ins- gesamt 9 Quartale. Die tatsacMiche Sparintensit/~t lag in der Nachkriegszeit jedoeh mit relativ geringfiigigen Sehwankungen in der GrSSenordnung um 10% der Bau- sparsumme j/~hrhch. Davon ausgehend schwaeht sieh der wargezeitverkfirzende EinfluB der Steigerungen des Neuzugangs erheblieh ab. Denn im dynamisehen Be- harrungszustand bei p = 1,04 und t = 36 macht die Wartezeitverkfirzung gegen- fiber p = 1 darm nut noeh grSBenord_uungsm/i$ig 4 bis 5 Quartale aus.

30

2O

26

2,$

22

20

1 Abb. 2. Wartezeit im

l Wortezeff in Quartalen

Tilgungszei~ in Ouartalen

Progression des NeugeschSft$ pro Quarto!

I I I ! I

0 1 2 3 4

dynamischen Beharrungszustand des Bausparens bei einem viertelj/ihrlichen Sparbeitrag yon A = 2,0 % tier Bausparsumme

Die Wartezeiten der Tabelle 1 sind in der Abb. 2 fiir den Sparbeitrag A = 2 und ffir die untersuchten Tilgungszeiten t = 28, 36 und 44 in Abh/ingigkeit vom Progressions- faktor p grapMseh dargestellt. Daraus ist der wartezeitverkfirzende Effekt der Expan- sion des Bauspargeseh/~fts unmittelbar zu ersehen. Man erkennt, dab die Besehleuni- gung der Tflgung keinen allzu starken EinfluB hat. Beispielsweise bewirkt im Be- reich der tats/iehlieh auftretenden Sparintensit/~tea A, Tflgungszeiten t und Pro- gressionsfaktoren p eine Verkiirzung der durehschnittliehen Tilgungszeit um 8 Quar- tale eine Abkfirzung der mittleren Wartezeit um nieht einmal 1 Quartal. In der Abb. 3 sind die mittleren Wartezeiten ffir die Tflgungszeit t = 36 und die Sparbeitr/ige yon A = 1,25, 1,50 usw. bis A = 2,75 aufgezeichnet. Daraus wie aueh aus der Tabelle 1 wird deutlieh, dab die absolut und relativ st/~rkste wartezeit- verkfirzende Wirkung einer ErhShung der Sparintensit/~t zuzuschreiben ist. So ver- ringert sieh z.B. im F a l l e t = 36 durch eine Verdoppelung des Sparbeitrags von A = 1,25 auf A = 2,5 die mittlere Wartezeit um rd. ein Drittel, das sind rd. 9 Quar- tale bei 4%iger und rd. 11 Quartale bei 2%iger Progression. Hohe Sparintensit/i4en ffihren indessen im Beharrungszustand zu hohen Anspar- graden bei der Zuteilung. Das zeig~ die Tabelle 2 auf, in der ffir die untersuehten

428

Kombinationen von A, t u n d p die jeweils bei Zuteilung erreichten Prozentguthaben mitgeSeilt shad. Die mittleren Wartezeiten gelten also nur unter der Voraussetzung, dag zum Teil betr/~chtlich fiber 50% der Bausparsumme hinausgehende Spargut- haben bei Zuteilung erreicht werden. Die mit h6heren Sparintensiti ten einher- gehende kfirzere Liegezei~ der Bauspargu$haben muB mithin dutch verst/irkte An- sparungen kompensiert werden. Anders ausgedrfiekt, der zunehmende Geldfaktor mug den sich absehw/~chenden Zeitfaktor aufwiegen. Hinzu komm$, dag ein steigen- der Anspargrad das ProzenfAarlehen vermindert und -- was in den Tabellen mi$ den festgehaltenen Tilgungszeiten ~ nieh~ hinreiehend zum Ausdruck kommt -- fiberdies

J

38

36

36

32

30

28

26

24

22

20

18

1

'Wortezeit in Quartalen

Sparbeitmg

iii Progression des Neugesch6fts

, s , pro Ouartal ~. I

0 1 2 3 d,-

Abb. 3. Wartezeit im dyaamischen Beharrungszustand des Bausparens bei einer Tilgungszeit des Bauspardarlehens yon t = 36 Quartalen

Tabelle 2. Anspargrad (Prozentguthaben) bei Zuteilung im dynamiechen Beharrurtg~ustand des Bausparens

Spar- Progression des Neugeschii, fts pro Quartal beltrag 0% 2%

P r2artal I Tilgungszeit des Bauspardarlehens in Quartalen

28 36 44 28 36 44

4%

28 36 44

% Anspargrad bei Zuteilung in Prozent der Bausparsumme: t,25 49 , 26 53,82 57,61 42,71 45,92 48,48 37,50 39,73 41,41 1,50 52 , 05 56,63 60,39 4 5 , 7 4 49,06 51,68 40,59 42,97 44,75 1,75 54 ,47 59,05 62,78 48,38 51,77 54,43 43,31 45,79 47,63 2,00 56 , 60 61,16 64,85 50,71 54,14 56,83 45,73 48,27 50,18 2,25 58 ,51 63,04 66,68 52,79 56,27 58,97 47,91 50,51 52,44 2,50 60 , 23 64,72 68,31 54,68 58,16 60,86 49,88 52,52 54,49 2,75 61 ,79 66,24 69,77 56,40 59,89 62,59 51,68 54,36 56,36

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noch die Tilgungszeit abk/irzt, so dab die ohnehin schon hohe Annuit~t fiir das Bau- spardarlehen relativ nochmals ansteig~. Sehliel31ieh daf t man aueh nicht iibersehen, dal3 eine sehr hohe Sparintensit~t meist auf Sehnellsparer zurfickzufiihren ist, die rasch zur Zuteilung gelangen wollen. Die frfihestmSgliehe und vollst~ndige Bean- spruchung der zugeteilten Bausparsumme jedoeh l~13t den wartezeitverkiirzenden Faktor drit~er Art, der oben erw~hnt, hier aber nieht untersueh~ ist, nieh~ oder kaum zur Geltung kommen. Aus dieser Sich~ erscheint eine f ibe rm~ige Steigerung der Sparintensits als nich~ wiinschenswert. Ganz allgemein zeig~ das vorgelegte Zahlenwerk eine Interdependenz in der Weise auf, dab sich die Einflfisse gegenseitig absehw~chen und nicht etwa verst~rken. Je grSBer beispielsweise die Progression des Neugeseh~ftes is~, um so weniger wirkt eine - - gleich starke - - Steigerung der Sparintensit~t und umgekehrt. W~hrend etwa ein Heraufgehen der Spar intensi t~ yon A = 1,25 auf A -~ 2 im Falle t -~ 36 die mittlere Wartezei~ des statisehen Beharrungszustandes noeh um fast 10Quar~ale verminder~, geht die Wartezeit dadureh im dynamisehen Beharrungszustand mi~ p ---- 1,04 nur noch um gut 6 Quartale zurfiek. J~nliche Zusammenh~nge gelten auch ffir verkiirzte Tflgungszei~en. Insgesamt gesehen ist der wartezeitverkiirzende Effel~ des steigenden Neuzugangs nicht so stark, wie er zuweflen eingeseh~tzt wird.

Eingegangen am 19. 10. 1971.

LITERATURVERZEICHNIS

[1] Wegen der fiir das Bausparwesen charakteristischen Begriffe und Wesensmerkmale sei verwie- sen auf das Buch das Veffassers: Die Bausparfinanzierung. Die finanziellen Aspekte des Bau- sparvertragcs als Spar- und Kreditinstrument, 3. stark erweiterte und vSllig neubearbeitete Auflage, 309 Seiten, Verlagsgesellschaft Recht und Wirtschaft mbH, Heidelberg, 1970.

[2] Von den jiingeren VerSffentlichungen sind vor allem zu nennen: Krahn, Arved: Technik des deutschen Bausparens, 123 Seiten, Selhstverlag der Bausparkasse Gemeinsehaft der Freunde Wiistenrot gemeinniitzige Gesellschaft m.b.H., Ludwigsburg, 1955, mit weiteren Hinweisen auf Literatur zur Bauspartechnik und l_.~ers, l~olf: Die Struktur der Bauspartarife unter besonderer Berficksichtigung der Ver- tragszeiten und Wartezeiten, in: Beitr~ge zur Bausparmathematik, Curt Hermaun Weise Verlag, Berlin SW 68, 1939, S. 7--34.

[3] Laux, Hans: Das Dritte VermSgensbildungsgesetz. Die Neuerungen des 624 D1VI-Gesetzes und ihre Auswirkungen, 5. erweiterteAuflage, 103 Seiten,Verlagsgesellschaft Recht undWirtschaft mbH, Heidelberg, 1972, mit einer (~fbersicht der geltenden Sparvergiinstigungen.

[4] Im einzelnen siehe hierzu: Laux, Hans: Die Bausparfinanzierung a.a.O.S. 63ff.

~ummary

The mathematics of the savings and loan system have hitherto generally concerned themselves with the static state of equilibrium reached under a system of collective saving with a continuous influx of constant amounts paid by savers and unchanging conditions of savings, allotments and redemptions. Actually new business is increasing almost without interruption in this type of business. The paper develops for the first time the formulae for the dynamic state of equilibrium resulting from the assumption of geometrically increasing new business. In the dynamic state of equilibrium the turnover and in force increase further, but the relative proportions and the mean waiting period attain constant values, as in the static state of equilibrium. The numerical effects of progressive new business are demonstrated by tables and graphs, which show in particular the reducing influence on the waiting period of increasing new business and larger than contrac- tually required savings and redemptions.

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