111. Der Cren%brechuqpexpmmt f i i r wnertdldeh lamge Wellen; Tramsf ormatiom der D4spersioms-

gleiehumgem; vow E. K e t t e l e r .

Mit dem Fortschreiten der electromagnetischen Licht- theorie hat sich das Bediirfniss herausgestellt , den Grenz- brechnngsexponenten der verschiedenen optischen Medien fiir unendlich grosse Wellenlangen yromijglich in der esactesten Weise zu bestimmen. Es sol1 im Folgenden der Nachweis ge- liefert werden, dass eine solche Aufgabe sow01 vom bisherigen theoretischen als vom praktisch - empirischen Standpunkte geradezu unm6glich ist.

Anlass zu diesen Bernerkungen gab mir die schone Arbeit des Brn. Rubens l) uber die Dispersion der ultrarothen Strahlen. Daselbst werden die Brechungsexponenten der ver- haltnissmassig langen W ellen des sogenannten Wlirmespectrums fur eine ansehnliche Reihe von Substanzen nach einer hiibschen neuen Methode gemessen. Die benutzbar gewesene grosste Wellenlange war bei Steinsalz 5,746 p, wahrend Hr. Langley nur bjs zum Werthe 5,301 p vorgedrungen war. Dagegen war aIs untere Grenze der Wellenlangen leider schon der Werth 0,434 p der violetten Wasserstofflinie gewahlt, und muss es aua gleich zu besprechenden Griinden hedauert werden , daas nicht auch die ultravioletten Sonnen- oder Zink- und Aluminium- linien herangezogen sind. Bus den beigegebenen Zeichnungen der beziiglichen Dispersionscurven ersieht man, dass die Curve fiir Schwefelkohlenstoff und gen'&hert aueh fir Xyiol und fienzol vermoge ihrer stetigen starken Kriimmung in der That einen bestirnmten Grenzbrechungsexponenten erwarten lasst. Dahin- gegen verlaufen die Curven fur Wasser, sowie fur die unter- suchten Glaser und Krsytalle ganzlich abweichend , sie bilden im ultrarothen Strahlungsgebiete entweder geneigte gerade Linien oder zeigen gar einen ausgesprochenen Inflexionspunkt.

2. Nun lasst sich, wie ich wiederholt ausgefiihrt habe,

1) R u b e n s , Wied. Ann. 46. p. 238. 1892.

Grerizbrecirulzgxezponent. 573

die Dispersionscurve aller sogenannten durchsichtigen Medien zwischen den bisher erreichten aussersten Grenzen empirisch darstellen durch die vierconstantige Formel :

M N v 2 = - w + a 2 + , + , ,

in welcher siimmtliche Coefficienten positive Grossen sind. Dieselben sind aus vier Beobachtungspaaren zu berechnen, von denen eines dem calorischen Spectrum, das zweite der Grenze zwischen diesem und dem optischen Spectrum, das dritte der Grenze zwischen optischeln und chemischem Spectrum und das vierte der ultravioletten Strahlung angehort. Beschrankt man sich auf engere Grenzen, so wird zwar eines der Glieder in Fortfall kommen, aber die librigbleibenden Constanten erfahren dann kleine Verschiebungen.

Der vollstandigen Curve v = f (A) entspricht die Form mit einem sehr veranderlich liegenden Inflexionspunkte. I )

Wahrend die R u b ens ’ schen Beobachtungstabellen fir Steinsalz und Quarz nichts wesentlich neues liefern, sondern die alteren Beobachtungen von Lang ley und Mouton bestii- tigen, hat er u. a. das bisher in seinem optischen und ultra- violetten Theile bereits bekannte Flussspathspectrum nach der ultrarothen Seite hin verlangert. Nun war es mir fruher2) fiir Quarz vortrefflich gelungen, die aus den Beobachtungen S a r a - s in’s berechneten Constanten ohne alle Aenderung zur Extra- polation der Mouton’ schen Zahlen zu benutzen. E n Gleiches will plir indess bezuglich des Flussspath nicht ganz gelingen. Hier wilrde bei der Combinirung der Zahlen von Sa ras in und R u b e n s die Constante k von dem friiheren Werthe k = 0,00048 auf den erheblich kleineren k = 0,0003 herab-

1) Einfachere Krtimmungeverhtiltnisec erhlilt man, wenn man Y*

(oder auch v ) ah Ordinaten, aber nach dem Vorgange Sel lmeier’s 1 / LP als Abscimen behandelt. Der Gleichung:

enteprechen dann die Differentialquotienten : y = - km-’ + a + b x + c x a

* = k z - 2 + b + 2 c x , - - d2 y - - km-3 + 2 c . d x d 5’

Pulfrich (Wied. Ann. 46. p. 664. 1892) bat den ersteren als sogenannte Neigungstangente direct aus den Beobachtungen berechnet.

2) Kette ler , Wied. Ann. 90. p. 312. 1887.

574 E. Ketteler.

sinken. Entsprechendes durfte fur Schwefelkohlenstoff der Fall sein, fur welchen icli fruher aus den sich freilich nur innerhalb des optischen Spectrums haltenden fiinfstelligen Indices von van de r Wi l l igen den Werth k = 0,0055 erhalten habe, wah- rend die vierstelligen Indices von Rubens sich zwischen den Grenzen il = 1,998 und ii = 0,434 schon durch die zweigliedrige Cauchv’sche Formel :

berechnen liessen, was also den Werth R = 0 voraussetzt. Wenngleich die obige empirische Formel sich in der bis-

herigen Praxis als von unbeschrankter Gultigkeit herausgestellt hat,, so ist es doch unmoglich, die einzelnen Constanten der- selben ohne Zuhulfenahme einer Theorie zu interpretireo. Das gilt also insbesondere auch von dem Grenzbrechungsindex fur unendlich lange Wellen.

3. Zieht man zu dem Ende zunachst die v. Helmholtz’- sche Theorie heran, so ist der nur schwer zu ubersehende Grenzwerth derselben abzuleiten aus den beiden Gleichungen:

Schreibt man die erstere unter Vernachlassigung des Qua- drates des Extinctionscoefficienten x so :

v2 = - (P - & ) h a + [I + Q (A2, - g2)] 1 , ~ [(2 12, - gz) ( 1 . 3 ~ - - i4,l - ~4~ 11.2, - 92)

+ & ( I . 2 - P m ) 2 + g2 A12 1

so lassen sich offenbar die beiden ersten Glieder dieses Aus- drucks rnit den eiitsprechenden der empirischen Reihe identi- ficiren. Auch ist nicht zu bezweifeln, dass diese Ausdriicke rermoge ihrer vier Constanten P, Q, A,, y der Erfahrung vollig genugen werden, so lange inan nicht nach dem Vorgange W iillner’s u. A. die Reibungsgrosse g2 vernachlassigt. Die Constante :

ist indess nichts weniger als der gesuchte Grenzbrechungs- exponent. Zur Berechnung desselben ist vielmehr, wie schon Hr. v. Helmhol tz selbst ausgefuhrt hat, auch der Ausdruck

U’ = 1 + Q ( A 2 , - ,q2)

Grenzbrechunysexponent. 575

fiir 2 r x heranzuziehen, sodBss man zunachst fiir sehr posse Wellenlangen erhalt:

- xw2 = 1 - (1’ - Q) A’, 2 V W ~ 0 0 = Qgl . . Daraus folgt dann schliesslich :

2 ~ ~ ’ = v- (P- Q)As] ’+ (j2g’lv2 + [l - (P- Q ) A 2 ]

2 xOD2 = f[T- (F--Qm+QZg2 La - [l - (P - Q) A’]. Sind nun zunachst, wie fur Quarz, Gliiser, Wasser etc.

P - Q und Q g endliche Grossen, so folgt ,je nach dem Vor- zeichen des Wurzelausdruckes : 2 v a m = - (Y- &)A’ = - 03, 2 x m 2 = 0

= o = +(Y-Q)A’= +LO,

nur der Absorptionscoefficient (2 n A) x30 ist jedenfalls endlich. Ware dagegen, wie fur Schwefelkohlenstoff angenommen

werde, P - Q = 0, so erhalt man: 2 ~ , ’ = 2 ~ 0 0 ’ = - J Q g A = h03, 2 n x W / 1 = 0 .

Dass sich so unbestimmte Ansdrucke, die allenfalls fir ein unendlich kleines P - Q ein endliches vw liefern mogen, fur eine experimentelle Verwerthung, sowie fur weitere Schlusse nicht sonderlich eignen, ist wohl unschwer einzusehen. Dabei ist es wesentlich, zu bemerken, dass in den bisher besproche- nen Formeln nur ein einziges Absorptionsgebiet des Mediums vorausgesetzt is t , sodass also die Lichtstarke etwa vom Ultraviolett continuirlich zum Ultraroth und daruber hinaus abnimmt.

Nichts hindert indess, bei der Aufstellung der Bewegungs- gleichungen die Moglichkeit mehrerer getrennter Absorptions- gebiete zuzulassen. Die Unbestimnitheit bezuglich des Grenz- werthes urn wird dadurch aber nur noch vergrossert.]

4. Anders gestalten sich die Verhaltnisse nach der von mir aufgestellten Theorie. Schreibt man zunachst die em- pirische Formel sn:

und zieht diese Glieder zusammen in:

578 E. Ketteler.

oder auch bei Hinzufiigung weiterer sehr kleiner Grossen x, 9:

so kann dieses Resultat gedeutet werden als angehorig einem Sehfeld , welches von einem geniigend kraftigen ultrarothen und einem ebensolchen ultravioletten Absorptionsstreifen ein- gefasst is t , und worin urn der Grenzwerth fiir il = 00 ist. Lasst man dann aber nach rechts und links noch weitere Ab- sorptionen zu, sodass man haben wiirde:

so wird natiirlich die Deutung der empirischen Constanten a wieder vollig unbestimmt. Und da dem nichts im Wege steht, so ist aueh nach meiner Auffassung die optische Emigelziny des wahren Grenzwerthes vco a6solut unmoglich.

Nach den bisherigen Erfahrungen erscheint das ultra- violette Absorptionsgebiet bei weitem als das stkkere.2) Die Absorptionen im Ultraroth scheinen die Dispersionsccurve ent- weder nur durch unbedeutende Krauselungen (nach Analogie etwa der zarten Absorptionsstreifen im Grun des Chlorophyll- spectrums) oder auch durch eine etwas kraftigere, schon in grosserer Entfernung vom eigentlichen Maximum sich bemerk- bar machende Biegung derselben (nach Analogie etwa des rothen Absorptionsstreifens des Chlorophyll) zu beeinflussen. Ersteres diirfte der Fall sein bei Schwefelkohlenstoff, Xylol und Benzol , letzteres bei Wasser und bei den untersuchten Glasern und Krystallen.

Nun hat Hr. Rubens durch besondere directe Versuche neben der Refraction auch die Absorptionsverhiltnisse der erwahnten Substanzen fur den ultrarothen Spectralbezirk ge- messen und dadurch in dankenswerther Weise einem wirk- lichen Bediirfnisse entsprochen. Dabei hat sich das wohl an- fangs befremdiiche Resultat ergeben, dass wenigetens innerhalb der Versuchsgrenzen die erstgenannten Stoffe, d. h. diejenigen,

1) Vgl. unten Gleichung 4 auf p. 178. 2) Bei diesem Anlass werde bemerkt, dass ich (Wied. Ann. 36.

p. 688. 1888) das Verhalten dee Schwefelkohlenstoffs bei haherer Tem- peratur auf eine Abnahme der Absorption zuriickgefuhrt habe. Nach Hrn. Pul fr ich (1. c.) findet bei Glibern eine Zunahme derselben statt.

Grenzbrechungsexponent. 577

deren Dispersion nahezu der C auch y’schen Formel geniigte, hinsichtlich ihrer Absorption den ubrigen gegenuber keine Sonderstellung einnehmen. Ob freilich jenseit dieser Grenzen die Absorption der ersteren etwa wieder abnimmt, die der letztereu dagegen noch weiter zunimmt , daruber werden erst spatere Versuche entscheiden ki5nnen.

5. Tor nunmehr sieben Jahren habe ich zur Vermeidung gewisser Schwierigkeiten und im engsten Anschluss an die Erfahrung den Bewegungsgleichungen des Lichtes eine Form l) gegeben , welche , wie sich inzwischen gezeigt ha t , bis jetzt wenigstens eine niir theilweise gunstige Aufnahme gefunden hat. Die daselbst mitgetheilte Begrundung derselben verlangt in der That die Beseitigung eines mehr oder weniger storen- den Versehens, wenngleich die entwickelten Ausdriicke selbst durch dasselbe gar nicht beriihrt werden.

Die betreffenden Gleichungen waren fur Medien mit einem einzigen Absorptionsgebiete :

Darin beziehen sich m, auf die Aether- und m’, auf die Ktirpertheilchen, und sind B , C und k,’ = 4 n2/Tm2, 9,: = G, (2 n T,) Constanten; e ist der Elasticitatscoefficient des freien Aethers. Integrirt man dieselben mittelst der Ausdriicke :

1) K e t t e l e r , Theoretische Optik, Braunschweig 1885. p. 95 und 309. Vgl. auch Wied. Ann. 21. p. 199. 1884. Die an der Spitze dieses Aufsatzes genannte electrische Lichttheorie vereinigt heutzutage die Sgtze der friiheren Fresnel’schen wie Neumann’schen Anschauung unter hSheren Gesichtspunkten. W P e ein derartiger Standpunkt schon eher eingehalten worden, so waren die seinerzeit nicht ohne Leidenschaft ge- fuhrten Kampfe zwischen Anhangern beider Systeme mindestens sehr ge. mildert worden. Tnsbesondere wLre dann auch offen und riickhaltslos anerkannt, dass ich die Theorie der Metallreflexion auf Grund der B’r e sn e l’schcn Anschauung in moglichster Schsrfe und Ausfiihrlichkeit und mit vollkommen correcten und iibersichtlichen Formeln bereits ab- geschlossen hatte, als diese Theorie von Neumann’scher Seite erst in Angriff genommen werde.

Ann. d. Phys. u. Chem. N. F. XLVI. 37

578 E. Ketteler.

worin n = Y + x bedeutet, so ergeben sich die Bedingungen:

das (complexe) Brechungs~erbiiltniss

Aus ihnen erhalt man fir die den extremen Schwingungs- dauern, bez. Wellenlangen (A = co und il = 0) entsprechenden Indices die endlichen Werthe :

WL' Yo2 - 1 = - c2 m'

m m

xo = 0 , l v 2 w - 1 = - B C \ x , = o

(3)

WL' Yo2 - 1 = - c2 m'

m m

xo = 0 , l v 2 w - 1 = - B C \ x , = o

(3)

und bei Einfuhrung ersterer nimmt die brechende Kraft die einfachere Form an:

(4)

Dieselbe Yasst sich in zwei Einaelgleichungen zerlegen. In gegenwartiger Notiz mochte ich nun im Anschluss an eine zwar schon in meinem Buche l) gegebene, aber wohl unbe- achtet gebliebene Andeutung zeigen, dass vorstehende Diffe- rentialgleichungen einer Transformation fahig sind, welche sie vielleicht den ublichen mechanischen Vorstellungen erheblich naher bringt. Dabei wird sich dann auch die vorerwiihnte Correctur unschwer erledigen.

6. Was zunachst die erste der beiden BewegungsgleichungenI betrifft , so lasst sich das Verwickelte ihrer Form beseitigen, wenn man darin:

setzt, sodass zunachst kolnmt: B = C ( l + P), B - C = F C

m-- d a 5 = e- dp,t + m'C(m dg + k,,,'r +9'.-) d 5 ' d t' d a P d t

Grenzbr echungsexponent. 579 '

und schliesslich die erste K l a m e r der rechten Seite mittels der zweiten Bewegungsgleichung beseitigt. So erhalt man :

Eliminirt man die auch hierin noch vorkommenden be- wegenden Krtifte nochmals mit Hulfe der namlichen Gleichung, so ergibt sich die definitive Form:

die also, wie man sieht, zuriickkommt auf die nur in den Coefficienten verschiedene Bous sinesq'sche Gleichung l)

7. Die zweite Bewegungsgleichung ist im wesentlichen nichts anderes als eine Umformung der bekannten B e s s el'- schen Formel beziiglich des Einflusses der Luft auf die Pendel- schwingungen. Nach B e s s e l ist dieser Einfluss ein doppelter, ein activer und ein passiver. Damit also zwei gleiche Pendel, das eine im luftleeren, das andere im lufterfiillten Raume, isochron schwingen, dazu ist nothig, dass man am ersteren gleichzeitig die drehende Kraft und die trage Masse modificire.

,,Diirfte man", sagt Kirchhoffz), ,,annehmen, dass bei dem schwingenden Pendel die von der Luft herriihrenden Druckkrafte ebenso gross sind, als wenn das Pendel ruht", so ware dem activen Einfluss leicht Rechnung zu tragen, und da der passive Ton dem Hin- und Herfuhren einer gewissen Luftmenge herriihrt , so lasst sich anscheinend in Ueberein- stimmung rnit der Erfahrung setzen:

wo 8' den unendlich klein gedachten Ausschlag zur Zeit t, I die Lange, g die Erdbeschleunigung und M', M die Masse des Pendels, bez. der von ihm verdrangten Luft bedeuten und c eine constante Grosse ist.

1) Boussinesq, Liouville J. (2) 13. p. 313. 1868. 2) Ketteler, Theor. Optik p. 49.

37*

5 80 E. Kettelw.

Die Constante k l ) bedeutet also nicht die treibende Kraft des isolirten Pendels , sondern sie umfasst implicite zugleich auch den activen Einfluss der Luft,

Indess auch dann, wenn die Druckkrafte der Luft auf ein bewegtes Pendel anders einwirken als auf ein ruhendes. bleibt ohne Zweifel die Form der Schwingungen als Sinusoide ungeBndert dieselbe. Bezeichnet man daher die vorlaufig ohne nahere Untersuchung nicht weiter angebbare treibende Kraft fur den lufterfullten Raum durch eine Constante km', fur den luftleeren dagegen durch k; , so ist bei steter Unterscheidung beider den allgemeinen theoretischen Anforderungen genugt.

1st iibrigens das Pendel auch noch inneren Reibungs- kraften unterworfen, so tritt bekanntlich zu dem dem Ausschlage proportionalen Gliede nocb ein der Ausschlagsgeschwindigkeit proportionales hinzu. Wir bezeicbnen die Constante des- selben durch - g' und unterscheiden dieselbe gleichfalls als g,' und 9;.

Schreibt man schliesslich der mitbewegten Luft einen von dem der Pendelmasse (8') verschiedenen Ausschlag 9. zu, so lasst sich der sogenannte hydrodynamische Eivfluss derselben statt durch Me (dZ 9.' I dta) richtiger durch C(da 8 I d P ) aus- driicken, wo wieder C eine Constante ist.

Da die vorstehende Erorterung sich ohne weiteres auch auf Elasticitatspendel ubertragt , so gelten hiernach fur diese die beiden Gleichungen:

je nachdem namlich die Schwingungen mit oder ohne Einfluss der Luft erfolgen.

8. Ich habe diese Gleichungen in meinem Buche auf die optischen Schwingungen und insbesondere auf das Dispersions- gebiet iibertragen. Dabei ist ungliicklicherweise durch ein Versehen auf p. 87 und in Widerspruch mit der erstgenannten Definition auf p. 50 die Grosse k eine aucb den isolirten Bestandtheilen des Mediums eigene Kraft genannt. Wenn-

1) Vgl. ihre erste Definition 1. 0. p. 50.

Grenzbrechungsexponent. 58 I

gleich dieses Versehen auf die weitere Entwickelung nirgendwo hemmend eingewirkt hat und eben aus diesem Grunde lange unentdeckt blieb, so ist doch leider das Verstiindniss oder vielmehr das Plausibele derselben dadurch einigermaassen be- eintrachtigt worden.

Will man in der That in ersterer Gleichung die Grossen Ad, g m ’ durch k k , y; ersetzen, so wird dadurch die Form derselben eine ganzlich verschiedene.

Gesetiit zunachst, es gebe Medien, fur welche die Absorptions- constante vernachlassigt werden konne. Setzt man fiir eiii solches :

k , I = ( l + k ’ ) k , ’ ,

sodass die erstere der Gleichungen 7 sich schreibt:

.d2.F + c- d a 5 = - ( 1 + K ) k ; g , d ts d tP

und denkt man sich jetzt den speciellen Fall, dass die Aether- theilchen eine mit den Korpertheilchen identische Bewegung haben, so fallt d a m begreiflicherweise jeder Einfluss des Aethers fort. Damit also fur die Bedingung =

werde, dazu ist nur niithig, K = C zu nehmen.

Gleichung 7 : Lassen wir diesen Werth allgemein zu, schreiben also in

(8) k,‘ = (1 + G)k,’ , gm’ = (1 + C)g,’

und addiren in derselben links und rechts C(rF halt sie die definitive Form:

/ d t2) , so er-

Demnach bewirkt also der gesammte Xinfluss des Aethers eke rusatzliche Kraft, welche der Differenz der Beschleunigungen der Korper- und dethertheilchen proportional ist.

Die vollige Identitat dieser Gleichung mit Gleichung I b beweist sich natiirlich auch durch die entstehenden beider-

582 3. Ketteber.

seitigen Integralausdriicke. Mittels ersterer erhalt man das Amplitudenverhaltniss :

A' c _ - Gp T(1 i- C)

~

A - F ( 1 +C) - - 2 - - 1 / - 1 TP' T P

wahrend letztere den Ausdruck (2b) lieferte. identisch, sobald man setzt :

Beide werden

9. Stelle ich hiernach die durch einfache Transformationen gewonnene neue Form der Dispersionsgleichungen der alteren gegeniiber, so hat man nunmehr auch:

und sind darin zugleich behufs Erweiterung auf Medien mit mehreren Absorptionsgebieten die nothigen Summenzeichen hinzugefiigt .

Die zweite dieser Gleichungen fklh fur eine gegebene Schwingungsdauer gnnz mit der beziiglichen v. Helmholtz ' - schen zusammen. Schreibt man namlich das letzte Glied SO:

SO erscheint hier der Coefficient 7' dem Quadrate der Schwingungs- dauer umgekehrt proportional, wahrend er bei Hrn. v. Helm- hol t z constant ist.

1) Wollte man in ersterer Gleichung die einzelnen a = - = y setzen, so dass k2ime:

so wiirde das meines Erachtens eine unnathige nnd sogar schgdliche Be- scbrarrknng sein.

Grenzbr echungsexponent. 583

Durch vorstehende Entwickelung hoffe ich meiner Theorie einen nicht blos voriibergehenden, und ein solcher ist ihr j a bisher schon zugesprochen worden, sondern wenn mbglich auch einen bleibenden Werth 5u siohern. Sie ist bis jet& die einzige, nach welcher sich, der ErfaBrung entsprechend, die Refractions- wie Absorptionscoefficienten zu beiden h i t e n des Maximums der Resonstnz nur urn endlichs Betrage andern.

Miinster i. W., im April 1892.