Der Lichtwechsel des Eros Teil II: Die Rotation des Eros und ihr Einfluß auf den Lichtwechsel

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Der Lichtwechsel des Eros Teil 11: Die Rotation des Eros und ihr Einflufl auf den Lichtwechsel

Von J. S~ORBE, llerlin-Rabclsberg Eingegangen 1935) Juli 29

L.nter cler Annahmc, daI3 dcr 1,ichtwrchsci des Eros durcli Rotation cines oder zwrier deformicrtcr KLrper hervor- gerufcn n-irtl. ist die I.npe der Rotationsachse ron rnchreren Autoren 1.lestimmt wordcn. Da dic Rcaultntc stark abweic:hen, inzwi-iachcn nlxr auch die Brolmchtungcn dcr Opposition 1937-3s hinzugckoninicn sind, war eine tlurchgreifendc lintcr- sucl:i!ng erwiinscht.

1;s wird cin \'erfahrm cnt\virkclt. die L:igc des Korationspols nus dcn Amplituden aul grnphisclicm iT~'c:ge fiir jcde Oppci$ition p t rennt 211 1)estimmcii :\Is ncues Kriteriuni fiir die Rirhtiakeit tks Pols wird der Gang der ~JeOl~XIChtetCn Phascnzciten hinzugcnornmen. Es zeigt sirh. chl3 tlrr Pol Schwnnkungcn I.& zu jn" iim eine hlittcllngc ausfiihrt. 1)ie K\'ntur dcr Schn-ankungen wirtl untersurht

bIit Hilfe dcr ncucn Polwcrtc gelingt cs. die sidcrischc I'criotlc clcr Rcrtiition so gcnnu zu I.)cstimmen, dn13 cinc \-cr- Linclunp dcr Oppositionen moglich wird. Dnniit sincl tlie Grnndlagcn fur cine ~-orRusberet:linuiIg der Phnscnzeiton grgeLien.

Ilk 193 I niikrometrisch gciricsss'ncn I'ositinnswinkcl d c ~ s I rns ron \-;in tlcn Ros und Pinscii wcrden rlurrh ( l i t ! neum K o t n ~ innnclc.iiicntc ;iusgezcirlinct chrgestcllt.

1. Ausgangslage und Ziel Lkr ldeine Planet Eros w-eist nct)cn seiner besonderen Uahnforni l)enierkensn.c,r!c Hcllipteits-

sc!i\\-iiiikunpeii auf. Lkidc Eigenwhfteii halxn die Beiirbcitcr cles Planeten w r Aufga1ic.n gcstellt, deren restlosc Losung niehr Sch~~icr igkei~cn maclit, nls n ~ a n urspriinglich crwarten konnte. Es ist nicht ausgcsclilossen, d;iB clic. Helligl.;eitssrh~~--:iiil~~inpcii und gen-isse --lbwichungen cler beobachtctm i)rter yon dcr berec:hncten Rn!in in ursLkhlicheni Zuan11iniclihnng stclicn. Dahcr scliicn c's gcbotcn, tlas gcsa!ntc Nntcrial der Ht~llipkcitsbcob:~cht~iii~~ii eincr ciiilieitlichcn Bcarbeitung zu unterziclien.

In dcr T;iitdc'cl;uiigsoppositioii - Lros wurde 1sy8 Aug. 13 \-on C. Witt cntdrckt - sind keinc Hclligl~citssci~~~nnliunpen l.)emcr!;t -\\-orden. Erst in clcr folgenckn Opposition I 900-OT zcigtcn sich periodische .hlcrungen, dcrcn :hplitucie allmiililich zunahm. Dic erste definitiw ATitteilung stainnit ~ 0 1 1 E. ~011 Oppolzci-1) T ~ O T Feb. S E Hartwig c) i.erijifentliclitc nac-htriiglidi 13eobachtungeii. dic Sc:i\\~aiikiiiipen bereits wli 1900 Scp. n1.1 zeigen, :ibcr infolgc ihrer zufiilligen Anlage lxinc pcnauen Scliliisse wetler auf' clie Lhiplituden noch auf tlie l'liascn ziehen lasscn. E. C. Piclcering s) gclnng CS, nuf Hai-var(!-Plattcn Zros bis 1Sy3 zuriicl; zu \-crfolgcn. Eiiiigc Strichspuren des Planeten ~1115 den J: i l imi I Sgi uncl IS+ weisen 11axin):i cler He1lipl;rit auf. Dicw Wertc konntm m n i Vcrplcic-h tler Tlieorie benulzt wci-cici~. In: iibrigen pruntleii sicli a h - clie folpcntlcn Untcrsuchungcn nuf Bco1)ach- tungcn, die nach iooi Feb. 14 angestcllt xorden sind. "nesonder?; dic Oppositionen I 930-31 und 19;;-3S, in denei; Eros der Erde whr nnhc knni, h b e n rin unifangrcichcs und :iuch photon?etriwh einwand- frcies Aiaterial gelicfcrt.

Dic Form dcr Lichtlmrw ist aus ziilill-eichen T;crB~feiitlicliLiii~cn Iwkannt. Siehe z. 13. rine Arbeit Yon 3:. Reyer ") und den erstcii Teil diesrr Untersuch1ng5). Die Amplitude der Helligkcit schn-nnkt zu-ischen o und 1.5 GriiBcnkl:issm. ,2L[fcinandcrfolgcnde R h i n i a sind nicht iinmer gleich tief. Sic folgcn auch nicht in gcnnu pleirhem Abstand, jedoch sind dic Alnveichungen wechselnd. Verh5ltnis- uiiiil3ip gute, wenn auch niclit \dllige Vbereinsiimniung zcigen Intervalle, die jc zwci Minima uncl l\i:uima ciithaltcn. Es licpt daher nahe, c!ic Dauer cines solchen Tnten-alls 211s Pcriodc (P= jl1161n~ 219) anzuneiiiii en.

l) Sotiz bctr Plnnct 433 Eros. -4stron. S:tcIir 154.2~); (igor). :) Sachricht iiber Heliomrtrrme~*iing(.n clcs Plnnctcn 1;; Kros ziir Bcstimmung dcr Sonncn1xLrnllasc untl (lie

Heobachtungen sciner IIclli~licitsKnderungeii in Rnmlrerg. .lstron. Knchr . r55.14j (1901). :'\ I-arialdity in Light of Eros. -4stron. Nachr. 155 307 (i901).

I'isucllc Beo1)achtungen des Ercs-Lichtwcchscls in der Opposition 19j;-3S Astron. Snc!ir. 267.1; (193 j) Dtlr Lichtwechsel des Eros. Tcil I. Pliotogrn~~liisc~lrie B ~ o l ~ a ~ l i t t i ~ ~ g ~ i i dvr Opposition 1~37-38. ;\stron. 267.17 (193s)

Astron. Xachr. Bd. 2j0

2 J. STOBBE: Der Lichtwcchsel des Eros

Als Erklarung fur den Lichtwechsel sind verschiedene Ursachen denkbar. Ihnen allen ist die Annahme einer Rotation des Eros gemeinsam, wobei die Amplitude von der Lage des Beobachters zur Rotationsachse abhangen soll. Folgende Hypothesen sind aufgestellt worden :

I . V o n d e r K u g e l g e s t a l t s t a r k a b w e i c h e n d e F o r m . Auf diese Moglichkeit hat schd? E. C. Piekering') 1901 hingewiescn. H. N. Russell2) hat genauer untersucht, welche Schlusse man aus der Form der Lichtkurve auf die Gestalt zichen konne, und gefunden: Man kann (theoretisch) immer die Lage des Aquators bestimmen, aber nicht uber die Gestalt im allgemeinen etwas aussagen. Selbst wenn man sich auf konvexe Formen beschrankt, sind beliebig vide moglich.

Ob die groI3te Achse in der Richtung dcr Rotationsachse oder senkrecht zu ihr liegt, ist deshalb ebenfalls unsicher. Stabilitatsbcdenken treten bei einem festen Korper in keinem Fall auf. Man neigt aber von vornherein mehr zu der Ansicht, daI3 der Planet uni seine kurzeste Achse rotiert.

2 . Zwei P l a n e t e n i n s e h r k l e i n e m A b s t a n d . Hypothese von Ch. AndrC3). Lichtwechsel nach Art der ,l3 Lyrae-Sterne. Elliptische Hahn zur Erklarung der Zeitunterschiede der Minima. Elliptische Form der Komponenten zur Erklarung der GroI3e der Amplitude. Gegen die Hypothese wendet sich H. Seeligerb), fur sie spricht K. Lundmarkj), der nachweist, daI3 die Rahndimensionen mit annehmbaren Werten fur Massen und Dichten der Komponcnten vereinbar sind.

Die Differenzen im Reflexionsvermogen muBten jedoch bei der GroI3e der Amplitude und der spitzen Form des Minimums unwahrscheinlich groI3 sein.

4. Q u a s i s p i e g c l n d e Ref l ex ion . L. BellG) aiuI3erte die Ansicht, daI3 der Planet kristallinische Struktur besitzen und das reflektierte Licht von gewissen Teilen der Oberflache vorzugsweise in bestimmte Richtungen reflektiert werden konnte.

Es ist wahrscheinlich, daB die Ursachen 3 und 4 einen Geitrag zu den Helligkeitsanderungen liefern, als alleinige Ursache wird man sie aber kaum annehmen. Da cinc langliche, moglicherweise auch doppelte Form des Planeten visuell beobachtet worden ist, kann man die Annahme I oder 2 den weiteren Untersuchungen zugrunde legen. I h s Resultat wird, soweit es die Erklarung des Licht- wechsels in groben Zugen betrifft, nicht verschiedcn sein, da es hierfur auf dasselbe hinauskommt, ob man sich z Komponenten starr miteinander verbunden denkt oder frei.

Alle bisherigen Bearbeiter haben die Hypothese cines deformierten Korpers angenoninien und ein Model1 gewahlt, bei dem ein ellipsoidischer oder zylinderforiniger Kiirper um seine kiirzeste Achse rotiert. Sieht man yon der Erde her auf cinen derart rotierenden Eros, so wird die Helligkeitsschwan- kung ani groI3ten sein, wenn der Sehstrahl in der LIiquatorebene des Eros verliiuft. Dagegen ist die Amplitude null, wenn die Beobachtung in der Richtung der Rotationsachse erfolgt. Die Lage des Nord- pols (a , , 6,) laI3t sich mithin aus den1 Amplitudenverlauf bei wechselndcr Blickrichtung bestimmen. Man findet jedoch, daI3 eine scharfe Festlegung des Polpunktes aus den photometrischen lieobach- tungen einer Opposition nicht immer moglich ist, z. 13. nicht aus der gut beobachteten Opposition 1930-31. W. Zesseivitsch niinmt deshalb die Ergebnisse der visuellen Mikronietermessungen itus der gleichen Opposition zu Hilfe, w5hrend die anderen Autoren, die diese Aufgabe bisher behandelt hahen, Beobachtungen aus wciteren Oppositionen hinzunehmen. Ihrc Ergebnissc sind folgende :

'Tabelle I

3 . F l e c k e n a u f d e r O b e r f l a c h e des P l a n e t e n .

~ ~ ~ _ _ _ _ _ _ _ _ - 1 a. I So ~ Opposition

W. Zessewitsch. 1932 ') 1 18'' +31"\ 1930-1931 J Rosenhagen. 1932 6 , 342 I + l a 1901-1931 W. Krugund G. vonSrhrutka-Rechtenstarnin rg3b9)i 333 I s ~ S 1901-1931 F. \Vatson. 193;'~) ,316 '51 1901-193j

-

l) loc. cit. FuRnote 3 , S. I *) On the light-variations of asteroids and satellites Astroph. J. 24.1 (190s). 3, S u r le s y s t h e form6 piu la planbte double 433 Eros. Astron. Xachr. 155.2; (1901). 4, U l ~ c r die €Ielligliritsschwankungen des Plancten 433 Eros. Astron. Nachr. 155.71 (1901). j) The probable mms of Eros. Lurid Obs. Circ. Nr.7, S.3 ; (1931). ") T h e physical interpretation of albedo. Astrophys. J. 45.1 (191;). i , Die Bestimmung dcr Winkelelemente dcr inneren Bewegung von Eros. Xstron. Nachr. 246.441 (1932). s ) Einige Remerliungen ZUI- Helligkcit und mrn Lichtwechsel des Planeten Eros. RIitt. XViener Sternw. Xr. a , 45

9) Untcrsuchungcn iiber Gestalt uiid GI-oRc dcs Planetoiden Ems. Z. .Astroph!-s 13 I (1936) (1932).

lo) The phi-sical n.iture of Eros. Harrard Coll. Ohs Circ. 419 (1937)

J. STOBBE: Der Lichtwechsel des Eros 3

Die Ubereinstimmung ist wenig befriedigend. Die Unterschiede in der angegebenen Lage des Pols ubersteigen 60". Watson schatzt die Genauigkeit seiner Angabe auf rt so, und ein fluchtiger Blick auf seine graphische Darstellung der Beobachtungen laI3t dies berechtigt erscheinen. Die Beobach- tungen I 937-38 ergaben jedoch einen Amplitudenverlauf, der gegenuber Watsons Voraussagen ab- weicht. Wie ferner gezeigt wird, ist Watsons Pol unvereinbar rnit den Mikrometermessungcn (bei dem angenommenen Modell) wie auch rnit dem neu bestimmten Wert der Rotationsperiode.

ES ist ein Zweck dieser Untersuchung, rnit Hilfe des gesamten Beobachtungsmaterials einen neuen Wert fur die Richtung der Polachse zu erhalten und den Nachweis etwaiger Schwankungen dieser Richtung zu erbringen. Weiterhin soll aber auch die Dauer der Rotation bestimmt und die bisher nicht mogliche Verbindung der Epochen verschiederier Oppositionen durchgefuhrt werden. Letztes Ziel ist eine Theorie, die es gestattet, fur jeden Zeitmoment die Lage der Rotationsachse, die Phase der Rotation und die vom zugehorigen Erdort au5 zu beobachtende Lichtkurve anzugeben.

2. Definitionen, Beziehungen Von den fruheren Bearbeitern des Problems sind teilweise recht komplizierte Formeln aufgestellt

worden. Es genugen jedoch zwei spharische Koordinatensysteme, orientiert nach dem Aquator der Erde ( a , 6) und dem Aquator des Eros ( a , d), um alle notwendigen Beziehungen abzuleiten.

Es seien in aquatorealen Koordinaten

a , 6 die Koordinaten des Eros-Ortes, a,, 6 0 )) )) )) Eros-Pols.

Wir definieren nunmehr auf der Einheitskugel um den Erosmittelpunkt ein nach Polachse und la;quator des Eros orientiertes Koordinatensystem. Der bei a, + yoo gelegene Schnittpunkt des Eros- aquators rnit dem Erdaquator sei rnit r bezeichnet. Die Neigung beider Systeme ist i=yoo -8,. Der Sehstrahl von der Erde zum Eros schneidet die Einheitskugel in einem Punkt, dem die Koordinaten a , d zugeordnet seien. tz wird von r aus im gleichen Sinn wie a gezahlt, d entsprechend 6 . Man hat dann

cosdcosa= -cosS sin(a-a,,) cos d sin a = cos 6 cos (a -a,) sin 8, -sin6 cosS,

s ind= -cos6 cos(a-q,) cos6,-sin6 s ins , .

Die Tangentialebene an der Sphare im Punkt a , 6 ist gleichzeitig die Tangentialebene an die Eroseinheitskugel im Punkt a , d. In der Tangentialehene seien x und y rechtwinklige Koordinaten, x positiv in der a-Richtung, y in der 8-Richtung von a , 6 ausgehend. Die Projektion des Nordpols der Erosachse auf die x,y-Ebene habe den Positionswinkel I7.

cotgR=tg6, cos6 cosec(a,-e)-sin6 cotg(ao-a). ( 2 )

Es soll nun 6 , ~ ein gegen x , y urn den Winkel 11 gedrehtes Koordinatensystem sein, in dem 9

Die Neigung der Erosachse gegen die Tangentialebene ist gleich a'. Die Neigung ist also positiv,

Die Projektion eines in der Richtung f liegenden Punktes des Erosaquators hat foIgende

die Richtung der projizierten Erosachse darstellt.

wenn der Nordpol des Eros der zur Erde nahere Pol ist.

5, 7-Koordinaten: (,=sins ?lo= -cosasind.

Der Positionswinkel T,, dieses Punktes in bezug auf das E , +System ist bestimmt durch tgn,= - tga cosecd.

Fur d = o o i s t n-=yoo oder 270'.

1st P die Rotationsperiode des Eros, so sei 360" P @ = - - (t -to) (3 )

der Winkel, den cin rotierender Punkt des Erosaquators zur Zeit t rnit der r-Richtung bildet. Koor- dinaten und Positionswinkel dieses Punktes sind, wenn 0 im gleirhen Sinn wie a gezahlt wird,

Das obere Vorzeichen gilt fur den (wirklichen) Fall direkter Rotation, das untere ware bei retrograder Rotation des Eros z u nehmen.

t=s in(a TO) 7 = -cos(a TO) sind tgT= - tg(a +@) cosecd. (4)

I *

4 J. STOBBE: Der Lichtwechsel des Eros

Bezeichnet man die drei Achsen eines Eros-Ellipsoids rnit Z1, Zz, la (Zl = groBte Achse, Za = Rota- tionsachse), so erhalten die Endpunkte dieser Achsen im 8, q-System folgende Koordinaten:

( 5 )

p = n + n . (6)

0= & a n = a t @ = o p = U ( 7 )

t1 = Zl sin (a T 0 ) t2 =I2 cos(a T 0) t 3 = 0

q, = - I , cos (a T 0) sin d q 2 = Z2 sin (a i 0) sin d qa = ls cos d . Der rnit den Mikrometermessungen vergleichbare, auf x, y bezogene Positionswinkel p folgt aus

Fur den rotierenden Nullpunkt des Erosaquators hat man dabei einen Punkt zu wahlen, der in der Richtung der groBten Achse liegt. Das Minimum der Helligkeit tritt dann ein, wenn

ist. Der Zeitpunkt to, fur den O=oo ist, also die gronte Achse in die r-Richtung fallt, ergibt sich aus einem beliebigen Minimum der Zeit t , nach

P t,=t, ea" --o=t, T a . f .

360 (8)

Nimmt man als Periodenwert P=odz195g4 an, so wird

X

Abb I

EinfluS einer Polverlagerung auf die Koordinate a

f = 0.00061~'~ . Als normale Bl ickr ich tung wird im folgenden stets diejenige

bezeichnet, in der a=oo ist. Bisher ist angenommen worden, daB die Richtung der Polachse

unveranderlich ist. Wir mussen jetzt untersuchen, wie eine Veranderung der Lage des Erospols auf die beobachteten Zeiten einwirkt. Bezeichnen wir die Koordinaten einer mittleren Lage P' des Pols rnit a,,', S o ' , die der wahren Lage rnit a,, 6, und entsprechend die Schnittpunkte des mittleren (A') und des wahren (A) Erosaquators rnit dem Erdaquator rnit r' und r, so wandert bei einer Verlagerung des Pols von P' nach P ein in r' befindliches Achsenende nicht nach r, sondern nach G (siehe Abb. I).

Um die beobachtete Zeit einer in beliebiger Blickrichtung beobachteten Phase auf die normale Blickrichtung und eine mittlere Lage des Pols zu beziehen, hat man jetzt

wobei a auf die wahre Lage des Pols bezogen und a, der Winkelabstand rG, durch folgende Beziehung bestimmt ist :

tred = lbeob T (a + 2) .f = tbeob T a, .f , (9)

tg&i =sin@, + So') sec+(S,, - 8,') tgJ(ao - a,') . (10)

Die Ableitung setzt voraus, daG die Bewegung von P' nach P auf einem groaten Kreis erfolgt ist und als eine Drehung des Eros um eine durch D und den Mittelpunkt gehende Achse aufgefaBt werden darf. Fur eine Prazessionsbewegung wurde die Formel anders lauten. Da aber eine derartige Bewegung aus den Beobachtungen nicht ableitbar ist, vielmehr der Charakter der Schwankungen sehr unregel- mal3ig zu sein scheint, so bleibt zunachst nichts anderes ubrig als Naherungswerte nach obiger Formel anzusetzen. Es sei jedoch ausdrucklich betont, daB die wahren Korrektionen a,. f von den Dreh- momenten abhangen, die den Haupttragheitsachsen des Eros-Ellipsoids im Verlauf der gesamten Zwischenzeit zuzuordnen sind, d . h. die Korrektionen sind vom Weg abhangig, den der Erospol an der Sphare beschreibt (siehe hierzu die Bemerkungen Abschnitt 10-1 I ) .

Die Werte a-foder a;f hangen von der Richtung Erde-Eros ab. Sie zeigen infolgedessen einen ahnlichen Verlauf wie die scheinbare Erosbahn. Die Lage der Umkehrpunkte, in denen da/di=o ist, laBt sich gelegentlich aus den Beobachtungen bestimmen. Zu diesen Zeiten mu6 der Pol des Eros so liegen, da13 bei hderungen des Erosortes daldt, d6/dt infolge der Bahnbewegung a sich nicht andert. Durch Differentiation und Nullsetzung der Gleichung fur t g a nach (I)

t g a = -cotg(a-a,) sins, +tg8 cosec((x -ao) COSS,, erhalt man

da d8 [cosec(a--o) sinS,,-cotg(oc-a,) tgS C O S ~ , ] - +[see28 C O S ~ , ] - =o at dt

Die Polkurve, auf welcher der Erospol liegen muB, um der gestellten Bedingung a.f =const


zu genugen, findet man aus der folgenden Umformung, die fur jeden angenommenen Wert a , dieser Kurve den zugehorigen Wert von 6, liefert :

tgS,= [ cotg(a-a,)sinScosS-- doc dsl sin(or-a,) sec2S. (1 1)

Der Abstand des Erospols vom Erosort ist nach unserer Definition gleich 90' -a'. Fur den Fall d=o" (maximale Amplitude) findet man die Polkurve aus

tgs,= -cotg6 cos(a,-a). (12) Zwischen Erospol, Erosort und dem zur Zeit cles Helligkeitsminimums beobachteten Positions-

winkel$,,(=n) besteht unter der Annahme, daB die Projektion der langsten Achse an der Sphare in die Kichtung zum Pol fallt, die Beziehung

cotg$,=tgS, cos6 cosec(a,-a)-sinS cotg(oc,-a) . (13)

3. Methode DaB durch die Lage des Erospols und die Blickrichtung die Amplitude A der Helligkeits-

schwankung bestimmt wird, also

ist Ausgangspunkt aller fruheren Bearbeitungen gewesen. Man kann uber die Funktion f ( d ) theo- retische Annahmen machen, indem ein bestimmtes Model1 fur die Gestalt des Eros zugrunde gelegt und die reflektierte Lichtmenge proportional zur sichtbaren Oberflache des Planeten angenommen wird (Rosenhagen, von Schrutka-Rechtenstamm). 1st die Lage des Pols bereits naherungsweise bekannt, so erhalt man eine Beziehung zwischen den berechneten Breiten d und den beobachteten Amplituden.

A =f (4 , (14)

Zessewitsch findet aus der Opposition 1930-31 A = I m s O - O m 0 2 7 5 I dl .

Die Amplitude nimmt symmetrisch zum Aquator linear rnit der Breite a b und wird gleich o bei a'= 54". Watson bekommt p i t seinen Polkoordinaten aus dem Material 1900-1931

A=Im56-0m0405 Idl. Die Amplitude wird o fur a'= 37'. Der Unterschied gegenuber Zessewitsch ist durch die stark veranderte und fur alle Oppositionen konstant angenommene Lage des Erospols bedingt.

Die hier neu durchgefuhrten Rechnungen ergaben, da8 von einer konstanten Lage des Pols keine Rede sein kann. Mit einer wahrscheinlichen Annahme fur die Lage des Pols 1937-38 bekommt man die Funktionf(d) in der gleichen Form und mit nahe denselben numerischen Werten wie Zesse- witsch. Man kann daher die Gultigkeit einer linearen Darstellung als berechtigt ansehen und bei bekannten numerischen Konstanten aus den Amplituden die a'-Werte und mit ihrer Hilfe a,, 6, bestimmen. Mit der so erhaltenen Lage des Pols lassen sich dann wieder die Breiten (&) aus den Glei- chungen (I) berechnen und rnit den Amplituden vergleichen, und so fort. Man erhalt also auf dem Wege fortgesetzter Naherungsrechnungen Verbesserungen fur die Lage des Pols und die Konstanten der Funktionf(d). Die letzte so erhaltene Beziehung lautet :

A=1m50-om0278 ldl. (1 5 )

dB =f 1 (A) (16) a'R=fi(a, 6 ; @-a, 6,). (17)

Der nach dieser Gleichung aus den beobachteten Arnplituden abgeleitete Wert von a' sei mit dB bezeichnet. Wir haben also

Um die Darstellung der Beobachtungen durch die ermittelten Werte moglichst anschaulich zu machen, sind fur jede Opposition die dB als Normalpunkte zusammengefant eingetragen und die Kurven dR unter verschiedenen Annahmen fur oc,, 6, eingezeichnet worden.

Es zeigte sich auch hier, daB die dR-Kurven bei unterschiedlichen Lagen des Erospols fur einen gewissen Zeitraum nahe zusammenfallen konnen. Man mu6 sich deshalb nach einer weiteren Beziehung zwischen den Beobachtungen und der Lage des Pols umsehen. E i n e solche neue B e z i e h u n g bes teh t n u n zwischen d e n P h a s e n u n d d e r L a g c des Pols.

Da die Zeiten der Helligkeitsminima am scharfsten ausgepragt sind, habe ich ihre Beobachtungen fur den Zeitraum 1901 his 1938 verwandt. Die Zeiten sind, soweit es noch nicht vom Beobachter geschehen war, wegen Lichtzeit korrigiert worden. Die beobachteten planetozentrischen Zeitmomente (R) sind eine Funktion dcr Periode P und der Gro8e a (genauer a, =a + d ) :

B =Cp(P, a,) . (18)


Man hat unter Beriicksichtigung von (9) unter der Annahme direkter Rotation des Planeten B =Eo +$P.B +a; f (19)

oder, wenn die allein aus dem Periodenwert berechnete Epoche R, genannt wird, B = R, +a; f .

Die GroBen a,. f sind die durch wechselnde Blickrichtung bedingten Abweichungen der Beob- achtungszeiten gegenuber der siderisch bezogenen Rotation. Sie lassen sich mithin bei bekannter (siderischer) Rotationsperiode aus den Beobachtungen ableiten. Um allerdings die Periode bestimmen zu konnen, bedarf es der Kenntnis der Korrektionen a,. f , so daa auch hier wieder das Problem nur durch fortgesetzte Naherungsrechnungen gelost werden kann. Mit einem wahrscheinlichen Wert fur die Lage des Erospols laat sich nach ( I ) , (9) und (10) ein Wert a;f berechnen, dann die Periode ableiten, die beobachteten Zeiten B rnit der Darstellung nach (19) vergleichen, und so fort. Der letzte so erhaltene Wert fur die halbe Periode und die Ausgangsepoche (siehe Abschnitt 9) ergab:

B = JD 2415 326.413tod10979685E +a;f. ( 2 0 )

[am.f]~=B -R, (21) [arn.f]~=q(a, 6 ; a n , a n ; a n ' , So ' ) . (2 2 )

Wir haben also, wenn wir wieder zwischen beobachtetem und berechnetem a-Wert unterscheiden :

In den Abbildungen der Darstellung der Beobachtungen sind die beobachteten, zu Normal- punkten zusammengefaaten Werte getrennt fur gerade und ungerade Epochen eingetragen. Die Kurven sind unter der Annahme verschiedener Werte a,, 8, berechnet.

Eine weitere Bedingung, der die Polkoordinaten genugen sollen, liefern die visuellen Refraktor- beobachtungen, die Eros als einen langlichen rotierenden Korper zeigten. Die gemessenen Positions- winkel konnen in sinnvoller Weise nur auf die Richtung einer groBten, in der Aquatorebene liegenden Achse oder auf die Verbindungslinie zweier Komponenten bezogen werden. Im Hinblick auf die Schwierigkeit der Beobachtungen schien es jedoch angebracht, den Mikrometermessungen nicht von vornherein sehr groBes Gewicht zu geben. Ich habe sie deshalb bei den Naherungsrechnungen nicht berucksichtigt. Um so bedeutsamer ist die schlienlich gefundene Ubereinstimmung der nach (4), (6) und (7) berechneten Positionswinkel p , mit den beobachteten Werten 9,.

DaB sich aus den Mikrometermessungen eine retrograde Rotation ergeben soll, ist ein Irrtum in der Auslegung der Beobachtungen durch Watson (Harvard Coll. Obs. Circ. Nr.419, S.9), auf den bereits Zessewitsch 1) hingewiesen hat. Der direkte Rotationssinn wird in unabhangiger Weise aber auch durch den Gang der Korrektionen a;f bestatigt werden. Nur unter der Annahme des oberen Vorzeichens in den Formeln (4)-(8) laat sich Ubereinstimmung mit den Beobachtungen erreichen.

Wir haben zusammenfassend folgende 3 Bedingungen fur die Richtigkeit der Lage des Erospols: I . Amplitudenbedingung dB - dR = o 2. Phasenbedingung [~;f]~-[a;f]~=o 3. Positionsbedingung p B -9, = o .

Als sich der Verdacht ergab, daB die Rotationsachse des Eros keine unveranderliche Lage im Raum besitzt, kam es darauf an, ein Verfahren zu finden, das es gestattet, fur jede Opposition getrennt die wahrscheinlichsten Werte der Lage des Pols zu bestimmen und gleichzeitig auch ein Urteil iiber die Zuverlassigkeit der Werte zu gewinnen. Ich habe ein anschauliches und trotzdem der Beobachtungs- genauigkeit angemessenes graphisches Verfahren gewahlt und bin nach mehrfachen Vorversuchen in folgender Weise vorgegangen.

Aus den beobachteten Amplituden wurde nach Gleichung (IS) dB bestimmt. Der Abstand des Erospols vom Erosort ist nach Definition yoo -d. Es wurden nun fur geeignete Zeitpunkte auf einer Kugel urn den jeweiligen Erosort (oder seinen Gegenpunkt) Kurven im Abstand 90' - d ~ , sogenannte Polkurven , gezogen. Hatte der Pol wahrend einer Opposition eine konstante Lage und waren die Beobachtungen genau genug, so sollten sich alle Polkurven in einem Punkt schneiden, der dann der gesuchte Polpunkt ware. Dies ist selten der Fall. Es lafit sich aber meist ein gewisser Spielraum langs einer mittleren Kurve angeben, auf welcher der Erospol liegen muB, um mit der Amplitudenbedingung vertragliche Werte zu erhalten.

Die mittlere Polkurve ist, wenn in der Opposition ein Aquatordurchgang stattfand, in der Regel mit der Polkurve identisch, deren Abstand vom Erosort 90' betragt [Gleichung (I.)]. Sie ist in den Abbildungen etwas starker eingezeichnet. Die zugehorigen Zeitmomente sind bei allcn Polkurven durch die letzten Ziffern des julianischen Tages gekennzeichnet.

l) On the rotation of Eros. The Observatory 60.289 (1937).


Fur einige bezifferte Punkte der mittleren Polkurve wurde nach G1. (I) eine Ephemeride der a und d gerechnet. Die berechneten Kurven fur a;f und d geben dann durch Vergleich mit den beobachteten Normalwerten einen Hinweis auf die beste Lage des Erospols fur die einzelnen Oppositionen. Die entsprechenden Korrektionen a, .f wurden nunmehr an die-beobachteten Zeiten B- angebracht und die restlichen Abweichungen B - R, = (B - R,) - U, of (2.71) . -, zunachst getrennt fur gerade und ungerade Epochen ermitte 1;.

4. Ubersicht iiber die Beobachtungen Obwohl nach der Entdeckung des Lichtwechsels von Eros mehrfach darauf hingewiesen worden

ist, wie notwendig es sei, die Helligkeitsschwankungen weiterhin zu verfolgen, so ist doch dieser Auf- gabe von seiten der Beobachter nicht immer die gebuhrende Aufmerksamkeit geschenkt worden. Es muR freilich zugegeben werden, daR visuelle Helligkeitsschatzungen eines solchen, verhaltnismafiig schwachen Objektes eine groBe Kunst sind, die der Fachastronom heute im allgemeinen nicht mehr beherrscht, wahrend dem Liebhaber die instrumentellen Hilfsmittel fehlen. Der photographisch-photometrische AnschluB eines bewegten Objekts an tPglich wechselnde Anhaltsterne ist aber, wenn er sauber ausgefuhrt wird, eine sehr muhevolle Arbeit.

In der Opposition 1907 war die Lage des Planeten derart, daR keine Schwankungen der Helligkeit auftreten konnten. Das entsprechende Beobachtungsergebnis von Guthnick, rnit der heutigen Theorie durchaus im Einklang stehend, hat wohl auch dazu beigetragen, daB bis zur >>groRen Oppositioncc 1930-31 nur wenige Beobachtungen angestellt wurden. Namentlich die Sternwarten der sudlichen Halbkugel haben rnit einer Ausnahme (La Plata) versagt.

Einen Nachweis aller photometrischen Beobachtungen bis 192 I hat M. Harwood in Harvard Coll. Obs. Circ. Nr. 269 (Variations in the Light of Asteroids, 1924) gegeben. In der Arbeit von F. Wat- son1) findet man eine Zusammenstellung der Literatur bis einschlieBlich 1936. Welche Beobachtungen in dieser Untersuchung fur die Ableitung von Amplituden und Phasen verwertet worden sind, habe ich bei den einzelnen Oppositionen mitgeteilt. Es folgt hier zunachst eine allgemeine Ubersicht, wobei fur den Fall fehlender Beobachtungen die maximale Amplitude angefuhrt ist, die bei mittlerer Lage des Erospols zu erwarten gewesen ware. Nur diejenigen Oppositionen, deren Jahreszahlen nicht ein- geklitmmert sind, haben einen Beitrag zur Losung unserer 4ufgabe geliefert.

T a b e l l e 2

Hel l izke i t sbeobachtunpen des E r o s "

Zeitraum und -4rt der Beobachtungen

I unsicheres Max. aus Strichspui 4 unsichere Max. ausstrichspur keine Beobachtungen 2 ~ 7 ~ , photom. brauchhar 63d I 1 5 ~ gute Beobachtungen I Minimum keine Schwankungen') keine Beobachtungen keine Beobachtungen

(1914) , unbrauchbare Beobachtungen9

- ~

Max B

~

I 'PS 0.8 0 . 5 0

0.2

"

Zeitraum und Art der Beobachtungen )pposition

I Minimum keine genauen Angaben3) keine Schwank~ngen~) keine genauen Angaben5) keine Beohachtungen keine Beobachtungen 1 o 8 ~ gute Beobachtungen 2 Minima 6od bei kleiner Amplitude 1 7 2 ~ gute Beobachtungen

- __ impl.

R ___

I "5 1 . 5 0

Anm.: l) sPhotometrische Beobachtungen des Planeten 433 Eros wdhrend der Opposition 1907~ sind von P. Guth- nick (Astron. Nachr. 178.1, 1908) mit einem Zollnerschen Photometer ausgefuhrt worden. Die Amplitude ist in der Zeit zwischen 1907 Sep. 24-1908 Jan. 10 mit Sicherheit kleiner als ol 'a j gewesen.

z, In Ann. Astron. Ohs. Harvard Coll. 76.161 (1915) macht M. Harwood Mitteilungen iiber sThe Light Curve of Eros in 1914(( Die photographischen Beobachtungen werden als Schwankungen von om6 Amplitude mit einer Periode von od3064 (richtiger Wert od2196) gedeutet. In Harvard Coll. Obs. Circ. Nr. 269 wird von derselben Verfasserin nur noch eine .4mplitude von oT3 angegeben und S. 1 5 gesagt: uThe change in period of Eros in I914 is a mistakea. Watson gibt in seiner Zusammenstellung die Amplitude rnit 0'3 als irregular an.

3, In Bull. Harvard Coll. Obs. Nr.766 (1922) teilt M. Harwood mit, da13 die Erosbeobachtungen 1919 )ishowed a variation of at least a magnitude in a period of about five hourscr.

4, Photometrische Beobachtungen des Planeten Eros wahrend der Opposition 1921 von E. Bernewitz, bearbeitet von G . Struve. Astron. Nachr. 218.41 (1922).

") Nach Pop. Astron. 34.556 (1926) hat M. Harwood iXVariations in the Light of Eros in 1924" gefunden, die zwischen Jan .4 und Feb. 10 mit einer Periode von 0?1988 erfolgten. Nach der Theorie mussen die Helligkeitsschwankungen I923 Okt. ihr Maximum erreicht haben. zur Zeit der Beobachtungen von Miss Harwood aber sehr klein gewesen sein. Daher durfte auch dieser ungewohnliche Periodenwert nicht verburgt sein.

'i lor. cit. FuRnote 10, S. 2.


5. Ableitung der Polkoordinaten 0 pposi t i o n 1900-01

a) A m p l i t u d e n . Wie in Abschnitt I bemerkt, sind einigermal3en brauchbare Beobachtungen erst ab 1901 Feb. 14 (JD 2415 430) zustande gekommen. Es ist deshalb schwierig, den Zeitpunkt des Aquatordurchgangs sicher festzulegcn. Die Ungenauigkeit der Beobachtungen geht aus folgendem

hervor : F. Deichmullerl) beobachtet JD 437 eine Schwankung von 1m8, JD 438 eine solche von zms, wahrend andere Beob-

Abb. 2 Polkurven 1901 und 1903

Abb. 3 Phasen und Amplitudengang 1901

B - R, : *** gerade, 000 ungerade Epochen, I<urven=a,.f. d: *.. = d ~ . Kurven=&

achter in der gleichen Zeit nur ~m als Amplitude angeben. E. von 0ppolzer2) findct JD 424 1m72, dagegen JD 428 in einer vierstundigen Reihe keine Schwankungen. Trotzdem durfte JD 432 (1901 Feb.16) als Tag des Maximunis nur eine Un- sicherheit von 5 Sd haben 3).

Fur die Amplituden wurden in Ubereinstimmung mit Watson die Werte der folgenden Tabelle zugrunde gelegt und mit ihnen dB nach G1. (IS) und di mit Pol 2 (siehe unten) aus G1. (I) berechnet.

~~

JD I Ampl. I dl3 dR(POl2) JD I Ampl. I d~ IdR(POl2) __ 2415418 1'": ~ 5" -71 2415460 ~ I'fO ~ IgO , 19'

470 0.7 ~ 29 i ;29 487 , 0.4 40 I _ ~ 4 4 o i t 2

1 5 ~ + I 6 I i

424 1 1.5: 441 1 1.5 456 1 1.1

b) Phnsen. Die Werte beginnen mit 4 Beobachtungen von F. Rossard4) in Toulouse 1901 Feb.14-16. Ab Feb.20 (JD 2415 436-493) liegt cine ausgezeichnete Beobachtungsreihe aus Lyon vor, die von Ch. AndrCj) mitgeteilt wird. Ferner sind gute Beobachtungen von E. Becker und H. Kobold9, von F. Deichmullerl) und in Ann. Astron. Obs. Harvard Coll. 69.213 (1913) veroffentlicht worden. Ein von Deichmuller7) angegebenes Minimum fur JD 5 IS verdient kein Vertrauen, da die Amplitude auRerst gering gewesen sein mu& Zwischen den Zeitmomenten der geraden und ungcraden Minima besteht ein deutlicher systematischer Unterschied.

c) Lag' d e s Pols. Abb. 2 enthiilt die Polkurven d=o" fur J D 432 und d=4oo fur J D 457. Aus dem Schnittpunkt dcr Kurven folgt a,, = 3 2 2 ' , 6, = + 42' (Pol I). Jedoch geben die zu- gehorigeri B -R, der Phasen eine Darstellung, die nur mit $P=0?10976 vereinbar ware. nlit Rucksicht auf die Unsicher- heit der ersten Amplitudenwerte gibt aO=342O, S o = + 13' (Pol 2 ) eine zufriedenstcllende Ubereinstimmung mit dem Phasen- und Amplitudengang (siehe Abb. 3). Kleiner als + 1oC kann 6, nicht gut sein, da sonst im Herbst 1900 die Schwan- kung sehr gron gewesen und nicht unbemerkt geblieben sein durfte.

Die Werte a;f und a' sind fur die erwahnten Annahmen uber die Lage des wahren Pols nach G1. (I) und (9) berechnet. Die Reduktion auf den mittleren Pol Z = awz -a ist nach G1. (10) rnit folgenden Koordinaten fur die Lage des mittleren Pols gerechnet :

(Yo' = 350' 6,' = i 38".

l) Der Lichtwechsel dcs Planeten 433 Eros. Astron. Nachr. 154.391 (1901). 2, Zur Notiz uber die Helligkeitsschwankungen von 433 Eros. Astron. Nachr. 154.31 I (1901). 3, Der Angabe von W. Krug und G. von Schrutka-Rechtenstamm (Z. Astrophys. 13.8), daI3 1900 Dez. 18 die Ampli-

tude rmg betragen haben soll, kann ich nach erneuter Diskussion der Beobachtungen nicht zustimmen. 4, Observations sur la variabilitC de la plankte Eros. C . R. Sci., Paris 132.396 (1901).

Sur la variatioc lumineuse de la plankte Eros. C. R. Sci., Paris 133.262 (1901). 'j) E. Becker : Helligkeitsbeobachtungen des Planeten Eros. Astron. Nachr. 154.437 (1901). ') Uber die Verinderung der Amplitude des Lichtwechsels am Planeten Eros. -4stron. Nachr. 155.309 (1901).

J. STOBBE: Der Lichtwechsel des Eros

+odoro~ +3504 + odoo52

9

+odoo83 +joy0 + Od0044

Oppos i t ion 1903

a) Ampli t uden. Photographische und visuell-photometrische Beobachtungen von S. J. Bailey') geben eine mittlere Amplitude von om6. Die Schwankungen um diesen Wert sind nach Baileys Angabe nicht mit Sicherheit zu verburgen. Die einzelnen Gruppenmittel sind :

0.48 37 I +33 0.62 I 32 + 3 I 0.76 I 27

~ +26

b) Phasen . Der gleichen Quelle sind die Reobachtungszeiten der Minima entnommen. Ein systematischer Unterschied zwischen geraden und ungeraden Minima ist (wegen der hohen nordlichen Breite a') nicht nachweisbar.

c) L a g e des Pols. Aus den a'* folgt, wenn JD 280 ausgeschlossen wird, die Lage des Pols etwa zu a, = 344O, 6, = + 57' (Pol 2). Die Lage ist jedoch sehr unbestimmt, sofern sie nur von den Kurven 2 2 0 und 280 eingeschlossen wird und nordlich von +40° liegt (Abb. 2 ) .

I I TD 2416220 I 2GO I 280 I 2 1 0 I 142 I Z . f

Pol I

Pol 2

Pol 3

ao= 354" 1 a,..f=+odo240 so= +45 dR = + 2466

s0=+57 1 dR=+2763 a0= 335 1 a,./= +odo158 s0=+71 &=.+3206

+ Od0245 + 2763 + odo203 + 3060 +OdOI55 + 3560

+OdOI77 + 3464 + odo125 + 3402 + Od0072 +36?1

+odoo16

- orlo027

-0doo27

Der regelmaRige Verlauf der Abweichungen im Phasen- und Amplitudengang (Abb. 4) deutet darauf hin, daR nicht Beobachtungsfehler, sondern kurzperiodische Polschwankungen die Ursache sind.

I1-P I

c 0.020

, , JD 2476

220 240 260 280 SO0 320 340

+(roo "I

Abb. 4 Phasen- und Amplitudengang 1903

Oppos i t ion 1905 a) Ampl i tuden . In Ann. Astron. Obs. Harvard Coll. 69.215 (1909) sind eine Anzahl photo-

metrischer Einzelmessungen von Eros gegeben. Fur 1905 Aug. 3 konnte eine Lichtkurve mit 2 Maxima und I Minimum gezeichnet werden. Danach ist

J D IAmpl. I U'B I d~ 2417061 ~ oms I 38' I -38"

I ) Observations of Eros and other Asteroids. Ann. Astron. Obs. Harvard Coll. 72.165 (1913) Vgl. S. 179-181. - S. 178 Zeile 4 mu0 es im Einklang mit S. 168 hei0en: J D 6090.778.

Astron. Nachr. Bd. 270 2

10 J. STOBBB: Der Lichtwechsel des Eros

dR = + 4006 pol i N ~ = 350 a,*./= +o?I80i 1 6,= + j 6 a ' ~ =

b) Phasen. Die Zeit des Minimums ist wegen des grofien Abstandes der Einzelbeobachtungen urn i odoo5 unsicher.

c) Lage des Pols. Die Polkurve (Abb. 5) fuhrt auf folgende Werte :

I _ _ ~ _____--_____

1 JD 2417061 i a.f -_ _ _ oLo= 308' i a,.f= +OdO435 1 -0d0164

pol 1 a,= 350 a,.j= 1-odo272 I i-odoo35 & = + 2 6 I &=-3779 i

Pol 1 I 6 - u-+39 ~ dR=-3705

OPOOOO

J D Ampl. ~ dzr Idn(P012) ___ 2426272 1 I'!'o ~ 19' ~ -27"

z s z 0,s 2, -21

305 i 1.05 ~ 17 I - 7 310 1.3 ~ s , - 4

295 i 1.0 i 19 i - 1 3

I) Dic Periode der Eros. Astron. Nadir . 241.215 (1931).

.~~______ .___.

J I I I Ampl. I U'B ld~(Pol2) .. .___ . - .-

2426339 11'1 I j " ' + ~ j " 35' 0 9 ~ 22 ' - 2 s

354 o.7 ~ 29 i i2s 359 O i 29 i 133 364 0.6 ~ 33 t 3 7

b) P h a s e n . Hicr sind die gleichen Normalwerte verwendet, die Lessewitsch (Astron Xachr. 246.447) aus den Messungen zahlreicher Beobachter gebildet hat. Die Werte sind kontrolliert und an einer Stelle (Minimum 99 776) ist eineBerichtigung von L. Jacchia I) berdcksichtigt worden. Die syste-

matische Differenz zwischen den geraden und ungeraden Epochen ist in dieser O p p

c) L a g e d e s Pols. Als Zeitpunkt des Durchgangs der Blickrichtung durch die Aquatorebene wurde 1900 Dez. 7 (JD 2426 318) angenommen. Die entsprechende Polkurve ist in Abb. 6 starker einpezeichnet. Fur die ubrizen Polkurven sind die

.__

J D ' & sition deutlich ausgeprigt. 2426281 --?I'

318 141 ~ i- 16

' j O j -12

v

35s 390 I 1:: wandt worden.

Werte der nebenstehenden Tabelle aus der geglatteten ri,-Kurvc abgelcitet und ver-

Pol I gibt eine befricdigende Darstellung.

0 p pos i t i on 1930-31 a) A m p l i t u d e n . Aus der Zusammenstellung von Watson (Harvard Coll. Obs. Circ. Nr. 41s)

sind durch Mittelbildung folgende Werte erhalten worden :


wird man auf eine Lage des Pols in der Nahe von Punkt 3 gefuhrt. Der Polwert von Zesse- +ao-

11

1 1 , 1 , , , , , , 1 ,

780 300 320 340 360 360 W J D

7 ,/ 0'

Der letzten Polkurve kann wegen der Unsicherheit der Beziehung zwischen kleinen Amplituden und hohen Breiten kein groBes Gewicht beigelegt werden. Alle anderen Kurven laufen zwischen LY = 320° und a=4o0 nahe parallel. Dies erklart die grol3en Unterschiede in den Polpunkten der verschiedenen Autoren (Tab. I). Da der Amplitudengang fur die Wahl des Pol- punktes einen so groBen Spielraum la&, mussen andere Gesichtspunkte zur Ent- scheidung mit herangezogen werden. Der Phasengang (Abb. 7) zeigt sofort, da13 Pol I , der nahe mit Watsons Pol zusammenfallt, unmoglich ist, sofern man den benutzten Periodenwert (*P=od109797) als richtig an- sieht. Man kann allerdings mit *P=od109754 eine mindestens ebenso gute Darstellung

O0

Abb. 6 Polkurven 1930-31

Bezeichnung der Pole: W = Watson, K =Krug und Schrutka-Rechtenstamm, R = Rosenhagen, Z = Zesse- witsch, 1-4=Stobbe, 2 =bester Wert. - - - - Richtung der Rotationsachse des Eros nach beobachteten Positions-

winkeln von van den Bos und Finsen.

~ ~~~~

I I JD 2426266 I 286 1 306 I 326

l ) J. Stobbe: Beob.-Zirk. Astron. Nwhr. 19.72 (1937).

- 346 I 366- +od1616 +od1652

+ Z I ? O +3800

+20?7 +3304 +od1388 +od1258 +I$O +1606

+OdI47I +od1360

386

+ 5403

+ 0% 207 + 3608 + IO?I

+od1642

+Od1274 f 4790

+OdII34

406 + od1598 +6401

+ 4606 +od1130

+odro80 +401

+OdII79

+ 3400

- a .f

-0dOI 37

+ od0088

+ OdOI 22

+OdOI37

!*

erreichen, allein die Beobachtungen aus anderen Oppositionen, namentlich 1937-38, sprechen, wie in Abschnitt 9 (siehe auch Tab. 7) gezeigt werden wird, gegen diesen, eine Zeit lang auch von mir') als Arbeits- hypothese angenommenen Wert. Legt man die Mikrometermessungen der beobachteten Positionswinkel zugrunde (Abschnitt 7), so wird man auf eine Lage des Pols in der Nahe von Punkt 3 gefuhrt. Der Polwert von Zesse- witsch ist so bedingt. Rosenhagen, sowie Krug und Schrutka-Rechtenstamm haben ihre Koordinaten im wesentlichen durch Hinzuziehung der Oppositionen 1901 und 1903 gewonnen. Als besten Mittelwert, der Amplituden- und Phasengang und die Mikrometermessungen gleichermal3en berucksichtigt, habe ich fur die Opposition 1930-31 Pol z der nachfolgend gegebenen Tabelle angenommen.


so= +54 d ~ = +204

8,3=+39 , & = + I 0 4 pol ao= 330 a m . f = +odo157

a,,= 350 I a,.f=+odoI87 "I3 a,=+ 8 ~ d ~ = - 0 0 6

000

000

000

auch die Amplitude der ersten Beobachtung zu +odowo -0d0077 befriedigen. Der wahre Pol mag bis zu &zoo

seitlich der gezeichneten Kurve liegen. Die Unterschiede sind gering. Pol 3 gibt +odor66 OdOOOO

Opposi t ion 1935 a) Ampl i tuden . S. Kandaz) veroffentlichte Beobach-

tungen aus der Zeit zwischen 1935 Jul.28 und Okt.25. Die wenig veranderte Amplitude betrug in Mittelwerten:

JD IAmp1. 1 d~ 1 d~ -

b) Phasen. Die von Kanda mitgeteilten Phasen sind infolge der kleinen Amplitude namentlich am Ende der Beob- achtungsreihe von geringer Genauigkeit. Eine Zuordnung zu geraden und ungeraden Epochen ist daher nicht mit volliger Sicherheit moglich. (Die Zeit des letzten Minimums JD 8100.965 ist in .985 geandert worden, um Ubereinstimmung mit der Spalte 0 - C zu erzielen.)

ALL. 8 Polkurven 1935

B-I?, - d

tO.060 -

c) L a g e des Pols. Der beste Vereinigungspunkt der Polkurven liegt bei Pol I (Abb. S), wahrend bei Pol 2 die Ab- weichungen der Phasen im Mittel null werden (Abb. 9).

0

0 -2

+a040

f 0.020 -

I Abb. 9

Phasen- und Amplitudengang 1935

Photographische Helligkeitsbeobachtungen des Eros. Astron. Nachr. 251.33 (1934). 2) Light variation of Eros in 1935. Astron. Nachr. 259.241 (1936).

Opposi t ion 1933 a) Ampli tuden. Photographische Beobachtungen von J. Hartmann und M. Dartayetl) an

2 Tagen (1933 Jul. 27 und Aug. 13) geben als Amplituden die nicht sehr sicheren Werte:

b) Phasen. Den gleichen Beobachtungen lassen sich 2 Minima, davon das letzte sehr unsicher, und z Maxima entnehmen. Die Genauigkeit der Phasen ist durch die Lange jeder einzelnen Belichtung (O~OIO-0$014) beeintrachtigt. Infolgedessen lassen sich die Minima nicht eindeutig geraden oder ungeraden Epochen zuordnen.


JD I Ampl. I JB 1 d~ 2428806 omI5: 49O -36'

819 - 33

854 0.5 36 -3' 832 E:::: 1 $ -31

876 0.5 36 -34 893 0.6: 1 - 35 924 1 1.1 ~ ;: 1 -22

J D IT&. I d~ I 2428931 1m2 11° -15"

940 1.4 1 4 - 7 948 1.5 960 1.3 7 + I 1 970 I 1.1 980 , 0.8 :! I 991 I 0 . 5 36 I +35

1) Visuelle Beolmchtungen des Eros-Lichtwechsels in der Opposition 1937-38. Astron. Nachr. 267.27 (1938).

0 p p o s i t i o n 1937-38 a) Ampl i tuden . Dank der vorziiglichen Beobachtungsreihe von M. Beyer1) liegen fur diese

Opposition die weitaus besten und systematisch einwandfreiesten Beobachtungen vor. Sie werden erganzt durch Mitteilungen von Gadomski, Haarwood, Hartwig, Lause, Loreta, R. Muller, Roach und Stodard, Schurer, Stein und Tibor, Stobbe und anderen. Aus den Monaten September und Oktober und der Zeit Ende Dezember 1937 waren wegen schlechten Wetters nur unsichere Beobachtungen zu erhalten. Am zuverlassigsten sind die Werte fur Februar und Marz 1938. Es wurden folgende Mittel- werte zugrunde gelegt :

b) Phasen . Die Phasen sind aus dem gleichen Ma- terial abgeleitet wie die Amplituden. Die Beobachtungen von M. Beyer geben anfangs eine kleinere Amplitudenschwan- kung, als nach fruheren Voraussagen envartet wurde. Wegen der Unsicherheit dieser Beobachtungen gibt Beyer Phasen- epochen erst ab JD 840. Ich bin jedoch nicht der Ansicht, da13 seine ersten Beobachtungen vollig zu verwerfen sind, und habe sie deshalb mit angefuhrt. Der systematische Unterschied zwischen geraden und ungeraden Epochen tritt sehr stark in Erscheinung.

c) L a g e des Pols. Eine eindeutige Festlegung der Lage des Pols fur den gesamten Beobachtungszeitraum ist nach den eingetragenen Polkurven (Abb. 10) nicht moglich. La& man die drei ersten, verhaltnismaBig unsicheren Kurven aul3er Betracht, so gibt Pol z eine Darstellung (Abb. 11), die von JD 875 ab befriedigendgenannt werden kann. Jedoch weisen die systematischen Abweichungen zwischen J D 850 und 870

~ ihren Ursprung in einer veranderlichen Lage des Pols haben.

14 5 . STOBBE: Der Lichtwechsel des Eros

pol I a,= 345' a,.f= +odr266 +OdI359 +0?1379 +odr270 +od1185 +odIzOg +od1283 6,= +45 &=-4101 -4104 -4302 -40% -1500 +12:4 +3$0 a,,= 350 a,,,./= +odI345 +OdI424 +0.1449 +od1346 +od1215 +od1182 +OdI212

a,*f=+O~I4~ +OdI469 +0.1496 +o.I4& +o.I245 +OdII60 +odII32 a,,= +28 dR= -3403 -3004 -33.4 -3~00 -1304 +I304 +36% j a*= 356

i 6 ,=+10 &=-2507 1-1902 -ZI?O -2502 -1206 +11?3 +3406

-0d0020

od0000

+odaIg

zugrunde gelegt :

8 200

290 454

700 836

554

R, = JD 2415 326.35% + od10979685 E Maxima 413 Minima .

2116226.768 1.747 + 21 0 o1 0 I 236.645 '.6291+ 1611 ::I- 5 3 254.658 ,636 + 22 - 20 + 2

2 281.660 .646/+ 14 12 + 2 2 296.587 .5781+ ,!I A + I

5

3 265.634 .615/+ 191- 17 + 2

In Spalte 5 steht B - R, = Lagekorrektion + systematische Reste + individuelle Fehler.

Die Lagekorrektion ist rnit den Koordinaten m,, a,, die in Abschnitt 5 fur die einzelnen Opposi- tionen abgeleitet wurden, oder, wo dies nicht moglich war, mit den mittleren Koordinaten a:, 6,' fur den Erospol berechnet worden. Die Korrektionen a,% bzw. a'.f sind in Spalte 6 angefuhrt. Spalte 7 enthalt:

B - R, = (B - R,) - Lagekorrektion = systematische Reste +individuelle Fehler. Es zeigt sich sofort, dafi in den B -R, systematische Reste stecken, die als Differenz zwischen

geraden und ungeraden Epochen zu erklaren sind. Und zwar ist diese Epochenkorrektion von der erozentrischen Breite d abhangig. Die Differenzen D zwischen geraden und ungeraden Epochen gibt Tab.4. Aus ihnen wurde eine Epochenkorrektion bestimmt, indem die Differenz je zur Halfte der geraden und der ungeraden Epoche zugeschrieben wurde. Die Epochenkorrektion K der Tab.9 ist an die B -R, nach Spalte 8 angebracht. In Spalte g hat man nunmehr:

B - R, = (B - R,) - Lagekorrektion - Epochenkorrektion = systematische Reste + individuelle Fehler. Tabel le 3

Einh. Spalte 5-9: odoo~

Minima 1901 a. = 342' 6, = i

' I R, iB-R,~-a,.jIB-R,~ -K ,B-R, E

I 121 3 I 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 9551 1115431.391 /.2691+122 - 1 1 s 965 I' 432,473 :.367,+ 106

I 0 0 9 31 437.321 .I98/+123

I 0271 3 439.295 ,175 +I20 I 047; 3' 441.493 .37I +I22 1 0 5 5 : 3 442.373 ,249 +I24

I 001 3' 436.443 1.3201 + 123 - I I E

I 019 31 438.417 .296/+121

6. Darstellung der Phasen In Spalte I der Tab.3-sind die Epochen, die mit der-halben Periode fortschreiten, getrennt fur

gerade und ungerade Epochen angegeben. Spalte 2 enthalt die Zahl n der Beobachtungen fur die mittlere Epoche B. Die planetozentrischen Beobachtungszeiten B (Spalte 3) sind den in Abschnitt 5 mitgeteilten Quellen entnommen und zunachst mit den berechneten Zeiten R, (Spalte 4) verglichen worden, die sich aus einer linearen Phasenformel ohne Berucksichtigung der Lagekorrektionen a,. f und sonstiger systematischer Einflusse ergeben. Nach mehrfachen Naherungsrechnungen wurde


1471 4 957.492 !.363'+1291-118 225 5 966.057.:927 +130,-118 3451 979.~~81:1031+125'-119

108 884; I 27281.562 :.5331+ 291- 19 + I O ! +

109038 11 298.458/.442!+ 161- 171- I ! + I 41 + 14 5i+4

i + 9 447' 1, 990.432 '.302,+130!-12I

I n I 24..... B i R, I B - R ~ ~ - ~ , ~ ~ B - R , ~ -K IB-R,

+ I I i - 41t 7 + 12i- 31+ 9 + 6 , - I , + 5 f 9; O l + 9

Minimum I 905 a, = 4' 6, = + 5"

1 5 8041 1I17061.658 1.6421+ 161- 161 01 1

Minimum 1916 a , = 3 2 1 ~ so= +z5"

53 7471 1121227.871:1.6641 +207\-2041+ 3 )

Minima 1930-31 (yo= 14' 6,,= +35"

oi + 3

E 1 n 1 2E... 1 R, ~ B - R ~ ~ - ~ ~ Y ~ B - R ~ ! -K IB-R, -

I ! 2 I 3 1 4 1 5 I 6 7 1 8 I 9-

Minima 1935 a,, = 3 19" 6, = + 44'

28035.988 .9471+ 41 - 48l-

039.055 1.0221 + 331 - 47' - 041.059 1.998 + 61 - 46 + 100.979 1.9471 + 321

037.069 ,0451 + 241 - 48'- 038 194 .143'+ 511- 4 8 ' +

073.068 l.059 + 9' 38'- 391- 7

Minima 1937-38 ~ ~ , = 3 5 0 ' so= +do 31 +

3 + 31 +

31 +

20 I 1 8 I

0

Es wurde bisher fur jede Opposition eine konstante Lage des Erospols angenommen und zur Berechnung der Korrektionen a. f verwendet. Wenn diese Voraussetzung nicht zutrifft, und die verschiedenen Werte in den einzelnen Oppositionen deuten eindeutig darauf hin, so werden die B - R, noch weitere systematische Reste enthalten. Urn sie zu erkennen, sind fur die vier Oppositionen mit langerem Beobachtungszeitraum in Tab.4 die Mittel der B - R, fur gerade und ungerade Epochen wiedergegeben. Spalte 5 enthalt unter B - R die restlichen Abweichungen nach Abzug einer Konstanten.

In der Opposition 1901 ist in den B -R kein systematischer Gang zu erkennen, wohl aber ist ein solcher in den ubrigen 3 Oppositionen vorhanden. Naturlich kann man diese Restwellen durch eine veranderliche Lage des Pols zum Verschwinden bringen. Um zu erkennen, ob ein derartiges Verfahren den wirklichen Verhaltnissen entspricht oder als reine Willkur anzusehen ist, mussen alle Ursachen untersucht werden, die moglic-herweise Restgange hervorrufen konnen. Dies wird in Abschnitt KO erfolgen.

7. Darstellung der Amplituden In Abschnitt 5 sind neben den beobachteten Amplituden auch die erozentrischen Breiten dR

mitgeteilt, die fur die betreffende Opposition mit der angenommenen Lage des Pols berechnet sind.

I I

-so -40 -JO -20 -m o +TO +zo +JO +yo + a d R

Abb. 12 Amplituden und erozentrische Breiten

-Da die Arnplituien unter der Annahme der Beziehung (1g)A = 1m50 -om0278 IdB/ dazu benutzt worden sind,auf dem Wege uber die Polkurven die Lage des Erospols zu bestimmen, so kann man die Zuordnung der Am- plituden zu den berechneten Breiten nicht als Beweis fur die Richtigkeit der Polwerte ansehen. Der Vergleich (Abb. 12) zeigt nur, in welchen Fehlergrenzen es gelungen ist, die angenommene Helligkeitsverteilung auf dem Eros und die berechneten erozentrischen Breiten durch obige lineare Beziehung darzustellen.

Die Abweichung eines vollwertigen Normalpunktes ist selten groBer als om1 . Zwischen den Breiten - 22' und - 4 O liegen die Punkte aus dem Jahr 1930 unterhalb, aus 1937 oberhalb der Ampli- tudenkurve. Im allgemeinen sind die ersten Beobachtungen wahrend einer Opposition nicht von der gleichen Sicherheit wie die spateren. Eros bewegte sich immer so, daB die Blickrichtung von sudlichen zu nordlichen Breiten wanderte. Hierdurch mag die grol3ere Streuung der negativen Breiten zum Teil

16

8 9 4 5 5

I 1 I1

4 2


Tabel le 4

-0.007 -0.010 -0.010 -0.007 -0.004 -0.001 -0.001 -0.004 -0.001

2415431 432 436 437 438 439 44' 443 452 484 489 493

2416 227 237 255 266 282 297 313 325 342

3 3 7 4 3 5 7 2 6

Opposition 1901

+0.006 -0.001 -0.002 +0.001 +O.OIO +0.001 + o m 3 -0.004 -0.001

2 2 6 6 6 6 6 5 5 4 4 6

-0d005 + o m 3

-0.013 -0.005 -0.-

-0.007

O.Oo0

-0.010

-0.010 +0.002

O.Oo0 +0.005

- 7" - 6 - 2 - - I

0

+ I + z + 5 + I 2

+4r + 47 + 48

Opposition 1903

+ 28 + 29 +3' + 33 + 35 + 34 + 33 +3I + 27

-0d002 + + od002: -0.009: -0.003

0.000 +0.002

O.Oo0 +0.001

0.000 -0.001 +O.OOI -0.001 +o 002

+odoo2 + -~ -0.005 -0.006 +O.OOI

0.000

-0.005 -0.801 +0.007 + o m 4 +0.006

TD I ~t I D I d~ I B-R

2426 28 1

294 308 3'8 327 336 35 I 358 367 379 390

2428 820 834 841 85 5 864 876 894 906 922 932 939 949 954 958 966 979 991

Opposition 1930-31

- 22'

- 14 - 6

0

+ 6 + I 2 + 2 j

+ 32 + 38 + 45 + 48

Opposition 1937-38

I 0

5

7 16 4 4 3 5

9

'5 8 9 5 3

I 0

21

20

-0.002 -0.001 -0.003 -0.009 -0.008 -0.003 -0.014

-0.006 -0.007

-0.007 -0.009 -0.008 -0.005 +0.004

-0.001

-0.01 I

f0.001

- 33 - 32 - 3' -31 - 32 - 35 - 36 - 33 -23 -15 - 8

+ 5 + 8 + 17 + 27 + 35

+ I

-0901 I + + 0.01 I

+0.002 0.000

-0.002

+0.006

-0.005

+0.004 + 0.003 +0.008

-0.OOI

+ 0.010

+OdOIO+

+0.008:

-0.003 -0.008 -0.009 -0.003 -0.001 -0.004 +O.OOI + 0.003 +0.003

-0,002

0.000

0.000

-0.003 0.000

-0.002 0.000


erklart werden. Abgesehen von den Eeobachtungsfehlem sind die Ursachen der Abweichungen aber wohl hauptsachlich in systematischen Fehlern der Polwerte (dR) infolge Polverlagerungen innerhalb einer Opposition zu suchen.

Irgendein Hinweis darauf, daI3 innerhalb sehr kurzer Zeit reelle Schwankungen in der GroI3e der Amplitude von mehr als 0% auftreten, wurde nicht gefunden. Ich mochte glauben, daI3 die wenigen Beobachtungen dieser Art l) durch atmospharische oder sonstige Einfliisse verfalscht sind.

Aus der guten Darstellung der Amplituden durch eine linear von den Breiten abhangige Be- ziehung folgt, daI3 die Gestalt des Eros ziemlich regelmaI3ig symmetrisch zur Aquatorebene angeordnet sein muI3 und auch das Reflexionsvermogen keine groI3eren Unterschiede zwischen Nord- und Siid- halfte aufweisen kann. Da die Amplitude bereits bei &54' null wird, ist ein Ellipsoid nicht geeignet, den Ainplitudengang zu erklaren.

8. Darstellung der Positionswinkel Opposi t ion 1931

W. H. van den Bos und W. S. Finsen z, haben wahrend der giinstigen Annaherung 1931 zwischen Feb.4 und 16 am groI3en Refraktor des Union Observatory in Johannesburg Eros als langlichen, zeit- weise deutlich eingekerbten oder 8formigen Korper gesehen. Die geschatzte Distanz lag zwischen o'(20 und oY15. Der Positionswinkel nahm rnit der Zeit zu und vollendete einen Umlauf in der Dauer der Rotationsperiode. Die Lage des Eros war so, daB unser Blick auf die nordliche Halfte fiel. Folglich war der Drehungssinn der Rotation direkt.

Da der beobachtete Positionswinkelp, sich rnit der Zeit anderte, kann man sich nicht ein Model1 vorstellen, bei dem die groI3te Achse gleich der Rotationsachse ist. Wir mussen vielmehr annehmen, daI3 die groI3te Achse senkrecht zur Rotationsachse steht oder daI3 sich zwei Korper um ihren Schwer- punkt bewegen. Der Positionswinkel entspricht dann im Helligkeitsminimum der Richtung der Pro- jektion der Rotationsachse an die Sphare, wahrend im Maximum die Projektion der groaten Achse an die Sphare ihre groI3te Ausdehnung hat und senkrecht zur Rotationsachse liegt (wie in Abb. 6 gezeichnet).

Der Positionswinkel im Minimum? =IT ist aus dem Erosort a , 6 und den Polkoordinaten a,, 6, nach (2) zu berechnen. Er kann aber auch, wie es hier zunachst geschehen soll, den Beobachtungen entnommen werden. Zu beliebigen Zeiten ist der berechnete Positionswinkel

wobei v eine Funktion der erozentrischen Koordinaten a und a' ist. Wir haben nach (4) ' $ R = n R + n oder j R = I T , + n , ( 2 5 )

(26) tg n = tg (0 - a) cosec a' . Im Helligkeitsminimum sind n = o und 0 -a = 0, wodurch 0 bei Kenntnis von a und der Epoche

des Minimums bestimmt ist. Fur die Rechnung geniigt es jedoch bei 0 -a stehen zu bleiben. Da van den Bos und Finsen die Lage des Erospols nicht kannten, haben sie zum Vergleich ihrer

beobachteten Positionswinkel einen berechneten Naherungswert des Positionswinkels in folgender Weise gebildet :

pcomp=const +360'. Phase. (27)

p = I 7 + ( 0 - a ) . ( 2 8 )

Dieser Wert soll hier rnit p bezeichnet werden. Man hat dann als Naherungswert fur (25) in unserer Schreibweise

Der Winkel p nimmt linear rnit der Zeit zu und ist in den Momenten der Minima und Maxima rnit p identisch. Zum graphischen Vergleich der Beobachtungen rnit der Theorie ist es zweckmaBig, als Abszisse die Zeit, die Phase oder p aufzutragen und als Ordinaten die Differenzp -tp zu verwenden. Die Zeit des Minimums moge t , genannt werden.

Da Mikrometermessungen des Eros aul3erst schwierig sind und ihre Gute in hohem Grade von den atmospharischen Verhaltnissen abhangt, schien es angemessen, die Beobachtungen der Nacht rnit den besten Bildern fur sich zu betrachten. Es ist dies 1931 Feb.4-5 = JD 2426377. Ferner sind die Beobachtungen von JD 379 wegen der langeren Ausdehnung der Reihe und von JD 388 als der letzten Beobachtungsnacht getrennt untersucht worden.

1) G. Hartwig: Photographisch-photometrische Beobachtungen des Kleinen Planeten 433 Eros. Astron. Nachr.

2, Physical observations of Eros. Astron. Nachr. ~ 4 1 . 3 2 9 (1931). 269.92 ('939).

Astron. Nachr. Bd. 269 3


216 273

Die Epochen der Minima wurden im Anschlul3 an die Helligkeitsbeobachtungen bestimmt, indem B -Rl der Tab. 3 entnommen und nach (24) tm er- __ _ _ -

- Epoche . I - R, I B-R, I B = f m halten wurde (s. nebenstehende Tabelle). roo648 2426377.246 I +od131 1 377.377 Dann ist

360" P

666 1 379.223 1 +a131 379.354 (t-t,,,)=1639?3913 (t-t,,,) . (29) 748 1 388.226 / +O I23 1 388.349 @-a=--

T wurde aus (26) zunachst mit der Breite dR= +45", die aus der Lage Pol 2 folgt, berechnet. Es zeigte sich aber, dal3 d= +40?5, Pol 3 entsprechend, eine bessere Darstellung der Beobachtungen ergibt. Daher wurde dieser Wert gewahlt. Von d , der Neigung der Erosachse gegen die Tangential- ebene, hangt die Amplitude der Kurve p -? ab.

Man kann nun nB als (gewichtetes) Mittel der9B-n bestimmen. Die so abgeleiteten Positions- winkel der Rotationsachse des Eros sind fur das Mittel von JD 377 und 379: 295" und fur J D 388: 286'. Der Wert des letzten Tages ist unsicherer, da er nur auf den 5 Einstellungen der Epoche IOO 748 beruht, denen die Reobachter das Gewicht I und $ gegeben haben (Tab 5)

236: 1 209 295 267

Tabel le 5

100 648

649

650

100 665

666

0.014

0 I00 I 99 0.016 1 141 0.018 j 145 0.033 , 169 0.035 , 172 0.045 189 0.054 204 0.071 I 231 0.077 I 241 0.090 I 263 0 . 9 2 266 0.016 321 0.018 ~ 325

JD 2421 0.071 ~ 231 0.077 241

0.084 253

0.004 302 0.043 5 0.046 10 0.058 30 0.063 38 0.99 97

0.082 ~ 249

0.001 I 297

177 292' 300: 105 107 '53 161 185 181 I93 201 222

235 254 251 296 305 179 237 238: 248 243 266 275 8: 9

19 103

I 0

324[ 328 87 91 152 I57 I 80 182 I94 204 223 230 25 I 255 332 337

223

230 237 241 298 306

'5 28 34 89

I2

-32' - 28 + 18 + 16 + 4 + 5

+ I

- 1 - 1

- 3

+ j + 3 - 4 - 36 - 32

+ I 4 + 8 +I1 + 2 - 32 -3' - 4 - 6 - 18 - I5 + 14

-

Epoche IOO 666

667

668

100 747

748

749

750

- _I

t--tm od103 0.006 0.008 0.023 0.029 o 071 0.075 0.080 0.084 0.105 0.108 0 033 0.037 0.041

0.064 0.067

0.105 o 003 0.054 0.058 0.071 0.075 0.079 0.103 0.109

~

0. I02

0.002

__ 'B -PR + 16"

-15 - 29 - 28 - 6 + 4 + '5 +I1 + 4 + 5 - 24 + 9

-

- 1

0

+ 33 + 27 + 28 + 29 + 49 - 4 - - 2 + 6

0

+ 69 + 24 + I 1

= .ewicht -

' 1 2

' 12

'la '14

'14 I I I

' 12 I 0

0 0

In Abb.6 L--id die Erosorte ,,enauer ihre Gcgenpunkte an der Sphare) und die grol3ten Kreise eingetragen, die den Positionswinkeln der Rotationsachse entsprechen. Auf den beiden gestrichelten Kurven mu13 der Erospol liegen, damit die beobachteten Positionswinkel dargestellt werden. Der Schnittpunkt (M in Abb. I 5) beider Kurven befriedigt samtliche Beobachtungen. Er liegt dicht bei Pol 3. Die Tab. 6 enthalt die aus den Polkoordinaten berechneten Positionswinkel, wenn Pol 3 und

Pol Watson zugrunde gelegt werden. Man erkennt folgendes : Pol Watson weicht gegeniiber den Beobachtungen urn 81", bzw. 87" a b und kann

JD I UB 1 ~ I R also die Mikrometermessungen in keiner Weise darstellen. Pol Zesse- witsch ist ein illittel zwischen dem besten Pol fur die Positionswinkel

2426 378 1 295" I I 16" (M nahe Pol 3) und Pol 2, der die beste Darstellung des Amplituden-

Die Giite der Darstellung der Positionswinkel ist in den einzelnen Nachten sehr verschieden und, wie zu erwarten war, von den Beobachtungsbedingungen stark abhkngig. Eine ganz erstaunlich gute Ubereinstimmung zeigt die bei bester Bildbeschaffenheit beobachtete Epoche IOO 649 (ungerades Minimum -gerades Minimum, 00 im oberen Teil der Abb. 13). Die Differenzen pB -pR (Tab. 5)

Tabel le 6 . ___.___

- _ _ pol pol w

388 1 286 I3 und Phasenganges aufweist .


zeigen eine mittlere Abweichung von weniger als 3'. Das ist fur ein Objekt von oyz Langsausdehnung eine ganz verbluffende Ubereinstimmung. Erheblich sind dagegen die Abweichungen bei q~ = 31 5O-32so, und zwar in den beiden Epochen IOO 648 und IOO 650.

-q * .

JD 24 26 379 +zoo - .

0

0 . 0 0

-M - . M * m I I I I I I I , i d m

a 02 0.04 006 a08 0.1 t - t , Abb. 13

Darstellung der 193 I Feb. 4-5 und 6-7 beobachteten Positionswinkel. gerade,uoo ungerade E p o c h e n : p ~ - 9 . Kurven:p~--p,

Weniger gut ist die Darstellung fur JD 379. Dies ist durch die atmospharischen Verhaltnisse hinreichend erklart. Um das gesamte Beobachtungsmaterial zu erschopfen, ist schlieI3lich noch in der graphischen Darstellung, die van den BOS und Finsen selbst von ihren Beobachtungen gegeben haben (Astron. Nachr. 241.333), die neu berechnete Kurvep, -'p eingetragen worden. In aller Strenge hatten hierbei sich von Tag zu Tag etwas verschiebende Kurven eingezeichnet werden mussen, da sich der Positionswinkel, der zur gleichen Phase gehort, mit der Zeit andert. Infolgedessen fallt in Abb. 14 das Helligkeitsminimum fur JD 3 j7 auf 9 = 294:s und fur J D 388 auf = 289". Die eingezeichnete mittlere Kurve geht bei 9 = 292O durch die Nullachse.

4 m7 % m0 7 5 % : P-Y ' 1 ' I ' ' I ' 1 ' 1 ' I ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' I ' ' 1 " I I ' I ' ' 1 ' I ' 1

+,joo Gewichf:

Abb. 14 Darstellung aller 1931 Feb.4-16 beobachteten Positionswinkel. . . ~ B - V , Kurve: p ~ - p :

Es besteht kein Zweifel, dafi die unter der Annahme von Pol 3 berechnete Kurve zwischen = 0'

und 290' eine verbesserte Darstellung ergibt. Die Abweichungen um 320°, die ja bereits in der Dar- stellung von JD 377 auftauchen, mogen vielleicht in wirklichen Unregelmafiigkeiten der Figur oder des Reflexionsvermogens langs der groRten Achse des Eros ihren Ursprung haben.

Das Ergebnis, dafi die neubestimmte und mit dem Amplituden- und Phasengang durchaus vertragliche Lage des Erospols die beobachteten Positionswinkel so uber Erwarten gut darstellt, bedeutet eine glanzende Rechtfertigung der vielfach mit grofier Skepsis aufgenommenen Beobachtungsergebnisse von van den Bos und Finsen.

0 p posit i on 1937-38 Die Beobachtungen 1931 hatten bei einer Entfernung des Eros von 0.18AE eine mittlere ))Distanzr

von oY17 ergeben. Irgendeine Aussicht, den Eros langlich zu sehen, besteht daher nur in den Opposi- tionen mit besonders grofier Annaherung des Eros. 1938 Januar betrug die kleinste Entfernung des

3"


Eros von der Erde 0.21 AE. Die einzigen Beobachtungen, die mir bekannt geworden sind, wurden etwas fruher in Babelsberg erhalten.

Nach einer personlichen Mitteilung von Herrn J. Dick wurde Eros 1937 Okt. 29, Nov. 2 2 und Dez. 15 rnit einiger Wahrscheinlichkeit langlich gesehen. Die beiden ersten Beobachtungen sind unsicher, dagegen ist Dez. 15 die im Laufe von AnschluS-Messungen erkannte Langlichkeit auch von E. Wahl bestatigt worden. Da genaue Zeitangaben fehlen, lassen sich die gemessenen Positionswinkel nicht rnit den berechneten Werten vergleichen. Auf Grund der Entfernungen hatte man folgende Langen fur Eros erwarten sollen: o'I07, O!IO und or12 Die Kleinheit dieser Werte laSt den geringen Erfolg der Beobachtungen verstandlich erscheinen

9. Ableitung der Rotationsperiode In den vorhergehenden Abschnitten ist ohne nahere Begrundung mit einem bestimmten Wert

fur die Rotationsperiode gerechnet worden. Man kann die Darstellung der Phasen und Positionswinkel zwar als einen Beweis fur die Richtigkeit der Periode betrachten - und in der Tat ist der Periodenwert ja auch durch mehrfache Naherungen so bestimmt worden, daR die Darstellung der Phasen moglichst gut wird - aber es bleibt noch zu prufen, welche Zuverlassigkeit dieser Wert beanspruchen kann

1/2P=odIo$ Pol . .

2426 281 294 308 318 327 3 36 35 I 358 367 379 390

+OdOIO + 0.006 +0.002

0.000

-0.002 -0.005 -0.001 to.oo4 + 0.003 +0.008 + O . O I O

Die Schwierigkeit in der Ableitung der Rotationsperiode besteht darin, daS die Lagekorrektionen von der Kenntnis der Polkoordinaten in so hohem Grade abhangen, daB die Periode aus einer Oppo- sition nicht mit der Sicherheit bestimmt werden kann, die zur Uberbruckung der Zeit zwischen den Oppositionen notwendig ist. Naturlich wird man zunachst versuchen, zwei aufeinanderfolgende Oppositionen zu verbinden. Wir haben folgende Differenzen :

1901-1903: 7500 Epochen; 1931-1933 8700 Epochen; 1935-1937 8300 Epochen. Da &P=O~IIO ist, darf ein extrapolierter Wert keine groSere Abweichung als etwa &odo40

von der wahren Epoche ergeben, wenn die Zuordnung sicher sein SOH. Das hei5t, iPmul3 eine Genauig- keit von od040 : 8000 = & odooooog erreichen. LaSt sich ein Kriterium finden, das eine Unterscheidung zwischen geraden und ungeraden Perioden ermoglicht, so ist die erforderliche Genauigkeit zur Ver- bindung von zwei Oppositionen & odoooo~o der Periode. Leider ist eine solche Unterscheidung weder in der Opposition 1903, noch 1933 und 1935 moglich.

Die Darstellung der Phasen in :den Jahren 1901 und 1930-31 Tabel le 7 ~ -. ist je nach den gewahlten Polkoordinaten gleich gut bei Werten von

QP zwischen OdIO975 und od10980. Die Differenz odoooo50 betragt mithin das Zehnfache des zulassigen Betrages. Als Beispiel seien fur 1930-31 neben die friihere Darstellung (Tab.4) die B - R gestellt, die rnit Pol Watson (aO=316O, so= + 51") und der Epochenformel

B = JD 2426 266.456 + od1og754E

797 1 754

B-R Watson

+ odo03 +O.OO1

0.000 ~- 0.000

-o,ooI erhalten werden (siehe Tab. 7). -0.003 Man ware nach einem Vergleich der Darstellungen geneigt, den + o.oo3 kleineren Periodenwert vorzuziehen, wenn nicht gewichtige Grunde -o.ooI gegen diese Wahl sprechen wurden. Es sind dies weniger der Ampli- + 0.001 tudengang als vielmehr die beobachteten Positionswinkel und die

O.Oo0 Unmoglichkeit einer Verbindung mit anderen Oppositionenl).

O.Oo0

Glucklicherweise zeigt die Opposition I 937-38 einen bedeutend geringeren EinfluR der Pol- koordinaten, so daB sich der Wert von 3P zwischen die Grenzen od10978 und od10981 einengen 1aSt. Da bei gleichem Ort des Eros an der Sphare (Schleifenpunkt der Bahn) und konstantem Pol die Lage- korrektion dieselbe ist, gibt die Verbindung 1937 Okt. 8 und 1938 Jan. 3 die Periode unabhangig von den angenommenen Polkoordinaten. Leider sind gerade aus diesen Zeiten wenig Beobachtungen vorhanden. Sie wurden fur +Pod109785 ergeben. Allerdings steckt hierin der EinfluB einer inoglichen Ver- lagerung des Erospols, der aber nicht so groB ist, als daB man nicht

als brauchbaren Naherungswert ansehen konnte. Bevor an die Verbindung der Oppositionen gegangen wurde, war es erwunscht, ein geeignetes

Kriterium zur Unterscheidung gerader und ungerader Epochen zu bekommen. Die Verschiedenheit

iP=odI0979 f OdOOOOI

l) Siehe auch W. Zessewitsch: On the rotation of Eros. The Observatory 60.291 (1937)


15 804 17061.645 +0.088 I

IOO 104 ' 26317.506 0.000 ~

115 756 28036.046 1 -0.014 124 068 ~ 28 948.699 I 0.000

53 747 21 227.668 +0.055 1 108 884 27281.541 +O.OII

in der Tiefe der Minima lie13 sich nicht verwenden. Vielmehr zeigte es sich, da13 dieser Unterschied nicht besonders sicher beobachtbar ist, ferner daB er nur in bestimmten Breiten und rnit verschiedenem Vorzeichen auftritt 1).

Ein sehr gutes Kriterium ist fur Breiten zwischen -35' und + 20' die Differenz in den Zeiten der Minima gegenuber einer rnit +P fortschreitenden Formel. Durchweg werden die geraden Epochen etwas fruher, die ungeraden Epochen etwas spater beobachtet (Korrektion K, Tab. 9). Hiernach lieBen sich die Minima der Oppositionen 1901, 1930-31 und 1937-38 rnit Sicherheit geraden und ungeraden Epochen zuordnen.

Nunmehr wurde versucht, die Oppositionen 1930 und 1938 so zu verbinden, da13 auch die B -R der zwischenliegenden Oppositionen I 933 und 1935, denen hier entscheidende Bedeutung zukommt, dargestellt werden. Es gelingt dies innerhalb der Grenzen von f odoooo3 um den obigen Naherungswert nur durch +P=od10979774 (Tab. 8). Der Versuch, rnit dieser Periode nun auch den Zeitraum 1901-30 darzustellen, hat aber keinen Erfolg. Jedoch kann man rnit einiger Sicherheit annehmen, da13 die richtige Numerierung der Epochen nunmehr erreicht ist. Voraussetzungen sind allerdings, da13 die Periode naherungsweise konstant und die Anwendung des Kriteriums zur Unterscheidung zwischen geraden und ungeraden Epochen berechtigt ist. Beides ist wahrscheinlich.

In Tab. 8 sind fur die einzelnen Oppositionen Normalwerte der Phasen aufgestellt, denen naturlich ein recht unterschiedliches Gewicht zukommt. Die Normalwerte sind auf die Normallage und auf das Mittel von geraden und ungeraden Epochen bezogen. Die B - R hangen von der Reduktion auf den mittleren Pol und von der Wahl der Polkoordinaten ab. Der Einflul3 der Reduktionen la& sich aus den Differenzen der Werte a*f, die in Abschnitt 5 mitgeteilt sind, abschatzen. Zu den Zeiten, in denen d = o ist, hangt die GroI3e a,-f nicht von den besonderen Annahmen uber die Lage des Pols ab; alle berechneten Phasenkurven schneiden sich beim Durchgang der Erde durch die Aquatorebene des Eros in einem Punkt (Abb. 3, 7 und 11). Dies ist bei der Aufstellung der Normalwerte berucksichtigt worden.

Tabel le 8 __ ~- ...- ~ ~~

+ o . d +0.003 + 0.003 +0.009 +o.m3: -0.001

0.000 , -0.011 (-16 bis 0) 0.019 + O O ~ O , + O . O O ~

+O.OOI -0.011 (Pol2: 0) ' -0.023 +0.024 I ~0.010 (i I bis + 13) o 000 1

B-R Jahr I Epoche I Norp ~ 'lzP=0d1 og.....

79774 I / 79675 1 79685 ~ ~ _ _ _ I 79695 ~ _ _ I894 I 896 1901 1903 I905 1916 1930 I933 '935 1938

~ ' +odo10: } (Maxima) -0.004

odom

-22 413 ' -14 688 1 + I 046 '2415441.259 +odog7 odooo I -0.00z (-5 bis 0)

8 554 16265.617 +O.og4 I / +0.004 I f0.002 (-4 bis +9) +o.003

In den drei letzten Darstellungen der Tab.8 ist ~ P S O gewahlt, daI3 zunachst 1901 und 1930, dann t(1901 + 1903) und g(1930 + 1938) und schlieBlich 1901 und 1938 streng dargestellt werden. Die mittlere Darstellung enthalt in Klammern die Grenzen, innerhalb deren die B - R in der betreffenden Oppo- sition schwanken. Der zugehorige Wert von 4P ist der wahrscheinlichste, doch wird man eineunsicher- heit von einer Einheit der 7. Dezimale zulassen mussen. Man hat also fur die siderische Rotationsperiode des Eros:

3P=od10979685 fodoooooo~o P=od2195937 ~odooooooz, oder P= 5h~6m~2T896 ioS017. DaI3 der bisher haufig verwendete Wert von K. Graff2) &P=od109796 rnit dem hier abgeleiteten

so nahe iibereinstimmt, ist dem geringen Gang der Lagekorrektion wahrend seines Beobachtungs- zeitraumes 1930-3 I zu verdanken. Der einzige Periodenwert, der rnit Beriicksichtigung der Lage- korrektion aus der gleichen Opposition bestimmt wurde, stammt von Zessewitsch3) und ergab in befriedigender Ubereinstimmung aP= od1097971.

Der EinfluB der dnderungen in der Richtung Erde-Eros kann, wie man am Gang der Phasen- kurven sieht, besonders einige Monate vor und nach dem Oppositionsdatum betrachtlich werden und den Unterschied zwischen der siderischen und der momentan beobachteten Periode auf 1oS oder odooo~ ansteigen lassen.

_ _ l) Aus Abb.4 der Untersuchung von M. Beyer ersichtlich. Astron. Nachr. 267.49 (1938). *) Photometrische Beobachtungen des Eros auf Mallorca. Mitt. Wiener Sternw. Nr. I (1931). 3) Die Bestimmung der Winkelelemente der inneren Bewegung von Eros. Astron. Nachr. 246.447 (1932).


10. Bewegungen der Rotationsachse In Abb. 15 sind die Lagen des Erospols eingetragen, die fur die verschiedenen Oppositionen auf

Grund der beobachteten Amplituden, Phasen und Positionswinkel abgeleitet worden sind. Fur einige

Abb. 15 Lage des Erospols zwischen 1901 und 1938 Wahre Pole: 9 und Jahreszahl. Mittlere Pole: W = Watson, KS = Krug und Schrutka-Rechten- stamm, R=Rosenhagen, St=Stobbe. POlI930-3 I : Z = Zessewitsch, M = Mikrometerrnessungen. ---A: Prazessionsbewegung um den Pol der Bahnebene. Kreis: Nutationsbewegung um den

mittleren Pol.

Oppositionen geben die kingezeichneten Kurvenstucke Richtung und Gro13e der moglichen Unsicherheit in der Lagebestimmung des Erospols an. In den iibrigen Oppo- sitionen ist der einzelne Punkt zwar der wahrscheinlichste Ort fur den Pol, jedoch genugen die Beobachtungen nicht fur eine sichere Festlegung. Naheres uber die Grenzen der Verschiebungsmoglichkeit ist in Abschnitt 5 envahnt. Als die beste mittlere Lage des Erospols hat man den Punkt St rnit den Koordinaten

a0'=35O0 so'= +38O. Es unterliegt keinem Zweifel, daB dieser mittlere Pol

die einzelnen Oppositionen nicht befriedigend darstellen kann. Ebenso wenig sind hierfur die Pole von Rosenhagen, Krug und Schrutka-Rechtenstamm und am wenigsten der Pol von Watson geeignet. Man muB also eine Verlagerung der Rotationsachse von Opposition zu Opposition annehmen. AuBerdem weisen die Restabweichungen in den Amplituden und Phasen wahrend der langeren Beobach- tungszeitraume der Oppositionen 1903,1930-31 und 1937-38 darauf hin, daB auch in diesen Zeiten die Bewegung des Erospols merklich gewesen ist.

Man wird bei einem rotierenden Korper zunachst an eine Prazessionsbewegung der Achse denken. Die Koordinaten des Pols der Bahnebene sind nach den Elementen des Planetenhefts (Kleine Planeten, Jahrgang 1939) :

a r v = 2 5 2 ? 3 aP= +59P3. Eine Prazessionsbewegung um den Pol der Bahnebene wurde langs der gestrichelten Kurve der

Abb. 15 verlaufen. In den beobachteten Lagen der Pole ist keine solche Bewegung angedeutet. Das stimmt rnit den Abschatzungen von Krug und Schrutka-Rechtenstamm 1) uberein, nach denen eine Prazession mit einer Periode von weniger als zoo0 Jahren nicht zu erwarten ist. Denn im Verhaltnis zur Erde steht bei Eros einer sehr vie1 groBeren Massenanhaufung in der Aquatorebene eine groBere Entfernung von der Sonne und eine kleinere Rotationsperiode gegenuber. Auch ist zu bedenken, daB der groBte Anteil der Prazession und Nutation der Erde vom Mond herriihrt.

Eine Nutationsbewegung miil3te im Sinn des Kreises erfolgen, der rnit zoo Radius um den mittleren Pol beschrieben ist. Die Verteilung der Pole wiirde auch einen Radius von 30' und mehr zulassen. Leider sind die sicheren Beobachtungen zu sparlich verteilt, als daB man die Natur der Pol- bewegung erkennen konnte. Wahrscheinlich ist eine reine Nutationsbewegung nicht vorhanden ; denn ware sie es, so muBte sie sich bereits innerhalb der Oppositionen 1930-31 und 1937-38 widerspiegeln. Wenn man aber den Versuch macht, die Restabweichungen der Phasen und Amplituden Zuni Ver- schwinden zu bringen, wird man auf oszillatorische Schwankungen des Pols rnit einer Periode von 60d-80~ und einem Radius von IO' - -~O~ um den jeweiligen besten Pol gefuhrt.

Es sieht also so aus, als ob die Rewegungen der Rotationsachse einen sehr komplizierten Charakter besitzen. Angesichts der unsymmetrischen Figur und der groBen Neigung der Achse ist ein solches Verhalten auch nicht unwahrscheinlich.

Der mittlere Erospol hat vom Pol der Bahnebene einen Abstand von 61'. Die Neigung des Eros- aquators gegen die Bahnebene kann aber sogar 90' erreichen. So diirfte 1905, 1933 und 1931 in der Nahe von Pol M die Rotationsachse nahe in der Bahnebene gelegen haben.

Man kann sich weiterhin vorstellen, daB die Rotationsachse nicht rnit einer Haupttragheitsachse zusammenfallt. Dann werden, wie es bei der Erde durch die Polhohenschwankungen angezeigt wird. die instantanen Drehungsachsen im Eroskorper wandern. Der Untersuchung der Drehmomente, die bei einem derartigen dreiachsigen Korper auftreten, sol1 eine spatere Arbeit gewidmet werden *).

l) loc cit. S. 1 2 , siehe F u h o t e 9, S.Z. 2) Harvard Coll. Obs. Circ Nr.419, S.9: Hinweis auf unveroffentlichte Untersuchungen von E. W Brown


Hier sei nur darauf hingewiesen, daB wir stets die Rotation um die instantane Drehungsachse beob- achten. Die so bestimmte Rotationsgeschwindigkeit braucht aber keine Konstante zu sein, da nur das Gesamtdrehmoment konstant ist. Die Bewegungen der Drehungsachse relativ zu den Haupttragheits- achsen konnen wohl kaum aus den Beobachtungen abgeleitet werden. Sie konnen aber in gewissem Grad bei angenommener Massenverteilung theoretisch erschlossen werden.

11. Ursachen der Restfehler Eine Folge unserer Unkenntnis der Bewegungen der Rotationsachse ist die Schwierigkeit der

richtigen Reduktion der Rotationsphasen, die ja (Abschn. 2) auf eine die Achse enthaltende Ebene bezogen werden. Bewegungen der Achse verlagern die Bezugsebene und enthalten im allgemeinen eine Komponente, die eine Drehung bedeutet und entsprechend berucksichtigt werden miiBte. Die Ab- weichungen der Phasenmittel der einzelnen Oppositionen sind daher wahrscheinlich mindestens zum Teil durch die Anwendung der Naherungsformeln (9) und (10) bedingt. Die Zuordnung der Epochen wurde sich ubrigens nicht andern, wenn die Lagekorrektion stets rnit den Koordinaten des mittleren Pols berechnet worden ware.

Ein Teil der restlichen B - R der Phasen kann seine Ursache in Abweichungen der Gestalt des Eros von dem vorausgesetzten Model1 haben. Es wurde eine Symmetrie zur Aquatorebene in der Form angenommen, daB langs eines Erosmeridians die gleiche Rotationsphase beobachtet werden sollte. 1st dies in Wirklichkeit nicht der Fall, so miissen die B - R eine Abhangigkeit von d aufweisen. Die Rest- fehler der Tab.4 zeigen etwas Derartiges, da fast alle R - R zwischen d = -5" und -25" positiv und zwischen d= -30" und -36" negativ sind. Das Material erstreckt sich aber iiber zu wenige Oppo- sitionen, als daB man rnit Sicherheit behaupten konnte, die Ursache liege in der Reziehung zur erozentrischen Breite.

SchlieBlich ist ein. EinfluB des Beleuchtungs-Phasenwinkels in Verbindung rnit einer Unsym- metrie des Eros langs den Aquatorachsen denkbar. Je nach der Stellung des Eros in bezug auf Erde und Sonne bleibt ein gewisser Teil der uns zugewandten Seite unbeleuchtet. Unsymrretrien der Ober- flache, z. B. Verdickungen der Achsenenden, tragen zum Lichtwechsel in dem Grade bei, wie sie durch den Phasenwinkel bedingt Sonnenstrahlung erhalten und reflektieren konnen. Die Lichtkurve wird also bei gleichen erozentrischen Koordinaten a und d eine Abhangigkeit vom Phasenwinkel aufweisen. Dies mag sich sowohl in den Amplituden wie in den Phasen auswirken. Auch hier ist das Beobach- tungsmaterial zu diirftig, um den Effekt nachweisen zu konnen.

12. Rotations- und Lichtwechselelemente Bezeichnet man den Winkel, den die Richtung der groaten Achse des Eros (oder die Verbindungs-

linie zweier Komponenten) mit einer Bezugsebene bildet, mit 0 und definiert die Bezugsebene dadurch, daB sie die Rotationsachse des Eros (oder die Senkrechte auf der Bahnebene) und den Punkt r, d. h. den Schnittpunkt von Erd- und Erosaquator enthalten soll, so ist

360" P 63 = (t - to) ~

t , ,=JD 2415326.413 + n P P=0?2195937.

% = I , 2 , 3.'.

Sind a und d die erozentrischen Koordinaten der Erde, so erscheint Eros im Minimum, wenn 0 -a = 0" gerade Epoche

Fur die Beobachtungszeit t , des Minimums hat man

0 -a = 180' ungerade Epoche.

i,,, =E, + 4P.E + Lichtzeit + Lagekorrektion ( a - f ) +system. Korrektion K tm = JD 2415326.413 +0?10979685E +0?005774 +o.o0061~'~a+R

Die Korrektion K ist in Tab. 9 der folgenden Seite gegeben.

Die mittlcre Lage des Erospols ist a"' ' 3 5 0 " 6,' = + 38" ,

u und d erhalt man nus den Gleichungen (I) , in denen &, 6 die Koordinaten des Erosortes und 7 , ) 6, die Koordinaten des mittleren oder wahren Erospols bedeuten. Bei Kenntnis der wahren Lage des Eroqpols ist die Drehung der wahren Rezugsebene relativ zur mittleren zu beriiclrsichtigen, indem


der Lagekorrektion eine Reduktion 2.f z. B. nach Formel (10) hinzugefugt wird. Man hat dann fur die Lage korrektion a,, ,-f=(a+ii)*f.

Tabel le g + ungerade Epoche - gerade Epoche

- 0.0026 0.004 +20 1 0.0018 2; 1 0.0020 ' 0.0046 0.oOog - 2 0 I 0.0019 I 1 0.0042 I iz 1 O.oo00 -15 1 0.0026 +IO 0.0038 0.0000

Fur die Opposition 1940 ist eine Vorausberechnung der Zeiten der Minima und aller fur die Beobachtung notwendigen Daten in den Astron. Nachr. 269.99 (1939) gegeben worden.

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Der Lichtwechsel des Eros Teil II: Die Rotation des Eros und ihr Einfluß auf den Lichtwechsel