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In Vakuum In Materie Zusammenfassung

Der Maxwell'sche Spannungstensor

in Vakuum und Materie

Benjamin Fries

26. April 2011

Benjamin Fries Hauptseminar Optische Kräfte und deren Anwendungen, KIT

Der Maxwell'sche Spannungstensor in Vakuum und Materie


Verknüpfung mit vorherigem Vortrag

Grenzfälle der Gröÿenordnung bei der optischen Pinzette:

Rayleigh-Regime: Punkt-Dipol (Objekt sehr klein gegenWellenlänge)

1

1Gra�k: A. Langendörfer: Arbeit zur Zulassung zum ersten Staatsexamen, S. 13 (2009)




Verknüpfung mit vorherigem Vortrag

Strahlenoptik (Objekt sehr groÿ gegen Wellenlänge)

2

In diesem Vortrag exakte Berechnung von elektromagnetischenKräften für jede Gröÿe der Teilchen (relativ zur Wellenlänge)

2Gra�k: A. Ashkin: Biophys. J. 61, 569 (1992)




Gliederung

1 In VakuumSpannungstensor im AllgemeinenMaxwell'scher SpannungstensorSpannungstensor, Impuls und DrehimpulsEnergie-Impuls-Tensor

2 In MaterieProblemstellungAbraham-Minkowski-KontroverseBeispiel-KraftdichtenAu�ösung des Dilemmas

3 Zusammenfassung




Spannungstensor im Allgemeinen

Funktion

Allgemeiner Spannungstensor aus Kontinuumsmechanikbekannt

Beschreibt Kraft auf einen bestimmten Punkt, zum Beispiel imFestkörper

σ =

σxx σxy σxz

σyx σyy σyz

σzx σzy σzz

=

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33




Spannungstensor im Allgemeinen

Bedeutung

3

σij ist die Spannung (Kraft pro Fläche) in Richtung xj auf dieFläche mit Normalenrichtung xi .

Diagonalelemente sind Druck- und Zugspannungen.

Nebendiagonalelemente sind Scherspannungen.3Gra�k: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Stress_transformation_3D.svg




Maxwell'scher Spannungstensor

Funktion

Mechanische Spannung auf eine Ladungs- und Stromverteilungdurch ein elektromagnetisches Feld (E, B)

Vorschau

Tij = ε0EiEj +1

µ0BiBj −δij

1

2

(ε0E

2+1

µ0B2

)





Herleitung

Lorentzkraft auf eine Punktladung q mit Geschwindigkeit v:

F= (E+v×B)q

Lorentzkraft auf eine Ladungs- und Stromverteilung im Volumen V :

F=∫V

(E+v×B)ρdV =∫V

(ρE+ j×B)dV

Kraft pro Volumen (Kraftdichte) also:

f = ρE+ j×B





Maxwell-Gleichungen

∇ ·E =1

ε0ρ (1)

∇×E = −∂B

∂ t(2)

∇ ·B = 0 (3)

∇×B = µ0j+µ0ε0∂E

∂ t(4)





Herleitung

Mit den Maxwell-Gleichungen (1) und (4) ρ bzw. j ersetzen:

f =

=ρ︷︸︸︷ε0 (∇ ·E)E+

=j︷︸︸︷(1

µ0∇×B− ε0

∂E

∂ t

)×B

Produktregel:

∂

∂ t(E×B) =

(∂E

∂ t×B

)+

(E× ∂B

∂ t

)Mit Maxwell-Gleichung (2) und umstellen:

∂E

∂ t×B=

∂

∂ t(E×B)+E× (∇×E)

Oben einsetzen ...Benjamin Fries Hauptseminar Optische Kräfte und deren Anwendungen, KIT




Herleitung

... und wir sind hier:

f = ε0 [(∇ ·E)E−E× (∇×E)]+1

µ0[ −B× (∇×B)]

− ε0∂

∂ t(E×B)

Ergänze symmetrischen Term (∇ ·B)B dank ∇ ·B= 0.

Verwende für E und B je

E× (∇×E) = 1

2∇(E 2)− (E ·∇)E.





Herleitung

Damit neue Schreibweise der Kraftdichte f:

f =ε0 [(∇ ·E)E+(E ·∇)E]+1

µ0[(∇ ·B)B+(B ·∇)B]

− 1

2∇

(ε0E

2+1

µ0B2

)− ε0

∂

∂ t(E×B)





Herleitung

Kraftdichte f lässt sich schreiben mit Divergenz von T und demPoynting-Vektor S= 1

µ0(E×B):

f = ∇ ·T− ε0µ0∂S

∂ t

(Dabei ist der Vektor (∇ ·T)j ≡ ∑i=1,2,3

∂iTij .)





De�nition

Zur Vereinfachung Einführen des Maxwell'schen Spannungstensors(Maxwell stress tensor) T:

De�nition

Tij ≡ ε0EiEj +1

µ0BiBj −δij

1

2

(ε0E

2+1

µ0B2

)︸︷︷︸=w ,Energiedichte

⇔ T≡ ε0E⊗E+1

µ0B⊗B−w1





Gesamtkraft

Gesamtkraft auf eine Ladungsverteilung in V :

F=∫V

fdV =∫V

∇ ·TdV − ε0µ0

∫V

∂S

∂ tdV

=∮∂V

T ·dA− ε0µ0d

dt

∫V

SdV

Bei optischen Frequenzen ist nur das zeitliche Mittel 〈S〉 relevant �das ist zeitlich konstant. Die Kraft wird also nur durch denSpannungstensor T auf der Ober�äche ∂V bestimmt.




Spannungstensor, Impuls und Drehimpuls

Impulserhaltung, integral

2. Axiom von Newton: F= dpmechdt

⇒∮∂V

T ·dA=dpmech

dt+ ε0µ0

d

dt

∫V

SdV

≡ d

dt

∫pmechdV +

d

dt

∫pemdV =

d

dtpges

mit Impulsdichten pmech/em für mechanischen Impuls der Ladung und

elektromagnetischen Impuls des Feldes.

Neuigkeit

Elektromagnetisches Feld hat nicht nur Energie, sondern auchImpuls.





Impulserhaltung, di�erentiell

Di�erentielle Form der Impulserhaltung

∂

∂ t(pmech+ pem) = ∇ ·T

Dies ist eine Kontinuitätsgleichung wie

für Ladung mit der Stromdichte j und

für Energie mit dem Poynting-Vektor S (Energie�ussdichte).

T ist also die Impuls�ussdichte (aber Tensor, weil Impuls Vektor).





Drehmoment und Drehimpuls

Im einfachsten Fall heben sich die angreifenden Scherkräfte(Nebendiagonalelemente von T) gegenseitig auf. Mangelt es demSystem aber an Symmetrie, liegt insgesamt ein Drehmoment an.

Neuigkeit

Elektromagnetische Felder besitzen auch Drehimpuls mitDrehimpulsdichte

Lem = r× pem = r× [ε0 (E×B)] .

Selbst völlig statische Felder können einen Impuls oder Drehimpulsbesitzen, wenn (E×B) 6= 0.





Beispiel-Experiment

Drehimpulsübertragung durch e�ektiv doppelbrechendeGitterstruktur (Video)

4

4Gra�k: S. L. Neale et al.: Nature Materials 4, 530 (2005)





Beispiel-Experiment

5

5Gra�k: S. L. Neale et al.: Nature Materials 4, 530 (2005)




Energie-Impuls-Tensor


Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie:Maxwell'scher Spannungstensor (Tij) in (Tαβ ) enthalten


(Tαβ ) =

w S1

cS2c

S3c

S1c−T11 −T12 −T13

S2c−T21 −T22 −T23

S3c−T31 −T32 −T33

mit der Energiedichte w ,

dem Poynting-Vektor S und

der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c





Energie-Impuls-Erhaltung

Übrigens:Die Energie-Impuls-Erhaltung lässt sich damit schreiben als:

∇αTαβ = 0




Problemstellung

Einführung

In vielen Fällen kann man Gleichungen vom Vakuum in Materieüberführen, indem man nur ε0 durch ε0εr ersetzt (dasselbe mit µr ).

Beispiel

Kapazität eines Plattenkondensators:C = ε0 ·A/d → C = ε0εr ·A/d

Beim Impuls nicht so einfach, weil sehr grundlegende Gröÿe




Problemstellung

Mikroskopische Maxwell-Gleichungen

Vorhin: Herleitung von T mit den Maxwell-Gleichungen inVakuum

Maxwell-Gleichungen in Vakuum gelten für groÿe und kleineLängen

In Materie müsste man aber jede einzelne Ladung einbeziehen:zu kompliziert.




Problemstellung

Makroskopische Maxwell-Gleichungen

Durch Mittelung über viele Atome entstehen dieMaxwell-Gleichungen in Materie.

Diese sind deshalb makroskopisch und nicht mehr auf atomarerEbene anwendbar.

So auch εr und µr , ebenfalls makroskopisch




Abraham-Minkowski-Kontroverse

Beginn der Kontroverse

Erster Vorschlag für Energie-Impuls-Tensor in Materie:

Minkowski 1908, Photon: p= p0 ·n

O�ensichtliche Mängel führen zu vielen weiteren Vorschlägen,etwa von

Einstein und Laub 1908

Abraham 1909, Photon: p= p0/n

Kontroverse versucht richtigen Tensor zu �nden





Abraham- und Minkowski-Tensor

Abraham:

(T )Abr =

(12 (E ·D+H ·B)

(1cE×H

)T1cE×H −E⊗D−H⊗B+ 1

2 (E ·D+H ·B)1

)

Minkowski:

(T )Min =

(12 (E ·D+H ·B)

(1cE×H

)T1cD×B −E⊗D−H⊗B+ 1

2 (E ·D+H ·B)1

)

Unterschied nur in Vektor linksunten,(T 10,T 20,T 30

)Bei Minkowski

(T 10,T 20,T 30

)6=(T 01,T 02,T 03

)⇒ nicht

relativistisch invariant





Theoretische Argumente

Dilemma

Starke Argumente für Minkowski als auch Abraham

Für Minkowski:

Rückstoÿ von absorbierenden und emittierenden Atomen imMedium

Beugungserscheinungen

Für Abraham:

1. Newton'sches Axiom: Trägheitsgesetz





Experimente zur Unterscheidung

Zum Beispiel Versuch von Ashkin und Dziedzic

6

6Gra�k: A. Ashkin und J. M. Dziedzic: Phys. Rev. Lett. 30, 139 (1973)





Experimente zur Unterscheidung

Frühe Rechnung sagte: Wölbung geht

nach oben, falls Minkowski richtig (Versuchsergebnis)

nach unten, falls Abraham richtig

Tatsächlich so keine Unterscheidung möglich

Dilemma

Widersprüchliche Ergebnisse von anderen Experimenten




Beispiel-Kraftdichten

Ladungs-Kraftdichte

Betrachten einfache Kraftdichten zur Verdeutlichung des Dilemmas

Zunächst Medium mit einzelnen LadungsträgernLorentz-Kraftdichte:

fL = ρE+ j×BVerschiebungs- und Polarisationsfeld D und P:

D≡ ε0E+P

⇒ ∇ ·D︸︷︷︸=0

−∇ ·P= ε0∇ ·E (1)= ρ

⇒ ∇ ·P=−ρ





Ladungs-Kraftdichte

Ähnlich herleitbar:

∇ · P= ∇ · j → P= j

ρ und j in fL ergibt Kraftdichte für einzelne Ladungen:

fc ≡−(∇ ·P) ·E+ P×B





Dipol-Kraftdichte

Kraft auf einen einzelnen Punkt-Dipol (ein Atom):

F= (d ·∇) ·E+ d×B

Kraftdichte für Dipol am Ort R:

fspd(r) =((d ·∇) ·E(r)+ d×B(r)

)·δ (r−R)

Polarisation als Dipoldichte:

P(r) = ∑i

di ·δ (r−Ri )

Damit Kraftdichte für einzelne Punktdipole:

fd ≡ (P ·∇) ·E+ P×B





Vorhersage für einzelnen Dipol

Einzelner Dipol als Polarisation:

P(r) = d ·δ (r−R)

Kraftdichten dafür:

fc = −(d ·∇δ (r−R)) ·E+ d×B ·δ (r−R)

fd =((d ·∇) ·E+ d×B

)·δ (r−R)





Vorhersage für einzelnen Dipol

Vorhersagen für Kraft auf Dipol:

Fd =∫dV fd = (d ·∇) ·E+ d×B

Fc =∫dV fc

p. Int.= −

∫dV E · (d ·∇δ (r−R))+ d×B

= (d ·∇) ·E+ d×B= Fd

Vorhersagen gleich trotz verschiedener Kraftdichten

Kraftdichten gleichwertig in dieser Situation

Probleme nur in Einzelfällen




Au�ösung des Dilemmas

Grundsätzliche Au�ösung

Dilemma gelöst von

Pen�eld und Haus 1967 sowie

de Groot und Suttorp 1972

Au�ösung

Tensoren von Abraham und Minkowski sind äquivalent

Gesamter Energie-Impuls-Tensor willkürlich aufteilbar inelektromagnetischen und Materie-Teil

(T )total = (T )mat +(T )em

Lange aber nicht als Lösung bekannt geworden




Au�ösung des Dilemmas

Lösungsvorschlag von Barnett

Barnett 2010:

Abraham-Tensor beschreibt kinetischen Impuls.

Minkowski-Tensor beschreibt kanonischen Impuls.

(T )totalkin = (T )matkin +(T )emAbr

= (T )totalcan = (T )matcan +(T )emMin




Zusammenfassung

Berechnung von elektromagnetischen Kräften mit demMaxwell'schen Spannungstensor möglich

Elektromagnetisches Feld besitzt neben Energie auch Impulsund Drehimpuls

Aufteilung in elektromagnetischen und Material-Tensor istwillkürlich (Lösung der Abraham-Minkowski-Kontroverse)



Anhang

Weiterführende Literatur und Quellen

Gri�ths, D. J.: Introduction to electrodynamics, 3rd edition, 1999,

Prentice Hall, New Jersey, Kapitel 8.2.2�8.2.4

Pfeifer, R. N. C. et al.: Colloquium: Momentum of an

electromagnetic wave in dielectric media, 2007, Rev. Mod. Phys.

79, 1197

Barnett, S. M. und R. Loudon: The enigma of optical momentum in

a medium, 2010, Phil. Trans. R. Soc. A 368, 927

Barnett, S. M. und R. Loudon: On the electromagnetic force

on a dielectric medium, 2006, J. Phys. B 39, S671

Barnett, S. M.: Resolution of the Abraham-Minkowski Dilemma,

2010, Phys. Rev. Lett. 104, 070401



Documents

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