Der Mottisolator

Dennis Müller | 15. Februar 2012 |Vortrag zur Vorlesung Theorie der kondensierten Materie

Mottscher Metall-Isolator Übergang

Seite 2 Überblick | Mottisolator | Dennis Müller | 15. Februar 2012

Überblick

Metall-Isolator-Übergang

Klassischer AnsatzI WasserstoffkristallI Hoch dotierte Halbleiter

Quantenmechanischer Ansatz

Experiment

Seite 3 Definition | Metall-Isolator-Übergang | Dennis Müller | 15. Februar 2012

Definition

„Der Begriff Metall-Isolator-Übergang bezeichnetSituationen, in denen sich die elektrische Leitfä-higkeit eines Materials von metallisch zu isolierendin Abhängigkeit von äusseren Parametern wie z.B.Zusammensetzung, Druck, Dehnung oder Magnet-feld ändert.“[3]

Seite 4 Wasserstoffkristall | Klassischer Ansatz | Dennis Müller | 15. Februar 2012

Wasserstoffkristall als Mottisolator

Kristall aus WasserstoffatomenI Halb gefülltes Leitungsband

Temperatur ≈ 0K

Gitterkonstante a

Metall oder Isolator ?

Seite 5 Wasserstoffkristall | Klassischer Ansatz | Dennis Müller | 15. Februar 2012

Potentiallandschaft für Leitungselektronen

abgeschirmtes Coulomb Potential

U(r) = −e2

r· e−ks·r (1)

inverse Abschirmlänge ks

k2s = 4

(3π

) 13 n

130

a0= 3.939

n130

a0(2)

Für große ks keine bindenden ZuständeI Metallischer Charakter

Seite 6 Wasserstoffkristall | Klassischer Ansatz | Dennis Müller | 15. Februar 2012

Klassisches Mottkriterium

Bindende Zustände für

ks <1.19a0

⇒ k2s <

1.42a2

0(3)

Kondensieren von Elektronen an Protonen

3.939n

130

a0<

1.42a2

0⇔ a > 2.78a0 (4)

I isolierender Charakter

Motts Ergebnis a > 4.5a0

Seite 7 Hoch dotierter Halbleiter | Klassischer Ansatz | Dennis Müller | 15. Februar 2012

Hoch dotierter Halbleiter als MottisolatorKritische Dotierkonzentration nc

I Überlapp der Grundwellenfunktionen der Elektronen

Abbildung: (1) Leit-fähigkeitsmessungvon Si:P über dieDotierkonzentration[3]

Aus der Messung:

nc = 3.78 · 10−18cm−3 (5)

durch Diamantstruktur

43πr3 · 8 = a3

c · 0.34 (6)

⇒ ac ≈ (32π)13 r (7)

mit r = 3.2nm

⇒ ac = 1.49nm = 28.13a0 (8)

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Überblick

Metall-Isolator-Übergang

Klassischer Ansatz

Quantenmechanischer AnsatzI GitterportentialI Bose-Hubbard Modell

Experiment

Seite 9 Gitterportential | Quantenmechanischer Ansatz | Dennis Müller | 15. Februar 2012

GitterportentialUltrakaltes Atomgas

I Bose-Einstein KondensatI Ausfrieren aller thermischen Fluktuationen

GitterpotentialI Bewegung durch Tunneln

Zwischenatomare Wechselwirkung klein gegenTunnelkopplung

I Unbestimmte Anzahl an Atomen in GitterpunktenI hohe Phasenkohärenz der Materiewellen

Zwischenatomare Wechselwirkung groß gegenTunnelkopplung

I Gleiche Anzahl an Atomen in GitterpunktenI keine Phasenkohärenz der Materiewellen

Seite 10 Bose-Hubbard Modell | Quantenmechanischer Ansatz | Dennis Müller | 15. Februar 2012

Bose-Hubbard ModellBose-Hubbard Hamiltonian

H = −J∑<i,j>

a†i aj +∑

i

εi ni +12

U∑

i

ni(ni − 1) (9)

Sprungmatrixelement J

J =

∫w(~x − ~xi)(− ~2

2m∇2 + Vlat (x))w(~x − ~xi)d3x (10)

Atom-Atom Wechselwirkungsparameter U

U =4π~2a

m

∫|w(~x)|4d3x (11)

Seite 11 Bose-Hubbard Modell | Quantenmechanischer Ansatz | Dennis Müller | 15. Februar 2012

Grundzustand bei J� U

Grundzustandsenergie minimiert für

| ΨSF 〉U=0 ∝

(M∑

i=1

a†i

)N

| 0〉 (12)

(M = Anzahl der Gitterpunkte, N = Anzahl der Atome)I Besetzungszahl ni eines Gitterpunktes genügt

PoissonverteilungI Makroskopische Wellenfunktion mit langreichender

Phasenkohärenz⇒ metallischer Charakter

Seite 12 Bose-Hubbard Modell | Quantenmechanischer Ansatz | Dennis Müller | 15. Februar 2012

Grundzustand bei J� U

Grundzustandsenergie minimiert für

| ΨSF 〉U=0 ∝M∏

i=1

(a†i )n | 0〉 (13)

(M = Anzahl der Gitterpunkte, n = Anzahl der Atome proGitterpunkt)

I Durch hohes U Poisonverteilung zu EnergieintensivI Gleichverteilung der Atome an den Gitterpunkten⇒ isolierender Charakter

I Öffnung einer Lücke im Energiespektrum

Seite 13 Überblick | Mottisolator | Dennis Müller | 15. Februar 2012

ÜberblickMetall-Isolator-Übergang

Klassischer Ansatz

Quantenmechanischer Ansatz

ExperimentI VersuchsbeschreibungI MetallphaseI IsolatorphaseI Rüchgewinnung der KohärenzI AnregungsspektrumI Phasenübergang

Seite 14 Versuchsbeschreibung | Experiment | Dennis Müller | 15. Februar 2012

Versuchsbeschreibung

Bose-Einsteinkondensat aus Rhobidiumatomen

Magnetisches Fallenpotential

Drei gekreutzte stehende Laserwellen bilden ein 3DGitterpotential

I Potentialtiefe mittels Akusto-Optischer Modulatorenverstellbar

Langsame Intensitätserhöhung durch exponentielleRampe

Über 150000 GitterpunkteI im Durchschnitt ca. 2.5 Atome pro Gitterpunkt

Seite 15 Metallphase | Experiment | Dennis Müller | 15. Februar 2012

Metallphase

Abbildung: (2) beobachteteInterfenzmuster[1]

Um zu prüfen, ob Kohärenzvorhanden ist:

I Plötzliches Abschaltendes Fallenpotentials

I Wellenfunktionen breitensich frei aus

I Im Superfluiden Fall sindalle Atome über das Gitterdelokalisiert

⇒ scharfesInterferenzmuster⇒ reichweitigeKohärenz !!

Seite 16 Isolatorphase | Experiment | Dennis Müller | 15. Februar 2012

Isolatorphase

Abbildung: (3)Interfenzmuster fürverschiedenePotentialtiefen (a:0Er ,b:3Er , c:7Er , d:10Er ,e:13Er , f:14Er , g:16Er ,h:20Er ) [1]

Erhöhung des GitterpotentialsI Anfangs verstärken sich Interferenzen höherer OrdungI Ab 13Er verstärken sich die Interferenzmaxima nichmehrI Bei 22Er sind keine Maxima zu erkennen

⇒ Koheränz gänzlich verlorenI solange sichtbar, keine Verbreiterung der

Interferenzmaxima erkennbar⇒ ab U/J = 5.8 · Z bilden sich inkohärente Bereiche

Seite 17 Rückgewinnung der Kohärenz | Experiment | Dennis Müller | 15. Februar 2012

Rückgewinnung der Kohärenz

I Abschwächen desPotentials führt zumsuperfluiden Zustandzurück

I Zeit zur Rückgewinnungder Koärenz im Bereichder TunnelzeitτTunnel = ~/J ≈ 2ms

Abbildung: (4) Verhalten desInterfenzmusters beimHerunterfahren des Potentials[1]

Seite 18 Anregungsspektrum | Experiment | Dennis Müller | 15. Februar 2012

Teilchenbewegung im isolierenden Zustand

Abbildung: (5) Potentialstruktur imisolierenden Zustand [1]

Betrachte n = 1 und J � UI Erschaffung Partikel-Loch

Paar beansprucht dieEnergie U

I Spontane Bildung mitlanger Lebenszeitverboten

I Anlegen einesPotentialgradientensermöglichtTeilchenbewegung für einPotentialgefälle vonU/Gitterkonstante

I Peaks imAbsorbtionsspektrum

Seite 19 Anregungsspektrum | Experiment | Dennis Müller | 15. Februar 2012

Anregungsspektren

Abbildung: (6) a)GefahreneRampe, b)Verbreiterung einesInterfernezmaximums [1]

I c)V0 = 10Er : rascherPhasenverlust bis zurSättigung

I Superfluider ZustandI d)V0 = 13Er : Erste

Resonanzen erkennbarI Übergang zum

isolierenden ZustandI e),f)V0 = 16Er ,20Er : Zwei

Resonanzen deutlicherkennbar

I isolierender Zustand,abseits derResonanzpeaks

Seite 20 Phasenübergang | Experiment | Dennis Müller | 15. Februar 2012

Punkt des Phasenübergangs

Verschwinden der Interfenzmuster und erscheinen derResonanzen bei 12 ∼ 13Er

I Experimenteller Phasenübergangspunkt bei Potentialtiefenvon 10Er < V0 < 13Er

Aus Theorie Phasenübergangspunkt bei U/J = 5.8 · ZI Einfach-kubisches Gitter⇒ U/J ≈ 36⇒ Phasenübergangspunkt von 13Er

Gute Übereinstimmung der theoretischen undexperimentellen Ergebnisse

Seite 21 Literaturnachweis | Quellen | Dennis Müller | 15. Februar 2012

Literaturnachweis

M.Greiner, O.Mandel, T.Esslinger, T.W.Hänsch, I.BlochQuantum phase transition from a superfluid to a Mottinsulator in a gas of ultracold atomsNature, Vol.415, 3. Januar 2002

M.Greiner, T.W.Hänsch, I.BlochPerfekte Ordnung am NullpunktPhysik in unserer Zeit, 33. Jahrgang 2002, Nr.1

Ch.KittelEinführung in die Festkörperphysik, 14. AuflageOldenbourg Wissenschaftsverlag GmBH, 2006

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