Der Preis der Anarchie · 2016-09-26 · Damit ein Spiel ein Spiel ist, braucht es Regeln. Diese Regeln sagen, was jeder einzelne Spieler tun kann und was nicht ... Streichholzspiel:

Martin Grötschel Institut für Mathematik, Technische Universität Berlin (TUB)DFG-Forschungszentrum “Mathematik für Schlüsseltechnologien” (FZT 86)Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin (ZIB)

[email protected] http://www.zib.de/groetschel

Der Preis der AnarchieEgoismus versus Systemoptimium

Martin GrötschelMünchner Wissenschaftstage

im Jahr der Mathematik19. Oktober 2008

InhaltSpieltheorieDas Nash-GleichgewichtPreis der AnarchieFairnessAnwendungen

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SpieltheorieIm einem Spiel versucht jeder schlauer (oder besser oder erfolgreicher) zu sein als die anderen Mitspieler. Die Spieltheorie untersucht, was herauskommt, wenn alle Spieler versuchen, das Beste für sich herauszuholen.Damit ein Spiel ein Spiel ist, braucht es Regeln. Diese Regeln sagen,

was jeder einzelne Spieler tun kann und was nichtwas jeder Spieler wissen darf und was nicht und was das Ziel des Spiels ist.

Beispiel: Beim Schach sagen die Regeln, wie sich die Figuren bewegen können, dass man sie alle immer sehen darf und dass das Ziel ist, den König matt zu setzen.Die Spieltheorie beschäftigt sich jedoch immer stärker mit sozialwissenschaftlichen Sachverhalten. Und hier ist es schwerer zu sehen, welche Regeln nun wirklich gelten und woher die Regeln kommen. Insbesondere sind gesellschaftliche Regeln nicht fest. Sie unterliegen Entwicklungen (z. B. durch die Gesetzgebung).

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Spieltheorie: DefinitionenDie Spieltheorie ist eine Theorie zur mathematischen Analyse von Konflikten. Die Spieltheorie ist eine Entscheidungstheorie, die Situationen untersucht, in denen das Ergebnis nicht von einem Entscheider allein bestimmt werden kann. Das Ergebnis hängt von den individuellen Entscheidungen aller Beteiligten ab. Hierbei gibt es Situationen, wo jeder für sich allein (ohne Rücksicht auf andere) entscheidet, die Spieler können aber auch gemeinsam (kooperativ) agieren.

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Stein, Schere, Papier

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B

Stein Schere Papier

Stein 0 +1 -1

A Schere -1 0 +1

Papier +1 -1 0

Wie soll man spielen?

Reine Strategie

Gemischte Strategie

Stein, Schere, Papier, BrunnenDominierte Strategie

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B

Stein Schere Papier Brunnen

Stein 0 +1 -1 -1

Schere -1 0 +1 -1

A Papier +1 -1 0 +1

Brunnen +1 +1 -1 0

Der Sinn gemischter StrategienPraxis:

Schutz gegen psychologisch überlegene Gegner:Randomisierung

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Wieland Rhenau,

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berlin.de

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Spiele: einmalig, wiederholt?Einmalige vs. Wiederholte Spiele

Einmaliges Spiel „one-shot-game“Eine DurchführungDanach Auszahlung

Wiederholte SpieleDurchführung mehrmals hintereinanderAuszahlungen werden summiertStrategisch relevant: Spieler kennen Rundenzahl?Ist Wiederholung unendlich „Superspiel“

NullsummenspielEin Spiel heisst Nullsummenspiel, wenn die Summe der Auszahlungen an alle beteiligten Spieler gleich Null ist.Fast alle Gesellschaftsspiele sind Nullsummenspiele:

Schach, Mühle, Dame, GoPoker, SkatStein, Schere, PapierSchiffe versenken…

Ein Spiel mit vollständiger Information ist ein Spiel, bei dem keine versteckten Elemente vorkommen. Versteckte Elemente sind z. B. unbekannte Karten der Gegner (Poker, Skat), Zufallszüge (zufällige Kartenverteilung zu Beginn des Spiels) oder gleichzeitige Züge aller Spieler.Spiele mit vollständiger Information sind z. B.

Schach, Mühle, Dame, Go

Die anderen oben genannten jedoch nicht.Martin

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GewinnstrategienStreicholzspielNicht jedes Spiel besitzt eine „Lösung“ in reinen Strategien.

Minimax-Theorem: Für jedes Zwei-Personen-Nullsummenspiel mit endlich vielen reinen Strategien gibt es eine gemischte Strategie x für Spieler 1, eine gemischte Strategie y für Spieler 2 und einen Wert V, so dass, wenn Spieler 1 die Strategie x spielt, er immer mindestens V gewinnt, und wenn Spieler 2 die Strategie y spielt, er immer höchstens –V verliert.Stein, Schere, Papier: Würfeln!

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GewinnstrategienSpiele mit vollständiger Information besitzen eine reine Gewinnstrategie!

Schach: Es gibt eine Gewinnstrategie, aber keiner kennt sie.Streichholzspiel: einfache Regel für Gewinnstrategie.Tic Tac Toe: immer unentschiedenMühle: immer unentschieden, d.h. ein guter Spieler verliert nie.(Hierzu wurden rund 10 Billionen Positionen auf einem Computer analysiert.)

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Kooperativ vs nicht-kooperativDas Gefangenendillemma

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Nash GleichgewichtDas Nash-Gleichgewicht, auch Nash-Equilibriumgenannt, ist ein zentraler Begriff der mathematischen Spieltheorie. Es beschreibt in nicht-kooperativen Spielen einen Zustand eines strategischen Gleichgewichts, von dem ausgehend kein einzelner Spieler für sich einen Vorteil erzielen kann, indem er einseitig von seiner Strategie abweicht. Es ist ein grundlegendes Lösungskonzept der Spieltheorie. Definition und Existenzbeweis des Nash-Gleichgewichts gehen auf die 1950 veröffentlichte Dissertation des Mathematikers John Forbes Nash Jr. zurück.Im Jahr 1994 erhielt Nash für diese Leistung (zusammen mit Reinhard Selten und John Harsanyi) den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften.

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John Nash 2002 in Beijing

Beautiful Mind (über John Nash)

Film über John Nash gelöscht

Was war in dem Film los?Harold Kuhn:Was der Film zeigt, ist gar kein Nash-Gleichgewicht, sondern eine kooperative Lösung.

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Formale DefinitionEin Spiel sei durch die Menge der Spieler N, den Strategienraum S = S1x…xSn der Spieler und den Vektor U = (u1, …, un) der Auszahlungsfunktionen gegeben.Eine Strategienkombination S = (s1, …, sn) ist ein Nash-Gleichgewicht, wennui(s1,…, si, …, sn) ≥ ui(s1,…, ti, …, sn) für alle i und alle ti.Es gibt Spiele, die mehrere Nash-Gleichgewichte haben und solche, die überhaupt keines in reinen Strategien haben.Satz von Nash: Jedes Spiel mit endlichem Strategienraum hat ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien.

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Kooperativ vs nicht-kooperativDas Gefangenendillemma

Nash-Gleichgewicht

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Wieland Rhenau, [email protected] 21

Spiel ohne Nash-Gleichgewichtin reinen Strategien

Einfaches Beispiel: „Torschuss“Ein Schütze, ein TorwartVereinfacht: nach links/rechts schießen

links/rechts springen

Es existiert kein Nash-GleichgewichtDer Verlierer kann immer Strategie ändernund damit gewinnen!

Wieland Rhenau, [email protected] 22

Mehrere Nash-GleichgewichteSpiel mit dem Untergang

Zwei Autos fahren aufeinander zuWer ausweicht ist der „Angsthase“

Zwei Nash Gleichgewichte in reiner Strategie:Fahrer1 ausweichen/Fahrer2 weiterfahren undFahrer1 weiterfahren/Fahrer2 ausweichenEin Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien ausweichen/ausweichen Weil: beide weichen mit Wahrscheinlichkeit von ½ aus


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Preis der AnarchieDieses Konzept wurde im Jahre 1999 von Elias Koutsoupias, Christos Papadimitriou in ihrem Artikel Worst-case Equilibria im Rahmen von Untersuchungen von Nutzerverhalte auf Netzwerken vorgeschlagen. Frage: Wie schlecht kann eine „stabile Lösung“ sein, die sich bei egoistischem Verhalten der Nutzer einstellt?Egoistisches Verhalten führt zu Nash-Gleichgewichten. Es kann viele solcher Gleichgewichte geben. Etwas salopp: Der Preis der Anarchie ist das Verhältnis von Wert des schlechtesten Nash-Gleichgewichts zum Systemoptimum.

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Preis der AnarchieGenauer: Jeder Strategiekombination S = (s1, …, sn) wird ein Wert C(S)zugeordnet . (Wir wollen hier minimieren.)Der Preis der Anarchie ist dann definiert als:

Interpretation:Beispiel Gefangenendillemma:

Nash-Gleichgewicht (4, 4), d.h. 8 Jahre Gefängnis.Minimum (1, 1), also 2 Jahre Gefägnis.Der Preis der Anarchie beim Gefangenendillemma ist gleich 4.Folgerung: Kooperation (bzw. zentrale Planung) ist viermal so gut wie egoistisches VerhaltenMartin

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{ }{ }

max ( ) :StrategiekombinationSistNash-Gleichgewicht

min ( ) :SbeliebigeStrategiekombination

C Sp

C S=

MATHEON-Projekte im Verkehr und Netzwerken, Rolf Möhring

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MATHEON-Projekte im Verkehr und Netzwerken, Rolf Möhring

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MATHEON-Projekte im Verkehr und Netzwerken, M. Grötschel (ZIB)

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Steuerung des IndividualverkehrsDas Braess-Paradox: Erweitert man ein Straßennetz um eine weitere Straße, so kann sich für jeden Fahrer die Fahrzeit verlängern. (Dietrich Braess, „Über ein Paradoxon aus der Verkehrsplanung“, 1968).Es gibt hunderte von Artikeln hierzu, aus der Tagespresse:

(G. Szpiro), Irrationales bei Airlines und Passagieren. Das Braess-Paradoxon am Beispiel der Flugroutenwahl. Neue Zürcher Zeitung 9. Jan. 2006, S. 5 W. Blum, Ewig lockt die Schnellstraße. Psychologen bestätigen ein mathematisches Paradoxon: Manchmal lösen zusätzliche Strecken den Stau erst aus. Süddeutsche Zeitung 24. Jan. 2006, S. 9 A. Rooch. Auf Umwegen schneller zum Ziel. 6. Folge der WAZ-Serie "Was ist Mathematik?" - Das Braess-Paradoxon. Westdeutsche Allgemeine Zeitung 5. August 2006.

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Das Braess-Paradox

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Alle Fahrer wollen von A nach D.

Verkehrsdichte x = 1000 Autos/h

tAC(x) = tBD(x) = 50 + x Minuten

tAB(x) = tCD(x) = 0 + 10x Minuten

Stündlich 6000 Autofahrer.

Nash-Gleichgewicht: Auf jeder Strecke fahren3000 Autos, Fahrzeit: 83 min/Auto

Neue Strecke BC

tBC(x) = (10 + x) Minuten

Nash-Gleichgewicht: 2000 Autos auf ABD2000 Autos auf ACD2000 Autos auf ABCDFahrzeit: 92 min/Auto

Auftreten von Braess-Paradoxen in der realen WeltEs gibt reale Beispiele dafür, dass das Braess-Paradoxon nicht nur ein theoretisches Konstrukt ist.

1969 führte in Stuttgart die Eröffnung einer neuen Straße dazu, dass sich in der Umgebung des Schlossplatzes der Verkehrsfluss verschlechterte. Auch in New York konnte das umgekehrte Phänomen 1990 beobachtet werden. Eine Sperrung der 42. Straße sorgte für weniger Staus in der Umgebung. Weitere empirische Berichte gibt es über Auftreten auf den Straßen Winnipegs.

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Weiteres Beispiel2 parallele Straßen

Fahrzeit oben: x = Anzahl der FahrzeugeFahrzeit unten: 100100 Fahrzeuge wollen von links nach rechts.Alle werden oben fahren, jeweils mit der Fahrzeit 100.Beste Lösung: 50 oben, 50 untenPreis der Anarchie: 10.000/7.500 = 4/3

x

100


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Selfish Routing (egoistische Routenwahl)

Fahrer wählen die Route, die Ihnen am günstigsten erscheint.Es ist natürlich nicht ganz klar, was das in der Praxis heisst.Navigationssysteme und Psychologie

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Zentrales Verkehrsmanagement

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Technologische AnforderungenExakte Kenntnis aller Fahrzeugpositionen und –zieleZweiseitige Verbindung zu zentralem ServerServer kennt gegenwärtigen Zustand vollständig.

Systemoptimum kann berechnet werden.Aber:

Einige Routen können viel zu lang sein.


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Systemoptimumohne „Fairnessbedingungen”

Systemoptimummit „Fairnessbedingungen”


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Systemoptimumohne „Fairnessbedingungen”

Systemoptimummit „Fairnessbedingungen”

Was ist Fairness?

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Unfairness einer „Routenplanungspolitik“ im Bezug auf ein Nutzergleichgewicht

Unfairness = 1 im NutzergleichgewichtUnfairness kann beliebig groß werden (in der Theorie)

( , )OD-Paar

Reisezeit für OD-Paar ( , ) im Routenplan Reisezeit für OD-Paar ( , ) im Nutzergleichgewicht

maxu v

u vu v

Fairness-Analyse

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Fairness-Analyse für einige Städte

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Herlitz in FalkenseeBüroartikel, Glückwunschkarten, etc.

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Integrierter innerbetrieblicher Transport

Logistik

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Logistik-Film gelöscht

Aufzug-Optimierung

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Aufzug-Film gelöscht

Anwendungen in der Telekommunikation

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Dissertation, TU Berlin 2007

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Zelluläre Funknetze

Funkschnittstelle

Ein UMTS-Funknetz

Antenne

Zelle

Zelluläres Netz

Zelluläres Netz

Zelluläres Netz

Zelluläres Netz

Martin Grötschel Institut für Mathematik, Technische Universität Berlin (TUB)DFG-Forschungszentrum “Mathematik für Schlüsseltechnologien” (FZT 86)Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin (ZIB)

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