564 ARCH. MATH.

Der Satz von Banach-Steinhaus fiir konvexe Operatoren

Von

PETER KOSMOL, WALTER SCtIILL und MICB_4.EL W:RIEDT

Im ersten Teil dieser Arbeit wird bewiesen, dal3 der klassische Satz yon Banach- Steinhaus fiir lineare Operatoren w5rtlich ffir konvexe Operatoren gilt, falls der Bildraum durch einen Normalkegel geordnet ist. Eine ordnungstheoretische Version des Satzes wird im zweiten Tell angegeben.

Wir danken dem Referenten ftir die auBergew6hnliche und erfolgreiehe Miihe, die zur Verallgemeinerung unserer Resultate geftihrt hat.

I. Wir stellen zun&ehst die grundlegenden Definitionen zusammen:

Sei Y ein geordneter Vektorraum mit positivem Kegel K und Q eine konvexe Teilmenge des Vektorraumes X.

Definitionen. 1. Ein Opera tor / : Q --> Y heiBt konvex, wenn fiir alle 0 ~ :r --< 1 und x, y ~ Q gilt

/(o:x + (1 - -~ )y ) =< a/(x) + (1 --oO/(y ) .

2. Eine Menge M c Y heiBt roll, wenn fiir alle x, y e M gilt

[H,v] : = H_<

3. Der Kegel K heiBt Normalkegel bezfiglich der topologischen Vektorraumstruktur auf Y, falls eine I~ullumgebungsbasis roller Mengen existiert.

Die positiven Kegel vieler Funktionenr~ume -- darunter L~ -- mit ihren natiirliehen Ordnungen sind l~ormalkegel.

Der Kegel K0 = {0} ist beziiglich jeder Topologie ein I~0rmalkegel; fiir die dureh K0 defmierte Ordnung ist x ~ y genau dann wenn x = y. ttieraus ersieht man, dab die beziiglieh K0 konvexen Oper~toren genau die affinen sind.

Die Grundideen des folgenden Beweises sind dem Beweis des Satzes 19.9 auf Seite 341--342 in [1] entnommen.

Satz 1. Sei Q eine o]/ene konvexe Teilmenge eines topologischen Vektorraumes ( T V R ) X, sei Y ein dutch einen Normalkegel K geordneter T VR und 8ei F eine punktweise beschrdnkte Familie konvexer Operatoren ]: Q--> Y. Dann sind dquivalent

(1) F i s t gleichgradig stetig.

Vol. 33, 1979 Der Satz von Banach-Steinhaus 565

(2) Zu ~eder _~ullumgebung V in Y gibt es eine nicht leere o]]ene Menge Qv c Q und ein r ~ 0 mit

F ( Q , ) : = {/(q) l / e F , q e Qv} o r . V.

(3) 2' ist in einem Punkt xo ~ Q gleichgradig stetig.

Bewe i s . ,(1) ~ (3)" ist trivial.

(3) ~ (2): I s t V eine beliebige Nullumgebung in Y, so gibt es eine Nullumgebung W in Y mit

W + W c V .

Wegen der punktweisen Besehr/~nktheit yon F i s t

F({Xo}) : = {/(Xo) l / ~ F } o r . W

fiir ein r > 0.

Da F in x0 nach Voraussetzung gleichgradig stetig ist, gibt es eine offene Um- gebung Qv c Q yon x0 mit ](q) e ](xo) + r . W fiir alle / e F und alle q e Qv. Damit ergibt sich

F(Qv) cr" W + r " W c r " V.

(2) ~ (1): Zu zeigen ist die gleichgradige Stetigkeit yon F in jedem Punkt aus Q.

Sei also x e Q beliebig und sei W eine Nullumgebung in Y. Dann gibt es voile Nullumgebungen W' und W" in Y mit

W"~= W " c W ' c W

und eine kreisf6rmige Nullumgebung V mit

V + V O W " .

Zu V gibt es nach Voraussetzung eine nicht leere offene Menge Qv c Q und ein r > 0 mit

/~(Qv) o r - V.

Sei xo ein fester Punkt aus Qv.

Fiir f e F wird dutch

~: y- -~/ (y + xo) -- ](xo)

ein konvexer Operator f : Q - xo--> Y defmiert, Da F({xo}) beschrs ist, ist die Familie _~ ---- { /e F} punktweise beschr~nkt, und es gilt Eigenschaft (2) f'fir P. ~ er- ftillt also dieselben Voraussetzungen wie F, und gleichgradige Stetigkeit yon F u n d /~ sind ~quivalent.

Wit kSrmen daher voraussetzen, dab xo - - 0 und / (x0) ---- 0 fiir alle / e F. ]:)ann ist Qv eine offene Nullumgebung in X, zu der wit eine kreisf6rmige Nullumgebung Q' linden kSnnen mit

Q ' + Q'cQv.

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Sei ~ > 0 derart, dab (1 + s)xeQ, darm setzen wir

Q, U (x) =- x + - ~ - ~ c Q .

Sei U (x) ~ x' : x -~ ~ q' mit q' e Q'.

Fiir alle / e F gilt dann

/ ( x ' ) = / (1 ~ - e ) x + 1 - ~ = l q - s

Wegen der Absorbanz yon Q' gibt es eine Zahl s ~ 1 mit

U(x) c s . Q ' - b s" Q' c s ' Q v .

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/((1 + ~)x)+-~-~- ?(q').

x' ~ U (x) besitzt also eine Darstel lung x' = s �9 q" mit q" ~ Qv. Da / (0) = 0 fiir alle / e F , haben wir

s . l (C)<l (s .q" )=/ ( z ' ) , / eF.

Insgesamt erhalten wir

/ ( x ' ) ~ s./(q"), ~ ]((l + e)x) § /(q') �9

Da F naeh Voraussetzung punktweise besehrSmkt ist, gibt es ein t ~> r �9 s ~- r --1- 1 mit

/~({(1 + ~)x,x})ct. V.

Dami t folgt fiir alle f ~ F :

1 s l q - s / ( ( l + s ) x ) ~ - - ~ / ( q ) ~ t V + r V c t V + t V c t W "

sowie

s ] (q" )~s . r . V e t . V c t W ' .

Da W" eine voile ~u l lumgebung ist, folgt

(*) / ( x ' ) ~ t ' W " f f i ra l le [ ~ F u n d a l l e x' ~U(x) .

Sei / e F . Durch fo (a) = ] (x ~- a) - - / (x) wird dann ein konvexer Operator ]o : Q' --> y erkl~rt m i t / o ( 0 ) = 0. Fiir a e Q' gilt daher (Q' ist kreisfSrmig!)

fo ( t - la) ~ t -1/o (a) und - - ]o ( - - t -1 a) ~ / o (t -1 a)

also

. t -1 ]o (-- a) ~_~ - - / o (-- t-1 a) --__</o (t - l a ) ~ t -1/o (a),

folglich

(**) fo(t-la) ~ t - l [ - - / o ( - a), ](a)] .

Vol. 33, 1979 Der Satz von Banadl-Steinhaus 567

Sei nun y e U0 : ---- x + t(i + s)

y = x + - - q ' , q 'eQ' . t ( i + e)

Mit a - - - q ' ergibt sieh aus (**) 1 §

f ( y / - ] ( x ) e t - ~ - / x l + e

Aus (*) folgt:

- - Q' mit der Darstellung

und

( ) --/ x l ~ e q' + / ( x ) e t . W " - t . W " c t . W '

( ] x + ~ - - ~ q ' - - / ( x ) e t . W " - - t . W " c t . W ' .

Da W' eine volle Nullumgebung ist, erhalten wir

/ ( y ) - - ] ( x ) e W ' c W fiir alle y e U 0 und alle / e F .

Also i s t / ' in x gleich~adig stetig. [] Der folgende Satz ist eine Verallgemeinerung des Satzes fiber die gleiehmgl~ige

Beschr~nktheit ffir lineare Operatoren (z. B. [5], S. 122) und konvexe Funktionale [2]. Herr yon Weizsaeeker [6] hat den Satz yon Banach-Steinhaus flit sublineare Opera- toren auf ultratonnelierten topologischen Vektorr~umen bewiesen.

Satz 2. Sei X zusStzlich yon zweiter Kategorie und seien alle / ~ F stetig. Dann ist F gleichgradig stetig.

Beweis . Wegen Satz 1 geniigt es, (2) nachzuweisen. Sei V eine abgeschlossene Nullumgebung in Y und Bk -~ {x e QI 3 / e F : ](x) ~ kV}. W~re die Behauptung falsch, so w~ren B~ dichte und wegen der Stetigkeit aller [ e F offene Mengen, so

oo

dal~ ('~ B~ ~ 0 gilt, was ein Widerspruch zur punktweisen Besehr~nktheit yon F k = l

ist. [ ]

Satz 3. Sei X ein T VR der 2. Kategorie und Q c X o//en und konvex, sei Y ein T VR, der durch einen abgeschlossenen Normallcegel geordnet ist. Ist dann (In) eine Folge stetiger, konvexer Operatoren /n : Q -> Y, die punl~tweise gegen die Abbildung / kon- vergiert, so ist / konvex und stetig.

Beweis . Die Konvexit~t ergibt sich sofort aus der Abgeschlossenheit des Kegels. Da (]n) auf Q punktweise konver~ert , ist dieFamilie F - ~ {fn}ne~ auf Q punkt- weise beschrKnkt, und wir kSnnen Satz 2 anwenden. Aus der Eigenschaft (1) e r~b t sich unmittelbar die Stetigkeit yon ]. []

Wit kommen nun zum Satz yon Banach-Steinhaus fiir konvexe Operatoren.

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Satz 4. Seien X und Y zwei TVRe der 2. Kategorie, sei Q c X eine o//ene und Icon. vexe Teilmenge, und Y sei dutch einen abgeschlossenen Normalkegel geordnet. Da/iir, daft eine Folge stetiger, konvexer Operatoren /n : Q -> Y punktweise gegen einen stetigen, Iconvexen Operator/: Q -+ Y Iconvergiert, sind die beiden /olgenden Bedingungen zu- sammen notwendig und hinreichend.

(1) Fiir alle x e Q ist (In(x)) beschrSnkt.

(2) (In) Iconvergiert punktweise au/ einer dichten Teilmenge D von Q.

Beweis . Die Notwendigkeit ist offensiehtlieh. Sei nun x0 ~ Q. Nach Satz 2 ist {/n}neiv in xo gleiehgradig stetig, es gibt also zu jeder Nullumgebung V yon Y eine Nullumgebung W yon Y und eine Umgebung U (xo) yon x0, so dab

W §

und /n (xo) - - /n (X) ~ W; x~ U(xo), n ~ N . Sei x' ~ U(xo) (3D; es folgt

/n (zo) - / m (xo) = (/~ (xo) - / ~ (x')) + (/n (z') - / m (x')) + (/~ (x') - / ~ (zo)) e W + W + W c V

ftir hinreiehend groBe n und m. Damit ist (/n(xo)) eine Cauehy-Folge, und

/ (xo) : = lira/n (xo)

existiert. (In) konvergiert also punktweise auf Q, womit aus Satz 3 die Behauptung folgt.

II. Aueh ohne irgendwelche Voraussetzungen an die topologische Struktur des Bildraumes zu stellen, kann man mit ganz analogen SchluBweisen einen Satz von Banach-Steinhaus beweisen, indem man das Konzept der Stetigkeit beziiglich einer Ordnungseinheit benutzt.

Definition 1. Sei Y ein geordneter Vektorraum. Ein Element e heiBt Ordnungs- einheit, falls zu jedem y e Y ein r e R existiert mit y <= re.

2. Sei Q eine Teilmenge des TVR X und Y ein geordneter Vektorraum mit Ord- nungseinheit e. Die Abbildung /: Q--~ Y heiBt in x0 e Q e-stetig, falls zu jedem s > 0 eine Umgebung U yon x0 existiert, so daB

/ ( x 0 ) - - s e - - < / ( x ) _ - - < / ( x 0 ) + s e fiir alle x e U n Q .

3. Eine 5{enge A c Y heiBt e-beschr~nkt bzw. naeh oben e-beschr/~nkt, falls ein r e/~ existiert, so daB

- - r e < a - - < r e bzw. a < r e fiir alle a e A .

4. Eine Folge (Xn) in Y heiBt e-konvergent gegen x, wenn gilt

Y z > 0 ~ n o e N V n > n 0 : - - s e < x n - - x < s e .

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Da das Interval] [ --e , e] absolutkonvex und absorbant ist, definiert das Minkowski- Funktional ll" ]I e yon [--e , e] auf Y eine (halbnormierte) topologische Vektorraum- struktur we. Beziiglich ~e ist der positive Kegel K offenbar ein Normalkegel.

e-Stetigkeit, e-Beschr~nktheit bzw. e-Konvergenz sind gleichbedeutend mit Stetig- keit, Beschr~nktheit bzw. Konvergenz bezfiglich ~e. l]" lie ist eine Iqorm, wenn K algebraisch abgeschlossen ist. I s t Y sogar ein ~-Dedekind-vollst~ndiger Verband, so wird Y (lurch II" tie zu einem Banaehraum ([3], S. 308).

Nach diesen Bemerkungen ist es klar, wie man auf dem Umweg fiber die Topo- lo~e ~e rein ordnungstheoretisehe Versionen der S~tze im Teil I erh~lt.

Die Eigensehaft (2) in Satz 1 besagt dana, daft F auf einer offenen Menge gleieh- m~Big e-beschr~nkt ist. Sie kann ersetzt werden durch die gleichm~Bige e-Besehr~nkt- heit nach oben. Es gilt ns die

B e m e r k u n g . Sei die Familie konvexer Operatoren F auf der offenen Menge Q punktweise e-besehr~nkt and gleiehm~l~ig nach oben e-beschrs Dann besitzt jeder Punkt x0 e Q eine Umgebung, auf der F g le ichm~ig e-beschr~nkt ist.

Bewe i s . Sei V eine kreisfSrmige Nullumgebung in X mit V(xo) : ~ xo ~ V c Q. W~re F auf V (x0) nieht g le ichm~ig nach unten e-besehr~nkt, so gs es eine Folge xn ~ V(xo) und Funktionen In e F, so dal~ (/n(xn)) nach unten nieht e-beschr~nkt ist. Ans

/~(xo) =/~(~ (2x0 - z~) + ~x~) =< ~/~(2x0 - x~) + ~/,~(x,~)

und der gleiehms Besehr~nktheit yon F nach oben ergibt sieh, dal~ (In(x0)} nicht nach unten e-beschr~nkt ist im Widersprueh zur Voraussetzung.

Literaturverzeichnis

[1] G. C~OQUET, Lectures on Analysis I. New York-Amsterdam 1969. [2] P. KOSMOL, Optimierung konvexer Funktionen mit Stabilit~tsbetraehtungen. Dissertationes

Mathematicae CXL, 1--42 (1976). [3] W. LVXEMB~G and A. ZAANE~, Riesz Spaces I. Amsterdam-London 1971. [4] W. SC~ILL, ~ber konvexe Abbildungen. Diplomarbeit, Kiel 1976. [5] J. WLOKA, 1%nktionalanalysis und Anwendungen. Berlin-New York 1971. [6] H. vo~ WE~ZSAECKER, Sublineare Abbildungen und ein Konvergenzsatz yon Banaeh. Math.

Ann. 212, 165--]71 (1974).

Eingegangen am 24. 2. 1978 *)

Anschrift der Autoren:

P. Kosmol, W. Schill und M. Wriedt Mathematisches Seminar der Christian-Albreehts-Universit~t Olshausenstr. 40--60 D-2300 Kiel

*) Eine Neufassung ging am 28. 2. 1979 ein.