550.37

Der scheinbare spezifische Widerstand einer geneigten ebenen Schiehte.

Von

A. Huber, Wien.

Mit 9 Textabbildungen.

Zusammenfassung. Ausgehend yon der streng gtiltigen Darstellung des elektrisehen Potentials ffir einen Keil wird der seheinbare spezifische Wider- stand fiir eine parallele und eine senkreehte Lage der MeBbasis gegeniiber dem AusbiB einer ebenen geneigten Schichtgrenze abgeleitet. Die Vergleiehung der Widerstandskurven mit gewShnlichen Zweisehichtkurven ergibt Hin- weise auf m5gliche Irrt i imer bei der Auswertung geoelektriseher Tiefen- messungen. Ferner werden der Verlauf des scheinbaren spezifischen Widerstandes beim Uberqueren eines Ausbisses mit einer ttorizontalsonde und die Ermit t lung des Streiehens einer Sehichtgrenze mittels einer Kreis- sonde gezeigt. Schliel~lieh werden die theoretischen Grtmdlagen ffir die Untersuchung des Einflusses yon Abh~ngen auf geoelektrische Tiefenmes- sungen entwiekelt.

Summary. Starting from the rigorous representation of the electrical potential for ~ wedge the apparent specific resistance is derived for both a parallel and a normal direction of the measuring basis with regard to the outcrop of an even inclined s t ra tum boundary. Comparison of the resistance curves with the normal two-layer curves indicates possible errors in evaluating geoelectrie soundings. Furthermore it is shown how the apparent specific resistance varies when an outcrop is being crossed with a horizontal sonde and how the direction of a s t ra tum boundary can be determined by radial sounding. Finally, the theoretical bases for investigation of the influence of slopes ou geoelectric soundings are developed,

R~sum~, Apr~s avoi r represent@ exaetement le potentiel ~lectrique pour un coin, l 'auteur d~duit la r6sistanee sp@cifique apparente pour les cas off la base des mesures est parall@le ou perpendieulaire ~ l 'affleurement de la limite plane inclin4e de deux couches g@ologiques. La comparaison des courbes de r@sistance et des courbes habituelles entre deux couches donne des renseignements quant ~ des erreurs probables lots de l'@laboration de mesures g@o@leetriques de profondeur. L 'auteur montre ensuite la valeur de la r6sistance sp4cifique apparente quand on traverse un affleurement au moyen d 'une sonde horizontale et la mani@re de d@tel~niner la direction de

96 A. HUB~:

la limite de deux couches au moyen d'une sonde cireulaire. Enfin il d6velopioe les bases thdoriques pour l'6tude de l'influenee des pentes sur des mesures g6o61ectriques de profondeur.

Schon wenige Jahre, naehdem J. N. ItV~M~L [2, 3] den Begriff des scheinbaren spezifischen Widerstandes (sob. W.) gepr/ig~ und seine Bedeutung ffir die Auffindung horizontaler ebener Sehichten dargelegt hatte, wurden Versuche unternommen, aus dem durch die bekannten MeBverfahren sieh ergebenden Verlauf des sch. W. auch geneigte ebene Schichtgrenzen zu bestimmen. Von derartigen Versuchen seien bier nur die yon F. TSLK~ [7] und yon ~[. U~z [8] erw~hnt, die beide die Methode der elektrischen Bilder bentitzen, die jedocla hier nut dann angebracht w~ire, wenn die ~[edien durch Voll.Ebenen voneinander getrennt wfirden. T{SLKE ist zwar bemfiht, die Randbedingungen wenigs~ens entlang der geneigten Schichtgrenze zu erfiillen (S. 282ff), ignoriert aber die eine Hfilfte der ebenen Erdoberfl~che. Da er yon seinem umfangreichen Formelapparat welter keinen Gebraueh macht und sparer (S. 290ff) nur den einer elemen~aren Behandlung zug/~ngliehen Fall einer sMgeren Sehiehtgrenze ausfiihrlich er6rtert, ist ihm der Fehler in seinen ~ber- Iegungen verborgen geblieben. Usrz dagegen sprich~ nur ab und zu yon Randbedingungen, ohne sich weiter um sie zu ktimmern, rechnet aber mit seinen Forme]n einige F~l]e fiir spitze Neigungswinkel vollst~ndig dureh und bemerkt dabei an einigen Stellen eMatante Uns~immig- keiten, die er dureh etwas willkiirliehe Korrek~uren zu besei~igen ~raehtet. Nag man die Konstrulrgionen dieser beiden Autoren aueh ats Ni~herungsl6sungen des Problemes gelten lassen, so halter ihnen doeh der schwere Mangel an, dab sie nur flit spitze Neigungswinkel x-~-z /n (n = 2, 3, 4 . . . ) brauchbar sind. Infolge dieser Einsehr/~n- kung entziehen sieh jedoeh solehe F/~lle der Untersuehung, in denen die geneigte Sehiehtgrenze nicht unterhalb der Meganordnung liegt oder wo Elektroden und Sonden zu beiden Seiten des Ausbisses sieh befinden.

Obwohl bereits in einigen Arbeiten aus dem 19. Jahrhunder~ Ans/~tze zu einer strengen L6sung der hier vorliegenden Randwertaufgabe ent- halten sind, warde sie doeh ersg vor 1~ Jahren yon S. O. t~m]~ [5] ffir das elektrostatische Feld explizite angegeben. Die yon t~Ie~ gefundene In~egrMdarstellung des Potentials fiir einen Keil erinnert an die fiir parallele ebene Sehiehten [6] und ffir Drehzylinder [1], es treten jedoch bier an Stelle yon Bessel-, bzw. yon trigonometrischen Funktionen gewisse, heute numerisch noch kaum zug/~ngliehe allgemeine Kugel- funktionen auf. Darin mag wohl aueh einer der Griinde liegen, warum jene LSsung bis jetzt noch nieht ffir die Geoelektrik fruchtbar gemacht wurde. Dies is~ nun in dem vorliegenden Aufsatz in einem Umfang gesehehen, sowei~ es eben einem einzelnen in Anbetraeh~ der dazu erforderliehen miihsamen geehenarbeit m6glich ist.

Da sehon yon vornherein zu erwarten ist, dM3 sieh die ftir eine geneigte ebene Sehichtgrenze ergebenden Widerstandskurven bei manehen Meg-

Der scheinbare spezifische Widerstand einer geneigten ebeneu Schichte. 97

anordnungen yon gew6hnlichen Zweisehichtkurven kaum unterscheiden wiirden, war ich insbesondere bestrebt, Kriterien fiir das Vorhandensein einer geneigten Schiehtgrenze zu Iinden und auf die mitunter geradezu absurden Ergebnisse hinzuweisen~ zu denen die Auswertung einer aus Feldmessungen fiber einer geneigten Schichtgrenze konstruierten Wider- standskurve mit den fiblichen Hilfsmitteln ffihren kann. Es ist iiberhaupt abwegig, fiber einer geneigten Sehichtgrenze Tiefenmessungen vor- nehmen zu wollen, denn eine solche ist ja durch ihren Ausbi[3 und ihren Neigungswinkel vollkommen bestimmt. Die Lage des Ausbisses, der etwa durch eine dfinne Humus- schichte verdeckt sein kann, ls sich durch eine Kreis- bzw. durch eine Horizontalsonde ermitteln. Erweist er sich in hinl~nglicher Ausdehnung als eine Gerade, dann hat man nur mehr den Neigungswinkel zu finden, indem man den asymptotischen Weft des seh: W. fiir eine dem Aus- biit parallele Mel3basis aufsueht. Ob eine geneigte Sehichtgrenze auch noch in einiger Entfernung von einem ger~dlinigen Ausbil~ als Ebene be- trachtet werden darf, li~l~t sich durch die hier entwiekelten Hilfsmittel natfirlieh hSchstens mehr oder weni- ger wahrscheinlich machen, indem man entlang einiger Parallelen zum Ausbi[t die jeweiligen asympto- tisehen Werte des sch. W. ermittelt. Ihre ~bereinstimmung wird man wohl ats ein Zeichen daftir betrachten

,0 . V " x

6.

|

Abb. 1. Zum Potential eines dielektrischen Keiles.

diirfen, dab die Schiehtgrenze auch in grSl~eren Tiefen noch dieselbe Neigung hat, also eine Ebene sein wird. Noch viel gewagter w~re es, Schliisse auf zwei einander parallele geneigte Sehichtgrenzen zu ziehen. Es diirfte kaum gelingen, dem hier benfitzten analoge Ans/~tze ffir das Potential zu finden, mit denen man die entsprechenden Randbedingungeu erfiillen kSnnte.

I. Das Potential eines Keiles.

Es sei der ganze ]~aum von zwei Medien mit den spezifischen Wider- st~nden 01 und ~ erffillt, die durch zwei Halbebenen voneinander getrennt sind, die den Winkel 2 ~ einschliel~en und deren Schnittgerade die z-Achse je eines Zylinderkoordinatensystemes sein sell (Abb. 1). Ihre Polarachsen ]iegen in der Symmetrieebene des Kefles und unterscheiden sich voneinander blol~ durch ihre Orientierung. Die xy-Ebene enthalte den Quellpunkt Q, der sich im Innerer~ des Mediums (ol) befinde und

Arch. Met. Geoph. Biokl. A. Bd. 8, H. I/2. 7

98 A. HUBER:

n ich t in einer der beiden Ha lbebenen l iegen darf, also IvY[ < ~. W e r d e n ferner de r Kfirze wegen

r ~ + r '~ + z ~ s' -- -- ~0~0' > I (1)

2 ~ ' �9 r ' =

und Q P = R gesetzt und flieBt aus Q ein Sbrom yon der St~rke J in das Medium (9~), d a n n l au ten die yon RICE ffir das e lektros~at isehe Fe ld gegebenen Dars te l lungen des Potent iMes in unserem F a l l :

i * o o

' f } Vl = J'q~'4= @ yr. Vr--~-r' " ~ z - ~ / ~ ( s ' ) ' l ( ' ~ ' O ' ) ' d 4

- ~ ' ~ 10'[ =< ,~.o~ (2)

V2 = i �9 J - ~ �9 f ~a _~/~ ( s ' ) " g (4 ,0" ) " d4 4 ~ 2 . V ? ' . ~.,, .]

- ~ o o [0"I < ~ - - ~ = /3 . Dabe i ist~ ~ z - ~ h (s) die a l lgemeine Kugelfunk~ion zwei ter Ar t ,

r 1 6 2 sin2,~fl [ o o s ~ O " c o s Z g ' s inZv~-s in~v~ ' ] [

g (4, 0 " ) - - cos Z ~ �9 eos Z 0"" siri X v ~ �9 sin ~t v ~' ' / D~ ~ @ D 3 ~ '

u n d mi t k - ~)2--~i __ q - - 1

(3)

D(Z;o~,k) ' J

D~ ~ = sin 4 ~ . cos 4/3 + q~. cos 4 c~ �9 sin 4/3

i - - [sin 4 ~ + k" s i n 4 (2 ~ - - ~ ) ]

+ ~ (~)

D ~ = s i n 4 / 3 . c o s 4 ~ + e ~ ' c o s 4 / 3 " s i n 4 ~ = ~o2

1 = T + k " [sin 4 ~ - - k" sin 4 (2 ~ - - n)].

Die In tegrMe in (2) lassen sich zwar mit te]s des Res iduensa tzes in Re ihen en~wickeln, die aber nur sehr l angsam konvergieren, weil ~ _ % mi t waehsendem 2 nur wie 2 - ~/~ a b n i m m t . Da au6erdem m. W. die F u n k - t ion ~ _ V~ (8) noch n ieh t t abu l i e r t ist, scheint as zweckm~13iger zu sein, diese In tegra le fiber die reelle Achse zu ers t reeken ( 4 - ~ i 4). Dabei werden m i t

D (4; ~, k) = k 2. | 24 (2 ~ - - ~ ) - - | ~ 4 ~ :

| 2 ~ (~ - - ~) / ( i 4 , ~ ' ) = i . F (4 ,~ ' ) = i . k

| ~ | ,t, ~ . ~ [ .~ (0 - - 0 ' ) - - k . | ,I. (2 ,x - - z ) �9 ~ [ ;t (v a + 0 ' )

D (x; ~,,k) (3') g (i Z, ~") = i . G (4, ~") = i . (~ + It)-

Der scheinbare spezifische Widerstand einer geneigten ebenen Schichte. 99

also ungerade Funktionen yon 2. Man hat daher s tat t (2):

V1 = J " @i 4 ~

OO

�9 R1 ~ 1/r-77 r, [ ~ ;~-V.. (s') - - ~_i~_~,,~ (s')] �9 F (~, 0 ' ) . dZ 0

i" J'@i ".f V~ = - - 4 ~ l / r~ r " [~-~h (8") -- ~-i~-~/~ (~")] " G (~, 0 " ) . d 2 , 0

wobei nun ([4], S. 62):

Setzt man mit s = ~01 ~0:

2 - - - - . Im {~ i ,~ - -V , (s)} ---- 3;g 2 ~r. ~ i~ . -V~ (~ol ~o) = Q ()~, v2) ,

7~

so erh~lt m~n schlieglich die folgenden Darstellungen fiir das Potential:

Vl,0111 1 f ] 4 ~ /~1 Vr_?7 " �9 Q (2, ~o')-F (~, O')" d2 0

V~ = J " @1 . f - - ~ ~ Vv--~" Q (z, ~") �9 ~ (~, o") �9 d~. 0 )

( 5 )

Von gewissen Sonderf~llen abgesehen, wird es nicht mSglich sein, diese IntegrMe duroh bekannte Funktionen auszudrficken, und daher wurde die Funkt ion Q (2, ~0) mit einer fiir den bier verfolgten Zweck hinreichenden Genauigkeit ffir 0 <-- 2 ~< 10 und 0 G ~0 --< 5 in monate- langer Arbeit tabuliert.

Den Aufgaben der Geoelektrik liogt meistens die Annahme zugrunde, dab sieh die Elektroden und die Sondon auf der ebenen Erdoberfl~che befinden, so dag die ja fiir don Vollraum giiltigen Potentiale (5) nioht ohne weiteres dafiir brauohbar sind. Sieht man also yon Messungen in sehr fief liegenden Stollen ab, bei denen der Einflug der Erdoberfl~che sicher vernaohl/~ssigt werden darf, so hat man diesen in bekannter Weise duroh Spiegelung zu beriicksiohtigen, wobei der Faktor 4 ~ in den Nennern yon (5) durch 2 7~ zu ersetzen ist. Wir wollen jedoeh den praktisch kaum interessanten Fall einer vertikalen Keilkante beiseite lassen, in dem die Formeln (5) in ihrer vollen Allgemeinheit herangezogen werden miigten, und unseren weiteren Betrachtungen die Annahme zugrunde legen, dab sieh die Keilkante in der ebenen Erdoberfl~ehe befinde. Dann mug diese als Symmetrieebene des Keiles gew~hlt, also O = v ~ ' = 0 " = 0 gesetzt werden, wenn die Elektroden und die Sonden auf ihr liegen. Dann ist aueh das Fold seiber symmetriseh beziiglieh der Erdoberfl~iche

7*

100 A. Hu~n~:

OVi y ~ 0, die sodann eine StrSmungsf l~ehe ist, also - ~ - v = o = 0, wobei

i = 1, 2, je naehdem v ~' = 0, bzw. v~" = 0L W e n n sieh jedoch, wie bei Messungen in Bohrl6ehern, eine oder, wie bei ~ e s s u n g e n in n ieh t sehr t iefen Stollen, beide E lek t roden ira E rd inn e re n bef inden, d a n a mtissen uoeh ihre Spiegelbi lder bezfiglich der ebenen Erdober f lgehe hinzugeffigt werden, um ein symmet r i sehes F e l d zu erhal ten . W i r wol lea aber nur den Fa l l v ~ - ~ v ~ ' = v a " ~ 0 wel ter ausffihren, fiir den aus (3') fo lgt :

F (~, 0) : - - k - ~ i n 2 ~ �9 [ | ~ + k �9 ~ in2 ( 2 a - - g ) ] - -

= - - k " ~ (~; cr k) 1 + k (6)

G (2, 0) :-- | ~ ~ + k �9 ~in 2 (~ ~ - - ~)

= - - (~ + k) "z (2; ~, k),

womi t m a n nun fiir jede bel iebige Lage des Quell- und des F e l d p u n k t e s naeh (5) das Po ten t i a l und d a m i t auch den seh. W. fiir eine jede MeB- ano rdnung bereehnen kann.

II. MeBrichtung paral le l z u m Ausbil] . I n diesem Fa l l b le ibeu die E l ek t roden und die Sonden s te ts auf

dealse lben Medium (~1), das Po ten t i a l is t also dureh V 1 al lein in (5) gegeben. Da wir den Verlauf des seh. W. n ich t nur als F u n k t i o n yon E1 E2 ~ l, sondern auch in seiner Abh~ugigke i t yore Neigungswinkel zeigen wollen, is t es zweekm~13ig, den A b s t a n d der Mel3basis yore AusbiB als L~ngeneinhe i t zu w~hlen (Abb. 2), so dal~2:

r I ~ r 2 ~ r 1' ~ r 2' - - 1

und daher ffir die W e n n e r . A u o r d n u n g nach (1):

sll = s2~ ~- I ~ 1 2 / 1 8 : ~o[ Wl ; sle = s2z = l ~ 2 l~/9 : ~o I ~2.

I s t also U (/; ~, k) die zwischen den Sonden S 1 und S~ her rsehende Spannung, so erhi~lt m a n mi t (6) in b e k a n n t e r Weise ffir den sch. W. os (/; ~, k):

2 ~ . ~ . U ( l ; ~ , k ) _ es(l;~,k) - -1 + 2 ~ . Z f [ Q ( 2 , ~ l ) _ 3 J . ~ ~1 - - 3 - - J

0

- - (2 (2, ~ ) ] . ~ (2; ~, ]~). d2. (7) Der I n t e g r a n d is t also aueh hier wieder das P r o d u k t zweier F a k t o r e n ,

1 Die yon TSLKE angegebene LSsung, bei der cr ~ ~/2 sein mul3, erfiillt ~Vi I die Bedingung -~Y-lv = 0 ~ 0 mtr ftir i = 1, aber nieh~ auch fiir i =2 .

2 Da U~z als Li~ngeneinheit den ver~ikalen Abstand der MeBanordnung yon der geneigten Schichtgrenze w~thlt, was fiberhaupt nut fiir a ~ z/2 m6glich ist, schneiden sich seine Widerstandskurven. Fi i r a ~ n/2 kommt er daher zu einem konstanten sch. W., ein offensichtlich widersinniges Ergebnis !

Der scheinbare spezifische Widerstand einer geneig~en ebenen Sehieh~e. 101

yon denen der erste nur yon der MeBanordnung und der zweite nur veto Untergrund abh~ngt. Wenn 1--~ c~, so dab die beiden Medien (~1) und (o~) als parallel geschaltete Leiter betraehtet werden k6nnen, dann folgt ~ dem zweiten Kirehhoffsehen Satz [8, S. 126 (21)]:

e~ (oo) 1 - - , (8)

woraus man bequem den Abstand der Asymptote einer Widerstandskurve yon der /-Achse finder.

Die Abb. 2 zei~g in einem log - - log -Ne tz die naeh (7) berechneten Widerstandskurven filr q - - 1 0 und q = i/i o und ie neun Wer~e yon a.

~H

~/. e * A

gO

. r ~

- 4 , 5 "

/ - s ~

- 7 5 ~

- 9 0 ~ - 105 ~

. _ _ . . _ _ _ - . y j s 1 7 6

=- l 70J

" - - . - . . j O o

Abb. 2. Der scheinbare spezifische Widerstand Iiir eine zum AnsbiB parallele Mal~basis.

Dieselben Widerstandskurven wfirde man natiirlich aueh ffir E 1 E 2 ~- l eonst bei Ann~herung der NeBbasis an den Ausbig erhalten. Wie

zu erwarten war, haben sie den Habitus gewShnlieher Zweisehieht- kurven, doeh entfernen sieh die zu q = l0 geh6rigen Xurven zunachst

langsamer yon der/-Aehse Ms jene mit dem gleiehen os (co) , nghern sich

aber dann raseher ihren Asymptoten. Die zu q ~ 1/10 gehSrigen Kurven dagegen verhalten sich umgekehrt. Dieser geringffigige Unterschied gegenfiber den Zweisehichtkurven kann natfirlieh kein praktiseh brauch- bares Kriterium daffir bilden, ob die Feldmessungen, ~ denen eine Widerstandskurve konstruiert wurde, fiber einer geneigten oder fiber einer horizontalen Schichtgrenze ansgeffihrt worden waren.

Wfirde man aber eine fiber einer geneigten ebenen Sehichtgrenze aufgenommene Widerstandskurve in der fibliehen Weise mit Zweischicht-

102 A. HUBER:

kurven auswerten und aus der Asympto te den Wert yon ~2 bestimmen, so erhielte man bei q = 10 selbst ffir ~ = 15 ~ nur wenig mehr als die t{/~lfte des wahren Wertes, w/~hrend sich fiir q = 1/10 bedeutend geringere Abweichungen ergeben wfirden. Natfirlich wird eine solche Auswertung auch {ehlerhafte Tiefenaugaben liefern, doch ]iegen flit ~ < 30 ~ die Fehler noch innerhalb der in der Geoelektrik zul/~ssigen Schranken. Als L/~ngeneinheit ffir die Tiefen ha t man dabei selbstversti~ndlich den Wef t v6n tg ~ zu nehmen.

Eine geneigte Schiehtgrenze mach t sich abet auch dann bemerkbar, wenn sie gar nicht unter der Me[3anordnung liegt, also fiir ~ ~ 90 ~ so dab eine yon einem P u n k t der MeBbasis aus niederge]assene Bohrung sie gar n icht anfahren wfirde. Die zu q = 10 und ~ = 120 ~ z. B. geh6rige Kurve der Abb. 2 deckt sich ganz gut mit der zu q = 3/2 gehSrigen Zwei- schichtkurve und wfirde die - - natiirlich unsinnige - - Tiefenangabe 1,2 ]iefern.

MSgen diese Betraehtungen, die man leicht noch weiter ausffihren k6nnte, den Prakt iker zun/~chst nur zur Vorsicht bei der Auswertung yon Tiefenmessungen ermahnen, so laBt sich ihnen doch auch eine positive Seite abgewinnen. Wenn n/~mlich ~1 und ~2 sowie die Lage des Ausbisses bereits bekannt sind und wenn stratigr~phisehe Erw/~gungen die An- nahme rechtfertigen, dab die Schiehtgrenze in genfigender Ausdehnung nahezu eine Ebene sein wird, dann w/~re es f iberhaupt verfehlt, dureh Tiefenmessungen ihren Neigungswinkel ermitteln zu wollen. Zur Be- schreibung der geometrisehen Verh/iltnisse des Untergrundes genfigt ja dann die Kenntn is des Winkels a, und diesen kann man aus dem Wer t ,% (co)

-- qs nach der aus (8) sich ergebenden Formel bereehnen:

= ~ . ~ . Q ~ - - ~ ( ~ ) - ~ q - -q~ (9) ~s (oo) ~ - - QI q~ q - - 1 "

I I I . M e B r i c h t u n g s e n k r e c h t a u f d e n A u s b i l L

Is t die MeBrichtung nicht zum Ausbil~ parallel, dann muB bei fester Mitre der MeBanordnung einmal eine Elektrode und eventuell auch eine Sonde den Ausbil~ fiberqueren, was sich in einem Knick der Widerstands- kurve bzw. in einem Sprung derselben bei der Schlumberger-Anordnung bemerkbar macht . Wir besehr/~nken uns auf den Fall einer auf den AusbiB senkrechten Mel~basis und nehmen an, die ihm am ni~ehsten liegende Elektrode E 1 werde w/~hrend einer MeBreihe festgehalten und 0 E 1 = r 1 = d als L~ngeneinheit gew/~hlt (Abb. 3). Nach (1) wird nun:

I ( 1 ) ~o!~lj, -2 " 1+].1/3 + 1 + ].1/3 = slj =

l , + z + i (j = 1, 2) 2 (1 § ~ i-+-l ] = s 2 ' = YJ~j,

also lira s~l = ~/a und lira se~ = la/~, w/~hrend die Sly. zugleich mit l fiber 1 - - > o o 1 - - > o o

alle Grenzen wachsen, so dab lira Q (%, y~l~)= O. Da w/~hrend dieser l ----> o o

Der seheinbare spezifisehe Widers~and einer geneigten ebenen Schiehte. 103

Megreihe alle Elektroden und Sonden fiber dem Medium (0i) verbleiben, folgt aus der ersten Formel (5) wegen (7) mit Q (~, ~i~.) = Qi~ (2) die ffir die Bereehnung des seh. W. wohl zweekmigigste Darstellung:

2 l . ~ - U(l;~,/c) 9s (/;co,/c) 3 J �9 ~i ~J o o

Q.(~) Q~(~) ] = , + .f{l/Z +

0

Q~ (~) Q2, (x) } (J ]~)- d~. (10) + V(1 + U~)" (~/3 + ilZ) g(~ + l/z). ('/~ + i/~) "cf ; ~,

Fiir c~ ~ z~/2 erhi l t man mittels Spiegelung:

= 1 ~ - k . 1 . ] -F 6 + 5 l 6 + 4 l 6 + 2 l ~l

also insbesondere: e~(~) __ 1 -F 9

0~ -fig" ~"

T: 0,6-

o'.e(.r, s, ~

j O ~

~@,.~oj.. ~ -~o"

~ ~ ~ l J s ~

Qz/~7" 1/1o ~ Jo

, a = l s ~

Abb. 3. Der seheinbare spezifische Widerstand bei einer zum Ausbig senkreehten MaBbasis mit fester Elektrode E t.

Die Widerstandskurven (Abb. 3) besitzen wieder den I-Iabitus von Zweisehiehtkurven, entfernen sich aber nun raseher als diese yon der /-Aehse und n ihern sich langsamer ihren Asymptoten, und zwar sowohl fiir q = 10 als auoh ffir q ----- 1/10. Eine der Formel (8) analoge einfache

Beziehung zwischen Q~ (~) , q und c~ scheint bier leider nieht zu existieren. ql

Beziiglich der Auswertung dieser Widerstandskurven mittels Zweisehicht- kurven gilt so ziemlich dasselbe wie bei 2.

Aueh die Kurven der Abb. 3 verraten dem Praktiker nicht, daft die Messungen fiber geneigtem Untergrund ausgefiihrt wurden, man kann bier aber doch dureh die folgende Uberlegung ein Kri terium finden.

104 A. HUBER:

ldber einem horizontal geschiehteten Untergrund aufgenommene Wider- standskurven mfissen ja unabhgngig sein davon, ob man w~hrend einer MeBreihe wie fiblich die Mitre der Meganordnung, eine Elektrode oder eine Sonde festh~lt oder ob man fiberhaupt mit der gs Mel3anordnung auf der horizontalen Erdoberflgche hin und her wandert. Hglt man abet fiber geneigtem Untergrund die Elektrode E~ fest and dehnt man die ~eBanordnung gegen den AusbiB hin in der darauf senkreehten Riehtung aus, so wird man Widerstandskurven erhalten, die yon denen der Abb: 3

~s/r

o,5.

V

gd

erheblieh abweichen mtissen. Man braucht sie nieht neu berechnen, sondern kann sie aus den Kurven der Abb. 3 duroh eine einfache Trans-

a.15o formation des Argumentes herleiten. Bedeuten ngmlich (Abb. 4) d*, D* und l* die etwa in Metern gemessenen Lgngen yon 0 El, 0 E 2 und E 1 Es, wghrend l und l' die MaBe yon E 1 E 2 sind, je naehdem d* bzw. D* als Lgngeneinheiten gewghlt werden, also

l* l* l =~ , - , l' = -DT,

dann ist wegen D* = d* q-l*

l* 1 g l - -

d* § l* 1 + l" \

\ e = l S ~ Ffir zwei dureh diese Beziehung miteinander Abb. 4. Derscheinbarespezifi- verknfipfte Werte yon 1 u n d l ' ist dann offenbar sche Widers tand bei einer znm Ausbig senkreehten Nal3basis Qs (1) = ~s (l'), wenn Qs (l') den ffir festes E 2 sieh

1nit fester Elektrode ~. ergebenden seh. W. bedeutet. I)amit wurden aus den Kurven der Abb. 3 die der Abb. 4 konstruiert,

wobei natfirlich l' < 1 sein mug, da ja sonst E 1 schon den AusbiB fiber- sehreiteu and 9s/91 dann nicht mehr durch (10) darstellbar sein wfirde.

Wir wo]len nun den Verlauf des sch. W. untersuchen, wean der Mit tdpunkt M der Wenner-Anordnung festgehalten wird, so dag E 1 and S 1 den Ausbil3 iiberschreiten werden. Wir wgh]en nun die einzige konstant bleibende Strecke, ngmlich 0 M = m* a l s L~ingeneinheit and setzen

l* I = ~ - ; - . Ffir m * > i/2.1* ]iegen E z und S 1 fiber dem Medium (ol),

uad der sch. W. ist durch (10) darstellbar. Setzt man ngmlich jetzt -/-= /*

d-:*-' so wird das MaB 1 der dutch m* gemessenen Strecke E l Ee:

l* l* 21- m * d* + 1/2 �9 l* 2 + 1-'

und man hat:

we nun abet unter 1-die Abszissen der Abb. 3 zu verstehen sind. Bis I ~ 2 k6nnen danach die Widerstandskurvea ffir fesLes M ]eicht aus den Kurven der Abb. 3 gefunden werden.

Der scheinbare spezifische Widerstand einer geneigten ebenen Schichte. 105

W e n n jedoch 0 zwischen E~ und S~ liegt, also fiir 2 < 1 < 6, so dal~ nun:

O E ~ = q ~ - l / 2 - - 1 ; O E ~ = r ~ = l / 2 + 1 ; O S ~ = q ' = l - - l / 6 ;

O S 2 = r( = l +1/6,

dann wird das Potent ia l des yore Quel lpunkt E~ im Medium (~) erzeugten Feldes dureh die zweite Formel (5) dargestell t , doeh h a t m a n darin vorher @x durch @2 und in der zweiten Formel (7) daher k dutch ( - - k ) und a dureh (~ - - ~) zu ersetzen. Wegen (1 - - k) �9 ~2/@~ -~ 1 + k ergib~ sieh nun mi t Qi~ (2) = Q (~, Vi~) (i, ] = l, 2) fiir den sch. W. :

21 .~ . U(l;o~,k) @s(l;cc, k) 3 �9 J �9 ~1 ~1

(:X:)

= -~ + ~ . (1 + k) . == "z (2; ~, ~) + Vr~. r~' Vr~. r~

0

�9 ~ ~ _ _ ~ _ _ �9 ~ ( 2 ; o~, k ) �9 d2 + k . V~" r; V,', " r;

und besonders f i i r -~ = ~/2 e lementar :

( ' ) qs 1 ; ~ , k --I +~-. I-- ~ (1 + ~) - (~ + 6~ '

so d~8 :

(11)

(H ' )

�9 Z ()~; ~, Is). d2. ( 1 2 )

Man sieht leicht, da~ hier lim si~ = 5/~, also l i m Q (2, V i d ) ~ Qoo(2) l - - > c ~ 1 - - - > ~

3 J �9 ~1 ~~

0

Q22 �9 Gi l t2 2 ( ~ - - ~ ) d- (1 +Is). V ~ re" Vr2"rl JJ

9

in ~be re ins t imruung mi t (10') ffir 1 ~ oo. Ferner wird

~t

womi t wenigstens ffir ~x = ~/2 die 0 rd ina t en der K n i e k p u n k t e der Widerst~andskurven bequem gefunden werden kSnnen.

W e n n sehlieglieh aueh die Sonde S 1 den AusbiB i iberquer L also fiir 1 > 6, wird q ' = 1 / 6 - - I und m a n ha t sodann:

2 l ' ~ . U ( l ; % k ) __0s(1;a ,k)

106 A. HUBE~:

(i, ] = 1, 2), so dab sich ffir den Abs~and der Asympto ten yon der / -Achse ergibt: q~(c~;~,k) _ 1 -k q___2_2

a V3- C<D

�9 | . [ q . | 1 7 4 ) �9

0 �9 O ~ ( t ) .;% ( i ; o~, k) . d t .

e~le , - "

" ~ ~ --30 't

_ _ a = ~ ~

Abb. 5. Der seheinbare spezifische Wide r s t and bei einer z u m i u s b i B senkreehten Mal]basis m i t /es ter ~ i t t e M .

Fiir or ~ ~ / 2 h ~ m a n e l emen~r :

01 = ~ ~ - " ~ + , (12')

also

wie vorher, und

QI 2 2 ~I ' wie es ja soin muB.

Die Abb. 5 onth~l~ einige der nach (10), (11) und (12) beroehneten Widerstandskurven, deren Knioke flit q ~ 10 deutlicher ausgepri~gt er-

Der scheinbare spezifische Widerstand einer geneigten ebenen Schichte. 107

seheinen Ms fiir q : 1/10, und zwar aueh in einer yon r abhi~ngigen, aber ffir 1 -~ 2 bzw. l ~ 6 verschiedenen Weise. AuffaUend sind ferner ihr fas~ geradliniger Verlauf ffir cr ~ 90 ~ ftir 2 < 1 < 6 und der Kriimmungs- wechsel ffir cr ~ 90 ~

Eine Tiefenmessung, bei der E 1 und S 1 einen etw~ dureh eine diinne Humusschichte verborgenen Ausbil~ fiberqueren, wfirde hier eine diskrete Folge yon Werten far den sch. W. lidern, ~us denen man auf das Vor- handensein yon drei, ]a ffir r > 90 ~ vielleicht sogar yon vier Sehichten schliel~en kSnnte, obwohl gerade in diesem t~alle eine yon M aus nieder- gel~ssene Bohrung iiberh~upt keine Schichtgrenze anfahren wiirde. Wenn man jedoch sehon mit dem Vorhandensein eines Ausbisses rechnet, dann k6nnen die Knickstellen der Widerst~ndskurve, f~lls sie deutlich genug zu erkennen sind, einen Hinweis ~uf seine L~ge geben; aber schneller und sicherer erh~lt man darfiber AufschluB mittels einer Horizontalsonde, sobald wenigstens fiber das Streiehen der Sehiehtgrenze begriindete Vermutungen bereits vorliegen.

IV. tdberqueren eines Ausbisses mit einer ttorizontalsonde. Den bier sich einstellenden Verlauf des sob. W. braueht man nicht

neu berechnen, sondern k~nn ihn aus den vorangehenden Diagrammen wieder durch eine Transformation des Argumentes leicht konstruieren. Man w~hlt dazu die einzige konstant bleibende Strecke, ni~mlich E 1 E 2 -~/*, als L~n- geneinheit und

d,_F 1 �9 m* -~l m - - - - l* l*

1 - ~ y d- 1/1 : 1/l (13)

als Argument yon Qs/Qi, solange sich die ganze Me]~anordnung fiber dem Medium (~1) befindet,

r" - ' 0 ' s ~ '

Abb. 6. Beziiglich des Ausbisses s:cmmetrische ~e[~- anordmmgen.

abet aueh d a n n noch, wenn 0 zwisehen E 1 und M liegt und d* dureh ( - - d*) ersetzt wird, so dal~ 0 G ( - - d*) < 1"/2. Aber aueh wenn M den AusbiB iibersehritten hat, kann man 9~ (m)/Q1 noch immer aus dem bereits vorhandenen Material herleiten. Es gilt n~mlich flit zwei bezfiglieh 0 symmetrisehe Lagen der Mel~anordnung (Abb. 6) mit E 1 E 2 = El ' E~' ---- l* und sr g - - c c ffir die Spannung zwischen den Sonden:

U ( - - m ; ~,k) = U ( m ; ~ - - ~ , - - k )

und daher ffir den bezogenen seh. W.

qs(--m;a,k) 2 . l . ~ . U ( - - m ; a , k )

2 . l . :u .U(m; :~ - -a , - - l c ) Qe __ Qs(m;z--c~,--k) . Q~ 3 �9 J . ~ ~i ~ ~i

108 A. H Y B r i d :

Die K u r v e n der Abb. 7 stel len den n~ch dem Vorangehenden aus Abb. 5 kons t ru i e r t en Verlauf des sch. W. dar , wenn eine Hor izont~ lsonde einen AusbiB in senkrech te r R i e h t u n g t iberquert . Wie zu erwar ten , i~ndert sieh der sch. W. am st~rksten, wenn M den AusbiB i ibersehrei te t .

;1 5

gz/Qs : 1o

-1

0S-

,r

O,J

~ .

o,/-

' I l l i i

Abb. 7. Der scheinbare spezifische Widerstand beim Idberqueren eines Ausbisses mit einer Horizontalsonde~

I n der P rax i s k a n n dieser theore t i sche Verlauf na t i i r l ieh niemals in a l len Einze lhe i ten festgestel l t werden, da m a n es do r t immer nur mi t d i skre ten und noeh dazu meis t s t a rk s t r euenden MeBwerten zu t u n hat .

V. Kreissonde fiber einer geneigten Schichtgrenze. U m mit te l s einer Hor izon ta l sonde die Lage eines Ausbisses rasoh

f inden zu k6nnen, miissen die E l ek t roden in einer wenigstens ungef~hr auf sein Stre ichen senkrech ten R i c h t u n g auf ihn zu bewegt werden. Diese R i c h t u n g k a n n mi t Hilfe einer Kre issonde b e s t i m m t werden.

Der scheinbare spezifische Widers tand einer geneigten ebenen Sehichte. 109

I s t co das Az imu t des Vektors E~ E~, wird 0~ (~~ fiber o) als Abszisse (0 ~_ co ~ 2 z) oder in e inem P o l a r d i a g r a m m aufge t ragen u n d e rgeben sioh fiir ~o ~ co o und o~ = ~o + Ex t r emwer t e , d a n n zeigt ~o of fenbar die auf das S t re iehen des Ausbisses senkrechte Rich- t ung an. Das Fa l l en der Schieht- grenze selber wird dureh d ie R i c h t u n g vom M a x i m u m zum Min imum oder die entgegen- gesetz te be s t immt , je nachdem 03 ~ 0~. D a sich zeigen wird, dab fiir 0~ > 0~ das Maximum,

~Z

Abb. 8. Kreissonde in der N~ihe eines Ausbisses.

ftir 0~ ~ 01 dagegen das Mini- m u m sch~trfer ausgepr~gt ist, so k a n n m a n die R i c h t u n g des Fa l l ens auch d a n n erkennen, wenn m a n noch n ich t weiB, ob 0~ ~ 01 oder ob 02 ~ 01 ist.

I )e r E in fachhe i t ha lbe r k6nnen wir o~ o ----0 annehmen , so dab mi t (Abb. 8):

h - - - - l , r 2 ~ l - k l . c o s c o , h ' ~ l - k l / 3 " c o s ( o , r ~ ' ~ l - k 2 1 / 3 - c o s ~ o , z l l -~ z~2 ~ 1/3" sin ~o, z12 : - z21 = 2 I/3" sin (D

nach ( i ) :

l ~ 412

s n ~ 1 -~ 6- (3 § I cos co)' s12 ~ 1 -k 6- (3 § 2 I . cos w) '

2 1 ~ s 2 1 ~ - 1 - ~ 3 - ( l + l . c o s ~ ) . ( 3 + l . c o s ~ ) '

se2 ~ 1 -[- 6 . ( l § 2 4 7

D a ffir 1 ~ 1 der yon der E lek t rode E 2 beschr iebene Kre i s den AusbiB schneider , h / i t te die 0~ (co)-Kurve zwei Knicke , womi t der AusbiB sehon b e s t i m m t w/~re. W i r nehmen daher 1 ~ 1 an u n d e rha l ten mi t den schon fr i iher ben i i t z t en Beze iehnungen:

2 ~ �9 l �9 U(~o;/, ~, k) qs(~o;/,~,k) 3 J �9 ~1 ~1

O<3

k �9 / . 1 " Q n ~ 1 + ~ c o s e) = 1 + - ~ - V a + ~ ' o o ~ o

]/3 + 2 l �9 cos ~ ~rl + t �9 cos

Die W i d e r s t a n d s k u r v e n der Abb. 9, die ~fir d ie A n n a h m e 1 ~ 0,9 be rechne t wurden, besi tzen, wie sehon erw~thnt, s t a rk ausgelor~gte M a x i m a u n d f lache Minima fiir q ~ 10, dagegen s t a rk ausgepr~gte Min ima und f lache M a x i m a fli t q ~ 1/10` Die Unte r sch iede zwisehen den E x t r e m - we r t en n e h m e n mi t wachsendem ~ rasch ab und werden ffir ~ ~ 90 ~

110 A. t-IUBER:

schon so gering, dag sie praktiseh wohl kaum in Erscheinung treten werden. Wie man aus den Kurven der Abb. 3 leicht sehen kann, ver- sehwinden diese Unterschiede um so mehr, je kleiner 1 is~. Man mug

o ~ ~o ~ 6o" 9o ~ ~ l s o ~ ~

ez/e,- 1o ~ (~/

~ d t l

Abb. 9. Der scheinbare spezifische Widerstand bei einer Xreissonde.

also mit einer Kreissonde sehon ziemlich nahe an den Ausbig heran- kommen, um aus dem dabei gefundenen Verlauf des sch. W. das Fallen der Sehichtgrenze noch sicher ablesen zu kSnnen.

VI . Mel lbas i s p a r a l l e l z u m R a n d o d e r z u m Ful l e ines e b e n e n A b h a n g e s .

In den bisherigen Betraehtungen wurde die Erdoberfli~che als Ebene angenommen und der Untergrund Ms inhomogen, man kann sie aber auch auf den FM1 fibertragen, dab die Erdoberfl~ehe yon zwei tIalb- ebenen begrenzt wird, wobei aber nun der Untergrund homogen sein mul3. Fiihrt man mit einer zur Sehnittgerade dieser beiden tIalbebenen para]lelen Megbasis eine Tiefenmessung aus, so wird der sch. W. einen einer Zweisehichtkurve /~hnlichen Verlauf besitzen, und zwar wird er eine schlechter oder eine besser leitende horizontale Schichte vorti~usctien, je nachdem man sich in der NiChe des t{andes oder des Ful3es eines Abhanges befindet, wobei na~iirlich der Neigungswinkel desselben ffir die Gr6ge dieses

Der scheinbare spezifische Widerstand emer geneigten ebenen Schichte. 111

Effektes maBgebend sein wird. Fiir den Fall eines I~andes kSnnen die Entwicklungen des Abschnittes 2 mit @3 =- c% Mso k = I und 0r < ohne weiteres verwendet werden, flit den Fall eines Fuges jedoch miigte

> ~ sein. Man mug sieh dann vorstellen, dag der ganze Keil sieh selbst innerhalb zweier Raumteile durchdringt, die entlang des FuBes miteinander verzweigt sind. Die in dem einfaeh iiberdeckten Raum liegende HMfte der Symmetrieebene des ganzerb Keiles hat man Ms Verzweigungssehni.tt zu betraehten. Denkt man sich eine It~lfte des KeiIes entfernt, so ha t man die tatsgchliehen Verh~ltnisse 1.

Die yon RICE gegebene Darstellung des Keilpotentiales behMt auch flit cr > ~ ihren Sinn, es ist abet nun zweckm~tltiger, yon den Formeln (2) auszugehen und in der ersten noch das Glied 1/R mit dem Integral zusammenzuziehen [5]. Liegt der Quellpunkt Q in der horizontal ge- dachten Symmetrieebene des Keiles, ist Mso v~ = 0 in Abb. 1, dann erh~lt man fiir das PotentiM, je nachdem 0 ' = 0 oder 0 ' = a, also je naehdem der Feldpunkt auf der horizontMen Italbebene oder auf dem Abhang liegt, die Ausdriieke:

~c~ [ c t g Z ~ | =/~ , . , - - l e o

Fiir diesen speziellen FM1 eignet sieh aueh die eingangs erw~hnte l~eihen- entwicklung, da fiir 0 ' = 0 zu allen in Frage kommenden Polen des

_ n ~ (n = 0, 1, 2, . .) dasselbe Residuum 1/~ geh6rL Integranden: ~ - - 7

so daB:

V(r,r';o~)= J'Q1 _ _ . ~ , en'~n,~ 1/(s) 2 Y~ " 0r . V ~" . ~ t

n = O

( % = l ; s n = 2 ; n = 1 , 2 , . . ) .

Mittels der Integraldarstellung ([4], S. 67) o o o(3

co f + g , , - 1 t) = f wo at 0 0

kann man die obige Reihe sogar summieren und erhglt: o o

V ( r , r ' ; ~ ) = J .@~ f l + o n/~ 2 ~ . ~ . VVrP~' " 1 - ~ / ~ " V w " at ,

0

woraus man wie frfiher die analytische Darstellung des sch. W. herleiten kann. Von den durchgerechneten Fgllen sei nur a = 3 ~/2 erw~hnt, bei dem 0, (oo) ~ 2/3. @1, wie es nach (8) sein mvg.

1 Man denke etwa an die analogen Verh~ltnisse bei einem magnetisehen Blatt oder an den yon A. SOMM~RF~LD in seiner strengen Theorie der Beugung verwendeten ]~iemannschen Doppelraum.

112 A. HrgBER: Der Widerstand einer geneigten ebenen Schichte.

Literatur.

1. HIJ~ER, A. : Die l~andwertaufgabe der Geoelektrik ftir Kugel und Zylmder. Z. ang. Math. u. Mech. 33, 382 (1953).

2. HIJ~EL, J. N. : Der seheinbare spezifische Widerstand. Z. Geophys. 5, 89 (1929).

3. - - Dcr scheinbare spezifische Widerstand bei vier planparallelen Schichtcn. Ebda. 5, 228 (1929).

4. IVIA~NUS, W. und F~. O B E R t I E T T I N G E R : Formeln und S~tze f/ir die speziellen Funkt idnen der mathcmatischen Physik. Berlin. 1943.

5. Rmn, O. S. : The electric field produced by a point-charge located outside a dielectric wedge. Phil. Mag. (VII), 29, 36 (1940). (Dort auch ~ltere Literatur.)

6. STEFAN]~SCO, S., C. und M. SC~LU~BE~GnR: Sur la distribution 6lectrique potentielle autour d 'une prise de terre ponetuel le . . . Journ. de Phys. et le l~ad. (VII), 1, 132 (1930). '

7. TSLKE, F. : Die geophysikalisehen Baugrunduntersuchungen mit besonderer Berficksichtigung der geoelektrischen AufschlieBungsverfahren. Der Bau- ingenieur 18, 271 (1937).

8. U~rz, M. : Apparent resistivity curves for dipping beds. Geophysics, Xu 116 (1953).