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Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II

Didaktik der Arithmetik

für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung

Bearbeitet vonFriedhelm Padberg, Christiane Benz

4. Aufl. 2011. Taschenbuch. x, 374 S. PaperbackISBN 978 3 8274 1996 5

Format (B x L): 15,5 x 23,5 cm

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Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II

Herausgegeben vonProf. Dr. Friedhelm PadbergUniversität Bielefeld

Bisher erschienene Bände (Auswahl):

Didaktik der Mathematik

P. Bardy: Mathematisch begabte Grundschulkinder – Diagnostik und Förderung (P)M. Franke: Didaktik der Geometrie (P)M. Franke/S. Ruwisch: Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule (P)K. Hasemann: Anfangsunterricht Mathematik (P)K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe (P)G. Krauthausen/P. Scherer: Einführung in die Mathematikdidaktik (P)G. Krummheuer/M. Fetzer: Der Alltag im Mathematikunterricht (P)F. Padberg: Didaktik der Arithmetik (P)P. Scherer/E. Moser Opitz: Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe (P)

G. Hinrichs: Modellierung im Mathematikunterricht (P/S)

R. Danckwerts/D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten (S)G. Greefrath: Didaktik des Sachrechnens in der Sekundarstufe (S)F. Padberg: Didaktik der Bruchrechnung (S)H.-J. Vollrath/H.-G. Weigand: Algebra in der Sekundarstufe (S)H.-J. Vollrath: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe (S)H.-G. Weigand/T. Weth: Computer im Mathematikunterricht (S)H.-G. Weigand et al.: Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I (S)

Mathematik

F. Padberg: Einführung in die Mathematik I – Arithmetik (P)F. Padberg: Zahlentheorie und Arithmetik (P)

K. Appell/J. Appell: Mengen – Zahlen – Zahlbereiche (P/S)A. Filler: Elementare Lineare Algebra (P/S)S. Krauter: Erlebnis Elementargeometrie (P/S)H. Kütting/M. Sauer: Elementare Stochastik (P/S)T. Leuders: Erlebnis Arithmetik (P/S)F. Padberg: Elementare Zahlentheorie (P/S)F. Padberg/R. Danckwerts/M. Stein: Zahlbereiche (P/S)

A. Büchter/H.-W. Henn: Elementare Analysis (S)G. Wittmann: Elementare Funktionen und ihre Anwendungen (S)

P: Schwerpunkt PrimarstufeS: Schwerpunkt Sekundarstufe

Weitere Bände in Vorbereitung

Friedhelm Padberg Christiane Benz


für Lehrerausbildungund Lehrerfortbildung

4. erweiterte, stark überarbeitete Auflage

Autoren

Prof. Dr. Friedhelm PadbergFakultät für MathematikUniversität Bielefeld

Prof. Dr. Christiane BenzInstitut für Mathematik und InformatikPädagogische Hochschule Karlsruhe

Wichtiger Hinweis für den BenutzerDer Verlag, der Herausgeber und die Autoren haben alle Sorgfalt walten lassen, um vollständige und akkura-te Informationen in diesem Buch zu publizieren. Der Verlag übernimmt weder Garantie noch die juristischeVerantwortung oder irgendeine Haftung für die Nutzung dieser Informationen, für deren Wirtschaftlichkeitoder fehlerfreie Funktion für einen bestimmten Zweck. Der Verlag übernimmt keine Gewähr dafür, dass diebeschriebenen Verfahren, Programme usw. frei von Schutzrechten Dritter sind. Die Wiedergabe von Ge-brauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondereKennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag hatsich bemüht, sämtliche Rechteinhaber von Abbildungen zu ermitteln. Sollte dem Verlag gegenüber dennochder Nachweis der Rechtsinhaberschaft geführt werden, wird das branchenübliche Honorar gezahlt.

Bibliografische Information der Deutschen NationalbibliothekDie Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; de-taillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

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4. Auflage 2011© Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011Spektrum Akademischer Verlag ist ein Imprint von Springer

11 12 13 14 15 5 4 3 2 1

Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb derengen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Dasgilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung undVerarbeitung in elektronischen Systemen.

Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Bianca AltonSatz: Autorensatz mit technischer Unterstützung durch le-tex publishing services GmbH, LeipzigUmschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu-Ulm

ISBN 978-3-8274-1996-5

Inhaltsverzeichnis

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I Die ersten Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 Entwicklung des Zahlbegriffs – zwei sehr unterschiedliche Ansätze . 5

2 Entwicklung der Zählkompetenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Erwerb der Zahlwortreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Zählprinzipien und Konventionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Niveaus beim Einsatz der Zahlwortreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Phasen der prozeduralen Sicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Aspektreichtum der natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1 Vielfältige Zahlaspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Mathematische Fundierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Probleme einseitiger Fundierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Kenntnisse am Ende der Kindergartenzeit/am Schulanfang . . . . . . . 17

4.1 Simultanerfassung kleiner Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Zählen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 Ziffernkenntnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.4 Kardinalzahlaspekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.5 Ordinalzahlaspekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.6 Maßzahlaspekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.7 Vorgänger/Nachfolger/Größenvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.8 Teil-Ganzes-Beziehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.9 Vielseitiger Einsatz von Zahlen in der Umwelt . . . . . . . . . . . . . 25

4.10 Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Der Zwanzigerraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.1 Erschließung heute – ein Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2 Festigung und Vertiefung des Zählens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3 Zahlen darstellen und erfassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.4 Zahlen zerlegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.5 Zahlen vergleichen und ordnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.5.1 Zahlen – Mengenvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.5.2 Reihenfolgen – Ordnungszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.6 Die Zahl Null . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.6.1 Null als Kardinalzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.6.2 Rückwärtszählen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.6.3 Zerlegungen/Null als Rechenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.7 Zahlen schreiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.8 Dezimales Stellenwertsystem – erste Vorarbeiten . . . . . . . . . . . 52

5.9 Vertiefung des aspektreichen Vorwissens

über die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

vi Inhaltsverzeichnis

II Zahlenräume – verständnisbasiert erarbeiten

und mathematisch vertiefen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1 Der Zahlenraum bis 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2 Der Zahlenraum bis 1 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3 Der Zahlenraum bis zu einer Million und mehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4 Unsere Zahlschrift – mathematische Grundlagen und Ausblicke . . . 80

4.1 Die römische Zahlschrift – ein Kontrastbeispiel . . . . . . . . . . . . 80

4.2 Das dezimale Stellenwertsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3 Nichtdezimale Stellenwertsysteme – eine Verallgemeinerung . 84

III Kopfrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

1.1 Vorkenntnisse von Schulanfängern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

1.2 Informelle Lösungsstrategien von Schulanfängern –

Zählstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

1.3 Zählstrategien – keineswegs nur bei Schulanfängern . . . . . . . . 90

1.4 Zählstrategien – effizient und problemlos? . . . . . . . . . . . . . . . . 91

1.5 Kleines Einsundeins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

1.5.1 Grundlegung des Additionsverständnisses . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

1.5.2 Rechenstrategien im Zwanzigerraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

1.5.3 Beziehungsreiches und automatisierendes Üben

des Kleinen Einspluseins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1.6 Das Gleichheitszeichen – einige Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . 103

1.7 Rechenstrategien im Hunderterraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

1.8 Fehlerstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2 Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.1 Vorkenntnisse von Schulanfängern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.2 Zählstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.3 Kleines Einsminuseins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.3.1 Grundlegung des Subtraktionsverständnisses . . . . . . . . . . . . . . 114

2.3.2 Rechenstrategien im Zwanzigerraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.3.3 Beziehungsreiches und automatisierendes Üben

des Kleinen Einsminuseins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117



3 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.1 Vorkenntnisse und informelle Lösungsstrategien . . . . . . . . . . . 124

3.2 Grundlegung des Multiplikationsverständnisses . . . . . . . . . . . . 128

3.2.1 Zeitlich-sukzessive Handlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.2.2 Räumlich-simultane Anordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.2.3 Kombinatorischer Kontext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.2.4 Weitere multiplikative Kontexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.2.5 Resümee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Inhaltsverzeichnis vii

3.3 Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.3.1 Kommutativgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.3.2 Assoziativgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.3.3 Distributivgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.4 Kleines Einmaleins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.4.1 Sichere und schnelle Beherrschung notwendig? . . . . . . . . . . . . 137

3.4.2 Ganzheitliche oder getrennte Erarbeitung

des Kleinen Einmaleins? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.4.3 Rechenstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.4.4 Vielseitige Erarbeitung und Automatisierung

der Einmaleinsreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3.5 Multiplikation im Tausenderraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145


4 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.1 Vorkenntnisse und informelle Lösungsstrategien . . . . . . . . . . . 149

4.2 Grundlegung des Divisionsverständnisses . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.2.1 Aufteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.2.2 Verteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.2.3 Umkehroperation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.2.4 Wiederholte Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.2.5 Multiplikativer Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.2.6 Resümee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157


4.4 Vielseitige Erarbeitung und Festigung

von Divisionsaufgaben im Hunderterraum . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.5 Sonderfall Null . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.6 Division mit Rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.7 Division im Tausenderraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165


IV Halbschriftliches Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

1 Zum Begriff des halbschriftlichen Rechnens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

2 Zur Bedeutung des halbschriftlichen Rechnens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

3 Hauptstrategien des halbschriftlichen Rechnens . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

3.1 Standardstrategie oder Vielfalt an Strategien? . . . . . . . . . . . . . 174

3.2 Beispiellösungen oder eigene Lösungswege? . . . . . . . . . . . . . . . 174

3.3 Notationen beim halbschriftlichen Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . 175

3.4 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

3.5 Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

3.6 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

3.7 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

3.8 Zusammenfassender Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

viii Inhaltsverzeichnis

4 Forschungsergebnisse zum halbschriftlichen Rechnen . . . . . . . . . . . . . 190

4.1 Halbschriftliches Rechnen – flexibles Rechnen? . . . . . . . . . . . . 193

4.2 Variationen im Rahmen der wenigen Hauptstrategien? . . . . . 196

4.3 Unterschiede im Erfolg bei den halbschriftlichen Strategien? 198

4.4 Charakteristische Fehlerstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

4.5 Halbschriftliches Rechnen – Lieblingsmethode? . . . . . . . . . . . . 203

4.6 Unterschiede im Erfolg je nach Rechenmethode? . . . . . . . . . . . 205

4.7 Zur Dominanz der schriftlichen Verfahren

nach ihrer Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

5 Stärken und Problembereiche des halbschriftlichen Rechnens . . . . . . 208

5.1 Stärken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.2 Problembereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

6 Konsequenzen für den Unterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

V Schriftliches Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

1 Brauchen wir heute noch schriftliche Rechenverfahren? . . . . . . . . . . . 218

1.1 Schriftliches Rechnen – mögliche Vorteile . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

1.2 Schriftliches Rechnen – mögliche Nachteile . . . . . . . . . . . . . . . . 221

1.3 Konsequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

2 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

2.1 Verschiedene Zugangswege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

2.1.1 Rechengeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

2.1.2 Stellenweises Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

2.1.3 Zehnerblöcke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

2.2 Endform und mathematische Begründung . . . . . . . . . . . . . . . . 227

2.3 Schwierigkeitsfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

2.4 Fehlerstrategien, Ursachen, Förderarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

2.5 Überschlagendes und kontrollierendes Rechnen . . . . . . . . . . . . 232

2.6 Flexibles Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

2.7 Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

3 Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

3.1 Abziehen oder Ergänzen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237


3.2.1 Abziehen mit Entbündeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

3.2.2 Ergänzen mit Erweitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

3.2.3 Auffüllen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

3.3 Verschiedene Zugangswege – abschließende Bewertung . . . . . . 251


3.4.1 Schwierigkeitsfaktoren und diagnostischer Test . . . . . . . . . . . . 253

3.4.2 Systematische und typische Fehlerstrategien . . . . . . . . . . . . . . 256

3.4.3 Ursachen und Förderarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

3.5 Überschlagendes Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

3.6 Kontrollierendes Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Inhaltsverzeichnis ix


3.8 Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

4 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267


4.1.1 Wiederholte Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

4.1.2 Schrittweises Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

4.1.3 Gittermethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

4.2 Der weitere Weg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

4.2.1 Multiplikation mit Vielfachen von 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

4.2.2 Multiplikation mit mehrstelligen Multiplikatoren . . . . . . . . . . 274



4.3.2 Systematische Fehlerstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

4.3.3 Typische Fehlerstrategien und ihre Ursachen . . . . . . . . . . . . . . 281

4.3.4 Förderarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283




4.7 Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

5 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288


5.1.1 Wiederholte Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

5.1.2 Verteilen von Geld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

5.1.3 Schrittweises Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

5.2 Endform bei einstelligem Divisor – Änderung überfällig . . . . 294

5.3 Der weitere Weg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

5.3.1 Aufgaben mit Nullen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

5.3.2 Division durch Zehnerzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

5.3.3 Division durch mehrstellige Divisoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298



5.4.2 Systematische Fehlerstrategien und ihre Ursachen . . . . . . . . . 302

5.4.3 Typische Fehlerstrategien und ihre Ursachen . . . . . . . . . . . . . . 303

5.4.4 Förderarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305




5.8 Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

VI Taschenrechner und Computer im Arithmetikunterricht . . . . . . . . . . 311

1 Taschenrechner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

1.1 Zum Einsatz des Taschenrechners in der Grundschule . . . . . . 312

1.2 Einführung des Taschenrechners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

x Inhaltsverzeichnis

1.3 Kopfrechner gegen Taschenrechner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

1.4 Förderung des überschlagenden Rechnens . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

1.5 Entdeckungen mit”defekten“ Taschenrechnern . . . . . . . . . . . . 318

1.6 Entdecken und Begründen von Gesetzmäßigkeiten . . . . . . . . . 319

1.7 Mathematische Sätze entdecken und begründen . . . . . . . . . . . 321

1.8 Sachaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

1.9 Der Taschenrechner als Kontrollinstrument . . . . . . . . . . . . . . . 323

1.10 Resümee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

2 Computer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

2.1 Umfang und Art des gegenwärtigen Einsatzes . . . . . . . . . . . . . 325

2.2 Notwendige Voraussetzungen für einen sachgerechten

Einsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

2.3 Prinzipielle Stärken und Grenzen des Computereinsatzes

in der Grundschule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

2.4 Vielfalt und Qualität gegenwärtiger Software – eine kritische

Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

2.5 Konsequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

Einleitung

Im Umfeld der nationalen Bildungsstandards im Fach Mathematik für den

Primarbereich [39] hat es von 2004 an in Deutschland starke Veränderungen

bei den Bildungs- und Lehrplänen der einzelnen Bundesländer gegeben. Die-

se Veränderungen haben parallel dazu zu stark überarbeiteten Neuauflagen der

Schulbuchreihen für Mathematik in der Grundschule bzw. auch zu Neuerschei-

nungen geführt.

Im Kontext dieser Veränderungen ist die 2007 durchgeführte und Ende 2008

publizierte TIMSS-Grundschul-Untersuchung über mathematische und natur-

wissenschaftliche Kompetenzen und Einstellungen von Grundschulkindern der

vierten Jahrgangsstufe im internationalen Vergleich von besonderem Interesse

(vgl. Bos u. a. [45]). Die Schulleistungsstudie TIMSS (Trends in International

Mathematics and Science Study) führt die International Association for the

Evaluation of Educational Achievement (IEA) schon seit 1995 in den Jahr-

gangsstufen 4 und 8 durch. Deutschland beteiligte sich 2007 erstmalig an der

entsprechenden Grundschuluntersuchung.

Diese TIMSS-Grundschul-Untersuchung liefert insgesamt ein sehr erfreuli-

ches Bild des Mathematikunterrichts an Deutschlands Grundschulen (vgl. Bos

u. a. [45]):

Im internationalen Vergleich aller 36 Teilnehmerstaaten liegt Deutschland im

oberen Drittel der Rangreihe (a. a.O., S. 60).

Bei einer Fokussierung auf die 14 teilnehmenden EU- bzw. 15 teilnehmen-

den OECD-Staaten gilt sogar: Nur drei Staaten jeweils, nämlich England,

Lettland, Niederlande bzw. England, Japan, Niederlande, liegen statistisch

signifikant vor Deutschland (vgl. a. a. O., S. 60 f).

Ein sehr großer Teil der Grundschulkinder in Deutschland (70%) hat eine ho-

he positive Einstellung, weitere 16% haben eine mittlere positive Einstellung

zur Mathematik (a. a. O., S. 70). Erfreulich ist auch folgende Einschätzung:

”Nahezu unabhängig von der erreichten Kompetenzstufe gelingt es der deut-

schen Grundschule offenbar, eine besonders positive Einstellung gegenüber

der Mathematik zu vermitteln“ (a. a. O., S. 11).

Auch das mathematische Selbstkonzept der deutschen Grundschulkinder

erweist sich als ausgesprochen positiv. So haben 70% der Kinder ein hohes,

21% ein mittleres und nur 10% ein niedriges mathematisches Selbstkonzept.

Die deutschen Grundschulkinder liegen hiermit sehr deutlich über dem inter-

nationalen Durchschnitt (a. a.O., S. 80). Dies ist erfreulich, da”ein positiver

Zusammenhang zwischen dem mathematischen Fähigkeitsselbstkonzept und

den Leistungen der Schülerinnen und Schüler“ besteht (a. a. O., S. 12).

Nach diesen positiven Befunden könnten wir uns jetzt eigentlich erleich-

tert zurücklehnen mit dem angenehmen Gefühlt, dass weitere Veränderungen

2 Einleitung

des Mathematikunterrichts der Grundschule nicht mehr notwendig sind. Dies

trifft allerdings keineswegs zu, wie die beiden folgenden weiteren Ergebnisse der

TIMSS-Untersuchung belegen:

Besorgniserregend ist, dass 4% unserer Grundschulkinder auf der untersten

Kompetenzstufe völlig mangelhafte mathematische Leistungen erbringen und

dass sich gut ein Fünftel auf den beiden untersten Kompetenzstufen (a. a.O.,

S. 72) befinden und damit massive Probleme in den weiterführenden Schulen

bekommen könnten (”Risikokinder“). Dass man diese Risikogruppe deutlich

kleiner halten kann, belegt der internationale Vergleich: Wir liegen hier in

der Rangreihe nur auf Platz 10 von 24 untersuchten Staaten und in Japan

ist diese Risikogruppe beispielsweise nur halb oder in Singapur gar nur rund

ein Drittel so groß wie in Deutschland (a. a. O., S. 73).

Auf der höchsten Kompetenzstufe befinden sich dagegen in Deutschland ge-

rade einmal 6% der Schüler. Im internationalen Vergleich ergibt sich, dass

unsere Leistungsspitze damit (deutlich) zu klein ist. Wir stehen hier in der

Rangreihe sogar erst auf Platz 15 von auch hier 24 untersuchten Staaten. So

liegt der Anteil der Leistungsspitze in Singapur fast 7-mal oder in Japan fast

4-mal so hoch wie in Deutschland (a. a. O., S. 73).

Die durch die aktuelle TIMSS-Grundschul-Untersuchung belegte sehr po-

sitive Einstellung zum Mathematikunterricht sowie das hohe mathematische

Selbstkonzept sind gute Voraussetzungen, um die dringend notwendige weitere

Förderung im unteren Leistungsbereich sowie die genau so dringend notwendige

Verbreiterung der Leistungsspitze durch Förderung und Forderung umzusetzen.

Die vorliegende, gründlich überarbeitete Didaktik der Arithmetik gibt hierzu,

aber insbesondere auch zur Förderung und Forderung des breiten, mittleren

Leistungsbereichs vielfältige Anregungen und hilft auf diese Art, den Arithme-

tikunterricht so zu gestalten, dass er den eingangs erwähnten, substanziellen

Veränderungen Rechnung trägt.

Dieser Band wendet sich an Studierende für das Lehramt der Primarstufe

mit Mathematik als Haupt- oder Nebenfach, an Lehramtsanwärterinnen und

Lehramtsanwärter mit dem Fach Mathematik sowie an alle Lehrkräfte, die nach

neuen Ideen für ihren täglichen Unterricht suchen.

Der vorliegende Band weist folgende Charakteristika auf:

Dieser Band

ist stark praxisorientiert. Dies zeigt u. a. die direkte Bezugnahme auf eine

große Zahl neuester Unterrichtswerke für die Grundschule – beispielsweise in

Form von rund 130 farbigen Abbildungen aus Grundschulwerken;

Einleitung 3

geht gründlich auf relevante Arbeiten zu den Vorkenntnissen und informellen

Lösungsstrategien ein;

gibt vielseitige Anregungen zur Grundlegung tragfähiger Zahl- und Operati-

onsvorstellungen;

erschließt die Einsicht in vielseitige Rechenstrategien insbesondere beim

mündlichen und halbschriftlichen Rechnen und stärkt so flexibles Rechnen;

analysiert gründlich und differenziert Stärken, aber auch Problembereiche

des halbschriftlichen Rechnens und zieht hieraus Konsequenzen für den Un-

terricht;

erschließt vielfältige Zugangswege zum schriftlichen Rechnen und untersucht

gründlich seinen Stellenwert im Computerzeitalter. Aus dieser Analyse wer-

den Konsequenzen für erforderliche Veränderungen gezogen – beispielsweise

bei der schriftlichen Subtraktion und der Division;

analysiert gründlich Lernschwierigkeiten und Fehlerstrategien beim mündli-

chen, halbschriftlichen und schriftlichen Rechnen. Er stellt erprobte diagno-

stische Tests bereit und gibt vielfältige Hinweise zum konstruktiven Umgang

mit Fehlern und Schwierigkeiten sowie zur Förderarbeit;

thematisiert den aktuellen Stellenwert von Taschenrechnern und Computern

im Mathematikunterricht der Grundschule;

gibt vielfältige Anregungen zum flexiblen Rechnen. So können die Kinder be-

gründete Entscheidungen treffen, ob bei gegebenen Aufgaben eine Strategie

des mündlichen Rechnens (welche?, warum?), des halbschriftlichen Rechnens

(welche?, warum?), das schriftliche Rechnen (warum?) oder der Taschenrech-

ner (warum?) sinnvollerweise eingesetzt werden;

gibt viele konkrete Hinweise zum entdeckenden Lernen, beziehungsreichen

Üben und zum Problemlösen;

gibt vielfältige Anregungen zum überschlagenden und kontrollierenden Rech-

nen;

berücksichtigt in vielen Bereichen gründlich schulnahe, meist empirische For-

schungsarbeiten aus dem deutsch- und englischsprachigen Raum. So wird eine

fundierte Grundlage für begründete Entscheidungen im Arithmetikunterricht

zur Verfügung gestellt;

ermöglicht eine weitergehende Erarbeitung und selbstständige Vertiefung vie-

ler hier angesprochener Themen. Dies geschieht durch vielfältige, gezielte

Hinweise auf deutsch- und englischsprachige Literatur an den entsprechen-

den Textstellen sowie durch ein umfangreiches Literaturverzeichnis, das von

älteren, aber bewährten Arbeiten bis zu den neuesten Publikationen reicht.

Trotz des Umfanges dieses Bandes können längst nicht alle für den Arith-

metikunterricht interessanten oder relevanten Fragestellungen thematisiert

werden. Dies gilt beispielsweise für arithmetische Kompetenzen in außermathe-

matischen Kontexten (vgl. jedoch in dieser Reihe Franke/Ruwisch [85]) oder

die Geschichte der Arithmetik. Auch wäre beispielsweise eine breitere Thema-

4 Einleitung

tisierung des Übens oder von Differenzierungs- und Fördermaßnahmen gerade

für lernschwache Kinder oder unter dem Blickwinkel jahrgangsübergreifender

Klassen wünschenswert.

Diese völlig überarbeitete Neuauflage wurde erstmalig von zwei Autoren

verfasst. Hierbei wurde der Abschnitt Der Zwanzigerraum von Christiane Benz,

der übrige Band von Friedhelm Padberg erarbeitet.

Für die gründliche Durchsicht des Manuskriptes und vielfältige konstruktive

Hinweise bedanken wir uns herzlich bei unseren Kolleginnen Kirsten Heckmann

(Braunschweig), Elisabeth Rathgeb-Schnierer (Weingarten) und Silke Ruwisch

(Lüneburg), für sorgfältiges Korrekturlesen bei unserem Kollegen Herbert

Kütting (Münster) sowie für die professionelle Erstellung des Manuskriptes

bei Frau Anita Kollwitz. Unser Dank gilt ebenfalls den Herausgeberinnen und

Herausgebern sowie den Verlagen der im Anhang genannten Schulbuchreihen

für die unkomplizierte Erteilung der Druckerlaubnis für die ausgewählten

Schulbuchbeispiele.

Karlsruhe/Bielefeld, Januar 2011 Christiane Benz Friedhelm Padberg

I Die ersten Zahlen

Was verstehen Kinder unter Zahlen? Wie entwickelt sich dieser Zahlbegriff bis

zum Beginn der Schulzeit? Spielt das Zählen hierbei eine zentrale Rolle, oder ist

es in diesem Zusammenhang nur von völlig untergeordneter Bedeutung? Wie

entwickeln sich verschiedene Kompetenzniveaus beim Zählen von ihren ersten

Anfängen an? Welche Kenntnisse über Zahlen besitzen Kinder eigentlich am En-

de des Kindergartens bzw. zu Beginn der Grundschule? Wie stark sind hier die

Unterschiede zwischen verschiedenen Kindern zu Beginn des ersten Schuljahres?

Wie lässt sich das aspektreiche, aber durchaus sehr unterschiedliche Vorwissen

der Schulanfänger im Verlauf des ersten Schuljahres sichern und vertiefen? Wie

können die Kinder ein Wissensnetz über die ersten Zahlen aufbauen, in dem die

verschiedenen Aspekte der Zahlen gut miteinander vernetzt sind?

Auf diese und viele weitere Fragen zum Arithmetikunterricht des ersten Schul-

jahres geben wir in diesem Kapitel umfassende Antworten.

1 Entwicklung des Zahlbegriffs – zwei sehrunterschiedliche Ansätze

Zwei sehr unterschiedliche Ansätze zur Entwicklung des Zahlbegriffs haben in

den letzten Jahrzehnten in der Mathematikdidaktik eine entscheidende Rolle

gespielt. Der eine Ansatz geht auf Piaget und seine Schule zurück. Aufgrund

seiner umfangreichen entwicklungspsychologischen Untersuchungen ist Piaget

davon überzeugt, dass die natürliche kognitive Entwicklung von Kindern in

Stufen verläuft, wobei spätere Stufen die früheren Stufen ersetzen. Daher

müssen Kinder erst eine bestimmte kognitive Stufe erreichen, bevor bestimmte

Lernprozesse stattfinden können. Für die Entwicklung des Zahlbegriffs bedeu-

tet dies konkret: Nach Piaget ist die vorhergehende Einsicht in die Invarianz

von Mengen (d. h. die Einsicht, dass die Anzahl der Elemente einer Menge

gleichbleibt, wenn sich ihre räumliche Anordnung verändert, wenn die Elemente

also beispielsweise auseinandergezogen oder zusammengeschoben werden),

die Fähigkeit zum Umgang mit Eins-zu-Eins-Zuordnungen, die Fähigkeit zur

Klassifikation (d. h. die Fähigkeit, verschiedene Objekte aufgrund gegebener

Merkmale zusammenzufassen) sowie die Fähigkeit zur Seriation (d. h. die

6 I Die ersten Zahlen

Fähigkeit zur Bildung von Reihenfolgen von Objekten aufgrund bestimmter

Merkmale) unabdingbare Voraussetzung für die Entwicklung des Zahlbegriffs

beim Kind. Dagegen haben nach Piaget Zählübungen keinen Einfluss auf die

Zahlbegriffsentwicklung. Für genauere Details zur Invarianz, Eins-zu-Eins-

Zuordnung, Klassifikation und Seriation verweisen wir hier auf Hasemann

([141], S. 11 ff).

Piagets Arbeiten sowie eine dazu passende, mathematische Hintergrundtheo-

rie (vgl. I.3.3) haben den Anfangsunterricht im westlichen Teil Deutschlands

gerade auch bezüglich der Entwicklung des Zahlbegriffs in den 1970er Jahren

sehr stark beeinflusst. Piagets Untersuchungen hatten in erster Linie das Ziel,

Stadien der”natürlichen“ Entwicklung bei Kindern zu beschreiben. An der

hierbei benutzten Untersuchungskonzeption lässt sich zwar durchaus Kritik

üben (für eine knappe Zusammenfassung einiger Kritikpunkte vgl. Gastei-

ger [97], S. 31 ff, Padberg [264], S. 33 – 36). Allerdings kann man Piaget nicht

verantwortlich machen für die hieraus für den mathematischen Anfangsunter-

richt gezogenen Schlussfolgerungen, beispielsweise hier Invarianz, Klassifikation,

Seriation oder Eins-zu-Eins-Zuordnung mit – den Versuchsaufgaben nachemp-

fundenen – Aufgabenformaten isoliert einzuüben. Bei Piaget nämlich lassen sich

kaum Aussagen finden,”ob kardinale oder auch ordinale Vorübungen, eventuell

sogar losgelöst von der Zahl an sich, die Zahlbegriffsentwicklung unterstützen.

[. . .] Dennoch rankte sich darum über lange Zeit die Diskussion und genau diese

Gedanken fanden Einzug in den mathematischen Anfangsunterricht“ (Gastei-

ger [97], S. 34). Allerdings räumt Piaget dem Zählen”auf den ersten Blick

keine Bedeutung ein, da er darin lediglich einen verbalen Akt sieht, der ‘erst

dann eine wirkliche numerische Bedeutung erlangt, wenn die Operationen im

praktischen Bereich logisch konstituiert worden sind’ (Piaget/Szeminska [278],

S. 100). Seine Konsequenz, sich infolgedessen zunächst nicht mit dem verbalen

Zählen zu befassen, ist aus heutiger Sicht nicht mehr zu halten, denn über die

Bedeutung des Zählens für die Entwicklung des Zahlbegriffs und grundlegender

mathematischer Fähigkeiten herrscht weitgehend Einigkeit“ (Gasteiger [97],

S. 37).

Daher verwundert es nicht, dass schon seit einiger Zeit statt des vorstehend

geschilderten Ansatzes ein ganz anderer Ansatz zur Entwicklung des Zahlbegriffs

im Anfangsunterricht – nicht nur bei uns in Deutschland – im Mittelpunkt des

Interesses steht.

Bei diesem Ansatz geht man davon aus, dass junge Kinder”bereits (unter-

schiedlich weit entwickelte) Einsichten und Fertigkeiten in Bezug auf Zahlen

entwickeln und dass die Integration von vielen Begriffen, Fähigkeiten und Fer-

tigkeiten zur Ausbildung des Zahlbegriffs führt“ (Clarke/Clarke/Grüßing/Peter-

Koop [62], S. 262). Entsprechend bezeichnet man diesen Ansatz auch als”Skills

Integration Modell“. Bei diesem Ansatz spielen – völlig anders als bei Piaget –

2 Entwicklung der Zählkompetenz 7

Zählen und simultane Zahlerfassung eine zentrale Rolle. Wir gehen auf diesen

Ansatz in den folgenden Abschnitten dieses Kapitels detailliert ein.

2 Entwicklung der Zählkompetenz

Zählen lernen Kinder auf vielfältige Art und Weise. Einer von vielen Wegen sind

Zählreime beim alltäglichen Spielen (vgl. auch Duden Mathematik 1, S. 15):

Durch Zählen können Kinder die Anzahl von Objekten in Mengen bestimmen.

Hat eine gegebene Menge nur wenige Objekte, so kann die Anzahl auch durch

simultane Zahlerfassung (also einfach durch”Hinschauen“) bestimmt werden.

Hierbei sind Zählen und simultane Zahlerfassung zwei verschiedene Verfahren,

wie eine größere Anzahl von Untersuchungen deutlich macht. Die simultane

Zahlerfassung (in der angloamerikanischen Literatur auch Subitizing genannt)

beruht nämlich keineswegs auf einem blitzartigen Zählen (vgl. Hasemann [141],

S. 3). Zur simultanen Zahlerfassung sind daher kleine Kinder schon überraschend


früh in der Lage und setzen sie bis zum Alter von etwa 3 Jahren oft bei konkre-

ten Mengen mit bis zu vier Objekten spontan ein (vgl. Hasemann [141], S. 1).

Für die Ermittlung von Anzahlen generell spielt jedoch das Zählen zweifelsohne

die deutlich größere Rolle, da die simultane Zahlerfassung auf kleine Mengen

beschränkt ist. Daher konzentrieren wir uns in diesem Abschnitt auf das Zählen

(vgl. jedoch I.4.1).

2.1 Erwerb der Zahlwortreihe

Schon um das zweite Lebensjahr herum beginnt nach Fuson/Richards/Bri-

ards [87] und auch anderen der Erwerb der Zahlwortreihe. Bei den meisten

Kindern kommt er in der ersten Klasse zu einem gewissen Abschluss. Beim

Erwerb der Zahlwortreihe gibt es sehr große individuelle Unterschiede: So be-

herrschen schon manche Dreijährige längere Abschnitte als manche Fünfjährige.

Von drei Jahren an aufwärts können die Kinder zunehmend Zahlwortfolgen bis

zehn aufsagen (z. B. auch in Form von Abzählreimen wie in dem vorstehen-

den Schulbuchbeispiel) und sind im Begriff, die Zahlwortfolge bis zwanzig zu

erwerben. Zwischen viereinhalb und sechseinhalb Jahren erkennen die Kinder

allmählich die analogen Bildungsgesetze der Zahlwortfolge innerhalb der einzel-

nen Dekaden zwischen 20 und 100.

Während des – mehrere Jahre dauernden – Erwerbs der Zahlwortreihe kann

man nach Fuson u. a. bei den meisten Kindern im jeweils”beherrschten“ Be-

reich drei Teilabschnitte unterscheiden: eine stabile, korrekte Zahlwortfolge am

Anfang (Beispiel: 1, 2, 3, 4), anschließend eine ebenfalls stabile, jedoch nicht

korrekte weitere Folge von Zahlwörtern (meist durch die Auslassung einiger

Zahlwörter gekennzeichnet; Beispiel: 6, 8, 9) und danach schließlich eine weitere

nicht stabile Folge, die beim jeweiligen Aufsagen der Zahlwortreihe i. Allg.

unterschiedlich ist.

Beim Gebrauch der Zahlwortreihe durch die Kinder fällt auf, dass sie schon

sehr früh Zahlwörter gegen Nichtzahlwörter scharf abgrenzen können. So werden

beim Aufsagen der Zahlwortreihe nach den Befunden von Fuson u. a. selbst im

dritten, noch nicht stabilen Abschnitt der Zahlwortreihe praktisch ausschließlich

Zahlwörter (und höchstens ganz vereinzelt mal Buchstaben, die ja auf eine sehr

ähnliche Art und Weise wie die Zahlwortreihe von den Kindern gelernt werden)

genannt.


2.2 Zählprinzipien und Konventionen

Ansätze, den Erwerb der Zahlwortreihe mittels Zählprinzipien zu beschreiben,

stammen u. a. schon von Kruckenberg [206] und von Gelman/Gallistel [100].

Folgende Prinzipien lassen sich in diesem Zusammenhang ausgliedern:

1. Das Eindeutigkeitsprinzip

Jedem der zu zählenden Gegenstände wird genau ein Zahlwort zugeordnet.

2. Das Prinzip der stabilen Ordnung

Die Reihe der Zahlwörter hat eine feste Ordnung.

3. Das Kardinalzahlprinzip

Das zuletzt genannte Zahlwort beim Zählprozess gibt die Anzahl der Ele-

mente der abgezählten Menge an.

4. Das Abstraktionsprinzip

Die Zählprinzipien 1 bis 3 können auf jede beliebige Menge angewandt wer-

den, d. h. es kommt nicht darauf an, von welcher Art die Objekte sind, die

gezählt werden.

5. Das Prinzip der Irrelevanz der Anordnung

Die jeweilige Anordnung der zu zählenden Objekte ist für das Zählergebnis

irrelevant.

Bereits im Alter von zweieinhalb bis drei Jahren beachten Kinder implizit die

ersten drei Zählprinzipien. Im Alter von vier bis sechs Jahren werden sie sich

allmählich der beschriebenen Zählprinzipien bewusst. Eine Verfestigung und

zugleich auch Verbesserung der Zählfähigkeit jeweils innerhalb des erworbenen

Zahlenraumes erfolgt durch eine Zunahme der Zählgeschwindigkeit sowie durch

die Überwindung von Koordinationsfehlern zwischen der Zahlwortreihe und

den zu zählenden Objekten (Nichtberücksichtigung von Objekten, mehrmaliges

Benennen eines Objektes u. a.).

Untersuchungen von Briards/Siegler ([50], S. 614) belegen genauer, dass Kin-

der mit zunehmendem Alter mehr und mehr erkennen, dass für ein korrektes

Zählen die Anwendung des Eindeutigkeitsprinzips erforderlich ist: Während nur

30% der Dreijährigen konsistent Zählversuche, die gegen das Eindeutigkeitsprin-

zip verstoßen, als falsch zurückweisen, weisen 90% der untersuchten Vierjähri-

gen und alle untersuchten Fünfjährigen derartige Zählversuche konsistent als

fehlerhaft zurück. Wie das Kardinalzahlprinzip schrittweise erworben wird, be-

schreiben Bermejo/Lago ([36], S. 248) auf der Grundlage eigener empirischer

Untersuchungen bei Vier- bis Sechsjährigen in Form von sechs Stufen. Gelman

und Gallistel [100] sind der Überzeugung, dass die vorstehend genannten 5 Zähl-

prinzipien nicht gelernt werden, sondern im Wesentlichen angeboren sind. Heute

ist man jedoch überwiegend der Überzeugung, dass diese 5 Zählprinzipien im


Verlauf eines längeren Lernprozesses von den Kindern erworben werden (für

genauere Details vgl. Hasemann ([141], S. 7)).

Beim Zählen benutzen wir oft nicht nur die genannten Zählprinzipien. Dane-

ben verwenden wir häufig auch Konventionen (wie z. B. das Zählen konkreter

Objekte von links nach rechts, den Beginn des Zählens am äußersten Ende und

nicht etwa in der Mitte, das Zählen in der Abfolge, wie die Objekte nebenein-

ander liegen), die für die richtige Ergebnisfindung u. U. hilfreich, aber keines-

wegs notwendig sind. Nach Untersuchungen von Briards/Siegler ([50], S. 616)

wächst bei Kindern schon während der Vorschulzeit die Einsicht, dass die obi-

gen Konventionen – im Unterschied zu den Zählprinzipien, insbesondere zu dem

Eindeutigkeitsprinzip – für die richtige Ergebnisfindung nicht ausschlaggebend

sind. So akzeptieren Fünfjährige – im Gegensatz zu Dreijährigen – jede richtige,

jedoch von den obigen Konventionen abweichende Zählweise signifikant häufiger

als richtig als Zählversuche, die gegen das Eindeutigkeitsprinzip verstoßen.

2.3 Niveaus beim Einsatz der Zahlwortreihe

Wenn die Kinder über einen im Laufe der Jahre ständig wachsenden Abschnitt

der Zahlwortreihe korrekt verfügen, wird der Einsatz dieser Reihe im Laufe

der Zeit zunehmend differenzierter. Nach Fuson u. a. [87] lassen sich hierbei

idealtypisch 5 Niveaus unterscheiden.

Niveau 1 (string level)

Die Zahlwortreihe kann nur als Ganzes unstrukturiert eingesetzt werden. Die

Reihe hat für das Kind also faktisch die Form einszweidreivierfünfsechs . . . Ein-

zelne Zahlwörter können nur durch das Aufsagen der ganzen bekannten Reihe

angegeben werden. Die Zahlwortreihe kann nur mit großen Einschränkungen er-

folgreich zum Zählen eingesetzt werden, da das Eindeutigkeitsprinzip bei diesem

Kenntnisstand noch nicht sicher beherrscht wird.

Niveau 2 (unbreakable chain level)

Die einzelnen Zahlwörter können klar unterschieden werden. Statt der Form

einszweidreivierfünfsechs . . . hat die Zahlwortreihe für das Kind jetzt die übli-

che Form eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, . . . . Jedoch muss die Reihe immer

noch von eins an aufgesagt werden, ein Weiterzählen etwa von fünf aus ist noch

nicht möglich. Wegen der mittlerweile erfolgten, deutlichen Unterscheidung der

einzelnen Zahlwörter kann die Zahlwortreihe jetzt auch wirksam beim Zählen

eingesetzt werden. Daher können allmählich auch Anzahlen ausgezählt (Kar-

dinalzahlaspekt), Antworten auf Fragen wie”An welcher Stelle?“ (Ordinalzah-

laspekt) oder”Wie viele Einheiten?“ (Maßzahlaspekt) gegeben und auch erste

einfache Additions- (und vielleicht auch Subtraktionsaufgaben) gelöst werden.

Durch das Aufsagen der Zahlwortreihe können auch Aussagen über die Kleiner-


bzw. Größerrelation zwischen zwei Zahlen gewonnen werden (z. B. in der Form,

dass 5 vor 7 kommt).

Niveau 3 (breakable chain level)

Die Zahlwortreihe kann jetzt auch schon von größeren Zahlen aus – und nicht

mehr nur ausschließlich von eins als Startpunkt aus – eingesetzt werden. Da-

durch gewinnen die Kinder Aussagen über die Größer- bzw. Kleinerbeziehung

zweier Zahlen sehr viel rascher als im Niveau 2. Ferner kann jetzt neben dem

Weiter- und insbesondere auch Rückwärtszählen von einer natürlichen Zahl n

aus auch von einer Zahl n bis zu einer größeren oder kleineren Zahl m vorwärts

bzw. insbesondere auch rückwärts gezählt werden. Außerdem können die Kinder

jetzt auch Aussagen über einige oder alle Zahlen zwischen zwei gegebenen Zah-

len machen und auch einfache Additions- und Subtraktionsaufgaben effektiver

zählend lösen.

Niveau 4 (numerable chain level)

Auf diesem Niveau zählen die Kinder erstmalig auch die Zahlwörter. Die Zahl-

wortreihe wird also nicht mehr nur eingesetzt, um Objekte zu zählen, sondern

auch zur Bestimmung der Anzahl von Zahlwörtern. So können die Kinder von

einer gegebenen Zahl a aus um eine vorgegebene Anzahl n von Zahlen wei-

terzählen, und sie können auch bestimmen, um wie viel man von einer gegebenen

Zahl a bis zu einer größeren Zahl b weiterzählen muss. Etwas später – etwa um

das siebte Lebensjahr – erwerben die Kinder zusätzlich die entsprechenden Fer-

tigkeiten im Rückwärtszählen: Sie können also zum einen von einer gegebenen

Zahl b aus um n Zahlen zurückzählen, und zum anderen bestimmen, um wie viel

man von einer gegebenen Zahl b bis zu einer kleineren Zahl a zurückzählen muss.

Diese neuen Kompetenzen verbessern weiter die Fähigkeit zum Lösen einfacher

Additions- und Subtraktionsaufgaben.

Niveau 5 (bidirectional chain level)

Dieses höchste Niveau ist dadurch gekennzeichnet, dass die Kinder schnell

vorwärts und rückwärts zählen können, und zwar von jeder bekannten Zahl aus.

Ferner können sie leicht und flexibel die Zählrichtungen verändern, ohne dass

– wie noch häufiger im Niveau 4 – Fehler oder Verwechslungen mit der vorher

benutzten Zählrichtung vorkommen.

Bezüglich der fünf idealtypisch herauspräparierten Niveaus gibt es noch viele

offene Fragen, so beispielsweise: Ist es möglich, dass ein und dasselbe Kind

bei den ersten (etwa zehn) Zahlen der Zahlwortreihe schon das höchste Niveau

erreicht hat, während es sich zugleich weiter hinten in der ihm schon bekannten

Zahlwortreihe noch auf einem niedrigeren Niveau befindet? Oder: Muss vor der

Entwicklung des nächsten Niveaus das vorhergehende immer vollständig erreicht

sein?


2.4 Phasen der prozeduralen Sicherheit

Während Fuson u. a. untersuchen, wie und wozu das Zählen auf verschiedenen

(individuellen) Altersstufen eingesetzt wird, beschäftigt sich Hasemann ([141],

S. 8 f) mehr mit der Frage, wie das Zählen im Laufe der Zeit bis zum Schulbe-

ginn zunehmend sicherer beherrscht wird. Er unterscheidet hierbei fünf Phasen:

”Phase 1 (verbales Zählen):

Die Zahlenwortreihe ist noch nicht strukturiert, sie wird wie ein Gedicht

aufgesagt und kann noch nicht zum Zählen eingesetzt werden. Die einzelnen

Zahlwörter werden teilweise noch nicht unterschieden und haben keine kardinale

Bedeutung. [Diese Phase 1 entspricht weithin dem Niveau 1 von Fuson u. a.;

Einfügung: F. P.]

Phase 2 (asynchrones Zählen):

Im Alter von etwa dreieinhalb bis vier Jahren benutzen die Kinder die

Zahlwörter zum Zählen in der richtigen Reihenfolge, jedoch wird oft noch ein

Objekt übersehen oder das gleiche Objekt zweimal gezählt. Wenn die Kinder

zählen und gleichzeitig auf (genau) ein Objekt zeigen können, spricht man vom

synchronen Zählen. [Überschneidungen mit dem Niveau 2 von Fuson u. a. sind

vorhanden; F. P.]

Phase 3 (Ordnen der Objekte während des Zählens):

Wenn ungeordnete Objekte gezählt werden sollen, fangen die Kinder mit

etwa viereinhalb Jahren an, die Objekte während des Zählens zu ordnen, zum

Beispiel, indem sie die gezählten zur Seite schieben.

Phase 4 (resultatives Zählen):

Im Alter von etwa fünf Jahren wissen die Kinder, dass sie beim Zählen mit der

Eins anfangen müssen, dass jedes Objekt nur einmal gezählt wird und dass die

letztgenannte Zahl die Anzahl der Objekte angibt. Wichtig ist in dieser Phase,

dass den Kindern die eindeutige Entsprechung zwischen den zu zählenden

Objekten und den Zahlwörtern klar wird.

Phase 5 (abkürzendes Zählen):

Die Kinder im Alter von fünfeinhalb bis sechs Jahren erkennen oder bilden

in mehr oder weniger geordneten Mengen von Objekten Strukturen, z. B. das

Zahlbild der Fünf auf einem Würfel. Sie können von einer Zahl an aufwärts

zählen, sie können in Zweierschritten und auch rückwärts zählen. In dieser

Phase können die meisten Kinder bereits einfache Rechnungen ausführen.“

Unregelmäßigkeiten in der Struktur der Zahlwortbildung im Deutschen

bereiten den Kindern Schwierigkeiten. So sind in einer gewissen Phase des

3 Aspektreichtum der natürlichen Zahlen 13

Zahlworterwerbs charakteristische Wortschöpfungen von Kindern wie zweizehn

für 12 oder zweizig für 20 durchaus üblich. Diese Sprachschöpfungen sind

ausgesprochen logisch. Sie besitzen nur den einen Nachteil, dass sie von der

üblichen Konvention abweichen.

Die insgesamt vorgestellten Forschungsarbeiten zur Entwicklung der Zähl-

kompetenz belegen deutlich, dass der Zählvorgang äußerst komplex ist und we-

sentlich mehr beinhaltet als ein rein mechanisches Aufsagen der Zahlwortreihe.

3 Aspektreichtum der natürlichen Zahlen

Der Erwerb der natürlichen Zahlen im Verlauf der Vorschul- und Grundschulzeit

basiert keineswegs nur auf der Entwicklung der Zählkompetenz – wenngleich

diese natürlich bedeutsam ist. Die natürlichen Zahlen werden im täglichen Leben

vielmehr in äußerst verschiedenartigen Situationen benutzt und für vielfältige

Zwecke eingesetzt. Daher ist die Gewinnung von tragfähigen und vielfältigen

Vorstellungen von Zahlen eine zentrale Zielsetzung des Arithmetikunterrichts

der Grundschule.

3.1 Vielfältige Zahlaspekte

Die natürlichen Zahlen sind sehr vielseitig einsetzbar und besitzen viele unter-

schiedliche Aspekte, wie die folgenden Beispiele verdeutlichen:

1. Maximilian hat 2 Brüder. Dort liegen 4 Bauklötze.

2. Marie belegt beim Wettlauf den dritten Platz. Heute ist der 10. Juni.

3. Paul hat beim Hundertmeterlauf die Startnummer 36. Ich lese gerade in dem

Buch auf Seite 9.

4. Der Schulweg ist 2 km lang. Die Bonbons kosten 40 Cent.

5. Alexander hat in dieser Woche zweimal gefehlt. Klatsche dreimal in die

Hände.

6. 8 + 5 = 5 + 8 ; (8 + 7) + 13 = 8 + (7 + 13)

7.

579

+ 688

1267

834

− 359475

8. Halle hat die Postleitzahl 33790. Ich habe die Telefonnummer 5679.

Den Beispielen 1. bis 8. kann man jeweils verschiedene Zahlaspekte entneh-

men:


In den Beispielen 1. dienen die Zahlen zur Beschreibung von Anzahlen. Man

fragt:”Wie viele?“ und benennt das Ergebnis mit eins, zwei, drei, . . . (Kar-

dinalzahlaspekt).

In den Beispielen 2. kennzeichnen die Zahlen die Reihenfolge innerhalb einer

(total geordneten) Reihe. Man fragt jeweils:”An welcher Stelle?“ oder

”Der

wievielte?“ und benennt das Ergebnis mit erster, zweiter, dritter usw. Die

natürlichen Zahlen werden hier als Ordnungszahlen benutzt (Ordinalzahl-

aspekt).

In den Beispielen 3. bezeichnen die Zahlen ebenfalls eine Reihenfolge. Man

benutzt hier im Unterschied zu 2. die natürlichen Zahlen in der Reihenfolge,

wie sie im Zählprozess durchlaufen werden (”Zählzahlen“). Man benennt die

Ergebnisse mit eins, zwei, drei usw. Da durch die Zählzahlen genau wie bei 2.

eine Reihenfolge beschrieben wird, spricht man auch in diesem Zusammen-

hang vom Ordinalzahlaspekt der natürlichen Zahlen.

In den Beispielen 4. fragen wir”Wie lang?“ oder

”Wie teuer?“. Die natürli-

chen Zahlen dienen hier zur Bezeichnung von Größen, man benutzt sie als

Maßzahlen bezüglich einer gewählten Einheit (Maßzahlaspekt). Maßzahlen

spielen auch eine Rolle bei der Herstellung von Skalen (z. B. für Temperatur-

oder Zeitangaben), so dass hier gelegentlich auch vom Skalenaspekt der

natürlichen Zahlen gesprochen wird.

In den Beispielen 5. beschreiben die natürlichen Zahlen die Vielfachheit ei-

ner Handlung oder eines Vorgangs. Man fragt hier”Wie oft?“, benennt das

Ergebnis mit einmal, zweimal usw. und bezeichnet diesen Zahlaspekt als

Operatoraspekt.

Die in den Beispielen 6. formulierten Gleichheitsaussagen beruhen auf dem

Kommutativ- bzw. Assoziativgesetz der Addition (vgl. III.1.5.2), also auf der

Gültigkeit von algebraischen Gesetzen. Die natürlichen Zahlen werden hier

zum Rechnen, also als Rechenzahlen, benutzt (Rechenzahlaspekt).

Bei den Beispielen 7. werden die natürlichen Zahlen ebenfalls als Rechen-

zahlen benutzt. Während bei den Beispielen 6. jedoch bestimmte algebra-

ische Gesetzmäßigkeiten der natürlichen Zahlen angesprochen werden – man

spricht daher auch von dem algebraischen Aspekt der Rechenzahlen –, ver-

deutlichen die Beispiele 7., dass man mit den natürlichen Zahlen ziffernweise

nach eindeutig bestimmten Folgen von Handlungsanweisungen (sog. Algo-

rithmen) rechnen kann (daher spricht man hier vom algorithmischen Aspekt

der Rechenzahlen).

Die Ziffernfolgen in den Beispielen 8. dienen dazu, Dinge zu kennzeichnen

und zu unterscheiden. Man kann mit ihnen weder sinnvoll rechnen – so ist

z. B. eine Addition von zwei Telefonnummern sinnlos – noch kann man sie

sinnvoll der Größe nach ordnen. Die Ziffernfolgen dienen zur Codierung (Co-

dierungsaspekt).

3 Aspektreichtum der natürlichen Zahlen 15

In den vorangegangenen Beispielen sind insgesamt folgende Zahlaspekte an-

gesprochen worden:

Kardinalzahlaspekt

Ordinalzahlaspekt

– Ordnungszahl

– Zählzahl

Maßzahlaspekt

Operatoraspekt

Rechenzahlaspekt

– algorithmischer Aspekt

– algebraischer Aspekt

Codierungsaspekt

Wir erwähnen den Codierungsaspekt an dieser Stelle, da er üblicherweise als

ein Zahlaspekt aufgeführt und von Kindern naiv auch so aufgefasst wird. Bei

den zur Codierung benutzten Ziffernfolgen handelt es sich allerdings offenkun-

dig nicht um”Zahlen“ – erst recht nicht um

”natürliche Zahlen“ –, da ihnen

wesentliche Zahleigenschaften (Rechnen, Ordnen) nicht zukommen. Daher ist

auch diese übliche Zuordnung des Codierungsaspektes zu den Zahlaspekten

fragwürdig.

Vorstehende Zahlaspekte darf man nicht isoliert sehen, wie obige idealtypi-

sche Auflistung vielleicht vermuten lassen könnte. Sie hängen eng miteinander

zusammen. Das Zählen stellt eine Verbindung zwischen den verschiedenen

Aspekten her. So kann man die Anzahl der Elemente einer gegebenen Menge

durch Auszählen gewinnen: Die zuletzt genannte Zahl beim Zählen gibt die

Anzahl (Kardinalzahlaspekt) an. Die Reihenfolge bzw. den Rangplatz innerhalb

einer Reihe (Ordinalzahlaspekt) erhält man durch das Abzählen. Ebenso kann

man vielfach die Maßzahl einer Größe durch das Auszählen der Anzahl der

erforderlichen Größeneinheiten gewinnen. Die Vielfachheit einer Handlung oder

eines Vorgangs (Operatoraspekt) bestimmt man ebenfalls durch das Auszählen.

Das Zählen hilft auch, die Ergebnisse beim Rechnen mit natürlichen Zahlen

zu gewinnen, nämlich beispielsweise das Weiterzählen bei der Addition und

das Weiter- oder Rückwärtszählen bei der Subtraktion. Das Zählen stellt al-

so eine Verbindung zwischen den verschiedenen Zahlaspekten her. Allerdings

werden durch das Zählen nur einige Nuancen der jeweiligen Zahlaspekte erfasst.

Die verschiedenen Zahlaspekte erfahren die Kinder konkret in speziellen Si-

tuationen. Auf diese Art lernen sie allmählich die verschiedenen Zahlbedeutun-

gen zunächst getrennt kennen. Erst im Verlauf der Grundschulzeit erkennen

die Kinder die Beziehungen zwischen den verschiedenen Zahlaspekten zuneh-

mend gründlicher. So gelangen sie allmählich zu einem umfassenden Zahlbegriff,


der die verschiedenen Aspekte integriert. Wie sich im Einzelnen allerdings die

Konstruktion und die Verzahnung der verschiedenen Zahlaspekte bei der Zahl-

begriffsentwicklung bei Kindern vollzieht, dazu gibt es immer noch wesentlich

mehr offene Fragen als konkrete Ergebnisse (vgl. auch Schmidt [344]).

3.2 Mathematische Fundierungen

Für die mathematische Fundierung der natürlichen Zahlen wählt man von ih-

ren vielfältigen Aspekten jeweils gezielt nur einen Aspekt aus. Legt man den

Ordinalzahlaspekt – genauer: die Funktion der natürlichen Zahlen als Zählzah-

len – zugrunde, so kann man die natürlichen Zahlen durch die nach dem ita-

lienischen Mathematiker Peano benannten Peano-Axiome charakterisieren (für

genauere Details vgl. Padberg ([265], S. 231 – 237) oder Padberg/Danckwerts/

Stein ([263], S. 24 – 44)), legt man den Kardinalzahlaspekt zugrunde, so führt

dies zu einer Fundierung der natürlichen Zahlen, die man durch die Stichworte:

Begriff der Menge, Gleichmächtigkeit von Mengen, Kardinalzahlen als Klassen

gleichmächtiger Mengen sowie Einführung der Rechenoperationen mittels Men-

genoperationen skizzenhaft charakterisieren kann (für genauere Details vgl. Pad-

berg ([265], S. 173 – 224)).

3.3 Probleme einseitiger Fundierung

Die mathematische Fundierung der natürlichen Zahlen auf der Basis des Kar-

dinalzahlaspekts hat die Mathematikkurse der Grundschule zu Zeiten der soge-

nannten Neuen Mathematik (Stichwort:”Mengenlehre“) in den 1970er und z.T.

auch noch 1980er Jahren sehr stark und einseitig beeinflusst (für eine Skizze

dieses Weges im Unterricht der Grundschule vgl. Padberg ([264], S. 22 – 29)).

Ein großes Problem bei diesen Kursen war allerdings, dass man in ihnen – in

enger Anlehnung an die mathematische Hintergrundtheorie – faktisch zunächst

den Zahlbegriff und erst danach den Umgang mit den Zahlen in den Mittelpunkt

des Unterrichts gestellt hat statt umgekehrt zunächst Erfahrungen im Umgang

mit Zahlen sammeln zu lassen und sich erst wesentlich später Gedanken über

eine so schwierige Frage wie:”Was ist eigentlich eine natürliche Zahl?“ zu ma-

chen, so wie es im weiteren Verlauf der Schulzeit etwa bei der Behandlung der

Bruchzahlen selbstverständlich üblich ist. So geriet der arithmetische Anfangs-

unterricht”zu einem Kurs über Zahlen statt zu einem Unterricht, in dem mit

Zahlen operiert wird“ (Schipper [329], S. 205). Neben der mathematischen Be-

gründung dieses Ansatzes wurden auch entwicklungspsychologische Forschungs-

arbeiten der Genfer Schule um Piaget zur Begründung herangezogen, wie schon

in I.1 skizziert.

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