Die Flachenschieber oder zweidimensionalen ebenen Rechenschieber.

Von P. LUCKEY In Marburg.

ie Ausfiihrungen von Hrn. K r e t s c h m e r im vorigen €left dieser ZeitschriIt I) iind seine Promotionsschrift') geben mir Qelegenheit, iiber l t e c h e n t a f e l n mi t b e - D w e g l i c h e n S y s t e m e n , die ich in meinem Bericht3) nur gestreift hatte, nlhere

Angaben zu machen. Die von Hrn. K r e t s c h m e r angegebene Fruchtbnre Methode wird sich dabei als Sonderfall in allgemeinere Verfahren einfiigen. Nach Darbietnng eines Beispiels fiir solche Verfahren 4, will ich versuchen, deren Vorteile und Nachteile abzii- wage,n und zum SchluD fur die behandelten Formeln aus dem Eisenbetonbau anderc 1,osungsmegc vorschlagen.

1. Allgemeine Form der Tafeln mit einem verschiebbaren Blatt Ein bcwegliches System ist' entweder ein a l l g e m e i n e s AblesegerXt, das bei einer groflen Anzxhl von Ikchentafeln Veraendung findet, oder es ist eiii b c s o n d e r e s , far eine be- stimmte Rechentafel eigens hereustellendcs nnd nnr fiir diese verwendbares Gehilde. Als Uebcrgangsform kommen Ablescgebilde vor, die jeweilig fiir cine kleinere Grupl~o von Tafeln brauchbar sind. Ziir ersten Hauptart gehort die einfache Ablesegcrade der Fliichtentafeln, der Dreistrahl der Sechsecktafelii und das mit einer Parallelenschar oder eiiicm Geradenkreuz vorsehene Ableseblatt, das fur eino verbreitete Gruppe von Glei- chungen mit vier Verlnderlichen branchbar ist. Solohe a l l g e m e i n e n Ablesegerate hatte ich boi der Bemerkung im Auge, an die Hr. K r e t s o h m e r in seioen Ausfiihrungen ankniipft. Wenn ich berichtete, daO andere, nicht geradlinige Ablesefigoren urn so wcniger Anklang gefunden haben, als sie sich nur speziellen Gleichnngsformen an- pa8te11, anf die sich die in der Praxis zn vertafelnden Gleichungen nicht bringen lieben, so ging ich allerdiogs zu weit; denn ein System, das aus einem Kreis mit be- stimmtem Halbmesser und einer Schar dazu konzenlrischer Kreise besteht 5 ) , ist fiir Glei- chungen brarirhbar, die auch in den Anivendungen vorkonimen, und wenn der feste Kreis zu einem Punkt zusammenschrumpft, liegen ja die Nomogramme von Gjers f iewaI iof f vor. Aber grot30 praktischo B e d e u t u n g haben solche a l l g e m e i n e n Ablesehlatter mit Itrummen I,inien nicht gewonnen. Andcrs steht es dagegen mit der zweiten Hauptart, tien s p c z i e l l e n , dem jeweiligen festen Grundblalt angepaOtcn beweglichen Systemen, die I l r . K r e t s c h m e r im Auge hat. Die Annendnog dieser Gebilde, zu denen j a auch die Zungen der Ilechenscliieber zu rechnen sind, hat hohe praktischo Bedautung. Ihiien gilt auch die ))allgemcine morphologische Theorie(8 ").

Bezeichnen wir mit If das fcste )!Qrundblatt<( und mit Il' das auf dem Orundblalt einzustellende )) Wanderblatt., so hat If' im allgemeinen drei Freiheitsgrade. Legen a i r auf I / ein rechtminkliges Koordinatensystem (0, 2, y) und auf II' ein ebensolches liooidi- natens\-stein (O', z', y') zugrunde, EO konnen wir z. 13. If' i n der Itichtung O X und in d r r Richtung OP v e r s c h i e b e n und ferr.er urn den Punkt 0' d r e h e n . W. N a r g o i i l i s , ) hat zuerst den Fall naher untersucht, da8 / I ' nur die beiden Freiheit~grade der Ver- s c h i e b u n g hat, und auf die Tragweite und hohe praktische Bedeutung solcher T a f o l n m i t c i n e m S c h i e b e b l a t t hingewiesen. Diesc Nomogramme, denen diejenigen yon K r e t s c h m e r als spezielle Fall0 angehiircn, sind die naturliche Weiterbildung der Rechrn- schieber ins Zweidiniensionale. Ich schlage deshalb fur sie die kurze. uiundgercchte Bezeichnung F1 a c h e n s c h i e b er (( vor.

I ) Dizse Zeitschr. 5 (1925), 9. 182 bis 184. Hr. K r e t s c h m e r hatte mir das Mniiuskript seiner

a) W. K r e t s c h m e r , Einige besondere noinographiscbe Verfahren utd ihre Anweodniig iiul

*) Diesc Zeitaohr. 1 (1924), S. 6 1 bis 80. 4, Weitere Beisplele wlrd ein Aufsatz llber Nomogramme fur dle Oberflllche des Qnadere in

5, Vergl. S o r e n u , Nomographie II, 9. 169 bia 171.

') W. M a r g o u l i s , Les abaques A transparent orientb.

Zuschrlft freundlicbst zur Perfllgnng gestellt.

technlsehe Formeln, ungedrutkte Dr.-1ng.-Dlssertation, Berlin 1924.

dieser Zeitschrift bringen.

I b ) Diese Zeltsehr. 3 (1923), 9. 46 bis 59 . Compt. rend. 1922, I, 9. 1684 his 1686.

Rand 5, Heft 3 Juni 1:??5 L u c k e y , F1iiclienscliict)e~. zwveidiinenfiionale ebene I<echeuscliieber 255

Das feste G r u n d b l a t t (Abb. 1) trage die Netze (21, 9,). . . . P=fi2, y=gu . . ( l ) , (23, 2,) . . . . . Z = f i * , y=934 . . (21,

(25, 26) . . . . . 2 ' = f 5 6 , y'=g56 . . . . . . . . (3) und das S c h i e b e b l a t t L", das etwa aus durchsichtigem Papier bestehe, trage das Netz

und die Kurvenschar (27) . . . . P ' ( d , y', 27) = 0 . . . . . . . . . (4).

Man stelle nun n' so anf n eio, da6 der Punkt ( ~ 5 , z6) von n' ant den Punkt (zl, 22) von n ftillt und da6 die Gerade O'X' von n' parallel der Geraden OX von ist. I n der Schreib- weise der morphologischen Theorie driicken siah diese xBeriihrungencc folgendermal3en am1):

(Die zweite dieser Beziehnngen sagt aus, da6 der unendlich ferne Punkt von O'X' auf die Achse OX fiillt.)

Bei dieser Art von Einstellung ist die Abszissendifferenz der Pnnkte (a, z 2 ) nnd (ij, 1,) gleich der Abszissendifferenz zwischen dem Punkte (z5, T~) und demjenigen Pankte der Kurve ( z ~ ) , der bei der Einstellilng anf (a, 2,) fallt. Bezeichnen wir die Koordinaten des genannten Punktes mit z', y', so ist also

Dann f%llt der Punkt (z3, 2,) von I7 auf eine Kurve (2 , ) von n'.

(25, r b ) H (:I, -"a), ZL CI O X , (27) H (23, zd).

f 3 4 - f i g = d - f 5 6

oder X ' = f 3 4 + f 5 6 - f i Z . . . . . . . . . . (5). Ebenso ergibt sich far die Ordinaten:

Selzt man die Werte ( 5 ) und (6) in (4) ein, so e rh l l t man

D i e s e Q l e i c h u n g rnit s i e b e n V e r i i n d e r l i c h e n zl, il, . , , . , . ., 27 g i b t d i e a l l g e m e i n e F o r m d e r G l e i c h u n g e n a n , d i e d n r c h T a f e l n m i t e i n e m v e r - s c h i e b b a r e n D e c k b l a t t v o n d e r g e k e n n z e i c h n e t e n A r t d a r s t e l l b a r s i n d . Sehr viele Gleichungen der Tdchnik lassen sich aut diese sehr allgemeine Form bringen.

Natiirlich kann man auch Z l ' als Grundblatt nnd als Schiebeblatt verwenden. Eine noch allgemeinere Form erhalt man, wenn man auf I7 drei Netze (zl, a), (z3, z,), ( z 5 , 26) und anl ni dementsprechend drei Kurvenscharen (r7), (zh), (2,) annimmt. Die Ein- stellong, bei der wir jetzt lieber I1 als das bewegliche Blalt ansehen wollen, hat so zu erlolgeu, daB wieder die Koordlnatenachsen gleicblaufend werden und da0 der Punkt (a, z 2 ) anf die Kurve (a) und der Punkt (r3, 2,) auf die Kurve ( z 8 ) fallt. Dann fallt der Punkt (JS, ~ 6 ) auf eine Knrva ( z g ) Fur diesen allgemeineren Fall 1LBt sich die der Gleichung (7) entsprechende Gleichung mit neun VerLnderlichen nicht geschlossen nieder- schreiben.

Wir haben jedem Punkt nur zwei Bezifferungen, jeder Linie nur eine Bezifferung zukommen lassen. Vermebrt man die Zahl der Bezifferungen, wendet also averzweigte

I ) M d ' o c a g n e , S u r les nomogrammea R transporent orient8. Compt. rend. 1922, I , S. 16E4

. . . . . . y1=93( +g56 -91s . . (6).

F ( f 3 4 + f 5 6 - f i Z , 9 3 4 +y36 -912, 27) = 0 m . - . . * (7).

_ _ _ ~

bls 1 6 6 9 .

Ztwhr. f. nnjicw. 251; T,uckoy, E'IAclionficliielwr, zai~itlimc~nsionnle elleno Rocticnschiebc~r hI;,th. l,nd ~ l , . c ~ , .

Systeinea an, so kann man Gleichungen mit noch mebr Veranderlichen darstellen. Weitere hlijglichkeiten ergeben sich dadurch, daO man fur Einstellung und hblesung statt der ))punktuellen Beriihrungen. ') (ein Punkt fallt auf eine Linie) anch ))tangentiello Be- rubrungen. ( Beriihrungen zweier Linien) zullOt, ferner dadurch, daO man durch Ei11- fiihrung von Hilfsverlnderlicheri eine vorgelegte Gleichong in mehrere andere Gleichungen zerlegt. Auch solche F l l le hat M a r g o u l i s a) behandelt, ebenso wie den allgeineinsten Fall, in welchcm zur Verschiebung noch die D r e h n n g des ),Deckblatts(( kommt ',).

2. Anwendungen der Tafeln mit einem Schiebeblatt. Die bekannten S e c b s - c'c k t : I f e l n sind ein Sonderfall der Tafeln mit Schiebeblatt ; auch die gewiihnlichen F l u c h t e n t a f e l n lsssen sich a's spezielle Ftllle dieser Tafeln betrachten. Aber die Tragweite dieser Methode ist wait grofler, d a sie die bisher schon losbaren Gleichungen auch auf neue Arlen lost und ferner Gleichungen erfaBt, fur welche die bisherigen Ver- fahren versagten oder Umstllndlichkeiten - wie iiberzlhlige oder verzmeigte Systemc - benotiglen. M a r g o u l i s gibt an, dn13 er die von M e h m k e behandelte Gleichung

Q xrn 3" + b ~ 1 ' p + I: xrt/ + 1 = 0

ohne Hilfsveranderliche darstellen kann, dai3 er ferner seit I!) 14 - besonders zur Losung vcrschiedener Aufgaben aus der Flugtechnik - eine Reihe von Tafeln mit Schiebeblatt entnorfen hat, darunter cine Tafel fiir ein System von acht Glrichungen mit insgesamt 13 Verloderlichen. Die ~Iangentiellen Beruhrungen<< haben sich fiir die Aufsuchnng ge- wisser Rochst- und Kiedrigstwerte brauchbar erwiesen. Man kaun mit Interesse der \ ~ L I

dem genannten Autor geplanten ausfiihrlicheren Veroffentlichung iiber diese hlelhodtvi entgegensehen, d e r e n g r o l e r W c r t d a r i n b e s t e h t , d a 6 s i e G l e i c h u n g e n init e i n e r g r 6 5 e r e n Z a h l v o n V e r l n d e r l i c h e n , d i e i n d e n A n m e n d u n g e n h a u f i g v o r k o m m e n , o h n e E i n f i i h r u n g u b e r z l h l i g e r u n d v e r z w e i g t e r S y s t e m e d a r - s t e l l b a r m a c h e n .

Sonderfllle der Rechentafeln mit Sohiobeblatt sind sehon langer bekannt. Zu ihnen gehiiren au6er den Rechenschiebern, bei denen nur i n einer Richtung geschobeii wird, dic Tafeln, bei denen eine geradlinige Leiter in vorgeschriebener Richtung auf ein Grund- blatt einzuustcllen. ist, wie das alte, Strigonometrische Netz. fiir den spharischen Sinus- nnd Chinussate von Eble ' ) und die Tafel fiir die Zinseszinsformel von H a n c l v ) der wie K r e t sc hm e r mit fertigem logarithmiscbem Papier arbeitet. Wirkliche verschiebbare ebcne nlatter hatten die graphisch-mochanischen Apparate von R e u s c h l e ' j ) , ferner vor allem die Tafeln von N e hm Ii e '), dessen Arbeiten zahlreiche Anwendungen auf algebraisdie Glei- cliungeii bringen und die Keimo der Vorschlllge von K r e t s c h m e r und M a r g o u l i s ent- haltcii. Zu nerinen ist anch B a t a i l l e r ;I. Ferner sei auf die beweglichen TransIbareiite der 'I'afeln der sphlrischen Astronomie ") hingewiesen ' I ) .

I) =Punktuclle Berflhrunga 1st dasselbe, was man auch ale Koluzidene oder Ineinanderliegcn bezeichnet. .

a ) \Ir. M n r g o u l i s , Sor la thkorle g6ndrnle de la representatlon des dquatlons au moyen d'Cl6- inents mobiles.

a) Die von mir angegebenen S t e c h z i r k e l n o m o g r a m m e fUgm etch hier a18 Sonderfall ein. hian kanii in Abb. 2 meincs Aufsatzes Uber nomographlsche Darstellungsm(lgl!chkeiten (diose Zeitschr. 3 [19?31, R. 49) die eine TeilBgnr als das Grundhlatt, die andere als dar Wanderblatt betrachten, wio lch es an j w e r Stelle scbon andeutete Die Tofelart 1st gckennzelchnet durch die beiden DoppelberUhrungen :

Vergl. M. E b l e , Qraphiache Trigo- uometrie, Ellwangcn 1877, nud W. L a s k o , Lehrbuch der Astronomie I, Brcmcrhnven uiid IApz lg 1906, 9. 9 .

5 l P. H a n c k , Ein Nomogramm fUr die Zlnseszinsformel, Zeitschr. f. math. u. nat. Unterr. 52 (1921), S. 2G1 bin 263.

6, \'erg1 Enc. d. math. Wiss. I, 2, M e h m k e , Numerisches Rechnen. 9 Vergl. d ' O c a g n e , 'Calcul grapbique et Nomographle, 1. AuE. *) Beispiele findet man i n den Jahrgllngen der Ann. d. Hydrograpbie u. marltlmeu Meteorologle. 9, Ein Plteres Beisp!el fflr Verwcndung elnea verschiebbaren Blattes I b t auch J. S u m e c , Graphi-

ache Uestimmung der Zugbeanspruchung von Freileituugen, ETZ, 1. J u l l 1915. - Auch der R e c h e n - s c h i e b e r f u r k o m p l e x e Z a h l e n von J e a n S p i e l r e l n (ETZ 1924, S. 8 4 9 bis 8533 fIlllt unter dlc zweidlmens~onalen Schieber. Die mflhsamen Entwicklungen dea Verfasrers ln8sen sich durch folgeude Betrachtung ersetzen: Der Schieber beruht auf der durch die Funktlon komplexen Arguments log (z + y i ) vcrmittelten konformen Abbildung eines .Kartesischen Netzes z = a, y = b. Da log ( B e i % = log \o + ii

Oompt. rend. 1923, I, S. 824 bis 826.

(21, 2'2) H (25, t6.6)1 (Z3, ed H (-3 fa). ') N. Eble, Neuea Zeitbestimmungswerk, patentlert 1852.

Paris 1908. S. 360.

2.57

Zn der Qrnndform der BlLtter mit elner Schiebeknrve von K r e t s c h m e r gelangt man durch folgende Spezialisiernng: die Netze (21, 2,) und (23, a) anf If (Abb. 1) bilden eiu nnd dasselbe gewohnliche logarithrnische Netz nnd ebenso ist dse Netz (zs, zF) anf n' ein gewohnliches logarithmisches Netz; ferner ist 27 eine Konstante, so dafl statt der Kurven- schar (zi) aof n' eine einzige Rnrve auftritt. In den Qleichungen (l), (a), (3) ist also:

B a l d -5, Heft 3 Juni 19% L u c k e y , Fliichenscliieber, zueidimensionale ebene Rechenschieber

f 5 R 2 log 25 I 9,s - log Zd );::;:;: i g56 ~ log& f i a - log 21

und an die Stelle der Q1. (4 ) tritt F(z ' , 9') = 0.

Die allgemeine Cflelohung fur Tafeln mit einem Sohiebeblatt (7) geht also uber in F (log za + log 7) - log 21 , log 24 + log zs - log 21) = 0

oder I) CIJ ("y, -) *' = 0 . . . . . . . . . . a

In vielen FHllen wPhlt K r e t s c h m e r ale eines der Netze in Abb. 1 statt des logarithmisohen Netzes eine schrlge logarithmische Leiter, die sich ohne weiteres in das logarithmisohe Netz einzeichnen 1 W , oder ein Netz, das entsteht, wenn man eine Schar schrliger Geraden in ein logarithmischee Netz einzeicbnet. Wilhlt man z. B. fur das Netz (ZI, .c?)

f-11 - log 21 + a log 2 2 1 gia - log za wo a eine Konstante idt, so kitt an die Stelle von (8) die Oleichnng

1111 einzelnen ist z. 3. fur K r e t s c h m e r s Abb. 2 (S. 182):

gia 1 log d gs4 fh -loge logp yfc; 3 1 I f 11 --log C + log d

Setzt man dime Funktionen nnd zi = 0 in die Oleichnng (7) ein, so erhalt man F(1og e - log C - log d , l o g p - logd) = 0

oder

3. FUchenrchieber fiir die Blechdicke von Flammrohren. In Abb. 4 gebe ich die nomographische Losung einer Formel, die von der Form der GI. (7) ist, aber nieht mehr zn der von Hrn. K r e t s c h m e r bebandelten enger begrenzten Klasse gehiirt. Ee ist die in den reichsgesetzlichen Bestimmuogen uber Aolegung und Betrieb yon Dampfkesseln enthaltene Formel fur die Berechnnng der Blechdicken von Dampfkesselflammrohren mit luBeiem Ueberdrnck l )

s = p d ( 1 + fZ?r) + '1 . . . . . . . (10). 2400 p ( I + d )

ist, 80 sind Mnltiplikationen uod Divisionen komplexer Zahlen in der Bildebcne ala Verscliiebuogen bei 1mrallel bleibendoo Koor~instenrichtungen ausfllhrhar. - J H a k verwendet in seiner Albeit: * Eine graphi- sche Alethodo zur Lijsnng voii Erwlrmungsaufgaben* (ETZ 1924, S. 2 3 5 bls 236) !vie K r e t s c h m e r ein Grundblatt mit logarithmisohen I<oordlnnten mid ein ebensolehes Deckblntt. Er zeirhnet die Ablesekurve auf d e m G r o n d b l a t t .

I ) Fur den Fall I:, = = 1 lint schon X f e h m k e dleve Gleicliung iiach dem Schiabekurveu- wxfsbren geltlst. Vergl. Meliin k e , Leitf. z . graph. Rechnen, Leipzig und Berlin 19'17, 9. 6 9 . Mehmke ae i s t an dieser Stelle zurikck suf 0. R e y n o l d s , Phil. Trans. vol. 170 (1E79) , part 11, S. 7.j3.

?) Vergl. HUtte, 24. AuH., 11, 9. 9 3 .

Ztwhr. f. anKen’. 2hH 1, uck e y . F1Bcheiischiel)er, zweidimensionale ebene Itochenscliiehe~ j,i;,ti,. t,n,q iiecil.

Hier bedeutet s die Blechdicke, d den inneren Durchmesaer, 1 die Lange des zylindrischen Flammrohrs, alles in mm; p ist der groSte Betriebsuberdruok in a t und a ist ein Beiwert, der folgende vier Werte annimmt:

a = 100 fur liegende Rohre rnit uberlappter Lilngsnaht,

a = 70 fur stehende Rohre rnit uberlappter LBngsnaht, a=SO D n )) )) gelaschter oder geschweil3ter Langsnaht,

a = 50 )) n ,> )) gelasohter oder geschweiDter Langsnrht.

Bezeichnet man mit GI die Bezifferung eines Punktes in einem rechtwinkligen l o g a r i t h m i s c h e n Koordinateonetz, so trs’gt das G r u n d b l a t t der Rechentafel das Nelz (d , 1 ) mit den Qleichnngen

- d

1000

- x , ~ , = ~~~ , yd, = 1 + d / l . . . . . . ( I 1)

und das Netz (3, a) mit den Gleichungen - ~

x , = s - - 2 , y.=a/ao . . . . . . . . (12).

Das S c h i e b e b l a t t tragt die Leiter 20 - 2 4 -

x, = 2 I ) , yp=; . . . . . . . . 113)

- und die Ablesekurve y + l = ( z - l ) ’ . . . . . . . . . . (11).

Die Einstellung des Schiebeblatts auf das Qrnndblatt druckt sich aus durch die -. - .~

Gleichungen = y -~ - - . . . . . . . . . ( l j ) ,

.P1 - a! - , - Xd, I 25. Ud, 1 UP

die vollig der bekannten, beim gewohnlichen eindimenaionalen logarithmischen Schieber be6 tehenden Proportion

entsprechen, a e n n xl, z2 die Bezifferungen zweier Leiterpunkte des Sohiebera nnd iJ. : I : , die Beziflerungen der ihnen gegeniiber stehenden Leiterpunkle der Zunge sind. DaU sowohl die ZLhler wie die Nenner in jeder der Qleichungen (15) rnit eineni beliebigen l’aktor vervieltlltigt werden konnen, wird dazn ausgenutzt, den Systemen des Qrund- und des Schiebeblatts gunstige gegenseitige Stellungen zu geben. In den Gleichungun ( 1 1) bis (14) sind diese Faktoren schon passend gewahlt.

Die Elimination aller und aus den :) Gleichungen (1 1) bis ( I 5) liefert die Gleichung (10).

Bei Benntzung von logarithmischem Papier machen nur die I-Kurven des Netzes (1 1) ctwas mehr Arbeit, d a sie wie die schnell herstellbare Ablesekurve (14) pnoktweise zu berechnen sind. Doch gehen sie durch viele mit ganzen Zablen bezifferte Punkte; auch ergeben sich bei der Berechnung allerhand Rechenvorteile und Kontrollen. Die Leiter (p) erhalt man, wenn man die Hauptdiagonale zweier in dieser Haoptdiagonale benachbarter Mantissenquadrate eines Blattes des logarithmischen Papiers zieht und die hierbei entstehendo Loiter so auf das Schiebeblatt rnit der Nadel durchsticht, dal3 der rnit p = 2 0 bezifferte Punkt auf den logarithmischeo Netzpunkt &= 1 , 2 , y = 10 und der rnit p = 2 bezifferte Leiterpunkt auf den I’unkt z = 0,1?, ?/ = 1 failt. Dies geht aus den Qleichungen (13) hervor.

Anwendungsbeispiel: 1st gegeben d = 800 mm, 1 = 1200 mm, p = (i at, a = 80, so stellt inan den Punkt p = 6 des Schiebeblatts auf den Netzpunkt (tl = 800, 1 = 1?00) dcs Grundblatts. Wenn man hierbei dafur sorgt,, da6 die wagerechten Leitlinien des Schiebe- blatts denen des Grandblatts parallel sind, so geht durch den Punkt, in welchem die Ab- lesekurve des Schiebeblatts die Linie n = 80 schneidet, die rnit 10 bezifferte s-Linin. Die Blechdicke betrtlgt also 10 nim. Die Stellung des Schiebeblatts fur dieses Beispiel ist gestrichelt aogedeutet.

4. Methodische und technische Bemerkungen. Die Frage der l e i c h t e n H e r s t e l l b a r k e i t von Rechentafeln muB reoht brennend sein, denn wiederholt bat man neuerdings in Deutschland nm den Preis der leichten Herstellbarkeit dauernde Nachteile

. . - Xl : XI = 5 4 : x3

~. -

-

.- -

2 59 B.itid 5, Heft 3

~ u t i i 191.5 L u c k e y , FIRchenscliieber, zweidimensionale ebene l techenschieber ~ -~ - ~~

zoo mm d

-m roo 80 70

80,

a 50

I 70 50

7 a ,9 romm 15 20 25

s - 1 Blechdicte - I

Abll 2 . lilechiliehe \oii 1~lani1iirohtc11 -

A = 2.100 P d ( I + 1/1 -tp*) + 2.

Beihpiel: d = 800 mm, 1 = 1200 mm. p = 6 a t , n = 8 0 , 8=10mm.

I

und Umstlndltchkeiten i n d e r B e n u t a u n g in Kauf genommen. Um krummlinige Leitern zu vermeiden, findet sich J. I Iak’ ) damit ab, da6 jede Ablesnng urn einc Operation ver- mebrt wird, nlmlich um einen Wertesprung a d einer der Leitern oder um einen Ueber- gang von einer Leiter auf eine andere lPngs einer Leitkurvenschar. Um den Preis der beqnemen Einzeichnung in logaritbmisches Papier opfert K r e t s c h m e r rnit dem an anderer Stelle z, gemachten Borschlag seiner wmhriigen Zapfenhie(( die eigentumlichen Vorzuge der Fluchtentafeln aus drei Leitern, namllch die klare, gleichzeitige Ueberschaubarkeit und einfache Variierbarkeit dreier znsammengehoriger Werte der Verlnderlichen. Zeitdauer, Sicherheit und Cfenauigkeit der Ablesung werden beeintrachtigt durch diese Brechung des Ableseweges, der nun wieder den unbeliebten Linienscharen eritlang laufen 5011. 3, Wenn eine dauernde Benutzung der Tafel in Frage kommt, durlte e8 wohl wirtschaftlicher sein, die Zeichnung der logarithmischen Leitern, etwa rnit Hilfe der kiiuflichen, sehr genauen logarithmischen FacettenmaSstlbe nicht zu scheuen ; fur einen ersten Entwurf oder eine bebelfsmlt3ige Herstellung aber liefert ein schrlger Sohnitt durch logarithmisc he6 Papier eine logarithmische Leiter von jedem gewunscbten MaDstabe zum Anfkleben.

I) J. Hak, diese Zeitsclir. 1 (192l), S. 154 bis 157; 2 (1932), s. 469 his 472; Aiinales des Ponts et Chaussees 1923, 9. 375 bis 386. Die an der Spitze der zmelten dieser Arlleiten gemaohteii falschen Angaben Uber die allgemelne, dureh eine Fluchtmtafel mit drei gcraden Leitern‘ darstellbnre Qleiehung sind in der dritten, IranzWsch geschriebenen Arbeit berichtlgt.

*) Werft, Reederei, Bafen, 1 (1923), 8. 3 1 bls 35. a) Anders steht 8s natorlich rnit der Brauchbarkeit der Tnfcl IUr mehr 01s drei Verilnderliohe.

die K r e t s c h m e r in seiner Dissertation unter dem Namen *Verbundnomogramm* behandelt. Fur vler Verlnderliche ist dies elne fur die Glelchung Az~aizaa? zpre4”c = 1 entworfene Tnfel, die nu8 einer Ver- koppelung einer logarithmischen Fluchtentafel rnit einer logarithmischen Netztafel hestebt, oder - was dasselbe ist - &us einer Flnchtentafel mit einer v e r d i c h t e t e n L e i t e r . Eine neue Methodc ist diem Form nicht. Bekanntlieh kann man hier Uber drei MaBstllbe verfUgcn. Urn das logarithmische Papier zu benutzen, macht K r e t s c h m e r diese MaBstNbe gleich. In maochen Nl len wlrd dies h e r zu eincr unganstigen Form der Tafel fUhren.

Ant die l e i c h t e H e r s t e l l b a r k e i t legt Hr. K r e t s c h m e r auch bei seinen S c h i e b e - k u r v e n b l i i t t e r n den griibten Nachdrnck, niihrend M a r g o n l i s nur die Darstellbarkeit schwierigerer aleichungen betont. Es verdient in der Tat alle Beachtung, dai3 hier gezeigt wird, wie fur ziemlich verwickelte Gleichungen mit bis zu sechs Veriinderlichen das fertige logarithmische Papier dienen kann und nnr eine ICurve punktweisc zu zeichnen ist. Zu den schon genannten Vorteilen der Tafeln mit Schiebebllttern - lreine verzwoigten Systemc und keine iiberzahligen Sysleme, so daO jede VerLnderliche als Unbekannte auf- treten kann ~ - kommt noch der Vorteil, da6 eine logarithmisehe 1,eiter in allen ‘l’cnilen dieselbe relative Genauigkeit hat.

Dennoch wird man in Ftlllen, wo auch andere Methoden moglich siud, besoriders also bei Qleichungen mit einer geringeren Zahl von Verlnderlichen (wie bei Abb. ? S. 1 3 2 ) iiber die N a c h t e i l e dieser Rechentafeln mit beweglichen Systemen nicht hinnegsehen. Man hat wioder L i n i e n s c h a r e n und Netze , die aus physiologisrhen und psychologischen Griinden den e i n f a c h e n L e i t e r n nachstehen. Die Beunruhigung des Auges beim Einstellen und Ablesen kann leichter Ungenauigkeiten und Fehler bewirken. Das Papicr des beweglichen Blattes kann sich anders ziehen ale das des Grundblattes, ein Sachteil, der sich allerding8 bei R r e t s o h m e r s Tafeln weniger geltend machen wird, als bei den Tafeln von M a r g o u l i s , der anscheinend mit einem durchsichfigen Blat,t, also einor anderen Papiersorte arbeitet. Solche beweglichen Ableseblatter gehcn auch leicht verloren; Eiichern gibt der Vcrleger sie nicht gern bei, und das in mehreren Auflagen erschienene ameri- kanisohe Handbuch von H a l segl ) hiitte nicht mit so zahlreichen Nomogramrnen ansge- sehmackt wverden konnen, wenn man mit beweglichen Systemen gearbeitet hiitte. Hinsichtlich der a e n a u i g k e i t ziehe ich eine sorgflltig von Hand gezeichnete Leiter dem kxuflichen Logarithmenpapier vor. Fur Priizisionsarbeit wLren punktweise berechnete Leitern mit dem Koordinatograph zu zeichnen.

Diese Bemerknngen sollen und kounen aber nicht der Bedeutung Abbruch tun, die den zweidimensionalen Rechenschiebern vor allem bei Oleichungen rnit einer gro6eren %ah1 von Verilnderlichen zukommt. Bei der gro6eii Vorliebe, deren sich das F l u c h t - l i n i e n v e r f a h r e n erfreut, hat man Gleichungen mit einer griil3ercn Zahl von Verlnder- lichen moistens durch Retten von aneinandergekoppolten Fluchtentafeln zu je drei Ver- anderlichen mehr oder weniger gliicklich dargestellt. Solche zusammengesetzten Fluchten- tafeln machen manchmal einen gequtllten und zusammengeflickten Eindruck. Haufig nimmt man bei ihnen zu iiberzlbligen Systemen seine Zuflucht. LlSt sich zwischen zwei Teiltafeln keine gemeinsame Leiter einer HifsverBnlerlichen ’ a h Zapfenlinie schaffen, so greift man zii Notbehelfen n i e Leitlinienscharen, ,Gleitkurven(( ‘), Wertesprungen aut einer I d t e r . Hinter jedem dieser Auswege versteckt sich ein iiberzahliges System, das zwar harmloser ist, a e i l es einer nicht als Unbekannte auftretenden Hilfsvariablcn zu- konimt, das aber den Ableeeweg weitlanliger macht. Auch leidet die Qenanigkeit bei mehrfach gebrochenem Ableseweg. Wie vollzieht man uberhanpt praktisch die hblosung bei solchen mebrfach‘ zusammengesetzten I~luehtentafeln? Ich vermute stark, dai3 mail sich bei jeder EinzellKsung die Brechungspunkte anf den Zapfenlinien mit dem Bleistift nnmerlit, wenn man nicht g a r jedesmal die Fluchten wirklich mit dem Bleistift zielit. Jedenfalls empfehlen die Amerikaner 3), die derartige zusammeogesetzte Fluchtentalc~ln i t 1

amerikanischen Mengon auf den Maikt geaorfen haben, ein dnrchsiohtiges Blatt a113 Zellhorn (Zelluloid) auf einer Seite mit feinem Schmirgelleinen rauh zn reiben, rnit d e r rauhen Seite nach oben anf das Nomogramm zu Ipgen und die Fluchtlinien rnit weichem

‘J F. A H a l s e y , Handbook for Machine Designers, Shopmen and Draftsmen, New Pork 1916. ?I Vergl. H. S c h w e r d t , diese Zeitsebr. 4 (1921), 9. 314 bls 323. Die Bezeichnung *Gleitkurvec

schelnt mir anfecbtbar, da DGleitena rnit der Vorstellung eines Schubs ve bunden i+t. Icb haite diem Bezeiehoung auch fur IlbertMssig, da die bier vorliegende geometrische Bezlebnng Berl lhrno g hei6t. Die von S c h w e r d t als Drrstellong einer beliebigen Glelehnng rnit drei Veranderlichen angfgebcue *Gleitkurventafel= brachte In derselben Ailgemeiobeit scbon d ’ 0 c a g n e (Trait6 de N., 1. Aufl., 1899, Nr. 58, 2. Aufl., Nr. 59) ariter der Rezeichnnng .allgemeines Bertihmngsnomogramm* (abaque tnngputiel g806ral). Er ma6 dieser Form keine groBe Bedoutung bei. Uebrigena falit das Verfahren, nnch dem S c h w e r d t anf 9. 322 elne verstreckte Netztafel in eine Fluchtentafel vcrwandclt, unter die hfcihode, die d ’ Ocngne in dom auf den eben angelllhrten folgeiiden Parsgrapben seines Werkes nngegebeii hat. Aueh S o reau Ilracbtel wicderholt Beisptele zu dlesem Verfahren. Meines Wissens ,ist auch noch kelne andere praktiseh .boqneme Mathode der graphischeu Uebersetzung einer Geradentafel in etne Fluchten- tnfel angegeben worden.

*) B l i s s , Amer. Machinist, 22. April 19 5 H a l s e y , n. a. O., Vorwort zur 2. Aufl.

1h1111 .-I, Heft :: Jill l i 192.5 1, uc k e y , E'liichoiwMubor, zweidiniensionale 0l)enc I~c!cIieiischielier 261

Rleistift darnuf zu zaiclnen. Die Linien konnen dann mit dem Radiergummi immer wieder ausgeloscht werden. Das ist umstgndlich, aber nur so kann man bei einer zu- sammengesetzten Fluchtentafel e i n Sys t em % u s am m e n g e h o r i g e r Wer te d e r Ver - a n d e r l i c h e n g l e i c h z e i t i g u b e r s c h a u e n nnd f e s tha l t en .

Hier bringen nun Hrn. K r e t s c h m e r s Tafeln nod ihre allgemeineren Formen eine bedeutsame Wendung. Sie sind Qebilde aus einem Qu6. Mit . e i n e r e i n z i g e n E i n - s t e l l u n g dee S c h i e b e b l a t t s werden bei diesen uaturgeml5en Verallgemeinerungen der Rechenschieber ins Zweidimensionale alle Werte eines Satzes zusammengehoriger Werte der VerSlnderlichen gleichzeitig uberschaubar ; j a man kann sogar mehrfach unend- lich viele derartiger Sltze festhalten, gleichzeitig uberschauen und beqoem variieren. Ueberzahlige Systeme werden dabei vermieden, 80 da0 j e d e Ver l lnde r l iohe a l s Unb e - ka i in te a u f t r e t e n kann . Man halte etwa die beiden von R. S o r e a u l ) fur die Elec!i- dicke von Flammrohren entworfenen zueammengesetzten Fluchtentafeln gegen die Abb. 2, wobei auch zu beachten ist, daO S o r e a u s Tafeln beide fur d ein uberztlhliges System haben. Der Vorteil, da5 die Zahl der Netze zngunsten einfacher Leitern auf ein Mindest- ma0 herabgedruckt ist und dal3 als Ablesegertlte nur Gerade und Oeradenkrena notig sind, scheint mir mit dem umstPndlichen und unubersichtlichen Ableseverfahren zn teuer erkauft.

Die Tafel Abb. 4 (S. 184) fur die Formeln aus dem Eisenbetonbau hat als ein ihrer Natnr fremdes Element das Fluchtungsverfahren hinzu- genommen, das die Handhabung unbeqriem macht. Statt der Darstellung aller Formeln in einem einzigen Nomogramm, die den Benutzer verwirren kann, schlage ich fu r jede Formel eine besoridere Rechentafel vor. Abb. 3 id die Tafcl fiir die zweite dar drei Formeln. Fur die beiden anderen lassen sich ilhnliche Nomogramme entwerlen. 1st gegeben or= 800, af, = 30, b = 35, M = 1500, so legt man die b-Leiter des Schiebeblatts so an die wage- rechte Linie 6,= 800, da0 die Linie a b = 3 0 duroh den Teilstrioh b = 35 geht. Dann geht dnrch den Teilstrich M = = 1500 die Linie h'= 30. Diese Tafel, die sich auch leicht in einen Schieber umbilden liebe, bei dem ein Llufer den Netzpunkt ( u ~ , a,) auf die Zungenteilnng (b) heronterholen konnte 3, enthalt nur ein einziges Netz und vermeidet die Brechungen des Ableseweges an einer BWanderkurveu Die Linien h' nnd 6, sind auf logarithmischem Papier vorhandcn und die Leltern (b) nnd ( M ) kann man von eiiieiii

~ - ~ ~~ ~- ~ . ~ ~~~ - . ~ ~~~ ~~~~

5. Tafeln f ir Eisenbeton.

-63

M-

3 C 5 6 7 8 9 ,om -. 75 ;i) 25 30 40 53 60

h ' p [,B%ZJ3 Abli. ':!.

,,, = ,/ H . U,.'flb + 15 ~-

b U', $7,5 . jf7< lor. i 1 0

Ilcispiel: n, -- X U 0 kglciii', Ur. = 3 0 IiKlcin". b = 3 5 ciri, J I = 1500 ililic, h'= 30 CIII . .

Ztschr. f. angew. 262 Klelne Mittellungen Math. und Mech.

Bogen logarithmisohen Papiers von halb so gro6em Matistab') abschneiden nnd so EU- sammenkleben, da8 dem Pankt b = 100 der h n k t df= 750 genau gegeniibersteht. Die Eiuseiohnung der Linien db erfordert allerdings etwas m&r Arbeit ale das Zeichnen einer *Wanderkurvea. Da diere Linien aber eehr gestreokt rind, gentigt die Bereohnnng weniger Punkte, nnd dieser Yehrarbeit steht der danernde Vorteil der beqnemeren Be- nutsbarkeft gegentiber.

Zur Begriindung rerlege m m dle Cfleiohung ftir h' unter Einfuhrnng einer Hilfs- verllnderlichen c in die Qleichungen

[ ist die logarithmische Abszisse, a, die logarithmisohe Ordinate des Netees, das die crste dieser Qleiohungen darstellt.

Uebrigens ware es mtiglich, dan Net2 dorch eine Anamorphose in der Ordinaten- riohtnng (etwa a d graphischem Wege) so ntnzuwandeln, dafl die at.-Linien sich mit hin- reiohender Genauigkeit BU Qeraden strecken. Damit ware anch der Anwendung des FluohQinienverhhrens dieTtir geiillnet, nnd die Formel liefle sich dann r. B. durch eine zusammengeselzte Flnchtentafel darstellen, die an8 parallelen geradlinigen logaritbmisob e n Leitern !fir M, b, h', u., zwei dazu parallelen Zapfenlinien und einer schwaoh gekrtlmmten Leiter ftir ub bestllnde 433b

I ) Far d u Grnndblrtt wkhlte' lch dar Papier S c h l e l o h e r th SchUI1 Nr. 37O1/2. 8 , far das Schiebeblatt Nr. 366'1,. Das MaEstdbverhlltnia der belden Papfere mu8 rllerdin@a genan 2 : 1 rein, was bei den kluflichen Papleren nlcht immer der Fall ist.

'1 Inzwlschen erschien der #Beitrag zur Verwendnng der Nomogrsphie in der Elsenbetonrech- nuug. von P. E i s n e r uud W. K r e t s c h m e r (Beton und Eisen, Bd. 24, Fetmurr 1925). Das Wertvoliste in dieser Arbeit schelnt mir die DSchluBbeinerkungr zu reln, wrlche die ilbrlgen Ausfahrungen der Arbelt PhedUssig inscht. In dleser SchluObemerkung werden die drei Eisenbetonformeln ebenfalle nilherungsweise verstreckt ; anch wlrd, wie be1 rreiner oblgen Anregung, auf die slch hleraus ergcbendc M6glichkeit einfacherer Rechentaleln hiogewiesen. Melne Atbelt lag Hrn. Kre t schmer seit Juni 1924 i m Yanurkdpt vor. In der grnnnnten VerBffentlichung fat nichts darUbcr gesagt, ob Jene SchloB- bemerkung vor oder nach diesem Zeltpunkt abgefaBt 1st.. E i s n e r nnd K r e t s c h m e r veretrecken die 9. 183 von K r e t s c h m e r mlt TI, ysl l a bezeirhneten Funktionen, wns auch zwckml1Bigcr ist, nls die Verstreckung der Fnnkllon f. Auch ich hatte in der Zwlscl enzelt die Verstreekung der Funktionen y' Ins Auge gefaBt. Doch halte leh tlas von E i s n e r und K r e t s c h m e r mgewaudte, von S c h w e r d t nn- gegebene Ausgleichvcrtahren hler \vie In den melslen dcrsrtlgen Fllllcn nicht far angemessen. Ich gel)e vielmehr den L o g a r i t h m e n g l e i c h c Gewlchte. Bci den rohon thcoretlschen und empirlschen Grnndiagcn dieser Elrenbetonforn~elu gcnagt es also wohl, die flachc Kurve n:wh dem AogeninaU durch clne Geradc zu crsetzrn.

Auf die Begrllndung gehe lch hier nlcht ein.

KLEINE MITTEILUNGEN Nomodramme f ir die Obwawlc dcr

Quaderr. Irn folgenden bespreehe ich fllnf graphische Tafeln zur Uerechnung der Ober- fliche des Quaders aus den Kanleiilingen, und zwar: 1 . eine 2-Tafel, 2. eine Fluchlen- tale1 niit eineni Netz, 3., 4. und 5. drei Ta- leln niit verschiebbaren Imilferlen IAtcrii. Die dmi letzteii Taleln gelidreii zur Cruppc der N o m o g r a m m e m i t e i n e m v e r - s c h i e b b a r e n B l a t t oder z w e i d i m c n - s i o i i a l e i i R e c h c n s c l i i e b e r , die erst i n jiiugster Zeit der 1:rauzose 11 a r g o u I i s 1) sy- slemalisch behantlelt hat. Beispiele von der Art meiner A1)l)ildungeii 3 und 4 bei dencii

Cornit. rend. Paris 1933, II 8. 834 bis 826. Nihcrea Uber diese Tifeln. far die Ich den Namen F l & o h e n r c h l e b e r vorschlage, oergl. in der Zu- schrift von Em. K r e t s c h m e r (dleae Zeftschrlft 5 [19411, 8. 182 bis 184) und melnan voranstebenden AnfUtz.

krumme kif ferte Leilern versclio!)en wcrtleii. sind mir in der Lileralur noch niclit kgegnel.

In einer lechnischen Zeilschrift wurde jfingst die noniographischc Preisberechnung von Posl- kislcn behandell*). Da tler Verfnssrr liier1)t.i den Pwis proporlional dcr Oherflichc sctzl, so handclt es sich, wciin inan von dcr Ver- vielfilligung mit ci:iem verindcrlicheti True- rungsfaklor absicht, die in, der Arlwit ' durch A n hingu ng eincr loga r i I h in isrhen hl ul liplikn- tionstafcl Ixwcrkslclli$ wirtl, i i i n tlic ~\uTgnlic: A u s den K a n t c n a, / I , c e i n e s Q u a t l e r s s e i n e O b e r f l i i c h e f n o m o g r a p l t i s c l i

zu b e r e c h n c i i . ES isi also {lie Ctricliong niit 4 Veriinder-

f = = 2 ( a b + a c + b c ) . . . . . (1) lichen

graphisch zu verlafeln, *) B. S t a b l , Prdrbereohnnng be1 vertlnderllohen

Grundprelsen unhr ZnhiUslvbme der Rechw[afel, Y a s c h l n e n b a u , 1935, Heft 5, 9. 115 bls 117.