Die Fourier-Transformation und ihre Bedeutung für die ... · A. Otte – Die Fourier-Transformation und ihre Bedeutung für die biomedizinische Systemtechnik 5 B Einleitung Der französische

WHLSchriften der Wissenschaftlichen Hochschule Lahr

Nr. 17

Andreas Otte

Die Fourier-Transformation und ihreBedeutung für die biomedizinischeSystemtechnik

WHL Wissenschaftliche Hochschule Lahr

ISBN: 978-3-86692-116-0 Wissenschaftliche Hochschule Lahr

Die Fourier-Transformation und ihre Bedeutung für die biomedizinische Systemtechnik

Andreas Otte

Schriften der Wissenschaftlichen Hochschule Lahr

Herausgeber: Prof. Dr. Tristan Nguyen

Prof. Dr. Andreas Otte

Prof. Dr. Martin Reckenfelderbäumer

Prof. Dr. Stephan Schöning

Prof. Dr. Günther Seeber

Nr. 17 Lahr, Januar 2010

ISBN: 978-3-86692-116-0

© Copyright 2010 WHL Wissenschaftliche Hochschule Lahr

Hohbergweg 15-17

77933 Lahr

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Alle Rechte vorbehalten

A. Otte – Die Fourier-Transformation und ihre Bedeutung für die biomedizinische Systemtechnik

1

Die Fourier-Transformation und ihre Bedeutung für die

biomedizinische Systemtechnik

Andreas Otte

Inhaltsverzeichnis

A Vorwort ...................................................................................................... 4

B Einleitung ................................................................................................... 5

C Theoretischer Teil...................................................................................... 6

1. Mathematik der Fourier-Transformation.................................................. 6

1.1 Darstellungsformen der Fourier´schen Reihe................................. 6

1.2 Die Bestimmung der Fourier-Koeffizienten................................... 7

1.3 Entwickelbarkeit einer Funktion .................................................. 12

1.3.1 Periodische Funktionen.................................................... 12

1.3.2 Aperiodische Funktionen................................................. 13

1.4 Eigenschaften und Besonderheiten der Fourier-Reihe................. 14

1.4.1 Periodizität ....................................................................... 14

1.4.2 Vereinfachungen.............................................................. 14

1.4.3 Die Minimumseigenschaft der Fourier-Koeffizienten..... 15

1.4.4 Das Gibbs´sche Phänomen .............................................. 16

1.5 Erläuternde Beispiele ................................................................... 16

2. Die Fourier-Transformation mit dem Computer .................................... 20

2.1 DFT und FFT................................................................................ 20

Seite


2

2.2 Demonstrationsprogramm nach der FFT-Methode...................... 22

D Anwendungen der Fourier-Transformation......................................... 23

1. Übersicht ................................................................................................ 23

2. Beispiele aus der Akustik ....................................................................... 25

2.1 Geräusch....................................................................................... 25

2.2 Knall .............................................................................................25

2.3 Ton................................................................................................ 25

2.3.1 „Reiner“ Ton.................................................................... 25

2.3.2 „Natürlicher“ Ton ............................................................ 25

2.4 Klangbilder einiger Musikinstrumente......................................... 26

3. Beispiele aus der biomedizinischen Systemtechnik............................... 31

3.1 Die FFT bei der Verarbeitung von Biosignalen ........................... 31

3.2 Klinische Neurophysiologie ......................................................... 32

3.2.1 Einführung ....................................................................... 32

3.2.2 Elektroenzephalographie (EEG) ...................................... 32

3.3 Radiologie .................................................................................... 35

3.3.1 Computertomographie (CT)............................................. 35

3.3.2 Magnetresonanztomographie (MRT)............................... 35

3.3.3 Doppler-Sonographie....................................................... 36

3.4 Nuklearmedizin ............................................................................ 37

E Literaturverzeichnis ................................................................................ 39

1. Zitierte Literatur ..................................................................................... 39

2. Weiterführende Literatur........................................................................ 39

F Anhang...................................................................................................... 41

1. Fourier-Computerprogramme ................................................................ 41

1.1 Programm für FFT........................................................................ 41

1.2 Programm für die Graphik ........................................................... 42

1.3 Hilfsprogramme............................................................................ 44

1.3.1 Hilfsprogramm für die Erzeugung von Rechteckkurven . 44

1.3.2 Hilfsprogramm für die Erzeugung von Parabelbögen ..... 44

2. Ergebnisse .............................................................................................. 45


3

2.1 Ergebnis für Rechteckkurve mit 128 Stützpunkten...................... 45

2.2 Ergebnis für Rechteckkurve mit 2048 Stützpunkten.................... 45

2.3 Ergebnis für Parabelbögen mit 2048 Stützpunkten...................... 46


4

A Vorwort

Die Fourier-Transformation hat Einzug in vielfache Anwendungen der Mathematik, Wirtschaftswissenschaften, Physik, Biochemie und Technik gefunden. Von un-schätzbarem praktischem Nutzen ist sie auf dem Gebiet der biomedizinischen Sys-temtechnik – und hier v.a. in der Biosignalverarbeitung – geworden. Es gibt mitt-lerweile kaum ein Gebiet der Medizintechnik, das nicht von der Fourier-Transformation Gebrauch macht.

Die vorliegende Schrift bereitet die mathematischen Grundlagen der Fourier-Transformation ausführlich auf und stellt exemplarisch einige Anwendungsgebiete aus der Akustik und biomedizinischen Systemtechnik vor.

Januar 2010

Prof. Dr. med. Andreas Otte

Facharzt für Nuklearmedizin


5

B Einleitung

Der französische Mathematiker und Physiker BARON JEAN BAPTISTE JOSEPH DE

FOURIER (1768-1830, Abb. 1) veröffentlichte 1822 sein Buch „Theorie analytique de la chaleur“. Darin entwickelte er eine Theorie über trigonometrische Funktio-nenreihen, die heute nach ihm benannt werden, eine mathematische Theorie, die zunächst nur als ein Hilfsmittel für seine physikalische Abhandlung gedacht war. Sein Grundgedanke war:

JEDE PERIODISCHE BEWEGUNG (KURVE) KANN MAN ALS SUMME VON UNENDLICH VIE-LEN SINUSKURVEN DARSTELLEN, DEREN FREQUENZ SICH WIE 1:2:3:4 USW. VERHALTEN, D.H. EIN „HARMONISCHES“ V ERHÄLTNIS BILDEN.

Abb. 1 BARON JOSEPH DE FOURIER (1768-1830)

Obwohl diese Idee gleichsam nur als Werkzeug diente und im Zusammenhang mit einer thermodynamischen Schrift stand, hat sie wichtige Anwendungen in allen Be-reichen der Mathematik, der Physik und der Technik – insbesondere der biomedi-zinischen Systemtechnik – erfahren. In vielen Einsatzgebieten wird die Fourier-Transformation dazu verwendet, um für zeitliche Signale (z.B. ein Sprachsignal oder einen Spannungsverlauf) das Frequenzspektrum zu berechnen (Fourier-Analyse).

Mit dem Aufkommen von hochleistungsfähigen, schnellen Rechnersystemen hat Fourier in den letzten drei bis vier Jahrzehnten eine Renaissance von großer Trag-weite erfahren.


6

C Theoretischer Teil

1. Mathematik der Fourier-Transformation

1.1 Darstellungsformen der Fourier´schen Reihe

In die Sprache der Mathematik übersetzt, lässt sich Fouriers Idee folgendermaßen darstellen:

(1) f(t)=a0+a1cosωt+a2cos2ωt+a3cos3ωt+…+b1sinωt+b2sin2ωt+b3sin3ωt+…

mit:

f(t) Funktionsterm der Kurve (einer periodischen Bewegung)

t Zeit

ω Kreisfrequenz der periodischen Funktion (ω=T

π2 , T Umlaufzeit)

aj Fourierkonstanten oder –koeffizienten der cos-Glieder (j=1,2,3,...); a0 ist die mittlere Verschiebung vom Nullpunkt (Gleichanteil)

bj Fourierkonstanten oder –koeffizienten der sin-Glieder (j=1,2,3,...)

Für diese Schreibweise gibt es auch andere Formen der Darstellung:

f(t)=a0+∑∞

=

⋅+

⋅1

2sin2cosj

jj tT

jbt

T

ja

ππ bzw.

(2) f(t)=a0+∑=

⋅+

⋅n

jjj t

T

jbt

T

ja

1

2sin2cos ππ ,

wenn man sich auf eine endliche Anzahl von n Stützpunkten beschränkt.

Eine zu (1) äquivalente Schreibweise ergibt sich durch Anwendung der entspre-chenden Phasenverschiebung zwischen sin und cos:

(3) f(t)=a0+c1cos(ωt-φ1)+c2cos(2ωt-φ2)+c3cos(3ωt-φ3)+...


7

bzw., auf n Stützpunkte beschränkt:

(4) f(t)=a0+∑=

−⋅n

jjj t

T

jc

1

2cos ϕπ

mit:

φj Phasenverschiebungen (j=1,2,3,…)

cj Fourierkoeffizienten (j=1,2,3,...)

Gl. (2) und (4) hängen zusammen durch:

(5) cj= 22jj ba +

und

(6) φj=arctanj

j

a

b

1.2 Die Bestimmung der Fourier-Koeffizienten

Die in Abschnitt 1.1 genannten Darstellungsformen liefern alle einen rechnerischen Ansatz für die Fourier-Transformation, d.h. für die Bestimmung der Fourier-konstanten oder –koeffizienten. Die Kenntnis dieser Koeffizienten ist Vorausset-zung für alle praktischen Anwendungen der Fourier-Transformation. Ausgegangen wird von der trigonometrischen Reihe

(7) f(x)= ( )∑∞

=

++1

0 sincos21

ννν νν xbxaa 1

1 Warum der Gleichanteil 20a

und nicht 0a wie in Gl. (2) beträgt, wird weiter unten verdeutlicht.


8

Die Koeffizienten aν und bν dieser trigonometrischen Reihe können leicht so ge-wählt werden, dass diese Reihe für alle Werte von x gleichmäßig konvergiert; das ist z.B. schon der Fall, wenn die Reihen

∑∞

=1ννa und ∑

∞

=1ννb

absolut konvergieren (vgl. Satz S. 117 aus [2]).

Angenommen, Gl. (7) ist die Summe einer für alle Werte von x gleichmäßig kon-vergenten trigonometrischen Reihe, dann ist die Funktion mit dem Funktionsterm f(x) stetig, also auch über das Intervall

ππ +− ;

integrierbar. Die Integration kann nun gliedweise erfolgen.2

Da 0sincos == ∫∫+

−

+

−

xdxbxdxa ννπ

πν

π

πν

( ) ( )

[ ]

∫

∫

∫∑∫ ∫ ∫∑

+

−

+−

+

−

+

−

∞

=

+

−

+

−

+

−

∞

=

=⇒

==+=

++=

++=⇒

π

π

ππ

π

π

π

π ννν

π

π

π

π

π

πννν

π

π

νννν

dxxfa

axadxa

dxxbxadxadxxbxaadxxf

)(1

210

21

sincos21sincos

21)(

0

000

10

10

(Gl. 8).

Ähnliche Ausdrücke finden sich, wie sich bald herausstellen wird, auch für die üb-rigen Koeffizienten aυ bzw. bυ (mit υ=1,2,3,...).

2 Auf die Beweise von Stetigkeit und gliedweiser Integrierbarkeit wird hier zugunsten der Übersichtlichkeit

verzichtet.


9

Denn ist ∈µ IN, so darf Gl. (7) mit cosµx bzw. sinµx durchmultipliziert und an-schließend gliedweise integriert werden. Dabei ergeben sich diese Integrale:

∫+

−

π

π

µν xdxxcoscos ; ∫+

−

π

π

µν xdxxcossin

bzw.: (9)

∫+

−

π

π

µν xdxxsincos ; ∫+

−

π

π

µν xdxxsinsin

Fall 1:

Gilt µν ≠ ( ∈µν , IN), so sind alle Integrale unter (9) Null.

Fall 2:

Gilt µν = ( ∈µν , IN), so ergibt sich:

πµπ

π

=∫+

−

xdx2cos (Gl. 10.1)

0cossin =∫+

−

xdxx µµπ

π

(Gl. 10.2)

πµπ

π

=∫+

−

xdx2sin (Gl. 10.3)

Nachdem wir uns mit der rechten Seite der mit cosµx bzw. sinµx durchmultiplizier-ten und dann gliedweise integrierten Gl. (7) beschäftigt haben, wird jetzt die linke Seite betrachtet. Da rechte und linke Seite gleich sein müssen, ergibt sich wegen (10.1) und (10.2):

( ) πµµµµµπ

π µµµµ

π

π

π

π∫∑∫∫

+

−

∞

=

+

−

+

−

=++=1

20 cossincoscos

21cos)( adxxxbxaxdxaxdxxf

bzw. wegen (10.2) und (10.3):

( ) πµµµµµπ

π µµµµ

π

π

π

π∫∑∫∫

+

−

∞

=

+

−

+

−

=++=1

20 sinsincossin

21sin)( bdxxbxxaxdxaxdxxf


10

Da in diesem Fall υ=µ, lässt sich mit der für a0 gefundenen Gl. (8) das Ergebnis wie folgt zusammenfassen:

Satz 1:

Ist eine für alle Werte von x gleichmäßig konvergente trigonometrische Reihe

( )∑∞

=

++1

0 sincos21

ννν νν xbxaa

gegeben, und ist f(x) deren Summe, so gilt für υ=0,1,2,... die Gleichung:

(11) ∫+

−

=π

πν ν

πxdxxfa cos)(1

und für υ=1,2,3,... die Gleichung:

(12) ∫+

−

=π

πν ν

πxdxxfb sin)(1

Diese Formeln werden Euler-Fourier´sche Formeln genannt.3

Kommentar: Warum war es günstiger, bei diesem Beweis von a0/2 für den Gleichanteil auszuge-hen, anstatt von a0 wie in Gl. (2)? Antwort: Um zu erreichen, dass Gl. (11) auch noch für υ=0 richtig bleibt, wird dem konstanten Anfangsglied gewöhnlich diese Form gegeben.

Anmerkung: In der Literatur (z.B. [2], S. 115] begegnet man der Fourier´schen Reihe als einer durch die Funktion f(x) erzeugte oder ihr zugeordnete Reihe, was durch

f(x) ~ ( )∑∞

=++

10 sincos

21

ννν νν xbxaa

ausgedrückt werden soll. In dieser Symbolik wird nichts über die etwaige Konvergenz der Reihe ausgesagt, doch besagt der Satz 1 offenbar, dass eine im Intervall

ππ +− ;

3 Die Forderung der gleichmäßigen Konvergenz kann man durch weniger weitgehende Forderungen ersetzen,

wenn man die Schwierigkeiten eines solchen Beweises auf sich nehmen will.


11

gleichmäßig konvergente trigonometrische Reihe eine Funktion mit dem Term f(x) darstellt; man darf also in diesem Fall das Zeichen „~“ durch „=“ ersetzen.

An dieser Stelle haben wir Formeln für die Berechnung der Fourier-Koeffizienten entwickelt. Es stellt sich die Frage, ob dieses Verfahren von praktischem Nutzen sein kann, da oft keine analytisch gegebenen Funktionen vorliegen (dazu [1], S. 516f.), sondern nur endlich viele Messwerte, mit denen die Integrale bei der Fou-rier-Transformation nur näherungsweise bestimmbar sind.

Wie Abschnitt 2.1 bzw. 2.2 bestätigen wird, lassen sich die (theoretisch) unendlich vielen Stützpunkte innerhalb einer Periode durchaus auf eine sinnvolle Menge (z.B. 1024, 2048, 4096) beschränken. Dazu kann man das Integral mit dem Summenzei-chen umgehen, es gilt nämlich:

∑∑∫=∞→=∞→

−⋅−+−=

−⋅+−=n

kn

n

k

b

an n

abkaf

n

ab

n

abkaf

n

abdxxf

11)1(limlim)( , wobei

n

n

k

On

abkaf =

−⋅+∑=1

(Obersumme) und

n

n

k

Un

abkaf =

−⋅−+∑=1

)1( (Untersumme, vgl. [3], S. 80ff.).

Bei der Beschränkung auf das Endliche darf der limes wegfallen. Die Formulierung der Euler-Fourier´schen Formeln lautet dann nach einfacher Umrechnung in guter Näherung:

(13) ∑=

−°=n

ij n

jiif

na

1

)1(360cos)(2 (im Gradmaß)

bzw. ∑=

−=n

ij n

jiif

na

1

)1(2cos)(2 π (im Bogenmaß)

sowie:

(14) ∑=

−°=n

ij n

jiif

nb

1

)1(360sin)(2 (im Gradmaß)

bzw. ∑=

−=n

ij n

jiif

nb

1

)1(2sin)(2 π (im Bogenmaß)


12

Der Gleichanteil, d.h. die Ordinaten(=Amplituden)-Verschiebung einer Kurve vom Nullpunkt beträgt:

(15) ∑=

==n

i

ifn

aB

1

00 )(1

2:

Kommentar:

Wegen a0/2 siehe o.a. Bemerkung.

mit:

i Laufterm für n n+1 Stützpunkte der zu transformierenden Kurve innerhalb einer Periode

f(i) Funktionswert der zu transformierenden Kurve im Stützpunkt i

j Nummer der Harmonischen, d.h. des jeweiligen Fourier-Koeffizienten

1.3 Entwickelbarkeit einer Funktion

1.3.1 Periodische Funktionen

Welche Bedingungen werden an eine periodische Funktion gestellt, damit man sie in eine Fourier´sche Reihe entwickeln kann?

DIRICHLET beantwortet diese Frage in dem folgenden nach ihm benannten Satz ([1], S. 514):

Satz 2: Dirichlet´sche Bedingung

Lässt sich das Intervall ] [π2;0 in endlich viele Teilintervalle zerlegen und ist f(x) in jedem dieser Teilintervalle stetig und monoton, so ist f(x) in eine Fourier-Reihe entwickelbar, und die Fourierkoeffizienten können nach den Euler-Fourier´schen Formeln eindeutig bestimmt werden.

Nach [1] wird somit auch die Fourierentwicklung beispielsweise der folgenden Funktion möglich:


13

Eine weitere Festsetzung wird getroffen:

Satz 3:

Gilt )(lim)(lim00

tftfxtxt −+ →→

= , so wird für diese Flickstelle

+=−+ →→

)(lim)(lim21)(

000 tftfxf

xtxt

gesetzt. Ebenfalls nach [1] stimmt dann der Wert der Fourier´schen Reihe mit dem Funktionswert überein.

1.3.2 Aperiodische Funktionen

Man muss sich die Frage stellen, ob die Fourier-Zerlegung, die doch nur für Bewe-gungen gilt, die sich nach 2π bzw. 360º identisch wiederholen, von praktischem Nutzen sein kann, wo doch in der Natur periodische Vorgänge so gut wie gar nicht vorkommen: Obwohl die Fourier-Transformation tatsächlich zunächst nur für peri-odische Bewegungen gilt, kann man sie auch auf eine aperiodische Bewegung über-tragen, indem man nur ein begrenztes Intervall betrachtet; der gewählte Kurvenaus-schnitt wird dann gleichsam als Teil einer periodischen Kurve angesehen. Dabei muss man aber – entgegen der Ansicht von [1], S. 513f. – eine kleine Modifikation vornehmen: Das Summenzeichen muss durch ein Integral ersetzt werden (dazu [4], S. 68f.). Aus einem Linien- wird dann folglich ein kontinuierliches Spektrum. Die folgende synoptische Darstellung soll dies verdeutlichen:


14

1.4 Eigenschaften und Besonderheiten der Fourier-Reihe

1.4.1 Periodizität

Die Fourier´sche Reihe ( )∑∞

=

++=1

0 sincos)(n

n nxbnxaaxf ν ist als Summe der pe-

riodischen Funktionen cos und sin ebenfalls eine periodische Funktion mit der Pe-riode 2π, d.h. es gilt:

f(x+2 π)=f(x)

Kommentar: Ist die Funktion, die man in eine Fourier-Reihe entwickeln will, zwar periodisch, aber nicht von der Periode 2π, sondern von der Periode p, so sollte man x durch

p

x

2π

ersetzen, damit die entstehende Funktion dann auch die Periode 2π hat.

1.4.2 Vereinfachungen

Bei Betrachtung der Euler-Fourier´schen Formeln lassen sich schnell einige Verein-fachungen für die Fourier-Reihe ableiten:

Gilt bei der zu transformierenden Kurve

(a) f(x)=f(-x), d.h. f ist eine „gerade” Funktion, so folgt: bn=0 (n∈IN)

(cos-Reihe)


15

(b) -f(x)=f(-x), d.h. f ist eine „ungerade“ Kurve so folgt: an=0 (n=0,1,2,3,...)

(sin-Reihe)

(c) -f(x)=f(x+π), so folgt:a0=0 ∧ a2=a4=a6=...=b2=b4=b6=…=0

1.4.3 Die Minimumseigenschaft der Fourier-Koeffizienten

Ist eine zu transformierende Funktion f(x) gegeben, die über das Intervall

I= ππ +− ;

quadratisch integrierbar ist

– d.h. es genügt, dass f(x) über I eigentlich integrierbar ist, da dann auch

)(xf und )(2 xf

über I eigentlich integrierbar sind (Satz, vgl. [2], S. 115) –, so kann man sich für ein beliebiges n∈IN fragen, wie die Konstanten α0, α1,..., αn bzw. β1, β2, β3,..., βn ge-wählt werden müssen, damit

nxxxnxxxx nnn sin...2sinsincos...2coscos21)( 21210 βββααααϕ ++++++++=

(d.h. ein trigonometrisches Polynom n-ter Ordnung) in I überall möglichst gut mit f(x) übereinstimmt.

Die Forderung „möglichst gut“ lässt sich durch die Gauß´sche Methode der kleinsten Fehlerquadrate – daher die Voraussetzung: „quadratisch integrierbar“ – so formulieren, dass der mittlere Wert des Quadrats der Differenz [f(x)-φn(x)], also

(16) [ ]∫+

−

−π

π

ϕπ

2)()(21

xxf n ,

so klein wie möglich werde.

Wenn dieser Mittelwert klein ist, so kommen Stellen, bei denen [f(x)-φn(x)]2 erheb-lich groß wird, entweder überhaupt nicht vor, oder sie können nur in sehr kleinen Teilen von I auftreten. Somit erscheint diese Methode zweckmäßig. Doch warum setzt man statt des Quadrats der Differenz [f(x)-φn(x)] nicht eine andere gerade Po-tenz oder den absoluten Betrag? Antwort: Da man dann ohne nachweisbaren Ge-winn zu verwickelteren Rechnungen kommen würde.


16

Satz 4:

Der obige Ausdruck (16) hat sein Minimum für

a0=α0; ai= αi, bi=βi (i∈IN).

1.4.4 Das Gibbs´sche Phänomen

Unter dem nach dem amerikanischen Physiker JOSIAH WILLIARD GIBBS (1839-1903) – er führte den Begriff der Phase in der Thermodynamik ein – benannten Gibbs´schen Phänomen4 versteht man das Vorkommen von Überschreitungen des Unstetigkeitsbereichs. Es tritt überall dort auf, wo es sich um die Approximation einer Unstetigkeitsstelle handelt; der Näherungsprozess wird dabei als ungleichmä-ßig konvergent bezeichnet.

1.5 Erläuternde Beispiele

Die nachfolgenden Abbildungen (aus [1], S. 515) sind Beispiele von Fourierent-wicklungen; zu jeder ist die Fourier-Reihe angegeben. Die jeweilige Herleitung der Fourier-Reihen ist einfach, wenn man die Vereinfachungen unter 1.4.2 beachtet.

4 Für weitere Ausführungen zum Gibbs´schen Phänomen sei an dieser Stelle auf die einprägsame Darstellung

aus der Vorlesung von ARNOLD SOMMERFELD verwiesen, siehe [5], S. 7f..


17

Eine andere Möglichkeit, die fundamentale Idee von Fourier umzusetzen, besteht in der Zerlegung eines (a)periodischen Prozesses in ein diskretes Spektrum (=Linienspektrum) .

Hierzu soll noch einmal die Approximation der Rechteckkurve vollzogen werden.

Zunächst wird eine einfache sin-Kurve dargestellt. In der Zeit-Domäne, d.h. der Darstellung der Überlagerungskurve, erscheint natürlich die bekannte sin-Kurve, und in der Frequenz-Domäne (Fourier-Darstellung) erhält man eine einzelne senk-rechte Linie mit der Frequenz „1“ und der Höhe „1“ (=100%):


18

Im Folgenden wird eine weitere sin-Kurve, jedoch mit dreifacher Frequenz und nur 1/3 der ursprünglichen Amplitude hinzugefügt. Erwartungsgemäß erhält man eine komplizierte zusammengesetzte Kurve sowie eine zusätzliche diskrete Linie im Fourier-Spektrum:

Werden weitere Sinuskurven mit den Frequenzen 5, 7 und 9 und den Amplituden 1/5, 1/7 bzw. 1/9 addiert, so ergibt sich diese Abbildung:

Bei 26 sin-Kurven nähert man sich schon recht stark der Rechteckform:


19

Bevor nun weitere Beispiele praktischer Anwendungen der Fourier-Transformation folgen, soll eine Ausführung der Fourier-Transformation auf dem Computer erfol-gen.


20

2. Die Fourier-Transformation mit dem Computer

2.1 DFT und FFT

In Abschnitt 1.2 erfolgte die Berechnung der Fourier-Koeffizienten aj, bj bzw. cj für eine zu tranformierende Kurve.

In der Literatur begegnet man dafür den beiden Abkürzungen DFT und FFT: DFT=Discrete Fourier Transform. FFT=Fast Fourier Transform.

Bei der DFT geht man von den klassischen Euler-Fourier´schen Formeln aus; der Rechenaufwand ist dabei noch sehr hoch, da man nicht auf die besonderen Sym-metrieeigenschaften der Kreisfunktion achtgibt.

Dies macht man sich hingegen bei der FFT zunutze: Der sin hat im Kreisdiagramm von 0 bis 360º viermal denselben Wert, der sich nur durch das Vorzeichen unter-scheidet. Das Resultat dieser Erkenntnis ist bei der FFT ein entsprechender Algo-rithmus, der um ein Vielfaches schneller ist als der bei der klassischen DFT. Die Anzahl der vorzunehmenden Multiplikationen beträgt nach [6]

bei der DFT: ca. 2n

bei der FFT: ca. nn

2log2

D.h., bei z.B. 2048 Stützpunkten gewinnt man bei der FFT einen Geschwindig-keitsfaktor von ungefähr 372 gegenüber der DFT.

Die Idee zur FFT wurde 1965 erstmals von COOLEY und TUKEY [6] veröffentlicht.

Im Folgenden finden Sie ein Computerprogramm in BASIC für DFT und FFT im Vergleich. Bei der DFT erkennt man unmittelbar die auf „das Endliche“ frisierten klassischen Euler-Formeln (vgl. Gl. 13 bis 15). Da die FFT leichter in der Pro-grammiersprache BASIC formulierbar ist als in klassisch mathematischer Schreib-weise, wurde hier auf letzteres verzichtet; es sei dabei auf [6] verwiesen.


21

Basic Programm: Im Folgenden werden DFT und FFT in der Computersprache BASIC formuliert und verglichen (Sägezahnkurve mit 32 Stützpunkten und 7 Har-monischen):

Das Ergebnis ist bei beiden Methoden (DFT/FFT) erwartungsgemäß gleich:


22

2.2 Demonstrationsprogramm nach der FFT-Methode

Die Fourier-Transformation ist äußerst rechenintensiv. Das wurde einem in einer Zeit, als es noch keine Computer gab, besonders deutlich. SOMMERFELD beschreibt in [5], S. 7, dass er in seinen Vorlesungen bei der Demonstration der Fourier-Transformation „viel bunte Kreide“ verwendete. Allmählich hat man sich dann ir-gendwie geholfen: Mit mechanischen Geräten und Vorrichtungen (z.B. harmoni-schen Analysatoren oder Gezeiten-Rechenmaschinen) wurde versucht, die Fourier-Transformation einem praktischen Nutzen zuzuführen. Heute bedient man sich na-türlich des Computers.

Im Anhang werden ein paar praktisch verwertbare Programme in Microsoft BASIC gezeigt, welche ARNOLD SOMMERFELD sicherlich erfreut hätten. Allerdings haben diese Programme bestenfalls nur Demonstrationscharakter. In der Messtechnik, wo es häufig um Millisekunden geht, verwendet man, um schnelle Ergebnisse mit akzeptabler Auflösung zu erreichen, moderne Mikroprozessoren; außerdem müsste die Programmierung in Maschinensprache erfolgen, würde aber hier den didakti-schen Charakter dieser Schrift sprengen.


23

D Anwendungen der Fourier-Transformation

1. Übersicht

Die Fourier-Transformation ist in vielen Wissenschafts- und Technikzweigen von außerordentlicher praktischer Bedeutung geworden. Sie findet u.a. folgendermaßen Anwendung:

� Physik: Verhalten kybernetischer Systeme, z.B. Molekülschwingungen, mecha-nische Resonanzen, Akustik, Optik, Astrophysik

� Chemie: Spektroskopie, Chromatographie, Thermoanalyse, Elementaranalyse

� Mathematik: Zahlentheorie, Statistik, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitstheo-rie

� Technik (Elektrotechnik, Akustik, Mechanik): Frequenz- und Resonanzverhal-ten

� Optimierung von Verfahren der Messtechnik:

- Selektivität, Auflösungsverbesserung bei Überlappung (Dekonvulation)

- Glättung (Smoothing) mit Filterfunktionen; digitale Filter

- Korrelationstechniken [Identitätskontrolle, Kriterien für Suche in Bibliothe-ken (Expertensysteme)]

- Simultane Mehrkomponentenanalyse in der chemischen Analytik

� Schiffahrt/Ozeanographie: Gezeitenvoraussage für Wasserstandsaussagen in größeren Häfen; Tsunamivorhersage

� Kriminalistik: Entwicklung einer Fourier-unterstützten Sprach- oder Fingerab-druck-Analyse

� Signalverarbeitung: Wegen der Bedeutung der Fourier-Transformation in der Signalverarbeitung sind Signalprozessoren für die Berechnung der Fourier-Transformation bereits optimiert.

Fourier konnte sicherlich nicht ahnen, welche Bedeutung sein genialer Gedanke heute in den unterschiedlichsten Wissenschafts- und Technikzweigen erhalten hat und möglicherweise noch erfahren wird. Im Folgenden sollen exemplarisch ein paar etablierte Beispiele aus der Akustik und biomedizinischen Systemtechnik aus-führlicher betrachtet werden.


24

Sie zeigen einmal mehr, wie breit die Fourier-Transformation angewendet werden kann. Die Beispiele aus der Akustik sollen dem Verständnis helfen, die Idee von Fourier auf Schwingungsvorgänge im weitesten Sinne außerhalb der Akustik zu übertragen; sie werden schon allein deshalb detailliert dargestellt.


25

2. Beispiele aus der Akustik

In der Akustik betrachtet man üblicherweise einen zu untersuchenden Ton, Klang, Knall oder ein Geräusch in der Frequenz-Domäne, also Fourier-transformiert; d.h. auch in dieser Sparte empfiehlt sich die Darstellung in Teilspektren und nicht in Oszillogrammen [7, 8].

2.1 Geräusch

Beim Geräusch sind die Schwingungen aperiodisch und die Teiltonfolge unharmo-nisch, zudem sehr dicht bis zum Teiltonkontinuum. Geräusche liegen höhenmäßig durch stark hervortretende Formantbereiche nur ungefähr fest. Das sog. „weiße Rauschen“ erstreckt sich etwa gleichmäßig über den ganzen Hörbereich.

2.2 Knall

Hier handelt es sich um unperiodische, kurze Schwingungsimpulse. Die Klangfarbe dieser Impulse hängt ab von ihrer Dauer.

2.3 Ton

2.3.1 „Reiner“ Ton

Ein „reiner“ Ton ist meist nur elektronisch herstellbar; er besteht aus einer einzel-nen Sinusschwingung.

2.3.2 „Natürlicher“ Ton

Der „natürliche“ Ton ist physikalisch gesehen bereits ein Klang, der aus einer Summe von Sinustönen besteht, die als Teil- oder Partialtöne zu einem Ganzen ver-


26

schmelzen. Der Klang ist eine komplizierte Überlagerungskurve. Die Schwingun-gen verlaufen bei Tönen und Klängen periodisch. Nicht nur Anzahl und Stärke der Teiltöne, sondern auch das Verhältnis ihrer Schwingungszahlen zueinander bestimmen die Art der Klangerscheinungen.

Das Verhältnis ist

� harmonisch bei natürlichen Tönen bzw. Klängen und deren Kombination in Zu-sammenklängen (Akkorden); harmonisch schwingen Saiten, Pfeifen;

� unharmonisch bei Ton- und Klangspektren; unharmonisch schwingen Glocken, Platten und andere dreidimensional schwingende Körper.

2.4 Klangbilder einiger Musikinstrumente

Die folgenden Klangbilder von Klavier, Violine, Trompete und Flöte sind mit ei-nem Mikrophon aufgenommen und mit einem Oszilloskop dargestellt. Die Fre-quenz-Domäne wurde dann mit dem im Anhang gezeigten Programm berechnet:

Dieses Klangbild ist ziemlich nichtssagend, da beispielsweise ein eindeutiger Grundton fehlt. Erst die Fourier-Transformation vermittelt einige vernünftige Aus-sagen:


27

� Der Grundton (131 Hz) ist erstaunlicherweise relativ schwach ausgebildet.

� Selbst die Oktave (262 Hz), d.h. die Sinuskurve mit doppelter Frequenz, ist noch schwach ausgeprägt.

� Die dominierenden Töne sind die Quinte (392 Hz; Frequenzverhältnis 2:3) zur ersten Oktave und die zweite Oktave.

� Es gibt noch verhältnismäßig viele weitere Obertöne; z.B. ist die vierte Oktave (2093 Hz) noch mit ca. der halben Intensität des Grundtons vertreten.

Diesem Phänomen des schwach ausgebildeten Grundtons wird jeder begegnen, der einmal versucht, bei einem Klavier das c bei 131 Hz zu stimmen. Unser Gehirn be-sitzt aber offenbar die Fähigkeit, aus der Quinte und der zweiten Oktave den Grundton zu rekonstruieren. Zu weiteren Phänomenen, die mit der Physiologie des Menschen zusammenhängen, siehe [8], S. 12.

Die Fourier-Darstellung ist in diesem Fall viel aussagekräftiger als das Klangbild in der Zeit-Domäne. Sie hat darüber hinaus den Vorteil, dass auf physikalische Schwingungsvorgänge geschlossen werden kann, die letztlich hinter der resultie-renden Klangkurve eines Musikinstrumentes stehen. (Ähnliche Beispiele: Reso-nanz/Frequenz-Analyse bei Maschinen, technischen Regelkreisen oder Bauwer-ken.)

Das Fourier-Spektrum bzw. das Klangbild eines wesentlich höheren Klaviertones haben ein völlig anderes Aussehen: Der Grundton (2093 Hz) ist hier dominierend (im nachfolgenden Klangbild erkennbar an der annähernd sin-förmigen Kurve); es gibt nur noch wenige Obertöne, und der Klang ist bereits recht dürftig, wenn man z.B. mit einem Cembalo vergleicht:


28

Interessant beim Klavier ist ferner, dass das Teiltonspektrum durch die Dynamik verändert wird; das macht, neben anderen Faktoren natürlich, den Unterschied zwi-schen einem guten und einem schlechten Pianisten; d.h. der Anschlag bestimmt den Ton:

Als weitere Beispiele sollen die Spektren von je einem natürlichen Ton (vgl. 2.3.2) von Violine und Trompete gezeigt werden. Interessanterweise sind beide Töne ei-nigermaßen ähnlich, was sich experimentell leicht nachprüfen lässt, wenn man sich einen langen Ton von Violine und Trompete im Vergleich anhört:


29

Im Gegensatz zur Trompete, die vergleichsweise helle Klänge erzeugt, zeigen die weichen Klänge der Querflöte ein obertonarmes Spektrum:

Dass jedes Instrument hinsichtlich der Instrumentengattung, aber auch innerhalb derselben Art verschieden klingt, hängt mit den Formanten und dem Ein- und Ausschwingverhalten zusammen. Das gleiche gilt ebenfalls für die menschliche Stimme.

� Formanten sind bestimmte Obertonbereiche, die konstruktionsbedingt durch Resonanzverstärkung erzeugt werden und so eine charakteristische Klangfarbe hervorbringen: In der Gitarrenbaukunst des 19. Jahrhunderts beispielsweise wurden Resonanzleisten an die Decke der Gitarre geleimt, wodurch die gesamte Resonanz des Instruments ausgenutzt und der Ton lauter wurde. Jeder Gitarren-baumeister – hervorzuheben sei hier ANTONIO TORRES aus Madrid – hatte seine


30

eigenen Konstruktionsmuster, deren Geheimnis nie preisgegeben wurde.5 Man unterscheidet, v.a. in der Orgelbaukunst, feste und mitlaufende Formanten.

� Ein- und Ausschwingvorgänge: Bei jedem natürlichen Schwingungsvorgang nimmt die Amplitude durch Reibungsverlust ab; die Schwingung ist gedämpft. Die dazu benötigte Zeit nennt man Ausschwingzeit. Umgekehrt entsteht durch Energiezufuhr eine erzwungene Welle (sinngemäß: Einschwingzeit).

Die Umkehrung der Fourier-Transformation lässt sich bei moderneren elektroni-schen Orgeln und Synthesizern mit dem sog. Zugriegel-System vorführen: Es ste-hen alle hörbaren Harmonischen eines bestimmten Grundtones in Form von reinen sin-Schwingungen zur Verfügung; mit den „Zugriegeln“ kann vom Spieler dazu je-de gewünschte Amplitude eingestellt werden (=Fourier-Spektrum). Das Mischpro-dukt in der Zeit-Domäne ist dann das zu hörende Klangbild. Auf diese Weise lassen sich sämtliche Musikinstrumente nachahmen, allerdings noch ohne die charakteris-tischen Ein- und Ausschwingvorgänge sowie Formant- und Nachhall-Eigenschaften.

5 Heute werden mit Hilfe der Röntgenstrahlen bei alten Instrumenten – insbesondere Gitarren und Violinen des

19. Jahrhunderts – diese Resonanzleisten untersucht und bildhaft dargestellt.


31

3. Beispiele aus der biomedizinischen Systemtechnik

3.1 Die FFT bei der Verarbeitung von Biosignalen

Biosignale werden in verschiedenen Bereichen analysiert und verarbeitet. Hierzu zählen der Zeitbereich und der Frequenzbereich.

Bei der Signalanalyse im Frequenzbereich kömmt häufig die Fourier-Transformation bzw. die FFT zum Einsatz. Bei der Frequenzanalyse werden gene-rell Biosignale, deren Amplituden eine Funktion der Zeit sind, in Signale transfor-miert, deren Amplituden eine Funktion der Frequenz sind. Mit der FFT lassen sich hierbei Amplituden- und Leistungsspektren berechnen.

Das Leistungsspektrum zeigt an, mit welcher Leistung eine bestimmte Frequenz im Signalgemisch enthalten ist. Dies macht man sich bei Störungen zunutze, indem man das Frequenzspektrum der Störung – so es bekannt ist – vom Signalgemisch subtrahiert und in den Zeitbereich rücktransformiert, um so ein ungestörtes Signal zu bekommen (Optimalfilterung ; Hoch- und Tiefpass).

Eine Alternative zur Fourier-Transformation sind die z-Transformation, die WALSH-Transformation sowie die Wavelet-Transformation, die statt von einer Rei-he von sin- und cos-Funktionen von Rechteck- bzw. Wavelet-Funktionen ausgehen. Im Gegensatz zu den sin- und cos-Funktionen der Fourier-Transformation besitzen die Wavelets nicht nur Lokalität im Frequenzspektrum, sondern auch im Zeitbe-reich.


32

3.2 Klinische Neurophysiologie

3.2.1 Einführung

In der klinischen Neurophysiologie werden Signale von verschiedenen Geräten er-zeugt. Diese Geräte dienen der Diagnostik von Funktionsstörungen im zentralen und peripheren Nervensystem und sind die:

� Elektroenzephalographie (EEG)

� Elektrocorticographie

� Magnetenzephalographie

� Elektromyographie (EMG)

� Elektroneurographie (ENG)

Die von diesen Geräten erzeugten Signale werden im sog. Signalprocessing weiter verarbeitet. Dabei werden die Signale nach einer Vorverarbeitung und Analog-/Digitalumwandlung für eine weitere Auswertung aufbereitet. Hier spielen folgende Verfahren eine wichtige Rolle:

� FFT zur Frequenzanalyse

� Averaging zur Verbesserung des Signal-Störabstands bei evozierten Potentialen

� Neuronale Netze zur Mustererkennung

� Spezielle Filter

� Analyse von Schlafstadien

� Lokalisation von Quellen der bioelektrischen Aktivität

3.2.2 Elektroenzephalographie (EEG)

Bei der Elektroenzephalographie (EEG) werden – wie bei der Elektrokardiographie (EKG) – elektrische Potentialdifferenzen, deren Ursache in zerebralen Vorgängen liegen, mittels Elektroden aufgezeichnet. Dabei werden die Potentialdifferenzen zwischen exzitatorischem postsynaptischen Potential (EPSP, Abb. 2) und inhibito-


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rischem postsynaptischen Potential (IPSP, Abb. 3)6 als EEG-Potential in Wellen-form dargestellt.

Abb. 2: Exzitatorisches postsynaptisches Potential (EPSP). Durch den Ca++-Ioneneinstrom kommt es zu einer Ausschüttung von Glutamat im synaptischen Spalt und zu einer Überleitung der Erregung von prä- zu postsy-naptischem Neuron. Bei der Epilepsie nimmt der Ca++-Einstrom ungezügelt zu, weshalb es zu einer überschie-ßenden Ausschüttung von Glutamat im synaptischen Spalt kommt, was letztendlich die Nervenzelle übererregt und eine Epilepsie auslöst.

Abb. 3: Inhibitorisches postsynaptisches Potential (IPSP). Durch den Ca++-Einstrom kommt es zu einer Ver-minderung von GABA im synaptischen Spalt. Dadurch wird die inhibierende Wirkung von GABA auf die Er-regungsleitung von prä- zu postsynaptischem Neuron gesteuert. Bei der Epilepsie nimmt das IPSP durch eine verminderte Ausschüttung des inhibitorisch wirkenden GABA ab. Überschießendes EPSP (s.o.) und abge-schwächtes IPSP werden im EEG aufgezeichnet.

In der klinischen Routine hat sich zusätzlich zur visuellen Auswertung des EEGs durch die Fülle der Signaldaten eine computerisierte Auswertung durchgesetzt. Bei-spiele für eine Signalanalyse eines EEGs sind:

� Quellenanalyse

� Zeitvariate Spektralanalyse

� Amplitudenmap

6 Bei der Epilepsie kommt es zu einer Zunahme des EPSP und einer Abnahme des IPSP, wodurch eine über-

schießende Erregbarkeit der Nervenzellen ermöglicht wird.

Na+

Presynaptic

Neuron

Glutamate

K+

Na+

K+Ca++

Na+

Mg++

Postsynaptic

Neuron

AMPA Receptor

NMDA ReceptorCa++

HVA Calcium

Currents

GABA

HVA Calcium

Currents

Ca++

Na+

Presynaptic

GABAergic

Neuron

Cl-

GABAA

Receptor

Postsynaptic

Neuron


34

� Kohärenzspektrum

� Frequenzmap

Beim Frequenzmap7 wird die FFT eingesetzt. Dabei wandelt die FFT einen EEG-Signalabschnitt, dessen Amplitude eine Funktion der Zeit ist, in ein Signal um, des-sen Amplitude eine Funktion der Frequenz ist, und stellt dieses umgewandelte Sig-nal – analog zum Amplitudenbild – farbig dar.

Aus diesem durch die FFT umgewandelten Signal wird das Leistungsspektrum er-rechnet, das angibt, mit welcher Leistung eine bestimmte Frequenz bzw. EEG-Welle im Signalgemisch enthalten ist. Dies wird meistens in Form eines Histogramms dargestellt, woraus man die Veränderungen der Frequenzanteile wäh-rend der einzelnen Phasen der Ableitung sehr übersichtlich ersehen kann. Hieraus lässt sich auch beispielsweise die Wirkung von Arzneimitteln oder Narkotika ab-schätzen.

7 Map=Bild.


35

3.3 Radiologie

3.3.1 Computertomographie (CT)

Die Computertomographie (CT) ist ein computergesteuertes dreidimensionales bildgebendes Schichtaufnahmeverfahren, das mit Röntgenstrahlung arbeitet. Im Gegensatz zum konventionellen Röntgenbild wird kein direktes Röntgenbild er-zeugt, sondern es wird die Schwächung von Röntgenstrahlung durch das untersuch-te Gewebe von einem Detektorsystem registriert und von einem Computer in ein Bild pixelweise umgewandelt.

Beim CT ist das zentrale mathematische Instrument zur Bildrekonstruktion aus den Projektionen das Fourier-Schichten- oder Fourier-Scheiben-Theorem (Fourier-Slice- oder Projection-Slice-Theorem). Dieses Theorem stellt einen Zusammenhang zwischen den jeweiligen Fouriertransformierten des nach dem böhmischen Mathe-matiker JOHANN RADON benannten Radon-Raums – des Sinogramms, das die Sammlung der Rohdaten des Abtastprozesses der Detektoren bei der kreisförmigen Bewegung der Röntgenröhre im CT darstellt – und des zu rekonstruierenden Bil-des her.

Beim Fourier-Scheiben-Theorem findet man die eindimensionale Fouriertransfor-mierte Pγ(q) des gemessenen Schwächungsprojektionsprofils pγ(ζ) in der zweidi-mensionalen Fouriertransformierten F(u,v) des gesuchten Bildes f (x,y) unter dem Winkel γ, unter dem das Profil gemessen wurde (mit: u=q cos γ; v=q sin γ).

Kommentar: Wenn man so den Fourierraum F(u,v) über alle gemessenen Winkel γ füllen würde, so wäre es möglich, mit einer zweidimensionalen inversen Fouriertransformation das gesuchte Bild zu erhalten (direkte Rekonstruktion). Dies würde allerdings zu Interpolationsproblemen führen.

3.3.2 Magnetresonanztomographie (MRT)

Die Magnetresonanztomographie (MRT) ist ein sehr kompliziertes, auf Kernspinre-sonanz beruhendes, nicht-invasives, nichtradioaktives computergesteuertes bildge-bendes Verfahren mit hoher Auflösung.

Bei der MRT wird die FFT zur Frequenzanalyse herangezogen. Dabei wird wäh-rend des Auslesens eines Magnetresonanzsignals ein Gradient eingeschaltet, der


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bewirkt, dass das ausgelesene Signal zahlreiche Frequenzkomponenten enthält, die über den Raum linear verteilt sind. Die FFT liefert sodann diejenige Frequenzver-teilung, die durch den zum Auslesungszeitpunkt angelegten Gradienten dem Ort zugeordnet werden kann.

3.3.3 Doppler-Sonographie

Die Doppler-Sonographie ist ein Ultraschallverfahren, das die Frequenzänderung von Schallwellen an bewegten Objekten (Doppler-Effekt) registriert; es arbeitet entweder mit kontinuierlichen Schallwellen (continuous-wave-Doppler-Sonographie) oder mit gepulsten Schallwellen (Impuls-Doppler-Sonographie). Die Doppler-Sonographie wird hauptsächlich für die Untersuchung von Herz und Gefä-ßen eingesetzt.

Bei der Duplex-Sonographie wird ein Duplexschallkopf verwendet, der in einem einen herkömmlichen B-Mode-Schallkopf und einen Schallkopf für Doppler-Signale enthält, womit es möglich wird, zur gleichen Zeit B-Mode-Aufnahmen an-zufertigen und Doppler-Sonographie durchzuführen.

Die meisten Duplex-Geräte enthalten eine Frequenzanalyse, bei der das Doppler-signal durch eine FFT in seine einzelnen Frequenzbestandteile zerlegt wird. Kennt man den Einfallswinkel beim Doppler, so lassen sich die Frequenzbestandteile der Biosignale gleichsetzen mit ihren Geschwindigkeitsbestandteilen. Somit bekommt man mit Hilfe der FFT beim Doppler auch noch Informationen über die Flussge-schwindigkeit und den Turbulenzgrad des untersuchten Blutgefäßes, der Aufschluss über eine mögliche pathologische turbulente Störung geben kann.


37

3.4 Nuklearmedizin

In der Kardionuklearmedizin ist die Fourier-Analyse ein altbekanntes Instrument bei der früher gebräuchlichen EKG-getriggerten Radionuklidventrikulographie (RNV) sowie heute üblichen EKG-getriggerten dreidimensionalen Myokardperfu-sionsszintigraphie mittels Single-Photonen-Emissions-Computertomographie (SPECT), die die RNV-Untersuchung mittlerweile abgelöst hat.

Die SPECT ist mittlerweile ein Routineverfahren der bildgebenden Nuklearmedi-zin. Sie vermag die Radionuklidverteilung in mehreren Körperschichten in der transversalen Schichtung abzubilden und durch anschließende Rechenvorgänge in verschiedenen anderen Ebenen (koronale und sagittale Ebene) darzustellen. Dabei bewegt sich eine rotierende Gammakamera in definierten Winkelstellungen min-destens 180º um die Längsachse des Patienten. Die Kameras sind mit ein, zwei oder drei Köpfen ausgestattet. Eine Dreikopfkamera hat kürzere Aufnahmezeiten (ca. 20 min für eine Gehirnuntersuchung) und eine deutlich höhere Auflösung als eine Ein-kopfkamera. In jeder Winkelstellung wird eine Aufnahme angefertigt und im nach-geschalteten Computer digital verarbeitet. Verschiedene Filtersysteme – wie METZ-, RAMP-, WIENER- oder BUTTERWORTH-Filter – helfen, das "Hintergrundrauschen" herauszurechnen. Eine falsche Filterung kann zur Verschlechterung der Bildqualität führen.

Neuerdings wird die Fourier-Transformation auch zur Analyse der Magenmotilität während der gastralen Entleerungsszintigraphie verwendet [10].

Abb. 2: Strukturformel von 99mTc-Ethylen-Biyldizysteinat-Dimer, ECD, ein lipophiles Amin, das zur Durchblu-tungsuntersuchung des Gehirns verwendet wird.

Ein weiterer, denkbarer Einsatz der Fourier-Transformation bzw. FFT liegt in der EEG-getriggerten Perfusions-SPECT des Gehirns – beispielsweise zur Epilepsie-diagnostik oder für Indikationen auf dem Gebiet der Schlafforschung. Dabei ermöglicht es die SPECT mit bestimmten Perfusionstracern (z.B. 99mTc-Ethylen-Biyldizysteinat-Dimer, ECD, Abb. 2), den Zustand des Gehirns während der Ap-plikation des Radiotracers gleichsam „einzufrieren“, wobei die Aufnahme des Ge-hirns im Tomographen noch Stunden nach der Applikation erfolgen kann und dann


38

immer noch den Durchblutungszustand des Gehirns während der Injektion des Durchblutungstracers anzeigt. Wenn nun mittels Fourieranalyse im EEG ein mar-kantes Ereignis (z.B. Beginn eines epileptischen Anfalls oder Beginn einer patholo-gischen Schlafphase) detektiert wird, kann durch ein automatisiertes Injektionssys-tem der pathologische Zustand des Gehirns passgenau festgehalten werden. Dies hat eine hohe klinische Bedeutung.


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E Literaturverzeichnis

1. Zitierte Literatur

1. Kleine Enzyklopädie Mathematik, VEB Bibliographisches Institut, Leipzig, 1968.

2. Skriptum zur Vorlesung „Höhere Mathematik“, Universität Stuttgart, Institut A, III, 1972/1973.

3. Themenhefte Mathematik, Analysis 2, Lambacher-Schweizer, Klett, Stuttgart, 1978.

4. E. Madelung: Die mathematischen Hilfsmittel des Physikers, Springer, Heidelberg, 1964.

5. A. Sommerfeld: Partielle Differentialgleichungen der Physik, Bd. 6 der Vorlesungen über Theoretische Physik, Akademische Verlagsbuchhandlung, Leipzig, 1962.

6. J.W. Cooley, J.U. Tukey: An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series, Math. of Comput., 19 Apr 1965, S. 297-301.

7. dtv-Atlas zur Musik, Tafeln und Texte, Bd. 1, dtv, Nr. 3022, 1977.

8. Musikhandbuch, Musiklehre und Musikleben, Bd. 1, rororo, Nr. 6167.

9. R. Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Bd. 1: Funktionen einer Veränderlichen, Springer, Heidelberg, 1955.

10. Linke R, Muenzing W, Hahn K, Tatsch K. Evaluation of gastric motility by Fourier analysis of condensed imagies. Eur J Nucl Med 2000; 27: 1531-1537.

2. Weiterführende Literatur

S. Bochner, K. Chandrasekharan: Fourier Transforms. Princeton Book Comp. Publ.,

2001.

O. Föllinger, M. Kluwe: Laplace-, Fourier- und z-Transformation. Hüthig, 2003.

R. Kramme. Medizintechnik, 3. Auflage, Springer, Heidelberg, 2007.

B. Lenze: Einführung in die Fourier-Analysis. Logos Verlag, Berlin, 2000.

M. J. Lighthill: Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions. Cambridge University Press, Cambridge, 2003.

Otte A. Medizin für Nicht-Mediziner: Medizintechnik. Studienbuch für den Masterstu-diengang Clinical Research Management. ISBN 978-3-86692-087-3. WHL Wissenschaftliche Hochschule Lahr, 2007.

Otte A. Angewandte klinische Forschung II: Neue klinische Technologien in der Me-dikamentenentwicklung (Clinical Technologies Implementation). Studienbuch für


40

den Masterstudiengang Clinical Research Management. ISBN 978-3-86692-067-5. WHL Wissenschaftliche Hochschule Lahr, 2007.

Otte A. Das Halswirbelsäulen-Schleudertrauma: Neue Wege der funktionellen Bildge-bung des Gehirns - Ein Ratgeber für Ärzte und Betroffene. ISBN 3-540-67955-3. Springer-Verlag Berlin / Heidelberg / New York / Tokio, 2001.

Otte A, Audenaert K, Peremans K, Van Heering C, Dierckx RA (Eds.). Nuclear Medicine in Psychiatry. ISBN 3-540-00683-4. Springer Berlin, Heidelberg, New York, Hong Kong, London, Milan, Paris, Tokyo, 2004.

Otte A, Halsband U. Brain imaging tools in neuroimaging. J Physiol Paris 2006; 99: 281-292.

Otte A, Rosé C, Zähringer A, Maier-Lenz H. Neue klinische Technologien in der Arz-neimittelentwicklung. Internist 2008; 49: 232-237.

Otte A, Juengling FD, Kassubek J. Exceptional brain function in musicians and the neural basis of music processing. Eur J Nucl Med 2001; 28: 130-131.

Otte A, Nguyen (Hrsg.) mit Beiträgen von Gerber S, Richter S, Schuck K. Nuklearme-dizinische Ansätze in der klinischen Forschung. 84 Seiten. WHL Schrift Nr. 15. ISBN 978-3-86692-114-6. WHL Wissenschaftliche Hochschule Lahr, 2009.

A. Papoulis: The Fourier Integral and Its Applications. McGraw-Hill, New York, 1962.

E.M. Stein, R. Shakarchi: Fourier Analysis: An Introduction. Princeton University Press, Princeton, 2003.


41

F Anhang

Im Folgenden wird FFT mit einem Rechner demonstriert. Im einzelnen werden die folgenden Programme verwendet (siehe Abschnitt 1). Die erzeugten Ergebnisse sind unter Abschnitt 2 zusammengefasst.

1. Fourier-Computerprogramme

1.1 Programm für FFT


42

1.2 Programm für die Graphik


43


44

1.3 Hilfsprogramme

1.3.1 Hilfsprogramm für die Erzeugung von Rechteckkurven

1.3.2 Hilfsprogramm für die Erzeugung von Parabelbögen


45

2. Ergebnisse

2.1 Ergebnis für Rechteckkurve mit 128 Stützpunkten

2.2 Ergebnis für Rechteckkurve mit 2048 Stützpunkten

Beim Vergleich zwischen 128 und 2048 Stützpunkten lässt sich sofort die bessere Auflösung bei 2048 Stützpunkten feststellen. Das Ergebnis entspricht den aus For-melsammlungen bekannten Werten:

- 1. Fourier-Koeffizient: 100,00% entsprechend 1


46

- 2. Fourier-Koeffizient: 33,33% entsprechend 1/3



- etc.

2.3 Ergebnis für Parabelbögen mit 2048 Stützpunkten

Das Ergebnis entspricht den aus Formelsammlungen bekannten Werten:

- 1. Fourier-Koeffizient: 100,00% entsprechend 1




- etc.

Schriften der WHL Wissenschaftlichen Hochschule Lahr

Bisher erschienen:

Heft 1: Günther Seeber, Helmut Keller

Kooperatives Marketing in Bildungsträgernetzwerken

Januar 2003, 37 Seiten, ISBN 3-937727-00-0

Heft 2: Martin Reckenfelderbäumer, Michael Welling

Fußball als Gegenstand der Betriebswirtschaftslehre.

Leistungstheoretische und qualitätspolitische Grundlagen

März 2003, 87 Seiten, ISBN 3-937727-01-9

Heft 3: Sabine Boerner, Diether Gebert, Ralf Lanwehr, Joachim G. Ulrich

Belastung und Beanspruchung von Selbständigen und Angestellten

August 2003, 19 Seiten, ISBN 3-937727-02-7

Heft 4: Dirk Sauerland, Sabine Boerner, Günther Seeber

Sozialkapital als Voraussetzung von Lernen und Innovation

Dezember 2003, 64 Seiten, ISBN 3-937727-03-5

Heft 5: Helmut Keller, Peter Beinborn, Sabine Boerner, Günther Seeber

Selbstgesteuertes Lernen im Fernstudium.

Ergebnisse einer Studie an den AKAD Privathochschulen

September 2004, 61 Seiten, ISBN 3-937727-04-3

Heft 6: Günther Seeber u. a.

Betriebliche Weiterbildung in Rheinland-Pfalz.

Eine Analyse der Daten des IAB-Panels für 2001

September 2005, 44 Seiten, ISBN 3-937727-68-X

Heft 7: Seon-Su Kim, Martina Schmette, Dirk Sauerland

Studium im Wandel?! Die Erwartungen der Studierenden an be-

triebswirtschaftliche Erst- und Weiterbildungsstudiengänge.

Teil I: Die Wahl von Hochschultyp und Studienabschluss beim

Erststudium: Motive, Erwartungen und Einschätzungen der Studie-

renden


Schriften der Wissenschaftlichen Hochschule Lahr

Heft 8: Martina Schmette, Seon-Su Kim, Dirk Sauerland

Studium im Wandel?! Die Erwartungen der Studierenden an be-

triebswirtschaftliche Erst- und Weiterbildungsstudiengänge.

Teil II: Zur Notwendigkeit wissenschaftlicher Weiterbildung: Die

Nachfrage nach Weiterbildungsstudiengängen und ihre Determi-

nanten


Heft 9: Tristan Nguyen, Robert D. Molinari

Versicherungsaufsicht in Deutschland –

Zur Notwendigkeit der Versicherungsregulierung

in der Marktwirtschaft

Januar 2009, 74 Seiten, ISBN 978-3-86692-014-9

Heft 10: Robert D. Molinari, Tristan Nguyen

Risikotheoretische Aspekte bei der Solvabilitätsregulierung von

Versicherungsunternehmen

Januar 2009, 74 Seiten, ISBN 978-3-86692-015-6

Heft 11: Tristan Nguyen, Robert D. Molinari

Analyse unterschiedlicher Konzeptionen zur

Solvabilitätsregulierung

Februar 2009, 83 Seiten, ISBN 978-3-86692-016-3.

Heft 12: Tristan Nguyen

Rechtliche Analyse der Forderungsabtretung im grenz-

überschreitenden Verkehr

Februar 2009, 73 Seiten, ISBN 978-3-86692-017-0

Heft 13: Tristan Nguyen, Philipp Molinari

Jahresabschluss von Versicherungsunternehmen nach

internationalen Rechnungslegungsstandards

März 2009, 119 Seiten, ISBN 978-3-86692-018-7

Heft 14: Björn Reitzenstein

Marktrisikoprämie und Inflation

Juni 2009, 94 Seiten, ISBN 978-3-86692-019-4

Heft 15: Andreas Otte, Tristan Nguyen (Hrsg.) / mit Beiträgen von

Sonja Gerber, Stephan Richter und Karina Schuck

Nuklearmedizinische Ansätze in der klinischen Forschung

November 2009, 80 Seiten, ISBN 978-3-86692-114-6

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Siskou, Diana Lieber, Michael Barsch, Abdo Konur

und Oliver Matzke

Risiken und Nebenwirkungen von Arzneimitteln

Dezember 2009, ISBN 978-3-86692-115-3

Heft 17: Andreas Otte

Die Fourier-Transformation und ihre Bedeutung für die biomedizi-

nische Systemtechnik

Januar 2010, ISBN 978-3-86692-116-0

Die Hefte stehen zum Teil auch kostenlos als pdf-Dateien zum Download zur

Verfügung unter: http://www.akad.de/WHL-Schriftenreihe.192.0.html.

WHLSchriften der Wissenschaftlichen Hochschule Lahr

Nr. 17

Andreas Otte

Die Fourier-Transformation und ihreBedeutung für die biomedizinischeSystemtechnik

WHL Wissenschaftliche Hochschule Lahr

ISBN: 978-3-86692-116-0 Wissenschaftliche Hochschule Lahr

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