Die kleinste Bedeckungszahl innerhalb einer Klasse von Fl~ichenabbildungen.

Von

Hellmuth Kneser in Greifswald.

Bedeckungszahl eh~er stetigen Abbildung einer zusammenh~ngenden geschlossenen Flgche 2' auf eine andere G heine die kleinste Zahl n derart, da~ auf ein Teilgebiet yon G genau n Teilgebiete yon F, und zwar jedes eineindeutig, abgebildet sind, sonst abet kein Ptmkt von F. Sind F u n d G orientierbar, so hat man im Bet~age des Abbildungsgrades eine untere Schranke fiir die Bedeckungszahl, die nut v o n d e r Abbildungsklasse 1) ab- hgng~, also eine untere Schranke fiir die kleinste bei irgendeiner Abbildung der Klasse vorkommende Bedeckungszahl. In meiner Arbeit ,,Gl'~ttung yon Fl'~chenabbildungen" e) konnte ich feststellen, dal~ bei orientierbaren Flgchen a) diese Schranke die wahre ist: in jeder Klasse gibt es eine Abbildtmg, die auf ein Teilgebiet yon G genau so viele Teilgebiete yon F -- und zwax jedes einzelne topologisch -- abbildet, wie der Betrag des Abbildungs- grades angibt, sonst abet keinen Punkt.

Ganz ~hnlich liegt die Sache, wenn man auf die Orientierbarkeit ver- zichtet. Verfeinerte Begriffsbildung fiihrte Iterrn H. Hopf -- wie ex mir brieflich mitteilte -- dazu, auch hier jeder Abbildungsklasse eine Zahl, den Absolutgrad, zuzuoMnen, die eine untere Schranke fiir die Bedeckungszahl darstelt~. Herr Hopf konnte auch beweisen, dab bei Mannigfaltigkeiten einer von Zwei verschiedenen Dimension in jeder Klasse eine kbbildung vorhanden ist, deren Bedeekungszahl gleich dem Absolutgrad der Klasse ist. Die vorliegende Arbei~ zeigt, da$ tier eben ausgesproehene Sate aueh fiir die Dimension Zwei, auch bei Fl~ehen gilL. Mit Methoden, die niehts

1) Zwei Abbfldungen gehSren zu derselben KIasse, wenn sie verbunden werden durch eine yon e~ner Ver~nderlichen stetig abh~.ngende Schar stetiger Abbfldungen.

2) Math. Annalen 100 (1928), S. 609--617; im folgenden immer mit ,G1." zitiert. 3) Aueh der Fall, dal3 G nicht orientierbar ist, h~tte nur eine geringe Ab~knde-

rung des Ergebnisses und Bewelses mit sieh gebraeht. 23*

348 H. Kneser.

sind als eine Weiterbildtmg der in G1. angewandten, gellngt es, eine gegebene Abbfldung stetig abzuiindern und seMie/~lieh in eine Gestalt zu bringen, an der der Absolutgrad leicht abgelesen und seine Uberein- stimmung mit der Bedeeknmgszahl festgestellt werden kann, eine Gestalt, die vielle{eht aueh sonst yon Nutzen sein kann.

Nebenbei ergibt sieh eine Ungleichung zwisehen der kleinsten Be- deckungszahl und den Eulersehen Charakteristiken der beiden Fl~chen, die als eine Erweitertmg einer bekannten Formel yon Hurwitz aus der Theorie der algebraischen Gebilde angesehen werden kann.

w

Vorbereitung. Die vorbereitende Behandlung einer gegebenen Fl~ichenabbildung in

G1. w167 1 bis 3 tiihrte zu dem folgenden Ergebnis ~): Gegeben ist eine ste~ige Abbildung einer zusammenh/~ngenden ge-

sehlossenen Fl~ehe F auf eine andere G. Auf den F1/iehen F und G wird eine euklidisehe oder niehteuklidische MaBbestimmung eingefiihrt und die Fl~iehen in (ira Sinne dieser Ma/]bestimmung geradlinige) Dreieeke zerle~. Ist das Dreiecksnetz rein genug, so gibt es in der Klasse der gegebenen Abbildung eine andere, die jede Eeke des Dreiecksnetzes yon F am[ eine Ecke yon G abbildet, jede Seite entweder (Follseite) auf eine Seite oder (Eckenseite) auf eine Eeke yon G, jedes Dreieek entweder (Volldreieck) auf ein Dreieek oder (Seitendreieck) auf eine Seite oder (Eckendreieek) auf eine Ecke von G. Die Abbildungen der Dreieeke shad ausgeartete oder nieht ausgeartete Kollmeationen; die Mitte jeder Vollseite ist auf die Mitte der Bildseite abgebildet. Eine solche Abbildung heil~t normal; sie ist dutch die Bilder der Eeken yon F vollkommen bestimmt.

Wie in GI., so wird auch bier die Abbildung schrittweise abge~ndert. Ist A 1 die Abbildung vor, A., die nach der :~_nderung, so werden immer A 1 und Yl~ so wenig voneinander versekieden sein, dab die Bildpunkte eines Punktes 79 yon F bei A 1 und Az dutch eine eindeutig und stetig yon p abh~ngende gerade Streeke in G verbtmden shad. L~l~t man jeden Bildpunkt mit fester Geschwindigkeit seine Streeke durehlaufen, so wird damit A 1 dutch eine stetige Schar stetiger Abbildungen mit A~ verblmden: beide Abbildungen gehSren zur selben Klasse.

In G1. w 3 wurden ferner die Ketten eingefiihrt. Eine auf eine be- stimmte Seite s yon G abgebildete Kette ist ehae einzige Vollseite oder

*) In G1. waren zwar die Fl~tchen Fund G als orientierbar vorausgesetzt; beim Beweis der hier aufgeffihrten S~tze wurde aber davon kein Gebrauch gemacht. Im FaUe tier projektiven Ebene sollen die Durehmesser der Dreieeke ldeiner als ~t:6 sein.

Bedeckungszahl bei Fl~ehen~bbildungen. 349

eine in sieh zuriieldaufende oder mit Azffang und Ende versehene Folge von Seitendreieeken, von denen jedes mit dem folgenden eine Vollseite gemeinsam hst. Es zeigte sieh (G1. w 3), da~ in jeder Klasse eine Ab- bildung ohne ,,Ketten zweiterArt" ( ,Fal ten") vorhanden ist, bei der also jede Kette ent~eder yon erster Art ist, d. h. m~t den beiden ~ul~ersten Vollseiten an zwei Volldreiecke grenzt, die verschiedene Bilder haben (und zwar sind dies natiirlich die beiden an die Bildseite s anstoBenden Drei- ecke von G), oder yon der dritten Art ist, d.h. Jn sich zuriickl.~uft.

Biindel hie~ in Gl. ein grSl]ter zusammenhSngender Teil der Urbild- menge eiuer Ecke yon G. Dort wurde (S. 615, letzter Absatz) die Ab- bildung in der Umgebung eines Btindels in bestimmter Weise abge~ndert. Dies geschehe nun der Reihe nach bei allen Biindeln. (Neue Biindel ent- stehen dabei nicht.) Dadurch wird zweierlei bewirkt. Erstens ist nunmehr jedes Biindel eine im allgemeinen berandete FlSehe; denn wie Fig. 5 aus Gl. lehrt, hSngt an jeder nicht inneren Ecke tines Biindels genau eine l~'olge yon (zwei, drei oder vier) Biindeldreieeken, die der Reihe naeh mit Seiten aneinandergrenzen. Zweitens bilden die Eckenseiten einer Kette zwei, je auf einen Endpunkt der Bildseite abgebildete, Ziige (mit Anfang and Ende bei der ersten Art, geschlossen bei der dritten), mit denen sie an je ein Biinde| angrenzt.

w

Beseitigung der Ketten dritter Art.

Es sei b ein Biindel, p sein Bildpunkt. Das Biindel b grenzt mit einer seiner Randkurven entweder an eine Kette dritter Art oder an eine in sich zuriicld~ehrende Folge von Ketten erster Art. Jede yon ihnen grenzt mit ihren beiden ~iul~ersten u an je ein Volldreieek und dieses wieder mit seiner anderen von b ausgehenden Seite an die ira Sinne des Umlaufs um die Randkurve yon b n~ichste Kette erster Art. So entsteht an der Randkurve ein Kranz aus einander abweehselnden Volldreiecken und Ketten erster Art. Zwei aufeinander Iolgende Volldrel- eeke sind abgebildet auf zwei bei p gelegene, im Sinne der Umkreisung von p aufeinander folgende Dreiecke. Wird der Punkt p yon dieser Dreiecksfolge k-real umkreist, so heil]t der Kranz ein k-Jacker.

Sind keine Volldreieeke vorhanden, so hat die Abbildung die denkbar kleinste ~berdeckungszahl Null.

Sind Volldreiecke und Ketten dritter Art vorhanden, so soil jetzt die Zahl der letzteren um Eins vermindert werden. In diesem Falle gibt es, da 2' zusammenhiingend ist, mindestens ein Biindel -- es heiBe b --, an das ein Kranz l und eine Kette dritter Art /~ angrenzt. Die Kette k fiihre yon b naeh dem Biindel b' mit dem Bildpunkt p ' . Im Kranz l

3 5 0 It . Knese r .

gibt es mindestens eine Ket te erster Art kx, deren Bild die Seite p p' ist. Dutch Ubergang zu einer feineren Dreiecksteflung von F -- Fig. 1 zeigt sie im ungiinstigsten Falle - - und Ab~nderung der Abbfldung -- die neuen Ecken v und u ' werden auf p bzw. p ' abgebildet -- bewirkt man zun~ichst, da~ in k I an den beiden Langseiten t t ' .und w w ' zwei aus je zwei

t ~ t u w g t t vTy

t" m" t" v' m' l ' g' v'm"

Fig. ~.

Dreiecken bestehende Streifen t t ' u ' u und w w" v'v ohne gemeinsamen Punkt liegen. Dann trenne man dutch einen, bis auf die Endpunkte ganz im Inneren yon b ver- laufenden, Seitenzug s yon t naeh w einen die Miindung der Ket te k, abe~ die keiner anderen Ket te d~itter Art enthaltenden and

l~ngs t u v w an k 1 grenzenden Teil yon b abe). Ferner sorge man, wenn nStlg, dutch weitere Dreiecksteilung irmerha~b des Biindels b dafiir, dab die an s anstol~enden Dreieeke von c einen Streifen bilden, der gegen den Rest von c dutch einen einfachen Seitenzug abgegrenzt wird. SchlieB- lich ~indere man die Abbildung dahin ab, daft alle Ecken yon c aul~er den zu s gehSrigen auf p' abgebildet werden, s tat t wie bisher auf p .

Die so gewonnene neue Abbfldung gehSrt zur selben Klasse w wie die alte und unterscheidet sich von ihr im folgenden. Vom Bfindel b ist der Teil c abgetrennt; der Rest ist immer noch eine berandete Fl~iche. Zum Biindel b' ist ]r ein Tell yon k 1 und ein Teil von c hinzugekommen, wo- durch es mSglicherweise mit elnem anderen auf p' abgebildeten Biindel verschmilzt; jedenfalls ist das neue Biindel wieder eine berandete Fl~iche. An die Stelle yon k 1 tr i t t eine neue Kette erster Art, bestehend aus den Resten von c und k. Die Ket te dritter Art k ist als solche versehwunden. Es ist also wirklich eine Abbildung erreicht mit denselben allgemehlen Eigensehaften, abet mit einer Ket te dritter Art weniger. Wiederholt man das Verfahren, so ergibt sich schliel~lich eine Abbildung derselben Klasse ohne jede Ket te dritter Art.

w

Wesentliche and unwesentliehe Biindel.

Ein Biindel heiBe unwesentlich, wenn es eine Elementarfl~iche ist und sein (da diese nur eine Randku~e hat, einziger) Kranz einfach ist. Jedes andere Biindel heine wesentlich.

a) DaB dies m5g l i ch i s t , ze ig t s ich fo lgende rmaf i en : Man v e r b i n d e t e t w a v mi t e iner Ecke q a n der Mi indung y o n k d u t c h e inen e in fachen Se i t enzug z i m Imneren y o n b u n d ft ihre s d i ch t bei d e m fo lgenden Se i tenzug: y o n t n a c h v; z; U m l a u f u m k; z; v o n v I]a~h w.

Bedeekungszahl bei Fl~ehenabbildungen. 351

Es soll gezeigt werden, dal3 in jeder Klasse, deren kleinste Bedeck'ungs- zahl nicht Null ist, eine Abbildung mit alien bisher erreiehten Eigen- schaften, abet mit hSehstens einem wesentlichen Biindel vorhanden ist.

Sind mehrere wesentliche Biindel vorhanden, so suche man einen Seitenzug auf F, der zwei yon ihnen, b~ und b e, verbindet und mSglichst wenig Vollseiten enth~ilt 6). Dieser beriibrt kein anderes wesentliches Biindel und iiberhaupt kein Biindel zweimal; sonst liel3e er sich dureh einen anderen mit weniger Vol]seiten ersetzen (vgl. G1. S. 614). Nun sei b' das auf diesem Zuge auf b folgende Biindel; Pl und p' seien die Bildpunkte yon b 1 und b'; sie sind die Endpunkte einer Seite yon G. Eine Vollseite verbindet b~ und b'; sie gehSrt einer Kette erster Art kl an, die auf die Seite P i P ' abgebildet ist. Von Pl mSgen 1 Seiten ausgehen; sie seien um- laufend von 1 bis I numeriert. Die erste sei p~ p' ; die Nummer wird im folgenden als oberer Zeiger angeh~ngt. In einem m-fachen Kranz von b~ folgen dann l m Ketten erster Art k~ (2mod/ ; ~ m o d m ) aufeinander in der Reihenfolge k~, k~; k~ , k,~; . . �9 k ~ z ~. . . . . . . . . . . , ,~ . . . . , k[~. Die Kette k~, ist auf die 3,-re von p~ ausgehende Seite abgebildet. Jede Kette k~ wi~d ebenso vorbereitet wie die Kette k s in w 2. Dann st613t sie mit einem Strecken- zug t u z v ~ w ~ an b~. Die vier Punkte sollen im Sinne des Umlaufs um den Kranz in der angegebenen ~,

kSnnen noeh weitere Eeken liegen. An clef anderen, auf p ' abgebildeten Schmal- / I .

1 seite yon k~ ~egen entspreehend die ,,\ F~E.~ I * ~ ~ 2 Ecken t',, u z , ' v z' und w~, und an beiden / I / / s 3 k S

Langseiten t z t~ und w' 1 ' w~ ~ von k~ liegen c die beiden, aus je zwei "Dreiecken \ bestehenden Streifen t~ t~ u~ u~ lind

w' ' Jetzt trenne man durch v ~ ~ . _ ~. . WI~ ~ V~ V u . k~ _.\ ..'.-'~ -'--,.-.,.-/b:'~

m einfaehe Seitenziige s~ von w, nach ~ ~ ~ , / ~ t,+~ (# = 1 ..... m) m Elementadi~ehen E~ von b~ ab, sorge, wenn nStig, dutch Fig. "2. veffeinerte Teilung dafiir, dal3 die an die Ziige s , anstol~enden Dreiecke m einander nicht beriihrende Streifen Bj (vgl. Fig. 2) bilden, d. h. Elementarfl~chen, begtenzt yon s~, den Seiten v z w~ und t + x u~+~, und einem Seitenzug s~, derart, dal~ jedes Dreieck von E'~ eine Seite auf s~ and die gegeniiberliegende Eeke auf s'~ hat oder umgekehrt.

~) Das l~,~t sich mit endlich vielen Schritten ausfiihren, obwohl hier aus einer unendlichen Gesamtheit nemh einer Kleins~forderung auszuw~hlen ist; man k~nn n~m- lich an Hand der vorliegenden Gestalt aller Btindel leicht yon vornherein die gesamte Seitenzahl des Zugos nach oben beschr~.nken.

352 H. Kneser.

Hat man diese Vorbereitungen bei jedem Kranze des Bfindels b 1 getroKen, so bleibt yon b 1 nach Abtrennung aller Elementarfliichen E und E ' ein Rest c iibrig, der iibrigens wieder eine berandete Flache und mit b 1 homSomorph ist. Jetzt kann man die Abbildung dahin abandern, dab nnnmeb~ alle Ecken yon c auf p ' abgebildet werden stat t wie bisher auf p~. Die so entstehende neue Abbildung ist wieder normal und hat dieselben allgemeinen Eigenschaften wie die alte, unterscheidet sich abet von dieser in den folgenden Punkten. An die Stelle der Ketten k~ treten m neue Ketten erster Art, k~. Die Kette k~ besteht aus je einem, an v w z bzw. t~+, u , + l anstoBenden Teil von k~ und ]~l+l und a l . l s E~o Anf ~1 abgebfldet ist nicht raehr die ganze F1/~che b~, sondern nur noch die m Elementarflachen E s. Von E s gehen die Ketten k~,, kl, . . . . , k,, aus; das yon E s gebildete neue Biindel hat also einen einfachen Kranz, ist also unwesentlich. Der Rest c und die mittleren Teile yon k~ . . . . . k~ sind auf p ' abgebildet und daher mit all clen Bfindeln, mit denen b~ dutch k~ ... . . k~ verbunden ist, mindestens also mit b', zu einem einzigen Biindel b; ver- schmolzen. Sonst hat sich nichts ge~ndert. Ware nun das Biindel b~ un- wesentlich (tatsachlich ist es immer wesentlict~), so ware die Zahl der wesentlichen Bfindel um mindestens Eins verringert. Dasselbe gilt, wenn b' ein wesentliches Bfindel war, d. h. wenn es mit b., zusammenfiel und daher der anfangs aufgesuchte Seitenzug yon bl nach b z nut eine Vollseite ent- hielt. Sonst aber wird jetzt das wesentliche Biindel b~ mit b~ durch einen Seitenzug mit weniger Vollseiten als anfangs verbunden. Dutch Wieder- holung des Verfahrens kann also die Zahl der wesentlichen Bfindel ver- mindert werden, solange sie grSi~er als Eins ist. I n ]eder Klasse gibt es eine Abbildung mit der Bedeckungszahl Null oder eine Abbildung ohne Ketten zweiter und dritter Art und mit hSchstens einem wesentlichen Biindel.

w

0rientierung am Biindel.

Ist das nunmehr einzig vorhandene wesentliche BSndel b orientierbar, so werde eine Orientierung in ibm festgesetzt and auf die an b anstoSen- den Dreiecke 3 9 von F fibertragen. Ebenso werde aueh in den an den Bildpunkt p anstoBenden Dreiecken 3a yon G eine Orientierung fest- gesetzt. Ein Volldreieck dr , dessen 0rientierung dutch die Abbfldung in die des Bilddreiecks fibergeht, heil~e positiv; geht sie in die entgegen- gesetzte fiber, so heille es negativ. Kehrt man eine der beiden Orient~e- rungen urn, so wird jedes positive Dreieck negativ, jedes negative positiv. Sind alle an b anstoSenden Volldreieeke positiv oder alle negativ, so heist

Bedeckungszahl bei Fl~ehenabbildungen. 353

alas Biindel b einsinnig, sonst doppelsinnig, Ein- und Doppelsimaigkeit eines BiindeIs sind unabh~ngig von der Auswahl der Orientierungen. Zwei Volldreiecke z/e, die nut dutch eine an b anstol~ende Kette erster Art getrennt werden, sind beide positiv oder beide negativ (vgl. G1. Fig. 2); dasselbe gilt demnach fiir irgend zwei Volldreieeke desselben Kranzes. Insbesondere ist ein orientierbares Biindel mit nur einem Kranz immer einsinnig.

Hat eine Abbitdung ohne Ketten zweiter Art ein orientierbares doppel- s[nniges Biindel, so w~ihle man aus einem Kranze positiver und einem Kranze negativer Volldreiecke je eines, dessen Bild beide Male dasselbe Dreieck von Gis t . Auf diese beiden Dreiecke ist die Reduktion von G1. S. 615 bis 616 anwendbar; sie fiihrt zu einer Abbildung mit kleinerer Bedeckungszahl, und der ganze Reduktionsprozel~ yon G1. w167 2 his 8 und w167 1 bis 3 der gegenwi~rtigen Arbeit beginnt yon neuem.

Ist ein nicht orientierbares Biindel b mit einem mehrfaehen Kranz oder mit mehreren Kr~nzen vorhanden, so gilt dasselbe. Dann gibt es n/imlich zwei an b ansto/~ende, auf dasselbe Dreieck yon G abgebildete Volldreiecke. Verbindet man sie dutch zwei Dreieeksketten fiber b, die zusammen einen die Orientierung umkehrenden Weg auf b ergeben, so ist eine von ihnen yon der Art, wie es in G1. S. 616 benStigt wird, und wieder erh~ilt man eine Abbildung derselben Klasse mit kleinerer Be- deckungszahl.

Da die Verkleinerung der Bedeckungszabl nut endlich Viele Male statt- finden kann, finder das Verfahren sein Ende, und es folgt:

In ~eder Abbildungsklasse gibt es entweder eine AbbiIdung mit der Bedeckungszahl Null oder eine Abbildung ohne Kette zweiter und drifter Art und mit hdchstens einem wesentlichen Biindel, das entweder orientierbar und einsinnig ist oder nicht orientierbar ist und nut einen, und zwar einen ein/achen Kranz hat.

w

Weitere Gl~ttung.

Es ist fiir das Folgende niitzlich und lohnt sich wolff auch sonst, die bisher gewonnene Abbildung noch welter abzu~indern, so dal~ sie in weitem Umfange im Kleinen eh~eindeutig wird. Bezeichnet man n~irnlich einen Punkt von F als reguldr, wenn eine Umgebung eineindeutig abgebildet wird, und sonst als singuldr, so sind bei der jetzt erreichten Gestalt der Abbildung nut die inneren Ptmkte der VolldIeiecke regu]~. In allen Punkten, die nicht zu dem eirmigen etwa noch vorhandenen wesentlichen Biindel gehSren, l~i~t sich aber leicht Regularit~t herstellen. Zu diesem Zwecke

354 H. Kn~er.

beschreibt man um jede Ecke p yon G ein kleines konvexes Vieleck, das in jedem an p anstol~enden Dreieck genau eine Ecke hat. Dann liegt in jedem Dreieck von G bei jeder Ecke eine neue Eeke; das yon ihnen ge- bildete Dreieck heine das verldeinerte Dreiecl:. An jeder Seite yon G liegt an jedem Ende beiderseits je ein Punkt; diese vier Punkte briden ein konvexes Viereck mit zwei langen und zwei kurzen Seiten.

Nun bilde man jedes Volldreieck yon F eineindeutig statt auf ein ganzes Dreieck von G a u f das zugehSrige verkleinerte Dreieck s inngem~ ab, jede Kette erster Art das zu seiner Bildseite gehSrige Viereck und jedes unwesentliche Bfindel auf das Um seine Bildecke beschriebene Vieleel L achte abet darauf, dal] die Abbildung des Randes, soweit sie dutch die vorhergegangenen Schritte schon festgesetzt ist, beibehalten wird. Von dem wesentliehen Biindel schlie/~lich trenne man l~ngs der Randkurve jedes k-faehen Kranzes einen Ringstrei~en ab und bride ihn eineindeutig ab auf eine im Bridpunkt 1O des Biindels k-fach verzweigte Windungsfl~che fiber dem konvexen Vielflach um 1O, wieder mit Beibehaltung der Randabbildm:g and so, dab die innere Randkurve auf 1O abgebildet wird. Am Rest des Biindels wird nichts ge~indert. Damit hat man eine Abbildung von einer der vier folgenden Arten:

1. BedeckungszaM Null; und zwar sind die inneren Punkte der Drei- ecke yon G iiberhaupt unbedeclrt.

2. Die Fl~i.che F i s t eineindeutig auf eble unverzweigte Uberlagerungs- fls yon G abgebildet.

3. Die Fl~che F ist dutch eine ~_zahl einfacher Kurven zerlegt in einen orientierbaren Tell b und eine Anzahl Restfl~ehen. Der Teil b ist abgebildet auf einen Punkt 1O yon G; ersetzt man ihn dutch so viel Punkte, wie er Randkurven hat, so erf~hrt die entstehende (nicht notwendig zu- sammenh~ngende) Fl'~ehe eine AbbiIdung auf G, deren Umkehrung hSchstens in den neu eingefiihrten Punk'~en nach Art einer Riemannsehen Fl~che verzweigt ist. Ubertr~gt man eine Orientierung von b auf eine Umgebung yon b, so werden alle Teile der Umgebung mit derselben Orientierung in eine Umgebung yon p abgebildet.

4. Die Fl~ehe ~v wird dutch eine einfaehe Kurve zerlegt in einen niehg orientierbaren Tell b und einen Rest. Der Tell b wird auf einen Punkt 1O yon G abgebildet, der Rest auf eine unverzweigte Uberlagerungs- fl~che yon G eineindeutig mit der einzigen Ausnahme, da/3 die ganze Trennungslinie auf einen Uberlagerungspunkt yon lo abgebridet wirdT).

~) Der Gedanke liegt nahe, yon hier aus zu einer Ubersicht fiber alle mSgliehen Abbildungsklassen einer gegebenen Fl~che a auf eine andere zu gelangen; doch bietet dabei der Fall 3 gewisse Sehwierigkeiten. Ieh gehe darauf nicht ein.

Bedeckungszahl bei FIRehenabbildungen, 3 5 5

w

Die kleinste Bedeekungszahl.

Der Fall 1 des letzten Ergebnisses ist fiir das Folgende trivial und bleibe auBer Betracht. In den iibrigen Fiillen bildet die soeben hergestellte Abbildung auf jeden Punkt von G mit hSchstens einer Ausnahme dieselbe Anzahl n yon Punkten von F ab. Auf Grund gewisser Begriffshildungen und Sis yon H. Hopf zei~ sieh, dal~ diese Zahl, die Bedeekungszahl der besonderen Abbildung, zugleich die kleinste Bedeckungszahl ist, die iiber- haupt bei allen Abbildungen derselben Klasse vorkommt.

Eh~em Briefe von Herrn Hopf entnehme ich mit seiner freundlichen Erlaubnis die folgenden Stellen. Sie fassen Ergebnisse seiner .4~rbeit ,Zur Topologie der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten II" (Math. Annalen 102, S. 562--623) kurz zusammen.

F u n d G seien gesehlossene Mannigfaltigkeiten derselben Dimension; F i s t durch

eine Abbfldung f auf G abgebildet.

D e f i n i t i o n I. Zwei auf einen P u n k t g yon G abgebfldete Punkte xl, x e heigen zu einer Schicht gehSrig, wenn es einen Weg w you x nach x gibt, dessen Bfld f (w) (geschlossener Weg in G) auf einen P u n k t zusammenziehbar ist.

Zu jedem Punk t yon G ~ b t es nur endlich viele Schichten.

D e f i n i t i o n II. f heiBt nicht orientierbar, wenn es in F einen geschlossenen Weg gdbt, bei dessen Durchlaufung sich die Orientierung umkehr t und dessen Bfld zusammenziehbar ist; andernfalls heil3t f ofientierbar.

Is t f orientierbar, sind xl, x e wieder zwei Punk te einer Sehicht, und ist w ein Weg yon x 1 nach x e mi t zusammenziehbarem Bild f (w) , so ist bei Zugrundelegung einer 0r ient ierung der Umgebung yon x die durch For tse tzung l~ngs w in der Um- gebung yon x._, eingeftihrte Orientierung unabh~tngig yon dem speziellen w. Diese Tatsaehe ges ta t te t die folgende

D e f i n i t i o n IH. Bei einer orientierbaxen Abbfldung f vers tehen wir unter einer Orientierung der Umgebung einer Schieht Yi so|che Orientierungen yon Umgebungen der Punk te yon Yi, die auseinander dm'ch Fortsetzung ]iings Wegen mit zusammen- ziehbaa'en Bildern hervorgehen.

Die Umgebung einer Schicht Yt bes teht aus einer Anzahl oftener Mannigfaltig- kei ten; fiir jede yon ihnen gibt es, falls sie orientiert ist, einen Grad im Punkte y (e twa im Sinne meiner Annalenarbei t im Band 100), und falls sie n icht orientierbar ist, ehae Pm'it~tt. I s t f orientierbar, so lassen sieh die Orientierungen der Umgebungen der verschiedenen Komponenten einer Schicht nach Definition HI miteinander vet binden, und die Summe der Grade der Umgebungen der Komponenten von If,- ist bis auf das Vorzeiehen bes t immt; wit nennen die Somme kurz den Grad , t ier" Um- gebung yon Y~; ist f n icht orientierbar, so nennen wit die Par i t~ t der analog ge- bi ldeten Paxit~tensumme kurz die Paxit~t der Umgebung yon Yi. Dann setzen wh. noch lest :

D e f i n i t i o n IV. Unter dem Beitrag der Sehicht Yi verstehen wit, falls f orientierbar ist, den absoluten Betrag des Grades der Umgebung yon Y,-, and falls f

350 It. Kneser.

nicht orientierbar ist, die Zahl 0 oder l, je nachdem die Parit~t der Umgebung yon Yi gerade oder ungerade ist.

Def in i t ion V. Die Summe der Beitr~ge der zu dem tMnkt y yon G gehSrigen Sehichten heil~t der Absolutgrad yore f in y; wir bezeiehnen ihn mit ay.

Ks gelten folgende S~tze:

1. ay ist yon y unabh~ngig und dart daher m i t a bezeichnet werden. 2. a ist eine Konstaaate der dutch f bestimmten Abbildungsldasse. 3. Sind F u n d G nieht zweidimensional, so ist a die Mindestzahl von ein-

eindeutigen Bedeckungen eines Gebietes, die durch eine Abbildung der dutch f be- stimmten Abbfldungsklasse erreicht wird.

Dal~ die bier erw~hnte Mindestzahl nicht kleiner als a sein kann, hat Herr Hopf als selbstversts nicht erw~hnt8). Der yon ibm aufgestellte Satz 3 pr~zisiert also eine aus der Definition von a unmittelbar folgende Ungleichheit zur Gleichheit. Der yon ibm ausdriieklich ausgenommene, seiner Methode sich nieht fiigende Fall der Dimensionszahl Zwei ist auf Grund des Ergebnisses v o n w 5 leicht zu bew~ltigen.

I m Falle 1 ist die Bedeekungszahl Null, also auch a ~ - 0 . I m Falle 2 fiihrt jeder Weg in ~, dessen Bild in G zusaromenziehbar

ist, zum Ausgangsptmkt zuriick; jede Schicht besteht a/so aus einem Punk-t. Wegen der Eineindeutigkeit im Kleinen l ider t jede Sehieht bei der Be- rechnung den Beitrag Eins; es ist a ~ n. Dasselbe gilt im Falle 4.

Der Fall 3 mul~ etwas ausfiihrlicher erSrtert werden. Is t p der Bild- punl~t des Biindels b und sind q~ und q~ zwei Punkte von F mJt dem- se]ben, yon p verschiedenen Bilde q, so heine ein Weg w yon q~ nacla qe ein Umkehrweg, wenn eine Orientierung o x einer Umgebung yon q~ und die aus ihr dutch Fortsetzung l~ngs w entstehende Orientierung o., einer Umgebung yon qe vermSge der, in der Umgebung yon q~ bzw. q~ ein- eindeutigen Abbridung in entgegengesetzte Orientierungen der Umgebung yon q iibergehen. Diese Definition kann auch auf Punktpaare mit dem gemeinsamen Bride p erstreckt werden, sofern keiner der Punkte im Innern yon b liegt, da bei einem Randpunkt von b eine geniigend enge Umgebung zum Tell auf p, zum Teil eineindeutig auf eine Teriumgebung von p ab- gebildet wird. Es wird sich gleich zeigen, da~ ein Weg w mi t zusammen- ziehbarem Bride niemals ein Umkehrweg ist. Das bedeutet aber, dal~ q~ und q~, werm sie zur selben Sehicht gehSren, beide als Komponenten dieser Schieht zu ihrem ,Bei t rag" Summanden desselben Vorzeichens liefern, und zwar ], da in ihrer Umgebung die Abbildung eineindeutig ist. Also ist

~) Ist n~tmlich ein Gebiet ~, in G genau ~t~-fach bedeckt, sind auf ~ genau m Teilgebiete von F eineindeutig abgebildet und sonst keine tMnkte, so liefert bei der Berechnung yon a jedes dieser Gebiete einen Summanden -V 1; ihre Anzahl m ist mindestens a.

Bedeckungszahl bei Fl~chenabbildungen. 357

der Beitrag jeder Sehicht gleich der Komponentenzahl und der Absolut- grad a gleich der Bedeckungszahl n.

Zum Beweise der soeben aufgestellten Behauptung werde der Weg w stetig so verschoben, dab er am .Anfang und am Ende je einen Teil ql Pl bzw. Pk q~ hat, die beide auf denselben Weg p q abgebildet sind, vmd dab der Restweg v ~ Iol pc . . . p~ in Teile p,,p, ,+: zerf~llt, deren Endpunkte auf p abgebildet sind und die entweder ganz auf p abgebi lde t sind oder bis auf hSchstens ihre Endpunkte auSerhalb yon b verlaufen. Ein Teilweg der ersten Art ist wegen der Einsinnigkeit yon b niemals ein Umkeh~weg; einer der zweiten Art ist es dann und nur dann, wenn sein Bild in G die Orientierung umkehrt. Der Weg w ist dann und nut dann sin Umkehr- weg, wenn v e s ist; sein Bild ist dann und nur dann zusammenziehbar, wenn das yon v es ist. Is t dies der Fall, kehrt also das Bild yon v die Orientierung in G nicht urn, so ist unter den Teilwegen 10 p~, ~ eine gerade Anzahl, deren Bilder die Orientierung in G umkehren, d. h. eine gerade Anzahl von Umkehrwegen. Also is~ v und damit auch w kein Umkehrweg,

wie es behauptet wurde. Die Abbfldung ist orientierbar in den Fiillen 2 und 3, im Falle 1

braucht sie es nieht zu sein, im Falle 4 ist sie es niemals.

w

Eine Ungleichung zwischen den Charakteristiken.

Is t die ldeinste Bedeckmngszahl n einer Abbildungsklasse positiv, so besteht zwischen ihr und den Eulerschen Charakteristiken K2 und Kv von E und G eine Ungleichtmg, die an der in w 4 erreichten Abbildung leicht festzustellen ist9).

Die Fl~che G babe % Ecken, a I Seiten mad % Dreiecke. Ihre

Charakteristik ist also

K a = a o - al + ao.

Das wesentliche Biindel b habe r Kr~inze mit den Vielfachheiten m 1 . . . . . m ; dann gilt von seiner Charakteristik

K b ~ 2 - - r ~ l .

Auf iedes an den Bildpunkt p von b anstoBende Dreieck sind s = m~ + . . . -~ m r Volldreieeke aus den Kr~nzen yon b abgebildet. Die iibrigen n - - s Urbilder

9) Wi l l 'man nur auf diese Ungleichung hinaus, so braucht man die Reduktion nicht so welt durchzufiihren. Man braucht sich nur davon zu iiberzeugen, da6 die kleinste Bedeckungszahl der Klasse yon einer normalen Abbildung verwirklicht wird und bei dieser die Ketten zweiter A~t zu beseltigen (G1. w 3); dann fiihrt eine etwas umst~ndlichere Abz~hlung zum Ziel.

358 H. Kneser. Bedeekungszahl bei l~chenabbildungen.

gehSren den Kriinzen unwesentlicher, auf p abgebildeter Biindel an. Also sind auger b noch n - s unwesentliche Bfindel auf p abgebildet und die Gesamtzahl der unwesentlichen Biindel ist

n - , + n ( ~ o - 1 ) - n % - 8.

Der Beitrag der Ecken, Eckenseiten und Eckendreiecke zur Charak'teristik yon F ist also

K b _ n % - - s.

Die Vollseiten und Seitendreiecke yon F sind in den n % Ketten erster Art angeordnet. Jede enth~lt eine Seite mehr als die Anzahl ihrer Dreiecke betr~igt. Also l iefe~ sie zu K~ den Beitrag ( - - n ~1). Die n % Volldreiecke schliel~lich liefern den Beitrag n % . Insgesamt ist

K ~ = K b ~- n ~ o - - s - - h a l § n~ . ,

!*) KF ~ n K . .

Das Gleichheitszeichen gilt nut, wenn r : s ~ 1 ist, d. h. wenn b nur einen, und zwar einen einfachen Kranz hat und wenn iiberdies K~ ~ 1 ist, d.h. wenn b eine Elementarfl~che ist. Das bedeutet abet, dab auch das Biindel b unwesentlich ist und daher nach w 5 eine Abbitdung mit im Kleinen eineindeutiger, d .h . unverzweigter Umkehrung zur Klasse gehSrt. Is t insbesondere KF = Ka < 0, so ist n = 0 oder n = 1 ; zur Klasse gehSrt also eine eineindeutige Abbildung oder eine solche, die ein Gebiet in G unbedeck't ]ii/~t.

Auf Riemannsche Fl~chen angewandt, ergibt die Ungleichung (*), da K ~ 2 - - 2 p F , K e ~ - - 2 - - 2 p G zu setzen ist,

die Aussage der Hurwitzschen Formel

2 p ~ ~ 2 - - n ( 2 p G - - 2 ) - - 2w,

wenn die Verzweigungszahl w unbekannt ist. Bemerkenswert an der Ungleichung (*) ist, da~ sie im Falle K a < 0

von vornherein eine Schranke angibt, unter die die Bedeckungszahl jeder Abbildung durch Deformation herabgedriickt werden kann.

(Eingegangen am 9.10.1929.)