Vol. XIII, 1962 73

D i e S t r u k t u r d e r l i n e a r e n G r u p p e i i b e r e i n e m n i c : h f k o m m u t a t i v e n l o k a l e n R in g

Rv.rN~ror.D BAER zum 60. Geburtstag gewidmet

Von

WIL~rEr.~f KLII~GENBERG

Unter einem lokalen Sehiefring verstehen wir einen nicht notwendig kommuta- tiven Ring L mit 1, der ein grSBtes Ideal I :-- L besitzt. I i s t zweiseitiges Ideal, L/I ist ein SehiefkSrper, die Menge L* --~ L -- I der invertierbaren Elemente yon L bildet eine Gruppe unter der Multiplikation.

Beispiele yon ]okalen Schiefringen sind die Sehiefk6rper (falls I = 0 ---- Nullideal) und die lokalen Ringe (falls L kommutativ).

Wir wollen in dieser Note die Struktur der linearen Gruppe GL(n, L) in n Variablen tiber einem lokalen Schiefring L untersuchen. Ftir die Hauptergebnisse besehr/~nken wir uns dabei auf den Fall n >-- 3. Falls L ein SehiefkSrper ist, so besitzt GL (n, L), naeh einem bekannten Resultat yon DIEUDONI~ [3], [4], nur ,,groBe" und ,,kleine" invariante Untergruppen, genauer: Wenn G eine unter der speziellen linearen Grup- pe S.L (n, L) invariante Untergruppe yon GL (n, L) ist, dann ist G entweder ,,groB", das heiBt, G umfaBt SL(n, L), oder G i s t ,,klein", das heiBt, G ist enthalten im Zentralisator von SL(n, L), der gleich ist dem Zentrum yon GL(n, L) und aus den Homothetien besteht. Insbesondere ist als SL(n, L) einfach fiber seinem Zentrum.

Falls dagegen L nicht ein Schiefk6rper ist, das heiBt, falls es in L zweiseitige Ideale J '= L und ~ 0 gibt, so besitzt GL(n, L) noeh weitere (unter SL(n, L)) in- variante Untergruppen, n~mlich die Kongruenzuntergruppen nach J . Das Haupt- resultat der vorliegenden Arbeit, vgl. Theorem 4 unten, ist nun, dab es im wesent- lichen keine anderen invarianten Untergruppen gibt als diese Kon~uenzunter- gruppen.

Wir hatten dieses Resultat ftir den Fall, dab L ein (kommutativer) lokaler Ring ist, schon in einer frfiheren Arbeit bewiesen, vgl. [7]. Die in der vorliegenden Note durchgeffihrte Verallgemeinerung auf den nichtkommutativen Fall maeht an einigen Stellen zus~tzliche f~berlegungen notwendig, die zum Teil damit zusammenh~ngen, dab ein neuer Determinantenbegriff eingefiihrt werden muB, und zwar fiir jedes zwei- seitige Ideal ein eigener, vgl. Abschnitt 3 unten. .~n anderen SteUen verlaufen die Beweise jedoch ebenso wie im kommutativen Fall; wit haben daher fiberall dort, wo es mSglich war, auf die Beweise in [7] verwiesen.

Zmn SchluB bemerken wit noch, dab wir bei frfiherer Gelegenheit den Begriff des projektiven Raumes fiber einem lokalen Schiefring L eingeffihrt haben, vgl. [5] und [6]; es war uns m6glich, diesen Begriff auch durch geometrisehe Axiome zu kenn-

74 W. KLINGESBERC ARCE. MAT~.

zeichnen, ~hnlich wie HILBERT es ffir den projektiven Raum fiber einem SchiefkSrper getan hat. Unsere Untersuchung der Struktur der Gruppe GL(n, L) l~13t sich also interpretieren als eine Untersuchung der Struktur der Kollineationsgruppe des (n - - 1) - dimensionalen projektiven Raumes fiber einem lokalen Schiefring.

RE~-HOT.D BA~.R, dem wir diese Arbeit widmen, hat in seinen Abhandlungen und insbesondere in seinem Buch: Linear Algebra and Projective Geometry, [2], immer wieder die wesentiiehe strukturelle Identi t~t yon Projektiver Geometrie und Linearer Algebra fiber KSrpern herausgearbeitet. Wir glauben, dab durch die vorliegende Untersuchung erneut die Ansicht best~tigt wird, dab diese wesentliche stnflrturelle Identi t~t auch fiir die Projektive Geometrie und Lineare Algebra fiber lokalen Ringen vorhanden ist.

1. Grundbegriffe. MSt L bezeichnen wir einen lokalen Schie]ring, das heiBt, einen nicht notwendig kommutat iven Ring mit grSBtem Ideal I , L. Ffir die multiplikative Gruppe der invertierbaren Elemente schreiben wir L* = L - - I .

Unter dem n-dimensionalen Vektorraum is L, V = Vn(L), verstehen wir den freien Rechts-L-Modul mit n Erzeugenden. Ein Untermodul U yon V heiBt m.dimen- sionaler Unterraum, wenn U freier L-Modul m i t m Erzeugenden und direkter Sum- mand yon V ist.

Unter der aUgemeinen linearen Gruppe in n Variablen i2ber L, GL(n, L), verstehen wir die Gruppe der linearen Automorphismen yon Vn (L).

Ffir ein zweiseitiges Ideal J yon L bezeichnen wir mit

(1) gj : L --> L / J

den natiirlichen Homomorphismus. Falls J ~- L, ist L /J wieder ein lokaler Schiefring. Durch (1) ist ein Homomorphismus

(2) gj : V~(L) --> Vn(L/J)

bestimmt. I m Fall J ~- L bezeichne Vn (L/J) den 0-Vektorraum. Dutch (2) ist ein Homomorphismus

(3) hj : G L(n, L) -->G L(n, L/J)

mit der Eigenschaft: ( h ja )g jX = g j (aX) , ftir alle ( IeGL(n , L) und alle X e V bestimmt. I m Falle J = L soU GL(n, L/J) = E = Einheitsgruppe sein.

Unter einer Transvektion verstehen wir ein Element z e GL(n, L), fiir das ein Unterraum H der Kodlmension 1 (kurz : Hyperebene) existiert so, dab v I H = Iden- ti t~t und v X -- X c H ffir aUe X e V. Sei 9 eine IAnearform mit 9 -1 (0) = H, sei B ein Vektor mi t 9(B) = 1. Setze v B - - B = A. Dann wird v dargestellt durch (vgl. [7], 2.2.). (4) ~ X = X + A g ( X ) .

A heil3t zu v gehSrig. A ist durch H nur bis auf ein Element c aus L* best]mint; denn wenn man 9 ersetzt durch c -19, dann geht A fiber in A c.

Unter der speziellen linearen Gruppe in n Variablen iiber L, S L (n, L), verstehen wir die yon den Transvektionen in GL(n, L) erzeu~o~e invariante Untergruppe von GL(n, L).

Vol. XIII, 1962 Die Struktur der linearen Gruppe 75

Sei X ein Vektor yon V. Unter der Lin~ordnung yon X, o' (X), verstehen wir das yon den Komponenten yon X beziiglich einer Basis erzeugte Linksideal. Dieses ist offenbar unabh//ngig yon der Auswahl der Basis.

Satz 1. Seien A und B Ve]doren von V .~ Vn (L). Dann und nur dann gibt es ein a e GL(n, L) mit aA = B, wenn o'(A) ~-o'(B).

B e w e i s . Ebenso wie in [7], 2.1.

Satz 2. Seien Tr, r --- 1, 2, zwei Transvektionen so, daft 8ie DarsteUungen (4) mit zugehSrigen Velctoren At, r = 1, 2, besitzen, /iir die o'(A1) ~- o' (A2). Dann exiztiert ein (~ e GL(n, L) mit v2 = (~ la -1.

B e w e i s . Siehe [7], 2.2.

Satz 3. Der Zentralisator yon S L ( n, L) in G L (n, L) besteht aus den Dilatationen

(5) Q : X e V ~ X x ~ V

mit x e Zentrum L*. Das Zentrum van GL(n, L) ist gleich dem Zentralisator yon SL(n, L).

B e w e i s . Seien A und B Vektoren mit o'(A) -~ o'(B) ---- L. Sei ~ eine Transvektion mit der Darstellung (4). Wenn o e Zentralisator SL(n, L), so ~v-lQ = T, das heil3t, QAq~(~-IX) -~ Aq~(X), fiir alle X e V. Also o A -~ Ax, mit x e L * . Ebenso ergibt sich ~B-~ By, y e L * . Ferner o(A -k B ) = (A-b B)z=- A x q- By, also, wenn man A und B geeignet w/ihlt, x ----- y = z. Da o(Aa) ~ o(A)a ftir alle a e L , folgt x e Zentrum L*.

2. Die Kongruenzuntergruppen. Unter der Ordnung o(~) eines (r e GL(n, L) ver- stehen wir das kleinste zweiseitige Ideal J in L so, dab h j a ~ Zentrum GL(n, L/J). Unter der Ordnung o (G) einer Untergruppe G yon GL (n, L) verstehen wit das kleinste zweiseitige Ideal J so, dab hjG r Zentrum GL(n, L/J). Offenbar wird o(G) erzeugt yon den o (a), a e G.

Sei J ein zweiseitiges Ideal yon L. Unter der a//gemeinen Kongruenzuntergruppe rood J yon GL(n, L), GC(n, L, J) , verstehenwirdieGruppe hj -1 Zentrum GL(n,L/J). Offenbar ist GC(n, L, J) die Vereinigung aller Untergruppen der Ordnung = J . Unter der speziellen Kongruenzuntergruppe rood J yon GL(n, L), SC(n, L, J) , verstehen wit die yon den Transvektionen der Ordnung c J erzeugte invariante Untergruppe.

Offenbar ~st fiir J -~ L: GC(n, L, J) --- GL(n, L) und SC(n, L, J) ---- SL(n, L).

Theorem 1 (Erste Kermzeichnung yon SC(n, L, J)). Sei n ~ 3. Sei J ein zwei. seiticjes Ideal yon L. Dann ist SC(n, L, J) gleieh der gemischten Kommu~atorgruppe K o m m (GL(n, L), GC(n, L, J)) yon GL(n, L) und GC(n, L, J).

B e w e i s . 1. Sei ~ eine Transvektion der Ordnung o(v) c J . Wie in [7], 2.3.3., ergibt sich mi t Hilfe yon Satz 2, dal~ ~ sich in der Form v ~- a v l a - l v ~ 1 schreiben 1/~Bt, wo Vl eine Transvektion der, Ordnung o (vl) ---- o (T) = J ist. Also haben ~-ir

(6) SC(n, L, J) c K o m m (G L(n, L), SC(n, L, J)) .

76 W. KLm'GZNB~G ARCm MA~.

2. Wit fixieren eine Matrixdarstellung yon GL(n, L). ~ e GC(n, L, J) werde

dutch die Matrix A = ((a~j)) dargestellt. Dann ist h j a ~ = hja z e Zent rum (L/J)* und hja~ t = 0 sonst. Die Matrizen

(7) Brs(U) - ((c4i)) mi t c~! = 1, crs= u e J (r . s), c~ 1 ---- 0 sonst

stellen Transvekt ionen der Ordnung c J dar. Indem man A yon links mi t geeig- neten Matrizen Brs(U), (7), multipliziert, was au f die Addit ion der mi t u yon links multiplizierten s-ten Zefle zur r- ten Zeile hinausliiuft, kann man erreichen, dab (~ sich in der F o r m

(8) ~ ---- vl a0 mi t zl e SC(n, L, J ) und a0 = diag (bl, b2 . . . . . bn)

mit gjb~ = gjb) e Zentrum (L/J)* schreibt.

Die Formel (10) aus [7] lehrt, dab auch die Matrizen der Fo rm

(9) d i a g ( 1 , 1 . . . . . (1 + u ) , l . . . . . (1 + u)-l , 1 . . . . . 1) mi t u e J , l + u e L *

ein Element aus SC(n, L, J) repr~sentieren. Dami t ls sieh dann fiir J = L er- reichen, dab in (8) bl = b2 . . . . . bn-1 = 1 wird.

3. Wi t zeigen zun~chst

(10) K o m m (S L(n, L), GC (n, L, J) ) c S C (n, L, J) .

Fiir J ---- L i s t dies klar ; wir nehmen daher J r I an. Aus der Identi t i i t

n T2 ~ ( n T2) -1 a-1 = n (T2 a ~ a- l ) ( a z ~ ~ 1 n ) ~i ~

folgt, dab es geniigt, die Beziehung T(YT-Io "-1 e SC(n, L, J) fiir T = Transvektion, ~ GC(n, L, J) zu beweisen. Dazu w~ihlen wir eine Basis (E~) 1 -<i_~n in V so, dab f'fir

die Transvekt ion v in der Darstel lung (4) ~od_lt :

n- -1

A =~,E~a~ 1

und ~ = ~n, wo (~oi)1 ~<i _~n die zugeh5rige duale Basis ist. Wir schreiben a e GC(n, L, J) in der Form (8). Aus der Ident i t / i t

3,~ v-1 (~-i = ~: n (~o ~-I ,~o~ 3~ = (3 ~:~ T-~) (3 ~o T-1%~) 3~ ~

folgt, dab wit uns auf den Beweis y o n 30"0T-10"01 6 SO(n, L, J) besehr/inken kSnnen mit ao wie in (8). Mit der Darstellung (4) yon 3 finden wir, wegen ~oo~ ~ ---- b~lT:

z a o T - ~ ( X ) = X + (A -- c;oAbT~)cp(X),

und dies ist, wegen gd (A - - aoA bn x) ----- 0, eine Transvekt ion der Ordnung c J .

4. Wir beweisen je tz t :

(11) @ ~ e - x a - I e S C ( n , L , J ) ftir ~ e G L ( n , L ) und a e G C ( n , L , J ) .

Naeh 2. k6nnen wir o i n der Form v ~ o mit "cz e SL(n , L) und ~o = diag (1, 1 . . . . . a),

Vol. XIII, 1962 Die Struktur der linearen Gruppe 77

a ~ L*, schreiben. Aus der Identit~it

32 o0 ~ oo 1 ~1 a-1 = ~2 (o0 ~ 501 ~-1) ( a ~ l a-1 ~ ) T~ 1

folgt, da nach 3. aV_ga-lV~ 1 eSC(n, L, J), dal3 ~4r uns ffir den Beweis yon (11) auf den Beweis yon 5o a So 1 o~-1 ~ S C (n, L, J ) beschrs kSnnen .

Wir schreiben je tz t a e GC(n, L, J) in der Fo rm (8). Aus der Ident i t~ t

5o ~1 a0 5~ 1 ao 1 ~ - - (oo TI 5o 1) (oo ao 5~ 1 ~1) ~1

folgt, dab wir nur noch

(12) u ---- diag (1, 1 . . . . . aba-lb -1) eSC(n ,L ,J ) mit aeL*,g jbezentrum(L/J)*

zu beweisen brauchen. Dazu be t rachten wir die Iden t i t s

(13) aba-lb -:1 = (b-laba -1) (b-la-lba) [(a-lb-la) (bab -1) (a-lb-la) -1 (bab-1) -1]

mit a e L*, gjb e Zent rum (L/J)*.

Wegen gj(a-lb-la) = 1 setzen wir a-lb-la ~ 1 ~ v, mit v e J. Setze bab --1 = ---- c e L*. Mit (13) kSrmen wir dann ~, (12), in der Form ~. ---- ~-l~e mi t

ul = diag (1, 1 . . . . , (b-laba -1) (b-la-lba)),

u2 = diag (1, 1 . . . . . (1 -~ v)c(1 + v)-lc -1) schreiben.

Wegen diag (1, 1 . . . . . 1 _ v) e GC(n, L, J) und diag (c -1, 1 . . . . . c) e SL(n, L) haben wir mi t (10): ue e SC(n, L, J). Aus der Ident i t~ t

0 a [(b01 O1)(a01 Oa)(bo b)(O : 1 ) ] ( (b-la-~ba)-lO b-lOa-lba)

folgt, da die beiden Fak toren auf der linken Seite zu S C (n, L, J ) gehSren (der erste wegen (10) und der zweite wegen (9)), dab auch Y-1 e SC(n, L, J) , also ~ = z1~2 e e SC(n, L, J).

3. Die J-Determinanten. Wit zeigen im folgenden, dab fiir jedes zweiseitige Ideal J yon L ein Homomorphismus

(14) de t j : GC(n, L, J) --~ L(n, J) mit

L (n, J ) = g~l (Zentrum (L/J)*)n/Komm (L*, g-j1 Zent rum (L/J)*)

existiert, den wir, wegen seiner Eigenschaften, J-Determinante nennen. Ftir den Fall J = L i s t d e t j die von Dn~VDON~ [3], [4] eingeffihrte Determinante fiber Schief- kSrpern.

Theorem 2 (Existenz der J -Determinante) . Sei J ein zweiseitiges Ideal yon L. Dann existiert genau ein Homomorphismus (14), der die ]olgenden Eigenscha/ten (i), (ii), (iii), (iv) hat.

78 W. KLINGENBERG ARCH. MATH.

Der Homomorphismus

L --> L * / K o m m (L*, g71 Zen t rum (L/J)*)

werde mit einem Querstrich bezeichnet : a---> h. yes sei eine Matrixdarstellung von GL(n , L) fixiert. Sei a �9 GC(n, L, J) . Es gelte:

(i) Wenn ~ = diag (b, b, . . . , b) �9 GC(n , L, J ) , dann d e t j 0 a = ~n d e t j a.

(ii) Wenn ~ = diag (1, 1 . . . . . 1 + u, 1 . . . . . l ) �9 GC(n, Z, J) , dann

d e t j o a = (1 + u) d e t j o.

(hi) Wenn ~ = Brs(U), wie in (7), dann d e t j o a =- d e t j a .

(iv) Wenn a =- Identitdit, dann d e t j a = 1.

B e w e is . 1. W i r beweisen zun~chst die :Eindeut igkei t yon d e t j bei einer vorgegebe- nen Mat r ixda r s t e l lung yon GL(n , L). Sei A = ((at/)) d ie Matr ix yon a �9 GC(n, L, J). W i t schreiben a in der F o r m (8). vl i s t das P r o d u k t yon Matr izen der Por to (7), nach (hi) is t also d e t j a = d e t j a 0 . Wi r setzen bt = b(1 + ut) mi t u~ � 9 Aus ( i ) , ' ( i i ) u n d

(iv) folgt d a n n d e t j a 0 = ~n d e t j ( d i a g ( 1 - - ul , 1 -- u2 . . . . . 1 + un)) = ~n 1-~ (1 + u~).

2. W i t beweisen die Exis tenz yon d e t j durch I n d u k t i o n nach n. Sei A ~- ((a~l)) die Ma t r ixda r s t e l lung yon a � 9 GC(n, L, J ) , n ~ 1. B = ((b~l)) sei die dazu inverse Matr ix . Mit Ar bezeichnen wir die ( n - 1, n - 1)-Matrix, die aus A d u t c h Streichen de r r - ten Zeile und r - ten Spa l t e en ts teh t . Ar r e p r ~ e n t i e r t ein E l e m e n t yon GC(n -- 1, L, J ) (fiir n - - 1 = 0 soll dies die E inhe i t sg ruppe sein). Unsere In- du] r t ionsannahme l au t e t : F i i r a �9 G C ( n -- 1, L, J ) , n - - 1 > 1, i s t d e t j schon so erkl~rt , dall g i l t

(15) d e t j a = d e t j A --1 ~--- brr d e t j Ar

m i t r be l l �9 zwischen 1 und n - - 1. Wir erfii l len diese I n d u k t i o n s a n n a h m e ffir n - - 1 = 1, i ndem wir d e t j fi ir diesen Pal l durch (15) definieren, und dabe i fi ir a �9 GC(O, L, J ) setzen: d e t j a =- ] .

W i r wollen nun ffir a �9 GC(n, L, J ) d e t j a durch (15) definieren. Dazu zeigen wi t zun//chst, d a b die rechte Seite yon (15) unabh/~n~g is t yon der W a h l yon r, 1 < r ~ n, n > 2. Das heiBt, wir zeigen

(16) b~r 1 d e t j Ar -- ~--1 - - bss d e t j A s .

Dazu bemerken ~ , dal3 g i l t

(17) J*~

Y Ib,j b �9 - - srbrrbrj) aj~----6s~ ( k . r ) .

Mit Ars = Asr bezeichnen wi t die (n - - 2, n - - 2)-Matr ix , die aus A dureh St re ichen der r - ten u n d s- ten Zeflen und Spa l ten ents teht . Nach Induk t ionsvo raus se t zung f'fir n - - 1 folgt dann aus (15) und (17)

Vol. XIII, 1962 Die Struktur der linearen Gruppe 79

d e t j Ar = (bss - - bsr bTr 1 br,) -1 d e t j Ars,

d e t j A s = (brr -- brs bs~ bsr) -1 d e t j Asr

und hieraus ergibt sich die B e h a u p t u n g (16). Wir zeigen jetzt , daB, wenn wit d e t j a fiir a e GC(n, L, J) dutch (15) defmieren,

die Beziehungen (i) bis (iv) gelten.

Zu (i): Die inverse Matr ix von oa, o wie in (i), ist dureh ((b,jb-1)) gegeben.

Zu (ii): An der Stelle (r, r) der inversen Matr ix yon 0a, 0 wie in (ii) mi t (1 + u) an der r - ten Stelle, s teht brr(1 ~- u) -1.

Zu (iii) : An der Stelle (r, j) , j . s, der inversen Matr ix yon 0 a, ~o wie in (iii), s teht brl.

3. V~'ir zeigen nun noch, dal3 der Wer t yon d e t j a , a e GC(n, L, J ) , wie er in 2. mi t Hilfe einer Matr ixdars te l lung yon GL(n, L) erkl/~rt wurde, unabhs yon der Wahl der Matr ixdars te l lung ist. Sei A = ((a~l)) eine Matr ixdars te l lung von a e e G C (n, L, J ) . J ede and �9 Matr ixdars te l lung von a ist dann yon der Fo rm U -1A U, wo U ein E lemen t von GL(n, L) reprgsentier t . Wie schon im Beweis yon Theorem 1 bemerk t , ist U �9 P roduk t yon Matrizen der Fo rm Brs(X), (7), mi t x �9 L, und einer Matr ix der F o r m V = diag (1, 1 . . . . . a), a �9 L*. A 1/illt sich schreiben als P roduk t yon Matr izen Brs(U), (7), mi t u �9 J , und einer Matr ix der F o r m

B = diag(bl , b2 . . . . , bn) �9 GC(n, L, J).

Es geniigt also, die Beziehung detg U-1A U = detd A f'ur diese speziellen Paare yon Matr izen U mad A zu beweisen. Dieses ist ohne Miihe mSglich, zum Beispiel ist

Brs (x) -1 diag (bl, b2 . . . . . bn) Brs (x) ---~ Brs (br x bs 1 - - x) diag (bl, b2 . . . . . bn).

4. SehlieBlieh zeigen wir, dall de t j , (14), ein H o m o m o r p h i s m u s ist: Seien a und a ' aus GC(n, L, J ) . Wir schreiben a in der Fo rm a ---- Zl~0, (8), und schliel3en wie un te r 1. :

d e t j aa' = de t s aoa' -= -bn I- I (1 q- u~) detja' = d e t j a �9 detja' .

Theorem 3 (Zweite Kennze ichnung yon SC(n ,L , J ) ) . Sei n > 3 . Dann ist S C ( n , L , J ) -= Gruppe der a e G C ( n , L , J ) mit de t j~ - - - -1 und hja ~ - 1.

Folgerung. GC(n, L, J)/SC(n, L, J) ist isomorph zur Gruppe der Paare

(a, b) �9 L(n, J) x Zent rum (L/J)* mit gja = b n.

B e w e i s . Jedenfal ls gilt ftir eine Transvek t ion v der Ordnung c J d e t j T = 1 und hjT---- 1. Sei nun nmgekehr t a � 9 so, dab d e t s a - - - - 1 mad h j a - - - - 1 . Un te r Verwendung der Matrizen (7) mad (9) erkennen wir: Wir kSlmen unter diesen Voraussetzungen q modulo SC(n, L, J) in der F o r m diag (1, 1 . . . . . 1 q- u) sehreiben mi t (1 ~- u) �9 K o m m (L*, g)l Zen t rum (L/J)*), mad nach Theorem 1 gehSrt dies�9 Matr ix zu S C (n, L, J).

Z u m Beweis der Folgerung be t rach ten wir die Abbi ldung

a �9 G C (n, L, J ) -+ (det j a, hj a) �9 L (J, n) • Zen t rum GJL (n, L/J)*

80 W. KLINGENBERG ARCH. MATH.

isomoqoh zu L(J , n) .'< Zentrum (L/J)*. Wie wir sahen, ist der Kern dieser Abbildung gerade S C (n, L, J) .

4. Die Struktur yon G L (n, L).

Satz 4. Sei n ~_ 3. Seien Tr, r ~ 1, 2, Transvektionen mit der Darstellung ~:rX ----- -~- X -}- Arq)r(X). Wenn hierin A1 ---- Cla, A2 ---- C2ad, wobei C1 und C2 Vektoren der Linksordnung L sind und d �9 L*, dann gibt es ein a �9 SL (n , L) mit l'2 ---- (;Tlo "-'1.

B e w e i s . Setze H r ---- ~-1(0). Wih le Br mi t (p r (Br ) -~ 1, r ----- 1, 2. Wegen dim Hr ---~ n - - 1 ~ 2 kSnnen ~ / r in Hr noch einen modulo I yon Cr linear unabh in - gigen Vektor Dr finden. Es gibt dann, wie beim Beweis von Satz 2, ein a �9 GL(n, L) mi t a B l d - ~ B2, aC1 : C2, (rD1 ~ D2e, e e L * und sonst beliebig, und aH1---- ---- H~. Also ~ l a -1 ---- d~02. Dami t haben wir

(TT1C;-1X = X + (;Ale?I(a-IX) = z'2X.

Den noch frei verfiigbaren Fak to r ~ in dets ~ k6nnen wir nun so festlegen, dab de t j cr = 1, also, wegen Theorem 3, ~ �9 SL(n , L).

Satz 5. Sei n >= 3. Sei (v=)~eA eine Menge yon Transve~ionen. Sei G die davon er- zeugte, unter SL (n, L) invarianle Untergruppe yon GL (n, L). Dann ist G = SC (n,L, J), wobei J das yon den o (v~) erzeugte zweiseitige Ideal ist.

B e w e i s. h 'ehmen wir zun ichs t an, dab (v=)= e~ aus nu t einem einzigen Element T der Ordnung o (v) = J besteht. Wir schreiben ~ in der Fo rm (4) und wir wih len eine Basis

n- - i (E~)I s i _~n von V mit dualer Basis (~i)1 ~<i <n so, dab A = ~E~ai und (p = ~n. Eben-

r so wie in [7], 2.6.1, folgt dann, dab G die Transvekt ion ~ I X = X -- En- la lq) (X) ent- h i l t . Auf Grund yon Satz 4 k6nnen wir folgern, dab G alle Transvekt ionen mit zuge- hSrigem Vektor E c a id, e e L*, d �9 L*, o' (E) ---- L enthi l t . Da ein u �9 I sich in der Fo rm u = (u - - 1) + 1 mit (u - - 1) �9 L* sehreiben lillt, folgt, wie in [7], 2.6.1., dab G alle Transvekt ionen mit zugeh6rigem Vektor Ecald , c �9 L, d �9 L, o' (E) = L enthi l t . Das gleiche gilt auch fiir die Transvekt ionen mit zugeh6rigem Vektor Ecaid, i > 1. Dami t ergibt sich dann die Behauptung des Satzes ebenso wie in [7], 2.6.1.

Satz 6. Sei n ~_ 3. Sei G eine unter SL (n , L) invariante Untergruppe yon GL(n, L) der Ordnung J. Dann um/aflt G die Gruppe SC(n, L, J). Mit anderen Worten: S C(n, L, J) ist der Durchschnitt aller unter SL(n , L) invarianten Untergruppen der Ordnung J .

B e w e i s . Unte r Verwendung vorstehender Si tze ebenso wie in [7], 2.8.

Theorem 4 (Struktursatz fiir GL(n, L)). Sei n :> 3. Eine Untergruppe G yon GL(n, L), die invariant iat unter SL (n , L), bestimmt �9 zweiseitiges Ideal J yon L so, daft gilt

(18) SC(n, L, J) c G c GC(n, L, J) .

Jede Untergruppe G yon GL(n, L), die der Beziehung (18)/iir ein gewisses zwei~eitiges Ideal J geni~gt, ist invariant und yon der Ordnung o (G) ~ J.

Vol. XIII, 1962 Die Struktur der linearen Gruppe 81

Folgerung 1. Die invarianten Untergrulrpen G yon SL(n,,L) ~ind gelcennzeichnet als diejenigen Untergrulopen, die der Relation

SC(n, L, J) c G r GC(n, L, J) n SL(n, L)

/iir ein zweiseitiges Ideal J geniigen.

Folgerung 2 ( D ~ u D o ~ [3], [4]). Wenn L ein Sehie/Ic&rper iet, so ist SL(n, L) ein]ach i2ber 8einem Zentrum.

B e w e i s . DaB jede Untergruppe G yon GL(n, L), die der Beziehung (18) f'tir ein zweiseitiges Ideal J geniigt, invariant ist, folgt aus der Folgerung yon Theorem 3, und da naeh Satz 5 o(SC(n, L, J)) ---- J , gilt dann aueh o(G) = J.

Sei nun G invariant unter SL(n, L) und o(G) ~- J. Dann gilt also G c GC(n,L,J). DaB auch die andere Inklusion in (18) gilt, ist eine Folge yon Satz 6, dem also die Schliisselstellung in dem Beweis des Strukturtheorems zukommt.

IAteraturverzeiehnis

[1] E. ARTr~, Geometric Algebra. ~ew York 1957. [2] R. BAER, Linear Algebra and Projective Geometry. Hew York 1952. [3] J. DI~.~DO~;~, Les d~terminants sur un corps non commutativ. Bull: Soc. Math. France 71,

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Eingegangen a m 24. 1. 1962

Anschrift des Autors: V~. Kllngenberg Mathematisches Institut der Universit~t C~ttingen, BunsenstraBe 3/5

zur Zeit Department of Mathematics Berkeley (Calif.), USA

Archiv der Mathemat/k XI/I 6